Data Analysis Examination Page 1 of (D1) Διπλός Πάλσαρ Κάνοντας συστηµατικές έρευνες τις τελευταίες δεκαετίες, οι αστρονόµοι κατάφεραν να εντοπίσουν ένα µεγάλο πλήθος από πάλσαρς µε περίοδο περιστροφής µικρότερη από 10ms. Η µεγάλη πλειονότητα τέτοιων πάλσαρς βρίσκονται σε διπλά συστήµατα µε σχεδόν κυκλικές τροχιές. Τόσο η παρατηρούµενη περίοδος περιστροφής, (Ρ), όσο και η παρατηρούµενη επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση της ευθείας παρατήρησης, (a), ενός πάλσαρ που βρίσκεται σε διπλό σύστηµα, µεταβάλλονται συστηµατικά εξαιτίας της τροχιακής κίνησης. Για κυκλικές τροχιές, αυτή η µεταβολή µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά ως συνάρτηση της τροχιακής φάσης 𝜙 (0 𝜙 𝜋) ως,!!!!! 𝑃 𝜙 = 𝑃! + 𝑃! 𝑐𝑜𝑠𝜙 όπου 𝑃! =!!! 𝜋! 𝑟 𝑃!! όπου 𝑃! είναι η τροχιακή περίοδος του διπλού συστήµατος, 𝑃! είναι η περίοδος ιδιοπεριστροφής του πάλσαρ και 𝑟 είναι η ακτίνα της τροχιάς. 𝑎 𝜙 = 𝑎! 𝑠𝑖𝑛𝜙 όπου 𝑎! = Ο παρακάτω πίνακας δίνει ένα τέτοιο σύνολο µετρήσεων για την 𝑃 και την 𝑎 σε διαφορετικές ηλιοκεντρικές χρονικές στιγµές, 𝑇, εκφρασµένες σε Τροποποιηµένες Ιουλιανές Ηµεροµηνίες (Modified Julian Days tmjd), δηλαδή τον αριθµό των ηµερών που έχουν περάσει από την Ιουλιανή ηµεροµηνία: MJD =.0.000 No. 1 8 9 T (tmjd) 0. 0.0.100. 981.811 98.9 00.89 00.8.90 P (µs) 8.8889 8.8 88.100 88.810 8.88 8.8 89.109 89.10 89.18 a (m s-) - 0.9 ± 0.08-0. ± 0.08-1.8 ± 0.0 + 1. ± 0.0 + 0. ± 0.0-0. ± 0.08 + 0. ± 0.08 + 0.00 ± 0.0 + 0.00 ± 0.0 Σχεδιάζοντας την 𝑎(𝜙) ως συνάρτηση της 𝑃(𝜙), µπορούµε να πάρουµε µια παραµετρική καµπύλη. Είναι προφανές από τις ανωτέρω σχέσεις, ότι αυτή η καµπύλη στο επίπεδο Περίοδος (Ρ) Επιτάχυνση (a) είναι µια έλλειψη. Στο παρόν πρόβληµα, θα εκτιµήσουµε την περίοδο ιδιοπεριστροφής, 𝑃!, την τροχιακή περίοδο, 𝑃!, και την τροχιακή ακτίνα, 𝑟, κάνοντας µια ανάλυση των δεδοµένων του πίνακα, και υποθέτοντας κυκλική τροχιά. (D1.1) Σχεδιάστε τα δεδοµένα µε λεζάντες και κλίµακα στους άξονες στο επίπεδο Περίοδος Επιτάχυνση (σηµειώστε το γράφηµα ως D1.1 ). (D1.) Σχεδιάστε στο ίδιο γράφηµα που βάλετε τα σηµεία ( D1.1 ), µια έλλειψη που να διέρχεται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο από τα εννέα σηµεία. (D1.) Με βάση το σχεδιάγραµµα, εκτιµήστε τα 𝑃!, 𝑃! και 𝑎!, συµπεριλαµβάνοντας και τις µπάρες σφαλµάτων. (D1.) Βρείτε εκφράσεις για τα 𝑃! και 𝑟 ως συναρτήσεις των 𝑃!, 𝑃!, 𝑎!. (D1.) Υπολογίστε την προσεγγιστική τιµή των 𝑃B και 𝑟 βασιζόµενοι στις εκτιµήσεις που κάνατε στο (D1.), συµπεριλαµβάνοντας τις µπάρες σφαλµάτων. (D1.) Υπολογίστε τη γωνία της τροχιακής φάσης, 𝜙, που αντιστοιχεί στις χρονικές στιγµές των παρακάτω πέντε παρατηρήσεων του ανωτέρω πίνακα: σειρές 1,,, 8, 9.
Page of (D1.) Βελτιώστε την εκτίµηση για την τροχιακή περίοδο, P B, χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα της υποερώτησης (D1.) µε τον εξής τρόπο: (D1.a) Πρώτα εκτιµήστε την χρονική στιγµή, T!, η οποία αντιστοιχεί στη χρονική στιγµή που η τροχιακή φάση είναι µηδέν και βρίσκεται λίγο πριν από την πρώτη παρατήρηση. (D1.b) Υπολογίστε θεωρητικά το n και τη χρονική στιγµή, T!"#!, που αντιστοιχεί στην τροχιακή γωνίας φάσης που υπολογίσατε στην υποερώτηση (D1.), για κάθε µια από τις πέντε παρατηρήσεις, από την σχέση: T!"#! = T! + n +!!"# P!, όπου n είναι ο αριθµός των τροχιακών περιόδων που έχουν περάσει µεταξύ T! και Τ (ή T!"#! ). Καταγράψτε τη διαφορά T!!!, δηλαδή T µείον T!"#!. Εισάγετε αυτούς τους υπολογισµούς στον πίνακα που δίνεται στο Φύλλο Απαντήσεων. (D1.c) Σχεδιάστε T O C ως προς το n (σηµειώστε το γράφηµά σας ως D1. ). (D1.d) Βρείτε τις βελτιωµένες τιµές της µηδενικής χρονικής στιγµής, T!,!, και της τροχιακής περιόδου, P!,!. (D) Απόσταση της Σελήνης Γεωκεντρικά δεδοµένα για τη Σελήνη δίνονται, για το Σεπτέµβριο 01, στο αστρονοµικό ηµερολόγιο που περιέχει ο παρακάτω Πίνακας. Όλες οι τιµές αναφέρονται στις 00:00 UT. Date R.A. (α) Dec. (δ) Γων. Διάµ. (θ) Φάση (φ) Αποχή Σελήνης h m s ' '' '' από Ήλιο Sep 01 0.0 1.8 1991. 0.9 18. W Sep 0 1 1..1 19.0 0.8 1. W Sep 0 0.0 11 1.1 190. 0.9 11.1 W Sep 0 8.8 1. 19.9 0. 10.9 W Sep 0.8 1 18. 189. 0. 9. W Sep 0 19. 1. 189.8 0.8 8.8 W Sep 0 1 19. 18. 18. 0. 0. W Sep 08.8 1. 18. 0. 9.0 W Sep 09 9 11.0 1 0.0 180. 0.1. W Sep 10 8 9 0.9 1. 19.0 0.09. W Sep 11 9 11. 10. 180. 0.0.1 W Sep 1 10. 0. 1. 0.01 1.1 W Sep 1 11 9 1.8 9 8.8 1. 0.001. W Sep 1 11 9.80 0 19 0. 1. 0.00.8 E Sep 1 1 9 0.01-0. 1.8 0.0 18. E Sep 1 1 11. - 18.8 1.0 0.0 9. E Sep 1 1 11.1-10 9. 1.8 0.10 0. E Sep 18 1 8 0. -1. 18. 0.189 1. E Sep 19 1.9-1 1. 199. 0.0. E Sep 0 1 8 0.1-1.8 1819.1 0..9 E Sep 1 1 1 0.0-18 0. 18.0 0. 8. E Sep 18 1. -18 0 1. 180. 0. 9. E Sep 19 1.1-1 0 0. 1900.9 0. 110.0 E Sep 0 19 19. -1 9 8.0 191.9 0. 1.8 E Sep 1 1. -11 9 9. 191.1 0.81 1. E Sep 1. -8 10 18. 198. 0.9 10.0 E Sep 1. - 8. 00.0 0.981 1.0 E Sep 8 0 10 8. 0 8 8. 008. 1.000 18. E Sep 9 1 9.89 8. 00. 0.988 1. W Sep 0 9.0 9 1.1 1988. 0.9 1. W
Page of Στη παρακάτω φωτογραφική σύνθεση παρουσιάζονται στιγµιότυπα της Σελήνης κατά τη διάρκεια της Σεληνικής έκλειψης που έλαβε χώρα το Σεπτέµβριο 01. Το κέντρο κάθε φωτογραφικού στιγµιότυπου της Σελήνης συµπίπτει µε την κεντρική γραµµή Β-Ν, που διέρχεται από το κέντρο της σκιάς. Θεωρείστε ότι ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο της Γης. (D.1) Το Σεπτέµβριο 01, το απόγειο τα τροχιάς της Σελήνης βρίσκεται κοντά στη/στο: Νέα Σελήνη / 1 ο τέταρτο / Πανσέληνο / ο Τέταρτο Σηµειώστε την απάντησή σας στο Φύλλο Απαντήσεων. Δεν χρειάζεται να την δικαιολογήστε (D.) Το Σεπτέµβριο 01, ο αναβιβάζων σύνδεσµος της τοµής της τροχιάς της Σελήνης µε την εκλειπτική, βρίσκεται πλησιέστερα στη/στο: Νέα Σελήνη / 1 ο τέταρτο / Πανσέληνο / ο Τέταρτο Σηµειώστε την απάντησή σας στο Φύλλο Απαντήσεων. Δεν χρειάζεται να την δικαιολογήστε. (D.) Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα, εκτιµήστε την εκκεντρότητα, e, της τροχιάς της Σελήνης (D.) Εκτιµήστε τη γωνιώδη διάµετρο, θ!"#$%, της σκιάς της Γης ως προς τη γωνιώδη διάµετρο της Σελήνης, θ!""#. Υποδείξτε, χρησιµοποιώντας διαβήτη, τη µέθοδο υπολογισµού στη φωτογραφική σύνθεση στην πίσω πλευρά του Φύλλου Απαντήσεων. (D.) Η γωνιώδης διάµετρος του Ήλιου την ηµέρα της έκλειψης ήταν θ!"# = 191.0. Στην παρακάτω εικόνα, S! R! και S! R! είναι ακτίνες που προέρχονται από διαµετρικά αντίθετα σηµεία του ηλιακού δίσκου. Η γραφική παράσταση δεν είναι υπό κλίµακα. 8 9 Υπολογίστε τη γωνιώδη διάµετρο της παρασκιάς, θ!"#$%&'(, σε σχέση µε την θ!""#. Υποθέστε ότι ο παρατηρητής βρίσκεται στο κέντρο της Γης. (D.) Έστω θ!"#$% η γωνιώδης διάµετρος της Γης, όπως φαίνεται από το κέντρο της Σελήνης. Υπολογίστε τη γωνιώδη διάµετρο της Σελήνης, θ!""#, όπως αυτή θα φαινόταν από το κέντρο της Γης, κατά την ηµέρα της έκλειψης, ως συνάρτηση της θ!"#$%. (D.) Από τα παραπάνω αποτελέσµατα, εκτιµήστε την ακτίνα της Σελήνης, R!""#, σε km. (D.8) Υπολογίστε την µικρότερη απόσταση της Σελήνης, r!"#$%"", και τη µεγαλύτερη απόσταση, r!"#$%%, της Σελήνης. (D.9) Χρησιµοποιείστε τα κατάλληλα δεδοµένα για τις 10 Σεπτεµβρίου για τον υπολογισµό της απόστασης του Ήλιου, d!"#, από τη Γη. 10
Page of (D) Υπερκαινοφανείς τύπου IA Οι υπερκαινοφανείς τύπου Ia θεωρούνται πολύ σηµαντικοί για τις µετρήσεις µεγάλων εξωγαλαξιακών αποστάσεων. Η απότοµη αύξηση της λαµπρότητας και η εν συνεχεία ελάττωση της λαµπρότητας αυτών των εκρήξεων ακολουθούν µια χαρακτηριστική καµπύλη φωτός, που µας βοηθά στην αναγνώρισή τους ως υπερκαινοφανείς τύπου Ιa. Οι καµπύλες φωτός όλων των υπερκαινοφανών τύπου Ia µπορούν, µε την κατάλληλη αλλαγή της κλίµακας, να προσαρµοστούν στο ίδιο µοντέλο καµπύλης φωτός. Για να το πετύχουµε αυτό, θα πρέπει πρώτα να µετατρέψουµε τις καµπύλες φωτός στο σύστηµα αναφοράς του γαλαξία που περιέχει τον υπερκαινοφανή, λαµβάνοντας υπόψη την κοσµολογική επέκταση/διαστολή όλων των παρατηρήσεων στα χρονικά διαστήµατα, Δt!"#, κατά τον παράγοντα κοσµικής διαστολής (1 + z). Η διαφορά χρόνου στο αδρανειακό σύστηµα του γαλαξία αναφέρεται ως Δt gal. Στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς της καµπύλης φωτός του υπερκαινοφανούς, το χρονικό διάστηµα Δt! ορίζεται ως το διάστηµα κατά το οποίο το αστρικό µέγεθος του αλλάζει κατά δύο µεγέθη συγκρινόµενο µε το µέγιστο της καµπύλης. Αν θέσουµε υπό επιπλέον κλίµακα τα χρονικά διαστήµατα κατά έναν παράγοντα s (δηλ. Δt! = sδt!"# ) έτσι ώστε η υπό κλίµακα τιµή του Δt! να είναι η ίδια για όλους τους υπερκαινοφανείς, τότε όλες οι καµπύλες φωτός αποδεικνύεται ότι αποκτούν το ίδιο σχήµα. Αποδεικνύεται επίσης ότι το s είναι ευθέως ανάλογο προς το απόλυτο µέγεθος, M!"#$, στο σηµείο της µεγίστης λαµπρότητας του υπερκαινοφανούς. Εποµένως, µπορούµε να γράψουµε s = a + bm!"#$, όπου τα a και b είναι σταθερές. Γνωρίζοντας τον παράγοντα κλίµακας, µπορούµε να προσδιορίσουµε από την ανωτέρω γραµµική εξίσωση, το απόλυτο µέγεθος του υπερκαινοφανούς στην άγνωστη απόσταση. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδοµένα για τρεις υπερκαινοφανείς, και περιλαµβάνει τον παράγοντα της απόστασής τους, μ (για τους πρώτους δύο), την ταχύτητα αποµάκρυνσης τους, cz, και τα φαινόµενα µεγέθη τους, m!"#, σε διάφορες χρονικές στιγµές. Το χρονικό διάστηµα Δt!"# t t!"#$ είναι ο αριθµός των ηµερών από την ηµεροµηνία που η λαµπρότητα του υπερκαινοφανή πήρε τη µεγίστη τιµή. Τα παρατηρηθέντα µεγέθη έχουν ήδη διορθωθεί για µεσοαστρική και ατµοσφαιρική απορρόφηση. Name SN00TD SN00IS SN00LZ µ (mag).. cz (km s -1 ) 1 9 100 Δt obs (d) m obs (mag) m obs (mag) m obs (mag) -1.00 19.1 18. 0.18-10.00 1.8 1. 18.9 -.00 1.1 1. 1.8 0.00 1. 1.1 1.8.00 1.0 1.1 1. 10.00 1. 1.8 18. 1.00 1. 1. 18.98 0.00 18.08 1.91 19..00 18. 18.9 0.1 0.00 18. 18. 0.8 (D.1) Υπολογίστε τις τιµές Δt!"#, για τους τρεις υπερκαινοφανείς και συµπληρώστε τους πίνακες στην πίσω πλευρά του Φύλλου Απαντήσεων. Στο µιλιµετρέ χαρτί, τοποθετήστε τα σηµεία και σχεδιάστε τις τρεις καµπύλες φωτός στο αδρανειακό σύστηµα (ονοµάστε τη γραφική παράσταση D.1 ). (D.) Έστω ο παράγοντας κλίµακας, s!, για τον υπερκαινοφανή SN00IS ότι είναι 1,00. Υπολογίστε τους παράγοντες κλίµακας, s! και s!, για τους άλλους δύο υπερκαινοφανείς SN00TD και SN00LZ, αντίστοιχα, υπολογίζοντας το Δt! από τις γραφικές παραστάσεις. 1
Page of (D.) Υπολογίστε τον παράγοντα κλίµακας διαφοράς χρόνου, Δt!, και για τους τρεις υπερκαινοφανείς. Συµπληρώστε τις τιµές για τα Δt! στους ίδιους πίνακες στο Φύλλο Απαντήσεων. Σε ένα άλλο µιλιµετρέ χαρτί, σχεδιάστε και τις καµπύλες φωτός και βεβαιωθείτε ότι και οι τρεις καµπύλες είναι ίδιου σχήµατος (ονοµάστε τη γραφική παράσταση D. ). (D.) Υπολογίστε το απόλυτο µέγεθος στο µέγιστο λαµπρότητας, M!"#$,!, για SN00TD και M!"#$,!, για SN00IS. Χρησιµοποιείστε αυτές τις τιµές για να υπολογίσετε τα a και b. (D.) Υπολογίστε το απόλυτο µέγεθος στο µέγιστο λαµπρότητας, M!"#$,!, και τον παράγοντα απόστασης, μ!, για SN00LZ. (D.) Χρησιµοποιείστε τον παράγοντα απόστασης μ! για να εκτιµήσετε την τιµή της σταθεράς του Hubble, H!. Επιπλέον, υπολογίστε την χαρακτηριστική ηλικία του σύµπαντος, T!. 1