ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ ΦΡΑΚΤΑΛ ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΜΕ NARMAX ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣ ΦΡΑΚΤΑΛ ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ ΣΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΜΕ NARMAX ΜΟΝΤΕΛΑ Δήμητρα Δέποινα Παγανιά (Α.Μ. 657) ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Σπυρίδων Λυκοθανάσης, Επιβλέπων Καθηγητής Αδάμ Αδαμόπουλος, Καθηγητής Ιωάννης Χατζηλυγερούδης, Καθηγητής ΠΑΤΡΑ 2012 1

Περιεχόμενα ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ 4 1.1 Εισαγωγή 4 1.2 Είδη πειραματικών χρονοσειρών 9 1.3 Η Δυναμική της Χρονοσειράς 9 ΧΑΟΤΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 13 2.1 Εισαγωγή- Η εμφάνιση του χάους 13 2.2 Διαστάσεις 15 2.3 Διάσταση Συσχέτισης 16 2.4 Μορφοκλασματικές (fractal) Διαστάσεις 20 2.5 Υπολογισμός της Διάστασης Συσχέτισης 21 2.6 Η Διάσταση του Ελκυστή 23 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GRASSBERGER-PROCACCIA & ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ TAKENS 26 3.1 Μετρώντας την ιδιομορφία των παράξενων ελκυστών 26 3.2 Αλγόριθμος Grassberger-Procaccia 26 3.3 Το θεώρημα του Takens 27 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN 30 4.1 Εισαγωγή 30 4.2 Παρουσίαση του Kalman Filtering Προβλήματος 31 4.3 Διαδικασία Ανανέωσης (Innovation Process) 32 4.4 Εκτίμηση του Διανύσματος Κατάστασης 35 4.5 Kalman Filtering Διαδικασία 40 4.6 O Αλγόριθμος Kalman 44 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 47 5.1 Αλγόριθμοι Αναγνώρισης Δομής Γραμμικών Συστημάτων με Μεταβαλλόμενες Παραμέτρους για Πεπερασμένο και Διακριτό Χώρο Δομής Προσαρμοστικών Φίλτρων 47 5.2 Ένας Προσαρμοστικός Αλγόριθμος για την Εύρεση Παραμέτρων Συστήματος μιας Μεταβλητής 48 5.3 Περίπτωση AR φίλτρων 57 5.4 Περίπτωση MA φίλτρων 58 5.5 Περίπτωση παραμέτρων συστήματος πολλών μεταβλητών 59 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ 61 6.1 Εισαγωγή 61 2

6.2 Μη Γραμμικά Μοντέλα 63 Εκθετικά μοντέλα 67 Bilinear Μοντέλα 67 Πολυωνυμικά ΝARMAΧ μοντέλα 68 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 83 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 91 3

Χρονοσειρές 1.1 Εισαγωγή Η χρονοσειρά ορίζεται ως το σύνολο τιμών που έχουν προσδιοριστεί είτε υπολογιστικά είτε με άμεση μέτρηση και έχουν διαταχθεί με αύξουσα χρονική σειρά. Κατά συνέπεια ένα οποιοδήποτε διακριτό σήμα το οποίο περιέχει τιμές ενός μεγέθους, οι οποίες έχουν προσδιοριστεί είτε πειραματικά είτε υπολογιστικά, αποτελεί μια χρονοσειρά. Η σημασία της ανάλυσης των χρονοσειρών και της πρόβλεψης στην επιστήμη, στη μηχανική και στις επιχειρήσεις έχει αυξηθεί αρκετά και παρουσιάζει ακόμα μεγάλο ενδιαφέρον για μηχανικούς και επιστήμονες. Στη βιομηχανία παραγωγής, ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η πρόβλεψη χρονοσειρών όπου, βασιζόμενοι σε σύνολα δεδομένων, προβλέπονται οι τιμές των δεδομένων στο μέλλον. Μια χρονοσειρά είναι μια ακολουθία τιμών πειραματικών παρατηρήσεων διατεταγμένη στο χρόνο με ίσα χρονικά διαστήματα Δt, που αναπαρίστανται ως σύνολα διακριτών τιμών. Στη μηχανική, η ακολουθία των τιμών λαμβάνεται από αισθητήρες δειγματοληπτώντας τα σχετικά συνεχόμενα σήματα. Βασιζόμενοι σε τιμές που έχουν ληφθεί από μετρήσεις και διακόπτονται από το θόρυβο, οι τιμές των χρονοσειρών συνήθως περιέχουν μια συνιστώσα ντετερμινιστικού σήματος και μια στοχαστική συνιστώσα αναπαριστώντας την παρεμβολή του θορύβου που προκαλεί στατιστικές διακυμάνσεις όσον αφορά τις ντετερμινιστικές τιμές. Η ανάλυση μιας δεδομένης χρονοσειράς στοχεύει πρωταρχικά στη μελέτη της εσωτερικής δομής (αυτοσυσχέτιση, τάση, εποχικότητα κ.τ.λ.) για να κατανοήσουμε καλύτερα τη δυναμική διαδικασία από την οποία προκύπτει η εν λόγω χρονοσειρά. Όταν για ένα δυναμικό σύστημα είναι γνωστοί οι εξελικτικοί νόμοι-εξισώσεις που το περιγράφουν, τότε η χρονοσειρά δύναται να κατασκευαστεί με απλό υπολογισμό της παραμέτρου που μας ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός πλανήτη του ηλιακού συστήματος με βάση κάποιο μοντέλο αναπαράστασης της κίνησης (εξέλιξης). Η ανάλυση χρονοσειρών που προκύπτουν υπολογιστικά από δοσμένους εξελικτικούς νόμους-εξισώσεις είναι έξω από τα πλαίσια της παρούσης εργασίας. 4

Συνήθως όταν αναλύουμε φυσικά πραγματικά συστήματα, οι εξισώσεις είναι άγνωστες. Στα βιολογικά συστήματα δεν υφίσταται η διακεκριμένη ενόραση αυτών όπως για παράδειγμα στο ηλιακό σύστημα όπου έχουμε διακεκριμένους πλανήτες. Έτσι αναλύοντας τη χρονική (δυναμική) εξέλιξη ενός βιολογικού συστήματος, καμία ένδειξη δεν έχουμε για το ποίο μοντέλο θα ήταν περισσότερο κατάλληλο και πόσες ανεξάρτητες μεταβλητές θα πρέπει αυτό να έχει. Ιδιαίτερα μάλιστα τις τελευταίες δεκαετίες, όπου η ενδελεχής ανάλυση των βιολογικών συστημάτων κατέρριψε το μύθο της περιοδικότητας της συμπεριφοράς τους. Όταν λοιπόν ένα σύστημα είναι τελείως άγνωστο, η μόνη ένδειξη που έχουμε είναι η πειραματική μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους που σχετίζεται με τη λειτουργία του υπό μελέτη συστήματος. Η πειραματική χρονοσειρά θα πρέπει να εμπεριέχει μετρήσεις που αφορούν ένα φυσικό μέγεθος το οποίο είναι ισχυρά συζευγμένο με το υπό μελέτη δυναμικό σύστημα. Η ισχυρή σύζευξη είναι πολύ σημαντικός παράγοντας διότι χωρίς αυτή η ανάλυση θα είναι μάταιη και θα αποδώσει παραπλανητικά ίσως αποτελέσματα. Έτσι με το δεδομένο ότι το υπο μέτρηση μέγεθος είναι πράγματι ισχυρά συζευγμένο, προχωρούμε στη μέτρησή του. Η μέτρηση γίνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα και αποδίδει τη χρονοσειρά ( n) [ x(1), x(2), x(3),..., x( N )]. Αν θεωρήσουμε ότι υφίσταται ένα δυναμικό σύστημα που υπόκειται σε φυσικούς νόμους και είναι υπεύθυνο για τη χρονοσειρά αυτή, τότε αυτή δεν είναι παρά: ( n) M[ x( n)], x D όπου x, άνυσμα D διάστασης που ορίζεται σε έναν D-διάστατο χώρο καταστάσεων (φασικός χώρος) και M : R θα είναι της μορφής: D R η συνάρτηση μέτρησης. Ένα τέτοιο δυναμικό σύστημα x Ax f ( x) t όπου f( x ) υποδηλώνει τους μη γραμμικούς όρους (αν υπάρχουν). Το ερώτημα που τίθεται είναι κατά πόσο είναι δυνατόν από τη X(n) να προσδιορίσουμε κατ αρχήν τη διάσταση του χώρου D και στη συνέχεια τον πίνακα κατάστασης του δυναμικού συστήματος Α. Στην ουσία ζητούμε από μέτρηση μιας και μόνο μεταβλητής να ανακτήσουμε το σύνολο της πληροφορίας του συστήματος. Πέρα από τη δυνατότητα απάντησης στο ερώτημα αυτό με μαθηματικούς όρους, μπορούμε να πούμε διαισθητικά ότι για να είναι κάτι τέτοιο εφικτό θα πρέπει οπωσδήποτε η μετρούμενη παράμετρος να έχει ισχυρή σύζευξη με το δυναμικό σύστημα. Οι μέθοδοι μη γραμμικής 5

ανάλυσης χρονοσειρών προσπαθούν με αριθμητικό τρόπο να ανακτήσουν μια συνάρτηση G η οποία από τις μετρήσεις θα ανακατασκευάζει μια προσέγγιση του φασικού χώρου d d R, G : R R όπου d η διάσταση του χώρου ανακατασκευής. Όταν η G είναι τοπολογικά συζυγής με την Μ τότε διατηρούνται αναλλοίωτα κάποια βασικά μεγέθη του αρχικού ελκυστή του αρχικού χώρου D. Φασικός χώρος ή χώρος κατάστασης: Για την παράσταση ενός δυναμικού συστήματος μιας ή περισσοτέρων, πιθανώς ανεξάρτητων μεταξύ τους αλλά χρονοεξαρτόμενων, μεταβλητών x 1, x 2, x 3,..., x n χρησιμοποιούμε ένα χώρο με συντεταγμένες τις x 1, x 2, x 3,..., x n και τις παραγώγους αυτών dx 1, dx 2, dx 3,, dx n. Ο εν λόγω χώρος καλείται φασικός χώρος. Φασική τροχία: Είναι η χρονική ακολουθία μιας τροχιάς στο φασικό χώρο, κάθε σημείο της οποίας ορίζεται από τις στιγμιαίες τιμές των x 1, x 2, x 3,..., x n, και των παραγώγων αυτών. Υπάρχουν δυναμικά συστήματα τα οποία, ξεκινώντας από ένα σημείο του φασικού χώρου (το οποίο λαμβάνεται και σαν αρχική συνθήκη του δυναμικού συστήματος), συγκλίνουν ύστερα από ορισμένο χρονικό διάστημα [που καλείται χρόνος μετάβασης (transient time)] σε διακεκριμένη περιοχή τροχιών. Ελκυστής: Η περιοχή του φασικού χώρου στην οποία συγκλίνουν οι φασικές τροχιές ενός δυναμικού συστήματος καλείται ελκυστής. Το σύνολο των σημείων ενός φασικού χώρου που αν ληφθούν σαν αρχικές συνθήκες, αποδίδουν σε ένα δυναμικό σύστημα τροχιές που συγκλίνουν σε έναν ελκυστή, καλείται λεκάνη έλξης (basin attraction). Αντίστοιχα είναι δυνατόν να αναγνωριστούν σε έναν φασικό χώρο υποπεριοχές του που απωθούν τις τροχιές ενός δυναμικού συστήματος. Η υποπεριοχές αυτές καλούνται αντίστοιχα απωθητές και τα υπερσύνολα που οδηγούν σε αυτές, λεκάνες απώθησης. Κάποιες παρατηρήσεις που αφορούν τα δυναμικά συστήματα γενικότερα υπό το πρίσμα των ανωτέρω εννοιών μπορούν να τεθούν ως κατωτέρω: Οι χρονοσειρές που 6

προέρχονται από περιοδικές διαδικασίες αποδίδουν κλειστές φασικές τροχιές. Οι χαοτικές χρονοσειρές δεν έχουν κλειστές φασικές τροχιές, παρά μόνο σε άπειρο χρόνο. Είναι προφανές λοιπόν ότι όταν ερευνούμε ένα δυναμικό σύστημα με ανάλυση πειραματικών χρονοσειρών θα πρέπει οπωσδήποτε να έχουμε απαλείψει από τις μετρήσεις τον χρόνο μετάβασης (transient time) έτσι ώστε η μέτρηση να γίνεται με το σύστημα σε ισορροπία και μόνιμη κατάσταση (αν, βέβαια, υπάρχει τέτοια). Στην περίπτωση όμως των βιολογικών συστημάτων αυτά είναι ήδη σε συνεχή λειτουργία από τη γέννησή τους και, άρα δεν ενδιαφέρει ο χρόνος μετάβασης. Υπάρχουν επίσης δύο άλλες σημαντικές παράμετροι που θα πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη μας, όταν μελετούμε με ανάλυση πειραματικών χρονοσειρών, διάφορα φυσικά συστήματα. Η πρώτη είναι η μονιμότητα (stationarity). Προκειμένου για μια πειραματική χρονοσειρά θεωρούμε ότι αυτή είναι μόνιμη υπό την ευρεία έννοια, όταν δεν μεταβάλλονται χρονικά οι στατιστικές της ιδιότητες. Έτσι η αυτοσυσχέτιση και η μέση τιμή παραμένουν σταθερές. Κατά συνέπεια ο πειραματικός υπολογισμός τους αποδίδει την ίδια τιμή τόσο σε ολόκληρη τη χρονοσειρά όσο και σε υποτμήματα αυτής. Βέβαια, στην πράξη ελάχιστες πειραματικές χρονοσειρές είναι στατικές, και αυτό διότι είναι πολλοί οι παράγοντες που επηρεάζουν τη μέτρηση αυτής και οι οποίοι δεν παραμένουν σταθεροί καθ όλη τη διάρκεια της μέτρησης - σε ένα βιολογικό σύστημα οι διάφορες μεταπτώσεις αυτού δεν είναι εύκολο να ελεγχθούν. Για παράδειγμα κατά τη μέτρηση ενός ΗΚΓ ασθενούς, κανείς δεν μπορεί να διασφαλίσει το γεγονός ότι η ψυχολογία του ασθενούς θα είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια της μέτρησης, και είναι γνωστή η επίδραση της ψυχολογίας στην καρδιακή συχνότητα μέσω του παρασυμπαθητικού νευρικού συστήματος. Έτσι κατά τη διαδικασία της μέτρησης μιας πειραματικής χρονοσειράς φροντίζουμε να εξασφαλίζουμε τη μέγιστη δυνατή μονιμότητα. Στην περίπτωση ενός ΗΚΓ προκειμένου να έχουμε καλή μέτρηση φροντίζουμε ο ασθενής να είναι σχετικά ήρεμος, σε ξαπλωμένη στάση και να αναπνέει κατά το δυνατόν σε τακτά χρονικά διαστήματα. Επίσης οι μετρήσεις καλό είναι να γίνονται την ίδια ώρα της ημέρας ώστε να αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο του κιρκαδιανού κύκλου. Έτσι εξασφαλίζεται η μέγιστη δυνατή μονιμότητα από πλευράς φυσιολογίας. Μια άλλη σημαντική παράμετρος είναι η εργοδικότητα (ergodicity). Η εργοδικότητα υπό την ευρεία έννοια ορίζεται ως η ιδιότητα κατά την οποία η χρονοσειρά αναπαριστά σε πεπερασμένο χρόνο όλες τις δυνατές καταστάσεις του υποκείμενου δυναμικού συστήματος ή 7

της υποκείμενης φυσικής διαδικασίας. Έτσι η εργοδική χρονοσειρά σε πεπερασμένο χρόνο θα επισκεφθεί όλες τις δυνατές καταστάσεις της διαδικασίας που την παράγει. Αυτή η ιδιότητα είναι ιδιαίτερα βασική προϋπόθεση για να προχωρήσουμε σε μελέτη πειραματικών χρονοσειρών. Με άλλα λόγια, η εργοδικότητα εξασφαλίζει ότι μια πεπερασμένη μέτρηση μεγέθους ενός δυναμικού συστήματος έχει καταγεγραμμένες όλες τις καταστάσεις και τα χαρακτηριστικά του δυναμικού συστήματος. Με προσεκτική ανάλυση, μια εργοδική χρονοσειρά (θεωρητικά πάντα) ανακατασκευάζει το πλήρες δυναμικό σύστημα, ή με άλλα λόγια εμπεριέχει όλη την πληροφορία της διαδικασίας που την παράγει. Θα πρέπει βέβαια η χρονοσειρά να έχει κάποιο αναγκαίο μήκος ώστε να δύναται να αναπαραστήσει το δυναμικό σύστημα και να αποδώσει όλη την πληροφορία. Αν η διαδικασία είναι εργοδική, τότε το αναγκαίο μήκος είναι πεπερασμένο. Βεβαίως, σε ό,τι αφορά πραγματικές μετρήσεις, είναι μεγάλη η δυσκολία για πολλές διαδοχικές μετρήσεις ώστε να ληφθεί χρονοσειρά μεγάλου μήκους. Ωστόσο αυτό αποτελεί, σχεδόν πάντοτε, τον στόχο, δηλαδή, η όσο το δυνατόν μεγαλύτερη καταγραφή. Στη γραμμική ανάλυση υπάρχουν τρόποι για να ελέγχει κανείς την εργοδικότητα στη μέση τιμή και στην αυτοσυσχέτιση. Αυτοί οι έλεγχοι αφορούν αποκλειστικά αυτά και μόνο τα μεγέθη και δεν είναι παραδεκτοί στη μη γραμμική δυναμική. Για την μη γραμμική ανάλυση πειραματικών χρονοσειρών, θα λέγαμε ότι η εργοδικότητα είναι μια μάλλον αξιωματική παραδοχή (null hypothesis). Θεωρούμε, δηλαδή, ότι μια χρονοσειρά αναπαραγάγει ένα δυναμικό σύστημα πλήρως και σε πεπερασμένο χρόνο περιγράφοντας όλα τα χαρακτηριστικά του δυναμικού συστήματος στην κατάσταση τουλάχιστον που γίνεται η μέτρηση. Πράγματι, αν μετρήσουμε τη συμπεριφορά μιας ροής σε θερμοκρασία 40 βαθμών Κέλσιου και διαγνώσουμε εργοδικότητα στη χρονοσειρά που θα προκύψει, εξασφαλίζουμε και την ισχύ των συμπερασμάτων μας και για την περίπτωση της ροής σε άλλη κατάσταση όπως για παράδειγμα σε θερμοκρασία 60 βαθμών. Βεβαίως η ανωτέρω άποψη είναι αισιόδοξη για πραγματικά συστήματα ιδίως τα βιολογικά, τα οποία ενίοτε μας ξαφνιάζουν καθώς η συμπεριφορά τους και η δυναμική τους μεταβάλλεται ξαφνικά και απροειδοποίητα. Εν τούτοις, πιστεύουμε ότι το να χαρακτηρίσει κανείς τη τρέχουσα κατάσταση ενός βιολογικού συστήματος δεν εγγυάται ότι τα συμπεράσματά του θα έχουν ισχύ και σε μελλοντικές καταστάσεις καθώς τα συστήματα συχνά υφίστανται μεταβάσεις που επηρεάζουν τη δυναμική τους συμπεριφορά. Σε μερικές περιπτώσεις η μετάβαση ενός βιολογικού συστήματος όπως το ανθρώπινο καρδιακό δυναμικό σύστημα από κατάσταση υγείας σε ασθένεια ή και σε πλήρη αποδιοργάνωση δύναται να συμβεί απροειδοποίητα και χωρίς προφανή αίτια (αιφνίδιος θάνατος). 8

1.2 Είδη πειραματικών χρονοσειρών Είδαμε ότι οι περισσότερες χρονοσειρές καταστρώνονται με άμεση μέτρηση ενός μεγέθους ισχυρά συζευγμένου με το υπό μελέτη δυναμικό σύστημα ή την υπό μελέτη διαδικασία. Συνήθως αυτές οι χρονοσειρές είναι μη μόνιμες με αποτέλεσμα την αλλοίωση των αποτελεσμάτων στη μελέτη τους. Τέτοιου είδους προβλήματα αίρονται με τον υπολογισμό της συνάρτησης των διαφορών. Έτσι αν η υπό μέτρηση χρονοσειρά είναι η ( n) [ x(1), x(2), x(3),..., x( N )], η προκύπτουσα θα είναι η Y( n) [( x(1) x(2)),( x(2) x(3)),...,( x( N 1) x( N ))]. Η νέα αυτή χρονοσειρά είναι συνήθως στάσιμη. Πολλές φορές όμως δεν μας εξυπηρετεί αυτός ο τρόπος. Η μέτρηση συχνά δεν είναι αναγκαίο να γίνει σε τακτά χρονικά διαστήματα αλλά μόνο σε περιπτώσεις που το σύστημα παίρνει κάποια μορφή. Έτσι οι διαδοχικές μετρήσεις δεν γίνονται ισόχρονα αλλά αυθαίρετα οποτεδήποτε το σύστημα παίρνει συγκεκριμένη μορφή ή αποδίδει κάποια έξοδο. Αυτές οι χρονοσειρές είναι γνωστές ως spike trains. Μια παραλλαγή των spike trains είναι και οι R-R RV χρονοσειρές που μας ενδιαφέρουν εδώ. Σε αυτές τις χρονοσειρές μας ενδιαφέρει μόνο ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές εκδηλώσεις φαινόμενου (στην περίπτωσή μας, της καρδιακής συστολής). Ανάλογα με το είδος των χρονοσειρών γίνεται και η ανάλυσή τους. Πέρα όμως από το είδος το βασικό ερώτημα παραμένει: έχοντας μια χρονοσειρά, πώς θα βρούμε πληροφορίες για κάποιο υποκείμενο (αν υπάρχει τέτοιο) δυναμικό σύστημα; Την απάντηση σ αυτό το ερώτημα πραγματευόμαστε παρακάτω. 1.3 Η Δυναμική της Χρονοσειράς Θεωρούμε μια μονοδιάστατη χρονοσειρά: ( n) [ x(1), x(2), x(3),..., x( N )], που αναπαριστά διαδοχικές μετρήσεις ενός μετρήσιμου μεγέθους, ισχυρά συζευγμένου με την εξέλιξη ενός δυναμικού συστήματος. Το πραγματικό δυναμικό σύστημα εκφράζεται ως: 9

t s f ( s (0)), όπου st () άνυσμα μεταβλητών του συστήματος διάστασης d, t f απεικόνιση t από το s(0) στο st (), f : M M, t : συνεχής ή διακριτός χρόνος. Αν ο χρόνος είναι διακριτός τότε ισχύει: t n s, όπου n και s ο χρόνος δειγματοληψίας. Το σύνολο των σημείων της τροχιάς st () στην πολλαπλότητα Μ σχηματίζουν τον ελκυστή που αν είναι χαοτικός έχει μορφοκλασματική διάσταση d. Η σχέση χρονοσειράς και δυναμικού συστήματος είναι x( t) h( s( t )), όπου h: η συνάρτηση μέτρησης h: M R. Μέσω της μέτρησης είναι γνωστή η χρονοσειρά Χ(n) και κατά συνέπεια οι μετρήσεις xt (), ενώ είναι άγνωστες οι t f, st (), h, d. Υποθέτοντας ότι έχουμε στη διάθεσή μας χρονοσειρά απείρου μήκους, χωρίς θόρυβο, τότε το ερώτημα που τίθεται είναι αν μπορούμε από τις μετρήσεις ( n) [ x(1), x(2), x(3),..., x( N )] να κατασκευάσουμε έναν ελκυστή Α που να έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον αρχικό ελκυστή Α. Ο Takens (θα αναφερθούμε εκτεταμένα στο θεώρημα του Takens παρακάτω) απέδειξε ότι υπάρχει πάντα μια γενόσημη (generic) συνάρτηση : m R που ορίζεται ως m 1 ( ) [ ( ), ( ( )),..., ( ( ))] s h s h f s h f s x και η οποία είναι εμβύθιση (embedding) όταν m 2[ d ] 1, δηλαδή υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ της αρχικής συνάρτησης f και της καινούριας F που καθορίζει την τροχιά των σημείων x στον Α. Ομοιομορφισμός είναι όταν η Φ είναι 1-1 και αμφισυνεχής, δηλαδή εκτός από την Φ που είναι συνεχής θα υπάρχει και η αντίστροφή της Φ, η οποία είναι επίσης συνεχής. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση δύο συναρτήσεων: g h όπου η g : R m R παράγει σημεία στο m R από τις μετρήσεις. Αργότερα οι Sauer et all έδειξαν ότι μπορεί να βρεθεί μια λεία συνάρτηση Φ και όχι απλώς γενόσημη και η οποία να αποτελεί εμβύθιση (embedding) για τον ελκυστή Α. Επίσης έδειξαν ότι η σχέση m 2[ d ] 1 είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία για να είναι η Φ εμβύθιση. Ας σημειώσουμε εδώ ότι μια συνάρτηση Φ καλείται γενόσημη όταν είναι λεία (άπειρα διαφορίσιμη) και όλα τα κρίσιμα σημεία x 0 αυτής είναι εκφυλισμένα. Κρίσιμο σημείο x 0 είναι εκείνο για το οποίο ισχύει D x 0, ενώ εκφυλισμένο είναι το σημείο x ' 0 0 για το 10

οποίο ισχύει D 2 0. Επίσης είναι γνωστό ότι κάθε λεία συνάρτηση προσεγγίζεται από x ' 0 μια γενόσημη. Η ουσιαστική διαφορά είναι ότι το σύνολο των γενόσημων συναρτήσεων είναι διατεταγμένο και κατά συνέπεια η προσέγγιση με γενόσημη συνάρτηση γίνεται χρησιμοποιώντας γνωστές συναρτήσεις. Επίσης θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ του όρου εμβύθιση (embedding) και του όρου εμβάπτιση (immersion). Οι όροι αυτοί προέρχονται από την διαφορική τοπολογία. Ο όρος εμβύθιση είναι η 1-1 και αμφιδιαφόριση αντιστοιχία μιας διαφορικής πολλαπλότητας σε μια άλλη. Αυτό σημαίνει ότι εάν μπορεί να βρεθεί μια γενόσημη συνάρτηση η οποία να αποτελεί εμβύθιση τότε μπορεί να προσεγγιστεί και η αντίστροφή της. Αντίθετα, ο όρος εμβάπτιση εκφράζει μια απεικόνιση, όχι απαραίτητα αμφιδιαφόριση, της μιας πολλαπλότητας σε μια άλλη. Ένα καλό παράδειγμα για την κατανόηση των εννοιών αυτών είναι η θεώρηση μιας συμπαγούς πολλαπλότητας όπως ένας τόρος. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εμβυθίσουμε το 1 1 S S. Αυτό μπορεί να γίνει θεωρώντας τη συνάρτηση:, δηλαδή μια ευθεία, σε ένα τόρο, δηλαδή στο σύνολο iax ibx f : x f ( x) ( e, e ) S S a, b a, b 1 1 Με τη συνάρτηση f ab, απεικονίζουμε κάθε σημείο των πραγματικών αριθμών στα σημεία iax ibx ( e, e ) του τα οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαρίστανται πάνω σε μια συμπαγή πολλαπλότητα όπως ο τόρος. Αυτή η απεικόνιση έχει κάποιες βασικές ιδιότητες: 1. Αποτελεί εμβάπτιση καθώς απεικονίζεται ένα σύνολο (το ) διάστασης 1 σε ένα 1 1 άλλο το οποίο είναι μεγαλύτερης διάστασης S S Αν a b άρρητος τότε η f ab, είναι 1-1 και αποτελεί ένριψη (injection). Το σύνολο f ab, ( ) είναι πυκνό στο 1 1 S S. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Kronecker που αναφέρει ότι τα κλασματικά μέρη των αρρήτων είναι πυκνά στο διάστημα [0,1]. Δεδομένου ότι ένας τόρος μπορεί να προκύψει από ένα τετράγωνο {(0,0), (0,1), (1,1), (1,0)} το οποίο iax ibx διπλώνεται στις τέσσερις άκρες του, και δεδομένου ότι οι εικόνες των e, e ανήκουν στο διάστημα [0,1] είναι προφανές ότι η τροχιά που θα διαγράφεται από την απεικόνιση f ab, του στο 1 1 S S θα αποδώσει ένα πυκνό σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο της εικόνας fab, ( ) δε θα υπάρχουν σημεία της πολλαπλότητας 1 1 S S που να μην ανήκουν στην εικόνα f ab, ( ). Κατά συνέπεια, η εικόνα f ab, ( ) δεν είναι κανονική 11

υποπολλαπλότητα του torus και η απεικόνιση με a b άρρητο δεν αποτελεί εμβύθιση καθώς το δεν απεικονίζεται με αμφιδιαφόρηση σε υποπολλαπλότητα. Έτσι αποτελεί απλώς ένριψη. Βεβαίως είναι λεία 2 πολλαπλότητα της μέγιστης τροχιάς ενός ανυσματικού πεδίου επί του 1 1 S S. 12

Χαοτικά Δυναμικά Συστήματα 2.1 Εισαγωγή- Η εμφάνιση του χάους Το «φαινόμενο της πεταλούδας» έχει γίνει ένα δημοφιλές σλόγκαν του χάους. Αλλά προκαλεί τόσο μεγάλη έκπληξη το γεγονός ότι μικρές λεπτομέρειες έχουν συχνά μεγάλο αντίκτυπο; Μερικές φορές η παροιμιώδης λεπτομέρεια είναι αυτό που κάνει τη διαφορά μεταξύ ενός κόσμου με πεταλούδα και ενός άλλου που είναι ακριβώς όπως και ο πρώτος με τη διαφορά ότι δεν υπάρχει πεταλούδα. Σαν αποτέλεσμα αυτής της μικρής λεπτομέρειας, οι δύο αυτοί κόσμοι διαφέρουν δραματικά ο ένας με τον άλλο. Η μαθηματική εκδοχή αυτής της έννοιας λέγεται ευαίσθητη εξάρτηση (από τις αρχικές συνθήκες). Τα χαοτικά συστήματα όχι μόνο χαρακτηρίζονται από ευαίσθητη εξάρτηση αλλά και από άλλες δύο ιδιότητες: είναι ντετερμινιστικά και μη-γραμμικά. Το χάος είναι σημαντικό, εν μέρει, επειδή μας βοηθάει να αντιμετωπίσουμε ασταθή συστήματα βελτιώνοντας την ικανότητά μας να τα περιγράψουμε και να τα κατανοήσουμε, ίσως και να τα προβλέψουμε. Πράγματι, ένας από τους μύθους του χάους που θα απομυθοποιήσουμε είναι το ότι το χάος κάνει την πρόβλεψη ένα άχρηστο καθήκον. (Σε κάποια διαφορετική αλλά εξίσου δημοφιλή ιστορία με αυτή της πεταλούδας, υπάρχει ένας κόσμος όπου μια πεταλούδα πετάει και ένας άλλος κόσμος όπου αυτό δε συμβαίνει.) Παντού υπάρχουν προειδοποιήσεις του χάους. Δεν ψάχνουμε να εξηγήσουμε το σπόρο της αστάθειας με το χάος, αλλά περισσότερο να περιγράψουμε την ανάπτυξη της αβεβαιότητας αφού ο αρχικός σπόρος έχει μπει. Η μελέτη του χάους είναι συνηθισμένη στις εφαρμοσμένες επιστήμες όπως η αστρονομία, η μετεωρολογία, η βιολογία και η οικονομία, όπως και η μελέτη σφαλμάτων: όταν κάνουμε μια παρατήρηση, η μέτρηση δεν είναι ποτέ ακριβής με τη μαθηματική έννοια, οπότε υπάρχει πάντοτε κάποια αβεβαιότητα. Οι επιστήμονες συχνά λένε ότι οποιαδήποτε αβεβαιότητα σε κάποια παρατήρηση οφείλεται στο θόρυβο, χωρίς όμως να ορίζεται πραγματικά ο θόρυβος εκτός του ότι επισκιάζει τη γνώση μας σε οτιδήποτε επιχειρούμε να μετρήσουμε. Ο θόρυβος γεννά την αβεβαιότητα στην 13

παρατήρηση, το χάος μας βοηθά να κατανοήσουμε πώς μικρές αβεβαιότητες μπορούν να εξελιχθούν σε μεγάλες, εφόσον έχουμε ένα μοντέλο για το θόρυβο. Η μη-γραμμικότητα περιγράφεται από το τι δεν είναι (δεν είναι γραμμικό). Αυτού του είδους ο ορισμός προκαλεί σύγχυση. Η βασική ιδέα που κάποιος θα πρέπει να έχει στο μυαλό είναι ότι ένα μη-γραμμικό σύστημα θα έχει δυσανάλογη απόκριση: το αντίκτυπο της πρόσθεσης και δεύτερου άχυρου στην πλάτη μιας καμήλας μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο ή μικρότερο από το αντίκτυπο που έχει το πρώτο άχυρο. Τα γραμμικά συστήματα πάντα συμπεριφέρονται αναλογικά. Τα μη-γραμμικά όχι, δίνοντας στη μη-γραμμικότητα ένα κρίσιμο ρόλο στην προέλευση της ευαίσθητης εξάρτησης. Το χάος είναι μια ιδιότητα των δυναμικών συστημάτων. Και ένα δυναμικό σύστημα δεν είναι τίποτα παραπάνω από μια πηγή μεταβαλλόμενων παρατηρήσεων. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία διαφορετικά είδη δυναμικών συστημάτων. Το χάος ορίζεται πιο εύκολα σε μαθηματικά δυναμικά συστήματα. Αυτά τα συστήματα τηρούν ένα κανόνα: εισάγεις έναν αριθμό και λαμβάνεις κάποιον άλλο, τον οποίο ξαναεισάγεις για να πάρεις έναν άλλο κ.ο.κ.. Η διαδιακασία αυτή ονομάζεται επανάληψη. Ένας δέυτερος τύπος δυναμικού συστήματος βρίσκεται στον εμπειρικό κόσμο του φυσικού, του βιολόγου ή του μετόχου. Εδώ, η ακολουθία των παρατηρήσεών μας αποτελείται από μετρήσεις που εμπεριέχουν θόρυβο. Υπάρχει και ένας τρίτος κόσμος δυναμικών συστημάτων είναι οι εξομοιώσεις σε υπολογιστές. Συνήθως υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι συμπεριφοράς σε χρονοσειρές. Μπορούν (1) να ακινητοποιηθούν και λίγο πολύ να επαναλάβουν το ίδιο μοτίβο ξανά και ξανά, (2) να αναπηδήσουν γύρω από ένα κλειστό βρόχο σαν ένα χαλασμένο δίσκο, επαναλαμβάνοντας περιοδικά το ίδιο μοτίβο ακριβώς οι ίδιες σειρές αριθμών ξανά και ξανά, (3) μετακίνηση σε βρόχο που έχει παραπάνω από μια περίοδο και επομένως δεν επαναλαμβάνει ακριβώς αλλά περίπου, ή (4) συνεχής μετακίνηση άγρια ή ήρεμα χωρίς κάποιο ιδιαίτερο μοτίβο. Ο τέταρτος τύπος φαίνεται τυχαίος αλλά δεν είναι ακριβώς έτσι. Το χάος μπορεί να φαίνεται τυχαίο αλλά δεν είναι. Το χάος περιγράφει ένα σύστημα το οποίο είναι προβλέψιμο θεωρητικά, αλλά απρόβλεπτο πρακτικά. Με άλλα λόγια, παρόλο που το σύστημα ακολουθεί ντετερμινιστικούς κανόνες, η εξέλιξή του στο χρόνο είναι τυχαία. 14

Στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων, ο όρος χάος χρησιμοποιείται σε ντετερμινιστικά συστήματα που είναι μη περιοδικά και που παρουσιάζουν ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Ευαισθησία σημαίνει πως μια μικρή αλλαγή στην αρχική κατάσταση θα οδηγήσει σε προοδευτικά μεγαλύτερες αλλαγές στις επόμενες καταστάσεις του συστήματος. Επειδή οι αρχικές καταστάσεις είναι σπανίως γνωστές σε συστήματα πραγματικού χρόνου, η δυνατότητα πρόβλεψης είναι περιορισμένη. Η έννοια του χάους έχει χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πώς συστήματα που θα έπρεπε να υπόκεινται σε γνωστούς νόμους της φυσικής, όπως ο καιρός, μπορεί να είναι προβλέψιμοι για σύντομο χρονικό διάστημα, αλλά προφανώς είναι τυχαίοι για περισσότερο χρόνο. Το χάος παρατηρείται σε ελεγχόμενα πειράματα σε εργαστήρια. Τα ηλεκτρικά κυκλώματα και οι αναλογικοί υπολογιστές ήταν κάποια από τα πρώτα παραδείγματα, ίσως λόγω της πιστότητας των ντετερμινιστικών μοντέλων σε αυτά τα συστήματα. Οι χημικές αντιδράσεις, τα οπτικά συστήματα όπως τα lasers έχουν επίσης σχεδιαστεί για να εκθέσουν χαοτικά δυναμικά. Σημειώνουμε πως τα χαοτικά δυναμικά, εξ ορισμού, έχουν τις εξής τρεις ιδιότητες: είναι ντετερμινιστικά, οριοθετούνται και είναι μη περιοδικά. Ο ντετερμινισμός περιγράφεται ως η δυνατότητα πρόβλεψης του μέλλοντος από το παρελθόν: βραχυπρόθεσμο σφάλμα πρόβλεψης. Η οριοθέτηση είναι απλά ένα δυαδικό αμετάβλητο μέτρο. Τέλος, το μη περιοδικό μπορεί να υπολογισθεί από τον κυρίαρχο εκθέτη του Lyapunov. Επομένως, ένα οριοθετημένο σύστημα με ντετερμινιστικά δυναμικά και θετικό εκθέτη Lyapunov είναι χαοτικό. 2.2 Διαστάσεις Τα τελευταία χρόνια, έχει καταβληθεί μεγάλη προσπάθεια στον καθορισμό του αριθμού των βαθμών ελευθερίας ενός συστήματος υπολογίζοντας τις διαστάσεις. Αυτή η προσπάθεια δικαιολογείται από την εξής παρατήρηση: με τη θέσπιση χαμηλών διαστάσεων ντετερμινιστικών δυναμικών αποδεικνύεται η ύπαρξη ενός μοντέλου με λίγους βαθμούς ελευθερίας. Πρακτικά, μπορεί να είναι ευκολότερο να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο μοντέλο από τα δεδομένα μας, παρά να εξασφαλίσουμε μια αξιόπιστη εκτίμηση διάστασης απευθείας. Κάποιες από τις δυσκολίες στην εξασφάλιση καλών εκτιμήσεων περιγράφονται 15

πιο κάτω. Γενικά, οποιαδήποτε εκτίμηση θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με καχυποψία όταν δεν περιγράφεται προσεκτικά η αβεβαιότητα. Ο Poincaré παρέχει μια καλή περιγραφή του τι αποτελεί μια «διάσταση», αναπτύσσοντας τη διαισθητική ιδέα της διάστασης επαγωγικά, με την έννοια των «τεμαχίων». Η τοπολογική διάσταση ενός συνόλου είναι κατά ένα μεγαλύτερη από την τοπολογική διάσταση του συνόλου που το ορίζει. Εδώ τα τεμάχια αντιπροσωπεύουν σύνολα που μπορεί να διαιρέσουν το υπό εξέταση σύνολο σε ασύνδετα κομμάτια. Ας υποθέσουμε ότι τα απομονωμένα σημεία έχουν τοπολογική διάσταση μηδέν. Οποιοδήποτε κομμάτι μιας καμπύλης απομονώνεται (ορίζεται) όταν κόβεται από δύο σημεία, επομένως μια γραμμή έχει διάσταση ένα. Μια επιφάνεια μπορεί να αποκοπεί χρησιμοποιώντας μια καμπύλη (διάσταση ένα) και άρα έχει διάσταση δύο κ.ό.κ.. Παρακάτω, θα κάνουμε μια αναφορά στο κουτί διαμέτρηση της μορφοκλασματικής διάστασης (box counting dimension), d 0, ενώ θα περιγράψουμε εκτενέστερα τη διάσταση συσχέτισης, d 2. To d 0 ορίζεται πιο εύκολα ως η παραλλαγή του αριθμού των κύβων που απαιτούνται στην κάλυψη ενός συνόλου σε συνάρτηση της διαμέτρου των κύβων. Η διάσταση συσχέτισης d 2 αντικατοπτρίζει πώς η πιθανότητα της απόστασης δύο τυχαία επιλεγμένων σημείων να είναι μικρότερη του l ποικίλει, ως συνάρτηση του l. Θεωρούμε ένα μεγάλο σύνολο σημείων κατανεμημένο σε ένα κύκλο, ο οποίος κύκλος είναι ενσωματωμένος σε ένα τρισδιάστατο χώρο. Αν επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε σημείο και αναρωτηθούμε πώς, για μια αρκετά μικρή απόσταση l, ο αριθμός των σημείων 1 που απέχουν l μεταξύ τους μεταβάλλεται σε σχέση με το l, θα βρούμε το N 2l, αν το 2 «μεγάλο» σύνολο είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα σε κυκλικό δίσκο, τότε είναι N l, εφόσον το επιλεγμένο σημείο δεν είναι στην άκρη του δίσκου. Τέτοιες απεικονίσεις υποστηρίζουν ότι η διαίσθησή μας σχετικά με την έννοια της διάστασης (1 για τον κύκλο, 2 για τον κυκλικό δίσκο) αντικατοπτρίζεται από τη συμπεριφορά του νόμου της δύναμης του N(l). Παρακάτω, μελετάται πιο αναλυτικά η διάσταση συσχέτισης καθώς και αλγόριθμοι υπολογισμού της. 2.3 Διάσταση Συσχέτισης Η διάσταση συσχέτισης δεν είναι τίποτα παραπάνω από μια επέκταση της συνηθισμένης έννοιας της διάστασης σε αντικείμενα με μορφοκλασματική (fractional) 16

διάσταση. Ένα σημείο έχει διάσταση μηδέν και μια γραμμή έχει διάσταση ένα. Οπότε, ένα αντικείμενο με διάσταση μεταξύ του ενός και της μονάδας είναι κάπου μεταξύ ενός σημείου και μιας γραμμής. Ομοίως, ένα γεμάτο τετράγωνο είναι δισδιάστατο και ένας κύβος είναι τρισδιάστατος. Επομένως, μια διάσταση μεταξύ του δύο και τρία, θα μπορούσε να αναπαριστά ένα αντικείμενο που καταλαμβάνει περισσότερο χώρο από ένα επίπεδο και λιγότερο από μια σφαίρα. Στην Εικόνα 2.1 Το σύνολο του Cantor παραπάνω εικόνα, απεικονίζεται το σύνολο του Cantor με διάσταση log2/log3. Παρόλο που το σύνολο αυτό έχει μη ακέραια διάσταση, αναπαρίσταται ως ένα υποσύνολο της διάστασης του αμέσως επόμενου μεγαλύτερου ακεραίου, αναπαρίσταται δηλαδή ως υποσύνολο μιας γραμμής. Η διάστασή του είναι μορφοκλασματική, δηλαδή μη ακέραιο μέτρο της μη κανονικότητας ή της πολυπλοκότητας του συστήματος. Παρόλ αυτά, το σύνολο αυτό δεν υπαινίσσεται την ύπαρξη ντετερμινιστικών δυναμικών στο χρόνο και γι αυτό δε σχετίζεται απ ευθείας με χρονοσειρές ή με το χάος. Για να εξάγουμε συγκρίσιμα αντικείμενα από χρονικά δυναμικά, θεωρούμε το οριακό σύνολο ενός ντετερμινιστικού δυναμικού συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι σχεδιάζουμε το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες οποιαδήποτε σχεδόν- τροχιά μπορεί να συγκλίνει. Μαθηματικά, το οριακό σύνολο είναι το σύνολο των σημείων α Α έτσι ώστε x0 M / και 0, d 0 τέτοιο ώστε x A : min x A. Με τον ορισμό αυτό, το d a A d Ε είναι ένα σύνολο με μέτρο μηδέν (δηλ. ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων) το οποίο αποκλείουμε. Αυτά τα σημεία συμπεριλαμβάνουν ασταθείς περιοδικές τροχιές και άλλες ασταθείς ισορροπίες. Αν αυτό το οριακό σύνολο Α είναι πεπερασμένο τότε ονομάζεται ελκυστής. Ένας παράξενος ελκυστής είναι αυτός με μορφοκλασματική διάσταση. 17

Για ένα χαοτικό δυναμικό σύστημα, ο αντίστοιχος ελκυστής μπορεί να είναι μορφοκλασματικός (όπως ένας παράξενος ελκυστής). Παρόλ αυτά υπάρχουν προφανή αντιπαραδείγματα: ο λογιστικός χάρτης (logistic map) δεν έχει μορφοκλασματικό ελκυστή. Παράξενοι μη χαοτικοί ελκυστές μπορούν επίσης να συμβούν σε συστήματα με περιοδικότητα. Εναλλακτικά, ας αναλογιστούμε το επόμενο μη γραμμικό, αλλά στοχαστικό σύστημα: δεν είναι χαοτικό, όμως έχει να επιδείξει έναν παράξενο ελκυστή. Έστω a, b, c 2 R και ορίζουμε: 1 1 g1( x) x a 1, 2 2 1 1 g2( x) x a 2, 2 2 1 1 g3( x) x a 3 2 2 (2.1) 1 Τότε ο στοχαστικός χάρτης που ορίζεται από το Pr ob( xn 1 gi( x n)) για i 1,2,3 3 παρουσιάζει έναν παράξενο ελκυστή (όπως ορίστηκε παραπάνω). Ο ελκυστής αυτός φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 2.2 Το τρίγωνο του Sierpinski Επομένως, ένας μορφοκλασματικός ελκυστής δεν είναι ούτε ισχυρή συνθήκη για την ύπαρξη χάους ούτε αναγκαία. Παρόλ αυτά, οι χαοτικές χρονοσειρές πολύ συχνά θα έχουν αποτέλεσμα ελκυστές με μορφοκλασματική διάσταση συσχέτισης και αντιστρόφως, συστήματα με μορφοκλασματικούς ελκυστές είναι πολύ συχνά χαοτικά. Επομένως, η μορφοκλασματική διάσταση συσχέτισης είναι μια χρήσιμη, αλλά σε καμία περίπτωση δεσμευτική, ένδειξη ύπαρξης χάους. 18

Κατά μία έννοια, η διάσταση συσχέτισης παρέχει μια ένδειξη του τι ένα σύστημα δεν είναι. Ο θόρυβος έχει άπειρη διάσταση συσχέτισης και επομένως θα επεκταθεί για να συμπληρώσει οποιοδήποτε ενσωματωμένο χώρο (ο θόρυβος έχει διάσταση συσχέτισης ίση με το ενσωματωμένο χώρο). Από την άλλη, τα περιοδικά συστήματα έχουν ακέραια διάσταση. Ως εκ τούτου, μια πεπερασμένη (δηλ. αρκετά χαμηλότερη από την ενσωματωμένη διάσταση) και μη ακέραια διάσταση συσχέτισης είναι ενδείξεις ότι το υποκείμενο σύστημα δεν κυριαρχείται ούτε από θόρυβο ούτε από περιοδική τροχιά. Τώρα, ας αναλογιστούμε πώς ακριβώς αποδίδουμε μια μορφοκλασματική διάσταση συσχέτισης σε ένα αντικείμενο. Ας αρχίσουμε με μια ακέραια διάσταση d Z. Προφανώς, d V L (2.2) όπου V είναι μέτρηση του «όγκου» (δηλ. μήκος, επιφάνεια, όγκος) ενός αντικειμένου και L είναι μια κατάλληλη κλίμακα μήκους. Για d=1 είναι φανερό πως μιλάμε για μήκος του αντικειμένου. Στις δύο διαστάσεις, ο «όγκος» ενός αντικειμένου είναι η επιφάνεια και η παραπάνω σχέση ισχύει. Η επέκταση αυτής της σχέσης σε όγκο και υπερ-όγκο (τέσσερις διαστάσεις) επίσης ισχύει. Οπότε, για d 0 θέλουμε να ορίσουμε τη διάσταση συσχέτισης ενός αντικειμένου ώστε η παραπάνω σχέση να ισχύει. Με άλλα λόγια: d log V / log L (2.3) Για διάσταση συσχέτισης, ορίζουμε την αναπόσπαστη συσχέτιση C(ε) ενός ελκυστή Α ως εξής: C( ) Pr ob( x y x, y A ) (2.4) Επομένως, έχουμε μια κλίμακα μήκους ε και μέτρηση όγκου C(ε). Για να δούμε ότι η παραπάνω εξίσωση παρέχει μέτρηση όγκου που μας επιτρέπει να επεκτείνουμε την πιο πάνω, ας αναλογιστούμε την επίδραση του C(ε) για σημεία σε μια γραμμή στο χώρο. Προφανώς τότε C(ε) ε. Ομοίως, για ένα σημείο στο χώρο C(ε) ε 2 και στον τρισδιάστατο χώρο, C(ε) ε 3. Οπότε ορίζουμε τη διάσταση συσχέτισης d c ως εξής: d c log C( ) lim 0 log (2.5) 19

2.4 Μορφοκλασματικές (fractal) Διαστάσεις Ένα γεωμετρικό αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί πλήρως από ένα σύνολο σημείων στον ευκλείδειο χώρο m δεδομένου ότι το m είναι αρκετά μεγάλο για να μπορεί μοναδικά να εντοπίσει τη θέση κάθε σημείου του αντικειμένου. Για κάθε σύνολο στο του έχει ανατεθεί μια τοπολογική διάσταση d που είναι ένας ακέραιος στο εύρος [0, m]. Αν το σύνολο είναι όλο το m, τότε d = m. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τα σημεία έχουν διάσταση d = 0, οι γραμμές έχουν διάσταση d = 1, οι επίπεδες επιφάνειες έχουν διάσταση d = 2, τα στερεά d = 3, κ.ο.κ.. Μια φράκταλ διάσταση D είναι οποιαδήποτε διάσταση μέτρησης που επιτρέπει μη ακέραιες τιμές. Ένα φράκταλ είναι ένα σύνολο με μη ακέραια φράκταλ διάσταση. Τα σταθερά αντικείμενα στην ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι φράκταλ αλλά έχουν ακέραιες φράκταλ διαστάσεις D = d. Η μεγαλύτερη σημασία των φράκταλς στα δυναμικά συστήματα είναι ότι οι παράξενοι ελκυστές είναι φράκταλς και ότι η φράκταλ διάστασή τους D σχετίζεται με τον ελάχιστο αριθμό των δυναμικών μεταβλητών που χρειάζονται για να μοντελοποιήσουν τα δυναμικά ενός παράξενου ελκυστή. Ο πιο απλός τρόπος για να μετρήσει κάποιος τη διάσταση ενός συνόλου είναι να μετρήσει την Kolmogorov χωρητικότητα (ή διάσταση «μέτρησης κουτιού»). Σε αυτή τη μέτρηση ένα σύνολο καλύπτεται από μικρά κελιά (π.χ. τετράγωνα για σύνολα που είναι ενσωματωμένα σε δύο διαστάσεις, κύβοι για σύνολα που είναι ενσωματωμένα σε τρεις) μεγέθους ε. Έστω Μ(ε) ο αριθμός τέτοιων κελιών που περιέχουν μέρος του συνόλου. Η διάσταση τότε ορίζεται ως m D lim 0 log( M ( )) 1 log( ) (2.6) Για n απομονωμένα σημεία, Μ(ε)=n και D=0 για μια ευθεία γραμμή μήκους L, Μ(ε)=L/ε και D=1 για μια επίπεδη επιφάνεια εμβαδού Α, Μ(ε)=Α/ε 2 και D=2. Πρακτικά, το όριο ε δεν προσεγγίζεται. Αντίθετα, ο αριθμός Μ(ε) υπολογίζεται για ένα εύρος μικρών τιμών ε και η διάσταση D υπολογίζεται ως η κλήση ευθείας γραμμής του log(m(ε)) με το log(1/ε). 20

2.5 Υπολογισμός της Διάστασης Συσχέτισης Προηγουμένως, έγινε μια εισαγωγή στη διάσταση συσχέτισης χωρίς όμως να διευκρινιστούν προβλήματα σχετικά με τον υπολογισμό της διάστασης συσχέτισης από τα δεδομένα. Είμαστε συνηθισμένοι στο να σκεφτόμαστε τα αντικείμενα του πραγματικού κόσμου ως μονοδιάστατα, δισδιάστατα ή τρισδιάστατα. Παρόλ αυτά, όπως έχουμε δει, τα μορφοκλασματικά αντικείμενα (fractals) έχουν μη ακέραια διάσταση, τη λεγόμενη μορφοκλασματική διάσταση. Πολλά φαινόμενα του πραγματικού κόσμου, ειδικά χαοτικά δυναμικά συστήματα, μπορεί να παρατηρηθεί πως έχουν τις ιδιότητες ενός φράκταλ, συμπεριλαμβανομένης και της μη-ακέραιας διάστασης. Πολλές εφαρμογές της διάστασης συσχέτισης σε δεδομένα που προήλθαν από πειράματα έχουν κάνει χρήση του αλγορίθμου των Grassberger & Procaccia. Τελευταία, ο αλγόριθμος αυτός δεν τυγχάνει της ίδιας υπόληψης καθώς έχει χρησιμοποιηθεί σε μεγάλο βαθμό από τους ερευνητές κατά την επιδίωξη της «απόδειξης» της ύπαρξης του χάους σε συγκεκριμένο σύστημα. Σε πολλές περιπτώσεις, αυτή η κατάχρηση του αλγορίθμου της διάστασης συσχέτισης των Grassberger & Procaccia, δεν είναι τίποτε άλλο από μια ελαφρώς πρόωρη διακήρυξη της ύπαρξης του χάους. Ένα ατυχές χαρακτηριστικό της τεχνικής των Grassberger & Procaccia είναι ότι υποθέτει ότι τα δεδομένα έχουν προέλθει από έναν ελκυστή πεπερασμένων διαστάσεων και στη συνέχεια προσπαθεί να καθορίσει τη διάστασή του. Επομένως, αναμένεται σχεδόν πάντα να βρεθεί μια πεπερασμένη μορφοκλασματική διάσταση συσχέτισης από το συγκεκριμένο αλγόριθμο. Πλέον όμως, υπάρχει μια αυξημένη ευαισθητοποίηση των παγίδων του αλγορίθμου και μια επιθυμία για εύρεση και εφαρμογή πιο εύρωστων μεθόδων. Στο κεφάλαιο αυτό, εκτός από την αναλυτική περιγραφή του αλγορίθμου των Grassberger & Procaccia, θα παραθέσουμε και δύο νεότερους αλγορίθμους. Παρόλο που τεχνικά είναι πιο πολύπλοκοι, στην πράξη είναι πιο αξιόπιστοι και δεν αφήνουν αμφιβολίες για παρερμήνευση. Βέβαια, και πάλι, τα αποτελέσματα θα πρέπει να ερμηνεύονται με μεγάλη προσοχή. Στο προηγούμενο κεφάλαιο, ορίσαμε τη διάσταση συσχέτισης γενικεύοντας την έννοια της ακέραιας διάστασης σε μορφοκλασματικά αντικείμενα με μη-ακέραια διάσταση. Όσον αφορά τις διαστάσεις ένα, δύο, τρία ή και παραπάνω μπορεί εύκολα να καθοριστεί και είναι προφανές διαισθητικά- ότι μια μέτρηση του όγκου V(ε) (όπως για παράδειγμα μήκος, -επιφάνεια, όγκος και υπερ-όγκος) ποικίλει ως εξής: 21

d V ( ) (2.7) όπου ε είναι κλίμακα μήκους (π.χ. το μήκος της μιας πλευράς του κύβου ή η ακτίνα μιας σφαίρας) και d είναι η διάσταση του αντικειμένου. Για ένα φράκταλ γενικά, είναι λογικό να υποθέσουμε πως μια εξίσωση όπως η παραπάνω είναι αληθής, όπου στην περίπτωση αυτή η διάστασή του δίνεται από d log V( ) log (2.8) και επομένως d log V ( ) lim 0 log (2.9) N Έστω ότι z t είναι μια ενσωματωμένη χρονοσειρά στο d e. Ορίζουμε τη συνάρτηση t 1 συσχέτισης, C N ( ), ως 1 N C ( ) I( z z ) N i j 2 0 i j N (2.10) Εδώ, το Ι(Χ) είναι συνάρτηση ένδειξης, η οποία, όπως και προηγουμένως, έχει τιμή 1 αν η συνθήκη Χ ικανοποιείται και 0 αν δεν ικανοποιείται, ενώ. είναι η συνήθης συνάρτηση απόστασης στο του z j. Αν τα σημεία d e. Το παραπάνω άθροισμα είναι ο αριθμός των σημείων σε απόσταση ε z i είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα σε ένα αντικείμενο, αυτό το άθροισμα είναι ανάλογο του όγκου της διατομής μιας σφαίρας ακτίνας ε και το C N ( ) είναι ανάλογο του μέσου όρου τέτοιων όγκων. Συγκρίνοντας με την εξίσωση 1 είναι αναμενόμενο ότι όπου c C ( ) d (2.11) N dc είναι η διάσταση του αντικειμένου. Η ενσωματωμένη συσχέτιση ορίζεται ως lim C ( ). Ορίζουμε τη διάσταση συσχέτισης d c ως N N d c log CN ( ) lim lim 0 N log (2.12) Η κανονικοποίηση του C N ( ) επιλέγεται έτσι ώστε αντί το C N ( ) να είναι εκτίμηση του αναμενόμενου αριθμού σημείων ενός αντικειμένου μέσα σε ακτίνα ε από ένα σημείο, είναι 22

εκτίμηση της πιθανότητας δύο τυχαία επιλεγμένων σημείων στο αντικείμενο απέχουν απόσταση ε μεταξύ τους. 2.6 Η Διάσταση του Ελκυστή Όπως είδαμε, τα χαοτικά συστήματα είναι ντετερμινιστικά συστήματα που περιορίζονται σε έναν ελκυστή. Οι τυχαίες διακυμάνσεις, εν αντιθέσει, δεν περιορίζονται σε μια επιφάνεια χαμηλής διάστασης, αλλά πληρούν τα κενά διαστήματα. Περιοδικές ή σχεδόν περιοδικές τροχιές πραγματοποιούνται σε επιφάνειες με διαστάσεις που χαρακτηρίζονται από ακέραιο αριθμό. Αν υπάρχει μοναδική περίοδος, η τροχιά είναι ένας σταθερός περιοριστικός κύκλος που συμβαίνει σε μια τροχιά μιας περιόδου. Αν υπάρχουν δύο περίοδοι που σχηματίζουν ένα ορθολογικό κλάσμα, τότε η τροχιά πραγματοποιείται στην επιφάνεια ενός μιας βάσης στήλης (torus-επιφάνεια δύο διαστάσεων) και επαναλαμβάνεται μετά από έναν ακέραιο αριθμό κύκλων. Αν οι δύο περίοδοι δε σχηματίζουν ένα ορθολογικό κλάσμα, ολόκληρη η επιφάνεια του torus θα συμπληρώνεται. Η τροχιά είναι παρόλ αυτά περιορισμένη σε σπειροειδή επιφάνεια δύο διαστάσεων και δεν είναι χαοτική αλλά σχεδόν περιοδική. Μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τον ελκυστή που αντιστοιχεί στη δραστηριότητα της κίνησης και να μετρήσουμε τη διάστασή του με σκοπό να φτάσουμε σε συμπεράσματα σχετικά με τα υποκείμενα δυναμικά του συστήματος. Οι μετρήσεις των διαστάσεων συχνά γίνονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των Grassberger & Procaccia. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως και δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα για συγκεκριμένους τύπους δεδομένων παρόλ αυτά μπορεί να δώσει παραπλανητικά αποτελέσματα για άλλους τύπους δεδομένων. Για παράδειγμα, οι Grassberger & Procaccia μπορεί να δώσουν παραπλανητικά αποτελέσματα όταν τα δεδομένα έχουν πολύ θόρυβο. Όταν η αναλογία σήματος προς θόρυβο (signal-to-noise ratio (SNR)) των δεδομένων είναι λιγότερο από 20 db, τότε οι Grassberger & Procaccia δεν δίνουν ακριβές αποτέλεσμα επειδή δεν υπάρχει μια καλώς ορισμένη περιοχή κλιμάκωσης στους υπολογισμούς μιας αναπόσπαστης συσχέτισης. Στο βιβλίο «Συμπεριφορές των Μηχανισμών στην Εξελικτική Οικολογία» (Behavioral Mechanisms in Evolutionary Ecology, Leslie A. Real, University of Chicago Press, 1994) γίνεται, μεταξύ άλλων, μελέτη σχετικά με τη συμπεριφορά που παρουσιάζουν οι κινήσεις των εντόμων. Για να υπολογιστεί η διάσταση του ελκυστή που δημιουργείται από τις δραστηριότητες των εντόμων, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των Τοπικών Φυσικών Διαστάσεων (Local Intrinsic 23

Dimensions-LID) του ediger. Η διαδικασία αυτή, όπως και των Grassberger & Procaccia, χρησιμοποιεί το θεώρημα του Takens (1981). Αν μια πολύπλοκη διαδικασία διέπεται από μια συλλογή διαφορικών εξισώσεων, τότε θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος μελετώντας αυτές τις εξισώσεις. Στην πράξη, μπορεί να έχουμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε μόνο μία μεταβλητή εξόδου. Το θεώρημα του Takens υποστηρίζει ότι μπορούμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες ενός ανακατασκευασμένου ελκυστή. Για οποιοδήποτε σημείο στο χρόνο Τ, τα σημεία Τ+t, T+2t,, T+(r-1)t συγκροτούν τις συντεταγμένες του σημείου σε χώρο r διαστάσεων. Κατά τον Takens, οι δυναμικές ιδιότητες ενός ανακατασκευασμένου ελκυστή είναι ίδιες με τις ιδιότητες του ελκυστή που έχουν προέλθει από άγνωστες υποκείμενες εξισώσεις. Τα αποτελέσματα του Θεωρήματος του Takens εφαρμόζονται σε έναν άπειρο αριθμό δεδομένων που είναι απαλλαγμένα από θόρυβο, οπότε ένα καλό ερώτημα είναι πόσα δεδομένα με θόρυβο είναι απαραίτητα για να μας παρέχουν καλές εκτιμήσεις. Η διάσταση θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 2m+1, όπου m είναι η εκτίμηση του ελκυστή, ώστε να βεβαιωθούμε ότι οι ιδιότητες του ελκυστή διατηρούνται (Takens 1981, Broomhead and King 1986). Αν χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο LID, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διάσταση ως τον αριθμό των ορθογώνιων κατευθύνσεων κατά μήκος τα δεδομένα είναι ταξινομημένα στην τοπική γειτονιά ενός τυχαία επιλεγμένου σημείου. Ο μέσος ενός αριθμού από τέτοια σημεία γύρω από τον ελκυστή είναι το LID που προαναφέραμε. Αν η ενσωματωμένη διάσταση είναι r, τότε παίρνουμε έναν αριθμό, n, των πλησιέστερων γειτόνων ενός τυχαία επιλεγμένου σημείου (το n είναι τυπικά τρεις φορές η ενσωματωμένη διάσταση r, Albano et al. 1988, ediger et al. 1990). Ο πίνακας συντεταγμένων των n σημείων σε r διαστάσεις συγκροτεί τον πίνακα δεδομένων, Μ. Οι ιδιοτιμές ενός τυποποιημένου πίνακα συνδιακύμανσης (Μ -1 Μ), σχετίζονται με το κλάσμα της παραλλαγής που συμβαίνει κατά μήκος των κύριων αξόνων, ουσιαστικά κάνουμε ανάλυση κύριων στοιχείων (Principal Component Analysis-PCA) των δεδομένων στους άξονες των σημείων στην τοπική γειτονιά ενός τυχαία επιλεγμένου σημείου. Η συμβολή των ediger et al. (1990) ήταν να χρησιμοποιηθεί ένα αποτέλεσμα από την επεξεργασία σήματος που κάνει χρήση ενός κριτηρίου της Θεωρίας της Πληροφορίας, το Ελάχιστο Μήκος Περιγραφής (Minimum Description Length-MDL, Wax and Kailath 1985), για να υπολογίσει με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανότητας, ποιοι από τους άξονες συνδέονται με το σήμα και ποιοι συνδέονται με το θόρυβο. Με άλλα λόγια, η ποικιλία κατά μήκος των πρώτων αξόνων σχετίζεται με τη διασπορά των δεδομένων γύρω από τον ελκυστή οι εναπομείναντες άξονες συνδέονται με τυχαία ποικιλία γύρω από τον ελκυστή. Το σημαντικό πλεονέκτημα της LID τεχνικής είναι 24

ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και όταν το SNR των συστημάτων είναι 5 db αυτό συμβαίνει όταν ο θόρυβος είναι 30 φορές περισσότερος απ όσο μπορεί να ανεχθεί το Θεώρημα των Grassberger-Procaccia. Η μέθοδος θα υπερεκτιμήσει την διάσταση του ελκυστή όταν το SNR υπερβεί τα 15 db, εφόσον η μέθοδος συμπεραίνει ότι οι περισσότεροι από τους άξονες είναι «πραγματικοί». 25

Αλγόριθμος Grassberger-Procaccia & το θεώρημα του Takens 3.1 Μετρώντας την ιδιομορφία των παράξενων ελκυστών Είναι ήδη αποδεκτό πως πολλά μη γραμμικά δυναμικά μοντέλα δεν προσεγγίζουν σταθερές ή περιοδικές καταστάσεις ασυμπτωτικά. Αντί αυτού, με κατάλληλες τιμές στις παραμέτρους του, τείνουν προς παράξενους ελκυστές στους οποίους η κίνηση είναι χαοτική, που σημαίνει όχι πολλαπλά περιοδική και απρόβλεπτη μακροχρόνια εξαιρετικά ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες. 3.2 Αλγόριθμος Grassberger-Procaccia Ο αλγόριθμος Grassberger-Procaccia βασίζεται στην ακόλουθη εκτίμηση: Η πιθανότητα 2 σημείων ενός συνόλου να είναι μέσα στο ίδιο κελί μεγέθους r είναι προσεγγιστικά ίση με την πιθανότητα 2 σημείων του συνόλου να διαχωρίζονται με απόσταση ρ που είναι μικρότερη ή ίση με r. Επομένως το C(r) δίνεται προσεγγιστικά από Cr () () s N i 1, j i ( r ( x, x )) 1 N( N 1) 2 1 s 0 0 s 0 i j Όπου Θ η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η προσέγγιση στο C(r) είναι ακριβής στο όριο N. Παρόλ αυτά, αυτό το όριο δε μπορεί να υλοποιηθεί σε πρακτικές εφαρμογές. Το όριο r 0 που χρησιμοποιείται στον ορισμό του D 2 επίσης δεν είναι πιθανό πρακτικά. Αντί αυτού, οι Procaccia και Grassberger προτείνουν την προσεγγιστική εκτίμηση του C(r) πάνω σε ένα εύρος τιμών r και μετά μειώνουν το D 2 προσαρμοζόμενης ευθείας γραμμής από την κλίση της καλύτερα 26

Ανακατασκευή του Φασικού Χώρου Θεωρία Εμβύθισης 3.3 Το θεώρημα του Takens Το θεώρημα του Takens μας λέει ότι η πληροφορία σχετικά με τις κρυμμένες καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος μπορεί να διατηρείται στην έξοδο μιας χρονοσειράς. Όντως, μια ποικιλία αλγορίθμων που εκτελούν πρόβλεψη χρονοσειράς και υπολογισμό της διάστασης του ελκυστή εκμεταλλεύονται το αποτέλεσμα του Takens. N Έστω ότι έχουμε ένα δυναμικό σύστημα με καταστάσεις xt () που εξελίσσονται μέσω μιας διαφορικής εξίσωσης x () x, όπου : N N αναπαριστά το πεδίο διανύσματος του δυναμικού συστήματος. Εδώ υποθέτουμε ότι το Ψ είναι μια λεία συνάρτηση, δηλαδή το πεδίο διανύσματος αλλάζει λεία με την τοποθεσία των καταστάσεων του συστήματος και μας ενδιαφέρουν συστήματα που περιορίζονται σε submanifold. Για να μπορούμε εύκολα να μιλήσουμε για καταστάσεις συστήματος x() t M σε μια δεδομένη στιγμή t, ορίζουμε τη συνάρτηση ροής G : M M Ας υποθέσουμε ότι το Μ είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα. Ένα δυναμικό σύστημα στο M μπορεί να αναπαρασταθεί από μια αμφιδιαφόρηση (diffeomorphism) : (διακριτός χρόνος) ή ένα ανυσματικό πεδίο Χ στο Μ (συνεχής χρόνος). Και στις δύο περιπτώσεις η χρονική εξέλιξη που αντιστοιχεί σε μία αρχική συνθήκη (θέση) x0 i σημειώνεται με t ( x 0). Στην περίπτωση του διακριτού χρόνου είναι i ( ), i N, ενώ στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου t R και t t ( x 0) είναι ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επάνω στο Χ αρκεί η καμπύλη να διέρχεται του x 0. M Το πρώτο πρόβλημα αφορά μια λεία συνάρτηση y: M και δύναται να διατυπωθεί ως εξής: Έστω ένα δυναμικό σύστημα με χρονική εξέλιξη t και γνωστές τις συναρτήσεις t y( t ( x )), x M. Αναζητείται τρόπος να λάβουμε πληροφορία για το πραγματικό δυναμικό σύστημα (και την πολλαπλότητα). Τα παρακάτω τρία θεωρήματα πραγματεύονται αυτό το ζήτημα. Θεώρημα 1: Έστω Μ μια συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης m. Για ζευγάρια (, y ), : όπου φ μια λεία αμφιδιαφόρηση και y: M λεία συνάρτηση, 27

μπορεί να προσεγγιστεί μία γενόσημη απεικόνιση : 2m 1 (, y) M R που ορίζεται από 2m (, y) ( x) ( y( x), y( ( x)),..., y( ( x ))) και η οποία να αποτελεί μια εμβύθιση. Με τον όρο λεία εδώ, εννοούμε τουλάχιστον C 2, δηλαδή δύο φορές διαφορίσιμη. Θεώρημα 2: Ας υποθέσουμε ότι Μ είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης m. Αν X ένα λείο ανυσματικό πεδίο και y μια λεία συνάρτηση στο M, τότε μπορεί να βρεθεί μια γενόσημη συνάρτηση 2m 1, y : M R που ορίζεται από: ( x) ( y( x), y( ( x)),..., y( ( x ))), y 1 2m και η οποία να αποτελεί εμβύθιση όπου t είναι η ροή του Χ. Θεώρημα 3: Ας υποθέσουμε ότι M είναι μια συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης m. Αν X ένα λείο ανυσματικό πεδίο και y μια λεία συνάρτηση στο M, τότε μπορεί να βρεθεί μια γενόσημη συνάρτηση 2m 1, y : M R που ορίζεται από: 2m d d ( x) y( x), ( y( ( x))),..., ( y( ( x))) dt dt, y 1 t 0 2m 2m t 0 Και η οποία να αποτελεί εμβύθιση. Εδώ t είναι η ροή του Χ, ενώ ο όρος λείος έχει την έννοια C 2m+1. Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι μπορεί «σχεδόν πάντοτε» να ευρεθεί μια γενόσημη συνάρτηση 2m R. : 2m 1 M R η οποία να αποτελεί εμβύθιση της πολλαπλότητας Μ στο χώρο Είναι σαφές ότι ένα δυναμικό σύστημα με χρονική εξέλιξη φ t και παρατήρηση y, καθορίζεται γενικά από το σύνολο όλων των συναρτήσεων t y( t ( x )). Πρακτικά συνήθως έχουμε ένα δυναμικό σύστημα συνεχούς χρόνου, αλλά οι εικόνες y ορίζονται μόνο σε διακριτούς χρόνους του t εφόσον οι μετρήσεις γίνονται μόνο ανά διαστήματα a. Επίσης συνήθως, πεπερασμένος είναι τόσο ο αριθμός των πειραμάτων όσο και ο αριθμός των μετρήσεων. Έτσι το ερώτημα παραμένει στο αν η τοπολογία και η δυναμική στο θετικό όριο L ( x) x' M ti with t i ( x) x ' του x, καθορίζεται από την ακολουθία 28

y x. Αυτό διευθετείται μέσω του παρακάτω θεωρήματος και του σχετικού ( ) ia, πορίσματος που ακολουθεί. i 0 Θεώρημα 4: Έστω M μια συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης m, X ένα ανυσματικό πεδίο στο M με ροή φ t και p ένα σημείο στο M. Τότε υπάρχει ένα υποσύνολο C X,p θετικών πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε για a C X, pέχουμε ότι κάθε σημείο q M το οποίο είναι το όριο της ακολουθίας t ( p), ti, t i, είναι το όριο και της ακολουθίας ( p), n, n. ni a i i Πρακτικά το παραπάνω θεώρημα αναφέρει ότι κάθε σημείο p της πολλαπλότητας M που απεικονίζεται μέσω της ροής φ t για άπειρο χρόνο στο όριο q, απεικονίζεται στο ίδιο όριο q και κατόπιν της ροής διακριτού χρόνου φ nia (p) για άπειρα βήματα a. Πόρισμα Θεωρήματος 4. Έστω M μια συμπαγής πολλαπλότητα διάστασης m, X ένα ανυσματικό πεδίο στο M με ροή φ t, y μια συνάρτηση στο M, p ένα σημείο στο M και ένας θετικός αριθμός a. Το θετικό όριο του L + (p) είναι αμφιδιαφορίσισμη με το σύνολο των οριακών σημείων της παρακάτω ακολουθίας στο 2 m 1 : y( ( p)), y( ( p)),..., y( ( p )) k, k 1, k 2 m, k 0 Κατά συνέπεια, κατόπιν και του ανωτέρου πορίσματος είμαστε σχεδόν βέβαιοι ότι υπάρχει πάντοτε μια γενόσημη απεικόνιση της συμπαγούς πολλαπλότητας Μ στο 2m 1 η οποία να είναι εμβύθιση, δηλαδή να ορίζεται και η αντίστροφη συνάρτηση και να είναι επίσης αμφιδιαφορίσιμη. 29