Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν σύνθεση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση προβλήματος / σύνθεση λύσεων επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Χρόνος εκτέλεσης : χρόνος διάσπασης χρόνος σύνθεσης

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 4 2 6 7 11 20 88 75 15 15 43 91 32 29 12 50

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 4 2 6 7 11 20 88 75 15 15 43 91 32 29 12 50 4 2 6 7 20 12 29 15 15 43 32 50 75 88 91

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 4 2 6 7 11 20 88 75 15 15 43 91 32 29 12 50 4 2 6 7 20 12 29 15 15 43 32 50 75 88 91 4 2 6 20 12 29 15 15 32 43 75 88 91

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 4 2 6 7 11 20 88 75 15 15 43 91 32 29 12 50 4 2 6 7 20 12 29 15 15 43 32 50 75 88 91 4 2 6 20 12 29 15 15 32 43 75 88 91 2 4 15 12 15 20 29 75 88

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 4 2 6 7 11 20 88 75 15 15 43 91 32 29 12 50 4 2 6 7 20 12 29 15 15 43 32 50 75 88 91 4 2 6 20 12 29 15 15 32 43 75 88 91 2 4 15 12 15 20 29 75 88 12 15 20 29

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort 12 2 43 15 50 20 88 75 7 15 6 91 32 29 4 11 11 7 50 6 32 43 91 2 4 75 88 12 15 20 29

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort Χειρότερη περίπτωση: Κάθε κλήση αφαιρεί μόνο ένα στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης:

Διαίρει και Βασίλευε Ταξινόμηση quicksort Καλύτερη περίπτωση: Η ακολουθία χωρίζεται στη μέση. Χρόνος εκτέλεσης:

Διαίρει και Βασίλευε Μερικές προϋποθέσεις για επιτυχή εφαρμογή της μεθόδου «διαίρει και κυρίευε» 1. Τα υποπροβλήματα πρέπει να είναι του ιδίου τύπου με το αρχικό πρόβλημα και ανεξάρτητα μεταξύ τους (υπό κάποια κατάλληλη έννοια). 2. Το κόστος επίλυσης του αρχικού προβλήματος συνθέτοντας τις λύσεις των υποπροβλημάτων πρέπει να είναι μικρό. 3. Το μέγεθος των υποπροβλημάτων πρέπει να είναι αρκετά μικρότερο από το αρχικό. Ένας τρόπος να επιτευχθεί το (3) είναι να έχουμε υποπροβλήματα περίπου ίσου μεγέθους. Πως μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος σε προβλήματα που αφορούν γραφήματα;

Έστω S μια κλάση γραφημάτων που είναι κλειστή ως προς υπογραφήματα, δηλαδή αν G ϵ S και G είναι υπογράφημα του G τότε G ϵ S. f(n)-διαχωρισμός της S Υπάρχουν σταθερές α<1 και β>0 τέτοιες ώστε αν το G είναι γράφημα της κλάσης S με n κόμβους, τότε οι κόμβοι του μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β περιέχει το πολύ α n κόμβους. Το σύνολο C (διαχωριστής) περιέχει το πολύ β f(n) κόμβους.

Έστω S μια κλάση γραφημάτων που είναι κλειστή ως προς υπογραφήματα, δηλαδή αν G ϵ S και G είναι υπογράφημα του G τότε G ϵ S. f(n)-διαχωρισμός της S Υπάρχουν σταθερές α<1 και β>0 τέτοιες ώστε αν το G είναι γράφημα της κλάσης S με n κόμβους, τότε οι κόμβοι του μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β περιέχει το πολύ α n κόμβους. Το σύνολο C (διαχωριστής) περιέχει το πολύ β f(n) κόμβους. Θα περιγράψουμε θεωρήματα διαχωρισμού για επίπεδα γραφήματα [Lipton και Tarjan 1979]

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 1 Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με μη αρνητικά βάρη στους κόμβους που έχουν άθροισμα 1. Αν το G έχει συνδετικό δένδρο ύψους r, τότε οι κόμβοι του μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ 2 r+1 κόμβους, όπου το 1 αντιστοιχεί στη ρίζα του συνδετικού δένδρου.

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 1 Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με μη αρνητικά βάρη στους κόμβους που έχουν άθροισμα 1. Αν το G έχει συνδετικό δένδρο ύψους r, τότε οι κόμβοι του μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ 2 r+1 κόμβους, όπου το 1 αντιστοιχεί στη ρίζα του συνδετικού δένδρου. Απόδειξη Αν το G έχει κόμβο v με βάρος 1/3 τότε η πρόταση ισχύει για Α=V(G)-v, B= και C={v}. Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι κάθε κόμβος έχει βάρος 1/3.

Απόδειξη Θεωρούμε μια αναπαράσταση του G στο επίπεδο.

Απόδειξη Θεωρούμε μια αναπαράσταση του G στο επίπεδο. Προσθέτουμε ακμές έτσι κάθε όψη να είναι τρίγωνο.

Απόδειξη Θεωρούμε τώρα το συνδετικό δένδρο Τ του G με ύψος r. Κάθε ακμή εκτός του T (συμπεριλαμβανομένων και των επιπρόσθετων ακμών) ορίζει ένα κύκλο στο T οποίος περιέχει το πολύ 2r+1 κόμβους.

Απόδειξη Τ Ένας κύκλος έχει το πολύ 2r+1 κόμβους αν περιέχει τη ρίζα.

Απόδειξη Τ Ένας κύκλος έχει το πολύ 2r+1 κόμβους αν περιέχει τη ρίζα. Διαφορετικά έχει το πολύ 2r-1 κόμβους.

Απόδειξη Κάθε κύκλος χωρίζει το επίπεδο (και το γράφημα) σε δύο μέρη: το εσωτερικό Εσ(C) και το εξωτερικό Εξ(C) από τον κύκλο. Θα δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κύκλος C που ικανοποιεί το θεώρημα.

Απόδειξη Έστω (x,z) η ακμή που δεν ανήκει στο Τ και ελαχιστοποιεί το μέγιστο κόστος μέσα ή έξω από τον κύκλο. x z Αν υπάρχουν περισσότερες από μία τέτοιες ακμές τότε επιλέγουμε μια που να ελαχιστοποιεί τον αριθμό των όψεων στο τμήμα (εσωτερικό ή εξωτερικό) με το μεγαλύτερο βάρος. y Θα υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το τμήμα Εσ(C) έχει βάρος μεγαλύτερο ή ίσο του βάρους του τμήματος Εξ(C). Θα δείξουμε ότι το Εσ(C) έχει βάρος 2/3, οπότε η πρόταση ισχύει.

Απόδειξη Υποθέτουμε, για αντίφαση, ότι το Εσ(C) έχει κόστος μεγαλύτερο από 2/3. Έστω f η όψη που έχει την ακμή (x,z) στο όριο της και που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Έστω y ο τρίτος κόμβος της f. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις : 1. Οι ακμές (x,y) και (y,z) ανήκουν στον κύκλο. Τότε η όψη f=(x,y,z) ταυτίζεται με το κύκλο C. Όμως αυτό είναι αδύνατο γιατί ο κύκλος πρέπει να περιέχει κόμβους στο εσωτερικό του.

Απόδειξη 2. Η ακμή (x,y) ανήκει στον κύκλο. Τότε η ακμή (y,z) Τ ορίζει ένα κύκλο C στο εσωτερικό τμήμα Εσ(C ) του οποίου βρίσκονται οι ίδιοι κόμβοι που είναι στο Εσ(C) αλλά με μια λιγότερη όψη. Όμως αυτό είναι αδύνατο λόγω του ορισμού της ακμής (x,z). Ομοίως δείχνουμε ότι και ότι η περίπτωση (y,z) C και (x,y) Τ είναι αδύνατη. x z y

Απόδειξη 3. Οι ακμές (x,y) και (y,z) δεν ανήκουν στον κύκλο. Έχουμε τις ακόλουθες υποπεριπτώσεις. α) (x,y) και (y,z) είναι ακμές του Τ. Τότε το Τ περιέχει κύκλο, το οποίο είναι αδύνατο αφού είναι δένδρο. x z y

Απόδειξη 3. Οι ακμές (x,y) και (y,z) δεν ανήκουν στον κύκλο. Έχουμε τις ακόλουθες υποπεριπτώσεις. β) (x,y) Τ και (y,z) Τ. Τότε η (y,z) ορίζει ένα κύκλο C που περιέχει στο εσωτερικό του τμήμα Εσ(C ) ένα λιγότερο κόμβο (τον y) και μια λιγότερη όψη από το Εσ(C). Άρα βάρος(εσ(c )) βάρος(εσ(c)). Αν βάρος(εσ(c )) > βάρος(εξ(c )) τότε θα είχαμε επιλέξει την (y,z) αντί για την (x,z). Έστω λοιπόν ότι βάρος(εσ(c )) βάρος(εξ(c )). Όμως βάρος(εξ(c )) = βάρος(εξ(c)) + βάρος(y) 1/3+1/3 = 2/3. Άρα και πάλι θα είχαμε επιλέξει την (y,z) αντί για την (x,z). x y z

Απόδειξη 3. Οι ακμές (x,y) και (y,z) δεν ανήκουν στον κύκλο. Έχουμε τις ακόλουθες υποπεριπτώσεις. β) (x,y) Τ και (y,z) Τ. H ακμή (x,y) ορίζει ένα κύκλο C και η ακμή (y,z) ορίζει ένα κύκλο C. Κάθε κόμβος στο τμήμα Εσ(C) ανήκει στο Εσ(C ) ή στο Εσ(C ) ή στο όριο και των δύο κύκλων C και C. Έστω ότι βάρος(εσ(c )) βάρος(εσ(c )). (Διαφορετικά εναλλάσσουμε το x με το z.) Το εσωτερικό του τμήμα Εσ(C ) περιέχει μια λιγότερη όψη από το Εσ(C) και έχει βάρος(εσ(c )) βάρος(εσ(c)). Άρα, αν βάρος(εσ(c )) > βάρος(εξ(c )) τότε θα είχαμε επιλέξει την (x,y) αντί για την (x,z). Έστω λοιπόν ότι βάρος(εσ(c )) βάρος(εξ(c )). Όμως βάρος(εσ(c))>2/3, άρα βάρος(εσ(c )) + βάρος(c ) > 1/3 και βάρος(εξ(c )) < 2/3. Άρα και πάλι θα είχαμε επιλέξει την (x,y) αντί για την (x,z). x x y z z y

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 2 Έστω G ένα συνεκτικό επίπεδο γράφημα με μη αρνητικά βάρη στους κόμβους που έχουν άθροισμα 1. Χωρίζουμε τους κόμβους του G σε επίπεδα με βάση την απόσταση τους από κάποια κορυφή v και συμβολίζουμε με L(κ) το πλήθος των κόμβων στο επίπεδο κ. Έστω r η μέγιστη απόσταση από τον v. Ορίζουμε ένα κενό επίπεδο r+1 (L(r+1)=0). Αν έχουμε επίπεδα κ και λ τέτοια ώστε οι κόμβοι στα επίπεδα από 0 έως και κ-1 έχουν συνολικό κόστος το πολύ 2/3 και οι κόμβοι στα επίπεδα από λ+1 έως και r+1 έχουν συνολικό κόστος το πολύ 2/3, τότε οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ L(κ)+L(λ)+max{0,2 (λ-κ-1)} κόμβους.

Απόδειξη Έστω ότι κ λ. v Θέτουμε Α = κόμβοι στα επίπεδα 0,1,...,κ-1 Β = κόμβοι στα επίπεδα κ+1,...,r C = κόμβοι στo επίπεδο κ βάρος 2/3 λ κ βάρος 2/3 Τότε η πρόταση ισχύει.

Απόδειξη Έστω ότι κ < λ. Διαγράφουμε τα επίπεδα κ και λ, οπότε οι κόμβοι του G χωρίζονται σε 3 τμήματα: 1. Κόμβοι στα επίπεδα 0 κ-1. 2. Κόμβοι στα επίπεδα κ+1 λ-1. 3. Κόμβοι στα επίπεδα λ+1 r+1. κ λ v βάρος 2/3 βάρος 2/3 Κάποια τμήματα μπορεί να είναι κενά. Μόνο το (2) μπορεί να έχει βάρος > 2/3. Αν το τμήμα (2) έχει βάρος 2/3 τότε η πρόταση ισχύει για Α = τμήμα με το μέγιστο βάρος, Β = υπόλοιπα δύο τμήματα και C = κόμβοι στα επίπεδα κ και λ.

Απόδειξη Έστω ότι κ < λ. Διαγράφουμε τα επίπεδα κ και λ, οπότε οι κόμβοι του G χωρίζονται σε 3 τμήματα: 1. Κόμβοι στα επίπεδα 0 κ-1. 2. Κόμβοι στα επίπεδα κ+1 λ-1. 3. Κόμβοι στα επίπεδα λ+1 r+1. κ λ v βάρος 2/3 βάρος 2/3 Κάποια τμήματα μπορεί να είναι κενά. Μόνο το (2) μπορεί να έχει βάρος > 2/3. Έστω τώρα ότι το τμήμα (2) έχει βάρος > 2/3. Διαγράφουμε όλους του κόμβους στα επίπεδα λ+1 r+1 και συρρικνώνουμε τους κόμβους των επιπέδων 0 κ σε ένα κόμβο ν με βάρος 0. Με αυτόν τον τρόπο μας μένει ένα νέο επίπεδο γράφημα με μέγιστη απόσταση λ-κ-1 από τον v.

Απόδειξη Εφαρμόζουμε την Πρόταση 1 για το νέο γράφημα και λαμβάνουμε διαμέριση A, B και C. Θέτουμε Α = τμήμα με το μεγαλύτερο βάρος μεταξύ του Α και του Β C = (C v ) (κόμβοι στα επίπεδα κ και λ του αρχικού γραφήματος) Β = υπόλοιποι κόμβοι του G Από την Πρόταση 1 έχουμε ότι βάρος(α) 2/3. Όμως βάρος(α C ) 1/3 άρα και βάρος(β) 2/3. Τέλος, το C περιέχει το πολύ L(κ)+L(λ)+2 (λ-κ-1) κόμβους. Άρα η πρόταση ισχύει.

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 3 Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με n κόμβους οι οποίοι έχουν μη αρνητικά βάρη με άθροισμα 1. Οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ κόμβους.

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 3 Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με n κόμβους οι οποίοι έχουν μη αρνητικά βάρη με άθροισμα 1. Οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ κόμβους. Απόδειξη Θα υποθέσουμε πρώτα ότι το G είναι συνεκτικό. Επιλέγουμε ένα κόμβο v ως ρίζα και χωρίζουμε τους κόμβους του G σε επίπεδα με βάση την απόσταση τους από τον v. Συμβολίζουμε με L(κ) το πλήθος των κόμβων στο επίπεδο κ. Έστω r η μέγιστη απόσταση από τον v. Ορίζουμε ένα κενό επίπεδο r+1 και ένα κενό επίπεδο -1 (L(-1)=L(r+1)=0).

Απόδειξη Έστω κ το επίπεδο τέτοιο ώστε το βάρος των επιπέδων 0 κ-1 να είναι <1/2, αλλά το βάρος των επιπέδων 0 κ να είναι 1/2. βάρος < 1/2 κ v βάρος 1/2 Αν δεν υπάρχει τέτοιο κ τότε βάρος(g)<1/2 και επομένως η πρόταση ισχύει για B=C=. Έστω K το πλήθος των κόμβων στα επίπεδα 0 κ. Βρίσκουμε ένα επίπεδο μ κ τέτοιο ώστε. Βρίσκουμε ένα επίπεδο λ κ+1τέτοιο ώστε. Αν υπάρχουν τέτοια μ και λ τότε από την Πρόταση 2 οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε να μην υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β, βάρος(α), βάρος(β) 2/3 και το σύνολο C περιέχει πλήθος κόμβων το πολύ ίσο με

Απόδειξη Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι όντως υπάρχουν τέτοια επίπεδα μ και λ. βάρος < 1/2 μ κ v βάρος 1/2 Έστω ότι δεν υπάρχει κατάλληλο μ. λ Τότε για κάθε j κ έχουμε. Επειδή L(0)=1 ισχύει ότι. Άρα. Όμως που είναι άτοπο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει κατάλληλο λ.

Απόδειξη Αν το G δεν είναι συνεκτικό τότε έστω G 1,...,G k οι συνεκτικές συνιστώσες και έστω V i οι κόμβοι της συνιστώσας G i. Θεωρούμε τρεις περιπτώσεις: α) βάρος(v i ) 1/3 για κάθε i=1...k. Έστω j ο ελάχιστος αριθμός από 1 έως k τέτοιος ώστε βάρος(v 1... V j ) > 1/3. Τότε η πρόταση ισχύει για Α=V 1... V j, Β=V j+1... V k και C=. β) 1/3 βάρος(v i ) 2/3 για κάποιο j μεταξύ 1 και k. Τότε η πρόταση ισχύει για Α=V j, Β=V-V j και C=. γ) βάρος(v i ) > 2/3 για κάποιο j μεταξύ 1 και k. Εφαρμόζουμε την Πρόταση 3 για τη συνιστώσα G i.

Πόρισμα: Θεώρημα -διαχωρισμού επίπεδων γραφημάτων Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με n κόμβους. Οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει πολύ κόμβους. Το σύνολο C περιέχει το πολύ κόμβους. Απόδειξη Εφαρμόζουμε την Πρόταση 3 με βάρος(v)=1 για κάθε κόμβο v του G.

Διαχωρισμός επίπεδων γραφημάτων Πρόταση 3 Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με n κόμβους οι οποίοι έχουν μη αρνητικά βάρη με άθροισμα 1. Οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει συνολικό βάρος κόμβων το πολύ 2/3. Το σύνολο C περιέχει το πολύ κόμβους. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης οδηγεί σε αλγόριθμο υπολογισμού του διαχωρισμού σε Ο(n) χρόνο.

Αλγόριθμος για συνεκτικό επίπεδο γράφημα G 1. Υπολογίζουμε μια συνδυαστική αναπαράσταση του επίπεδου γραφήματος G (με λίστες γειτνίασης). 2. Υπολογίζουμε ένα συνδετικό δένδρο του G με προτεραιότητας εύρους (breadthfirst spanning tree). 3. Βρίσκουμε τα επίπεδα κ, λ και μ (μ κ, λ κ+1) που ορίσαμε στην απόδειξη της Πρότασης 3. 4. Διαγράφουμε τους κόμβους των επιπέδων λ. Δημιουργούμε μια νέα κορυφή x που αναπαριστά όλες τις κορυφές των επιπέδων 0 μ και υπολογίζουμε μια αναπαράσταση του νέου γραφήματος G.

Αλγόριθμος για συνεκτικό επίπεδο γράφημα G 5. Χωρίζουμε τις όψεις του G σε τρίγωνα. 6. Υπολογίζουμε ένα συνδετικό δένδρο T του G με προτεραιότητας εύρους (breadth-first spanning tree). 7. Επιλέγουμε μια ακμή (v 1,w 1 ) T και εντοπίζουμε τον κύκλο C που ορίζει στο T. Υπολογίζουμε το βάρος των τμημάτων Εσ(C) και Εξ(C). Βρίσκουμε το τμήμα με το μεγαλύτερο βάρος και το αποκαλούμε «εσωτερικό» (= Εσ(C)).

Αλγόριθμος για συνεκτικό επίπεδο γράφημα G 8. Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να βρούμε κύκλο C με βάρος(εσ(c)) 2/3. Έστω (v i,w i ) T η τρέχουσα ακμή που ορίζει τον C και έστω (v i,y,w i ) το τρίγωνο μέσα στο Εσ(C) που περιέχει την ακμή (v i,w i ). Αν η ακμή (v i,y) ή η ακμή (y,w i ) είναι ακμές του Τ τότε έστω (v i+1,w i+1 ) η μεταξύ τους ακμή που δεν ανήκει στο δένδρο. Έστω C ο κύκλος που ορίζει η (v i+1,w i+1 ). Αν καμία από τις (v i,y) και (y,w i ) δεν είναι ακμή του T βρες το μονοπάτι από τον y προς τον C. Έστω z ο τελευταίος κόμβος σε αυτό το μονοπάτι. Έστω C ο κύκλος που ορίζει η (v i,y) και έστω C ο κύκλος που ορίζει η (y,w i ). Υπολόγισε τα βάρη των Εσ(C ) και Εσ(C ). Αν βάρος(εσ(c )) > βάρος(εσ(c )) τότε επιλέγουμε (v i+1,w i+1 ) = (y,w i ), διαφορετικά επιλέγουμε (v i+1,w i+1 ) = (ν i,y).

Αλγόριθμος για συνεκτικό επίπεδο γράφημα G 9. Χρησιμοποιούμε τον C με βάρος(εσ(c)) 2/3 που βρήκαμε στο βήμα 8 για να λάβουμε να διαμερίσουμε τους κόμβους του G σε σύνολα των Α, Β και C, όπως στην απόδειξη της Πρότασης 3. Με κατάλληλη υλοποίηση ο παραπάνω αλγόριθμος εκτελείται σε O(n) χρόνο.

Πόρισμα: Θεώρημα -διαχωρισμού επίπεδων γραφημάτων Έστω G ένα επίπεδο γράφημα με n κόμβους. Οι κόμβοι του G μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα A, B και C τέτοια ώστε : Δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει κόμβο του Α με το κόμβο του Β. Καθένα από τα σύνολα Α και Β έχει πολύ κόμβους. Το σύνολο C περιέχει το πολύ κόμβους. Επιπλέον τα σύνολα A, B και C μπορούν να υπολογιστούν σε Ο(n) χρόνο.

Βελτιώσεις και επεκτάσεις Djidjev 1982 : Επίπεδος διαχωριστής με το πολύ κόμβους. Miller 1986 : Επίπεδος κυκλικός διαχωριστής με το πολύ κόμβους. Dijdjev και Vemkatesan 1987 : Επίπεδος κυκλικός διαχωριστής με το πολύ κόμβους. Frederickson 1987 : Υπολογισμός r-υποδιαίρεσης σε χρόνο.

r-υποδιαίρεση επίπεδου γραφήματος τμήματα με ξεχωριστές ακμές Κάθε τμήμα έχει κόμβους συνοριακοί κόμβοι (κόμβοι που ανήκουν σε τουλάχιστον 2 τμήματα)

Μερικές εφαρμογές του θεωρήματος διαχωρισμού επίπεδων γραφημάτων Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι για NP-πλήρη προβλήματα (π.χ. μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο) Δυναμικός προγραμματισμός Πολυπλοκότητα κυκλωμάτων. Διάταξη κυκλωμάτων VLSI. Επίλυση αραιών συμμετρικών γραμμικών συστημάτων (nested dissection). Προβλήματα βελτιστοποίησης (π.χ. μέγιστα ταιριάσματα, ελαφρύτατες διαδρομές).

Βιβλιογραφία http://www.cs.uoi.gr/~loukas/courses/grad/algorithmic_graph_theory/index.files/page291.htm