4. Παράκτια κυματογενή ρεύματα

4. Παράκτια κυματογενή ρεύματα Σύνοψ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι μχανισμοί δμιουργίας κυματογενών ρευμάτων στον παράκτιο χώρο καθώς και μαθματική τους περιγραφή. Προαπαιτούμεν γνώσ Στοιχεία Μχανικής Ρευστών, Υδραυλική Ανοικτών Αγωγών, γνώσεις Φυσικής και Μαθματικών. 4. Εξισώσεις κυματογενούς κυκλοφορίας 4.. Εξαγωγή εξισώσεων Η απώλεια τς ενέργειας των κυματισμών, κυρίως λόγω τς θραύσς τους, σε συνδυασμό με τν επίδρασ των φαινομένων τς διάθλασς και περίθλασς, έχει ως επακόλουθο τ δμιουργία παράκτιων κυματογενών ρευμάτων. Κατά το φαινόμενο αυτό, ένα υλικό σμείο εκτελεί ταυτόχρονα και τν παλινδρομική κυματική κίνσ, αλλά και μετακίνσ λόγω του ρεύματος (Σχήμα 4.). 53

Σχήμα 4. Σχματοποιμέν αναπαράστασ παράκτιου κυματογενούς ρεύματος. Η αιτία τς δμιουργίας αυτών των ρευμάτων είναι οι μεταβολές κατά τν οριζόντια έκτασ των μέσων ροών ποσόττας κίνσς τν οποία προκαλούν οι κυματισμοί. Τα μεγέθ αυτά των μέσων κατά το βάθος «ροών ποσοτήτων κίνσς» του νερού λόγω των κυματισμών ονομάζονται τάσεις ακτινοβολίας και είναι συναρτήσεις των στοιχείων του κυματισμού σε κάθε θέσ. Οι τάσεις ακτινοβολίας ορίζονται σαν τν περίσσια μεταφορά ορμής λόγω τς παρουσίας κυματισμών. Παρακάτω θα δοθεί μαθματική περιγραφή και εξήγσ του φαινομένου. Οι μ γραμμικές εξισώσεις ορμής κατά x και y γράφονται: u u u u p +u +v + = t x y z ρ x v v v v p +u +v + = t x y z ρ y p +u +v + = g t x y z ρ z (4.) (4.) (4.3) 54

Σχήμα 4. Σχματική αναπαράστασ ανάλυσς τς ταχύττας ενός σμείου στ ζών θραύσς των κυματισμών. Εφόσον ένα σμείο εκτελεί συνδυασμέν κίνσ κύματος και ρεύματος, δεχόμενοι τν περίπτωσ τυρβώδους ροής, μπορούμε να αναλύσουμε τν ταχύττά του (u, v, ) σε ένα άθροισμα μίας (μέσς) συνιστώσας ρεύματος (u, v, ), μίας καθαρά περιοδικής κυματικής συνιστώσας (u, v, ) και μίας τυρβώδους διακύμανσς (u, v, ) (Σχήμα 4.): u= u + u + u v= v + v + v = + + (4.4) Εξ ορισμού οι μεταβλτές στις εξισώσεις (4.4) ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις: u = v = = 0 <u >=<v >=< >0 (4.5) όπου το σύμβολο δλώνει ολοκλήρωσ ως προς τ χρονική κλίμακα τυρβώδους και τα σύμβολα < > ολοκλήρωσ ως προς τν περίοδο του κύματος: A = T T 0 A(t) dt Είναι αυτονότο ότι κατά τν καθαρά κυματική συνιστώσα (u,v, ) τς κίνσς, το υλικό σμείο εκτελεί μια περιοδική κίνσ (π.χ. μιτονοειδή) τς οποίας μέσ τιμή είναι μδενική (σχέσεις. και.). Αντικαθιστώντας τις (4.4) στν εξίσωσ συνέχειας (3.) έχουμε: Οι ταχύττες u, v και ταυτίζονται με τις ταχύττες του κύματος u, v και αντίστοιχα των προγούμενων κεφαλαίων. 55

u v + + =0 x y z u v + + = 0 x y z u v + + = 0 x y z (4.6) Η ολοκλήρωσ ως προς το βάθος τς πρώτς εξίσωσς των (4.6), από z=-d έως τν επιφάνεια z=, ( U(d+ )) ( V(d+ )) + + = 0 t x y (4.7) όπου ανύψωσ τς μέσς στάθμς θάλασσας (Μ.Σ.Θ.) και U και V είναι οι μέσες ως προς το βάθος οριζόντιες ταχύττες του ρεύματος κατά x και y που ορίζονται από τις σχέσεις: V = d+ v. U = d+ u και Αντικαθιστώντας τις (4.4) στις εξισώσεις ισορροπίας (4.) και (4.) και ολοκλρώνοντας πρώτα ως προς τν χρονική κλίμακα τυρβώδους και κατόπιν ως προς τν περίοδο του κύματος, έχουμε: ( uu ) ( uv ) ( u ) u u u < p > < > < > < > +u +v = + + + t x y ρ x x y z ( u ) ( u v ) ( u ) < > < > < > x y z ( uv ) ( vv ) ( v ) v v v < p > < > < > < > +u +v = + + + t x y ρ y x y z ( u v ) ( v ) ( v ) < > < > < > x y z Κατά τν εξαγωγή των (4.8) και (4.9) έχουμε θεωρήσει ότι το ρεύμα μεταβάλλεται ήπια μόνο κατά τν οριζόντια διεύθυνσ (δλ. δεν υπάρχει κατακόρυφο ρεύμα, =0). Επίσς χρσιμοποιήθκαν και οι σχέσεις (4.6). Παρόμοια, αντικαθιστώντας τις (4.4) στν εξίσωσ ισορροπίας (4.3), απαλείφοντας πάλι τν ταχύττα και, ολοκλρώνοντας ως προς τ χρονική κλίμακα τυρβώδους και μετά ως προς τν περίοδο του κύματος, έχουμε: (4.8) (4.9) < > < p > = g z ρ z 56

(4.0) Για τν εξαγωγή τς (4.0) χρσιμοποιήσαμε και πάλι τις σχέσεις (4.6). Σχήμα 4.3 Μέσ στάθμ θάλασσας ζ και κυματική ανύψωσ. Η κατανομή τς πίεσς που προκύπτει από τν (4.0) είναι: <p>= ρg( ζ-z) ρ< > (4.) Η παραπάνω διαδικασία είναι ίδια με αυτήν που ακολουθείται για τν εξαγωγή των εξισώσεων Reynolds, έχοντας όμως επιπλέον αναλύσει τν ταχύττα σε μία κυματική συνιστώσα και μία συνιστώσα ρεύματος. Αντικαθιστώντας τν (4.) στις (4.8) και (4.9) και ολοκλρώνοντας ως προς το βάθος, από z=-d έως z= + (Σχήμα 4.3), κάνοντας τν παραδοχή ότι κατανομή τς οριζόντιας ταχύττας (u, v ) είναι (σχεδόν) ομοιόμορφ ως προς το βάθος (u (z) U, v (z) V) έχουμε (DeVried and Stive, 987): ( uu ) ( uv ) U U U < > < > +U +V = g t x y x x y < u > < u > z= z= + < > < > x x y ( uu ) g ( < > ) ( uv ) ( vv ) ( uv ) V V V < > < > +U +V = g t x y y y x < v > < v > z= z= + < > < > y y x ( vv ) g ( < > ) ( uv ) (4.) 57

όπου είναι το συνολικό μέσο βάθος, = d+. (4.3) Κατά τν εξαγωγή των παραπάνω εξισώσεων οι όροι <u > και <v > στν επιφάνεια (z= +) και στον πυθμένα (z=-d) θεωρήθκαν μδενικοί, παραδοχή ορθή εάν υποθέσουμε ότι ισχύει γραμμική θεωρία κυματισμών (σε οριζόντιο πυθμένα) όπου οι ταχύττες u και έχουν διαφορά φάσς 90 ο. Ορίζοντας τις διατμτικές τάσεις στν επιφάνεια τ sx, τ sy και τον πυθμένα τ bx, τ by : τ = ρ < u > τ = ρ< u > sx sy z= τ = ρ < v > τ = ρ< v > z= bx by z=-d z=-d (4.4) u και υιοθετώντας τν προσέγγισ Boussinesq για τις τάσεις Reynolds ( uu ν, x v u v vv ν, uv ν ( + )...) καταλήγουμε: y x x U U U U U +U +V = g t x y x x x x y τsx τbx + ρ ρ + ν + ν ζ ( uu ) g ( < > ) ( uv ) ζ < > < > x x y V V V V V +U +V = g + ν + ν t x y y x x x y τsy τby + ρ ρ όπου ν ο συντελεστής τυρβώδους ιξώδους. ζ ( vv ) g ( < > ) ( uv ) ζ < > < > y y x (4.5) (4.6) Κατά τν εξαγωγή των παραπάνω εξισώσεων, μετά τν ολοκλήρωσ ως προς τν περίοδο του κύματος (ώστε να έχουμε μέσες χρονικά τιμές χωρίς τν κυματική κίνσ) οι γραμμικοί όροι των κυματικών ταχυτήτων u και v μδενίστκαν, επειδή εξ ορισμού <u >=<v >=0. Στις εξισώσεις όμως παραμένουν μ γραμμικοί όροι (οι τελευταίοι στο β μέρος των εξισώσεων) που είναι συναρτήσεις των μεταβλτών τς κυματικής κίνσς και είναι μ μδενικοί μετά από τν ολοκλήρωσ ως προς τν περίοδο του κύματος. Οι επιπλέον αυτοί όροι αυτοί καλούνται τάσεις ακτινοβολίας και είναι το γενεσιουργό αίτιο τς κυματογενούς κυκλοφορίας. Οι τάσεις ορίζονται ως: 58

( ) ( ) S =ρ < u u > + ρg < > xx ( ) ( ) S =ρ < v v > + ρg < > yy ζ S =ρ < u v > xy (4.7) και οι εξισώσεις συνέχειας και ισορροπίας, για τον υπολογισμό του κυματογενούς ρεύματος, γράφονται: ( U) ( V) + + = 0 t x y U U U + U + V + g = t x y x S S xx xy U U τsx τbx + + ν + ν + ρ x y x x y y ρ ρ V V V + U + V + g = t x y y Sxy Syy V V τsy τby + + ν + ν + ρ x y x x y y ρ ρ (4.8) Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (4.7) τις κατανομές ως προς το βάθος των ταχυτήτων (u, v, ) από τ γραμμική θεωρία κυματισμών (κεφάλαιο ) καταλήγουμε σε μια μορφή των τάσεων ακτινοβολίας που είναι συναρτήσεις των U, V και. Η εξαγωγή των σχέσεων αναπτύσσεται στν εργασία του Copeland (985β) και καταλήγει στις: < V + > D r + g < > Sxx U V U V = d < U > Ar-d < + >B r+ < U + > D r + ρ x y x x y U V y x y yy = < > r r < > r S U V U V d V A -d < + >B + d V + D + ρ x y y x y U V d < U + > D r + g < > x x y 59

όπου S xy ρ = d < U V > A r k A r= sinkd + kd B r= sinkd -kd 4sin kd 4k sin kd ( ) ( ) (4.9) d D r = sin kd -oskd 4sin kd kd Στο μοντέλο WAVE-L που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 8, οι τάσεις ακτινοβολίας υπολογίζονται με τ χρήσ των (4.9). Οι εκφράσεις αυτές είναι γενικές, χωρίς τν παραδοχή προωθούμενων κυματισμών (μια παραδοχή που γίνεται πολύ συχνά). Έτσι δύνανται να χρσιμοποιθούν σε πολύπλοκα πεδία του παράκτιου χώρου όπου συνυπάρχουν τα φαινόμενα τς διάθλασς, θραύσς, περίθλασς και (μερικής ή ολικής) ανάκλασς των κυματισμών. Εάν προβούμε στν παραδοχή προωθούμενων κυματισμών έχουμε τις παρακάτω (πιο κλασικές αλλά απλοποιμένες) σχέσεις: E S (n ) E n os xx = + α E Sxy = nsin α E S yy = (n ) + E nsin a (4.0) όπου E πυκνόττα κυματικής ενέργειας (σχέσ.6: E =ρgh /8), α γωνία πρόσπτωσς του kd κυματισμού και n= + sin(kd). Οι σχέσεις (4.0) δεν ισχύουν όταν υπάρχουν φαινόμενα ανακλάσεων στο πεδίο που μελετάται, ενώ θα πρέπει να χρσιμοποιούνται προσεκτικά σε περιπτώσεις όπου δεν είναι σαφώς καθορισμέν γωνία πρόσπτωσς α, δλ. όταν σε ένα σμείο συμβάλλουν κυματισμοί από διαφορετικές κατευθύνσεις (περίθλασ από δύο άκρα κυματοθραύστ, ύφαλοι...). Η επίλυσ των (4.8) οδγεί στον υπολογισμό των μέσων ως προς το βάθος ταχυτήτων του ρεύματος (U, V) που ονομάζεται πρωτογενές. Στις περιοχές όπου δεν παρατρείται απώλεια τς ενέργειας, αλλά απλή μετάδοσ των κυματισμών, οι επιπλέον όροι των βαθμίδων των τάσεων ακτινοβολίας δεν είναι δυνατόν να προκαλέσουν κυκλοφορία. Αντίθετα, σε περιοχές όπου λαμβάνει χώρα απώλεια ενέργειας, όπως π.χ. στ ζών θραύσς, κυματογενής κυκλοφορία είναι πολύ σμαντική (μέρος τς ενέργειας μορφοποιείται σε παράκτιο ρεύμα και μέρος τς αναλίσκεται σε τυρβώδ κιντική ενέργεια). Θεωρώντας τ s, τ διατμτική τάσ στν επιφάνεια λόγω τς επίδρασς του ανέμου, έχουμε τ δυνατόττα να συμπεριλάβουμε και τν ανεμογενή κυκλοφορία. Είναι επίσς προφανές ότι χωρίς τους επιπλέον όρους των τάσεων ακτινοβολίας οι παραπάνω εξισώσεις ταυτίζονται με αυτές τς ανεμογενούς κυκλοφορίας (Κουτίτας, 994). Στν πραγματικόττα, ακόμα και έξω από τ ζών θραύσς, όταν οι κυματισμοί ταξιδεύουν κατά ομάδες, λόγω των τάσεων αυτών δμιουργούνται κυματισμοί μεγάλου μήκους που ταξιδεύουν μαζί με τους βραχείς. Επίσς, στν περίπτωσ των στάσιμων κυματισμών, λόγω πάλι των τάσεων αυτών δμιουργούνται και μεταβολές τς Μέσς Στάθμς Θάλασσας (ταπείνωσ στους δεσμούς και υπερύψωσ στις κοιλιές). 60

4.. Τραχύττα πυθμένα Οι διατμτικές τάσεις τ bx και τ by στις εξισώσεις ορμής των σχέσεων (4.8) προσομοιώνουν τν απώλεια τς ενέργειας λόγω τριβής στον πυθμένα. Ο ρόλος τους είναι σμαντικός στν εκτίμσ των κυματογενών ρευμάτων και απαιτεί ιδιαίτερο χειρισμό. Πριν όμως προχωρήσουμε στις εκφράσεις των διατμτικών τάσεων, θα αναφερθούμε αρχικά στν τραχύττα του θαλάσσιου αμμώδους πυθμένα k s στον παράκτιο χώρο κάτω από τ δράσ των κυματισμών. Ο πυθμένας τς θάλασσας σπάνια είναι επίπεδος. Συνήθως σχματίζονται στον πυθμένα αμμοκυμάτια που οφείλονται στ δράσ κυρίως των κυμάτων. Τα αμμοκυμάτια δεν επιδρούν άμεσα στ μετάδοσ των κυματισμών, ωστόσο επιδρούν σμαντικά στον σχματισμό τς οριακής στοιβάδας και τν έντασ τς τύρβς κοντά στον πυθμένα. Συνεπώς επρεάζουν τν κατανομή του κυματογενούς ρεύματος αλλά και τ μεταφορά φερτών στον πυθμένα. Τα γεωμετρικά χαρακτριστικά τους, το ύψος r και το μήκος λ, συνδέονται με τα χαρακτριστικά του κυματισμού και τς άμμου. Το ύψος r των αμμοκυματίων σε περιβάλλον τυχαίων κυματισμών δίνεται σαν συνάρτσ του αριθμού κιντικόττας Ψ (Nielsen, 99): α r o = Ψ.85 για Ψ>0 με U o Ψ = (s )gd 50 (4.) όπου U o είναι το πλάτος (μέγιστ τιμή) τς οριζόντιας κυματική ταχύττα στον πυθμένα (για z=-d) που υπολογίζεται από τ σχέσ (.), U o=πh/(tsin(k)), s=ρ s/ρ (όπου ρ s πυκνόττα του ιζήματος και ρ πυκνόττα του νερού, s.65), d 50 μέσ διάμετρος των κόκκων και α ο το πλάτος τροχιάς των μορίων κοντά T στον πυθμένα λόγω του κυματισμού, α o = Uo. Η ταχύττα U o και περίοδος Τ σχετίζονται με το π σμαντικό ύψος κύματος (Κεφάλαιο 5). Η σχέσ που συνδέει το r με το μήκος των αμμοκυματίων λ είναι (Nielsen, 99): r 0.34 0.34 4 θ.5 λ = (4.) όπου θ.5 παράμετρος Sields που αντιστοιχεί σε επίπεδο πυθμένα με τραχύττα.5d 50: θ.5 f.5v = (s )gd o 50 (4.3) με f.5 τον συντελεστή τριβής για τραχύττα.5d 50: 0.9.5d50 f.5 = exp 5.3 5.977 αo (4.4) Όταν επικρατούν έντονες κυματικές συνθήκες και τιμή τς παραμέτρου Ψ λάβει μεγάλες τιμές, Ψ>40, τότε τα αμμοκυμάτια εξαφανίζονται και ο πυθμένας είναι πλέον επίπεδος. Σε ιδιαίτερα ήπιες συνθήκες για Ψ<0 δεν σχματίζονται αμμοκυμάτια. Μετά τον υπολογισμό του ύψους r και του μήκους λ των αμμοκυματίων, τραχύττα του αμμώδους πυθμένα k s υπολογίζεται από (Nielsen, 99): 6

k 8 70 θ 0.05 d λ r s = +.5 50 (4.5) 4..3 Διατμτικές τάσεις πυθμένα Για τον υπολογισμό των διατμτικών τάσεων των σχέσεων (4.8) θεωρούνται οι συνολικές ταχύττες στον πυθμένα, και όχι μόνο οι ταχύττες του ρεύματος ή του κύματος. Όπως αναφέρθκε, στν κυματογενή κυκλοφορία ένα υλικό σμείο εκτελεί συνδυασμέν κίνσ: κυματική παλινδρομική και κίνσ ρεύματος. Οι συνολικές ταχύττες κοντά στον πυθμένα u b και v b δίνονται από: u b(t)=u+u b(t) v b(t)=v+v b(t) όπου u b, v b οι ταχύττες του κύματος κοντά στον πυθμένα. (4.6) Οι διατμτικές τάσεις δίνονται από τις σχέσεις: τ bx = ρf < u b u b + vb > τby = ρf < vb ub + vb > όπου f είναι ο συνολικός συντελεστής τριβής κύματος-ρεύματος. (4.7) Η ύπαρξ των κυματισμών στ συνδυασμέν αυτή κίνσ κύματος-ρεύματος επιδρά στν κατακόρυφ κατανομή τς οριζόντιας ταχύττας του ρεύματος αυξάνοντας τν τύρβ κοντά στον πυθμένα. Ως εκ τούτου ο συντελεστής f θα πρέπει να είναι συνάρτσ των συντελεστών τριβής ρεύματος f και κύματος f. Μία απλοποιμέν έκφρασ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των f και f : f =a f +(-a )f (4.8) όπου ο συντελεστής a κατά x δίνεται από τ σχέσ: a -x=u/(u+u o), ενώ κατά y από: a y=v/(v+u o). Ο συντελεστής τριβής λόγω ρεύματος f είναι συνάρτσ του συντελεστή τριβής Cezy : g f = = 8log 0 k s Ο συντελεστής τριβής λόγω κυματισμών δίνεται από τ σχέσ: 0.9 ks f = exp 5.3 5.977 αo (4.9) (4.30) 6

4..4 Συντελεστής οριζόντιας διάχυσς Ο συντελεστής οριζόντιας διάχυσς ν υπολογίζεται από τ σχέσ (Larson and Kraus, 99): ν = 0.5U o H (4.3) Ο παραπάνω συντελεστής οριζόντιας διάχυσς προσομοιώνει τν ανάμιξ στ ζών θραύσς όπου επίδρασ τς οριζόντιας διασποράς (λόγω των τρισδιάστατων κατανομών τς ταχύττας του ρεύματος ως προς το βάθος) είναι ιδιαίτερα σμαντική σε σχέσ με τν τυρβώδ διάχυσ (Karambas, 999β). Για το λόγο αυτό, παραπάνω τιμή του συντελεστή ν δεν συμβιβάζεται με τις πειραματικές μετρήσεις του συντελεστή τυρβώδους ιξώδους. Από τις μετρήσεις φαίνεται ότι ο συντελεστής ν έχει τιμή τουλάχιστον μία τάξ μεγέθους μεγαλύτερ. 4..5 Τρισδιάστατα δευτερογενή ρεύματα Οι παραπάνω εξισώσεις (4.8) οδγούν στον υπολογισμό των μέσων ως προς το βάθος ταχυτήτων του ρεύματος που ονομάζεται πρωτογενές. Ωστόσο, πολλά προβλήματα τς ακτομχανικής απαιτούν τ συνεκτίμσ ενός τρισδιάστατου δευτερογενούς ρεύματος (Σχήμα 4.4). Το δευτερογενές αυτό ρεύμα σχετίζεται άμεσα με τ μετάδοσ των κυματισμών και περιλαμβάνει: Το τρισδιάστατο ρεύμα επαναφοράς εγκάρσια στν ακτή (underto) που δμιουργείται κάτω από τν κοιλιά των κυματισμών για να εξισορροπήσει τ ροή μάζας πάνω από τν κοιλιά. Το ρεύμα που παράγεται λόγω τς ροής μάζας κοντά στον πυθμένα εξαιτίας των μχανισμών του κυματικού οριακού στρώματος. Η ροή μάζας (ρεύμα) που δμιουργείται πάνω από το επίπεδο κοιλιάς των κυματισμών προς τν κατεύθυνσ μετάδοσς του κυματισμού είναι ίσ με 0 0 M=< ρ v >+< ρ v >= ρ<v> +< ρ v >=< ρ v > -d 0 -d 0 0 (4.3) Στν παραπάνω θεωρήσαμε ότι σχέσ τς κατανομής οριζόντιας ταχύττας (.) ισχύει σε όλ τ στήλ του νερού, συμπεριλαμβανομένς και στο διάστμα ανάμεσα στν κοιλιά του κύματος και τ μέσ στάθμ τς θάλασσας, για έναν προωθούμενο κυματισμό στν ανοιχτή θάλασσα, ο οποίος δεν οριοθετείται από κάποιο στερεό αδιαπέρατο όριο. Εφαρμόζοντας τ γραμμική θεωρία (4.3) γίνεται: νερού. M=ρ<v>= ρg H /=E/ 8 (4.33α) όπου E πυκνόττα τς ενέργειας (.6), ταχύττα μετάδοσς (.7) και ρ πυκνόττα του Μέσα στ ζών θραύσς, το πεδίο ροής του θραυόμενου κυματισμού έχει πολλές ομοιόττες με το πεδίο ροής ενός υδραυλικού άλματος. Όπως και στο υδραυλικό άλμα, στν επιφάνεια και στν εμπρόσθια παρειά σχματίζεται ένας στρόβιλος, δλαδή μια μάζα νερού που στροβιλίζεται. Η μάζα αυτή μεταφέρεται προς τν ακτή (Σχήμα 4.4.) και θα πρέπει να συμπεριλφθεί στ ροή μάζας λόγω τς κυματικής κίνσς. Έτσι (4.33) γίνεται (Fredsøe and Deigaard, 99): M=E/+0.9H /(T) (4.33β) 63

Σχήμα 4.4 Τρισδιάστατο δευτερογενές κυματογενές ρεύμα εγκάρσια στν ακτή. Όταν οι κυματισμοί διαδίδονται εγκάρσια προς τν ακτή, οποία αποτελεί ένα στερεό αδιαπέρατο όριο, για να εξισορροπήσει τ ροή μάζας πάνω από τν κοιλιά Μ δμιουργείται, κάτω από τν κοιλιά του κύματος, ένα υποβρύχιο ρεύμα επαναφοράς (underto) με κατεύθυνσ προς τα ανοιχτά και συνολική παροχή ίσ με Μ. Η μέσ ταχύττα του ρεύματος αυτού δίνεται από: όπου = d +. V m= < v >= -d ( M/ρ) (4.34) Η κατανομή του ρεύματος δίνεται από (Svendsen, 006): lnξ ξ V(ξ)=V u m-0.07 + 0.5-0.0 d d t t (4.35) όπου ξ=+z (τα σμεία z=0 βρίσκονται στο επίπεδο τς ΜΣΘ όπου ξ=, και τα z= -(d+)=- στον πυθμένα όπου ξ = 0 ) και d t απόστασ ανάμεσα στν κοιλιά του κύματος και τον πυθμένα: d =+ -H t (4.36) όπου ανύψωσ του κύματος στ φάσ τς κορυφής του (μόνο στ γραμμική θεωρία ισχύει =Η/). Στ ζών θραύσς μπορούμε να υιοθετήσουμε τν εμπειρική σχέσ (Hansen, 990): όπου H =0.5+ -0.5 (/ b) H b (4.37) 64

U =0. ( tanβ) H /L. 0. με U b : ( ) - b o b ( Ub ) =-0.5tan 4.85/ H o (4.38) Το ρεύμα που παράγεται λόγω τς ροής μάζας κοντά στον πυθμένα εξαιτίας των μχανισμών του οριακού στρώματος έχει τν ίδια κατεύθυνσ με τν κατεύθυνσ μετάδοσς του κυματισμού και έχει μέγιστ τιμή στον πυθμένα 0.75 U o / (Svendsen, 006). Η τιμή αυτή θα πρέπει να συνυπολογιστεί στν εκτίμσ του ρεύματος τόσο στ ζών θραύσς (σχέσ 4.35) όσο και εκτός από αυτήν. 4. Απλοποιμέν προσέγγισ Στν παράγραφο αυτή θα παρουσιαστεί εκτίμσ του κυματογενούς ρεύματος, στν περίπτωσ μιας ακτής με παράλλλες ισοβαθείς και θεωρτικά άπειρο μήκος. Οι κυματισμοί προσπίπτουν πλάγια στν ακτή και θραύονται σχματίζοντας γωνία ως προς αυτή. Το κυματογενές ρεύμα που δμιουργείται είναι παράλλλο προς στν ακτογραμμή. Η περίπτωσ αυτή, αν και απλοποιμέν, είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα από υδροδυναμική άποψ αλλά και κυρίως λόγω τς σμαντικής στερεομεταφοράς που παράγεται παράλλλα στν ακτή. Υποθέτοντας ότι το κυματογενές ρεύμα έχει σταθεροποιθεί κατά μήκος τς ακτής, δλ. δεν μεταβάλλεται κατά τ διεύθυνσ παράλλλα στν ακτή, οι εξισώσεις (4.8) τς ορμής κατά y (κάθετα στν ακτή) και x (παράλλλα στν ακτή) γράφονται: S g yy = 0 y ρ y Sxy τ U ρ y ρ y y bx + ν = 0 (4.39) (4.40) όπου οι παράγωγοι ως προς τον χρόνο και ως προς y μδενίζονται, οι μ γραμμικοί όροι θεωρούνται αμελτέοι και S xy, S yy οι συνιστώσες του τανυστή τς τάσς ακτινοβολίας (σχέσεις 4.0), τ bx ο όρος τς τριβής πυθμένα που υπολογίζεται από τ σχέσ (4.7), ν ο συντελεστής οριζόντιας διάχυσς (σχέσ 4.3) και U=U(x) ταχύττα του ρεύματος παράλλλα στν ακτή. Η επίλυσ τς (4.39) δίνει τ σχέσ (3.3), δλ. τν ανύψωσ τς μέσς στάθμς θάλασσας στ ζών θραύσς. Θεωρώντας αμελτέα τν επίδρασ τς οριζόντιας διάχυσς στ (4.40) ο Longuet-Higgins (970a και b) εξήγαγε τν παρακάτω σχέσ για τν απλοποιμέν περίπτωσ μιας ακτής με σταθερή κλίσ πυθμένα (Longuet-Higgins, 970α και β Dean and Dalrymple, 004 Svendsen, 006): U(y) = * 5πg m sin f α (4.4) όπου m* μια τροποποιμέν κλίσ πυθμένα, m* =tanβ/(+3γ /8), και ταχύττα διάδοσς των κυματισμών και α γωνία πρόσπτωσς. Στν παραπάνω περίπτωσ σταθερής κλίσς πυθμένα, κατανομή του κυματογενούς ρεύματος V είναι γραμμική με μέγιστ τιμή στο σμείο θραύσς. Έξω από τ ζών θραύσς ταχύττα παίρνει μδενικές τιμές (Σχήμα 4.5, για P=0). 65

Θεωρώντας γραμμική κατανομή του συντελεστή οριζόντιας διάχυσς, ν =N y gd (όπου N ένας συντελεστής Ν=Ο(0-3 )) ο Longuet-Higgins εξήγαγε τν παρακάτω σχέσ για ακτή με σταθερή κλίσ πυθμένα (Longuet-Higgins, 970α και β Dean and Dalrymple, 004 Svendsen, 006): P U / U = B Y + AY 0 < Y < o = > P B Y Y (4.4) όπου Y=y/y b (y b απόστασ από τν ακτή του σμείου θραύσς), U o (μέγιστ) τιμή τς ταχύττας του ρεύματος στο σμείο θραύσς που υπολογίζεται από τν (3.4), και p p B = A B A p p = p p 3 9 3 9 p = + + p = + 4 6 P 4 6 P A = P 5 ( ) 8π tanβ N P = γ f (4.43) (4.44) Με τ θεώρσ του συντελεστή οριζόντιας διάχυσς (που προσομοιώνει τν ανάμιξ στ ζών θραύσς), κατανομή του ρεύματος που προβλέπεται από τν (4.4) ομαλοποιείται (Σχήμα 4.5) και δεν παρουσιάζει το άλμα τς (4.4), για P=0. Σχήμα 4.5 Κατανομή του παράκτιου κυματογενούς ρεύματος για ακτή με σταθερή κλίσ πυθμένα.. Για τυπικές τιμές των Ν 0.00-0.003, f 0.008-0.0, γ 0.8 ο συντελεστής P λαμβάνει τιμές ανάμεσα στο 0. και 0.4. Για τν ειδική περίπτωσ P=/5 ο Longuet-Higgins (970β) προτείνει μια διαφορετική κατανομή. 66

Μια μέσ τιμή του παράκτιου κυματογενούς ρεύματος U δίνεται από τν παρακάτω σχέσ (Komar, 976, Reeve et al., 004): γ U.7 gd sin os = b b b α α (4.45) Στ ζών αναρρίχσς, κατά τν κυματική κίνσ, τεθλασμέν («οδοντωτή») τροχιά των υλικών σμείων έχει ως αποτέλεσμα τ μεταφορά μάζας κατά τν κατεύθυνσ του κύματος. Η μέσ ως προς τν περίοδο ταχύττα (ουσιαστικά το ρεύμα) δίνεται από (Leont yev, 999): U R R tanα = 0.0 T tan β (4.46) όπου R το ύψος αναρρίχσς του κύματος, Τ περίοδός του και α γωνία πρόσπτωσς του κύματος στο βάθος d=h o. Λόγω τς παραπάνω ταχύττας U R κατανομή του παράκτιου κυματογενούς ρεύματος παρουσιάζει μια δεύτερ κορυφή (τοπικά μέγιστ τιμή) κοντά στν ακτή (Σχήμα 4.6). Σχήμα 4.6 Ενδεικτική κατανομή του παράκτιου κυματογενούς ρεύματος για ακτή με σταθερή κλίσ πυθμένα, συμπεριλαμβανομένς τς ταχύττας ρεύματος στ ζών αναρρίχσς. 67

4. Βιβλιογραφικές Αναφορές Ξενόγλωσσ βιβλιογραφία Copeland, G.J.M. (985b). Pratial radiation stress alulations onneted it equations of ave propagation. Coastal Engineering, 9, pp 95-9. Dean, R.G., Dalrymple, R.A. (004). Coastal Proesses it Engineering Appliations. ISBN 0-5-0379-0 ebook, Cambridge University Press. DeVried, H.J. and Stive, M.J.F. (987). Quasi-3D modeling of nearsore urrents. Coastal Engineering,, 565-60. Fredsøe, J. and Deigaard, R. (99). Meanis of Coastal Sediment Transport, volume 3 of Advaned Series on Oean Engineering. World Sientifi. Hansen, J. B. (990). Periodi aves in te surf zone: Analysis of experimental data. Coastal Engineering, 4, 4-4. Karambas, T. V. (999b). Mixing in te surf zone: a teoretial approa. Journal of Marine Environmental Engineering, Vol. 5, pp. 59-73. Komar, P.D. (976). Bea Proesses and Sedimentation. Engleood Cliffs, NJ: Prentie-Hall. Larson, M. and Kraus, N. (99). Numerial model of longsore urrent for bar and troug beaes. Journal of Wateray, Port, Coastal, and Oean Engineering, 7, No. 4, 36-347. Leont yev, I.O. (999). Modelling of morpologial anges due to oastal strutures. Coastal Engineering, 38, pp 43-66. Longuet-Higgins, M.S. (970a). Longsore Currents Generated by Obliquely Inident Sea Waves,. J. Geopys. Res., 75, 33, 6778 6789. Longuet-Higgins, M.S. (970β). Longsore Currents Generated by Obliquely Inident Sea Waves,. J. Geopys. Res., 75, 33, 6790 680. Longuet-Higgins, M.S., and Steart, R.W. (963). Radiation Stress in Water Waves; a Pysial Disussion it Appliations. Deep Sea Res.,, 4, 59 563, 963. Nielsen, P. (99). Coastal bottom boundary layers and sediment transport. World Sientifi Publising. Pillips, O.M. (966, 977). Dynamis of te upper oean. Cambridge: Cambridge University Press. Reeve, D., Cadik, A.and Fleming, C. (004). Coastal Engineering, Proesses, teory and design pratie. Spon Press, ISBN 0-03-64735- Master e-book ISBN. Svendsen, Ib. A. (006). Introdution to Nearsore Hydrodynamis. Singapore: World Sientifi Publ. Co., ISBN: 98-56-4-0. Ελλνόγλωσσ βιβλιογραφία Κουτίτας, Χρ. (994). Εισαγωγή στν Παράκτια Τεχνική και τα Λιμενικά Έργα. Θεσσαλονίκ: Εκδόσεις Ζήτ. Οδγός για περαιτέρω μελέτ Kampuis, J.W. (000). Introdution to Coastal Engineering and Management, Advaned Series on Oean Engineering: Volume 6, World Sientifi Publising Co. Longuet-Higgins, M.S., and Steart, R.W. (963). Radiation Stress in Water Waves; a Pysial Disussion it Appliations. Deep Sea Res.,, 4, 59 563, 963. 68

Mei, C.C. (989). Te Applied Dynamis of Oean Surfae Waves. Singapore: World Sientifi. ISBN 997-5-0773-0. Mei, C.C, Stiassnie, M. and Yue, D.K-P. (005). Teory and Appliations of Oean Surfae Waves, Part, Linear Aspets; Part, Nonlinear Aspets. World Sientifi Publisers. ISBN 98-38-893. 69