ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη της κίνηη ενός τερεού ώµατος δεν είναι εύκολη υπόθεη και ίγουρα υπερβαίνει κατά πολύ το επίπεδο του παρόντος µαθήµατος. Για να ειαγάγοµε µε φυικό τρόπο τις έννοιες της ροπής δύναµης και τροφορµής θα περιοριτούµε την περιτροφή τερεού ώµατος περί ταθερό άξονα. 7. Ροπή δύναµης Ας θεωρήοµε ένα τερεό ώµα που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα, ο οποίος, ας δεχτούµε χωρίς να είναι απαραίτητο, διέρχεται από το ώµα. Επιλέγοµε το επίπεδο να τέµνει το τερεό ώµα και θεωρούµε ένα ηµείο P του ώµατος που να βρίκεται το επίπεδο. Έτω ότι οι υντεταγµένες του ηµείου P είναι (,,. Εποµένως η διανυµατική ακτίνα του ηµείου P είναι ˆ, (7. όπου και ˆ cosθ ˆ snθ ˆj είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυµα. Εδώ θεωρήαµε ότι η γωνία που χηµατίζει η διανυµατική ακτίνα µε τον άξονα είναι θ, δηλαδή cosθ και snθ. Ας θεωρήοµε τώρα ότι το ώµα περιτρέφεται κατά απειροτή γωνία d θ. Ας δούµε πόη είναι η µεταβολή d της διανυµατικής ακτίνας. Κατά την περιτροφή το µέτρο του διανύµατος, δηλαδή το, παραµένει ταθερό. Άρα, µε παραγώγιη της (7. έχοµε d d dˆ d dθ ˆ (cosθ ˆ snθ ˆ j ( snθ ˆ cosθ ˆj. (7. Αλλά, όπως είδαµε το Παράδειγµα.5, το διάνυµα την παρένθεη είναι το µοναδιαίο (εφαπτόµενο τον κύκλο διάνυµα θˆ, ˆ θ snθ ˆ cosθ ˆj. (7. Έτι, πολλαπλαιάζοντας µε το αµφότερα τα µέλη της (7. παίρνοµε d dθ ˆ θ. (7. Το αποτέλεµα (7. θα µπορούαµε να το γράψοµε κατ ευθείαν, χωρίς να κάνοµε πράξεις, διότι το µέτρο της µεταβολής d είναι dθ, δηλαδή είναι το µήκος τόξου που διέγραψε το ηµείο P µετά από περιτροφή κατά γωνία d θ. Επίης, η Pge of

2 κατεύθυνη της κίνηης του ηµείου P είναι αυτή του µοναδιαίου διανύµατος θˆ. Άρα η (7. είναι προφανής. Ας θεωρήοµε τώρα ότι το ηµείο P ακείται δύναµη F F ˆ F ˆj και ότι λόγω αυτής της δύναµης το τερεό ώµα περιτρέφεται περί τον άξονα κατά γωνία d θ. Το έργο λοιπόν που έκανε η δύναµη είναι dw F d ( F ˆ F ˆ j dθ ˆ θ ( F ˆ F ˆ j dθ ( snθ ˆ cosθ ˆ j F sn θ dθ F cosθ dθ F dθ F dθ ( F F dθ, (7.5 που έχει κάπως περίεργη µορφή. Στη µονοδιάτατη κίνηη, ας πούµε τον άξονα, το έργο της δύναµης F για µετατόπιη κατά d είναι dw F d, από την οποία θα µπορούε κα γράψει κανείς εξίωη (7.5 έχοµε F dw / d. Αν κάνοµε κάτι παρόµοιο την F F dw dθ. (7.6 / Βλέποµε λοιπόν ότι, για το ίδιο έργο dw, την περιτροφή εµφανίζεται η ποότητα F που θα τη λέµε ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων. F Όπως θα δούµε αµέως παρακάτω, η ροπή της δύναµης F ορίζεται ως διανυµατικό µέγεθος και η ποότητα που εµφανίζεται την εξίωη (7.6 είναι η -υνιτώα της ροπής. Γι αυτό εµφανίζεται ως βαθµωτό µέγεθος. Οριµός: Αν είναι η διανυµατική ακτίνα ενός ηµείου το οποίο δρα η δύναµη F, τότε η ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως τ F, (7.7 όπου το υµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6. Στην ειδική περίπτωη που εξετάαµε παραπάνω, δηλαδή την περιτροφή τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα, όπου τα διανύµατα και F είχαν µόνο και υνιτώες, γράφοµε τ F ˆ ˆj kˆ ( ˆ ˆ j ( F ˆ F ˆ j ( F F kˆ. (7.8 F F Το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων είναι µια ορίζουα µε πρώτη γραµµή τα µοναδιαία διανύµατα ˆ, ˆ, j kˆ, µε δεύτερη γραµµή τις υνιτώες του πρώτου Pge of

3 διανύµατος και µε τρίτη γραµµή τις υνιτώες του δεύτερου διανύµατος. Το ανάπτυγµα της ορίζουας αυτής γίνεται πάντοτε κατά µήκος της πρώτης γραµµής. Αυτό ηµαίνει ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων είναι διάνυµα. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η υπο-ορίζουα του î είναι µηδέν και οµοίως για την υπο-ορίζουα του ĵ. Μόνο η υπο-ορίζουα του kˆ είναι διάφορη του µηδενός και ίη µε την ποότητα (7.6, δηλαδή τ F F. 7. Στροφορµή υλικού ηµείου Θα δούµε τώρα πως εµφανίζεται µε φυικό τρόπο η τροφορµή. Ας ξεχάοµε προς το παρόν το τερεό ώµα που εξετάαµε παραπάνω και ας θεωρήοµε ότι το ηµείο P υπάρχει ένα υλικό ηµείο µάζας m, πάνω το οποίο ακείται δύναµη F F ˆ F ˆj. Ως αποτέλεµα αυτής της δύναµης, το υλικό ηµείο θα κάνει κίνηη το επίπεδο, που περιγράφεται από τις δυο πρώτες εξιώεις (.6. Ας το δούµε όµως αυτό και από άλλη κοπιά. Όπως είδαµε παραπάνω, η -υνιτώα της ροπής της δύναµης F είναι τ F F. (7.9 Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για το υλικό ηµείο µάζας m έχοµε ότι d Αντικαθιτώντας την (7.9 έχοµε F m και m d F. (7. Αλλά, d m d d m d d τ m m. (7. d d d d d d m m m m Έτι, η (7. γράφεται d d m m. (7. d ( mu mu ( p p d d d d τ m m, (7. όπου u και u είναι οι υνιτώες της ταχύτητας του υλικού ηµείου και είναι οι αντίτοιχες υνιτώες της ορµής. Η ποότητα ( p p, που p, p Pge of

4 εµφανίζεται την (7. µας θυµίζει τη -υνιτώα εξωτερικού γινοµένου διανυµάτων. Οριµός: Αν είναι η διανυµατική ακτίνα ενός υλικού ηµείου µάζας m το οποίο δρα η δύναµη F, τότε η τροφορµή του υλικού ηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως l p, (7. όπου το υµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6. Στην ειδική περίπτωη που εξετάαµε εδώ, δηλαδή την κίνηη υλικού ηµείου το επίπεδο, γράφοµε ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ ˆ j ( p ˆ p ˆ j ( p p kˆ (7.5 p p και η τροφορµή l έχει µόνο -υνιτώα. Έτι, η εξίωη (7. γράφεται ως όπου d l τ, (7.6 l p p είναι η -υνιτώα της τροφορµής του υλικού ηµείου. Η εξίωη (7.6 δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα γραµµένος µε τη χρήη της ροπής δύναµης και της τροφορµής. Παρατήρηη: Στην ειδική περίπτωη που το υλικό ηµείο κάνει κύκλο ακτίνας, η διανυµατική ακτίνα του και η ορµή του p είναι κάθετα διανύµατα και η τροφορµή του υλικού ηµείου µπορεί να γραφεί ως l p ˆ p ˆ θ pkˆ, (7.7 διότι ˆ θ ˆ kˆ, κατ αναλογία προς τις χέεις ( Στροφορµή τερεού ώµατος Τώρα που ξέροµε τι είναι η τροφορµή υλικού ηµείου, µπορούµε νε εξετάοµε τη τροφορµή τερεού ώµατος, αφού τα τερεά ώµατα αποτελούνται από άτοµα, που µπορούµε να τα θεωρήοµε αν υλικά ηµεία. Ας θεωρήοµε ξανά ένα τερεό ώµα, που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα. Έτω ότι το τερεό ώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόταη από τον άξονα. Αν το τερεό ώµα είναι Pge of

5 κράµα πολλών τοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιτροφή του τερεού ώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για τη τροφορµή του, ύµφωνα µε την (7.7, l p m u mω ω m, (7.8 όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιτροφής του τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα. Έτι, η ολική τροφορµή του τερεού ώµατος είναι l ω m ω, (7.9 όπου ορίαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του τερεού ώµατος ως προς Παρατήρηη: Είναι ηµαντικό να παρατηρήοµε ότι η εξίωη (7.9 ιχύει και για υλικό ηµείο µάζας m που κάνει κύκλο ακτίνας το επίπεδο µε κέντρο την αρχή των αξόνων, διότι m και ω ω m mω mu p, όπου u ω είναι η ταχύτητα του υλικού ηµείου. Από τον οριµό της ροπής αδράνειας τερεού ώµατος ως προς τον άξονα, που είναι το άθροιµα των γινοµένων των µαζών του επί το τετράγωνο των αποτάεών τους από τον άξονα, µπορούµε να γενικεύοµε τον οριµό για υνεχείς κατανοµές µάζας. Έτι, όπως το Κεφάλαιο, θεωρούµε τερεό ώµα µάζας M µε πυκνότητα ρ και θεωρούµε επίης έναν απειροτό όγκο του ώµατος dv που απέχει από τον άξονα απόταη. Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροτή µάζα dm ρ dv. Κατ αναλογία λοιπόν προς τη ροπή αδράνειας για διακριτά υλικά ηµεία γράφοµε dm ( V ( V ρ dv, (7. όπου το ύµβολο (V το ολοκλήρωµα ηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώοµε ως προς όλον τον όγκο V του τερεού ώµατος. Αν το τερεό ώµα έχει αµελητέο πάχος, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την επιφάνεια του ώµατος. Αν το τερεό ώµα είναι λεπτό ύρµα, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την γραµµή που διατρέχει το ώµα. Στο επόµενο Κεφάλαιο θα δείξοµε ότι η εξίωη τ d (7. Pge 5 of

6 περιγράφει την περιτροφή τερεού ώµατος περί τον άξονα. Εδώ είναι η υνιτώα της τροφορµής του τερεού ώµατος περί τον άξονα και τ είναι η υνιτώα της υνολικής ροπής που ακείται το τερεό ώµα. 7. Κινητική ενέργεια τερεού ώµατος Ας θεωρήοµε ξανά ένα τερεό ώµα, που µπορεί να περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα. Έτω ότι το τερεό ώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόταη από τον άξονα. Αν το τερεό ώµα είναι κράµα πολλών τοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιτροφή του τερεού ώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για την κινητική ενέργειά του m u mω m ω, (7. όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιτροφής του τερεού ώµατος περί τον ταθερό άξονα. Έτι, η ολική κινητική ενέργεια του τερεού ώµατος είναι T ω m ω, (7. όπου ορίαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του τερεού ώµατος ως προς Παρατήρηη: Όπως η εξίωη (7.9 έτι και η εξίωη (7. ιχύει για υλικό ηµείο µάζας m που κάνει κύκλο ακτίνας το επίπεδο µε κέντρο την αρχή των αξόνων. Έχοµε ότι T ω ω m mu. Παράδειγµα 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο, χήµατος ρόµβου, το επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ (οι µονάδες είναι kg/m, µε κορυφές τα ηµεία (,,(,,(,,(,. Το πλαίιο µετά περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Λύη: Πρώτα πρέπει να βρούµε τη ροπή αδράνειας του πλαιίου. Ας θεωρήοµε την πλευρά µεταξύ των κορυφών (, και (,. Αν βρούµε τη ροπή αδράνειας αυτής της πλευράς, την πολλαπλαιάζοµε µε το για να βρούµε την ολική ροπή αδράνειας. Η εξίωη της ευθείας που ενώνει τις κορυφές (, και (, είναι. Pge 6 of

7 Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το ύρµα που έχει εξίωη ένα κοµµάτι µήκους ds d d d ( d / d d ( d. Το κοµµάτι αυτό του ύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του ύρµατος που έχει >, > είναι. d λ dλ Η υνολική ροπή αδράνειας είναι πλαιίου είναι λ και η υνιτώα της τροφορµής του λω. Παρατήρηη : Στο αποτέλεµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται το ότι η εξίωη είναι µαθηµατική και όχι φυική. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως α, µε α m. Επίης, το όριο είναι µαθηµατική και όχι φυική χέη. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το α και το β µέα το τελικό αποτέλεµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα!!! Παρατήρηη : Λόγω του ότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας του ύρµατος, η τροφορµή του ύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.: Στo προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείτε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από το υρµάτινο πλαίιο. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα M και η επιφανειακή πυκνότητά της (διατάεις kg/m είναι οµογενής. Αν η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Λύη: Ας θεωρήοµε το / της επιφάνειας που βρίκεται το τεταρτηµόριο >, >. Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το τεταρτηµόριο που είναι κάτω από την ευθεία µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds ( d. Η λωρίδα έχει µάζα dm ds ( d και απέχει από τον άξονα περιτροφής απόταη ίη µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm, η ροπή αδράνειας του τεταρτηµορίου είναι Pge 7 of

8 d ( d και η ολική ροπή αδράνειας είναι M M 6, διότι το κάθε τεταρτηµόριο έχει εµβαδόν / και ο ρόµβος έχει εµβαδόν. Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεµα «φαίνεται» να µην έχει ωτές διατάεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει ωτές διατάεις. Η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι ω Mω. 6 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας. Παράδειγµα 7.: Θεωρείτε έναν οµογενή κύλινδρο µάζας M, ακτίνας R και ύψους h ο οποίος περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα, που είναι ο άξονας υµµετρίας του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του κυλίνδρου. Λύη: Θεωρούµε οµοαξονικό κυλινδρικό φλοιό ύψους h µεταξύ των ακτίνων και d, όπου < < R. Αν ρ M /( π R h είναι η πυκνότητα του κυλίνδρου, τότε η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ dv ( dv είναι ο όγκος του και η ροπή αδράνειάς του είναι d dm κυλινδρικού φλοιού κάνοµε το εξής:. Για να υπολογίοµε τη µάζα dm του Ο όγκος dv του κυλινδρικού φλοιού µεταξύ των ακτίνων και d είναι dv h [ π ( d π ] h π d διότι ο όρος (d είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως, που είναι αµελητέο ε χέη µε το διαφορικό πρώτης τάξεως d. Η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ π d h και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι M R πρhr d dm πρ h d MR. Έτι, η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι ω MR ω. Pge 8 of

9 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, άξονας υµµετρίας. k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι Παράδειγµα 7.: ίνεται ύρµα, χήµατος U το επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ, που περιγράφεται από την εξίωη και εκτείνεται από µέχρι. Το ύρµα µετά περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του ύρµατος. Λύη: Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το ύρµα ένα κοµµάτι µήκους ds d d d ( d / d d ( d. Το κοµµάτι αυτό του ύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του ύρµατος είναι d λ d λ d λ d. Χρηιµοποιώντας Πίνακες Ολοκληρωµάτων (π.χ. Mthemtcl Hndook, Sots Pesds, ESP βλέποµε ότι / d ln( 8 8 ( όπου /. Έτι το αποτέλεµα του ολοκληρώµατος πρέπει να το υπολογίοµε το και το. Στο τελικό αποτέλεµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται το ότι η εξίωη είναι µαθηµατική και όχι φυική. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Επίης, το είναι µαθηµατική και όχι φυική χέη. Για να είναι φυική πρέπει να γραφεί ως γ µε γ m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το β και το γ µέα το τελικό αποτέλεµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διατάεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα! Έτι, η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου έιναι ω. Λόγω του ότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας του ύρµατος, η τροφορµή του ύρµατος είναι k. ˆ, Pge 9 of

10 Παράδειγµα 7.5: Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείτε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από τις γραµµές, και. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι. Αν η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Λύη: Στον θετικό ηµιάξονα και τα ηµεία και d (όπου < < φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από την επιφάνεια που είναι κάτω από την καµπύλη µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds d. Η λωρίδα έχει µάζα dm ds d και απέχει από τον άξονα περιτροφής απόταη ίη µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας της επιφάνειας κάτω από την καµπύλη d d είναι. 5 d Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεµα «φαίνεται» να µην έχει ωτές διατάεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει ωτές διατάεις. Η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου είναι 86 ω ω. 5 Όπως και το προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιτροφής είναι άξονας υµµετρίας. Παράδειγµα 7.6: Θεωρείτε το επίπεδο µια οµογενή πλάκα µάζας M, χήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, απειροτού πάχους, µε πλευρές και, παράλληλες προς τους άξονες και. Το κέντρο της πλάκας είναι την αρχή των αξόνων. Η πλάκα περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Α Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας. Β Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας, αν η πλάκα έχει πάχος c και τον άξονα εκτείνεται από c µέχρι c. Η µάζα της παραµένει M. Λύη: Α Πρώτα θα βρούµε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα. Το εµβαδόν της πλάκας είναι και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι M /(. Θεωρούµε µια απειροτή λωρίδα παράλληλη προς τον άξονα, µεταξύ και d, εύρους d. Σ αυτή τη λωρίδα θεωρούµε το απειροτό κοµµάτι µεταξύ και d, εµβαδού d d. Το απειροτό αυτό κοµµάτι απέχει από τον άξονα κατά και έχει απειροτή ροπή αδράνειας d d d. Έτι η υνολική ροπή αδράνειας της πλάκας είναι Pge of

11 Pge of ( ( ( M d d d d d d και η υνιτώα της τροφορµής της πλάκας είναι ω ( M. Β Αν η πλάκα έχει πεπεραµένο πάχος και µάζα M το δεν αλλάζει! Αυτό το καταλαβαίνοµε ποιοτικά διότι η πεπεραµένου πάχους πλάκα µπορεί να θεωρηθεί αν υπέρθεη πλακών µε απειροτό πάχος η κάθε µια και υνολική µάζα M. Αλλά και ποοτικά έχοµε ( ( ( M d d d d c c c c ρ ρ, διότι η πυκνότητα ρ ιούται µε 8 /( c M και η απόταη του απειροτού όγκου d d d από τον άξονα είναι. 7.5 Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων Αν γνωρίζοµε τη ροπή αδράνειας ώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, τότε µπορούµε εύκολα να υπολογίοµε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον πρώτο. Ας θεωρήοµε ένα τερεό ώµα ( ωµάτια µάζας M και τρεις άξονες,,, που η αρχή τους είναι το κέντρο µάζας του ώµατος. Ας υποθέοµε ότι έχοµε υπολογίει τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς τον άξονα και θέλοµε να υπολογίοµε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα, που είναι παράλληλος προς τον. Έχοµε m m (, (7.

12 όπου είναι η απόταη της µάζας m από τον άξονα. Επιλέγοντας τους άξονες, να είναι παράλληλοι προς τους, αντιτοίχως, γράφοµε ότι X και Y, όπου X, Y είναι οι - και -υντεταγµένες του κέντρου µάζας το ύτηµα,,. Όλες οι ποότητες είναι αλγεβρικές. Με αντικατάταη την (7. έχοµε X m Η ποότητα ( X X Y Y m X m m Y m m Y m. (7.5 M m είναι ίη µε µηδέν, διότι είναι εξ οριµού η -υντεταγµένη του κέντρου µάζας ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, αφού το κέντρο µάζας είναι την αρχή των αξόνων,,, οι υντεταγµένες του είναι µηδέν. Έτι, ο δεύτερος και ο πέµπτος όρος τη χέη (7. είναι µηδέν. Έτι, η (7. γράφεται ως M X Y MD, (7.6 όπου D ( X Y είναι η απόταη του άξονα από τον άξονα ( m m. Έτι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. και Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων: Η ροπή αδράνειας ώµατος ως προς έναν άξονα ιούται µε τη ροπή αδράνειας του ώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του ώµατος, υν τη µάζα του ώµατος επί το τετράγωνο της απόταης µεταξύ των δυο αξόνων. Παράδειγµα 7.7: Να βρεθεί η ροπή αδράνεια της πλάκας του Παραδείγµατος 7.6 ως προς ακµή της που είναι παράλληλη τον άξονα. Λύη: Η απόταη µιας τέτοιας ακµής από τον άξονα είναι Συνεπώς, η ζητούµενη ροπή αδράνειας είναι D. M ( M ( M (. Άκηη 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος τετραγώνου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: ω m ω 6. Pge of

13 Άκηη 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον ταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: ω m ω. Άκηη 7.: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος τετραγώνου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: 5 m ω Άκηη 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: m ω Άκηη 7.5: ίνεται υρµάτινο πλαίιο χήµατος ιοκελούς ορθογωνίου τριγώνου καθέτου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά του τον άξονα. Το πλαίιο περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Απάντηη: m ω. ( Άκηη 7.6: ίνεται ορθογώνια ιοκελής τριγωνική επιφάνεια καθέτου πλευράς, υνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά της τον άξονα. Η επιφάνεια περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής της επιφάνειας. Απάντηη: m ω 6. Άκηη 7.7: ίνεται το επίπεδο υρµάτινο πλαίιο κυκλικού χήµατος ακτίνας R, υνολικής µάζας m, µε το κέντρο του τον άξονα. Το πλαίιο µετά περιτρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η υνιτώα της τροφορµής του πλαιίου. Pge of

14 Υπόδειξη: Χρηιµοποιήτε το χήµα του Παραδείγµατος.. Απάντηη: mr ω Pge of