Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1)

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Χάος και Φράκταλ. ιδάσκων: Α.Μπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α 1) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών x x e = c τείνει 2 1)"

Ἀπολλόδωρος Καψής
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Χάος και Φράκταλ ιδάσκων: ΑΜπούντης, Καθηγητής Ασκήσεις ΟΜΑ Α Α + ) ) Να δειχθεί ότι η οικογένεια των κλειστών καµπυλών e = c τείνει σε εκείνη των ελλείψεων ξ ξ + = K, όταν, ) b, a) Τα Κ,c είναι b a αυθαίρετες σταθερές Τα a, b είναι θετικές παράµετροι ) Να µελετηθεί η κίνηση στο επίπεδο, ) του συστήµατος: = b = µ + a + για διάφορες τιµές του µ Μελετήστε τα σηµεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους και σχεδιάστε τις γενικότερες λύσεις Τα a, b είναι θετικές παράµετροι ) Θεωρείστε τις εξισώσεις του Lorez: = σ ) = = β + ρ + b a σ,ρ,β>0 Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας του συστήµατος, και µελετήστε την ευστάθειά τους συναρτήσει των παραµέτρων σ,ρ,β Περιγράψτε την κίνηση για ρ< και ρ λίγο µεγαλύτερο του ) Να µελετηθούν γραφικώς οι λύσεις της εξίσωσης va der Pol: + µ ) + = 0, µ > 0 Θεωρείστε αρχικά 0 < µ << Μπορείτε να υπολογίσετε αναλυτικά και αριθµητικά την ακτίνα του οριακού κύκλου στην περίπτωση αυτή; 5) Να βρεθούν τα σηµεία ισορροπίας του συστήµατος: y + + = y = b + a Να µελετηθεί η ευστάθεια αυτών Πιο συγκεκριµµένα, δείξτε ότι το ένα από αυτά είναι ευσταθές για a+b< και b) > a, ενώ το άλλο είναι ευσταθές για όλες τις τιµές των a,b

2 ΟΜΑ Α Β Γ t T ) Γ t t) 6) Εστω η συνάρτηση y t) = y e + K f ) dt e δ t mt) Θέτοντας t=+)t-ε και παίρνοντας ε 0 να δείξετε ότι αυτή ικανοποιεί ΓT την εξίσωση διαφορών y = e y + Kf )) + τ m m= 0 T ε 7) Ας θεωρηθεί η απεικόνιση + = r ), = 0,,, Θέστε r=, βρείτε τις περιοδικές τροχιές της απεικόνισης και µελετήστε την ευστάθειά τους Υπολογίστε τον εκθέτη Liapuov, λ 0 ), αφού πρώτα αποδείξετε ότι είναι ανεξάρτητος της αρχικής συνθήκης είξτε έτσι ότι για κάθε r, και σχεδόν για κάθε που ανήκει στο [0,], ισχύει τιµή του r θα εµφανιστεί χάος; λ 0 ) = log r Για ποια 8) Να λυθούν οι εξισώσεις = f ), = f ), για την λογιστική απεικόνιση = r ), = r ), και να βρεθεί η τροχιά περιόδου,, Θέτοντας στην ), i + = f = + και γραµµικοποιώντας, παίρνουµε για την διαταραχή αυτή = f ) = f ' ) f ' ), κοντά σε οποιοδήποτε από τα δύο + i σηµεία, Η ευστάθεια της τροχιάς εποµένως εξαρτάται από το αν η ποσότητα f ' ) f ' ) είναι µεγαλύτερη της µονάδας ή όχι Αποδείξτε λοιπόν ότι η τροχιά περιόδου που υπολογίσατε είναι ευσταθής όταν < r < + 6 9) Να δειχθεί ότι µε την αποσταθεροποίηση της τροχιάς περιόδου της προηγούµενης άσκησης στο r = + 6 γεννιέται µια νέα περιοδική τροχιά περιόδου Να βρεθεί η νέα αυτή περιοδική τροχιά λύνοντας τις αντίστοιχες εξισώσεις αριθµητικά 0) Κατασκευάστε ένα αριθµητικό πρόγραµµα και µελετήστε στον υπολογιστή την ακολουθία διακλαδώσεων διπλασιασµού περιόδων για τη λογιστική απεικόνιση Υπολογίζοντας µε ακρίβεια τα προσδιορίστε την τιµή του δ, µε ακρίβεια ψηφίων Επαναλάβετε την όλη διαδικασία για τις απεικονίσεις = r si π ), e r ) + + = ) r m

3 ΟΜΑ Α Γ ) Κατασκευάστε ένα «παχύ» τριαδικό φράκταλ µε τον ακόλουθο τρόπο Αφαιρέστε από το αρχικό διάστηµα [0,] το µεσαίο τρίτο αφήνοντας δύο τµήµατα µήκους l µεσαίο 9 l = Κατόπιν, αφαιρέστε από καθένα από αυτά το, αφήνοντας τµήµατα µήκους l αυτά, αφαιρέστε το µεσαίο 7 l = 7, µετά, από το καθένα από, και ούτω καθ εξής είξτε ότι το σύνολο που προκύπτει τελικά έχει D και µήκος l=0560 Παρατηρείτε 0 = αυτοοµοιότητα υπό αλλαγή κλίµακας από το -οστό στο + βήµα της διαδικασίας; ) Κατασκευάστε το τρυπητό του Serpiski και υπολογίστε τη φράκταλ διάσταση αυτού, καθώς και την ολική επιφάνεια που καταλαµβάνει ) Συχνά στη βιβλιογραφία, η φράκταλ διάσταση ενός συνόλου S D 0 συγχέεται µε την διάσταση Hausdorff D H, επειδή η φράκταλ διάσταση είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί, ενώ πολύ συχνά συµβαίνει οι δύο αυτές διαστάσεις να µην διαφέρουν κατά πολύ Ας θεωρήσουµε όµως το σύνολο S = {,,,} Καλύπτοντας το σύνολο αυτό µε «κουτάκια» µήκους ε = [ + )] D = / 0, δείξτε ότι η φράκταλ διάσταση του συνόλου αυτού είναι Η τιµή αυτή είναι υπερβολικά µεγάλη αφού το S είναι αριθµήσιµο, και µάλιστα αποτελείται από διακριτά σηµεία! είξτε επίσης ότι για ε = το αποτέλεσµα είναι το ίδιο Έπειτα χρησιµοποιήστε «κουτάκια» διαφορετικού µήκους ε k, = k e για κάθε σηµείο, k=,, k Τι αποτέλεσµα βρίσκεται για τη διάσταση Hausdoff D H του συνόλου S; 0 0 ) είξτε ότι µε b=-a, για να υπάρχει λύση της εξίσωσης a D + b D =, µε 0<a<, αρκεί και πρέπει D Κατασκευάστε έναν απλό αλγόριθµο 0 = υπολογισµού του D0 για οποιαδήποτε 0<a,b< µε a + b οκιµάστε τον

4 αλγόριθµο στην περίπτωση που αναλυτική λύση b = a, στην οποία η εξίσωση έχει 5) Αποδείξτε ότι το «σύνολο των µη διαφεύγοντων σηµείων» της τετραγωνικής απεικόνισης ικανοποιεί τις ιδιότητες που απαιτούνται για να χαρακτηριστεί σύνολο Cator Λ ΟΜΑ Α 6) Να εξεταστεί τι είδους σηµείο ισορροπίας είναι η αρχή των αξόνων για το δυναµικό σύστηµα =, = 7) Κάντε το ίδιο για το δυναµικό σύστηµα =, = 8) Να επιλυθούν οι εξισώσεις =, y = y+ και να σχεδιαστούν οι τροχιές του συστήµατος αυτού γύρω από την αρχή των αξόνων 9) Μελετήστε αριθµητικά τον οριακό κύκλο του συστήµατος, γύρω από το 0,0) και για = µ + y+ y, y = µ y+ y+ 0<µ<0 Για ποια τιµή του µ<0 παύει να υπάρχει ο οριακός κύκλος και µε ποιο τρόπο συµβαίνει αυτό; 0) είξτε, γραµµικοποιώντας, ότι το 0,0) είναι ευσταθές ελλειπτικό) σηµείο του συστήµατος = y + c + c y) y = + y c + c και ότι διατηρεί την ιδιότητα αυτή ακόµα και αν ληφθούν υπόψιν οι µη γραµµικοί όροι του συστήµατοςυπόδειξη: Να δείξετε ότι το σύστηµα αυτό έχει το ολοκλήρωµα της κίνησης y K c ) + K c ) + cc y c + c y = 0, όπου Κ, αυθαίρετη σταθερά ) Ένα απλό µοντέλο χηµικών αντιδράσεων περιγράφει τη µεταβολή στο χρόνο των συγκεντρώσεων είξτε, για B + A, y) δύο χηµικών ουσιών, µε τις εξισώσεις: = A B + ) = B + <, ότι το µοναδικό σηµείο ισορροπίας του συστήµατος αυτού είναι ευσταθές είξτε επίσης, ότι για B + A > «γεννιέται» από

5 αυτό το σηµείο ισορροπίας ένας ευσταθής οριακός κύκλος ) Θεωρείστε τη µονοδιάστατη απεικόνιση A + = Q + + α) Βρείτε όλα τα σηµεία ισορροπίας της, και εξετάστε την ευστάθειά τους για Α=6 και < Q < β) Μελετήστε τώρα, σε ένα επίπεδο,q), ένα από αυτά τα ευσταθή σηµεία > 0, για Α=9 και -<Q<0 Τι παρατηρείτε; Επαναλάβετε τη µελέτη αυτή για Α=5 και -5<Q<0 Πώς άλλαξε το σχήµα που βρήκατε για Α=9; γ) Μελετήστε αριθµητικά τις ακολουθίες διακλαδώσεων διπλασιασµού περιόδων που παρατηρείτε, στο επίπεδο των παραµέτρων Α,Q Σε ποιο τµήµα του επιπέδου αυτού οι ως άνω ακολουθίες είναι πεπερασµένες, και σε ποιο τµήµα είναι άπειρες; δ) Θέσατε Q=0 και Α= και δείξτε ότι η απεικόνιση έχει την ακριβή λύση = tah c), όπου c αυθαίρετη σταθερά Τι κάνουν τα και πώς θα το διαπιστώνατε αν δεν ξέρατε τη λύση; ) Βρείτε τα σηµεία ισορροπίας της απεικόνισης του Lozi + = y + a, y = b,, και µελετήστε την ευστάθειά τους για a>0 και 0 b Παίρνοντας τώρα κατάλληλες τιµές των a και 0<b< πχ a=7, b=05) βρείτε έναν παράξενο ελκυστή του συστήµατος στο επίπεδο και τη δοµή του µε εκείνον της απεικόνισης του Heo, y ) και συγκρίνετε το σχήµα του ) Να υπολογιστούν µε τη µέθοδο Newto-Raphso όλες οι ρίζες της µιγαδικής εξίσωσης = 0 Επιχειρήστε να βρείτε στο επίπεδο τις περιοχές αρχικών τιµών που οδηγούν στις τρεις αυτές ρίζες, και χρωµατίστε τις ανάλογα µε τη ρίζα στην οποία συγκλίνουν Πώς κατανέµονται τα χρώµατα στο επίπεδο αυτό; z

Σχετικά έγγραφα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο