Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζουμε μια απλή και ενεργειακά αποδοτική μέθοδο για την αλλαγή της τροχιάς στρατιωτικού δορυφόρου (αύξηση/μείωση της ακτίνας περιστροφής γύρω από τη Γη). Εν συνεχεία δείχνουμε πως αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό διαπλανητικών τροχιών, π.χ. από τη Γη στον Άρη, σε συνδυασμό με μια υπερβολική τροχιά διαφυγής από τον πλανήτη αφετηρία και μια αντίστοιχη τροχιά προσκολλήσεως στον πλανήτη προορισμό. Το υλικό της παρούσας ενότητας αποτελεί δημιουργική απόδοση στα Ελληνικά του περιεχομένου της αναφοράς [1]. Η βασική υπόθεση που θα χρησιμοποιήσουμε στην ανάλυσή μας είναι ότι οι αλλαγές στην ταχύτητα του διαστημοπλοίου, με ενεργοποίηση των προωθητικών πυραύλων, λαμβάνουν χώρα στιγμιαία. Αν και στην πράξη απαιτείται κάποιος χρόνος ώστε το διαστημόπλοιο να επιταχύνει μέχρι να φτάσει την ταχύτητα της νέας τροχιάς, η παραπάνω υπόθεση ισχύει όταν ο χρόνος ενεργοποίησης του προωθητικού πυραύλου είναι αρκετά μικρότερος από την περίοδο της τροχιάς. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η αλλαγή στην ταχύτητα Δv που απαιτείται για την υλοποίηση της μανούβρας είναι απλά η διαφορά μεταξύ των ταχυτήτων της τελικής και της αρχικής τροχιάς. Όταν η αρχική και η τελική τροχιά τέμνονται, η αλλαγή τροχιάς μπορεί να επιτευχθεί με την εφαρμογή μιας μόνο ώθησης. Σε πιο γενικές περιπτώσεις ενδέχεται να απαιτούνται περισσότερες ωθήσεις και ενδιάμεσες τροχιές. Συνήθως ο στόχος είναι να υλοποιηθεί η μετάβαση από την αρχική στην τελική τροχιά με την ελάχιστη δυνατή αλλαγή στην ταχύτητα Δv. Σε κάποιες περιπτώσεις, ωστόσο, ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση της μεταφοράς μπορεί να είναι ένας σημαντικός παράγοντας. Οι περισσότερες αλλαγές τροχιάς απαιτούν αλλαγή στην ολική ενέργεια της τροχιάς, E. Ας θεωρήσουμε την αλλαγή στην ολική ενέργεια που συμβαίνει εξαιτίας μιας στιγμιαίας ώθησης που μεταβάλλει την ταχύτητα κατά Δv. Αν v i είναι η αρχική ταχύτητα, η τελική ταχύτητα v f θα είναι απλά v f = v i + Δv. Τα μέτρα αυτών των διανυσμάτων συνδέονται μέσω της σχέσης

v f 2 = v i 2 + Δv 2 + 2v i Δv cos β, όπου β είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων v i και Δv. Η αλλαγή ανά μονάδα μάζας στην ολική ενέργεια είναι ίση με την αλλαγή στην κινητική ενέργεια ΔΕ = 1 2 Δv2 + v i Δv cos β, αφού για στιγμιαία ώθηση η δυναμική ενέργεια παραμένει σταθερή. Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι για δεδομένο Δv η αλλαγή στην ενέργεια μεγιστοποιείται όταν β = 0 (μέγιστη αύξηση) ή β = π (μέγιστη μείωση) και το v i είναι μέγιστο. Για παράδειγμα, για να μεταφέρουμε έναν δορυφόρο από ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη σε τροχιά διαφυγής, η πιο ενεργειακά αποδοτική ώθηση είναι συγγραμμική με την ταχύτητα και πρέπει να εφαρμοστεί στο περίγειο της ελλειπτικής τροχιάς (το κοντινότερο σημείο στη Γη), όπου η ταχύτητα του δορυφόρου είναι μέγιστη. Φυσικά, για πολλές επιθυμητές μανούβρες οι εφαρμοζόμενες ωθήσεις είναι τέτοιες που δεν μπορούν να ικανοποιήσουν κάποιες από τις παραπάνω συνθήκες. Στο προηγούμενο παράδειγμα, η ενεργοποίηση των προωθητικών πυραύλων στο περίγειο μπορεί να προκαλέσει τη διαφυγή του δορυφόρου προς ανεπιθύμητη κατεύθυνση. 2. Περιγραφή της μεθόδου Hohmann Η μέθοδος αυτή δίνει μια ενεργειακά αποδοτική λύση στο πρόβλημα της μεταφοράς ενός δορυφόρου μεταξύ δύο ομοεπίπεδών κυκλικών τροχιών, π.χ. από μία χαμηλή τροχιά σε γεωστατική τροχιά για ένα γήινο δορυφόρο. Ο δορυφόρος αρχικά εκτελεί κυκλική κίνηση σε ακτίνα r 1 γύρω από τη Γη, με ταχύτητα v c1 = μ/r 1, και θέλουμε να τον μεταφέρουμε σε τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας r 2, με ταχύτητα v c2 =

μ/r 2 (υπενθυμίζουμε ότι μ = GM, το γινόμενο της βαρυτικής σταθεράς και της γήινης μάζας). Η μεταφορά από τη μία κυκλική τροχιά στην άλλη γίνεται μέσω μίας ελλειπτικής τροχιάς με μεγάλο ημιάξονα μήκους a = (r 1 + r 2 )/2. Η ενέργεια της ελλειπτικής τροχιάς (E = μ/2a) είναι μεγαλύτερη από αυτήν της εσωτερικής κυκλικής τροχιάς (όπου a = r 1 ) και μικρότερη της ενέργειας της εξωτερικής κυκλικής τροχιάς (όπου a = r 2 ). Επομένως, για τη μεταφορά του δορυφόρου από τη μία τροχιά στην άλλη χρειάζεται να εφαρμοστούν κατάλληλες ωθήσεις που αυξάνουν την ενέργειά του. Σε ένα σημείο της εσωτερικής κυκλικής τροχιάς εφαρμόζεται κατάλληλη ώθηση ώστε ο δορυφόρος να αποκτήσει την ταχύτητα v π που αντιστοιχεί στο περίγειο της ελλειπτικής τροχιάς σύνδεσης. Εν συνεχεία ο δορυφόρος διαγράφει μισή ελλειπτική τροχιά, φτάνοντας στο απόγειο (το πιο απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς από τη Γη), που είναι σημείο και της εξωτερικής κυκλικής τροχιάς, με ταχύτητα v α. Εκεί εφαρμόζεται μία δεύτερη ώθηση, ώστε ο δορυφόρος να αποκτήσει την ταχύτητα v c2 της εξωτερικής κυκλικής τροχιάς, και η μεταφορά ολοκληρώνεται. Χρησιμοποιώντας τις αρχές διατήρησης ενέργειας και στροφορμής, βρίσκουμε τις ταχύτητες στο περίγειο και το απόγειο της ελλειπτικής τροχιάς v π 2 = 2μ ( 1 r 1 1 r 1 + r 2 ) v α 2 = 2μ ( 1 r 2 1 r 1 + r 2 ) Οι ωθήσεις που πρέπει να εφαρμοστούν σε αυτά τα σημεία για να πραγματοποιηθεί η αλλαγή τροχιάς είναι Δv π = v π v c1 = μ r 1 ( 2r 2 r 1 + r 2 1), Δv α = v c2 v α = μ r 2 (1 2r 1 r 1 + r 2 ). Η ίδια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που η αρχική τροχιά έχει μεγαλύτερη ακτίνα από την τελική, με την τροποποίηση ότι οι εφαρμοζόμενες ωθήσεις, πρώτα στο απόγειο και μετά στο περίγειο, είναι αρνητικές ώστε να επιβραδύνουν το δορυφόρο. Η μέθοδος Hohmann είναι συνήθως βέλτιστη καθώς απαιτεί την ελάχιστη συνολική ώθηση Δv t = Δv π + Δv a για τη μεταφορά μεταξύ δύο κυκλικών τροχιών. Παύει να είναι βέλτιστη μόνο για πολύ μεγάλες τιμές του λόγου των ακτινών r 2 /r 1. Συγκεκριμένα, μπορεί να αποδειχτεί πως όταν r 2 > 11.9r 1 (κάτι σπάνιο), τότε μία μέθοδος που περιλαμβάνει τρεις ωθήσεις και δύο ενδιάμεσες ελλειπτικές τροχιές (απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα) είναι πιο αποδοτική ενεργειακά. Επισημαίνεται ότι η απόσταση από τη Γη όπου τέμνονται οι δύο ενδιάμεσες ελλειπτικές τροχιές είναι μια παράμετρος που μπορεί να επιλεγεί ώστε να ελαχιστοποιεί τη συνολική ώθηση. Επίσης, η τελική ώθηση είναι αρνητική, ώστε να επιβραδύνει το δορυφόρο από τη μεγάλης ενέργειας ελλειπτική τροχιά στην τελική κυκλική τροχιά. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι απαιτεί περισσότερο χρόνο για την υλοποίηση της μεταφοράς.

Η θεμελιώδης υπόθεση για να ισχύει η μέθοδος Hohmann είναι να υπάρχει ουσιαστικά μόνο ένα σώμα το οποίο ασκεί βαρυτική έλξη στο δορυφόρο (στο παραπάνω παράδειγμα η Γη). Δεν μπορεί να εφαρμοστεί αν υπάρχει κάποιο άλλο σώμα που μοιράζεται την ίδια τροχιά και επηρεάζει το δορυφόρο. Όπως θα δούμε παρακάτω, αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση της εξωτερικής τροχιάς σε ένα διαπλανητικό ταξίδι από τη Γη στον Άρη, αφού όμως το διαστημόπλοιο έχει διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Παράδειγμα Ένας στρατιωτικός δορυφόρος μεταφέρεται με το διαστημικό λεωφορείο σε χαμηλή τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος 322 Km, και από εκεί με χρήση της μεθόδου Hohmann σε γεωστατική τροχιά στα 35860 Km. Υπολογίζουμε τα χαρακτηριστικά της ελλειπτικής τροχιάς Hohmann και τη συνολική ώθηση που απαιτείται: Για την εσωτερική κυκλική τροχιά έχουμε r 1 = R + d 1 = 6.378 10 6 + 322 10 3 = 6.70 10 6 m v c1 = μ r 1 = gr2 r 1 = 7714 m/s E 1 = μ = gr2 = 2.975 10 7 m 2 /s 2 ( J/Kg) 2r 1 2r 1 όπου R = 6378 Km είναι η ακτίνα της Γης και g = 9.80 m/s 2 η επιτάχυνση της βαρύτητας, ενώ χρησιμοποιήσαμε τη σχέση μ = GM = gr 2. Επισημαίνουμε ότι E 1 είναι η ενέργεια ανά μονάδα μάζας του δορυφόρου στη συγκεκριμένη τροχιά. Για την εξωτερική κυκλική τροχιά βρίσκουμε αντίστοιχα r 2 = R + d 2 = 42.24 10 6 m v c2 = 3072 m/s E 2 = 4.719 10 6 m 2 /s 2 ( J/Kg)

Για την ελλειπτική τροχιά Hohmann έχουμε 2a = r 1 + r 2 = 48.94 10 6 m E = μ 2a = 8.146 106 m 2 /s 2 ( J/Kg) v π = 10135 m/s v α = 1608 m/s Παρατηρούμε ότι Ε 1 < Ε < Ε 2. Επειδή η ταχύτητα στο περίγειο είναι κάθετη στο διάνυσμα της θέσης, η ειδική στροφορμή της ελλειπτικής τροχιάς (ανά Kg δορυφόρου) είναι L = r 1 v π = 6.791 10 10 m 2 /s και η εκκεντρότητα της έλλειψης μπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση ε = 1 + 2EL2 μ 2 = 0.7261 Οι απαιτούμενες ωθήσεις στο περίγειο και το απόγειο είναι Δv π = v π v c1 = 2421 m/s Δv α = v c2 v α = 1464 m/s Το πρόσημο κάθε ώθησης δείχνει την κατεύθυνσή της (αν αυξάνει ή μειώνει την ενέργεια) ενώ η συνολική ώθηση είναι το άθροισμα των μέτρων Δv t = Δv π + Δv a = 3885 m/s Για να δείξουμε το βέλτιστο χαρακτήρα της μεθόδου Hohmann, εξετάζουμε έναν εναλλακτικό τρόπο μεταφοράς του δορυφόρου (βλέπε το παρακάτω σχήμα), όπου διπλασιάζουμε αυθαίρετα την τιμή του μεγάλου ημιάξονα της ενδιάμεσης έλλειψης, και υπολογίζουμε τα χαρακτηριστικά της τροχιάς και την απαιτούμενη συνολική ώθηση. Ο μεγάλος ημιάξονας αυτής της έλλειψης θα είναι 2a = 98 10 6 m, ενώ η ενέργεια της τροχιάς E = μ/2a = 4.068 10 6 m 2 /s 2 ( J/Kg). Η ταχύτητα του διαστημοπλοίου κατά την αναχώρηση μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση της ενέργειας και είναι v π = 2 (E + μ r 1 ) = 10529 m/s οπότε η απαιτούμενη ώθηση είναι Δv π = v π v c1 = 2815 m/s

Η ειδική στροφορμή της ελλειπτικής τροχιάς (ανά Kg δορυφόρου) είναι L = r 1 v π = 7.054 10 10 m 2 /s και η εκκεντρότητα ε = 0.863. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα v int στο σημείο όπου η ελλειπτική τροχιά τέμνει (intercepts) την εξωτερική κυκλική τροχιά v int = 2 (E + μ r 2 ) = 3277 m/s Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της στροφορμής μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή συνιστώσα της v int v int,θ = L r 2 = 1670 m/s Η γωνία ανύψωσης φ της κατεύθυνσης της v int από την εφαπτομένη στην εξωτερική κυκλική τροχιά είναι φ = cos 1 v int,θ v int = 59.36 Η ώθηση Δv int που πρέπει να εφαρμοστεί για να θέσει το δορυφόρο στην εξωτερική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη με ταχύτητα v c2 θα πρέπει να έχει κατάλληλη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα, και μέτρο 2 Δv int = v 2 int + v 2 c2 2v int v c2 cos φ που είναι Δv int = 3149 m/s. Η συνολική απαιτούμενη ώθηση είναι

Δv t = Δv π + Δv int = 2815 + 3149 = 5964 m/s δηλαδή 54% περισσότερη από την ώθηση που απαιτεί η μέθοδος Hohmann (3885 m/s), ενώ η μεταφορά του δορυφόρου στην τελική τροχιά είναι ταχύτερη. 3. Εφαρμογή στο σχεδιασμό διαπλανητικών τροχιών 3.1. Ανάλυση της διαπλανητικής τροχιάς σε φάσεις Η μέθοδος Hohmann μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό διαπλανητικών τροχιών με κάποιες τροποποιήσεις. Όπως επισημάναμε προηγουμένως, η εφαρμογή της μεθόδου προϋποθέτει ότι μόνο ένας πλανήτης ασκεί βαρυτική έλξη στο σώμα το οποίο θέλουμε να μεταφέρουμε, από μία κυκλική τροχιά γύρω από τον πλανήτη σε μία άλλη ομοεπίπεδη κυκλική τροχιά. Όταν εμπλέκονται περισσότεροι πλανήτες, όπως για παράδειγμα όταν θέλουμε να μεταφέρουμε ένα δορυφόρο, που είναι σε τροχιά γύρω από τη Γη, σε τροχιά γύρω από τον Άρη μέσω μιας τροχιάς Hohmann γύρω από τον Ήλιο, βλέπε το παρακάτω σχήμα, τότε παύει να είναι ένα απλό πρόβλημα δύο σωμάτων. Παρ όλ αυτά, για να επιτύχουμε μια καλή προσέγγιση, είναι σύνηθες να αναλύουμε το πρόβλημα σε μία σειρά προβλημάτων δύο σωμάτων. Για μία διαπλανητική μεταφορά στο ηλιακό σύστημα, όπως αυτή από τη Γη στον Άρη, ορίζουμε για κάθε πλανήτη τη σφαίρα επιρροής (sphere of influence, SOI) ως την περιοχή όπου η βαρυτική επίδραση του πλανήτη είναι μεγαλύτερη από αυτήν του Ήλιου. Για να μπούμε σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο με κατεύθυνση προς τον πλανήτη προορισμού, θα πρέπει πρώτα να υπερνικήσουμε τη βαρυτική έλξη του πλανήτη αφετηρία. Η αποστολή μπορεί να αναλυθεί σε τρεις φάσεις, και σε κάθε φάση η τροχιά του διαστημοπλοίου είναι η λύση ενός προβλήματος δύο σωμάτων (επομένως μία κωνική τομή). Η πρώτη φάση αποτελείται από μία γεωκεντρική υπερβολή την οποία διαγράφει το διαστημόπλοιο καθώς διαφεύγει από τη γήινη σφαίρα επιρροής. Η δεύτερη φάση ξεκινά στο όριο της γήινης SOI και αποτελείται από μία ελλειπτική

τροχιά γύρω από τον Ήλιο την οποία ακολουθεί το διαστημόπλοιο καθώς ταξιδεύει προς τον Άρη. Η τρίτη φάση της αποστολής ξεκινά στο όριο της SOI του Άρη και είναι μια υπερβολική τροχιά προσκολλήσεως υπό την επίδραση της βαρυτικής έλξης του κόκκινου πλανήτη. Οι χρονικές και χωρικές κλίμακες είναι αρκετά διαφορετικές για τις διάφορες φάσεις της αποστολής. Ο χρόνος για τη μεταφορά σε άλλον πλανήτη μετριέται σε μήνες ή χρόνια, ενώ ο χρόνος διαφυγής από έναν πλανήτη σε ημέρες ή ώρες. Το μήκος διαπλανητικών τροχιών μετριέται σε AU (astronomical unit), όπου 1 AU = 1.4960 10 8 Km, η απόσταση Γης-Ήλιου. Ως μονάδα μέτρησης του μήκους της υπερβολικής τροχιάς διαφυγής από έναν πλανήτη χρησιμοποιείται η ακτίνα του πλανήτη. Οι πολλές διαφορετικές κλίμακες που υπάρχουν στο πρόβλημα καθιστούν δύσκολη τη χρήση ενός προγράμματος υπολογισμού τροχιών που θα λαμβάνει υπόψιν την επίδραση και των τριών ουράνιων σωμάτων, αφού το βήμα της όποιας αριθμητικής μεθόδου πρέπει να αλλάζει δραματικά κοντά στη Γη ή τον Άρη. Η μέθοδος που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια απλή εναλλακτική που παρέχει ένα σχετικά καλό προσεγγιστικό αποτέλεσμα. Μπορεί να αποδειχτεί ότι μία ελλειπτική τροχιά Hohmann γύρω από τον Ήλιο στη δεύτερη φάση, σε συνδυασμό με μία υπερβολική τροχιά διαφυγής από τη Γη στην πρώτη φάση και μία αντίστοιχη τροχιά προσκολλήσεως στον Άρη στην τελευταία φάση, είναι η πιο οικονομική ενεργειακά τροχιά για μία διαπλανητική αποστολή, όπως ακριβώς η απλή τροχιά Hohmann είναι συνήθως η βέλτιστη λύση για την αλλαγή της τροχιάς ενός δορυφόρου. Φυσικά, μια επιτυχής αποστολή απαιτεί ότι ο χρόνος εκτόξευσης έχει επιλεγεί ώστε ο πλανήτης προορισμού να βρίσκεται στην κατάλληλη θέση όταν φτάνει το διαστημόπλοιο. 3.2. Υπερβολική τροχιά διαφυγής και διαπλανητική τροχιά Hohmann Σε αυτήν την παράγραφο εξετάζουμε τις δύο πρώτες φάσεις της διαπλανητικής αποστολής. Θεωρούμε ότι ο πλανήτης αφετηρία (Γη) και ο πλανήτης προορισμού (Άρης) περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο σε ομοεπίπεδες κυκλικές τροχιές ακτινών r 1, r 2, με ταχύτητες v 1 = μ S /r 1, v 2 = μ S /r 2, αντίστοιχα, όπου μ S είναι η ελκτική σταθερά που αντιστοιχεί στον Ήλιο. Θεωρούμε επίσης ότι το διαστημόπλοιο βρίσκεται αρχικά σε σχετική κυκλική κίνηση ακτίνας r 1p γύρω από τη Γη, με ταχύτητα v 1c = μ E /r 1p, όπου μ E είναι η ελκτική σταθερά που αντιστοιχεί στη Γη. Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε την ώθηση που πρέπει να εφαρμοστεί στο διαστημόπλοιο ώστε να διαφύγει από την έλξη της Γης, ακολουθώντας μία υπερβολική τροχιά (πρώτη φάση), και εν συνεχεία να κατευθυνθεί προς τον Άρη ακολουθώντας μία ελλειπτική τροχιά Hohmann γύρω από τον Ήλιο με μεγάλο ημιάξονα μήκους a = (r 1 + r 2 )/2 (δεύτερη φάση). Για να εισέλθει με επιτυχία στη δεύτερη φάση, θα πρέπει φεύγοντας από τη Γη το διαστημόπλοιο να έχει αναπτύξει μία απόλυτη τελική ταχύτητα ίση με v π, όπως αυτή έχει υπολογιστεί στην παραπάνω παράγραφο 2 (με χρήση της σταθεράς μ S του Ήλιου). Επομένως, η τελική σχετική ταχύτητα του διαστημοπλοίου ως προς τη Γη θα πρέπει να είναι v 1 = v π v 1, αφού υπενθυμίζουμε ότι η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο με ταχύτητα v 1. Αυτή είναι η ταχύτητα ως προς τη Γη που θα πρέπει να έχει το διαστημόπλοιο φτάνοντας στο όριο της γήινης σφαίρας επιρροής, σημείο το οποίο θεωρούμε πρακτικά ότι συμπίπτει με το περιήλιο (κοντινότερο σημείο στον Ήλιο) της ελλειπτικής τροχιάς Hohmann. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας σε

σύστημα συντεταγμένων ακίνητο ως προς τη Γη, μεταξύ του σημείου όπου εφαρμόζεται η ώθηση και του σημείου όπου το διαστημόπλοιο έχει πλέον ξεφύγει από τη γήινη έλξη (βλέπε παρακάτω σχήμα), μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα v 1p του διαστημοπλοίου αμέσως μετά την εφαρμογή της ώθησης Η απαιτούμενη ώθηση διαφυγής είναι 2 v 1p 2 μ E = v 2 1 r 1p 2. Δv escape = v 1p v 1c, αφού υπενθυμίζουμε ότι αρχικά το διαστημόπλοιο εκτελεί σχετική κυκλική κίνηση ως προς τη Γη με ταχύτητα v 1c = μ E /r 1p. Τα χαρακτηριστικά της υπερβολικής τροχιάς διαφυγής μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν. Συγκεκριμένα, η εκκεντρότητα δίνεται από τη σχέση ε 1 = 1 + r 2 1pv 1, μ E ενώ η γωνία αλλαγής στη διεύθυνση της ταχύτητας του διαστημοπλοίου από το σημείο που εφαρμόζεται η ώθηση (το περίγειο της υπερβολικής τροχιάς) μέχρι το σημείο διαφυγής είναι

δ 1 2 = sin 1 1 ε 1. Όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα, για να διαφύγει το διαστημόπλοιο από την αρχική κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη σε μία υπερβολική τροχιά με κατακόρυφη τελική κατεύθυνση, η πυροδότηση της στιγμιαίας ώθησης θα πρέπει να λάβει χώρα όταν το σκάφος βρίσκεται σε γωνία δ 1 /2 επί της κυκλικής τροχιάς. Η τροχιά διαφυγής που απεικονίζεται στο σχήμα έχει αντίθετη φορά από αυτήν των δεικτών του ρολογιού και προτιμάται γιατί έχει την ίδια φορά με την ιδιοπεριφορά της Γης. Η πλευρική μετατόπιση Δ 1 από την κεντρική γραμμή της πλανητικής τροχιάς είναι μικρή σε σχέση με τις διαπλανητικές αποστάσεις, όπως αυτές ορίζονται από την απόσταση από τον Ήλιο, και το μικρό σφάλμα που προκύπτει είναι αποδεκτό στα πλαίσια της ακρίβειας της μεθόδου. 3.3. Υπερβολική τροχιά προσκολλήσεως στον πλανήτη προορισμού Το διαστημόπλοιο μπαίνει στην τρίτη φάση της διαπλανητικής αποστολής φθάνοντας με ταχύτητα v α (που δίνεται στην παράγραφο 2) στο αφήλιο της ελλειπτικής τροχιάς Hohmann γύρω από τον Ήλιο. Η σχετική ταχύτητα ως προς τον Άρη με την οποία το διαστημόπλοιο εισέρχεται στη ζώνη επιρροής του κόκκινου πλανήτη είναι v 2 = v α v 2 (υπενθυμίζουμε ότι ο Άρης περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο με ταχύτητα v 2 ). Το διαστημόπλοιο αρχίζει να διαγράφει υπερβολική τροχιά πλησιάζοντας τον Άρη και μετά από κάποιο χρόνο φτάνει στο σημείο της τροχιάς που απέχει την μικρότερη απόσταση r 2p από τον κόκκινο πλανήτη. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας (για σύστημα συντεταγμένων ακίνητο ως προς τον Άρη) μεταξύ του σημείου εισόδου στη ζώνη επιρροής του Άρη και του κοντινότερου σημείου της υπερβολικής τροχιάς, βρίσκουμε την ταχύτητα v 2p του διαστημοπλοίου στο σημείο αυτό 2 v 2p 2 μ M = v 2 2 r 2p 2. Επιβραδύνοντας το διαστημόπλοιο με μία αρνητική ώθηση μέτρου Δv capture = v 2p v 2c, το θέτουμε σε κυκλική τροχιά γύρω από τον Άρη με ακτίνα r 2p και ταχύτητα v 2c = μ M /r 2p. Τα χαρακτηριστικά της υπερβολικής τροχιάς προσκολλήσεως μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν. Συγκεκριμένα, η εκκεντρότητα δίνεται από τη σχέση ε 2 = 1 + r 2 2pv 2, μ M ενώ η γωνία αλλαγής στη διεύθυνση της ταχύτητας του διαστημοπλοίου από το σημείο εισόδου στη ζώνη επιρροής του Άρη μέχρι το σημείο που εφαρμόζεται η ώθηση (βλέπε παραπάνω

σχήμα) είναι δ 2 2 = sin 1 1 ε 2. 3.4. Παρατηρήσεις Επισημαίνουμε ότι η μέθοδος που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες παραγράφους για τη σχεδίαση διαπλανητικών αποστολών είναι μεν αρκετά απλουστευτική για ακριβείς υπολογισμούς τροχιάς, προσφέρεται όμως για τον υπολογισμό των ενεργειακών απαιτήσεων ενός διαπλανητικού ταξιδιού, π.χ. από τη Γη στον Άρη. Οι επιμέρους τροχιές που συνθέτουν την αποστολή (διαφυγή, Hohmann, προσκόλληση) είναι τροχιές ελάχιστης ενέργειας και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως σημεία αναφοράς για πιο ακριβείς μεθόδους σχεδίασης. Οι απαιτούμενες ωθήσεις για την άνοδο και την κάθοδο του διαστημοπλοίου από και προς τις επιφάνειες των πλανητών, μπορούν να συμπεριληφθούν στους ενεργειακούς υπολογισμούς. Όταν οι τροχιές των δύο πλανητών δεν είναι ομοεπίπεδες, ακόμη και κατά μία μικρή γωνία όπως οι 1.8 των τροχιών Γης-Άρη, η μέθοδος Hohmann παύει να είναι πρακτική και βέλτιστη ενεργειακά, αφού το επίπεδο που περιλαμβάνει τον Ήλιο και τους δύο πλανήτες είναι κεκλιμένο σε σχέση με τα επίπεδα των πλανητικών τροχιών. Σε αποστολές σχεδιασμένες για την επίσκεψη πολλών πλανητών η κατάσταση μπορεί να γίνει αρκετά περίπλοκη, καθώς γίνεται προσπάθεια αξιοποίησης του βαρυτικού πεδίου των πλανητών με είσοδο στις σφαίρες επιρροής τους και με στόχο την αλλαγή κατεύθυνσης ή την απόκτηση παραπάνω ώθησης (η τεχνική αυτή αναφέρεται ως gravity assist ή flyby). Βιβλιογραφία [1] S. Widnall and J. Peraire, MIT OpenCourseWare, Subject 16.07 (Dynamics), Lecture 17.