Μια ακόμη πιο δύκολη υνέχεια. Μόνο για καθηγητές. Σαν υνέχεια της ανάρτηης «Μια...δύκολη περίπτωη, αν φύλλο εργαίας.» ας δούμε μερικά ακόμη ερωτήματα, αφήνοντας όμως έξω τους μαθητές-υποψήφιους. Ένα ορθογώνιο μήκους l (ώμα Σ), μάζας Μ4kg κινείται ε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια τιγμή, αφήνουμε πάνω του, μια φαίρα μάζας mkg και ακτίνας R,m, χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα ούτε να περιτρέφεται. Μετά από λίγο, τη τιγμή t, το ώμα Σ έχει ταχύτητα υ 4m/s, η ταχύτητα του κέντρου της φαίρας είναι υ m/s, ενώ το ημείο επαφής της με το Σ, απέχει οριζόντια κατά (Μ) d,6m από το μέον Μ του ορθογωνίου (χήμα α). Δίνεται η ροπή αδράνειας της φαίρας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της Ι /5 mr και gm/s, ενώ ο υντελετής τριβής μεταξύ φαίρας και ανίδας είναι μ,5. ) Αν το ώμα Σ είναι μια λεπτή ανίδα, να υπολογιτεί η τροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της τροφορμής, τη παραπάνω τιγμή: α) για το ύτημα, β) για τη φαίρα, γ) για τη ράβδο. i) Ως προς ένα ακίνητο ημείο, τη θέη που είναι και το ημείο της ανίδας. ii) Ως προς ακίνητο ημείο Μ τη θέη του μέου Μ της ανίδας: iii) Ως προς ακίνητο ημείο Ο τη θέη του κέντρου Ο της φαίρας: ) Αν το ορθογώνιο είναι κιβώτιο χήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (χήμα β), ύψους,6m να απαντήετε ξανά τα παραπάνω ερωτήματα. Απάντηη: ) Στην περίπτωη της λεπτής ανίδας, θεωρούμε ότι αυτή έχει αμελητέο πάχος. Τη τιγμή που αφήνεται πάνω τη ανίδα η φαίρα, υπάρχει χετική κίνηη μεταξύ των δύο ωμάτων και αναπτύεται δύναμη τριβής, όπως το χήμα, όπου Τμ Ν μmgν. Αποτέλεμα της δράης της τριβής αυτής την φαίρα, είναι να επιταχύνεται προς τα διά, ενώ θα περιτραφεί αντιωρολογιακά Θεωρώντας την κίνηη της φαίρας ύνθετη, αποτελούμενη από μια μεταφορική κίνηη και μια τροφική, έχουμε: Μεταφορική κίνηη: ΣF x m α Τ m α α 5m/s. Στροφική κίνηη: ΣτΙ α γων TR mr aγων T mr aγων α γων 6,5ad/s. 5 5 Σ T d (α) (β) ω + υ υ o T υ υ υ υ o www.ylikonet.g
Αλλά, με βάη τα παραπάνω, η μεταφορική κίνηη θα είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, ενώ η περιτροφική, θα είναι τροφική ομαλά επιταχυνόμενη και μετά από χρονικό διάτημα t θα ιχύουν: οπότε με διαίρεη κατά μέλη παίρνουμε: υ a ω a γων t a t a γων υ α t και ωα γων t 5 6,5 ω,5ad i) α) Έτι ως προς το ημείο η υνολική τροφορμή του υτήματος είναι: + Όπου η τροφορμή της ανίδας και η τροφορμή της φαίρας. Αλλά δεχόμενοι λεπτή τη ανίδα, η απόταη x του φορέα της ταχύτητας της ανίδας από το είναι μηδενική με αποτέλεμα Μυ x, ενώ: Iω mυr mr ω m R 5 υ mr ω mυr,,5, kg m 5 Ο αντίτοιχος ρυθμός μεταβολής της τροφορμής ως προς το, θα είναι ίος: d dυ dω dυ x+ mr m R mr aγων 5 ma d, 6,5 5, kg m. R Τι ακριβώς υπολογίαμε; Στο παρακάτω χήμα έχουμε χεδιάει τις δυνάμεις που ακούνται ε κάθε ώμα του υτήματος. N ω + υ B N T A K w w N T Η φαίρα ιορροπεί την κατακόρυφη διεύθυνη, υνεπώς Ν mgνν, όπως και η ανίδα, οπότε ΝΜg+Ν 6Ν. Η ανίδα άλλου δεν περιτρέφεται, οπότε Στ Μ ή Ν (ΜΚ)-Ν (Μ) N N ( K ) ( ),6m,m. N 6N www.ylikonet.g
Αλλά τότε για το ύτημα όπου ωτερικές δυνάμεις είναι τα βάρη και η κάθετη αντίδραη του επιπέδου Ν, άρα: d Στ d w ( ) N ( K ) 4N,6m 6N,4m Πράγμα που πρακτικά ημαίνει ότι η τροφορμή του υτήματος παραμένει ταθερή β) ια τη φαίρα: mr ω mυr,,5, kg m. 5 Ο αντίτοιχος ρυθμός μεταβολής της τροφορμής της φαίρας ως προς το, θα είναι ίος: γ) ια τη ανίδα: υ. και d w ( ) N ( K ) 4N,6m 6N,4m ii) α) Αλλά και για το ημείο Μ ιχύουν ακριβώς τα ίδια, όταν μιλάμε για το ύτημα: mr ω mυr,,5, kg m και 5 d N ( K ) w ( ) 6N,m N,6m β) ια τη φαίρα: γ) ια τη ανίδα: υ d d Iω mυr Σ τ Ty N m Σ τ N( K ) + T y Ν ( ) 6N,m+ Ν,6 iii) Ως προς το Ο έχουμε: α) ια το ύτημα ανίδα-φαίρα: O O + υ R+ Iω 4 4,+, 5,5 kg m Κάθετη το επίπεδο της ελίδας με φορά προς τον αναγνώτη. 36kg m ω O + υ υ www.ylikonet.g 3
do β) ια τη φαίρα: τ w ( ) N ( K ) 4N,6m 6N,4m Σ O Iω,,5 kg m 4kg m d O Σ τ TR N,m kg m. Και τα δύο παραπάνω φυικά μεγέθη είναι διανύματα κάθετα το επίπεδο της ελίδας με φορά προς τον αναγνώτη, το ημείο Ο. γ) ια τη ανίδα: O υ R 4 4,kg m 3kg m O w ( ) N( K ) T R O 4N,6m 6N,4m Ν,m kg m ) Ερχόματε τώρα το ορθογώνιο ύψους. Στο διπλανό χήμα, έχουμε χεδιάει ξανά τις δυνάμεις που ακούνται τώρα το ορθογώνιο. Αλλά και πάλι το ορθογώνιο δεν περιτρέφεται, οπότε Στ Μ ή Ν (ΜΛ)-Ν (ΜΔ)+Τ 6 (Λ)-,6+,3 ( Μ Λ),5m Μπορούμε να ημειώουμε μια μικρή μετατόπιη του φορέα της κάθετης αντίδραης, η οποία πληιάζει το μέον Μ της ανίδας. Κατά τα λοιπά: i) Ως προς το ημείο : α) ια το ύτημα: mr ω mυr+ υ 5,,5,+ 4 4,3 kg m 48kg m Ο αντίτοιχος ρυθμός μεταβολής της τροφορμής ως προς το, θα είναι ίος: w N T Λ N d τ w ( N ( 4N,6m 6N,45m 3kg m Σ β) ια τη φαίρα: Iω mυr. www.ylikonet.g 4
γ) ια το κιβώτιο: d Σ τ Td N m υ 4 4,3kg m 48kg m. N( + w ( 6N,45m+ 4Ν,6 3kg m d ii) Όμοια για το ημείο Μ : α) ια το ύτημα: d mr ω mυ R+, 5,5,5 kg m 6kg m N ( Λ ) w ( d 6N,5m N,6m 3kg m. β) ια τη φαίρα: Iω mυ R+ mυ,3kg m www.ylikonet.g 5 6kg m d Σ τ T w ( + Ν ( N,3m 3kg m. γ) ια το κιβώτιο: υ x. N( Λ) N ( + T 6N,5m Ν,6m+ N,3m iii) Ως προς το Ο έχουμε: α) ια το ύτημα ανίδα-φαίρα: O O + υ R+ + Iω 4 4,5+, 5,5 kg m Κάθετη το επίπεδο της ελίδας με φορά προς τον αναγνώτη το ημείο Ο. 84kg m do w ( N ( 4N,6m 6N,45m 3kg m. Κάθετη το επίπεδο της ελίδας με φορά προς τα μέα το ημείο Ο. β) ια τη φαίρα: O Iω,,5 kg m 4kg m.
d O Σ τ TR N,m kg m. Και τα δύο παραπάνω φυικά μεγέθη είναι διανύματα κάθετα το επίπεδο της ελίδας με φορά προς τον αναγνώτη, το ημείο Ο. γ) ια τη ανίδα ως προς το Ο : O υ R+ 4 4,5kg m O 8kg m w ( N( T R O 4N,6m 6N,45m Ν,m 5kg m. dmagais@gmail.com www.ylikonet.g 6