ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá [ ] Ôåëéêüò Âáèìüò [ ] Óçìåßùóç: Íá ãñáöïýí áðü ôá 4 èýìáôá ôá 3. Ïé áðáíôþóåéò íá åßíáé áéôéïëïãçìýíåò. ÊáëÞ åðéôõ ßá!
ÈÝìá 1. óôù ïé ÌáñêïâéáíÝò áëõóßäåò ìå þñï êáôáóôüóåùí = {1; 2; 3; 4; 5}; = {1; 2; 3; 4} êáé ðßíáêåò ðéèáíïôþôùí ìåôáðþäçóçò áíôßóôïé á 1=3 0 0 0 2=3 0 1=2 1=2 0 1=5 1=5 1=5 2=5 0 Á = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ; êáé  = 1=3 0 0 2=3 1 0 0 0 : 0 0 1 0 4=5 0 0 0 1=5 á) Íá ôáîéíïìçèïýí ïé êáôáóôüóåéò ôùí Ìáñêïâéáíþí áëõóßäùí. â) Ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôïõ ðßíáêá Á íá õðïëïãéóèïýí ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò. ã) Ãéá ôçí ðåñßðôùóç ôïõ ðßíáêá  íá õðïëïãéóèïýí ïé ìýóïé ñüíïé åðáíüäùí i ; i = 1; 2; 3; 4. ÁðÜíôçóç: á) Ãéá ôçí áëõóßäá ìå ðßíáêá ôïí Á õðüñ ïõí ôá êëåéóôü óýíïëá êáôáóôüóåùí Ê 1 = {1; 5}; Ê 2 = {3}; Ê 3 = {4} êáé ôï óýíïëï ìåôáâáôéêþí Ì = {2}. Ïé êáôáóôüóåéò 1, 5 áðïôåëïýí åñãïäéêþ áëõóßäá, åíþ ïé êáôáóôüóåéò 3 êáé 4 åßíáé êáôáóôüóåéò áðïññüöçóçò. Ç áëõóßäá ìå ðßíáêá ôïí  åßíáé áðëþ êáé ðåñéïäéêþ ìå ðåñßïäï 2. â) Ãéá ôï êëåéóôü Ê 1 õðüñ åé ç óôüóéìç êáôáíïìþ êáé óõìðßðôåé ìå ôçí ïñéáêþ ðïõ åßíáé (õ 1 ; õ 5 ) = ( 5 ; 6 ). Ïé ðéèáíüôçôåò áðïññüöçóçò ôçò 2 áðü ôï êëåéóôü Ê 11 11 1 äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò f 21 = (1=5)f 21 +1=5; f 25 = (1=5)f 25 +1=5, äçë. f 21 = f 25 = 1=4. ñá ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò åßíáé lim p 21 = f 21 = 1 = (1=4)=(11=6) = 6=44 êáé lim p 25 = f 25 = 5 = (1=4)=(11=5) = 5=44. ¼ìïéá Ý ïõìå f 23 = (1=5)f 23 + 1=5; f 24 = (1=5)f 24 + 2=5, äçë. f 23 = 1=4; f 24 = 1=2. ñá ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò åßíáé lim p 23 = f 23 = 3 = (1=4)=1 = 1=4 êáé lim p 24 = f 24 = 4 = (1=2)=1 = 1=2. Óõíåðþò ï ðßíáêáò ïñéáêþí ðéèáíïôþôùí åßíáé lim P = 6=11 0 0 0 5=11 6=44 0 11=44 11=22 5=44 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 6=11 0 0 0 5=11 ã) ÕðÜñ åé ç óôüóéìç êáôáíïìþ êáé åýêïëá õðïëïãßæåôáé. Åßíáé (õ 1 ; õ 2 ; õ 3 ; õ 4 ) = (6=16; 3=16; 5=16; 2=16). ñá ïé ìýóïé ñüíïé åßíáé 1 = 16=6; 2 = 16=3; 3 = 16=3; 4 = 16=2. :
ÈÝìá 2. Ìéá áöçñçìýíç ìáèçìáôéêüò Ý åé 3 ïìðñýëëåò, êüðïéåò áðü áõôýò óôï óðßôé êáé êüðïéåò óôï ãñáöåßï. Áí öåýãïíôáò áðü ôï óðßôé ôï ðñùß ( Þ áðü ôï ãñáöåßï ôï áðüãåõìá ) âñý åé, ðáßñíåé ìéá ïìðñýëëá, áí õðüñ åé êüðïéá. ÄéáöïñåôéêÜ âñý åôáé. óôù üôé âñý åé ìå ðéèáíüôçôá 0.2 áíåîüñôçôá áðü ôçí ðñïçãïýìåíç ìýñá. Ãéá íá ïñßóïõìå ìéá ÌáñêïâéáíÞ áëõóßäá, áò èåùñþóïõìå X n ; n = 1; 2; : : : ôïí áñéèìü ôùí ïìðñåëëþí ðïõ Ý åé óôç äéüèåóþ ôçò êáôü ôçí ôñý ïõóá èýóç (óðßôé Þ ãñáöåßï). ( ÅðåîÞãçóç: óôù X n ï áñéèìüò ôùí ïìðñåëëþí ðïõ Ý åé ôç ñïíéêþ óôéãìþ n óôï óðßôé. Ôüôå X n+1 åßíáé ï áñéèìüò ôùí ïìðñåëëþí ðïõ Ý åé üôáí öèüóåé óôï ãñáöåßï. Ð.. ôï åíäå üìåíï {X n+1 = 2 X n = 2} óçìáßíåé üôé Ý åé 2 ïìðñýëëåò óôï óðßôé êáé üôáí öèüóåé óôï ãñáöåßï Ý åé 2, ôï ïðïßï óçìáßíåé üôé öåýãïíôáò áðü ôï óðßôé ôï ðñùß Ýâñå å êáé ðþñå ìéá ïìðñýëëá, Üñá ç ðéèáíüôçôá ôïõ ðáñáðüíù åíäå ïìýíïõ åßíáé 0,2, ê.ë.ð.. O þñïò êáôáóôüóåùí åßíáé Ω = {0; 1; 2; 3}.) á) Íá ðñïóäéïñéóèåß ï ðßíáêáò ðéèáíïôþôùí ìåôáðþäçóçò ðñþôçò ôüîçò. â) Íá äåé èåß üôé ç áëõóßäá åßíáé åñãïäéêþ êáé íá õðïëïãéóèåß ç óôüóéìç êáôáíïìþ. Ðïéï ôï ïñéáêü ðïóïóôü ôïõ ñüíïõ ðïõ âñý åôáé; ÁðÜíôçóç: Óýìöùíá ìå ôçí åðåîþãçóç ï ðßíáêáò ðéèáíïôþôùí ìåôáðþäçóçò ðñþôçò ôüîçò åßíáé P = 0 0 0 1 0 0 0:8 0:2 0 0:8 0:2 0 0:8 0:2 0 0 Åýêïëá äéáðéóôþíåôáé üôé ç áëõóßäá åßíáé áðëþ êáé áöïý åßíáé ðåðåñáóìýíç üëåò ïé êáôáóôüóåéò åßíáé Ýììïíåò èåôéêýò. Áêüìá ðáñáôçñïýìå üôé p 22 = 0:2 ðïõ óçìáßíåé üôé ç êáôüóôáóç 2 åßíáé áðåñéïäéêþ, Üñá üëåò åßíáé áðåñéïäéêýò. Ç áëõóßäá åßíáé åñãïäéêþ êáé óõíåðþò õðüñ åé ç óôüóéìç êáôáíïìþ êáé óõìðßðôåé ìå ôçí ïñéáêþ. Åýêïëá õðïëïãßæåôáé ç óôüóéìç êáôáíïìþ ðïõ åßíáé : (õ 0 = 8=38; õ 1 = 10=38; õ 2 = 10=38; õ 3 = 10=38): ÏñéáêÜ ç ðéèáíüôçôá íá âñá åß åßíáé ç ðéèáíüôçôá íá âñý åé êáé íá åßíáé óôçí êáôüóôáóç 0, äçë. (0:2) (8=38) = 0:0421 Þ ôï 4.21% ôïõ ñüíïõ.
Ïé áößîåéò ðåëáôþí óå Ýíá ìéêñü óõíïéêéáêü ðáíôïðùëåßï áêïëïõèïýí ôç ÈÝìá 3. óôï áóôéêþ áíýëéîç Poisson {X(t), t 0} ìå ðáñüìåôñï 10 ðåëüôåò áíü 30. åé ðáñáôçñçèåß üôé ôï 40% ôùí ðåëáôþí åßíáé çëéêéùìýíïé, ôï 20% ìåóáßáò çëéêßáò êáé ôï 40% åßíáé íýïé. Ìå ôçí õðüèåóç üôé ïé áößîåéò ôïõò åßíáé áíåîüñôçôåò íá áðáíôçèïýí ôá ðáñáêüôù åñùôþìáôá: á) Ç ðéèáíüôçôá óå 1 þñá íá öèüóïõí 6 íýïé êáé 12 ôùí Üëëùí çëéêéáêþí êáôçãïñéþí. â) Ç ðéèáíüôçôá äåäïìýíïõ üôé óå 1 þñá Ýöèáóáí 20 ðåëüôåò ïé 10 íá Þôáí çëéêéùìýíïé êáé ïé 8 íá Þôáí íýïé. ã) Ç ðéèáíüôçôá ï ñüíïò áíáìïíþò ãéá ôïí ðñþôï çëéêéùìýíï íá åßíáé ìéêñüôåñïò áðü 5 êáé ãéá ôïí ðñþôï áðü ôïõò õðüëïéðïõò ìåãáëýôåñïò áðü 10. ÁðÜíôçóç: óôù X 1 (t); 2 (t); X 3 (t) ïé çëéêéùìýíïé, ìåóáßáò çëéêßáò êáé íýïé ðåëüôåò ôïõ ðáíôïðùëåßïõ. Óýìöùíá ìå ôá äåäïìýíá åßíáé áíåîüñôçôåò óôï áóôéêýò áíåëßîåéò Poisson ìå ðáñáìýôñïõò áíôßóôïé á 1 = 4=30 ; 2 = 2=30 ; 3 = 4=30. á) ÆçôÜìå ôçí ðéèáíüôçôá Á P (X 3 (60 ) = 6; X 1 (60 ) + X 2 (60 ) = 12) Ëüãù áíåîáñôçóßáò ôùí óô.áíåë. X i (t); i = 1; 2; 3 Ý ïõìå üôé ôï Üèñïéóìá X 1 (60 ) + X 2 (60 ) åßíáé Poisson ìå ðáñüìåôñï 1 + 2 = 4 + 2=30 êáé ç ðáñáðüíù ðéèáíüôçôá åßíáé Á = P (X 3 (60 ) = 6) P (X 1 (60 ) + X 2 (60 ) = 12) = [e = [e 8 86 6! ] [e 12 1212 12! ]: ÆçôÜìå ôçí ðéèáíüôçôá (4=30)60 86 B P (X 1 (60 ) = 10; X 3 (60 ) = 8 X(60 ) = 20); ç ïðïßá ëüãù ôçò áíåîáñôçóßáò ôùí óô.áíåë. X i (t); i = 1; 2; 3 åßíáé  = P (X 1(60 ) = 10; X 3 (60 ) = 8; X 2 (60 ) = 2) P (X(60 ) = 20) = = [e (4=30)60 810 10! 88 42 ][e (4=30)60 ][e (2=30)60 ] 8! 2! [e (10=30)60 20 20 20! ] 20! 10!8!2! ( 8 20 )10 ( 8 20 )8 ( 2 20 )2 6! ] [e (4+2=30)60 1212 12! ]
ã)æçôüìå ôçí ðéèáíüôçôá Γ P (W 1 < 5 ; W 1 > 10 ): Ëüãù ôçò áíåîáñôçóßáò ôùí óô.áíåë. X i (t); i = 1; 2; 3 Ý ïõìå üôé êáé ïé ñüíïé W 1; W 1 åßíáé áíåîüñôçôåò åêèåôéêýò ìå ðáñáìýôñïõò 1 = 4=30 êáé 2 + 3 = 2 + 4=30 áíôßóôïé á. ñá 5 Γ = [ (4=30) e (4=30)t dt] [ (6=30) e (6=30)t dt] = [1 e (2=3) ] [e 2 ]: 0 10
ÈÝìá 4. á) óôù ìéá óôï áóôéêþ áíýëéîç Poisson {X(t); t 0} ìå ðáñüìåôñï 2 ãåãïíüôá áíü 1. Íá õðïëïãéóèïýí ôá åîþò: P (X(3 ) = 4 X(1 ) = 1); Cov(X(1 ); X(3 )); P (W 2 1 X(2 ) = 6): â) óôù ç ÌáñêïâéáíÞ áëõóßäá X, = 1; 2; : : : ; ìå þñï êáôáóôüóåùí = {1; : : : ; 9} êáé ðéèáíüôçôåò ìåôáðþäçóçò ðñþôçò ôüîçò: p 15 = p 17 = p 19 = 1=3 êáé p i i 1 = 1, i = 2; : : : ; 9. Íá äåé èåß üôé ç áëõóßäá åßíáé åñãïäéêþ. ÁðÜíôçóç: á)æçôåßôáé ç ðéèáíüôçôá Á P (X(3) = 4 X(1) = 1) = P (X(3) = 4; X(1) = 1) P (X(1) = 1) = P (X(1) = 1; X(2) = 3) P (X(1) = 1) ç ïðïßá ëüãù áíåîáñôþôùí êáé ïìïãåíþí ðñïóáõîþóåùí ôçò Poisson åßíáé 2 2 43 Á = P (X(2) = 3) = e 3! : H ðïóüôçôá Cov(X(1); X(3)) ëüãù áíåîáñôþôùí êáé ïìïãåíþí ðñïóáõîþóåùí ôçò Poisson, êáèþò êáé éäéüôçôáò ôçò óõíäéáêýìáíóçò åßíáé Cov(X(1); X(3)) = Cov(X(1); X(3) X(1)+X(1)) = Cov(X(1); X(1)) = 2 (1) = = 2: ÔÝëïò ç ðïóüôçôá åßíáé  = P (W 2 1 X(2) = 6)  = 1 P (W 2 > 1 X(2) = 6) = 1 P (X(1) = 0 X(2) = 6) P (X(1) = 1 X(2) = 6) = 1 (1=2) 6 6(1=2)(1=2) 5 : â)ï ðßíáêáò ðéèáíïôþôùí ìåôáðþäçóçò ðñþôçò ôüîçò åßíáé 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 1/5 0 1/5 0 1/5 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Åýêïëá ðáñáôçñïýìå üôé üëåò ïé êáôáóôüóåéò åðéêïéíùíïýí(áõôü åóåßò ôï ãñüöåôå ðéï áíáëõôéêü) êáé áöïý åßíáé ðåðåñáóìýíç áëõóßäá Ýðåôáé üôé üëåò ïé êáôáóôüóåéò åßíáé Ýììïíåò èåôéêýò. Åðßóçò, ðáñáôçñïýìå üôé ç êáôüóôáóç 1 Ý åé èåôéêþ ðéèáíüôçôá åðéóôñïöþò óôïí åáõôü ôçò óå âþìáôá 5 (1 5 4 3 2 1), êáèþò êáé óå 7 (1 7 6 5 4 3 2 1): Áõôü áðü ôïí ïñéóìü ôçò ðåñéïäéêüôçôáò óçìáßíåé üôé ç êáôüóôáóç 1 åßíáé áðåñéïäéêþ êáé åðïìýíùò üëåò åßíáé áðåñéïäéêýò. Óõíåðùò ç áëõóßäá åßíáé åñãïäéêþ.