ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Ηλεκτρικό δυναμικό Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Υπολογισμός του ηλεκτρικού δυναμικού και της δυναμικής ενέργειας που δημιουργούνται από σύστημα σημειακών φορτίων καθώς και από συνεχείς κατανομές φορτίου υψηλής συμμετρίας (φορτισμένη γραμμή, δίσκος, σφαίρα. κ.λ.π.). 4
Ηλεκτρικό δυναμικό (1/2) Στα προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε τον ηλεκτρισμό με τη βοήθεια των σχετικών διανυσματικών μεγεθών, δηλαδή, της ηλεκτρικής δύναμης F e (δύναμη Coulomb) και του ηλεκτρικού πεδίου E. Ορίσαμε το ηλεκτρικό πεδίο σαν την ηλεκτρική δύναμη ανά μονάδα φορτίου E = F e q. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα μελετήσουμε τον ηλεκτρισμό με τη βοήθεια βαθμωτών μεγεθών, όπως η ηλεκτρική ενέργεια, U, και, συγκεκριμένα, η δυναμική ηλεκτρική ενέργεια που έχει ένα φορτισμένο σώμα μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο. 5
Ηλεκτρικό δυναμικό (2/2) Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα προβλήματα μηχανικής, τα οποία δεν είναι δυνατόν να λυθούν με μεθόδους που χρησιμοποιούν την έννοια της δύναμης και του ηλεκτρικού πεδίου. Όπως με την ηλεκτρική δύναμη, η έννοια της ηλεκτρικής ενέργειας μας επιτρέπει να ορίσουμε το μέγεθος του ηλεκτρικού δυναμικού, V, σαν την ενέργεια ανά μονάδα φορτίου V=U/q. 6
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (1/5) Όταν ένα φορτίο q βρεθεί μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, δέχεται μια ηλεκτρική δύναμη F e = qe. Αν το φορτίο q μετακινείται μέσα στο πεδίο, το έργο που παράγει το ηλεκτρικό πεδίο στο φορτίο είναι F e d s ή qed s* όπου, με d s συμβολίζουμε ένα πολύ μικρό (απειροστό) διάνυσμα μετατόπισης. * qed s = (qe)ds cosθ 7
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (2/5) Εικόνα 1: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Πηγή:R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 8
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (3/5) Το έργο, που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο, έχει σαν αποτέλεσμα τη μεταβολή της ηλεκτρικής δυναμική ενέργεια του συστήματος φορτίου-πεδίου κατά du = qe d s. Για μια πεπερασμένη μετατόπιση του φορτίου από το σημείο A στο σημείο B, η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος είναι ΔU = U A U B = q A B E d s. 9
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (4/5) Μια τέτοια δύναμη, όπως η ηλεκτρική δύναμη, της οποίας το έργο ισούται με τη διαφορά της δυναμικής ενέργειας μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης, ονομάζεται συντηρητική δύναμη. Επειδή η δύναμη είναι συντηρητική, το έργο που κάνει πάνω στο φορτίο (δηλαδή, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα) δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί το φορτίο. Π.χ, είναι το ίδιο αν υπολογιστεί μέσω της διαδρομής ΑΓΒ. 10
Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια (5/5) Εικόνα 2: Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 11
Ηλεκτρικό δυναμικό (1/3) Όπως από την ηλεκτρική δύναμη ορίσαμε το ηλεκτρικό πεδίο σαν δύναμη ανά μονάδα φορτίου, έτσι και από την δυναμική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου μπορούμε να ορίσουμε το ηλεκτρικό δυναμικό. Ηλεκτρικό δυναμικό σε ένα σημείο το ηλεκτρικού πεδίου ορίζουμε τη δυναμική ενέργεια που έχει ένα φορτίο q σ αυτό το σημείο, διά του φορτίου q. 12
Ηλεκτρικό δυναμικό (2/3) Δηλαδή, το ηλεκτρικό δυναμικό είναι δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου. Το δυναμικό, όπως και η δυναμική ενέργεια, είναι βαθμωτό μέγεθος. Η μονάδα του ηλεκτρικού δυναμικού είναι το 1 J/C, μονάδα που ονομάζουμε Volt (V). 13
Ηλεκτρικό δυναμικό (3/3) Η διαφορά δυναμικού ΔV = V B - V A μεταξύ δύο σημείων Α και Β ενός ηλεκτρικού πεδίου είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ΔU κατά τη μετακίνηση ενός φορτίου q μεταξύ αυτών των σημείων δια του φορτίου q. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β ονομάζεται και τάση V AB ή βολτάζ. 14
Διαφορά δυναμικού και έργο Έστω ότι ένα φορτίο κινείται μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο με σταθερή ταχύτητα. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω στο φορτίο είναι: 15
Διαφορά δυναμικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο (1/2) Αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι ομογενές, η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων A και B είναι: V B V A = ΔV = A B E d s = A B Eds cos 0 o = A B Eds και, επειδή το E είναι σταθερό, βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα, οπότε ΔV = E A B ds = Ed Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι το ηλεκτρικό δυναμικό είναι μικρότερο στο σημείο B απ ό,τι στο σημείο A. Οι γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου πάντα δείχνουν προς την κατεύθυνση στην οποία μειώνεται το ηλεκτρικό δυναμικό. 16
Διαφορά δυναμικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο (2/2) Εικόνα 3: Διαφορά δυναμικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 17
Ισοδυναμικές επιφάνειες (1/2) Το σημείο B έχει χαμηλότερο δυναμικό από το A. Τα σημεία A και Γ έχουν το ίδιο δυναμικό. Όλα τα σημεία που ανήκουν σε ένα επίπεδο το οποίο είναι κάθετο σε ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έχουν το ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό. Κάθε επιφάνεια μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο η οποία αποτελείται από όλα τα σημεία, τα οποία έχουν το ίδιο ηλεκτρικό δυναμικό, ονομάζεται ισοδυναμική επιφάνεια. 18
Ισοδυναμικές επιφάνειες (2/2) Εικόνα 4: Ισοδυναμικές επιφάνειες. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 19
Παράδειγμα Η3.1 (1/2) Το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ δύο παράλληλων πλακών με ίσο και αντίθετο φορτίο. Κάθε μπαταρία έχει συγκεκριμένη διαφορά δυναμικού ΔV μεταξύ των πόλων της και εφαρμόζει αυτή τη διαφορά δυναμικού στους αγωγούς που είναι συνδεδεμένοι στους πόλους. Στην Εικόνα 5 φαίνεται μια μπαταρία των 12 V που είναι συνδεδεμένη σε δύο παράλληλες πλάκες. Η απόσταση μεταξύ των πλακών είναι d = 0.30 cm και θεωρούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών είναι ομογενές (η παραδοχή αυτή είναι εύλογη εφόσον η απόσταση των πλακών είναι μικρή σε σχέση με τις διαστάσεις τους και δεν εξετάζουμε σημεία που βρίσκονται κοντά στις άκρες τους). Βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου που αναπτύσσεται μεταξύ των πλακών. 20
Παράδειγμα Η3.1 (2/2) Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου είναι από τη θετική πλάκα προς την αρνητική. Από τη σχέση μεταξύ ηλεκτρικού πεδίου και διαφοράς δυναμικού έχουμε: ΔV = E d E= ΔV = V B V A 12V = = 4,0 d d 0,30 10 2 m 10 3 V m. Εικόνα 5: Pαράδειγμα Η3.1. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 21
Ηλεκτρικό δυναμικό που δημιουργείται από σημειακά φορτία (1/2) Ένα απομονωμένο θετικό σημειακό φορτίο q δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο με ακτινική κατεύθυνση προς τα έξω. Επομένως, οι ισοδυναμικές επιφάνειες γύρω από το σημειακό φορτίο θα είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το φορτίο. Αποδεικνύεται ότι το δυναμικό σε απόσταση r από ένα σημειακό φορτίο q είναι: 22
Ηλεκτρικό δυναμικό που δημιουργείται από σημειακά φορτία (2/2) Επομένως, η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β είναι: Εικόνα 6: Ηλεκτρικό δυναμικό που δημιουργείται από σημειακά φορτία. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 23
Το ηλεκτρικό δυναμικό ενός σημειακού φορτίου Στην εικόνα φαίνεται το γράφημα του ηλεκτρικού δυναμικού στον κατακόρυφο άξονα για ένα θετικό φορτίο, το οποίο βρίσκεται στο επίπεδο xy. Η καφέ καμπύλη δείχνει ότι το δυναμικό είναι αντιστρόφως ανάλογο του r. Εικόνα 7: Το ηλεκτρικό δυναμικό ενός σημειακού φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 24
Το ηλεκτρικό δυναμικό πολλών σημειακών φορτίων Το συνολικό ηλεκτρικό δυναμικό λόγω πολλών σημειακών φορτίων σε ένα σημείο Σ ισούται με το άθροισμα των δυναμικών των επιμέρους φορτίων. 25
Δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτισμένων σωμάτων (1/2) Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: Εικόνα 8: Δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτισμένων σωμάτων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 26
Δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτισμένων σωμάτων (2/2) Αν τα δύο φορτία είναι ομόσημα, τότε η δυναμική ενέργεια U είναι θετική και πρέπει να παραχθεί έργο για να πλησιάσουν τα φορτία το ένα στο άλλο. Αν τα δύο φορτία είναι ετερόσημα, τότε η δυναμική ενέργεια U είναι αρνητική και πρέπει να παραχθεί έργο για να μην πλησιάσουν τα φορτία το ένα στο άλλο. Εικόνα 9: Δυναμική ενέργεια ενός συστήματος δύο φορτισμένων σωματων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 27
Δυναμική ενέργεια πολλών φορτίων (1/2) Αν υπάρχουν περισσότερα από δύο φορτία, τότε βρίσκουμε τη δυναμική ενέργεια U για κάθε ζεύγος φορτίων και αθροίζουμε αλγεβρικά τους όρους. Για τρία φορτία: Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά πρόσθεσης των φορτίων. 28
Δυναμική ενέργεια πολλών φορτίων (2/2) Εικόνα 10: Δυναμική ενέργεια πολλών φορτίων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 29
Το ηλεκτρικό δυναμικό δύο σημειακών φορτίων (1/4) Όπως φαίνεται στην Εικόνα 11, υπάρχει ένα φορτίο q 1 = 2.00 μc στην αρχή των αξόνων και ένα φορτίο q 2 = -6.00 μc στο σημείο (0, 3.00) m. Βρείτε το ηλεκτρικό δυναμικό των φορτίων στο σημείο Σ, με συντεταγμένες (4.00, 0) m. Εικόνα 11: Το ηλεκτρικό δυναμικό δύο σημειακών φορτίων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 30
Το ηλεκτρικό δυναμικό δύο σημειακών φορτίων (2/4) Λύση. Το συνολικό ηλεκτρικό δυναμικό των δύο σημειακών φορτίων στο Σ. Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές, έχουμε: 31
Το ηλεκτρικό δυναμικό δύο σημειακών φορτίων (3/4) Βρείτε τη δυναμική ενέργεια του συστήματος που αποτελείται από τα φορτία q 1 και q 2 και ένα τρίτο φορτίο q 3 = 3.00 μc, που φέρνουμε στο σημείο Σ (Εικόνα. Η3.11β). Η η δυναμική ενέργεια του φορτίου q 3 στο σημείο Σ. Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές, έχουμε: 32
Το ηλεκτρικό δυναμικό δύο σημειακών φορτίων (4/4) Το γεγονός ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος των τριών φορτίων είναι αρνητική, σημαίνει ότι για να διαλυθεί το σύστημα των τριών φορτίων, δηλαδή, να απομακρυνθούν τα τρία φορτία σε μεγάλη απόσταση (στο άπειρο) θα πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια. Το σύστημα των τριών φορτίων είναι ένα ευσταθές (σταθερό) σύστημα. 33
Ηλεκτρικό δυναμικό συνεχούς κατανομής φορτίου (1/3) Μέθοδος 1 η : Αν η κατανομή φορτίου είναι γνωστή. Θεωρούμε ένα μικρό στοιχειώδες φορτίο dq. Το δυναμικό σε οποιοδήποτε σημείο λόγω αυτού του στοιχειώδους φορτίου είναι: 34
Ηλεκτρικό δυναμικό συνεχούς κατανομής φορτίου (2/3) Για να βρούμε το συνολικό δυναμικό, ολοκληρώνουμε την προηγούμενη εξίσωση ώστε να συμπεριλάβουμε τις συνεισφορές όλων των στοιχείων της κατανομής φορτίου. Εικόνα 12: Ηλεκτρικό δυναμικό συνεχούς κατανομής φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 35
Ηλεκτρικό δυναμικό συνεχούς κατανομής φορτίου (3/3) Μέθοδος 2 η : Αν γνωρίζουμε ήδη το ηλεκτρικό πεδίο. τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό δυναμικό από την αρχική σχέση: Αν η κατανομή φορτίου χαρακτηρίζεται από επαρκή βαθμό συμμετρίας, τότε πρώτα υπολογίζουμε το ηλεκτρικό πεδίο με τον νόμο του Gauss και έπειτα τη διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο τυχαίων σημείων. Επιλέγουμε V = 0 σε ένα κατάλληλο σημείο. 36
Παράδειγμα Η3.5 (1/2) Το ηλεκτρικό δυναμικό ενός ομοιόμορφα φορτισμένου δακτυλίου. Βρείτε τη σχέση που εκφράζει το ηλεκτρικό δυναμικό σε ένα σημείο Σ, το οποίο βρίσκεται στον κάθετο άξονα ενός ομοιόμορφα φορτισμένου δακτυλίου με ακτίνα και συνολικό φορτίο Q. Εικόνα 13: Παράδειγμα Η3.5. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 37
Λύση: Παράδειγμα Η3.5 (2/2) Έστω στοιχειώδες τμήμα του δακτυλίου με φορτίο dq. Το δυναμικό του dq στο σημείο Σ είναι dv = k e dq r = k e dq a 2 +x 2 Το συνολικό δυναμικό όλου του δακτυλίου στο σημείο Σ είναι dq V = k e V = k e dq, αφού παρατηρούμε ότι τα a 2 +x 2 a 2 +x 2 και x είναι σταθερές ποσότητες Οπότε V = k eq a 2 +x 2 38
Παράδειγμα Η3.6 (1/2) Το ηλεκτρικό δυναμικό ενός ομοιόμορφα φορτισμένου δίσκου. Ένας ομοιόμορφα φορτισμένος δίσκος έχει ακτίνα R και επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. Βρείτε το ηλεκτρικό δυναμικό σε ένα σημείο Σ πάνω στον κάθετο άξονα του δίσκου. Εικόνα 14: Παράδειγμα Η3.6. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 39
Παράδειγμα Η3.6 (2/2) Βρίσκουμε το φορτίο dq σε έναν δακτύλιο ακτίνας r και πλάτους dr: dq = σ da, όπου, dα είναι το εμβαδόν του δακτυλίου. da = (μήκος περιφερείας)x(πάχος δακτυλίου) = (2πr)dr Επομένως: dq = σ (2πr)dr = 2πσ rdr k eq Χρησιμοποιούμε αυτό το αποτέλεσμα στην εξίσωση V = a 2 +x 2 του προηγούμενου Παραδείγματος Η3.5 για να βρούμε το δυναμικό dv του δακτυλίου στο Σ. dv = k edq r 2 + x = k e2πσrdr 2 r 2 + x 2 40
Παράδειγμα Η3.6 (3/3) Λύση: dv = k e2πσrdr r 2 +x 2 Για να υπολογίσουμε το συνολικό δυναμικό στο σημείο Σ, προσθέτουμε (ολοκληρώνουμε) το δυναμικό όλων των δακτυλίων με ακτίνες από r = 0 ως r = R. R R k e 2πσrdr V = 0 r 2 + x = 2πk rdr eσ 2 0 r 2 + x 2 Η τιμή του ολοκληρώματος είναι 0 R rdr r 2 +x 2 = r2 + x 2 Επομένως, V= 2πk e σ r 2 + x 2 r=0 r=r ή V=2πke σ R 2 + x 2 x 41
Παράδειγμα Η3.7 (1/3) Το ηλεκτρικό δυναμικό μιας πεπερασμένης φορτισμένης ευθείας. Μια ράβδος μήκους l, η οποία βρίσκεται στον άξονα x, έχει συνολικό φορτίο Q και ομοιόμορφη γραμμική πυκνότητα φορτίου. Βρείτε το ηλεκτρικό δυναμικό στο σημείο Σ, που βρίσκεται στον άξονα y σε απόσταση από την αρχή των αξόνων. Εικόνα 15: Παράδειγμα Η3.7. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 42
Λύση: Παράδειγμα Η3.7 (2/3) Το φορτίο dq σε ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου μήκους dx είναι dq = λ dx. Το δυναμικό dv, που προκαλεί το στοιχειώδες τμήμα dx στο dq σημείο Σ, είναι dv = k e = λdx r x 2 +a 2. Βρίσκουμε το συνολικό δυναμικό στο σημείο Σ, προσθέτοντας (ολοκληρώνοντας) το δυναμικό όλων των τμημάτων dx από τη μια άκρη της ράβδου στην άλλη, δηλαδή, από x = 0 ως x = l. 43
Λύση (συνέχεια): Παράδειγμα Η3.7 (3/3) V = 0 l ke λdx = k l x 2 +a eλ 2 0 dx x 2 +a 2 Η τιμή του ολοκληρώματος είναι: dx x 2 +a 2 = ln(x + x2 + a 2 ) Επομένως V = k e λln(x + x 2 + a 2 x=l x=0 ή V = ke λ ln(l + 44
Ηλεκτρικό δυναμικό φορτισμένου αγωγού (1/2) Επειδή, το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι κάθετο σε κάθε σημείο της επιφάνειας ενός φορτισμένου αγωγού σε ηλεκτροστατική ισορροπία, η επιφάνεια του αγωγού είναι ισοδυναμική. Σε όλα τα σημεία της επιφάνειας, V = σταθερό. Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων είναι ΔV = 0. Επειδή στο εσωτερικό του αγωγού το ηλεκτρικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν, συμπεραίνουμε ότι το ηλεκτρικό δυναμικό παντού στο εσωτερικό του αγωγού είναι σταθερό και ίσο με την τιμή του στην επιφάνεια. 45
Ηλεκτρικό δυναμικό φορτισμένου αγωγού (2/2) Εικόνα 16: Ηλεκτρικό δυναμικό φορτισμένου αγωγού. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 46
Σώματα με ακανόνιστο σχήμα Όπου η ακτίνα καμπυλότητας είναι μικρή, η πυκνότητα φορτίου είναι μεγάλη. Και όπου η ακτίνα καμπυλότητας είναι μεγάλη, η πυκνότητα φορτίου είναι μικρή. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι ισχυρό κοντά σε κυρτά σημεία με μικρή ακτίνα καμπυλότητας και φτάνει σε πολύ μεγάλες τιμές σε αιχμηρά σημεία. 47
Ηλεκτρικό δυναμικό και πεδίο αγώγιμης φορτισμένης σφαίρας Το το φορτίο μιας αγώγιμης σφαίρας με ακτίνα R είναι κατανεμημένο ομοιόμορφα στην επιφάνειά της. Το ηλεκτρικό δυναμικό V σαν συνάρτηση της απόστασης r από το κέντρο της φορτισμένης αγώγιμης σφαίρας. Το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου E ως συνάρτηση της απόστασης r από το κέντρο της φορτισμένης αγώγιμης σφαίρας. Εικόνα 17:Ηλεκτρικό δυναμικό και πεδίο αγώγιμης φορτισμένης σφαίρας. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 48
Παράδειγμα Η3.8 (1/4) Δύο συνδεδεμένες φορτισμένες σφαίρες. Δυο σφαιρικοί αγωγοί με ακτίνες r 1 και r 2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση η οποία είναι πολύ μεγαλύτεροι από την ακτίνα κάθε σφαίρας. Οι σφαίρες συνδέονται με ένα αγώγιμο σύρμα. Τα φορτία των σφαιρών, οι οποίες βρίσκονται σε ισορροπία, είναι q 1 και q 2, αντίστοιχα, και είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα. Βρείτε τον λόγω των μέτρων των ηλεκτρικών πεδίων στην επιφάνεια κάθε σφαίρας. 49
Παράδειγμα Η3.8 (2/4) Εικόνα 18: Παράδειγμα Η3.8. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 50
Παράδειγμα Η3.8 (3/4) Λύση: Εφόσον οι δύο σφαίρες συνδέονται, τα δυναμικά στις επιφάνειές τους είναι ίσα. V = k e q 1 r 1 = k e q 2 r 2 q 1 q 2 = r 1 r 2 (1) Τα μέτρα των ηλεκτρικών πεδίων στις επιφάνειες των δύο σφαιρών είναι: q E 1 = k 1 q e r2 και E 2 = k 2 e 1 r2 Υπολογίζουμε τον λόγο Ε 1 /Ε 2 των δύο πεδίων. 51
Παράδειγμα Η3.8 (4/4) Λύση: Ε 1 Ε 2 = k e q 1 r 1 2 k e q 2 r 2 2 = q 2 1 r 2 q 2 r 1 2 Αντικαθιστώντας τον λόγο των φορτίων από την εξίσωση (1), βρίσκουμε: Ε 1 = r 1 r2 Ε 2 r 2 r2 = r 2 1 r 1 Συμπέρασμα: Αν και τα ηλεκτρικά δυναμικά στις επιφάνειες και των δύο σφαιρών είναι ίδια, το πεδίο είναι ισχυρότερο κοντά στη μικρότερη σφαίρα. Αν r 2 0, τότε E 2, κάτι που επιβεβαιώνει το γενικό συμπέρασμα ότι το ηλεκτρικό πεδίο παίρνει πολύ μεγάλη τιμή σε σημεία πολύ μικρής ακτίνας καμπυλότητας (ακίδες). 52
Κοιλότητα στο εσωτερικό ενός αγωγού Έστω ότι ένας αγωγός περιέχει μια κοιλότητα ακανόνιστου σχήματος. Υποθέτουμε ότι μέσα στην κοιλότητα δεν υπάρχουν φορτία. Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Εικόνα 19: Κοιλότητα στο εσωτερικό ενός αγωγού. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 53
Στεμματόμορφη εκκένωση (1/2) Συχνά, κοντά σε αγωγούς, όπως ένα ηλεκτρικό καλώδιο υψηλής τάση, παρατηρείται ένα φαινόμενο γνωστό ως στεμματόμορφη εκκένωση (ή εκκένωση θυσάνου). Όταν το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή κοντά στον αγωγό είναι αρκετά ισχυρό, τα ηλεκτρόνια που προκύπτουν από τον τυχαίο ιοντισμό μορίων του αέρα κοντά στον αγωγό απομακρύνονται επιταχυνόμενα από τα μόρια από τα οποία προήλθαν. 54
Στεμματόμορφη εκκένωση (2/2) Αυτά τα ταχύτατα ηλεκτρόνια μπορούν να ιοντίσουν και άλλα μόρια που βρίσκονται κοντά στον αγωγό με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν κι άλλα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Η λάμψη που παρατηρείται η στεμματόμορφη εκκένωση οφείλεται στην επανένωση αυτών των ελεύθερων ηλεκτρονίων με τα ιοντισμένα μόρια του αέρα. Η πιθανότητα να συμβεί ιοντισμός και στεμματόμορφη εκκένωση είναι μεγάλη σε αιχμηρά σημεία ή στις ακμές του αγωγού. 55
Βιβλιογραφία Raymond A. Serway, John W. Jewett, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΗ, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ», 8η Έκδοση Αμερικανική/ 2013, ΙSBN: 978-960- 461-509-4, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ ΕΠΕ. Young D. Hugh, «Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Β, Ηλεκτρομαγνητισμός-Οπτική-Σύγχρονη Φυσική», 1η εκδ./1994, ΙSBN: 978-960-02-1088-0, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. Knight D. Randall, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: Τόμος ΙΙ - ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ, ΚΎΜΑΤΑ, ΟΠΤΙΚΉ, ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΌΣ», 1η έκδ./2010, ΙSBN: 978-960-319-306-7, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ. 56
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Πουλάκης. «Ηλεκτρομαγητισμός». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 59
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 60
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: 1. R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 61