ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής: Η ταχύτητα μεταβολής, δηλαδή πόσο γρήγορα μεταβάλλονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχάση με αυτές της ανεξάρτητης. Με τον όρο ρυθμό μεταβολής θα εννοούμε το στιγμιαίο ή οριακό ρυθμό μεταβολής. Είναι μια νέα συνάρτηση.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΙ Ο ρυθμός μεταβολής μπορεί να βρίσκεται σε μια από τις παρακάτω καταστάσεις: Είναι σταθερός σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, γραμμική συνάρτηση. Είναι μεταβαλλόμενος, μη γραμμική συνάρτηση. Είναι θετικός ή αρνητικός σε ένα σημείο οπότε η συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα στο σημείο αυτό. Αλλάζει πρόσημο καθώς περνάμε από ένα σημείο x = α, από τιμές μικρότερες, σε τιμές μεγαλύτερες. Το σημείο x = α ονομάζεται κρίσιμο σημείο. Αλλάζει ταχύτητα, και από φθίνουσα γίνεται αύξουσα ή και αντίστροφα καθώς περνάμε ένα σημείο x = α, από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του α. Το σημείο α ονομάζεται σημείο καμπής και στο σημείο αυτό η συνάρτηση από κυρτή γίνεται κοίλη ή αντίστροφα. Εάν μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε μόνο το πρόσημο, την κατεύθυνση του ρυθμού μεταβολής, η ανάλυσή μας είναι ποιοτική. Εάν μας ενδιαφέρει και η πραγματική αριθμητική τιμή του, η ανάλυση μας είναι ποσοτική.

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Γενική μορφή: y = f x = a + βx Λόγοι χρήσης γραμμικών συναρτήσεων: Είναι εύκολες. Έχουν πολλές και ενδιαφέρουσες οικονομικές εφαρμογές. Χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν προσεγγιστικά με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο πιο πολύπλοκες μη γραμμικές συναρτήσεις. Το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή. Ευθεία γραμμή είναι ένα σύνολο σημείων με την ιδιότητα ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχόντα σημεία της έχει την ίδια κλίση. Κλίση: μετρά το ρυθμό μεταβολής οικονομικών μεταβλητών.

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΙΙ Κλίση ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ : μεταβολη στην y μεταβολη στην x = y 2 y 1, x x 2 x 2 x 1 1 Το πρόσημο της κλίσης, αν x 2 > x 1, διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν y 2 > y 1, τότε η κατεύθυνση του ευθύγραμμου τμήματος είναι από κάτω προς τα πάνω και η κλίση είναι θετική. Αν y 2 < y 1, τότε η κατεύθυνση του ευθύγραμμου τμήματος είναι από πάνω προς τα κάτω και η κλίση είναι αρνητική. Αν y 2 = y 1, τότε το ευθύγραμμο τμήμα είναι οριζόντιο και η κλίση είναι μηδενική. Τα δύο σημεία έχουν την ίδια συντεταγμένη x, δηλαδή x 1 = x 2. Στην περίπτωση αυτή το ευθύγραμμο τμήμα είναι κάθετο και η κλίση δεν ορίζεται. Ο συντελεστής β είναι κλίση της ευθείας γραμμής και μετρά τη μεταβολή της y που οφείλεται στη μεταβολή μιας οποιασδήποτε τιμής της x κατά μια μονάδα.

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΙΙΙ Οι τιμές των παραμέτρων a και β προσδιορίζουν τη θέση της ευθείας y = a + βx. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Μεταβάλλεται η β και διατηρείται σταθερή η a. Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται μια οικογένεια ευθειών που έχουν την ίδια τομή με τον άξονα των y και διαφορετική κλίση. Μεταβάλλεται η a και διατηρείται σταθερή η β. Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται μια μια οικογένεια ευθειών που έχουν την ίδια κλίση και επομένως η κάθε μια είναι παράλληλη μετατόπιση της άλλης.

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να προσδιοριστεί εάν μας δίνονται είτε η κλίση της και ένα οποιοδήποτε σημείο της ή όταν μας δίνονται δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία της. Εξίσωση της ευθείας από κλίση και σημείο: y y 1 = β x x 1 ή y = y 1 + β x x 1, x x 1 Εξίσωση της ευθείας από δύο σημεία: y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 x y 1 ή y = y 1 + = y 2 y 1 x 2 x 1 x x 1 Εξίσωση της ευθείας από ένα 2x2 σύστημα εξισώσεων: a = y 1x 2 x 1 y 2 x 2 x 1, και β = y 2 y 1 x 2 x 1.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Εάν αγοράσουμε α μονάδες ενός προϊόντος και πληρώσουμε β ευρώ, τότε η τιμή μονάδας x προϊόντος δίνεται από τη λύση της εξίσωσης: ax = β ή x = β α, α, β R. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για τις τιμές των παραμέτρων α και β: i. Αν α = 0, τότε η αριστερή πλευρά γίνεται μηδέν, αφού αγοράζουμε μηδέν μονάδες. ii. Αν εκτός της αριστερής πλευράς και η δεξιά είναι μηδέν, τότε η λύση είναι απροσδιόριστη (έχουμε απειρία λύσεων) αφού οποιαδήποτε τιμή της x είναι λύση της εξίσωσης 0x = 0. iii. Αν τώρα α 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την β α. Αν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μοναδική λύση ή απειρία λύσεων, τότε ονομάζεται συνεπές, και αν δεν έχει καμία λύση ονομάζεται ασυνεπές.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ - ΖΗΤΗΣΗΣ Συναρτήσεις ζήτησης. Η ζητούμενη ποσότητα Q ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή Ρ που επικρατεί στην αγορά. Αν η ζητούμενη ποσότητα Q μειώνεται κατά β > 0 μονάδες για κάθε μοναδιαία αύξηση της Ρ, τότε η συνάρτηση ζήτησης είναι γραμμική και έχει τη γενική μορφή: Q d = D P = α βp, Q, P 0 και β > 0. Συναρτήσεις προσφοράς. Η ποσότητα ενός προϊόντος, που προσφέρεται προς πώληση στην αγορά, εξαρτάται από την τιμή του προϊόντος. Αν η προσφερόμενη ποσότητα Q αυξάνει με σταθερό ρυθμό δ > 0, ως προς την τιμή Ρ, δηλαδή με κάθε μοναδιαία αύξηση της τιμής η προσφερόμενη ποσότητα αυξάνεται κατά δ μονάδες, τότε η συνάρτηση προσφοράς είναι γραμμική και έχει τη γενική μορφή: Q S = S P = γ + δp, S, P 0, δ > 0.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΙΙ Ισορροπία της αγοράς Σημείο ισορροπίας σε μια τέλεια ανταγωνιστική αγορά είναι το σημείο (P = P, Q = Q ) στο οποίο η ζητούμενη ποσότητα ισούται προς την προσφερόμενη ποσότητα. Η τιμή P και η ποσότητα Q ονομάζονται τιμή ισορροπίας και ποσότητα ισορροπίας αντίστοιχα. Με άλλα λόγια η τιμή ισορροπίας είναι η τιμή στην οποία οι καταναλωτές επιθυμούν να αγοράσουν την ίδια ποσότητα ενός προϊόντος την οποία οι προμηθευτές είναι πρόθυμοι να την πωλήσουν στην τιμή αυτή.

ΣΗΜΕΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Συνάρτηση ζήτησης: Q d = α βp. Συνάρτηση προσφοράς: Q S = γ + δp. Οι παράμετροι α, β, γ, δ είναι θετικές. Τιμή ισορροπίας P : η ζητούμενη ποσότητα Q d ισούται με την προσφερόμενη ποσότητα Q S, ήτοι: α βp = γ + δp P = α γ δ + β Ποσότητα ισορροπίας Q : Q = αδ βγ δ+β. Για έχει ένα σημείο ισορροπίας οικονομικό αποτέλεσμα θα πρέπει οι τιμές P και Q να είναι μη αρνητικές και επειδή οι παράμετροι α, β, γ, δ είναι θετικές, θα πρέπει επίσης να ισχύει α γ.

1. Απλός τοκισμός ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Τόκος: το ποσό που πληρώνουμε για τη χρησιμοποίηση ενός χρηματικού ποσού. Επιτόκιο: το ποσό που χρεώνεται στους δανειολήπτες για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, και συνηθίζεται να εκφράζεται σε ετήσια βάση ως ποσοστό επί τοις εκατό. Αν λοιπόν δανειστούμε ένα ποσό K ευρώ με απλό επιτόκιο r, τότε ο ετήσιος τόκος είναι rk και το οφειλόμενο ποσό Α στο τέλος n χρόνων, θα ισούται: A = K + rkn = K(1 + rn).

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΙΙ 2. Προεξόφληση Αν ένας δανειστής αφαιρεί τον τόκο στο χρόνο που δίνεται το δάνειο τότε λέμε ότι το δάνειο προεξοφλείται. Ο τόκος που προεξοφλείται από το δάνειο αναφέρεται ως απλή προεξόφληση. Στα προβλήματα απλής προεξόφλησης αφαιρούμαι, αντί να προσθέτουμε, ένα σταθερό ποσό, δηλαδή: P = K Krn = K(1 rn). 3. Γραμμική απόσβεση Η γραμμική απόσβεση είναι μια από τις πιο γνωστές μεθόδους απόσβεσης παγίων εγκαταστάσεων μιας επιχείρησης. Εάν C είναι το αρχικό κόστος προς απόσβεση και αποσβένεται σε Ν χρόνια, η υπολειμματική αξία V στο τέλος των n χρόνων δίνεται από τη σχέση: V = C C N n ή V = C 1 n N, όπου n η ανεξάρτητη μεταβλητή που έχει πεδίο ορισμού τους ακέραιους 0, 1, 2, 3, n και εξαρτημένη η V.