Μάθημα: Σύγχρονα Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών Διδάσκων: κ. Λεμονίδης

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Φλώρινας Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση: «Θετικές Επιστήμες και Νέες Τεχνολογίες» Μάθημα: Σύγχρονα Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών Διδάσκων: κ. Λεμονίδης Θέμα εργασίας: Αριθμοί και πράξεις στο δεκαδικό σύστημα σύμφωνα με τη λογική των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης. Φοιτήτρια: Κερμελή Αλεξάνδρα Α.Ε.Μ.: 376 Εξάμηνο: Γ Φεβρουάριος, Φλώρινα 2014

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή σελίδα 4 Τροχιές διδασκαλίας- μάθησης: Ορισμός και περιγραφή τους σελίδα 4 1.Οι τροχιές διδασκαλίας- μάθησης για τους αριθμούς και τις πράξεις στο δεκαδικό σύστημα σύμφωνα με το TurnOnCCMath..σελίδα 6 1.1.Τροχιά διδασκαλίας -μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση στους ακέραιους αριθμούς..σελίδα 6 1.1.1.Τροχιά διδασκαλίας μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 10 στο Νηπιαγωγείο σελίδα 6 1.1.2. Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 100 στην Grade 1 σελίδα 10 1.1.3. Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 1000 στις βαθμίδες 2 έως 4 (Grades 2-4) σελίδα 14 2.Μεγάλες ιδέες των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης.. σελίδα 29 3. Πλάνα διδασκαλίας κατάλληλα για κάθε τροχιά διδασκαλίας σύμφωνα με το NCDPI Math Wiki Space. σελίδα 32 Αναφορές. σελίδα 44 Εισαγωγή Το θέμα της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση και περιγραφή των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης για τους αριθμούς και τις πράξεις στο δεκαδικό σύστημα. Αναλυτικά, αρχικά παρουσιάζεται η φιλοσοφία του σύγχρονου προγράμματος σπουδών των τροχιών διδασκαλίας - μάθησης και των χαρακτηριστικών του.

Στο πρώτο μέρος, παρουσιάζονται οι τροχιές διδασκαλίας μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση, για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και για την αξία θέσης, τα αναπτυξιακά μονοπάτια δηλαδή που ακολουθούν οι μαθητές για την επίτευξη των στόχων που τίθενται όσον αφορά την περιοχή των αριθμών και των πράξεων στο δεκαδικό σύστημα. Στο δεύτερος μέρος, περιγράφονται οι μεγάλες ιδέες των τροχιών διδασκαλίαςμάθησης που παρουσιάστηκαν στο πρώτο μέρος. Στο τρίτο μέρος, παρατίθενται κάποια πλάνα διδασκαλίας που απευθύνονται σε μαθητές που βρίσκονται σε συγκεκριμένα στάδια των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης που περιγράφηκαν προηγουμένως. Σε κάθε πλάνο διδασκαλίας, περιγράφονται οι στόχοι που επιδιώκεται να επιτευχθούν, αναφέρονται τα υλικά που χρησιμοποιούνται, οι προϋπάρχουσες γνώσεις που απαιτούνται για την υλοποίηση του εκάστοτε πλάνου διδασκαλίας από τον εκπαιδευτικό και προτάσεις για διαφοροποίηση της διδασκαλίας ανάλογα με τις ανάγκες των μαθητών. Τροχιές διδασκαλίας- μάθησης: Ορισμός και περιγραφή τους Σύμφωνα με τους Clement & Sarama στο Sztajn, Confrey, Wilson & Edgington, 2012, η τροχιά διδασκαλίας - μάθησης είναι: «η περιγραφή της σκέψης και μάθησης των μαθητών σε έναν μαθηματικό τομέα και η διαδρομή μέσω της οποίας δραστηριότητες έχουν ως στόχο να προκαλέσουν τις διανοητικές εκείνες διαδικασίες μέσω των οποίων οι μαθητές θα οδηγηθούν προοδευτικά σε ανώτερα επίπεδα σκέψης». Ακόμη, σύμφωνα με τον ορισμό που δίνουν οι Maloney & Confrey στο Sztajn, Confrey, Wilson & Edgington, 2012, οι τροχιές διδασκαλίας- μάθησης αποτελούν προβλεπόμενες διαδρομές σε σειρά, οι οποίες είναι προϊόν εμπειρικής έρευνας, σχεδιασμένης να ανακαλύψει τα πιθανά βήματα που οι μαθητές ακολουθούν καθώς εξελίσσουν τις αρχικές τους μαθηματικές ιδέες σε τυπικές έννοιες, αναγνωρίζοντας ότι το μονοπάτι (η διαδικασία) που ακολουθεί ο κάθε μαθητής είναι μοναδικό. Διαπιστώνουμε, λοιπόν, ότι οι διαδρομές αυτές αποτελούν προϊόν έρευνας για την εξέλιξη της μάθησης και συνδέονται στενά με τις διδακτικές πρακτικές. Επιχειρείται λοιπόν, μέσω των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης, μία θεωρητική σύνδεση μεταξύ της έρευνας στη μάθηση και της έρευνας στη διδασκαλία. Τα τρία κύρια χαρακτηριστικά των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης είναι τα εξής:

ο μαθηματικός στόχος (οι μεγάλες ιδέες). Οι μεγάλες ιδέες αποτελούν μία ομάδα εννοιών και δεξιοτήτων, οι οποίες είναι κεντρικές στα μαθηματικά, συνδέονται μεταξύ τους, αντιστοιχούν στο επίπεδο σκέψης των παιδιών και προωθούν την μελλοντική μάθηση. το αναπτυξιακό μονοπάτι, στο οποίο κινούνται προοδευτικά οι μαθητές προκειμένου να επιτύχουν το στόχο τους και οι κατάλληλες διδακτικές δραστηριότητες για κάθε επίπεδο σκέψης του αναπτυξιακού μονοπατιού που βοηθούν τους μαθητές να οδηγηθούν στα ανώτερα επίπεδα σκέψης (Clements & Sarama, 2010). Σε μια τροχιά διδασκαλίας- μάθησης, αυτό που μαθαίνεται σε μια φάση επιτελείται σε ανώτερο επίπεδο στην αμέσως επόμενη, δηλαδή, η μαθησιακή διαδικασία εξελίσσεται σε επίπεδα. Καθώς ο μαθητής μετακινείται από επίπεδο σε επίπεδο, εργαζόμενος ατομικά ή συλλογικά, οι γνώσεις, οι δεξιότητες και οι ικανότητες που αναπτύσσει αποκτούν συνοχή. Τα επίπεδα προσφέρουν δυνατότητες οργάνωσης και ρύθμισης της διδασκαλίας, με στόχο την μετάβαση σε ανώτερα επίπεδα μάθησης. Θα πρέπει, ωστόσο, να διευκρινιστεί ότι τα επίπεδα δεν έχουν γενική ισχύ (επιτρέπουν την ανάδειξη των ιδιαιτεροτήτων στις μορφές μάθησης), ενώ δεν υπάρχει άμεση σύνδεση μεταξύ επιπέδων και των σταδίων νοητικής ανάπτυξης του μαθητή. Τέλος, είναι σημαντικό να επισημανθούν ορισμένοι περιορισμοί και δυσκολίες στην οργάνωση της διδασκαλίας με βάση τις τροχιές διδασκαλίας- μάθησης. Καταρχήν, είναι σαφές ότι δεν είναι πάντοτε εύκολο να οριστούν με σαφήνεια και να οργανωθούν με αποτελεσματικό τρόπο οι τροχιές διδασκαλίας- μάθησης η μια σε σχέση με την άλλη. Επιπλέον, κατά την εργασία της διδασκαλίας στη βάση των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης θα πρέπει να ληφθεί ιδιαίτερη μέριμνα ώστε: Η εστίαση σε μια τροχιά να μην εμποδίζει τη θέαση των υπολοίπων. Οι τροχιές να επιτρέπουν την συν θέαση της γνωστικής, κοινωνικής και συναισθηματικής ανάπτυξης του μαθητή (αχώριστες αλλά όχι αδιάκριτες). Να είναι εμφανής ο τρόπος με τον οποίο οι τροχιές συσχετίζονται, διασταυρώνονται και ενοποιούνται (Πρόγραμμα Σπουδών, Μαθηματικά στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση, 2011).

1. Οι τροχιές διδασκαλίας- μάθησης για τους αριθμούς και τις πράξεις στο δεκαδικό σύστημα σύμφωνα με το TurnOnCCMath 1. Οι τροχιές διδασκαλίας- μάθησης για τους αριθμούς και τις πράξεις στο δεκαδικό σύστημα περιέχουν 3 βασικές υποτροχιές: την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση, την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση και την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την αξία θέσης και τους δεκαδικούς αριθμούς. 1.1.Τροχιά διδασκαλίας -μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση στους ακέραιους αριθμούς Σε αυτήν τροχιά διακρίνουμε 3 υποτροχιές: την τροχιά διδασκαλίας μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 10, την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 100 και την τροχιά διδασκαλίας - μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 1000. 1.1.1.Τροχιά διδασκαλίας μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 10 στο Νηπιαγωγείο. Οι μαθητές ξεκινούν στο Νηπιαγωγείο και ασχολούνται με τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με ακέραιους αριθμούς έως το 10. Σε αυτή τη τροχιά οι μαθητές περνούν από τα εξής στάδια: Αναπαράσταση των πράξεων Αρχικά, οι μαθητές σε αυτό το στάδιο της τροχιάς, αναπαριστούν τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Οι μαθητές εισάγονται στις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με τις έννοιες «ένωση-joining 2 συνόλων» και «διάσπαση-separating 1 συνόλου σε 2 σύνολα». Αυτές οι πράξεις διευκολύνονται από τις γνώσεις των μαθητών που προέκυψαν από τη μέτρηση και αφορούν την έννοια «ένα περισσότερο 1 Το TurnOnCCMath αποτελεί μία ολοκληρωμένη πηγή υποστήριξης των δασκάλων, των εκπαιδευτών των δασκάλων, των φορέων επαγγελματικής ανάπτυξης, και των εμπειρογνωμόνων του προγράμματος σπουδών σε περιφερειακό και κρατικό επίπεδο στην ερμηνεία του προγράμματος σπουδών των ΗΠΑ The Common Core State Standards for Math (CCSS-M) με στόχο την διδακτική εφαρμογή. Το TurnOnCCMath υποστηρίζει, επίσης, ερευνητές της εκπαίδευσης στην αναγνώριση πεδίων ενδιαφέροντος για περαιτέρω έρευνα στη μάθηση.

από/ένα λιγότερο από». Οι μαθητές επεκτείνοντας την ιδέα της ισοδυναμίας χωρίζουν ένα σύνολο σε δύο αθροιστικά μέρη, ένα και τον απομείναντα αριθμό. Στη συνέχεια, ενώνουν πάλι τα δύο αθροιστικά μέρη και παίρνουν το όλο. Ενώνοντας και διασπώντας τα μέρη περιγράφουν απλές αθροιστικές και αφαιρετικές σχέσεις. Οι μαθητές αναγνωρίζουν την ένωση και την διάσπαση ως αντίθετες πράξεις που απεικονίζει την σχέση πρόσθεσης και αφαίρεσης. Έτσι, τίθενται οι βάσεις για να κατανοηθούν η πρόσθεση και η αφαίρεση ως αντίθετες πράξεις στα επόμενα χρόνια. Οι μαθητές, ακόμη, κατανοούν ότι η σειρά με την οποία προστίθενται 2 ή περισσότερα σύνολα δεν επηρεάζει το άθροισμα τους, γεγονός που σημαίνει ότι κατανοούν διαισθητικά την αντιμεταθετική ιδιότητα. Κατά τη διάρκεια της χρονιάς, οι μαθητές αναπτύσσουν στρατηγικές για να αναπαραστήσουν αυτές τις πράξεις. Συγκεκριμένα, οι μαθητές περιγράφουν μία πράξη προφορικά, δημιουργούν ένα σχέδιο, αναπαριστούν στην τάξη την πράξη και δημιουργούν εξισώσεις π.χ. 2+3=5. Ως μέσα οι μαθητές χρησιμοποιούν τα αντικείμενα, τα χέρια τους, νοερές εικόνες, ήχους, σχέδια, καταστάσεις, προφορικές εξηγήσεις ή εξισώσεις. Ανάλυση των αριθμών μέχρι το 10 Στη συνέχεια, οι μαθητές μαθαίνουν να αναλύουν τους αριθμούς μέχρι το 10 σε διάφορα αθροίσματα. Για παράδειγμα, οι μαθητές ανακαλύπτουν ότι το 6 μπορεί να αποτελείται από τα ζευγάρια 5 και 1, 4 και 2, 3 και 3 κλπ. (όπως φαίνεται στην Εικόνα 1). Αυτή η διαδικασία είναι πολύ σημαντική, γιατί το σύνολο των τριών αριθμών (το ζευγάρι και το αποτέλεσμα που δίνουν) υποστηρίζει την μάθηση των αθροισμάτων και διαφορών μέχρι το 10. Οι μαθητές χρησιμοποιούν ως μέσα αντικείμενα ή σχέδια για να βρούνε διάφορα αθροίσματα μέχρι το 10 και καταγράφουν την επίλυση του προβλήματος με κάποια εξίσωση ή σχέδιο.

Εικόνα 1 Εύρεση του προσθετέου που μας δίνει το 10, ή συμπλήρωμα του 10. Οι μαθητές σε αυτό το στάδιο βρίσκουν για οποιονδήποτε αριθμό από το 1 έως το 9 τον αριθμό που προστίθεται σε αυτόν και δίνει 10. Η μάθηση των αθροισμάτων στο προηγούμενο στάδιο βοηθάει τους μαθητές να βρίσκουν ποιος αριθμός αν προστεθεί στον αριθμό που δίνεται μας δίνει 10. Οι μαθητές χρησιμοποιούν αντικείμενα ή σχέδια για να βρούνε και να περιγράφουνε πως βρήκαν τον αριθμό που προστίθεται στον αριθμό που τους δίνεται έτσι ώστε να δώσει 10. Στο τέλος, καταγράφουν την απάντηση με μία εξίσωση ή με ένα σχέδιο. Για παράδειγμα, έχουμε το εξής πρόβλημα: Σε ένα καλάθι υπάρχουν 10 μπάλες του τέννις. Αυτή τη στιγμή βρίσκονται εκεί μόνον 3. Πόσες λείπουν;

Οι μαθητές χρησιμοποιώντας τα κυβάκια (Unifix cubes), από τα 10 κυβάκια που τους δίνονται υπολογίζουν τρία κυβάκια, τα αφήνουν στην άκρη και μετρούν τα υπόλοιπα για να βρούνε πόσες μπάλες λείπουν. Επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης έως το 10 Οι μαθητές σε αυτό το στάδιο επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης χρησιμοποιώντας τις στρατηγικές μοντελοποίησης που έμαθαν. Οι μαθητές χρησιμοποιούν αντικείμενα ή σχέδια για να αναπαραστήσουν το πρόβλημα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούν ομαδοποιήσιμα μοντέλα δεκαδικής βάσης (π.χ. δέσμες από ξυλάκια και σφηνοκυβάκια) και προ-ομαδοποιημένα μοντέλα δεκαδικής βάσης (π.χ. τουβλάκια με βάση το 10 (Dienes Block) και μοντέλα που βασίζονται στο μήκος (π.χ. μοντέλα αριθμητηρίου). Πρόσθεση και αφαίρεση με ευχέρεια έως το 5. Οι μαθητές συνδέουν την κατανόηση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με τα σύμβολα +, -, = και χρησιμοποιούν στρατηγικές όπως οι στρατηγικές + ή -1, + ή -2, τα διπλά αθροίσματα και τα διπλά αθροίσματα + ή -1. Για παράδειγμα, οι μαθητές γνωρίζοντας το διπλό άθροισμα 3+ 3=6 επιλύουν την πρόσθεση 3+4 ως εξής 3 +4= 3+3+1=6+1=7. Ωστόσο, σύμφωνα με ερευνητικά δεδομένα, η εκμάθηση των αθροισμάτων και των διαφορών έως το 5 απαιτεί την σύνδεση τους με διάφορα πλαίσια και όχι την απλή απομνημόνευση και την υποβολή τεστ σε τακτικά χρονικά διαστήματα στους μαθητές. 1.1.2. Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 100 στην βαθμίδα (Grade) 1 Οι μαθητές στην συγκεκριμένη τροχιά περνούν από τα εξής στάδια:

Κατανόηση, ερμηνεία και γραφή του προβλήματος αφαίρεσης ως πρόβλημα πρόσθεσης με άγνωστο τον ένα προσθετέο Η γνώση του «joining- ένωση» και «separating- διάσπαση» ως αντίθετων διαδικασιών βοηθάει τους μαθητές να αντιληφθούν την πρόσθεση και τη αφαίρεση ως αντίθετες διαδικασίες και να μετασχηματίσουν ένα πρόβλημα αφαίρεσης σε πρόβλημα πρόσθεσης. Για παράδειγμα, το πρόβλημα 9-3= _ μπορούν να το γράψουν ως πρόβλημα πρόσθεσης με άγνωστο προσθετέο ως εξής: 3 + _= 9. Οι μαθητές επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα αλλάζοντας το είδος της πράξης από αφαίρεση σε πρόσθεση και μετρώντας «προς τα εμπρός». Συσχέτιση μέτρησης με πρόσθεση και αφαίρεση Οι μαθητές γνωρίζουν ήδη να μετρούν «προς τα εμπρός και προς τα πίσω» από οποιονδήποτε αριθμό. Οι μαθητές, βασιζόμενοι σε αυτήν την ικανότητα ξεκινούν και αριθμούν από έναν από τους προσθετέους, αντί να ξεκινούν από το 1. Σταδιακά, επιλέγουν τον μεγαλύτερο προσθετέο και ξεκινούν από εκείνον την αρίθμηση. Οι μαθητές συνήθως χρησιμοποιούν τη διπλή μέτρηση («double counting»), δηλαδή χρησιμοποιούν αντικείμενα ή τα δάχτυλα για να προσθέσουν ή να αφαιρέσουν τον σωστό αριθμό και παράλληλα μετρούν δυνατά για να βρούνε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 8 +4, οι μαθητές βγάζουν 4 δάχτυλα και ξεκινούν και μετρούν από το 8, λέγοντας 9,10,11, 12. Πρόσθεση διψήφιου αριθμού με μονοψήφιο αριθμό και διψήφιου αριθμού με πολλαπλάσια του 10. Οι μαθητές προσθέτουν έναν διψήφιο αριθμό με έναν μονοψήφιο αριθμό και διψήφιους αριθμούς με πολλαπλάσια του 10 χρησιμοποιώντας σχέδια, αντικείμενα (όπως τα τουβλάκια με βάση το 10, Εικόνα 2) ή στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης, στις ιδιότητες των πράξεων και στη σχέση πρόσθεσης και αφαίρεσης. Ακόμη, οι μαθητές γράφουν μία εξίσωση για κάθε πρόβλημα και εξηγούν τον συλλογισμό τους. Στην αρχή, αναλύουν τον αριθμό σε δεκάδες και μονάδες προκειμένου να προσθέσουν τις δεκάδες με τα πολλαπλάσια του 10 και τις μονάδες του αριθμού στη συνέχεια. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 62+10, οι μαθητές αναλύουν τον αριθμό σε δεκάδες και μονάδες, προσθέτουν 60 και 10, βρίσκουν 70 και στη συνέχεια προσθέτουν τα 2 και έχουν ως αποτέλεσμα 72. Σταδιακά, αυτή η

ανάλυση δεν είναι σημαντική και οι μαθητές βρίσκουν κατευθείαν το αποτέλεσμα χωρίς να διασπούν τον αριθμό σε μονάδες και δεκάδες. Στην πρόσθεση διψήφιων αριθμών, οι μαθητές αναλύουν τους αριθμούς σε μονάδες και δεκάδες και προσθέτουν τις δεκάδες ξεχωριστά και τις μονάδες ξεχωριστά (στρατηγική διαχωρισμού). Σημαντικό είναι να κατανοήσουν οι μαθητές ότι μερικές φορές χρειάζεται να δημιουργήσουμε μία δεκάδα από μονάδες. Οι μαθητές ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν εκτός από τη στρατηγική διαχωρισμού, την στρατηγική της συσσώρευσης και την στρατηγική αντιστάθμισης, χρησιμοποιώντας ως βοήθεια μοντέλα όπως τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης, η κενή αριθμογραμμή και ο πίνακας με τους αριθμούς έως το 100 (Hundred Board).. Εικόνα 2

Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 29 και 17, ο μαθητής μπορεί να προσθέσει στο 29, πρώτα 10, για να βρει 39, μετά 1, για να φτάσει στο 40 και στο τέλος 6 βρίσκοντας ως αποτέλεσμα 46 (όπως φαίνεται στην Εικόνα 3). Ο μαθητής σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιεί την στρατηγική της συσσώρευσης και χρησιμοποιεί ως μοντέλο την κενή αριθμογραμμή. Εικόνα 3 Λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 20 σε καταστάσεις πρόσθεσης (adding to/putting together), αφαίρεσης (taking from/taking apart) και σύγκρισης. Οι μαθητές σε αυτό τα στάδιο λύνουν τριών ειδών προβλήματα: Προβλήματα πρόσθεσης (adding to/putting together) Προβλήματα αφαίρεσης (taking from/taking apart) και Προβλήματα σύγκρισης με «αγνώστους» σε όλες τις θέσεις. Τα προβλήματα σύγκρισης αναδύουν μία νέα σημασία της αφαίρεσης, συγκεκριμένα τη σύγκριση 2 μεγεθών ή ποσοτήτων βρίσκοντας τη διαφορά τους. Για παράδειγμα, δίνεται το εξής πρόβλημα: η Μαρία έχει 18 αρκουδάκια και η Ιωάννα έχει 3 αρκουδάκια. Πόσα περισσότερα αρκουδάκια έχει η Μαρία από την Ιωάννα;

Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν αντικείμενα και σχέδια προκειμένου να επιλύσουν τα προβλήματα που προαναφέρθηκαν. Οι μαθητές επιδιώκεται ακόμη να μπορούν να γράφουν την εξίσωση μιας πράξης (της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης) καθώς και να μετασχηματίζουν την πράξη της αφαίρεσης σε πρόσθεση και να γράφουν για μία εξίσωση της αφαίρεσης την αντίστοιχη εξίσωση της πρόσθεσης. Έτσι, μπορούν να συσχετίζουν τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Επίσης, σημαντικό κρίνεται να μπορούν να ερμηνεύουν την εξίσωση που γράφουν. Λεκτικά προβλήματα πρόσθεσης τριών αριθμών με άθροισμα μικρότερο ή ίσο του 20 Οι μαθητές βασιζόμενοι στις γνώσεις τους για προβλήματα με δύο προσθετέους επιλύουν προβλήματα με τρεις προσθετέους με τον «άγνωστο» σε όλες τις θέσεις. Για παράδειγμα, μπορεί να δίνεται το εξής πρόβλημα στους μαθητές: Η οικογένεια του Γιώργου έχει 3 αυτοκίνητα, η οικογένεια του Θανάση 2 και η οικογένεια της Αιμιλίας 5 αυτοκίνητα. Πόσα αυτοκίνητα έχουν όλες οι οικογένειες μαζί; Στην συγκεκριμένη περίπτωση ο «άγνωστος» είναι το σύνολο. Μπορεί ο «άγνωστος» να είναι ένας από τους 3 προσθετέους. Οι μαθητές χρησιμοποιούν αντικείμενα ή σχέδια προκειμένου να λύσουν τα προβλήματα και γράφουν στο τέλος την εξίσωση του προβλήματος. Πρόσθεση και αφαίρεση έως το 20 Οι μαθητές σημειώνουν ήδη ευχέρεια σε αυτό το στάδιο στην πρόσθεση και στην αφαίρεση μέχρι το 10 και συνεχίζουν με αριθμούς έως το 20. Οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν είναι η αρίθμηση από τον πρώτο ή από τον μεγαλύτερο, η στρατηγική της υπέρβασης της δεκάδας, η σχέση πρόσθεσης και αφαίρεσης και ο υπολογισμός κάποιων αθροισμάτων και διαφορών με βάση πιο εύκολα αθροίσματα και διαφορές που έχουν αποθηκευτεί στη μακρόχρονη μνήμη. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η γνώση των διπλών, τα οποία αποθηκεύονται εύκολα στη μνήμη. Στην πρόσθεση 6+6, μπορεί ο μαθητής να αναλύσει το 7 σε 6 και 1, να προσθέσει στη συνέχεια πρώτα το 6+6, να ανακαλέσει το αποτέλεσμα και στο τέλος να προσθέσει το 1. Χρήση των ιδιοτήτων των πράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης ως στρατηγικές επίλυσης Οι μαθητές χρησιμοποιούν την αντιμεταθετική, την προσεταιριστική και την ταυτότητα του 0 ως στρατηγικές για να λύσουν προβλήματα πρόσθεσης και

αφαίρεσης. Οι τρεις αυτές ιδιότητες είναι πολύ χρήσιμες για τους μαθητές. Συγκεκριμένα, η αντιμεταθετική ιδιότητα, η οποία ορίζει ότι α+β = β+α, μειώνει στο μισό τον αριθμό των αριθμητικών γεγονότων που χρειάζεται να μάθουν οι μαθητές, καθώς αφού γνωρίζουν ότι 3+5= 8, δεν χρειάζεται να μάθουν ως καινούριο το άθροισμα 5+3=8. Ακόμη, η χρήση της αντιμεταθετικής ιδιότητας παρέχει ευελιξία στους μαθητές σε προβλήματα πρόσθεσης, αφού είναι πιο εύκολο για παράδειγμα να μετρήσεις 3 από το 7 στο 10 παρά 7 από το 3 στο 10. Η προσεταιριστική ιδιότητα, η οποία ορίζει ότι (α+β)+γ= α+(β+γ), βοηθά τους μαθητές να διασπούν σε κατάλληλα αθροίσματα τους αριθμούς προκειμένου να υπολογίζουν εκείνα τα αθροίσματα που γνωρίζουν. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση 6 +7, οι μαθητές μπορούν να υπολογίσουν ως εξής: 6+7=6+(4+3)=(6+4)+3=10+3=13. Η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα δεν εφαρμόζονται στην αφαίρεση. Ακόμη, η ταυτότητα του 0, η οποία ορίζει ότι 0+α=α, οδηγεί τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι η πρόσθεση του 0 δεν αλλάζει την αξία του αριθμού. Σαφώς χρειάζεται οι μαθητές να έχουν εμπειρίες σε διάφορα πλαίσια με την ταυτότητα του 0 (όπως με χρηματικές καταστάσεις ή με αντικείμενα) προκειμένου να γενικεύσουν ότι η πρόσθεση του 0 δεν αλλάζει την αξία του αριθμού. Τέλος, οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν ταυτόχρονα τις ιδιότητες που προαναφέρθηκαν για να επιλύσουν προβλήματα πρόσθεσης. 1.1.3. Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση μέχρι το 1.000 στις βαθμίδες 2 έως 4 (Grades 2-4) Οι μαθητές στην συγκεκριμένη τροχιά περνούν από τα εξής στάδια: Πρόσθεση και αφαίρεση έως το 1.000 Οι μαθητές χρησιμοποιούν τα μοντέλα, τις στρατηγικές και τις ιδιότητες που έμαθαν προκειμένου να επιλύσουν πιο σύνθετα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης (με αριθμούς έως το 1.000). Οι μαθητές χρησιμοποιούν αντικείμενα, σχέδια και στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης (στρατηγική διαχωρισμού), στις ιδιότητες των πράξεων και στη σχέση πρόσθεσης και αφαίρεσης. Επίσης, στο τέλος γράφουν μία εξίσωση και εξηγούν το συλλογισμό τους. Ιδιαίτερη βάση δίνεται στην κατανόηση και χρήση της στρατηγική του διαχωρισμού. Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης 1 ή 2 βημάτων με αριθμούς έως το 100

Οι μαθητές επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης 1 ή 2 βημάτων με αριθμούς έως το 100 που αφορούν: καταστάσεις πρόσθεσης (adding to/putting together) καταστάσεις αφαίρεσης (taking from/taking apart) και καταστάσεις σύγκρισης (comparing) με τον «άγνωστο» σε όλες τις θέσεις. Ένα παράδειγμα ενός προβλήματος δύο βημάτων είναι το εξής: Σε έναν αγώνα μπάσκετ παρακολουθούν 54 οπαδοί του Ολυμπιακού. Μετά το δεύτερο δεκάλεπτο φεύγουν 12 οπαδοί. Μετά το τρίτο δεκάλεπτο φτάνουν άλλοι 28 οπαδοί. Πόσοι οπαδοί παρακολουθούσαν τον αγώνα μετά το τρίτο δεκάλεπτο; Οι μαθητές επιλύουν αυτά τα προβλήματα περιγράφοντας προφορικά τις στρατηγικές τους, γράφοντας εξισώσεις και χρησιμοποιώντας τα προ-ομαδοποιημένα μοντέλα δεκαδικής βάσης (π.χ. τουβλάκια δεκαδικής βάσης). Για παράδειγμα, στο πρόβλημα που αναφέρθηκε οι μαθητές αφαιρούν πρώτα το 12 από το 54 και προσθέτουν έπειτα 28, χρησιμοποιώντας τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης για να περιγράφουν την στρατηγική που χρησιμοποίησαν (όπως φαίνεται στην Εικόνα 4). Εικόνα 4 Πρόσθεση και αφαίρεση με αριθμούς μέχρι το 20 κάνοντας χρήση νοερών στρατηγικών - Μάθηση όλων των αθροισμάτων δύο μονοψήφιων αριθμών Έως το τέλος της βαθμίδας 2 (Grade 2), αναμένεται οι μαθητές να γνωρίζουν να υπολογίζουν όλα τα αθροίσματα μονοψήφιων αριθμών. Ο δάσκαλος μπορεί εκτός από το να ρωτάει μόνο τα αποτελέσματα σε προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης να ζητάει από τους μαθητές να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους προκειμένου να προωθείται η κατανόηση.

Χρήση της πρόσθεσης για την εύρεση του συνολικού αριθμού των αντικειμένων σε μία διάταξη (array) με έως 5 σειρές και στήλες. Οι διατάξεις σε στήλες και σειρές (arrays) παρέχουν ευκαιρίες οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν τις στρατηγικές της αρίθμησης, της αρίθμησης με πολλαπλάσιο, της πρόσθεσης και της αφαίρεσης καθώς οι μαθητές μεταβαίνουν στην διδασκαλία της πράξης του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, για να μετρήσουν τους κύκλους σε μία διάταξη με 5 σειρές και 4 στήλες, οι μαθητές τους μετρούν όλους από αριστερά προς τα δεξιά ή από πάνω προς τα κάτω. Επίσης, οι μαθητές μετρούν σε κάθε σειρά ανά 4 ή σε κάθε στήλη ανά 5 και βρίσκουν το ίδιο αποτέλεσμα (όπως φαίνεται στην Εικόνα 5). Εικόνα 5 Πρόσθεση και αφαίρεση με αριθμούς έως το 100 Οι μαθητές προσθέτουν και αφαιρούν με ευχέρεια αριθμούς έως το 100 χρησιμοποιώντας στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης, στις ιδιότητες των πράξεων και στη σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης. Οι μαθητές ενθαρρύνονται να εξηγούν τον τρόπο σκέψης τους, να καταγράφουν με μία εξίσωση την πράξη που υπολογίζουν και να βρίσκουν δύο στρατηγικές ή ιδιότητες για να λύσουν ένα πρόβλημα, προκειμένου να προωθείται η κατανόηση και όχι η στείρα απομνημόνευση κάποιων γεγονότων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Συσχέτιση στρατηγικών πρόσθεσης και αφαίρεσης με τις στρατηγικές αξίας θέσης και τις ιδιότητες των πράξεων

Οι μαθητές επιλύουν τα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης που τους ανατίθενται και εξηγούν γιατί οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν «δουλεύουν» συσχετίζοντας τες με στρατηγικές αξίας θέσης (στρατηγική διαχωρισμού) και με τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, ταυτότητα του 0). Πρόσθεση έως και τεσσάρων διψήφιων αριθμών Οι μαθητές επιλύουν προβλήματα, όπου καλούνται να προσθέσουν έως και τέσσερις διψήφιους αριθμούς χρησιμοποιώντας τις στρατηγικές αξίας θέσης, τις ιδιότητες των πράξεων και τη σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης. Οι μαθητές, λοιπόν, χρησιμοποιούν ποικίλες στρατηγικές πριν εισαχθεί ο αλγόριθμος. Έτσι, όταν εισάγεται ο αλγόριθμος οι μαθητές κατανοούν τη λογική των βημάτων που ακολουθούνται, στηριζόμενοι στις γνώσεις τους για την αξία θέσης και τις ιδιότητες των πράξεων. Ο έλεγχος των απαντήσεων τους, η διαδικασία αιτιολόγησης του συλλογισμού τους σε ένα πρόβλημα και οι διαδικασίες επαλήθευσης που χρησιμοποιούν οδηγούν στην αποφυγή λαθών και στην κατανόηση και εμπέδωση κάποιων βασικών σχέσεων (όπως η αντίθετη σχέση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης). Πρόσθεση και αφαίρεση με στρατηγικές και τον αλγόριθμο Οι μαθητές επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης χρησιμοποιώντας τις στρατηγικές της αξίας θέσης, τις ιδιότητες των πράξεων, την αντίθετη σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης καθώς και τον γραπτό αλγόριθμο των δύο πράξεων. Οι μαθητές, ωστόσο, αν και εισάγεται ο αλγόριθμος, καλούνται να λύνουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης χρησιμοποιώντας τις στρατηγικές και όχι μόνον τον γραπτό αλγόριθμο. Επίσης, τους ζητείται να εξηγούν τον συλλογισμό τους όταν χρησιμοποιούν κάποια στρατηγική και να κρίνουν την εγκυρότητα των απαντήσεων τους. Πρόσθεση και αφαίρεση πολυψήφιων αριθμών με τον γραπτό αλγόριθμο Οι μαθητές προσθέτουν και αφαιρούν με ευχέρεια πολυψήφιους αριθμούς χρησιμοποιώντας τον γραπτό αλγόριθμο. Ωστόσο, είναι σημαντικό οι μαθητές να κατανοούν την χρήση της αξίας θέσης στον γραπτό αλγόριθμο καθώς και να χρησιμοποιούν με ευελιξία τις στρατηγικές και τις ιδιότητες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης για να εξηγούν τον γραπτό αλγόριθμο. Είναι, επομένως, σημαντικό οι

μαθητές να χρησιμοποιούν με ευχέρεια τον γραπτό αλγόριθμο και να εξηγούν γιατί «δουλεύει». 1.3.Τροχιά διδασκαλίας -μάθησης για την αξία θέσης σύμφωνα με το TurnOnCCMath. Η τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την αξία θέσης και τους δεκαδικούς αριθμούς περιλαμβάνει 4 υποτροχιές: την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης στους διψήφιους αριθμούς, την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης στους τριψήφιους αριθμούς, την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης στους πολυψήφιους αριθμούς και την τροχιά διδασκαλίαςμάθησης στους δεκαδικούς αριθμούς. 1.3.1.Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης στους διψήφιους αριθμούς στο Νηπιαγωγείο και στην βαθμίδα 1 (Grade 1) Ανάλυση και σύνθεση των αριθμών έως το 20 Οι μαθητές γνωρίζουν ήδη να αναλύουν και να συνθέτουν αριθμούς έως το 10. Η ανάλυση και η σύνθεση των αριθμών είναι η πρώτη αρχή κατανόησης της αξίας θέσης, γι αυτό πρέπει να δίνονται ευκαιρίες στους μαθητές να αναλύουν και να συνθέτουν διψήφιους αριθμούς σε μονάδες και δεκάδες χρησιμοποιώντας μοντέλα για να αναπαραστήσουν τις δεκάδες και τις μονάδες. Οι μαθητές χρησιμοποιούν μία εξίσωση (π.χ., 18 = 10 + 8) ή ένα σχέδιο για να καταγράψουν την ανάλυση ενός διψήφιου αριθμού σε δεκάδες και μονάδες ή τη σύνθεση των μονάδων και των δεκάδων. Σημαντικό κρίνεται να κατανοήσουν οι μαθητές ότι οι αριθμοί έως το 20 συντίθενται από μία δεκάδα και 1-9 μονάδες. Ta 2 είδη ανάλυσης / σύνθεσης αριθμών είναι η διάσπαση/συνδυασμός (breaking apart / combining) (separating/joining) και η ισοκατανομή/ συγκέντρωση (equipartitioning/reassembling). Η διάσπαση (breaking apart) ενός αριθμού είναι μία διαδικασία που παράγει μικρότερους αριθμούς, κάποιοι από τους οποίους είναι άνισοι. Ο συνδυασμός (combining) είναι η αντίθετη διαδικασία της διάσπασης για την παραγωγή του αρχικού αριθμού. Ένα παράδειγμα είναι το εξής: η διάσπαση μιας συλλογής 6 αντικειμένων σε μία ομάδα των 1, μία ομάδα των 2 και μία ομάδα των 3 και ο συνδυασμός τους στην αρχική συλλογή των 6. Η ισοκατανομή

(equipartitioning) ενός αριθμού είναι η διαδικασία που παράγει μικρότερους ίσους αριθμούς. Η συγκέντρωση (reassembly) είναι η αντίστροφη διαδικασία για την παραγωγή του αρχικού αριθμού. Μία άλλη βασική αρχή είναι ότι: «η θέση του ψηφίου καθορίζει την αξία του». Αυτό σημαίνει ότι για παράδειγμα στον αριθμό 18 η τοποθέτηση του ψηφίου καθορίζει την αξία του. Το 1 αναπαριστά μία δεκάδα, και το 8 8 μονάδες. Έτσι, διασπώντας το 18 προκύπτει μία δεκάδα και 8 μονάδες (όπως φαίνεται στην Εικόνα 38). Η σχετική αξία του κάθε ψηφίου από τα δεξιά προς τα αριστερά προχωρά από τις μονάδες, στις δεκάδες, με κάθε αξία να είναι 10 φορές τόσο μεγάλη όσο η προηγούμενη αξία. Εικόνα 38 Η ιδέα που οι μαθητές σταδιακά αναπτύσσουν είναι ότι οι υψηλότερες μονάδες αξίας χτίζονται από τα δεξιά προς τα αριστερά με μία σύνθεση που περιέχει συγκέντρωση (reassembling), για παράδειγμα, 10 μονάδες συγκεντρώνονται σε μία δεκάδα. Οι χαμηλότερες μονάδες αξίας παράγονται με την ισοκατανομή (equipartitioning) της υψηλότερης μονάδας αξίας διά 10 από τα αριστερά προς τα δεξιά, για παράδειγμα, μία δεκάδα μπορεί να διασπαστεί σε 10 μονάδες. Οι μαθητές στο Νηπιαγωγείο δεν διδάσκονται επίσημα την έννοια της αξίας θέσης αλλά προετοιμάζονται για να την μάθουν. Γι αυτό είναι σημαντικό ο δάσκαλος να τους ζητάει να καταμετρούν μεγάλες συλλογές. Έτσι αυξάνουν την σιγουριά τους όταν μετρούν τον συνολικό αριθμό μίας ομάδας σχηματίζοντας ισομεγέθεις ομάδες συχνά των 2, 5, και 10.Μία ισομεγέθης ομάδα που χρησιμοποιείται για μέτρηση αντί του 1 ονομάζεται «μονάδα σύνθεσης» (composite unit) και η δραστηριότητα δημιουργίας τους ονομάζεται «συνένωση» ( Unitizing ). Η «συνένωση» ( Unitizing ) είναι η τοποθέτηση κάποιων μονάδων σε μία μεγαλύτερη μονάδα ενώ

διατηρείται η επίγνωση των μεμονωμένων μονάδων. Είναι η δεύτερη αρχή στην κατανόηση της αξίας θέσης. Η συνένωση μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να μάθουν να μετράνε ανά 2, 5 και 10 έτσι ώστε να προετοιμαστούν για μία μετάβαση στον τρόπο διδασκαλίας της αξίας θέσης στην πρώτη βαθμίδα (Grade 1). Αντίληψη του 10 ως μίας δέσμης 10 μονάδων, η οποία ονομάζεται δεκάδα. Οι μαθητές συνθέτουν το 10 ως μία δέσμη 10 μονάδων. Οι μαθητές ακόμη αναγνωρίζουν τη σημασία την μονάδας σύνθεσης του 10 ως ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μέτρηση και κατανόηση του συστήματος της αξίας θέσης. Η συσχέτιση αυτού με την κατανόηση τους για τα απλά αθροίσματα, τα οποία προστίθενται στο 10 θα βοηθήσει να σταθεροποιηθεί η σημασία των δεκάδων στους μελλοντικούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, οι μαθητές αναγνωρίζουν τις ακόλουθες σχέσεις: και Εικόνα 39 Η αναπαράσταση του 10 δεξιά πάνω συχνά ονομάζεται «ράβδος» ή «ξυλάκι» στην εργασία με υλικά όπως τα Unifix cubes ή τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης (base-10 blocks). Οι μαθητές επίσης αναγνωρίζουν και άλλους συνδυασμούς εκτός των μονάδων του 1 που κάνουν 10, όπως 2 ομάδες των 5 μονάδων, όπως φαίνεται στην Εικόνα 40: και Εικόνα 40 Οι μαθητές πρέπει επίσης να ενθαρρυνθούν να επεκτείνουν τις εμπειρίες στο Νηπιαγωγείο για να βρίσκουν και άλλους συνδυασμούς που μας δίνουν 10, όπως ο συνδυασμός μιας ομάδας 3 μονάδων με μια ομάδα 7 μονάδων.

Οι μαθητές ήδη γνωρίζουν τις αριθμολέξεις από το 11 έως το 20 και έχουν επίγνωση της αντιστροφής των ψηφίων στην ομιλία. Οι μαθητές μπορούν να εισαχθούν στα εξής ονόματα αριθμών: 10-1, 10-2, 10-3 αντί για 11,12,13 προκειμένου να δοθεί έμφαση στη δομή της βάσης του 10 και στη χρήση της μονάδας σύνθεσης του 10. Η σύνθεση των αριθμών έως το 20 Οι μαθητές σε αυτό το στάδιο αναλύουν τους αριθμούς από το 10 έως το 20 σε δεκάδες και μονάδες και αντιλαμβάνονται ότι οι αριθμοί από το 11 έως το 19 αποτελούνται από μία δεκάδα και 1,2,3,4,5,6,7,8 και 9 μονάδες. Καθώς οι μαθητές δομούν τους αριθμούς 11 έως 20 ως συνδυασμούς δεκάδων και μονάδων, ξεκινούν να κατανοούν την τρίτη αρχή της αξίας θέσης, ότι η θέση καθορίζει την αξία, π.χ. η θέση των ψηφίων στον αριθμό καθορίζει τι αξία έχει (π.χ. μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κλπ.). Η ικανότητα των μαθητών να ερμηνεύουν τους διψήφιους αριθμούς αναπτύσσεται σε στάδια. Οι μαθητές αρχικά αναγνωρίζουν τους διψήφιους αριθμούς ως ακέραιους αριθμούς, π.χ., το 12 αναπαριστά την συνολική ποσότητα και καμία σημασία δεν αποδίδεται στα μεμονωμένα ψηφία. Οι μαθητές τότε αναγνωρίζουν ότι σε ένα διψήφιο αριθμό, το ψηφίο στα δεξιά είναι στη θέση των μονάδων και το ψηφίο στα αριστερά είναι στη θέση των δεκάδων. Όμως, οι μαθητές σε αυτό το στάδιο μόνο ονομάζουν τη θέση των ψηφίων χωρίς να κάνουν και την αντιστοίχιση με την αξία τους. Στο επόμενο στάδιο, οι μαθητές ερμηνεύουν κάθε ψηφίο ως αναπαράσταση του αριθμού που φαίνεται από την αξία του. Όμως, οι μαθητές δεν αναγνωρίζουν ότι ο αριθμός που αναπαριστάται από το ψηφίο των δεκάδων είναι πολλαπλάσιο του 10. Για παράδειγμα, όταν παρουσιάζονται στους μαθητές 13 αντικείμενα σε ομάδες των 4 και ο αριθμός 13, οι μαθητές ίσως λανθασμένα αντιστοιχήσουν το 1 του 13 με το 1 αντικείμενο και το 3 του 13 με τις 3 ομάδες των 4 αντικειμένων (όπως φαίνεται στην εικόνα 41).

Εικόνα 41 Τέλος, οι μαθητές αναγνωρίζουν ότι το αριστερό ψηφίο σε ένα διψήφιο αριθμό αναπαριστά ομάδες δέκα αντικειμένων και ότι το δεξί ψηφίο αναπαριστά τα υπόλοιπα μεμονωμένα αντικείμενα. Οι μαθητές αναλύουν και συνθέτουν τους αριθμούς χρησιμοποιώντας: τα μοντέλα που υποστηρίζουν την συνένωση σε δεκάδες και μονάδες. Αυτό συμπεριλαμβάνει τη χρήση του πίνακα του 100 (Hundred Board), τις ράβδους του 10 (ten-sticks από κύβους Unifix ), τα πλαίσια του 10 (Ten Frames), χέρια και δάχτυλα, πούλια και κούπες, δέσμες του 10 και άλλα ομαδοποιήσιμα μοντέλα της δεκαδικής βάσης. την αναπτυγμένη μορφή (π.χ. 73 = 70 + 3) και τους πίνακες αξίας θέσης με στήλες που έχουν ονομαστεί σύμφωνα με τις αριθμητικές αξίες. Είναι σημαντικό επίσης να τονιστεί το γεγονός ότι η αξία των ψηφίων στη στήλη των δεκάδων είναι 10 φορές όση η αξία του ψηφίου των μονάδων. Οι μαθητές χρειάζεται να συγκρίνουν ποιο είναι περισσότερο: μία δεκάδα και 9 μονάδες, ή 9 δεκάδες και μία μονάδα. Αυτό το γεγονός φαίνεται εύκολα όταν δουλεύουμε με υλικά, αλλά οι μαθητές ίσως χρειαστεί να το έχουν υπόψη τους καθώς μεταβαίνουν σε αριθμητικές αναπαραστάσεις αριθμών μεγαλύτερων του 9. Αντίληψη ότι οι αριθμοί 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90 αποτελούνται από 1,2,3,4,5,6,7,8 και 9 δεκάδες (και 0 μονάδες) Οι μαθητές αναγνωρίζουν ότι οι οπτικές αναπαραστάσεις των δεκάδων και των μονάδων είναι διαφορετικές. Οι μαθητές πρώτα αντιλαμβάνονται ότι αφού το 19 αναπαρίσταται ως μία δεκάδα και 9 μονάδες, τότε το 20 μπορεί να αναπαρασταθεί ως μία δεκάδα και 10 μονάδες ή ως 2 δεκάδες και 0 μονάδες. Οι μαθητές μπορούν τότε να αναγνωρίσουν άλλους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν μόνο με δεκάδες (και 0 μονάδες). Αυτοί οι αριθμοί περιγράφονται και ταξινομούνται σύμφωνα με το πόσες δεκάδες έχουν, που είναι η πρώτη εμπειρία με την αρίθμηση με παράγοντα (skip counting).

Για παράδειγμα, αυτή η έννοια μπορεί να συζητηθεί στην τάξη ως εξής: δίνοντας στους μαθητές ένα σύνολο «ράβδων του 10» και ζητώντας τους να καθορίσουν την αξία του συνόλου. Οι μαθητές πρέπει να αποφύγουν να μετρήσουν ανά 1, και να ενθαρρυνθούν να μετρήσουν ανά 10 όταν μία νέα «ράβδος του 10» θα προστεθεί. Σύγκριση 2 διψήφιων αριθμών στη βάση της αξίας θέσης Βασιζόμενοι στην ευχέρεια με την σύνθεση και ανάλυση των αριθμών από το 11 έως το 20, οι μαθητές αναλύουν και συνθέτουν επιπρόσθετους διψήφιους αριθμούς σε αναπτυγμένη μορφή ( π.χ. γράφουν ότι 64 = 60 + 4, ή το 64 περιέχει 6 δεκάδες και 4 μονάδες). Οι μαθητές αρχικά σύγκριναν αριθμούς έως το 10 ισχυριζόμενοι ότι ένας αριθμός είναι «μικρότερος από» ή «μεγαλύτερος από» κάποιον άλλον. Σε αυτό το στάδιο, αυτές οι λέξεις ισοδυναμούν με τις συμβολικές εκφράσεις: «μικρότερος από» (<), «μεγαλύτερος από» (>) και «ίσος με» (=). Οι μαθητές εφαρμόζουν την κατανόηση τους για τις αριθμητικές σχέσεις για να συγκρίνουν διψήφιους αριθμούς και να διατάξουν ομάδες αριθμών. Για να δοθεί έμφαση στη έννοια της αξίας θέσης, οι μαθητές προκαλούνται να συγκρίνουν ζευγάρια διψήφιων αριθμών. Για παράδειγμα, οι μαθητές συγκρίνουν αριθμούς που έχουν το ίδιο ψηφίο στις δεκάδες όπως το 24 και το 28 και παρατηρούν ότι επειδή και οι 2 αριθμοί έχουν δύο δεκάδες, πρέπει να συγκρίνουν μόνον τις μονάδες. Επίσης, οι μαθητές συγκρίνουν αριθμούς που δεν έχουν κοινά ψηφία ούτε στις δεκάδες ούτε στις μονάδες, όπως το 49 και το 61. Οι μαθητές γνωρίζουν ότι το 10 είναι 10 φορές όσο το 1 και γι αυτό αποφασίζουν ότι ο αριθμός που περιέχει περισσότερες δεκάδες είναι μεγαλύτερος του αριθμού που περιέχει λιγότερες μονάδες, ανεξαρτήτως των μονάδων. Ωστόσο, για αριθμούς που έχουν το ίδιο ψηφίο στις δεκάδες, ο αριθμός που περιέχει περισσότερες μονάδες, θα είναι μεγαλύτερος. Αν δύο αριθμοί έχουν το ίδιο ψηφίο στις δεκάδες και στις μονάδες είναι ίσοι. Οι μαθητές που αντιμετωπίζουν δυσκολίες στη σύγκριση διψήφιων αριθμών ίσως δεν κατανοούν την ιδέα ότι η θέση του ψηφίου στον αριθμό καθορίζει την «αξία» του. Οι μαθητές πρέπει να συνεχίσουν να χρησιμοποιούν τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης (base ten blocks) προκειμένου να βοηθηθούν στην ανάπτυξη της αίσθησης

του αριθμού. Καθώς οι μαθητές αναπτύσσουν πρότυπα αριθμών και κατανοούν ότι ένα ψηφίο στη θέση των δεκάδων έχει αξία 10 φορές όσο ένα ψηφίο στη θέση των μονάδων, μπορούν να εκφράσουν ανισότητες χωρίς να βασίζονται στα υλικά (manipulatives). Οι μαθητές επίσης εφαρμόζουν την έννοια ότι «η θέση καθορίζει την αξία» για να εξηγήσουν γιατί ένας μονοψήφιος αριθμός είναι πάντα μικρότερος απ ότι ένας διψήφιος αριθμός. Οι μαθητές κατανοούν πως αυτά τα σύμβολα ερμηνεύονται σε μία αριθμητική σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά. Μία πρόκληση είναι να ζητήσουμε από τους μαθητές να γράψουν ισοδύναμες αριθμητικές προτάσεις που περιέχουν αντίθετα σύμβολα ανισότητας (π.χ., 84 > 79 και 79 < 84). Αυτό για παράδειγμα, μπορεί να τεθεί στους μαθητές της τάξης, ρωτώντας τους: «Πως μπορώ να γράψω μία εξίσωση, η οποία να συγκρίνει το 79 και το 84 με το 79 πρώτο»; «Πως μπορώ να γράψω μία εξίσωση, η οποία να συγκρίνει το 79 και το 84 με το 84 πρώτο; Νοερή αριθμητική Οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν 10 περισσότερες ή 10 λιγότερες μονάδες από κάποιους αριθμούς που τους δίνονται, χωρίς να μετρούν και αιτιολογούν το συλλογισμό τους. Η τέταρτη αρχή που βοηθάει στην καθοδήγηση των μαθητών στην κατανόηση της αξίας θέσης είναι η ανάπτυξη ευελιξίας με τα πρότυπα αξίας θέσης των διψήφιων αριθμών. Οι μαθητές κατανοούν ότι οι αριθμοί 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 συνθέτονται από μονάδες του 10. Οι μαθητές μετρούν ανά 10 προς τα εμπρός και προς τα πίσω (10, 20, 30,, 100; 80, 70, 60,, 10) αυξάνοντας ή μειώνοντας τους διψήφιους αριθμούς ανά 10 και συνειδητοποιώντας ότι οπτικά αυτό αλλάζει τον αριθμό των δεκάδων αλλά δεν αλλάζει τον αριθμό των μονάδων (π.χ., 23, 33, 43,, 93; or 75, 65, 55,, 5). Τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης και οι ράβδοι του 10 μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν τους μαθητές στην ανάπτυξη αυτής της δεξιότητας, αλλά στο τέλος

της διδασκαλίας οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση να εκτελούν τους υπολογισμούς νοερά. Αφαίρεση πολλαπλασίων του 10 από τους αριθμούς 10-90 από πολλαπλάσια του 10 των ίδιων αριθμών (θετική ή μηδενική διαφορά). Οι μαθητές εφαρμόζουν τις γνώσεις τους για τις μονοψήφιες προσθέσεις και αφαιρέσεις και την έννοια της αξίας θέσης για να λύσουν προβλήματα που περιέχουν προσθέσεις και αφαιρέσεις πολλαπλασίων του 10 (από το 10 έως το 90) χρησιμοποιώντας συμπαγή μοντέλα, σχέδια και στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης, στις ιδιότητες των πράξεων και στη σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης. Οι μαθητές επίσης γράφουν μία εξίσωση που περιγράφει τη στρατηγική και αιτιολογούν το συλλογισμό τους. Για παράδειγμα, για την εύρεση της διαφοράς 80 50, οι μαθητές ίσως χρησιμοποιούν συμπαγή μοντέλα όπως οι ράβδοι των 10 (10 - sticks), τοποθετώντας 8 ράβδους των 10 και ύστερα αφαιρώντας τις 5 για να αποφασίσουνε για το αποτέλεσμα (3 10-sticks, ή 30). Παρόμοια, οι μαθητές προσεγγίζουν το πρόβλημα περιγράφοντας το ως κατάσταση πρόσθεσης όπου ψάχνουν να βρούνε τον αριθμό των δεκάδων που χρειάζονται να προσθέσουν στο 50 για να έχουμε ως αποτέλεσμα 80. Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν το μοντέλο των 5 ράβδων του 10 (10- sticks) και να καθορίσουν πόσες περισσότερες ράβδοι των 10 χρειάζονται για να προκύψουν 8 ράβδοι των 10 ή να καθορίσουν το άγνωστο ψηφίο στις δεκάδες που αν προστιθόταν στις 5 δεκάδες θα μας έδινε 8 δεκάδες. Η ευχέρεια που οι μαθητές αποκτούν στην αφαίρεση αυτών των πολλαπλασίων του 10 θα τους βοηθήσει στην πρόσθεση και αφαίρεση πολυψήφιων αριθμών τα επόμενα χρόνια. 1.3.2.Τροχιά διδασκαλίας- μάθησης στους τριψήφιους αριθμούς στις βαθμίδες 2-3 (Grades 2-3) Οι μαθητές στην συγκεκριμένη τροχιά περνούν από τα εξής στάδια: Αντίληψη του 100 ως 10 δεκάδες

Οι μαθητές έχουν μάθει να μετρούν ανά 10 και να αντιλαμβάνονται τους αριθμούς 10, 20, 30,, 90 ως σύνθετες μονάδες του 10, στις οποίες το πρώτο ψηφίο αναπαριστά τον αριθμό των δεκάδων. Αυτή η ιδέα επεκτάθηκε σε όλους τους διψήφιους αριθμούς, ως συνδυασμούς σύνθετων μονάδων του 10 και σύνθετων μονάδων του 1. Όπως οι μαθητές σκέφτονται το 10 ως μία δέσμη 10 μονάδων, οι μαθητές σκέφτονται και το 100 ως μία δέσμη 10 δεκάδων. Οι μαθητές χρησιμοποιούν υλικά (manipulatives) όπως μοντέλα για να εξετάσουν το ρόλο της θέσης του ψηφίου στον αριθμό για καθορισμό της αξίας του. Τα παραδείγματα των υλικών περιλαμβάνουν 100-square (τετράγωνα), τουβλάκια δεκαδικής βάσης (base- 10 blocks), ράβδους του 10 (ten sticks ) που είναι φτιαγμένοι με κύβους Unifix TM, πλαίσια του 10 (ten-frames), αριθμογραμμές (number lines), πίνακες με τους αριθμούς από το 1 έως το 100 (hundreds charts), κάρτες αξίας θέσης (place value cards) και εικονικές αναπαραστάσεις (pictorial representations). Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης, οι μαθητές αναγνωρίζουν ότι 10 ράβδοι των 10 κάνουν μία εκατοντάδα όπως φαίνεται στην Εικόνα 42: και Εικόνα 42 Οι μαθητές εφάρμοσαν έως αυτό το στάδιο τις 4 από τις 6 αρχές που τους καθοδηγούν στην κατανόηση της αξίας θέσης, συγκεκριμένα τη «συνένωση, το γεγονός ότι «η θέση του ψηφίου επηρεάζει την αξία του», την «σύνθεση και ανάλυση αριθμών» και την «ανάπτυξη ευελιξίας με πρότυπα αξίας θέσης διψήφιων αριθμών». Κατανόηση ότι οι αριθμοί 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 και 900 αποτελούνται από 1,2,3,4,5,6,7,8 και 9 εκατοντάδες (0 δεκάδες και 0 μονάδες)

Η 5 η αρχή της «Επέκτασης της αξίας θέσης σε 3 ή περισσότερα ψηφία» καθοδηγεί την ανάπτυξη της κατανόησης των μαθητών για την αξία θέσης σε τριψήφιους αριθμούς. Οι μαθητές σχηματίζουν σύνθετες μονάδες του 100, και αναγνωρίζουν ότι αυτές οι μανάδες υψηλότερης αξίας μπορούν να αναλυθούν είτε σε 10 δεκάδες είτε σε 100 μονάδες. Μία βασική αρχή του συστήματος αξίας θέσης είναι η συνεχής εφαρμογή του πολλαπλασιασμού με το 10 για να φτάσουμε στην αμέσως υψηλότερη τάξη. Οι μαθητές δεν αναμένεται τυπικά να χρησιμοποιούν τον πολλαπλασιασμό με το 10 για να κινούνται κατά μήκος των δεκαδικών τάξεων αλλά να κατανοούν ότι το μέγεθος της επόμενης τάξης είναι 10 φορές τόσο μεγάλο όσο το μέγεθος της προηγούμενης τάξης. Οι μαθητές επιδεικνύουν την απόκτηση αυτής της ικανότητας αναπαριστώντας τους αριθμούς μεταξύ του 100 και του 900 είτε ως ομάδες δεκάδων είτε ως συνδυασμούς εκατοντάδων και δεκάδων. Οι μαθητές αναλύουν τους τριψήφιους αριθμούς χρησιμοποιώντας μοντέλα για να αναπαραστήσουν τις εκατοντάδες, τις δεκάδες και τις μονάδες με πολλούς τρόπους. Οι μαθητές επίσης γράφουν αυτούς τους αριθμούς χρησιμοποιώντας την αναπτυγμένη μορφή γραφής (π.χ. 534 = 500 + 30 + 4). Αντίστοιχα συνθέτουν αυτούς τους αριθμούς χρησιμοποιώντας μοντέλα ή την αναπτυγμένη μορφή γραφής. Για παράδειγμα, για την αναπαράσταση του 247, οι μαθητές χρησιμοποιούν τα τουβλάκια με βάση το 10 (base-ten blocks) και τοποθετούν δύο επίπεδα, 4 ράβδους και 7 μονάδες παρουσιάζοντας τη σύνθεση της αναπτυγμένης μορφής όπως φαίνεται στην Εικόνα 43. Εικόνα 43 Καθώς οι μαθητές γράφουν και διαβάζουν αριθμούς που αποτελούνται από 3 ή περισσότερα ψηφία, ίσως χρησιμοποιούν τη λέξη «και» για να διαχωρίσουν την αξία

των εκατοντάδων από την αξία των δεκάδων. Αυτό πρέπει να αποθαρρυνθεί, εφόσον η λέξη «και» χρησιμοποιείται για να διαχωρίσει τους ακέραιους αριθμούς από τα κλάσματα (καθώς επίσης και τα δεκαδικά κλάσματα) στην περίπτωση των μικτών αριθμών. Σύγκριση τριψήφιων αριθμών με βάση την αξία θέσης Οι μαθητές σε αυτό το στάδιο χρησιμοποιούν τις γνώσεις τους για την αξία θέσης για να συγκρίνουν και να διατάσσουν τριψήφιους αριθμούς και χρησιμοποιούν τα σύμβολα >, = και < για να γράψουν τις εξισώσεις των συγκρίσεων. Όπως και στους διψήφιους αριθμούς, οι μαθητές αναγνωρίζουν ότι ο αριθμός που περιέχει περισσότερες εκατοντάδες είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό που περιέχει λιγότερες εκατοντάδες, ανεξαρτήτως των δεκάδων και των μονάδων και των 2 αριθμών. Οι μαθητές γνωρίζουν ότι αν τα ψηφία των εκατοντάδων των δύο αριθμών είναι τα ίδια, τότε χρειάζεται να συγκρίνουν τις δεκάδες. Αν και τα ψηφία των δεκάδων των δύο αριθμών είναι τα ίδια, τότε οι μαθητές χρειάζεται να συγκρίνουν τις μονάδες για να αποφασίσουν πως θα διατάξουν τους δύο αριθμούς. Νοερή αριθμητική- πρόσθεση ή αφαίρεση 10 μονάδων σε/από έναν τριψήφιο αριθμό Η τελευταία αρχή που συμβάλλει στην κατανόηση της αξίας θέσης από τους μαθητές είναι η «ανάπτυξη ευελιξίας με τα πρότυπα αξίας θέσης των τριψήφιων αριθμών». Οι μαθητές μετρούν προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, αυξάνοντας ή μειώνοντας τους τριψήφιους αριθμούς ανά 10 (10 περισσότερο η 10 λιγότερο) ή 100 (100 περισσότερο ή 100 λιγότερο). Αυτό γίνεται νοερά εφαρμόζοντας την πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών με ευχέρεια παράλληλα με την κατανόηση της έννοιας της αξίας θέσης. Για παράδειγμα, για την εύρεση του αθροίσματος του 621 και του 100, οι μαθητές νοερά υπολογίζουν 6 + 1 = 7, στη συνέχεια προσθέτουν 21 και απαντούν 721. Κάποια προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης 10 ή 100 μονάδων είναι αρχικά πιο δύσκολα για τους μαθητές γιατί ο νοερός υπολογισμός απαιτεί την σύνθεση δέκα μονάδων μίας τάξης σε 1 μονάδα της υψηλότερης τάξης ή την ανάλυση 1 μονάδας μίας τάξης σε 10 μονάδες της χαμηλότερης τάξης. Οι μαθητές μαθαίνουν να

χειρίζονται τέτοιες καταστάσεις με ευχέρεια μέσω της εμπειρίας διεξαγωγής νοερών υπολογισμών σε προβλήματα όπως τα ακόλουθα: 27 + 100 =? 235 200 =? 398 + 10 =? 507 10 =? Αξιοποίηση της κατανόησης της αξίας θέσης για την στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές μοντελοποιούν, αναπαριστούν και επιλύουν προβλήματα με μεγαλύτερους αριθμούς αξιοποιώντας την κατανόηση της έννοιας της αξίας θέσης. Οι μαθητές επιλέγουν και εφαρμόζουν κατάλληλες μεθόδους για να εκτιμήσουν τα αθροίσματα και τις διαφορές βρίσκοντας την πλησιέστερη δεκάδα ή εκατοντάδα πριν τον υπολογισμό. Για παράδειγμα, το 31 + 17 μπορεί να εκτιμηθεί ως 30 + 20, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί νοερά. Μετά την εκτίμηση, οι μαθητές δικαιολογούν την εγκυρότητα της εκτίμησης τους βασιζόμενοι στο πλαίσιο και στο σχετικό μέγεθος των αριθμών. Αυτή ίσως είναι η πρώτη εμπειρία στην τάξη με την στρογγυλοποίηση. Για να βοηθήσει ο εκπαιδευτικός τους μαθητές, μπορεί για παράδειγμα να σχεδιάσει μία αριθμογραμμή, όπου έχουν σημειωθεί οι δεκάδες (ή εκατοντάδες όταν στρογγυλοποιούμε στις εκατοντάδες), και μετά να οδηγήσει τους μαθητές σε συζήτηση για το που π.χ. ο αριθμός 43 πρέπει να τοποθετηθεί. Ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να καθοδηγήσει τους μαθητές ώστε να κατανοήσουν ότι ο αριθμός πρέπει να τοποθετηθεί ανάμεσα στο 40 και στο 50 καθώς και πιο κοντά στο 40 απ ότι στο 50. Μ αυτήν την άσκηση, ο εκπαιδευτικός μπορεί να καθοδηγήσει τους μαθητές του να κατανοήσουν ότι οι ακέραιοι αριθμοί που τελειώνουν σε 0-4 στρογγυλοποιούνται στην προηγούμενη πλησιέστερη δεκάδα, ενώ οι ακέραιοι αριθμοί που τελειώνουν σε 6-9 στρογγυλοποιούνται στην επόμενη πλησιέστερη δεκάδα. Αντίστοιχα οι μαθητές στρογγυλοποιούν και στην εκατοντάδα.

2. Οι μεγάλες ιδέες των τροχιών διδασκαλίας- μάθησης. Στη συνέχεια, θα περιγραφούν οι μεγάλες ιδέες για κάθε τροχιά διδασκαλίαςμάθησης που περιγράφηκε προηγουμένως. Οι μεγάλες ιδέες της τροχιάς διδασκαλίαςμάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση είναι οι εξής: Οι έννοιες «ένωση-joining 2 συνόλων» και «διάσπαση-separating 1 συνόλου σε 2 σύνολα» με αντικείμενα (υλικά όπως τα τουβλάκια Unifix cubes), τα χέρια, οι νοερές εικόνες, οι ήχοι, τα σχέδια, οι καταστάσεις (που αναπαριστούν στην τάξη οι ίδιοι οι μαθητές), οι προφορικές εξηγήσεις ή οι εξισώσεις. Οι μαθητές μοντελοποιούν και περιγράφουν έτσι απλές αθροιστικές και αφαιρετικές σχέσεις, αντιλαμβάνονται τις 2 έννοιες ως αντίθετες έτσι ώστε να τεθούν τα θεμέλια κατανόησης της πρόσθεσης και της αφαίρεσης ως αντίθετων πράξεων και κατανοούν διαισθητικά την αντιμεταθετική ιδιότητα, αφού κατανοούν ότι η σειρά με την οποία προστίθενται 2 ή περισσότερα σύνολα δεν επηρεάζει το άθροισμα τους. Η ανάλυση των αριθμών έως το 10 σε διάφορα αθροίσματα π.χ. το 5 σε 2 και 3 και 4 και 1. Στην ικανότητα αυτή στηρίζεται η πρόσθεση και αφαίρεση μονοψήφιων αριθμών. Η μετατροπή ενός προβλήματος αφαίρεσης σε πρόβλημα πρόσθεσης με άγνωστό προσθετέο, η οποία βασίζεται στην ικανότητα μέτρησης προς τα εμπρός. Η ικανότητα αυτή της συσχέτισης της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στηρίζεται στην κατανόηση ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. Η νέα σημασία της αφαίρεσης, καθώς η σύγκριση 2 ποσοτήτων ή μεγεθών καθίσταται δυνατή μέσω της εύρεσης της διαφοράς τους. Η αρίθμηση από τον πρώτο όρο, η οποία προϋποθέτει την ικανότητα μέτρησης προς τα εμπρός από οποιονδήποτε αριθμό. Σταδιακά, οι μαθητές αριθμούν από τον μεγαλύτερο και όχι από τον πρώτο προσθετέο, γεγονός που σημαίνει ότι αντιλαμβάνονται άτυπα την αντιμεταθετική ιδιότητα. Οι στρατηγικές + ή - 1, + ή -2, τα διπλά αθροίσματα και τα διπλά αθροίσματα + ή -1. Όλες αυτές οι στρατηγικές σε συνδυασμό με την μάθηση των βασικών αριθμητικών γεγονότων (αθροισμάτων ή διαφορών) βοηθούν στον υπολογισμό πολλών αθροισμάτων ή διαφορών (ανακατασκευαστικές στρατηγικές π.χ. η στρατηγική της αντιστάθμισης).

Η πρόσθεση ή η αφαίρεση 10 μονάδων ή μίας μονάδας σε/από κάποιον αριθμό, στην οποία στηρίζεται η στρατηγική της συσσώρευσης. Η κατανόηση της αξία θέσης (στρατηγική διαχωρισμού, υπέρβαση δεκάδας), των ιδιοτήτων των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, ταυτότητα του 0) και της αντίθετης σχέσης πρόσθεσης αφαίρεσης βοηθούν τους μαθητές να λύνουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Οι μαθητές κατανοώντας τις στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης και στις ιδιότητες των πράξεων κατανοούν και την λειτουργία του γραπτού αλγορίθμου. Οι μεγάλες ιδέες της τροχιάς διδασκαλίας- μάθησης για την αξία θέσης αριθμούς είναι οι εξής: Ο καθορισμός της αξίας του ψηφίου με βάση τη θέση του στον αριθμό. Για παράδειγμα, η αξία του ψηφίου 8 στον αριθμό 18 είναι 8 μονάδες ενώ στον αριθμό 81 80 μονάδες (καθώς βρίσκεται στην τάξη των δεκάδων). Κάθε ψηφίο σε μία τάξη έχει 10 φορές τόση αξία όση αν βρισκόταν στην αμέσως επόμενη τάξη προς τα δεξιά και 1/10 φορές τόση όση αν βρισκόταν στην αμέσως επόμενη τάξη προς τα αριστερά (στους ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς). Η ανάλυση αριθμών σε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ. (αρχικά με μοντέλα ή σχέδια και στη συνέχεια νοερά) και η σύνθεση των τάξεων σε αριθμούς. Η ανάλυση 1 μονάδας σε 10 της χαμηλότερης τάξης βρίσκει π.χ. εφαρμογή στην αφαίρεση. Η έννοια της συνένωσης ( Unitizing ), η οποία είναι η θεώρηση κάποιων μονάδων ως μία μεγαλύτερη μονάδα («μονάδα σύνθεσης») ενώ διατηρείται η επίγνωση των μεμονωμένων μονάδων. Έτσι, είναι δυνατή η θεώρηση 10 μονάδων ως μία και 100 μονάδων ως 10, κάτι που επιτρέπει και τη μέτρηση ανά 10 ή 100. Έτσι, οι μαθητές κατανοούν το σύστημα αξίας θέσης, αφού αντιλαμβάνονται τις δεκάδες ως σύνθετες μονάδες του 10 και τις μονάδες ως σύνθετες μονάδες του 1. Αντίστοιχα το ίδιο ισχύει και για τις υπόλοιπες τάξεις. Oι υψηλότερες μονάδες αξίας χτίζονται από τα δεξιά προς τα αριστερά με μία σύνθεση που περιέχει συγκέντρωση (reassembling), για παράδειγμα, 10 μονάδες συγκεντρώνονται σε μία δεκάδα. Οι χαμηλότερες μονάδες αξίας παράγονται με την ισοκατανομή (equipartitioning) της υψηλότερης μονάδας

αξίας επί 10 από τα αριστερά προς τα δεξιά, για παράδειγμα, μία δεκάδα μπορεί να διασπαστεί σε 10 μονάδες. Ο πολλαπλασιασμός επί 10 οδηγεί στην αύξηση της αξίας του ψηφίου κατά μία τάξη. Αντίθετα, η διαίρεση διά 10 οδηγεί στην μείωση της αξίας του ψηφίου κατά μία τάξη. Στην περίπτωση των δεκαδικών αριθμών, ο πολλαπλασιασμός επί 10, οδηγεί στην αύξηση της αξίας του ψηφίου κατά μία τάξη αλλά σε αυτήν την περίπτωση μετακινείται και η υποδιαστολή μία θέση δεξιά. Αντίθετα, η διαίρεση διά 10, οδηγεί στην μείωση της αξίας του ψηφίου κατά μία τάξη και η υποδιαστολή μετακινείται μία θέση αριστερά. Χάρη σ αυτήν την ικανότητα, εκτός των άλλων, οι μαθητές μπορούν και εκτελούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση δεκαδικών αριθμών, όπου ένας από τους παράγοντες και ο διαιρέτης βοηθάει να είναι ακέραιος αριθμός (αν είναι δεκαδικός αριθμός οι μαθητές πολλαπλασιάζουν επί 10 για να τον μετατρέψουν σε ακέραιο αριθμό). Τα πρότυπα αξίας θέσης των διψήφιων αριθμών. Οι μαθητές μετρώντας ανά 10 προς τα εμπρός και προς τα πίσω, αντιλαμβάνονται ότι αλλάζει μόνον το ψηφίο στις δεκάδες και όχι στις μονάδες. Έτσι, μπορούν και προσθέτουν διψήφιους αριθμούς και πολλαπλάσια του 10 (βασιζόμενοι στην γνώση των αθροισμάτων και διαφορών των μονοψήφιων αριθμών και στην κατανόηση του συστήματος αξίας θέσης). Τα πρότυπα αξία θέσης των τριψήφιων αριθμών. Οι μαθητές μετρώντας ανά 100 προς τα εμπρός και προς τα πίσω, αντιλαμβάνονται ότι αλλάζει μόνον το ψηφίο των εκατοντάδων και όχι των δεκάδων ή των μονάδων. Έτσι, μπορούν και προσθέτουν τριψήφιους αριθμούς και πολλαπλάσια του 100 (βασιζόμενοι στην γνώση των αθροισμάτων και διαφορών των μονοψήφιων αριθμών και στην κατανόηση του συστήματος αξίας θέσης). Οι μαθητές γνωρίζουν τη σημασία του «10 φορές τόσο όσο» και «10 φορές λιγότερο όσο», με αποτέλεσμα να κατανοούν το πρότυπο πρόσθεσης ή αφαίρεσης ενός 0 όταν πολλαπλασιάζουν ή διαιρούν έναν αριθμό με το 10.

3.Πλάνα διδασκαλίας κατάλληλα για κάθε τροχιά διδασκαλίας σύμφωνα με το NCDPI Math Wiki Space 2. To πλάνο που ακολουθεί αφορά την τροχιά διδασκαλίας - μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση με αριθμούς έως το 10 (Νηπιαγωγείο): Μάθημα: Πόσα περισσότερα; Στόχοι: Αναπαράσταση της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με αντικείμενα, χέρια, νοερές εικόνες, σχέδια, ήχους, καταστάσεις, προφορικές εξηγήσεις ή εξισώσεις. Επίλυση λεκτικών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης έως το 10 π.χ. χρησιμοποιώντας αντικείμενα ή σχέδια για την αναπαράσταση του προβλήματος. Πρόσθεση και αφαίρεση με ευχέρεια έως το 5. Απαρίθμηση έως και 20 αντικειμένων τοποθετημένων στη σειρά, σε μία διάταξη σε σειρές και στήλες (array), σ έναν κύκλο ή έως και 10 αντικειμένων που βρίσκονται διασκορπισμένα στο χώρο (CCSS- M). Μεγάλες ιδέες: Εύρεση του προσθετέου που μας δίνει 10. Αιτιολόγηση εύρεσης του προσθετέου που μας δίνει 10. Προϋπάρχουσες γνώσεις: Δημιουργία και απαρίθμηση συνόλων έως το 5. Υλικά: Κάρτες, πλαίσια του 5 (Five Frame), πλαίσια του 10 (Ten Frame) και πούλια (counters). 1 η Φάση: Ενεργοποίηση (Engage) 2 Το NCDPI Math Wiki Space αποτελεί μία διαδικτυακή πηγή υλικού για τους δασκάλους, τους εκπαιδευτές δασκάλων αλλά και όσους ενδιαφέρονται για την διδασκαλία των μαθηματικών στην Βόρεια Καρολίνα. Το υλικό που προτείνει το NCDPI Math Wiki Space συμφωνεί με το πρόγραμμα σπουδών των ΗΠΑ The Common Core State Standards for Math (CCSS-M).

Ο δάσκαλος μπορεί να ξεκινήσει το μάθημα θέτοντας το εξής πρόβλημα: Θέλουμε να τοποθετήσουμε 5 μπισκότα σε κάθε τσάντα. Τώρα έχουμε 3 μπισκότα. Πόσα περισσότερα μπισκότα χρειαζόμαστε για να γεμίσουμε την τσάντα; Ο δάσκαλος έπειτα μπορεί να εμφανίσει το πλαίσιο του 5 ( Five Frame) και πούλια και να ζητήσει από κάποιο μαθητή να τοποθετήσει τα πούλια στο πλαίσιο του 5, τα οποία αντιστοιχούν στα μπισκότα (οι μαθητές ήδη γνωρίζουν να χρησιμοποιούν το πλαίσιο του 5). Έπειτα, ο δάσκαλος θα ζητήσει από τους μαθητές να μοιραστούν τις λύσεις και τις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν με τους συμμαθητές τους. Ο δάσκαλος τελειώνει, αφού ακουστούν όλες οι πιθανές λύσεις, σημειώνοντας με πούλια άλλου χρώματος τα 2 πούλια (μπισκότα) που χρειάζονται ακόμη. 2 η Φάση: Διερεύνηση του θέματος και Εξηγήσεις (Explore and Explain) Ο δάσκαλος δίνει σε όλους τους μαθητές ένα πλαίσιο του 5 (Five Frame) και πούλια (counters). Ο δάσκαλος αφηγείται στους μαθητές το εξής πρόβλημα: Βρίσκονται 4 σκύλοι στο πάρκο. Κάποιοι σκύλοι πήγαν εκεί. Τώρα είναι 5 σκύλοι. Πόσοι σκύλοι πήγαν στο πάρκο; Οι μαθητές μπορούν να λύσουν το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το πλαίσιο του 5 και τα πούλια. Έπειτα, θα μοιραστούν τις λύσεις και τις στρατηγικές με τους συμμαθητές τους. Ο δάσκαλος μπορεί να δώσει 3-4 τέτοια παραδείγματα στους μαθητές για εξάσκηση. Παράλληλα μπορεί να θέτει συνεχώς ερωτήσεις για να ανακαλύψει πιθανές παρανοήσεις των μαθητών. 3 η Φάση: Εφαρμογή και Εμπέδωση (Elaborate) Αρχικά, ο δάσκαλος μοιράζει στους μαθητές ένα πλαίσιο του 5, ένα πλαίσιο του 10 και πούλια. Σε αυτή τη φάση, οι μαθητές δουλεύουν σε πέντε δραστηριότητες, οι οποίες είναι οι εξής: 1 η δραστηριότητα: Παιδιά στην αυλή (Kids on the Playground)

Οι μαθητές ξεκινούν με 3,4 ή 5 πούλια για να αναπαραστήσουν τα παιδιά στην αυλή. Έπειτα, ρίχνουν το ζάρι (αριθμοί 1 έως 2) και πετυχαίνουν έναν αριθμό. Αυτός ο αριθμός θα αναπαριστά τα παιδιά που φεύγουν από την αυλή και μπαίνουν στην τάξη. Στη συνέχεια, θα αφηγηθούν αυτήν την ιστορία και θα βρούνε τα παιδιά που μένουν στην αυλή με τη βοήθεια του πλαισίου του 5. 2 η δραστηριότητα: Μοιράζοντας παιχνίδια (Sharing Toys) Οι μαθητές τοποθετούν 5 πούλια σε ένα πλαίσιο του 5. Ρίχνουν το ζάρι (που περιέχει αριθμούς από το 1 έως το 3) και πετυχαίνουν έναν αριθμό. Οι μαθητές απομακρύνουν τα πούλια που δείχνει το ζάρι και υπολογίζουν πόσα έμειναν. 3 η δραστηριότητα: Ένα περισσότερο ζώο (One more animal) Οι μαθητές επιλέγουν μία κάρτα με έναν αριθμό από το 1-5. Δημιουργούν αυτόν τον αριθμό με πούλια στο πλαίσιο του 5. Έπειτα, προσθέτουν 1 στο πλαίσιο του 10 και αριθμούν το πλήθος των πούλιων. 4 η δραστηριότητα: Ένα ζώο λιγότερο (One Less Animal) Οι μαθητές τραβούν μία κάρτα με έναν αριθμό από το 1-5. Δημιουργούν αυτόν τον αριθμό με πούλια στο πλαίσιο του 5. Έπειτα, ρίχνουν το ζάρι και αφαιρούν τον αριθμό που πέτυχαν, απομακρύνοντας τα πούλια από το πλαίσιο. Ύστερα, υπολογίζουν πόσα έμειναν. 5 η δραστηριότητα: Snap It Οι μαθητές θα δημιουργήσουν μία σειρά από 3, 4 ή 5 κύβους και θα τους κρύψουν πίσω από την πλάτη τους. Έπειτα, θα τραβήξουν κάποιους μπροστά, θα τους μετρήσουν και θα υπολογίσουν πόσοι έχουν μείνει πίσω. 4 η Φάση: Αξιολόγηση (Evaluation of Students) Στις δραστηριότητες 1 και 2, ο δάσκαλος παρακολουθεί και κρατά σημειώσεις για το αν οι μαθητές τοποθετούν σωστά τα πούλια στα πλαίσιο του 5 και του 10, αν μπορούν να ενώσουν δύο σύνολα και να υπολογίσουν το άθροισμα τους.

Στις δραστηριότητες 3 και 4, ο δάσκαλος παρακολουθεί ποιες στρατηγικές χρησιμοποιούν οι μαθητές του για να υπολογίσουν ένα λιγότερο ή ένα περισσότερο από τον αριθμό που δίνεται. Στη δραστηριότητα 5, ο δάσκαλος παρακολουθεί αν οι μαθητές γνωρίζουν τους διαφόρους συνδυασμούς αριθμών που μας δίνουν 5 και ποιες στρατηγικές χρησιμοποιούν για να το βρούνε. 5 η Φάση: Διαφοροποίηση της διδασκαλίας ανάλογα με τις ανάγκες των μαθητών (Plans for Individual Differences) Αν οι μαθητές συναντούν δυσκολίες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στις δραστηριότητες που προαναφέρθηκαν τους αριθμούς 3 ή 4. Αντίθετα, αν οι μαθητές τα καταφέρνουν, μπορούμε να αναθέσουμε τις ίδιες δραστηριότητες αλλά να χρησιμοποιήσουμε μεγαλύτερους αριθμούς. Το πλάνο που ακολουθεί αφορά την τροχιά διδασκαλίας - μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση με αριθμούς έως το 100 και την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την αξία θέσης στους διψήφιους αριθμούς (Grade 1): Μάθημα: Περισσότερο, λιγότερο, ίσο. Στόχοι: Απαρίθμηση έως το 120, ξεκινώντας από οποιονδήποτε αριθμό μικρότερο του 120. Ανάγνωση, γραφή αριθμών και αναπαράσταση ενός αριθμού αντικειμένων με ψηφία. Σύγκριση 2 διψήφιων αριθμών με βάση την αξία θέσης καταγράφοντας τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας τα σύμβολα >, = και < (CCSS- M). Προϋπάρχουσες γνώσεις: Εμπειρίες μέτρησης αντικειμένων και δημιουργίας αριθμών με δεκάδες και μονάδες.

Υλικά: Πλαίσιο του 10, πούλια, πίνακες παιχνιδιού (game boards), κάρτες με αριθμούς, κύκλος με δείκτη. 1 η Φάση: Ενεργοποίηση (Engage) Ο δάσκαλος μπορεί να δείξει στους μαθητές του έναν διψήφιο αριθμό με πούλια που έχει τοποθετήσει σε πλαίσια του 10. Έπειτα, ο δάσκαλος μπορεί να τους ζητήσει να μετρήσουν τα πούλια και να καταγράψουν τον αριθμό που βρήκαν. Αφού κάθε μαθητής μετρήσει τα πούλια, ο δάσκαλος μπορεί να τους ζητήσει να μοιραστούν με τους συμμαθητές τους και τον δάσκαλο τις στρατηγικές αρίθμησης που χρησιμοποίησαν. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος μπορεί να ζητήσει από τους μαθητές του να βρούνε ένα αριθμό μεγαλύτερο και έναν αριθμό μικρότερο του διψήφιου αριθμού που τους δόθηκε. Και στις δύο περιπτώσεις οι μαθητές χρειάζεται να δικαιολογήσουν πως γνωρίζουν ότι οι αριθμοί που πρότειναν είναι μεγαλύτεροι ή μικρότεροι του αρχικού αριθμού. 2 η Φάση: Διερεύνηση θέματος και Εξηγήσεις (Explore and Explain) Σε αυτή τη φάση, οι μαθητές θα παίξουν το παιχνίδι Greater, Less, Equal Cover Up. Κάθε μαθητής εφοδιάζεται με έναν πίνακα παιχνιδιού (game board). Αυτό το παιχνίδι παίζεται σε ομάδες, εταιρικά ή με όλους τους μαθητές της τάξης. Συγκεκριμένα, κάθε παίκτης τραβά μία κάρτα με κάποιον αριθμό και γυρίζει τον δείκτη που φαίνεται στην Εικόνα 51. Για παράδειγμα, αν τραβήξει το 8 και ο δείκτης σταματήσει στο λιγότερο από, οι μαθητές πρέπει να σημειώσουν έναν αριθμό λιγότερο του 8. Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος παίκτης σημειώσει μία σειρά ή στήλη. Ο δάσκαλος κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού παρατηρεί τους μαθητές και κάνει ερωτήσεις ώστε να γνωρίζει αν οι μαθητές του σημειώνουν τον κατάλληλο αριθμό και αν μπορούν να δικαιολογήσουν γιατί ο αριθμός που σημειώνουν είναι μεγαλύτερος η μικρότερος ή ίσος του αριθμού που τραβούν. Αφού τελειώσει το παιχνίδι, ο δάσκαλος μπορεί να συζητήσει με τους μαθητές του τις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού. Επίσης, αν

υπάρχει χρόνος μπορεί να παίξει άλλη μία φορά με τους μαθητές του και να τους ρωτάει εκείνη τη στιγμή πως σκέφτονται (τι στρατηγικές χρησιμοποιούν). Εικόνα 51 3 η Φάση: Εφαρμογή και Εμπέδωση (Elaborate) Οι μαθητές σε αυτή τη φάση μπορούν να συμπληρώσουν το φύλλο εργασίας που φαίνεται στην εικόνα 52. Όσο εκείνοι συμπληρώνουν το φύλλο εργασίας, ο δάσκαλος μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές που συναντούν δυσκολίες κάνοντας καθοδηγητικές ερωτήσεις αλλά χωρίς να δίνει τις απαντήσεις.

Εικόνα 52 4 η Φάση: Αξιολόγηση (Evaluation of Students) Κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού, ο δάσκαλος μπορεί να παρατηρεί αν οι μαθητές μπορούν να συγκρίνουν σωστά τους διψήφιους αριθμούς και αν εξηγούν σωστά τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν όταν κάνουν τις συγκρίσεις (στα πλαίσια της διαμορφωτικής αξιολόγησης). Το φύλλο εργασίας μπορεί να αξιοποιηθεί στην τελική αξιολόγηση. 5 η Φάση: Διαφοροποίηση της διδασκαλίας ανάλογα με τις ανάγκες των μαθητών (Plans for Individual Differences) Αν οι μαθητές συναντούν δυσκολίες με την εύρεση ενός μεγαλύτερου ή μικρότερου αριθμού, ο δάσκαλος μπορεί να τους δώσει κάποια ομαδοποιήσιμα μοντέλα για να

δουλέψουν. Ο δάσκαλος μπορεί επίσης να δώσει σε κάθε μαθητή έναν πίνακα του 100 (Hundred Board), έτσι ώστε να σημειώνουν έναν αριθμό που τους δίνεται και να βρίσκουν αριθμούς μεγαλύτερους ή μικρότερους αυτού του αριθμού με τη βοήθεια του πίνακα. Ο πίνακας παιχνιδιού μπορεί να έχει τους αριθμούς 1-10,1-15 και 1-20. Αν οι μαθητές δεν συναντούν δυσκολίες, μπορεί ο πίνακας παιχνιδιού να περιλαμβάνει τους αριθμούς 25-50,50-75, 75-100 ή και μεγαλύτερους αριθμούς. Ο νικητής μπορεί να είναι ο παίκτης που θα σημειώσει μία διαγώνια σειρά στον πίνακα του παιχνιδιού. Το πλάνο που ακολουθεί αφορά την τροχιά διδασκαλίας - μάθησης για την πρόσθεση και την αφαίρεση με αριθμούς έως το 1000 και την τροχιά διδασκαλίας- μάθησης για την αξία θέσης στους τριψήφιους αριθμούς (Grade 2): Μάθημα: Επίλυση προβλημάτων Στόχοι: Πρόσθεση και αφαίρεση με βάση την αξία θέσης και τις ιδιότητες των πράξεων. Πρόσθεση και αφαίρεση έως το 100 χρησιμοποιώντας στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης, στις ιδιότητες των πράξεων και στην σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης Πρόσθεση και αφαίρεση έως το 1000, χρησιμοποιώντας αντικείμενα (μοντέλα) ή σχέδια και στρατηγικές που βασίζονται στην αξία θέσης, στις ιδιότητες των πράξεων και στην σχέση πρόσθεσης- αφαίρεσης. Γραφή μίας εξίσωσης σε κάθε περίπτωση. Κατανόηση της στρατηγικής του διαχωρισμού. Νοερή πρόσθεση 10 ή 100 μονάδων σ έναν αριθμό (από το 100 έως το 900) και νοερή αφαίρεση 10 ή 100 μονάδων από έναν αριθμό (από το 100 έως το 900). Εξήγηση των στρατηγικών πρόσθεσης και αφαίρεσης με βάση την αξία θέσης και τις ιδιότητες των πράξεων(ccss- M).

Μεγάλες ιδέες: Μέτρηση ανά 10 από οποιονδήποτε αριθμό από το 10 έως το 90. Νοερή πρόσθεση/αφαίρεση 10 μονάδων σε/από οποιονδήποτε αριθμό από το 10 έως το 99. Πρόσθεση ή αφαίρεση 10 μονάδων σε/από οποιονδήποτε αριθμό για την επίλυση προβλημάτων. Μέτρηση με ευχέρεια ανά 10 από οποιονδήποτε αριθμό έως το 999 (σε επόμενα μαθήματα). Μέτρηση με ευχέρεια προς τα πίσω ανά 10 από οποιονδήποτε αριθμό έως το 999. Μέτρηση με ευχέρεια ανά 100 από οποιονδήποτε αριθμό έως το 999. Μέτρηση με ευχέρεια προς τα πίσω ανά 100 από οποιονδήποτε αριθμό έως το 999. Προϋπάρχουσες γνώσεις: Νοερή πρόσθεση/αφαίρεση 10 μονάδων σε/από οποιονδήποτε διψήφιο αριθμό, εμπειρίες με την αξία των δεκάδων. Υλικά: τουβλάκια δεκαδικής βάσης, ράβδοι των 10, κάρτες με ψηφία, πίνακες με αριθμούς έως το 100 (Hundred Boards), τετράδια. 1 η Φάση: Ενεργοποίηση (Engage) Ο δάσκαλος αρχικά μπορεί να δείξει στον προτζέκτορα 5 πλαστικές μονάδες και 5 ράβδους και να ρωτήσει τους μαθητές πόσους κύβους βλέπουν και πως βρίσκουν το σύνολο των κύβων. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος μπορεί να προσθέσει μία άλλη ράβδο και να ζητήσει από τους μαθητές να υπολογίσουν το σύνολο των κύβων. Έπειτα, ο δάσκαλος σταδιακά μπορεί να προσθέτει ράβδους των 10 (μέχρι το 100) και οι μαθητές κάθε φορά να βρίσκουν το σύνολο των κύβων. Στόχος είναι οι μαθητές να αντιληφθούν το εξής πρότυπο, ότι οι μονάδες δεν αλλάζουν, μόνον το ψηφίο στις δεκάδες αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά που προστίθεται μία ράβδος. Το ίδιο μπορεί να γίνει ξεκινώντας με 1 ράβδο των 10 και 8 μονάδες. Στόχος είναι να κατανοήσουν οι μαθητές το πρότυπο που αναφέρθηκε προηγουμένως.

Στη συνέχεια, ο δάσκαλος μπορεί να αφηγηθεί ένα πρόβλημα στους μαθητές. Οι μαθητές θα χρειαστεί να δουλέψουν εταιρικά, να συζητήσουν το πώς θα λύσουν το πρόβλημα και στη συνέχεια να το λύσουν. Ένα πιθανό πρόβλημα είναι το εξής: 28 παιδιά βρίσκονταν στην καφετέρια. 10 παιδιά ήρθαν ακόμη. Πόσα παιδιά βρίσκονται στην καφετέρια; Ο δάσκαλος έπειτα θα καταγράψει στον πίνακα τις στρατηγικές που προτείνουν οι μαθητές. Στόχος του δασκάλου είναι να συσχετίσουν οι μαθητές τη μέτρηση ανά 10 ή 100 με την αύξηση ενός αριθμού ανά 10 ή 100. 2 η Φάση: Διερεύνηση θέματος και Εξηγήσεις (Explore and Explain) Ο δάσκαλος αφηγείται ένα πρόβλημα όπως το εξής στους μαθητές: 45 κόκκινα μήλα και 10 πράσινα μήλα βρίσκονται στο τραπέζι. Πόσα μήλα βρίσκονται στο τραπέζι; Ο εκπαιδευτικός μπορεί να αναθέσει 3 ειδών προβλήματα στους μαθητές: Προβλήματα όπου πρέπει να προσθέτουν σε έναν αριθμό 10 (όπως αυτό που προαναφέρθηκε) προβλήματα που πρέπει να προσθέτουν σε έναν αριθμό πολλαπλάσια του 10 και προβλήματα με αριθμούς πάνω από το 99 που πρέπει να προσθέτουν σε έναν αριθμό κάποιο πολλαπλάσιο του 10. Οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν ράβδους των 10 ή σφηνοκυβάκια (Unifix cubes) για να αναπαραστήσουν το πρόβλημα. Ο δάσκαλος καθ όλη τη διάρκεια παρακολουθεί ποιοι μαθητές συναντούν δυσκολίες να ερμηνεύσουν το πρόβλημα, να καταγράψουν τη στρατηγική τους (αλλά μπορούν να σκεφτούν νοερά) και να προσθέσουν έναν αριθμό σε έναν άλλον. Στη συνέχεια, ο δάσκαλος μπορεί να ζητήσει από τους μαθητές να μοιραστούν τις στρατηγικές τους με τους συμμαθητές τους. Στόχος είναι να αντιληφθούν οι μαθητές ότι η μέτρηση ανά 10 βοηθάει στην επίλυση του προβλήματος. Πολλοί μαθητές μπορούν να σκεφτούν νοερά αλλά δεν μπορούν να καταγράψουν την στρατηγική που χρησιμοποίησαν. Η συζήτηση των στρατηγικών μπορεί να τους βοηθήσει σ αυτό. Αν ο δάσκαλος θέλει να διδάξει στους μαθητές κάποια συγκεκριμένη στρατηγική, μπορεί να τους ζητήσει να λύσουν κάποια προβλήματα εφαρμόζοντας αυτή τη στρατηγική.

Όταν οι μαθητές τελειώσουν μπορούν να παίξουν το παιχνίδι «Περισσότερο- Λιγότερο- Μένει το ίδιο» (Plus- Minus-Stay the Same). Το παιχνίδι παίζεται εταιρικά. Ο πρώτος παίκτης διαλέγει 2 κάρτες με ψηφία και αποφασίζει ποιας κάρτας το ψηφίο θα αποτελεί τις δεκάδες και ποιας κάρτας το ψηφίο τις μονάδες. Για παράδειγμα, αν ο παίκτης διαλέξει τις κάρτες με το 2 και το 4, μπορεί να δημιουργήσει τους αριθμούς 24 ή 42. Ο πρώτος παίκτης ύστερα θα αποφασίσει αν θα κρατήσει τον αριθμό τον ίδιο, αν θα προσθέσει 10 στον αριθμό ή αν θα αφαιρέσει 10 από τον αριθμό. Ύστερα, ο παίκτης σημειώνει στον πίνακα (Hundred Board) τον αριθμό που σχημάτισε. Για παράδειγμα, αν επέλεξε το 42 μπορεί να σημειώσει στον πίνακα είτε τον αριθμό 32,είτε τον αριθμό 42 είτε τον αριθμό 52. Ο δεύτερος παίκτης κάνει την ίδια ακριβώς διαδικασία και σημειώνει τον τελικό αριθμό του στον πίνακα. Νικητής είναι ο παίκτης που θα σημειώσει 3 αριθμούς σε μία σειρά (οριζόντια, κάθετη ή διαγώνια). Το παιχνίδι μπορεί να γίνει πιο δύσκολο αν νικητής βγαίνει όποιος σημειώνει 4 ή 5 αριθμούς σε μία σειρά. 3 η Φάση: Εφαρμογή και Εμπέδωση (Elaborate) Ο δάσκαλος μπορεί να αφηγηθεί στους μαθητές το εξής πρόβλημα: Έχω 62 κομμάτια γλυκά και ο φίλος μου μου έδωσε άλλα 20. Πόσα έχω τώρα; Ο δάσκαλος μπορεί να προτείνει και άλλα προβλήματα στους μαθητές όπου πρέπει να προσθέσουν/αφαιρέσουν πολλαπλάσια του 10 σ έναν/από έναν αριθμό. Στόχος είναι οι μαθητές να συνδέσουν το παιχνίδι και τις ράβδους του 10 με την πρόσθεση/αφαίρεση πολλαπλασίων του 10 σ ένα πρόβλημα. Ο δάσκαλος μπορεί να ζητήσει από τους μαθητές να κάνουν μία αναπαράσταση του προβλήματος στο τετράδιο τους (όπως φαίνεται στην Εικόνα 53).

Εικόνα 53 4 η Φάση: Αξιολόγηση (Evaluation of Students) Ο δάσκαλος χρειάζεται να παρακολουθεί ποιοι μαθητές μπορούν να μετρήσουν ανά 10 ή ανά 100, ποιοι δεν αντιλαμβάνονται το πρότυπο (ότι οι μονάδες δεν αλλάζουν όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε 10 ή ότι οι μονάδες και οι δεκάδες δεν αλλάζουν όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε 100) και ποιοι μετρούν με τα δάχτυλα για να αποφασίσουν ποιος είναι ο επόμενος αριθμός (στα πλαίσια της διαμορφωτικής αξιολόγησης). Ο δάσκαλος μπορεί να χρησιμοποιήσει τις επιδόσεις στα τριών ειδών προβλήματα (τα οποία αναφέρθηκαν προηγουμένως) που θα θέσει στους μαθητές ως τελική αξιολόγηση. 5 η Φάση: Διαφοροποίηση της διδασκαλίας ανάλογα με τις ανάγκες των μαθητών (Plans for Individual Differences) Όσοι μαθητές μπορούν να προσθέτουν/αφαιρούν 1 αλλά όχι 10 σε/από έναν αριθμό χρειάζονται εξάσκηση σε μικρές ομάδες με ράβδους των 10. Αυτοί οι μαθητές χρειάζεται επίσης να χρησιμοποιήσουν τα τουβλάκια δεκαδικής βάσης για να σχηματίσουν διψήφιους αριθμούς. Οι μαθητές που συναντούν δυσκολίες να προσθέσουν/ αφαιρέσουν 1 σε/από έναν αριθμό, χρειάζονται εξάσκηση στην μέτρηση ενός περισσότερου/λιγότερου. Οι μαθητές που προσθέτουν/αφαιρούν 10 σε/από έναν αριθμό, μπορούν να εξασκηθούν στην πρόσθεση/αφαίρεση πολλαπλασίων του 10 σε/από έναν αριθμό. Το πλάνο που ακολουθεί αφορά την τροχιά διδασκαλίας - μάθησης για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με πολυψήφιους αριθμούς (Grade 4):