α έχει μοναδική λύση την x α

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων α, β και γ.. Η εξίσωση ( κ)( λ) 0 κ έχει δύο ρίζες για κάθε κ, λ 3. Αν ν είναι περιττός ακέραιος, τότε η εξίσωση ν ν α έχει μοναδική λύση την α 4. Η εξίσωση 8 α είναι αδύνατη για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού α 5. Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 6. Η εξίσωση α + 3 = 0 με α 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. 7. Η εξίσωση α + β + γ = 0, α 0 έχει μία ρίζα ίση με το μηδέν, όταν και μόνο όταν η διακρίνουσά της είναι ίση με το μηδέν. 8. Η εξίσωση α + β γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α > 0 και γ > Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει μια διπλή ρίζα την = 0. Αν β > 4αγ τότε η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει ρίζες, =. Aν στην εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 είναι αγ < 0, τότε Δ > 0.. Αν στην εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 είναι Δ > 0 τότε αγ < 0

2 3. Αν η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε Δ 0 4. Η εξίσωση α + β + γ = 0 με α > 0, β = 0 και γ > 0 είναι αδύνατη. 5. Η εξίσωση + βγ = 0 για κάθε β, γ έχει δύο ρίζες άνισες, τότε 4βγ 6. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης α + β + γ = 0 με α 0, τότε ισχύει: αs β. 7. Αν με S και Ρ συμβολίσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης α + β + γ = 0 με α 0 και α,β, γ τότε ισχύει: α(ρ + S) = γ + β 8. Η δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ως ρίζες τους αριθμούς α και 3α είναι η 4α + 3α = 0 9. Αν οι p, p είναι οι ρίζες της α + β + γ = 0 με α 0 τότε οι αριθμοί p, p είναι οι ρίζες της της εξίσωσης α β + γ = Αν ρ, ρ με ρ ρ 0 είναι οι ρίζες της α + β + γ = 0 με α 0 τότε οι αριθμοί ρίζες της γ + β + α = 0, γ 0. και είναι οι ρ ρ. Αν γ < 0, α > 0 και, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α + β + γ = 0, τότε οι, είναι ομόσημες.. Αν για την εξίσωση α + β +γ =0 ισχύει α = γ 0 και Δ > 0, τότε = 3. Aν η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει Δ = 0, τότε είναι Ρ 0, όπου Ρ το γινόμενο των ριζών της. 4. Όταν η εξίσωση + β + γ = 0 με β, γ πραγματικοί αριθμοί, έχει δύο ρίζες ετερόσημες, τότε ο αριθμός γ είναι αρνητικός.

3 3 5. Όταν η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει δύο ρίζες ομόσημες, το β είναι πάντα θετικός αριθμός. 6. Αν η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 έχει δύο ρίζες αντίθετες, τότε β = Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + α + β = 0 με < < 0, τότε είναι α > 0 και β > Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης α + β + γ = 0 με α 0 τότε ρ ρ = β α 9. Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης α + β + γ = 0, α 0 οι αριθμοί ρ, ρ θα είναι ρίζες της εξίσωσης α + β + γ = Η εξίσωση - κ - λ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες για κάθε κ, λ R*. 3. Δίνεται η εξίσωση α + β + γ = 0 με α0. Αν είναι Δ > 0 και Ρ < 0 τότε έχει δύο ρίζες ετερόσημες, αν επί πλέον είναι και S > 0 τότε έχει δύο ρίζες αντίθετες 3. Αν η εξίσωση α ++γ=0 α0 έχει δύο ρίζες ίσες τις = = τότε. =α 33. Η εξίσωση + k = 0 με k > 0 έχει δύο ρίζες θετικές. 34. Δίνεται η εξίσωση α +β+γ=0 με α0.αν είναι Δ > 0 και Ρ < 0 τότε έχει δύο ρίζες ετερόσημες, αν επί πλέον είναι και S = τότε έχει δύο ρίζες αντίστροφες.

4 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. 8 Η εξίσωση 0 έχει ως λύση: Α. = 8 Β. =0 Γ. =8 Δ. είναι αδύνατη. Ε. είναι αόριστη. Η εξίσωση 8 α είναι αδύνατη για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού α Α.,8 Β.,5 Γ. π = 3,4 Δ. 3 Ε Η εξίσωση = 0 στο σύνολο των πραγματικών αριθμών: Α. έχει πάντοτε λύση Β. είναι αδύνατη Γ. έχει άπειρες λύσεις. Δ. έχει λύση μόνο αν > 0 Ε. έχει λύση μόνο αν < 0 4. Εάν η εξίσωση = α έχει μία μόνο λύση τότε ο πραγματικός αριθμός α είναι : Α. Β. ο α είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός Γ. Δ. 0 Ε. δεν υπάρχει ο α. 5. Για την εξίσωση 0 έχουμε ότι: Α. έχει ως λύση μόνο τον αριθμό 0 Β. έχει ως λύση μόνο τον αριθμό Γ. έχει ως λύση τους αριθμούς 0 και - Δ. έχει ως λύση τους αριθμούς και Ε. είναι αδύνατη 6. Η εξίσωση (λ ) 0, λ για την τιμή λ είναι: Α. έχει μοναδική λύση την = 0 Β. έχει απειρία λύσεων Γ. είναι αδύνατη. Δ. έχει μοναδική λύση την = Ε. έχει μοναδική λύση την λ

5 5 7. Δίνεται ότι η εξίσωση όπου α, β πραγματικοί αριθμοί έχει λύση, τότε : Α. τα α, β είναι μηδέν Β. τα α, β δεν είναι μηδέν και α β Γ. τα α, β δεν είναι μηδέν και α = β Δ. είναι α = β = Ε. δεν υπάρχει περιορισμός για τα α και β 8. Η εξίσωση (λ ) = λ λ 4 έχει απειρία λύσεων, τότε για την τιμή του πραγματικού αριθμού λ έχουμε ότι: Α. λ Β. λ = Γ. λ = Δ. ο λ είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός Ε. δεν υπάρχει τέτοια τιμή του λ 9. Για την εξίσωση α + β + γ = 0, α 0 ισχύει: Α. αν Δ > 0 τότε έχει λύσεις τις, = Β. αν Δ = 0, τότε έχει μια διπλή ρίζα την = Γ. αν Δ < 0 έχει λύσεις, = Δ. αν Δ > 0, έχει λύσεις, ( Δ β) α Ε. τίποτε από τα προηγούμενα 0. Αν η εξίσωση 4 + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το, τότε ο α ισούται με: Α. Β. Γ. 4 Δ. 4 Ε. 0. Η εξίσωση + λ = 0, για λ = Α. είναι αδύνατη Β. έχει μια διπλή ρίζα Γ. έχει δύο ρίζες άνισες Δ. έχει τρεις ρίζες Ε. έχει άπειρες λύσεις. Αν η εξίσωση + βγ = 0 με β, γ δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε :

6 6 Α. 4βγ < Β. 4βγ > Γ. 4βγ < Δ. 4βγ > Ε. 4βγ = 3. Αν η εξίσωση κ = 0 έχει ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει: Α. κ < Β. κ Γ. κ < 0 Δ. κ > Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 4. Για να έχει η εξίσωση β (β + ) + 3β + 5 = 0 ρίζα τον αριθμό, θα πρέπει το β να ισούται με : Α. Β. 3 Γ. 0 ή Δ. 3 ή Ε 8 5. Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού, τότε αυτή είναι: Α. + S + P = 0 Β. S P = 0 Γ. P + S = 0 Δ. α S + P = 0 Ε. S + P = 0 6. Αν για την εξίσωση α + β + γ = 0, α 0 ισχύει Δ > 0, Ρ < 0 τότε για τις ρίζες, της εξίσωσης έχουμε: Α. Οι, είναι ετερόσημες Β. Οι, είναι αρνητικές Γ. Οι, είναι θετικές Δ. Οι, είναι ίσες Ε Μια από τις δύο ρίζες είναι η μηδενική. 7. Aν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (λ+3) + (λ+) = 0, τότε η παράσταση ισούται με: Α. λ 3 Β. λ+3 Γ. 4 7 Δ. 4 7 Ε. λ+. 8. Η εξίσωση κ + κ = 0 με άγνωστο τον για κάθε πραγματικό αριθμό κ 0 έχει: Α. δύο ρίζες άνισες αρνητικές Β. δύο ρίζες άνισες θετικές Γ. μια διπλή ρίζα θετική Δ. διπλή ρίζα το μηδέν Ε. καμία πραγματική ρίζα. 9. Όταν οι α, γ είναι ετερόσημοι η εξίσωση α + β + γ = 0, α 0 έχει: Α. δύο ρίζες άνισες Β. διπλή ρίζα θετική Γ. διπλή ρίζα αρνητική Δ. καμία ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε.

7 7 0. Η εξίσωση + κ - λ = 0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ με κ λ 0, έχει: Α. δύο ρίζες άνισες ομόσημες Β. δύο ρίζες ετερόσημες Γ. μια διπλή ρίζα Δ. καμία πραγματική ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε.. Αν οι ρίζες της εξίσωσης + λ + 4 = 0 είναι θετικές, τότε ο αριθμός λ είναι: Α. λ < 4 Β. λ < 0 Γ. λ = 0 Δ. λ < - Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.. Οι ρίζες της εξίσωσης 4 λ = 0 για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ 0 είναι: Α. ομόσημες θετικές Β. ομόσημες αρνητικές Γ. ετερόσημες Δ. το μηδέν και ένας θετικός αριθμός Ε. το μηδέν και ένας αρνητικό αριθμός. 3. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, τότε οι, είναι ρίζες της εξίσωσης: Α = 0 Β. 5 7 = 0 Γ = 0 Δ = 0 Ε = Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5 + (3 λ) = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 3 Δ. λ = 3 Ε. λ = 9 5. Αν οι ρίζες της εξίσωσης 3α + α = 0, α 0 είναι αντίστροφες τότε ο α είναι: Α. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 0 Β. οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός Γ. α = ή α = Δ. α = 9 ή α = 9 Ε. α = 5 ή α = Αν α + β = 5 και αβ = 6 τότε οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης: Α = 0 Β = 0 Γ. 5 6 = 0 Δ = 0 Ε = 0.

8 8 7. Στην ερώτηση «υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε α + β = και αβ = 6» δίνονται από τους μαθητές οι εξής απαντήσεις: Α. Ναι Β. Όχι Γ. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης + 6 = 0 Δ. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης + 6 = 0 Ε. Ναι και είναι ρίζες της εξίσωσης 6 = 0 8. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0 τότε η παράσταση ισούται με: Α. 5 Β. 9 Γ. 9 Δ. 5 Ε Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης = 0 τότε η παράσταση κ + κ κ 0 ισούται με: Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ Δ. 7κ Ε. 7κ 30. Αν οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης 6 7 = 0, τότε ο ισούται με: Α. 9 Β. 7 Γ. 3 Δ. 3 Ε Η εξίσωση κ 3 = 0, κ R* έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. καμία λύση Δ. τέσσερις λύσεις Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε. 3. Η εξίσωση κ = 0, όπου κ > 0, έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. τέσσερις λύσεις Δ. καμία λύση Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε.

9 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 9