Κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων: Σχολιασµός στα πρόσηµα των ιαφόρων µεγεθών και αντιστοιχία µε το µηχανικό σύστηµα ελατηρίου µάζας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν θα προσπαθήσω να παραθέσω λίγα σχόλια για τα κριτήρια που χρησιµοποιούµε προκειµένου να επιλέξουµε τα πρόσηµα των µεγεθών, v, v, ε αυτ και στο κύκλωµα. Αφορµή για το σχολιασµό είναι το Στιγµιαία Μέγεθος πλήθος ιαφορετικών απόψεων που τιµή συναντάµε στο θέµα αυτό, που µερικές φορτίο πυκνωτή φορές φαίνονται και αντιφατικές ή Q ασαφείς. τάση πηνίου / πυκνωτή v / v V Τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται για τα ΗΕ αυτεπαγωγής ιάφορα µεγέθη του είναι τα ε αυτ V συνηθισµένα (βλ. ιπλανό πίνακα). ένταση ρεύµατος εν επιιώκω να παρουσιάσω κάποια I αυστηρά µαθηµατική προσέγγιση, αλλά ενέργεια ηλεκτρ. πείου κυρίως να σχολιάσω, αν µπορώ, µε U ε Ε τρόπο που να ίνει κάποιο φυσικό ενέργεια µαγν. πείου U Β Ε νόηµα τις ιάφορες επιλογές και να έχει κάποια πρακτική αξία. ισχύς πηνίου / πυκνωτή p / p P Πλάτος Στο µηχανικό σύστηµα ελατηρίου µάζας εν συναντάµε παρόµοιο πρόβληµα, ιότι έχουµε ιανυσµατικά µεγέθη και τα πρόσηµα σχετίζονται µε τη φορά τους. Ορίζουµε λοιπόν µια θετική φορά και όλα είναι ξεκάθαρα. Οι ενεργειακές µετατροπές και οι ρυθµοί σχετίζονται µε το έργο και την ισχύ των αντίστοιχων υνάµεων και είναι εύκολο να ούµε που ασκείται µια ύναµη και πότε το έργο της είναι θετικό ή αρνητικό. Στο ηλεκτρικό κύκλωµα εν είναι όµως τόσο ξεκάθαρα τα πράγµατα. ΙΑΦΟΡΑ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΤΑΣΗ ος ΚΑΝΟΝΑΣ KIRHHOFF Η ιαφορά υναµικού από σηµείο Α έως άλλο Β ορίζεται στη Β Λυκείου από το έργο του ηλεκτρικού πείου κατά τη µετακίνηση ενός φορτίου: V ΑΒ =W ΑΒ / και ως εώ καλά, είναι ξεκάθαρο πότε έχει θετική και πότε αρνητική τιµή. Λίγο πιο κάτω όµως, στους πυκνωτές, εισάγουµε την έννοια της τάσης V µεταξύ των οπλισµών ενός πυκνωτή, που είναι ανάλογη µε το φορτίο του πυκνωτή (V=/) µε µια θετική ηλαή ποσότητα. Σκεφτείτε και τη σχέση V=ε l στο οµογενές ηλεκτρικό πείο. Καλώς κάνουµε βέβαια και χρησιµοποιούµε την έννοια της τάσης V ως µιας θετικής ποσότητας και απλοποιούµε τα πράγµατα, ιότι αλλιώς θα χάναµε την ουσία µέσα στα πρόσηµα. Σελία από 5
Εντούτοις η εισαγωγή της έννοιας αυτής και ο τρόπος που τη χρησιµοποιούµε στη συνέχεια στα κυκλώµατα, γίνεται πολλές φορές µε µια σχετική χαλαρότητα ως προς τα πρόσηµα, ανάλογα µε το τι µας εξυπηρετεί. Στο σχολικό π.χ. συναντάµε για τον ο κανόνα του Krchhoff τη ιατύπωση: «Το αλγεβρικό άθροισµα των ιαφορών υναµικού κατά µήκος µιας κλειστής ιαροµής ισούται µε µηέν», που πιστεύω είναι ορθή αν και θα µπορούσε να λείπει η λέξη «αλγεβρικό». Στη µαθηµατική της ιατύπωση όµως γράφει: Σ( V)=. Αναφέρεται ηλαή στο άθροισµα των µεταβολών του υναµικού, που κι αυτό βέβαια ισχύει. Στο βιβλίο που είχαµε στις έσµες έγραφε (αν θυµάµαι καλά): «Το αλγεβρικό άθροισµα των τάσεων κατά µήκος µιας κλειστής ιαροµής ισούται µε µηέν», που και αυτή φαίνεται ορθή αν θεωρούµε θετική την κάθε τάση και λέγοντας «αλγεβρικό άθροισµα» εννοούµε να την προσθέτουµε ή να την αφαιρούµε ανάλογα αν ανεβάζει η κατεβάζει το υναµικό κατά τη φορά ιαγραφής. Θυµηθείτε και άλλες ιατυπώσεις του ο κανόνα του Krchhoff, όπως τη σχέση ΣΕ Σ(Ι R)=, ή όπως την έχουµε αλλού συναντήσει ΣΕ+Σ(Ι R)=, και έπρεπε να γράφουµε µνηµονικούς κανόνες για το πώς θα επιλέγουµε τα πρόσηµα. Στην πράξη τώρα, σε ένα κύκλωµα όπως τα ύο ιπλανά, είναι πολύ συνηθισµένο να γράφουµε, ανάλογα µε το τι θέλουµε να τονίσουµε: V AB + V BA = αλλά και: V πηγής V R = V πηγής I R = ή και: V πηγής + V R = που σηµαίνει ότι τώρα θεωρούµε την V R (ή έστω µια από τις ύο) αρνητική, π.χ. V R = I R Το ίιο και στην περίπτωση του πυκνωτή: V πηγής V = V = V πηγής ή και: V πηγής + V = V = V πηγής Φυσικά είµαστε σε θέση να εξηγήσουµε, αν µας ρωτήσουν, τι ακριβώς εννοούµε κάθε φορά και γιατί προτιµήσαµε τον ένα ή τον άλλο τρόπο γραφής. Α Α R I Ε, r Ε, r Β Β O ος ΚΑΝΟΝΑΣ KIRHHOFF ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΛΟ ΒΡΟΧΟ Όταν σε ένα κύκλωµα συνεχούς χρησιµοποιούµε τον ο κανόνα του Krchhoff επικρατέστερη είναι η τακτική να θεωρούµε θετικές όλες τις τάσεις και να τις προσθέτουµε ή να τις αφαιρούµε αν αντίστοιχα ανεβάζουν ή κατεβάζουν το υναµικό. Αν µάλιστα το κύκλωµα αποτελείται µόνο από έναν απλό βρόχο, υπάρχει ηλαή ένα µόνο ρεύµα τότε, εοµένου και του γεγονότος ότι ο ος κανόνας του Krchhoff εκφράζει τη ιατήρηση της ενέργειας, συνηθίζεται να χρησιµοποιούµε τη φορά του ρεύµατος (εννοούµε πάντα τη συµβατική φορά) σαν φορά ιαγραφής, οπότε: Οι τάσεις που προστίθενται, που προκαλούν ηλαή αύξηση στο υναµικό, είναι αυτές που προσφέρουν ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωµα (παραγόµενο ηλεκτρικό έργο στα φορτία του ρεύµατος) η οποία προέρχεται από κάποια άλλη µορφή. Αντιστοιχούν ηλαή στις πηγές του κυκλώµατος. Σελία από 5
Αντίθετα, οι τάσεις που αφαιρούνται, που προκαλούν ηλαή µείωση στο υναµικό, είναι αυτές που αφαιρούν ηλεκτρική ενέργεια από το κύκλωµα (απανώµενο ηλεκτρικό έργο από τα φορτία του ρεύµατος) και την µετατρέπουν σε κάποια άλλη µορφή. Αντιστοιχούν ηλαή στους καταναλωτές του κυκλώµατος, ωµικούς καταναλωτές ή γενικότερα αποέκτες κάθε µορφής. Σύµφωνα λοιπόν µε τη συνήθη πρακτική του ου κανόνα του Krchhoff και της ιατήρησης ενέργειας, αν θέλουµε να ενσωµατώσουµε ένα πρόσηµο στο σύµβολο της τάσης V στα άκρα ενός στοιχείου του κυκλώµατος και να τη θεωρούµε «αλγεβρικό» µέγεθος τότε η τάση αυτή µπορεί να θεωρηθεί θετική αν το στοιχείο λειτουργεί σαν πηγή ή αντίστοιχα αρνητική αν το στοιχείο λειτουργεί σαν αποέκτης. εοµένου µάλιστα ότι η ένταση Ι του ρεύµατος θεωρείται θετική, η ηλεκτρική ισχύς P=V I του κάθε στοιχείου, ο ρυθµός ηλαή µε τον οποίο αυτό προσφέρει ενέργεια στο κύκλωµα, αν τη ούµε αλγεβρικά, συµβαίζει µε το πρόσηµο της αντίστοιχης τάσης: Η ισχύς µιας πηγής είναι θετική, ενώ η ισχύς ενός αποέκτη αρνητική. Έτσι αν ιατρέξουµε το πιο κάτω κύκλωµα φόρτισης ενός πυκνωτή µε τη φορά του ρεύµατος έχουµε: V AB +V BΓ +V ΓΑ = (όπου V AB < και V BΓ, V ΓΑ >) Ή µπορούµε να θεωρήσουµε όλες τις τάσεις θετικές και να γράψουµε: V πηγής V R V = Ε R V = Ή τέλος να θεωρήσουµε τις τάσεις αλγεβρικά, οπότε: V πηγής + V R + V = (όπου όµως τώρα V πηγής > και V R, V <) Στην πράξη βέβαια είναι άσκοπο σε ένα κύκλωµα συνεχούς να γράψουµε αλγεβρικά τις τάσεις αφού ήη γνωρίζουµε τις πολικότητές τους και εν αλλάζουν κατά τη ιάρκεια του φαινόµενου. Γι αυτό και προτιµάµε τη σχέση Ε R V = από την οποία προκύπτει και η αντίστοιχη ιαφορική εξίσωση του κυκλώµατος, π.χ. για την τάση V του πυκνωτή: dv R + V E = Β R Γ Ε (r=) Α ΜΕ TI ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΣΤΟ ; Όταν έχουµε κύκλωµα εναλλασσόµενου, αναγκαζόµαστε να αντιµετωπίσουµε αλγεβρικά τις τάσεις και την ένταση του ρεύµατος για να συµπεριλάβουµε την εναλλαγή της πολικότητας ή της φοράς αντίστοιχα. Φτάνουµε έτσι στις εύλογες απορίες που µπορεί να προκύψουν από το εκάστοτε κριτήριο επιλογής των προσήµων, που κατά κανόνα περιέχει κάποια αυθαίρετη αρχική επιλογή. Σελία 3 από 5
Αναφέρω ενεικτικά για παράειγµα µερικά τέτοια κριτήρια: Αν ο πυκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος, θεωρούµε ότι η τάση και το φορτίο του στην κατάσταση αυτή έχουν θετικές τιµές. Αν αρχικά το πηνίο ιαρέεται από ρεύµα, θεωρούµε θετικό το ρεύµα αυτής της φοράς. Θεωρούµε ότι ένταση του ρεύµατος έχει το ίιο πρόσηµο µε το ρυθµό µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή. Θεωρούµε ότι η ένταση του ρεύµατος έχει το ίιο πρόσηµο µε το ρυθµό εκφόρτισης του πυκνωτή. Βάζουµε γράµµατα στα άκρα κάθε στοιχείου, επιλέγουµε αυθαίρετα κάποιο αρχικό σηµείο, π.χ. το θετικό πόλο του αρχικά φορτισµένου πυκνωτή, και χρησιµοποιούµε τις ιαφορές υναµικού από σηµείο σε σηµείο, αντί των τάσεων, ιατρέχοντας το κύκλωµα µε ορισµένη φορά. Κλπ. Κάποια από αυτά είναι βέβαια αντιφατικά. Είναι λογικό επίσης να µην είναι πλήρης η αναλογία µε τα πρόσηµα των αντίστοιχων µεγεθών του µηχανικού συστήµατος. Όχι ότι είναι υποχρεωτικό να συµβαίνει αυτό, αλλά η ιαφοροποίηση µας ηµιουργεί κάποια αµφιβολία για το πόσο επιτυχής ήταν η επιλογή ενός κριτηρίου. Είαµε πιο πάνω ότι µια συνήθης πρακτική σε έναν απλό βρόχο είναι να θεωρούµε θετική την ένταση, θετικές τις τάσεις των πηγών και αρνητικές των αποεκτών. Αυτό βέβαια εν µπορούµε να το ιατηρήσουµε στο εναλλασσόµενο, µπορούµε όµως να ιατηρήσουµε τη λογική να θεωρούµε θετική την ισχύ µιας πηγής και αρνητική την ισχύ ενός αποέκτη, αφού αντίστοιχα προσφέρει ηλεκτρική ενέργεια στα κινούµενα φορτία φορείς ή αφαιρεί από αυτά. Σύµφωνα λοιπόν πάλι µε τη συνήθη πρακτική του ου κανόνα Krchhoff και της ιατήρησης της ενέργειας, µπορούµε να θεωρούµε την τάση στα άκρα του πυκνωτή ή του πηνίου και την ένταση του ρεύµατος οµόσηµες (P ηλ =v >) όταν το στοιχείο λειτουργεί σαν πηγή και ετερόσηµες (P ηλ <) όταν λειτουργεί σαν αποέκτης. ΗΕ ΠΗΓΗΣ, ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΣΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ, ΗΕ ΑΠΟ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ Στη Β Λυκείου ορίζουµε την ΗΕ µιας πηγής σύµφωνα µε τη σχέση E=W ηλ / ως µια θετική φυσική ποσότητα / ιιότητα της πηγής. Τη συσχετίζουµε µε την πολική τάση της πηγής (V π =E I r) και αν η πηγή είναι ιανική θεωρούµε ότι η τάση στους πόλους της συµπίπτει µε την ΗΕ της πηγής (V π =E). Επίσης σε ανοικτό κύκλωµα πάλι θεωρούµε ότι V π =E. Στο κύκλωµα τώρα συναντάµε συνήθως την ίια πρακτική, για το ιανικό πηνίο ότι η ΗΕ από αυτεπαγωγή συµπίπτει µε την τάση στα άκρα του (ε αυτ =v ) και για τον πυκνωτή ότι η ίια η τάση στα άκρα του παίζει το ρόλο ΗΕ (ε =v ). Σελία 4 από 5
Σπανιότερα, συναντάµε όµως και την άποψη ότι ε αυτ = v και το ίιο για τον πυκνωτή, ότι η ΗΕ ηλαή του κάθε στοιχείου έχει αντίθετη πολικότητα από την τάση στα άκρα του. Σε τι βασίζεται αυτή η θέση; Στη βιβλιογραφία υπάρχει ο εξής ορισµός για την ΗΕ ανοικτού κυκλώµατος µιας πηγής: E= ε dx ή αλλιώς Ε = V π όπου ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πείου που ηµιουργείται στο εσωτερικό της πηγής καθώς αυτή προσπαθεί να µετακινήσει τα φορτία προς τον θετικό της πόλο και έτσι συσσωρεύονται προκαλώντας την εµφάνιση πολικής τάσης V π στα άκρα της. Το πείο αυτό αντιτίθεται όλο και πιο πολύ στη µετακίνηση των φορτίων και τελικά τη σταµατά, σταθεροποιώντας έτσι την τάση στους πόλους της πηγής. Το αρνητικό πρόσηµο έχει εώ φυσικό νόηµα αφού η τάση αυτή αντιτίθεται στην ΗΕ της πηγής. Κάτι τέτοιο συναντάµε π.χ. στα κοινά ηλεκτρικά στοιχεία αλλά και στην ΗΕ από επαγωγή που αναπτύσσεται σε αγωγό όταν κινείται µέσα σε µαγνητικό πείο. Ο ορισµός αυτός στο ανοικτό κύκλωµα είναι κατανοητός σε µια πηγή όταν η ΗΕ προέρχεται από ένα µηχανισµό όπως οι χηµικές αντιράσεις, οι ηλεκτροµαγνητικές υνάµεις από κάποιο εξωτερικό πείο, από µία ιαρκή ηλαή αιτία που προσπαθεί να κινήσει τα φορτία / φορείς στο εσωτερικό της πηγής και να τα µεταφέρει σε ψηλότερο υναµικό ακόµα και όταν το κύκλωµα είναι ανοικτό. Πιστεύω όµως ότι αυτό εν µπορεί να έχει εφαρµογή στα στοιχεία του κυκλώµατος, αφού αφενός εν πρόκειται για ανοικτό κύκλωµα, αλλά και επιπλέον ο ίιος ο µηχανισµός εµφάνισης ΗΕ εν είναι ιαρκής αλλά παροικός και προκαλείται από την αντίραση του κάθε στοιχείου στις µεταβολές που του συµβαίνουν. Αυτή λοιπόν η επιλογή να θεωρήσουµε την ΗΕ του κάθε στοιχείου αντίθετη από την τάση στα άκρα του µάλλον εν ικαιολογείται παρά µόνο σαν µια «τακτοποίηση» των προσήµων ώστε να συµφωνήσουν µε τον ενεργειακό ρόλο του στοιχείου. Στα επόµενα λοιπόν θα θεωρούµε ότι οι ΗΕ των ύο στοιχείων συµπίπτουν µε τις τάσεις στα άκρα τους: ε αυτ =v και ε =v. Ειικότερα τώρα, η ΗΕ του πηνίου σύµφωνα µε το νόµο της αυτεπαγωγής, είναι: ε αυτ = d/ µε το αρνητικό πρόσηµο να εκφράζει σύµφωνα µε τον κανόνα του enz την αντίθεσή της στις µεταβολές του ρεύµατος. Στην πράξη, ειικά στα κυκλώµατα συνεχούς, µπορούµε να γράφουµε το νόµο µε απόλυτα, αφού πρόκειται για µία θετική ποσότητα και να σηµειώνουµε στο σχήµα τη σωστή πολικότητα. Αν όµως θέλουµε να ενσωµατώσουµε ένα πρόσηµο που να µας ίνει κάποια πρόσθετη πληροφορία (όπως π.χ. αν το πηνίο λειτουργεί σαν πηγή ή σαν αποέκτης), τότε τον χρησιµοποιούµε στη µορφή ε αυτ = d/ ή στη µορφή ε αυτ = d/. Υπάρχει και για τις ύο µορφές σχετική επιχειρηµατολογία και ανάλογα µε τις υπόλοιπες επιλογές µας µπορεί νοµίζω να θεωρηθεί (έστω, περισσότερο ή λιγότερο) ικαιολογηµένη η κάθε µια από τις ύο αυτές µορφές. Στα επόµενα, αφού ήη θεωρούµε ότι ε αυτ =v, θα χρησιµοποιούµε για την ε αυτ τον νόµο της στη µορφή που θα ικανοποιεί τη συνθήκη αυτή. Σελία 5 από 5
ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΜΑΖΑΣ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΤΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Η πρώτη παρατήρηση που αφορά τα ύο συστήµατα είναι η εξής: Στο κύκλωµα η µεταφορά ενέργειας από τον πυκνωτή στο πηνίο και αντίστροφα γίνεται µέσω του ρεύµατος (και του ηλεκτρικού έργου του πείου που θέτει τα φορτία σε κίνηση). Τα (κατά σύµβαση θετικά) φορτία, όταν περνούν µέσα από το πηνίο κινούµενα προς σηµεία χαµηλότερου υναµικού χάνουν ενέργεια η οποία µετατρέπεται σε ενέργεια µαγνητικού πείου στο πηνίο. Στην περίπτωση αυτή, ο πυκνωτής λειτουργεί σαν πηγή και το πηνίο σαν αποέκτης. Η τάση v του πυκνωτή παίζει το ρόλο ΗΕ στο κύκλωµα. Όταν όµως ιέρχονται από το πηνίο κινούµενα προς σηµεία ψηλότερου υναµικού, τότε παίρνουν ενέργεια από αυτό η οποία µετατρέπεται σε ενέργεια ηλεκτρικού πείου στον πυκνωτή. Το πηνίο τώρα λειτουργεί σαν πηγή και ο πυκνωτής σαν αποέκτης. Η ε αυτ του πηνίου (η οποία εµφανίζεται σαν τάση v στα άκρα του) παίζει τώρα το ρόλο ΗΕ στο κύκλωµα. Στη µηχανική όµως η αλληλεπίραση µάζας ελατηρίου είναι άµεση. Τα ύο σώµατα ασκούν το ένα στο άλλο υνάµεις (ράση αντίραση, F ελ. = F σώµ. ) και µέσω του έργου των υνάµεων αυτών µεταφέρεται η ενέργεια από το ένα σώµα στο άλλο και αλλάζει µορφή από υναµική σε κινητική και αντίστροφα. Μπορούµε, αν θέλουµε µια στενότερη αναλογία ανάµεσα στα ύο συστήµατα, να υποθέσουµε ότι µεταξύ ελατηρίου και σώµατος υπάρχει ένας αβαρής κρίκος σύνεσης (το ανάλογο του ρεύµατος). Οι υνάµεις F ελατ., F σώµ. από το ελατήριο και το σώµα αντίστοιχα, ασκούνται τότε και οι ύο στον κρίκο και εν αποτελούν πλέον ζευγάρι ράσης αντίρασης, αλλά πάντως έχουν συνεχώς συνισταµένη µηέν, αφού ο κρίκος είναι αβαρής: Έτσι, όταν η µία από αυτές προσφέρει ενέργεια στον κρίκο παράγοντας έργο, η άλλη την αφαιρεί καταναλώνοντας το ίιο έργο και τελικά µεταφέρεται η ενέργεια από το ελατήριο στο σώµα και αντίστροφα, αλλάζοντας ταυτόχρονα και µορφή. Στον αβαρή κρίκο: ΣF = ηλαή F ελατ. + F σώµ. = οπότε: F ελατ. = F σώµ. Όµοια στο : ΣV = ηλαή v + v = οπότε: v = v Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε µια αντιστοιχία ανάµεσα στα µεγέθη του µηχανικού και του ηλεκτρικού συστήµατος, παραβλέποντας για την ώρα αν υπάρχει απόλυτη συµφωνία ή όχι στα πρόσηµά τους. (Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε αυτό πιο αναλυτικά, εξετάζοντας τα ιάφορα κριτήρια επιλογής των προσήµων στο ): Σελία 6 από 5
Θ.Ι. x=+a Αρχική κατάσταση του κάθε συστήµατος (=) Το ελατήριο k είναι συµπιεσµένο κατά x=+a και έχει υναµική ενέργεια: U= k A =+Q Ο πυκνωτής είναι φορτισµένος µε =+Q και έχει ηλεκτρική ενέργεια: U E = Q Θ.Ι. υ< F ελ < x> Κατάσταση λίγο µετά την έναρξη των ύο ταλαντώσεων ( < < ) Το ελατήριο αποσυµπιέζεται. Η τάση F ελ αναγκάζει τον κρίκο να κινηθεί προσφέροντας µέσω του έργου της ενέργεια. Το σώµα µε την αράνειά του m αντιστέκεται στην αύξηση της ταχύτητας, η οποία έτσι αυξάνεται σταιακά και όχι απότοµα, ασκώντας στον κρίκο F σωµ και απορροφώντας ενέργεια που µετατρέπεται σε κινητική. Σταθερά επαναφοράς: D D Ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Η τάση v προκαλεί ρεύµα και ο πυκνωτής λειτουργεί ως πηγή προσφέροντας ενέργεια. Το πηνίο µε την αράνειά του εµφανίζει ε αυτ που αντιστέκεται στην αύξηση του ρεύµατος, αναγκάζοντάς το να αυξηθεί σταιακά και όχι απότοµα. Όσο συµβαίνει αυτό λειτουργεί ως αποέκτης απορροφώντας ενέργεια και µετατρέποντάς τη σε ενέργεια µαγνητικού πείου. Ιιότητες του συστήµατος Χωρητικότητα: Μάζα: m m Συντελεστής αυτεπαγωγής: ω= D m T= π m D Μέγιστες τιµές µεγεθών ω= T= π Μέγ. αποµάκρυνση (πλάτος): Α Μέγ. φορτίο πυκνωτή Q Μέγ. ταχύτητα: υ max = Α ω Μέγ. ένταση ρεύµατος Ι = Q ω Μεγ. επιτάχυνση: α max = Α ω Μεγ. ρυθµ. µεταβολής ρεύµατος Μέγ. ύναµη ελατηρίου / σώµατος: F max = D A Μέγ. ΗΕ αυτεπαγωγής, Μεγ. τάσεις πην. / πυκν.: Ε d αυτ max = V = Q ω Μέγ. υν. / κιν. ενέργεια: U max = Κ max = E Μέγ. ηλ. / µαγν. ενέργεια U Ε,max = U Β,max = E Ολική ενέργεια: F σωµ > E = D A = m υ Ολική ενέργεια: max v > v E= Q = = V = I Q Σελία 7 από 5
Στιγµιαίες τιµές µεγεθών Αποµάκρυνση: x Φορτίο πυκνωτή: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: dx υ= Ένταση ρεύµατος: α dυ - F = m σώµ = Ρυθµός µεταβολής έντασης: ύναµη που ασκεί το ελατήριο στον κρίκο: F ελατ. = D x Τάση πυκνωτή: v = = d = d ε αυτ = v ύναµη που ασκεί το σώµα στον κρίκο: F σώµ. = m α Τάση πηνίου: v = d Νewon, ΣF=: F ελατ. + F σώµ. = Krchhoff, ΣV=: v + v = υναµική ενέργεια: U = D x Ηλεκτρική ενέργεια: U ε = Κινητική ενέργεια: K = m υ Μαγνητική ενέργεια: U B = ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ. Στο κύκλωµα, το φορτίο του πυκνωτή (καθώς και η τάση στους οπλισµούς του) παίρνει θετικές και αρνητικές τιµές. Τι σηµαίνει αυτό από φυσική άποψη; Το φορτίο ενός πυκνωτή εν είναι εξ ορισµού θετική ποσότητα; Πρόκειται µήπως για το φορτίο του ενός από τους ύο οπλισµούς; Φορτίο ενός πυκνωτή ονοµάζουµε το φορτίο που µεταφέρθηκε από τον ένα οπλισµό στον άλλο κατά τη φόρτιση (θετικό κατά σύµβαση). Έτσι οι ύο οπλισµοί αποκτούν ετερώνυµα φορτία + και. Πρόκειται λοιπόν για µια θετική ποσότητα. Επιπλέον, από τη σχέση v =/ προκύπτει το ίιο και για την τάση του πυκνωτή, τη θεωρούµε ηλαή θετική. Σε µια ηλεκτρική ταλάντωση όµως ο πυκνωτής εµφανίζει ύο ιαφορετικές καταστάσεις φόρτισης, αφού η πολικότητά του αλλάζει περιοικά. Έτσι για να τις ιακρίνουµε, αντιστοιχούµε σε κάθε κατάσταση από ένα πρόσηµο. Π.χ. στο ιπλανό σχήµα: >, v, > και <, v, <. Η επιλογή αυτή γίνεται κατ αρχήν αυθαίρετα, εκτός αν ζητείται ή πρέπει να χρησιµοποιηθεί κάποιο άλλο κριτήριο. Σελία 8 από 5
Αφού επιλέξουµε ποια από τις ύο καταστάσεις αντιστοιχεί σε > µπορούµε αν θέλουµε να χρησιµοποιούµε τον ένα από τους ύο οπλισµούς σαν µνηµονική βοήθεια.. Στο κύκλωµα, η ένταση του ρεύµατος παίρνει θετικές και αρνητικές τιµές. Τι σηµαίνει αυτό από φυσική άποψη; Η ένταση ρεύµατος εν είναι εξ ορισµού θετική ποσότητα; Με ποιο κριτήριο επιλέγουµε τη θετική φορά του ρεύµατος; Η ένταση του ρεύµατος ορίζεται ως ο ρυθµός ιέλευσης φορτίου από µια ιατοµή του αγωγού (=d/) και µάλιστα θετικού φορτίου (συµβατική φορά). Πράγµατι λοιπόν είναι µια θετική ποσότητα. Όταν όµως έχουµε εναλλαγή της φοράς (εναλλασσόµενο ρεύµα) χρησιµοποιούµε πρόσηµα ώστε να ιακρίνουµε τις ύο φορές (π.χ. µπορούµε να θεωρήσουµε θετική τη φορά του ρολογιού και αρνητική την αντίθετη, ή το αντίστροφο). Σύµφωνα τώρα µε το σχολικό βιβλίο (σελ. 5), στο κύκλωµα «θετική θεωρείται η φορά του ρεύµατος, όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισµό που για = ήταν θετικά φορτισµένος». Επειή, σύµφωνα πάντα µε το σχολικό, η αρχική κατάσταση του πυκνωτή ήταν κατάσταση θετικού φορτίου (= =+Q), προκύπτουν οι εξής συνυασµοί για τα πρόσηµα των και : >, > (φόρτιση) <, < (φόρτιση) >, < (εκφόρτιση) <, > (εκφόρτιση) Το κριτήριο λοιπόν που προκύπτει από το σχολικό γενικότερα για την επιλογή των προσήµων είναι το εξής: Κατά τη φόρτιση του πυκνωτή, όταν ηλαή το ρεύµα κατευθύνεται προς τον θετικό (+) οπλισµό του, η ένταση ρεύµατος και το φορτίο του είναι οµόσηµα. Όταν βέβαια ο πυκνωτής εκφορτίζεται, τα ύο µεγέθη είναι ετερόσηµα. Έτσι, αν εν είναι εµφανές από την εκφώνηση της άσκησης ποια πολικότητα για το ή ποια φορά για το πρέπει να θεωρήσουµε θετική, τότε επιλέγουµε το πρόσηµο του ενός από τα ύο µεγέθη αυθαίρετα και εφαρµόζουµε στη συνέχεια το πιο πάνω κριτήριο. Σελία 9 από 5
Παρατηρήσεις: Ι. Σύµφωνα µε το κριτήριο αυτό, η ένταση ρεύµατος συµπίπτει µε το ρυθµό µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή: =d/. Πράγµατι, κατά τη φόρτιση, d είναι οµόσηµα άρα και, οµόσηµα. Ενώ κατά την εκφόρτιση, d είναι ετερόσηµα άρα και, ετερόσηµα. ΙΙ. Οι εξισώσεις () και () βρίσκονται σε πλήρη αναλογία µε τις αντίστοιχες x() και υ() του µηχανικού συστήµατος. Υπάρχει όµως αναντιστοιχία στα πρόσηµα τάσεων / υνάµεων: H ύναµη του ελατηρίου (ύναµη επαναφοράς) είναι αντίθετη της αποµάκρυνσης, F ελατ. = D x, ενώ η τάση v του πυκνωτή είναι οµόσηµη µε το φορτίο του αφού v = /. Ακόµα, για να ικανοποιείται ο ος κανόνας του Krchhoff (v = v ), Η ΗΕ του πηνίου πρέπει να γραφεί: ε αυτ = v = ΙΙΙ. Το κριτήριο αυτό έρχεται επίσης σε αντίθεση µε την πρακτική να θεωρούµε θετική την ισχύ µιας πηγής και αρνητική την ισχύ ενός αποέκτη. Πράγµατι, η ισχύς p =v του πυκνωτή στην περίπτωση αυτή έχει θετική τιµή κατά τη φόρτιση του πυκνωτή (αποέκτης) και αρνητική κατά την εκφόρτιση (πηγή). Γι αυτό εξάλλου και θεωρούµε ότι η ισχύς αυτή εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πείου του πυκνωτή, που είναι αντίθετος από τον ρυθµό µε τον οποίο προσφέρει ο πυκνωτής ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωµα: d dw ηλ duε = Το ίιο ισχύει επίσης και για την ηλεκτρική ισχύ του πηνίου. Οι εξισώσεις των στιγµιαίων τιµών αναλυτικά είναι: x = Α ηµ(ω + φ ο ) = Q ηµ(ω + φ ο ) υ = ω Α συν(ω + φ ο ) = ω Q συν(ω + φ ο ) α = ω Α ηµ(ω + φ ο ) d = ω Q ηµ(ω + φ ο ) F ελατ. + F σώµ. = v + v = F ελατ. = D x F σώµ. = m α v = / ε αυτ = v = F ελατ. = D Α ηµ(ω + φ ο ) v = / Q ηµ(ω + φ ο ) F σώµ. = + D Α ηµ(ω + φ ο ) v = / Q ηµ(ω + φ ο ) d Για να προκύψει το παράειγµα του σχολικού, ηλ. για = να έχουµε =+Q, πρέπει να θέσουµε φ ο =π/. Σελία από 5
Οι γραφικές παραστάσεις των µεγεθών του στην περίπτωση αυτή είναι οι εξής: v v v v v v v v +Q T/ 3 T Q +I T/ 3 T I +V v v T/ 3 T V E U ε U B T/ 3 T +P p p T/ 3 T P Σελία από 5
3. Πώς σχετίζεται η ένταση του ρεύµατος µε το ρυθµό µεταβολής του φορτίου του πυκνωτή στο κύκλωµα ; Είναι σωστό να γράφουµε =d/ ή µήπως είναι = d/; Η αφορµή για τη ιατύπωση αυτής της ερώτησης προήλθε από το βιβλίο του καθηγητή (σελ. 3) που χρησιµοποιεί για την ένταση τη σχέση: = d/. Η σχέση αυτή βρίσκεται βέβαια σε αντίθεση µε το κριτήριο που ιατυπώσαµε σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο στην ερώτηση. Μπορούµε να τεκµηριώσουµε από φυσική άποψη την νέα αυτή επιλογή για την ένταση, ηλ. = d/, αν ακολουθήσουµε τον εξής συλλογισµό: Όταν εκφορτίζεται ο πυκνωτής, λειτουργεί σαν πηγή και σύµφωνα µε την πρακτική του ου κανόνα Krchhoff και της ιατήρησης ενέργειας που αναφέραµε στην εισαγωγή, η ισχύς του θα πρέπει να είναι θετική, αφού προσφέρει ενέργεια στο κύκλωµα. Συνεπώς, η ένταση του ρεύµατος θα πρέπει κατά την εκφόρτιση να είναι οµόσηµη µε την τάση του v =/. Η ένταση εκφράζει ηλαή αλγεβρικά πάντα τον ρυθµό εκφόρτισης του πυκνωτή (που είναι βέβαια αντίθετος από τον ρυθµό µεταβολής του φορτίου του). Με την επιλογή λοιπόν αυτή γίνεται µια «τακτοποίηση» στα πρόσηµα της ισχύος του πυκνωτή και του πηνίου, έτσι ώστε κάθε ισχύς να παίρνει θετική τιµή όταν το αντίστοιχο στοιχείο λειτουργεί σαν πηγή και αρνητική όταν αυτό λειτουργεί σαν αποέκτης. Οι εξισώσεις των στιγµιαίων τιµών στο είναι τώρα: x = Α ηµ(ω + φ ο ) = Q ηµ(ω + φ ο ) υ = ω Α συν(ω + φ ο ) = ω Q συν(ω + φ ο ) α = ω Α ηµ(ω + φ ο ) d = ω Q ηµ(ω + φ ο ) F ελατ. + F σώµ. = v + v = F ελατ. = D x F σώµ. = m α v = / ε αυτ = v = F ελατ. = D Α ηµ(ω + φ ο ) v = / Q ηµ(ω + φ ο ) F σώµ. = + D Α ηµ(ω + φ ο ) v = / Q ηµ(ω + φ ο ) d Βλέπουµε ότι πάλι υπάρχει ασυµφωνία στα πρόσηµα και µάλιστα σε περισσότερα µεγέθη από ότι πριν. Σελία από 5
4. Αν η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή είναι =Q συν(ω), τότε η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος είναι = I ηµ(ω) ή είναι =I ηµ(ω); Εξαρτάται από την επιλογή =d/ ή = d/ που θα κάνουµε για το ρεύµα. Βλέπε προηγούµενη ερώτηση (3). 5. Η ΗΕ από αυτεπαγωγή στο ιανικό πηνίο είναι ε αυτ =υ ή είναι ε αυτ = υ ; Το ερώτηµα αυτό συζητήθηκε στην αρχή, στην ενότητα: ΗΕ ΠΗΓΗΣ, ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΣΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ, ΗΕ ΑΠΟ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ 6. Η ΗΕ από αυτεπαγωγή είναι τελικά ε αυτ = d/ ή είναι ε αυτ = d/; Το ερώτηµα αυτό συζητήθηκε επίσης στην αρχή, στην ίια ενότητα: ΗΕ ΠΗΓΗΣ, ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΣΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ, ΗΕ ΑΠΟ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ 7. Όταν το πηνίο ή ο πυκνωτής λειτουργούν σαν πηγές, τότε η ηλεκτρική ισχύς τους, p ή p αντίστοιχα, είναι θετική ή αρνητική; Η ισχύς µιας πηγής εν είναι θετική; Σχετική συζήτηση γι αυτό έγινε στην αρχή στις ενότητες: O ος ΚΑΝΟΝΑΣ KIRHHOFF ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΛΟ ΒΡΟΧΟ ΜΕ TI ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΣΤΟ ; αλλά και στην παρατήρηση ΙΙΙ της ερώτησης (), καθώς και στην ερώτηση (3). και Σελία 3 από 5
8. Μήπως πρέπει τελικά να θεωρήσουµε την τάση και το φορτίο του πυκνωτή ετερόσηµα, ηλαή v = / ; Την επιλογή αυτή την άφησα για το τέλος, ιότι κατά τη ική µου εκτίµηση, έχει φυσικό νόηµα και φαίνεται να ηµιουργεί την πιο πλήρη αντιστοιχία µε το µηχανικό σύστηµα: Αν στο κύκλωµα φόρτισης του πυκνωτή µέσω πηγής E,r εφαρµόσουµε τον ο κανόνα Krchhoff κατά τη φορά του ρεύµατος (που το θεωρούµε θετικό, >), έχουµε: v πηγής + v = ηλαή οι ύο τάσεις, είναι ετερόσηµες αν θέλουµε να φαίνεται ο ενεργειακός ρόλος του κάθε στοιχείου, αφού ο πυκνωτής λειτουργεί σαν απoέκτης (v <). Το φορτίο που αποκτά όµως είναι εξ ορισµού θετικό (>, αυτό που µεταφέρεται κατά τη φόρτιση ). Έτσι ισχύει: v = / Το φυσικό νόηµα του αρνητικού αυτού προσήµου είναι ότι ή τάση v αντιστέκεται στη µετακίνηση του φορτίου απορροφώντας ενέργεια από το κύκλωµα κατά τη φόρτιση. Η ενέργεια αυτή αποθηκεύεται µε µορφή ενέργειας ηλεκτρικού πείου. Η σχέση: v = / βρίσκεται σε πλήρη αναλογία µε τον νόµο του Hooke στο ελατήριο: F ελατ = k l ή αλλιώς F ελατ = k x Η τάση του ελατηρίου αντιστέκεται στην παραµόρφωση x απορροφώντας ενέργεια από το χέρι µας όταν συµπιέζουµε το ελατήριο. Η ενέργεια αυτή αποθηκεύεται µε µορφή υναµικής ενέργειας. Όταν ο πυκνωτής φορτιστεί πλήρως από την πηγή οι τελικές τιµές του φορτίου και της τάσης στα άκρα του θα είναι: =+Q και V= Ε ή αλλιώς v = Q/ > E, r > Αν λοιπόν στο κριτήριο του σχολικού που είαµε στην ερώτηση () για την επιλογή των προσήµων προσθέσουµε και τη σχέση v = / τότε οι εξισώσεις των στιγµιαίων τιµών γίνονται: x = Α ηµ(ω + φ ο ) = Q ηµ(ω + φ ο ) υ = ω Α συν(ω + φ ο ) = ω Q συν(ω + φ ο ) α = ω Α ηµ(ω + φ ο ) d = ω Q ηµ(ω + φ ο ) F ελατ. + F σώµ. = v + v = F ελατ. = D x F σώµ. = m α v = / ε αυτ = v = F ελατ. = D Α ηµ(ω + φ ο ) v = / Q ηµ(ω + φ ο ) F σώµ. = + D Α ηµ(ω + φ ο ) v = + / Q ηµ(ω + φ ο ) d Σελία 4 από 5
Και αν θέσουµε φ ο =π/, ώστε για = να έχουµε =+Q (παράειγµα σχολικού), οι γραφικές παραστάσεις των µεγεθών του τώρα είναι: v v v v v v v v +Q T/ 3 T Q +I T/ 3 T I +V v v T/ 3 T V E U ε U B T/ 3 T +P p p T/ 3 T P ΠΥΚΝΩΤΗΣ πηγή αποέκτης πηγή αποέκτης ΠΗΝΙΟ αποέκτης πηγή αποέκτης πηγή Σελία 5 από 5