ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

Transcript

1 Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: 3 i) f ( ) 8 3 ii)f()= iii) f ( ) iv)f()= 1 1 v f ) ( ) 4 vi)f()= 1 ln vii) f ( ) e viii)f()= i) f ( ) )f()=ln(ln)-ln 3 3). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f () =. a 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ),. Αν το f (-1) = είναι 1 τοπικό ακρότατο της f, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. 3 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. iii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = καθώς και το σύνολο τιμών της f. 6). Αν για κάθε ισχύει a 1, να αποδείξετε ότι α = e. 7). Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 f ( ) (1 3ln ) 36 (1 ln ) 3 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία της C f με τετμημένες τις θέσεις τοπικών ακρότατων της f και το Ο(, ) είναι συνευθειακά. 9). Ένας πληθυσμός βακτηριδίων μεταβάλλεται ως προς τον χρόνο σύμφωνα με τη 1t συνάρτηση Ν( t) 1. i) 1 t Να βρείτε τον αρχικό πληθυσμό. ii) Πότε ο πληθυσμός γίνεται μέγιστος και πόσος είναι αυτός; 1 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθούν: 3 i) τα διαστήματα μονοτονίας της f, 169

2 Ενότητα 1 ii) τα τοπικά ακρότατα της f, iii) το σύνολο τιμών της f. 11). Αν η συνάρτηση f : έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο και υπάρχουν α, β> με α < β τέτοιοι, ώστε af '( a) f '( ), να αποδείξετε ότι η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο στο. a, αλλά όχι αντιστρέψιμη, 1). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα να αποδείξετε ότι η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο. 13). Να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με: i) σταθερή περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδόν, ii) σταθερό εμβαδόν, το τετράγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο. 14). Η κάθετη διατομή ενός καναλιού είναι ισοσκελές τραπέζιο, του οποίου τρεις πλευρές έχουν μήκος α = m. Να βρεθούν οι γωνίες του τραπεζίου, ώστε το κανάλι να μεταφέρει τη μέγιστη ποσότητα νερού. 15). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο (1, ) και σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. 16). Στις πλευρές ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ να βρείτε σημεία Κ, Λ, Μ και Ν, ώστε το εμβαδόν του τετραγώνου ΚΛΜΝ να είναι ελάχιστο. 17). Να βρεθεί σημείο Μ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 3 3 τέτοιο, ώστε η απόσταση ΟΜ να είναι ελάχιστη. 18). Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα οι ) f()= (+)(-1), < 1 i -( 4 3), 1 συναρτήσεις: 1, -, ii) g( ),, 19). Αν είναι a a eln για κάθε >, να αποδείξετε ότι α = e. ). Αν οι αριθμοί α, β και γ είναι θετικοί και για κάθε ισχύει η σχέση ( a ) ( ) 3, να αποδειχθεί ότι οι α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 1). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις ln συναρτήσεις: i) f()=ln ii) g()=(-1)(e ) e +1 1 ). Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) f()=(ln 3ln 3) ii) g()=e 6e 4 1 3). Να αποδείξετε ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί 3 για κάθε τη σχέση f ( ) f ( ) e, δεν έχει κρίσιμα σημεία. 4). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα τις συναρτήσεις: 1 i) f()= ln,, ημ ii) f()=συν+ln(1-συν), (, ) iii) f()=συν 4 6 ln( ),, 17

3 Ενότητα 1 5). Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία και τις πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων των συναρτήσεων: 1-ημ, -, i) f()= συν-,, ( )( 1), <1 ii) g( ) -( 4 3), 1 a 1 3 6). Αν οι συναρτήσεις f ( ) g()= έχουν τα ίδια κρίσιμα σημεία, να υπολογίσετε τους α και β. 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( a 1) ln ( a ) 1. Να βρείτε τους α και β ώστε η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα σημεία ). Δίνεται η συνάρτηση f() = -eln. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να e αποδείξετε ότι e. iii) Να λύσετε την εξίσωση f() = 9). Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 f ( ) 3 6 6ln( 1) και να αποδειχθεί ότι η f έχει ελάχιστο. 3). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e 1 ln(1 ). i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να αποδειχθεί ότι e 1 ln(1 ), >-1. 31). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e 1 ln( 1), >-1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. e ii) Να αποδείξετε ότι e. iii) Να λύσετε την εξίσωση f() =. 3). Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 f ( ) 3 6 6ln( 1) και να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. 33). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e 1 ln(1 ). i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να αποδειχθεί ότι e 1 ln(1 ), >-1. 34). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e 1 ln( 1), >-1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα. iii) Να αποδείξετε ότι 1 ln( 1) e για κάθε > -1. iv) Αν είναι a 1 ln( 1) για κάθε > -1, να αποδείξετε ότι α = e. 35). Ένας μικροοργανισμός όταν κινείται στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα υ 1 καταναλώνει ενέργεια Ε που δίνεται από τη σχέση E( ) (( 35) 75). de Να βρείτε : i) την παράγωγο, ii) με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται ο dt μικροοργανισμός, ώστε να καταναλώνει την ελάχιστη ενέργεια. 171

4 Ενότητα 1 36). Από τις τέσσερις γωνίες ενός φύλλου χαρτιού σχήματος τετράγωνου με πλευρά α = 6 dm πρόκειται να αποκοπούν τέσσερα ίσα τετράγωνα. Ποια πρέπει να είναι η πλευρά των τετραγώνων αυτών, ώστε το κουτί που θα προκύψει με αναδίπλωση να έχει τον μέγιστο όγκο; 37). Πρόκειται να κατασκευαστεί μια μεταλλική δεξαμενή, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου, του οποίου η βάση είναι τετράγωνο. Η δεξαμενή πρέπει να έχει όγκο 4m 3. Αν το υλικό κατασκευής των τετράγωνων εδρών κοστίζει χιλιάδες δραχμές το m, ενώ των ορθογώνιων εδρών 5 χιλιάδες δραχμές το m, να βρεθούν οι διαστάσεις της δεξαμενής, ώστε το κόστος κατασκευής να είναι ελάχιστο. 38). Η πραγματοποίηση μιας ειδικής αεροπορικής πτήσης απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 1 ατόμων. Αν δηλώσουν συμμετοχή ακριβώς 1 άτομα, το εισιτήριο ανέρχεται στις. δραχμές το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο, η τιμή του εισιτηρίου μειώνεται κατά 1 δραχμές. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε η αεροπορική εταιρεία να έχει τα περισσότερα έσοδα; 39). Να βρεθεί το μεγαλύτερο μήκος που μπορεί να έχει μια σκάλα, ώστε να μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία που σχηματίζουν δύο κάθετα τεμνόμενοι διάδρομοι πλάτους ενός μέτρου ο καθένας. 4). Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y = 8 και το σημείο Α (4, ). Να βρεθεί σημείο Μ της παραβολής, ώστε η απόσταση ΑΜ να είναι ελάχιστη. Να αποδείξετε στη συνέχεια ότι η ΑΜ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Μ. 41). Σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οy δίνονται τα σημεία Y Α(, 1) και Β(1, ). Ένα σημείο Μ με Β(1,) τετμημένη κινείται στον θετικό ημιάξονα Ο. i) Να αποδείξετε ότι για τη γωνία φ = Α(,1) AMB ισχύει η σχέση Φ 1, > O Μ(,) X ii) Να βρείτε εκείνο το σημείο Μ του άξονα για το οποίο η γωνία φ παίρνει τη μέγιστη τιμή. 17

5 Ενότητα 1 4). Μια ορθογώνια φωτογραφία πρόκειται να μπει σε κορνίζα, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Πως πρέπει να τοποθετήσουμε τη φωτογραφία, ώστε το μέρος της κορνίζας που μένει ακάλυπτο ( το φόντο ) να έχει τη μέγιστη επιφάνεια; Κ Α Λ Β Δ Ν Γ Μ 43). Υποθέτουμε ότι υπάρχει περιττή συνάρτηση f : με την ιδιότητα e f ( ) f '( ) f ( ) για κάθε. Να αποδειχθεί ότι το είναι θέση τοπικού μεγίστου της f. 44). Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα 3 1 f ( ) f ( ) e 1 για κάθε, να αποδείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα. 3 45). Αν 1 είναι κρίσιμα σημεία της συν f ( ) a, όπου α, β, γ, δ, να αποδείξετε ότι f ''( 1 ) f ''( ) ). Έστω f, g : συναρτήσεις με f (α) = g (α) και f ( ) g( ) a για κάθε, όπου α. Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο α, να αποδείξετε ότι f '( a) g '( a) 3 a. 47). Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, ), η οποία για κάθε > 3 3 ικανοποιεί τη σχέση f ( ) 3 f ( ) 1. ν το f (α) είναι τοπικό ακρότατο της f, να αποδείξετε ότι α = ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6e 1e 6 1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο. 49). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) (1 )( 7) 6 (1 ln ) 6. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα ii) Να λύσετε την εξίσωση f() =. v 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e, όπου ν. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) e Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει e, v. v v a Αν a για κάθε >, να αποδείξετε ότι α = e. v 51). Να αποδειχθεί ότι: i) 1+ln(+1) e για κάθε > 1. ii) η εξίσωση e 1 ln( 1) έχει μοναδική ρίζα. v iii) 173

6 Ενότητα 1 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ), -,. 4 4 i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να λύσετε την εξίσωση ln( ), -, ). Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα η συνάρτηση f ( ) ( ),, ). Δίνεται η εξίσωση 5a 4a,. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης αυτής. 55). Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία και οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων 3 ) f()= 6 6, -3,1 i , 1,3 των συναρτήσεων: (+συν)-ημ, -, ii) g()= 1,, 56). Να βρεθεί σημείο Μ της παραβολής με εξίσωση y, του οποίου η απόσταση από το σημείο Ρ (1, 4) να είναι ελάχιστη. Να αποδείξετε στη συνέχεια ότι η ευθεία ΡΜ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Μ. 57). Αν για την δύο φορές παραγωγίσιμη f : ισχύει η σχέση f ( ) f '( ) e 1 για κάθε και επιπλέον f (), να αποδειχθεί ότι το f () είναι τοπικό ακρότατο της f. 58). Δίνεται η συνάρτηση f :, η οποία έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και για κάθε ισχύει η σχέση f ''( ) 3(1 e ) f '( ). Αν η f παρουσιάζει στο = α τοπικό ακρότατο, να αποδειχθεί ότι αυτό είναι τοπικό ελάχιστο, αν a και τοπικό μέγιστο, αν α =. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f παρουσιάζει στο D f τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο; Πως ονομάζεται το στις παρακάτω περιπτώσεις; ii) Σε τι διαφέρει το ( ολικό ) μέγιστο από το τοπικό μέγιστο; iii) Μπορεί ένα τοπικό ελάχιστο να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο; (Αρκεί ένα σχήμα.) iv) Αν μια συνάρτηση έχει τοπικά ακρότατα, είναι απαραίτητο να έχει και ακρότατα; v) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat; vi) Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat ; Να δώσετε παράδειγμα. vii) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ; viii) Ποια λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ; 174

7 Ενότητα 1 i) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f ) Αν ( a, ), f '( ) ( αντίστοιχα f '( ) ) για κάθε i) ii) iii) iv) ( ) 4 1., f '()> (αντίστοιχα f '( ) ) για κάθε > και η f είναι συνεχής στο, τι συμπεραίνετε για το f ( ); Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 3 f ( ) 1. 3 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, β), (α, β) και η f διατηρεί πρόσημο στα (α, ) και (, β), τι συμπεραίνετε για την f στο (α, β); Πώς βρίσκουμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα a, ; Να διατυπώσετε το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης. Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, αν υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε για κάθε Το λέγεται. ή τοπικού μέγιστου, ενώ το f ( ) λέγεται μέγιστο της f. ii) Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, αν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε.. για κάθε.. Το λέγεται. ή... τοπικού ελαχίστου, ενώ το f ( ) λέγεται.. ελάχιστο της f. iii) Tα τοπικά ελάχιστα και τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης, αν υπάρχουν, λέγονται., ενώ το μέγιστο και το ελάχιστο, αν υπάρχουν, λέγονται ακρότατα ή. iv) Σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και επιπλέον: το είναι του Δ, το f ( ) είναι.. της f και η f είναι. στο, τότε Το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat.. v) Οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι: τα σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται, τα. σημεία του Δ, στα οποία η f, τα. άκρα του Δ, αν η f ορίζεται σε αυτά. vi) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα (α, β), συνεχής στο (α, β) και παραγωγίσιμη στα (α, ) και (, β). 175

8 Ενότητα 1 Αν f '( ) στο (α, ) και f '()< στο (, ), τότε το f( ) είναι της f στο (α, β), αλλά και.. της f στο (α, β). Αν f () < στο (α, ) και f () > στο (, β), τότε τοf( ) είναι τοπικό της f στο (α, β), αλλά και.. της f στο (α, β). Αν η f διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα (α, ) και (, β), τότε το f( ).. είναι. ακρότατο της f και η f είναι γνησίως. στο (α, β).,, τότε το μέγιστο της vii) Αν η f είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα f είναι το από τα τοπικά. και το.. της f είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα στο,. viii) Σύμφωνα με το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), ( a, ), υπάρχει η f ''( ) και, τότε: το f( ) είναι τοπικό μέγιστο, αν το f( ) είναι τοπικό, αν f ''( ). Για την παραπάνω πρόταση. ισχύει το αντίστροφο. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το f( ) λέγεται τοπικό μέγιστο της f στο Δ = (α, β), αν ( a, ) και:. f( ) B. f( ). f() f( ), Δ Δ. f() f( ), Ε. υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε f ( ) f ( ) για κάθε (, ). Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, αν: A. f() f( ), A B. f() f( ), A Γ. υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε f ( ) f ( ) για κάθε (, ) Δ. το είναι κρίσιμο σημείο της Ε. παραγωγίζεται δύο φορές στο και f ( ) > 3. Έστω f συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και παραγωγίζεται σε αυτό, τότε: Α. το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f Β. το f( ) είναι ελάχιστο της f Γ. f( ) = Δ. f ( ) = Ε. η κλίση της f στο είναι διάφορη από το μηδέν 4. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 3. Τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα: A. 1 και 1 B. 1, 3 και 3 3 Γ. 1 = Δ. 1 = 3 και = - 3 Ε. 1 = - 3, = 3 και 3 = 176

9 Ενότητα 1 3, -,1 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). ( ), 1 Τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα : A., 1, B E Δίνεται η συνάρτηση f ( ),,π. Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f είναι τα σημεία:. B. 1, Δ. 3 E. 1, Αν η συνάρτηση f ( ) a 3 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1 1 1, τότε:. α=3 και β=4 Β. α=1 και β= Γ. α= και β= Δ. α=β=3 Ε. α=1 και β= 8. Αν για την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ισχύει η σχέση 3 ( ) ( ) f f e 1 για κάθε, τότε: A. f()< Β. η f είναι γνησίως φθίνουσα Γ. η C f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη Δ. η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ε. η f δεν έχει τοπικά ακρότατα 9. Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα (α, β) και (, ). Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, τότε το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f στο (α, β), αν :. f ' ( ) B. f ''( ) Γ. f ''( )> Δ. το είναι κρίσιμο σημείο της και f ''( ) f ''( ) f '( ) Ε. Ερωτήσεις τύπου «Σωστό ή Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Το f( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f στο Α, αν f ( ) f ( ) για κάθε A. ii) Αν μια συνάρτηση f έχει τοπικό μέγιστο, τότε έχει και μέγιστο. 177

10 Ενότητα 1 iii) Ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από ένα τοπικό μέγιστο. iv) Αν το f( ) είναι ελάχιστο, τότε το είναι και θέση τοπικού ελαχίστου της f. v) Αν το f ( ) =, τότε το f( ) είναι τοπικό ακρότατο της f. a,, f( ) είναι τοπικό ακρότατο και η f vi) Αν παραγωγίζεται στο, τότε f '( ). vii) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f είναι τα κρίσιμα σημεία της. viii) Κάθε κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης f είναι και θέση τοπικού ακρότατου της. i) Το 1 δεν είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f ( ) 1. 3 ) Αν μια συνάρτηση f δεν παραγωγίζεται στο a,, τότε το είναι κρίσιμο σημείο της f. i) Αν f ( ) e 1, τότε το είναι ελάχιστο της f. ii) Το f (1) = είναι μέγιστο της συνάρτησης f ( ) ln 1. iii) Αν η εξίσωση f () = έχει ρίζες στο διάστημα Δ = (α, β) και η f διατηρεί πρόσημο στο Δ, τότε η f έχει τοπικά ακρότατα. iv) Αν v) a, f ''( ), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. Αν το f( ) είναι τοπικό ακρότατο της f στο (α, β) και η f παραγωγίζεται δύο φορές στο, τότε δεν είναι υποχρεωτικά f ''( ). 178

11 Ενότητα 1 Τεστ Θέμα 1 ο Ν α βρεθούν οι α και β, ώστε η συνάρτηση f ( ) a 4( a ) 4 ln να παρουσιάζει στη θέση = τοπικό ακρότατο και η εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη 1 να είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 3 6y 7. Στη συνέχεια να βρείτε το είδος των τοπικών ακροτάτων της f. Θέμα ο 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e e. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Θέμα 3 ο ln Δίνεται η συνάρτηση f ( ), >. i) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. ii) Να αποδείξετε ότι e iii) Αν a e για κάθε >. a για κάθε >, να αποδείξετε ότι α = e. 179

12 Ενότητα ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ασκήσεις για λύση 1). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f, ορισμένης στο διάστημα 1,6. i) Να γράψετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη. ii) Να βρείτε τις θέσεις των σημείων καμπής της C f. iii) Ποια είναι τα διαστήματα μονοτονίας της f και τα τοπικά της ακρότατα; Έχει η f ακρότατα στο 1,6 ; -1 Y 4 3 O X ). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f :. Στο σημείο Α (, f ( )) η εφαπτομένη ε της C f είναι παράλληλη στον άξονα y y. i) Eίναι η f παραγωγίσιμη στο ; ii) Σε ποιο διάστημα η συνάρτηση f είναι κυρτή και σε ποιο κοίλη; iii) Έχει η C f σημεία καμπής και γιατί; Y O Ιε Α I X 3). Μια συνάρτηση f αλλάζει κοίλα εκατέρωθεν του, είναι παραγωγίσιμη στο, αλλά δεν ορίζεται η f ( ). Το σημείο A(, f ( )) είναι σημείο καμπής της C f ; 4). Η γραφική παράσταση της παραγώγου f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο διάστημα,1 φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν: i) τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f, ii) τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της C f. Y O If () X

13 Ενότητα 5). Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 4 3 f ( ) 1 στα σημεία καμπής της είναι κάθετες μεταξύ τους. 6). Να μελετηθεί η συνάρτηση f ( ) ln ln 3 ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης. 3 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) A 1, 3 είναι αντίστοιχα οι θέσεις στις οποίες η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και η C f σημείο καμπής, να αποδείξετε ότι τα αντίστοιχα σημεία της C f είναι συνευθειακά. 3 8). Να βρείτε τις τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση f ( ) a 36 5 να έχει στο σημείο = 3 τοπικό ακρότατο και η γραφική της παράσταση C f να 1 1 έχει σημείο καμπής το σημείο M, f ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a a 1 7. Να βρεθεί η τιμή 3 του α, ώστε η C f να έχει σημείο καμπής στο = 3 και στη συνέχεια να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα. 1). Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 3 f ( ) 4a 3(a 4a 5) a 1, δεν έχει σημεία καμπής. 11). Δίνεται η συνάρτηση 3 a f ( ). Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η 1 γραφική παράσταση C f να δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο Α (1, f(1)). Για α = 1, να βρεθούν τα σημεία καμπής της C f. 1). Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 f ( ) a με α 3a δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) ( ) <. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) ln f ( ) είναι κοίλη στο διάστημα (κ, λ). 14). Να μελετηθούν ως προς τα κοίλα οι παρακάτω συναρτήσεις και να βρεθούν τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων: i) f ( ) 4ln( 8) ii)g()= 1- iii) h( ) (1 ) e 15). Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) e έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο κινείται στην παραβολή με εξίσωση y. 181

14 Ενότητα 16). Να μελετηθούν ως προς τα κοίλα οι παρακάτω συναρτήσεις και να βρεθούν τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων , i) f ( ) , > , ii) g( ) 5 (-3), > ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3a 5a 6a a,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε α η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, το οποίο κινείται σε μια παραβολή. 18). Οι συναρτήσεις f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο με f () > και g () > για κάθε. Αν f η στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = fog είναι κυρτή στο. 19). Μια συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για 3 κάθε ισχύει ( f '( )) ( f '( )) f '( ) e 1. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f με οριζόντια εφαπτομένη, ii) η f είναι κυρτή στο. 3 ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6 9 1, i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα ii) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης. 1 1). Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση f ( ) και να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. ( ) 3). Αν η συνάρτηση f : ικανοποιεί τη σχέση ( ) f f e 1 e για κάθε, να αποδείξετε ότι: i) η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής, ii) η f έχει ένα κρίσιμο σημείο τοπικού ακρότατου. 4). Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κοίλες ή κυρτές καθώς και τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων, αν 1 i) f()=e 4( e e ) e( 1) υπάρχουν. ii) g()=1+ (ln ) 5). Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του α, ώστε η συνάρτηση 4 3 f ( ) a 6 3 να είναι κυρτή στο. 6). Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των α, β, γ, η συνάρτηση 4 3 f ( ) a 6a 1 είναι κυρτή στο. 3 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 1. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο καμπής της να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Στη συνέχεια να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα. 18

15 Ενότητα 8). Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Αν f () f '(), να αποδειχθεί ότι f ( ) για κάθε. 9). Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και για κάθε f '( ) f ''( ) 3 e. Να αποδείξετε ότι η γραφική ισχύει παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. 3). Έστω η συνάρτηση f:, η οποία είναι θετική και δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Αν η συνάρτηση g( ) ln f ( ) έχει θετική δεύτερη παράγωγο, να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( a) ( ) ( ) < <. Να αποδείξετε ότι : f '( ) 3 4 i), f ( ) a ii) η συνάρτηση g( ) ln f ( ) είναι κοίλη στα διαστήματα (α, β) και (β, γ). 3). Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο και α < β, να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) ( ) f '( a) a,. για κάθε 33). Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 5a 1 1 παρουσιάζει τρία σημεία καμπής, να αποδείξετε ότι a. 34). Να αποδείξετε ότι τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) ae, >, βρίσκονται για κάθε τιμή του α > σε μια παραβολή, την οποία και να προσδιορίσετε. 35). Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο, να αποδείξετε ότι f ( ) f '( a)( a) f ( a) για κάθε, όπου α τυχαίος πραγματικός αριθμός. Ποια είναι η γεωμετρική σημασία αυτού του συμπεράσματος; f ( ) 36). Έστω συνάρτηση f : με την ιδιότητα ( 1) f ''( ) e για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 6( ) a 1,,. Να βρεθούν οι α και β, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει σημείο καμπής το Μ (, 1) και η C f να δέχεται στο σημείο N (1, f(1)) οριζόντια εφαπτομένη. 38). Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύουν (3) * f '() f ''() f ( ) για κάθε, να αποδείξετε ότι: i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο, ii) η f είναι κυρτή στο, και κοίλη στο,. 4 39). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( 1 ). i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα σημεία καμπής της C f. 1 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), -, 1 i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο (-π, π ). 183

16 Ενότητα e 41). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 1 i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κοίλη ή κυρτή καθώς και τα σημεία καμπής της C f. e 1 4). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) είναι κυρτή στα διαστήματα (,) (,+ ). 43). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f :, με τύπο f ( ) είναι κοίλη.,, 44). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) 4 είναι κοίλη στο, =,. 4 45). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e e. Να αποδείξετε ότι: i) η f έχει ελάχιστο το μηδέν και η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα, ii) η f είναι κυρτή στο, iii) η f είναι κοίλη στο, και κυρτή στο,. 46). Έστω f παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να a αποδειχθεί ότι f ( a) f ( ) f για κάθε α, βδ. 47). Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f () > και f ''( ) f ( ) f '( ) για κάθε. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 1, 1 ισχύει f f ( 1 ) f ( ). 184

17 Ενότητα Τεστ Θέμα 1 ο 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( )(3 7) 8. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f. ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία καμπής της C f είναι συνευθειακά. Θέμα ο 4 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a 8 6(3a 14) 3. Να βρεθεί ο α, ώστε η f να είναι κυρτή. Θέμα 3 ο Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης σημεία καμπής, να αποδειχθεί ότι 3a f ( ) a 1 έχει 185