ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την εξίσωση κίνησης να δίνεται από τη σχέση x(t) = A t + B t στο διεθνές σύστημα μονάδων. Οι σταθερές Α, Β έχουν αριθμητική τιμή και 1, αντίστοιχα. α) τι είδους κίνηση κάνει το σώμα; (0.5 μονάδα) β) ποια είναι η διάσταση των σταθερών Α και Β; (0.5 μονάδα) γ) χρησιμοποιώντας τον ορισμό του έργου δύναμης F, W F dx, να υπολογίσετε το έργο W της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα από t=0 μέχρι t=4 s. (1μονάδα) δ) να υπολογίσετε το έργο W της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα από t=0 μέχρι t=4 s με χρήση του θεωρήματος μεταβολής κινητικής ενέργειας (δίνεται ότι 17 = 89). (0.5 μονάδα) Θεωρείστε τώρα ότι στο σώμα ασκείται οριζόντια σταθερή δύναμη και τριβή ολίσθησης. Το έργο W της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα από t=0 μέχρι t=4 s είναι εκείνο του ερωτήματος γ) ή δ). Στο ίδιο χρονικό διάστημα, το έργο της τριβής είναι σε αριθμητική τιμή 3.6 J. ε) να βρείτε το συντελεστή τριβής ολίσθησης (δίνεται g = 10 m/s ). (0.5 μονάδα) στ) να βρείτε το μέτρο της οριζόντιας σταθερής δύναμης. (0.5 μονάδα) ζ) να επαληθεύσετε την τιμή του έργου της τριβής που σας δίνεται χρησιμοποιώντας τη διατήρηση ενέργειας στο διάστημα από t=0 μέχρι t=4 s. (1.5 μονάδα) α) Με δεδομένο ότι x = A t + B t έχουμε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α = Α, αρχική ταχύτητα υ 0 = Β και αρχική θέση x 0 = 0 m. β) Έχουμε ότι [x]=l και [t]=t. Άρα: [x] L [A] = = [t] T [x] L [B] = = [t] T γ) Η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα κατά τη φορά της κίνησης θα είναι F = m α, άρα πρέπει να βρούμε την επιτάχυνση α. Έχουμε: dx At B dt d A dt Δηλαδή: m F m m A 0.1Kg 0.4 N s Αφού η δύναμη είναι σταθερή ισχύει ότι:
x(4) x(4) x(0) x(0) W F dx F dx F(x(4) x(0)) Δεδομένου ότι W 0.4 N36 m 14.4 J x = A t + B t έχουμε x(0)=0 και x(4)=55 m, οπότε τελικά: δ) Το θέωρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας δίνει ότι: 1 1 1 m s W m (4) m (0) 0.1Kg (17 1) 14.4 J αφού από τη σχέση υ(5)=1 m/s και υ(0)= 1 m/s. ε) Η τριβή ολίσθησης, Τ, ισούται με: T N ( ) Το διάστημα που διανύει το σώμα είναι: x x(4) x(0) 36 m Το έργο της τριβής, σε απόλυτη τιμή, είναι: W T = T x = μ 36 = 3.6 J = 0.1 στ) από το ερώτημα γ) βρήκαμε ότι η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα στη διεύθυνση της κίνησης είναι ίση με 0.4 Ν. Αυτή ισούται με την οριζόντια σταθερή δύναμη, έστω F, μείον την τριβή ολίσθησης, Τ. Δηλαδή: F-T = 0.4 N F = T + 0.4 N = 0.5 N ζ) Αφού η δύναμη F είναι σταθερή, πηγάζει από δυναμική ενέργεια: du F = - du F dx U(x) Fx C, όπου C σταθερά. dx Επιλέγοντας U(0) = 0, έχουμε C=0. Η διατήρηση ενέργειας γράφεται (ο δείκτης 4 αναφέρεται στη θέση του σώματος για t=4 s): E U(0) E U(4) W 0 4 k k T Ισχύει ότι: 0 1 1 m Ek m 0 0.1Kg1 0.05 J, U(0) = 0 s 4 1 1 m Ek m 4 0.1Kg17 14.45 J, U(4) = - F 36 m = - 18 J s
οπότε με αντικατάσταση βρίσκουμε WT 3.6 J ΑΣΚΗΣΗ Μια ομογενής σκάλα μάζας m και μήκους L στερεώνεται σε λείους τοίχους σχηματίζοντας γωνία θ, όπως στο σχήμα. α) να κάνετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σκάλα. (0.5 μονάδα) β) να τεκμηριώσετε αν η σκάλα ισορροπεί ή όχι. (0.5 μονάδα) Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σκάλας και οριζοντίου δαπέδου είναι μ τότε: γ) να κάνετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σκάλα. (0.5 μονάδα) δ) να δώσετε τη συνθήκη ισορροπίας για τη σκάλα. (0.5 μονάδα) θ ε) να υπολογίσετε αναλυτικά τη ροπή ως προς το σημείο επαφής της σκάλας με το οριζόντιο δάπεδο, Ο. στ) βρείτε μια έκφραση για την ελάχιστη γωνία θ, μεταξύ σκάλας και δαπέδου, για την οποία η σκάλα δεν ολισθαίνει ως προς το δάπεδο. ζ) όταν η σκάλα ολισθαίνει ως προς το δάπεδο τι τροχιά διαγράφει το κέντρο μάζας της; α) Το ζητούμενο διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σκάλα απεικονίζεται στο σχήμα: Ν β) Είναι φανερό ότι στον οριζόντιο άξονα η συνισταμένη των δυνάμεων,, δεν μπορεί να είναι 0, επομένως η σκάλα δεν ισορροπεί ποτέ. γ) Το ζητούμενο διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σκάλα απεικονίζεται στο σχήμα: Ν δ) Η συνθήκη ισορροπίας είναι: T s F 0 και 0
όπου οι σχέσεις εκφράζουν το γεγονός ότι η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδενική και η συνισταμένη των ροπών είναι μηδενική, αντίστοιχα. ε) Ως προς Ο έχουμε: B A Ν θ T s L ˆ A B N1 m g cos LN1 sin k όπου ˆk μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα με φορά προς τα έξω. στ) Σύμφωνα με το ερώτημα δ) η σκάλα ισορροπεί όταν: N T Ν = m g 0 1 s Από τη σχέση παίρνουμε: 1 cos cos N1 sin N1 sin () Επίσης, για τη στατική τριβή γνωρίζουμε ότι: Ts N Ts και αφού N1 Ts από τη σχέση () έχουμε: 1 cos cos 1 N1 m g m g tan sin sin Τελικά, η ελάχιστη γωνία θ, μεταξύ σκάλας και δαπέδου, για την οποία η σκάλα δεν ολισθαίνει ως προς το δάπεδο είναι: 1 1 min tan ζ) Σε οποιαδήποτε τιμή της γωνίας θ, οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας ικανοποιούν τη σχέση: x L y 4
που είναι εξίσωση κύκλου με ακτίνα L/. Δηλαδή, το κέντρο μάζας κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας L/. ΑΣΚΗΣΗ 3 Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και μάζας Μ μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ΟΟ παράλληλο στον άξονά του. Σφαίρα μάζας m κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με οριζόντια ταχύτητα υ/ και σφηνώνεται στην επιφάνεια του κυλίνδρου σε απόσταση d από τον άξονα ΟΟ. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς το κέντρο μάζας του είναι I 1 M R και αρχικά ο κύλινδρος δεν περιστρέφεται. α) να υπολογίσετε τη στροφορμή της σφαίρας ως προς το σημείο Χ. β) να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος σφαίρα κύλινδρος αφού η σφαίρα έχει σφηνωθεί στην επιφάνεια. γ) αιτιολογήστε αν μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος σφαίρα κύλινδρος αφού η σφαίρα έχει σφηνωθεί στην επιφάνεια, με διατήρηση ενέργειας. (0.5 μονάδα) α) Έστω Β το κέντρο της σφαίρας. Τότε, η στροφορμή της σφαίρας ως προς το σημείο Χ είναι: L XB m / (XB)m / sin kˆ m d kˆ m υ/ όπου ˆk μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στη σελίδα με φορά προς τα μέσα. d R X M B d mυ/ φ β) Εφαρμόζουμε αρχή διατήρησης στροφορμής. Η αρχική στροφορμή δίνεται από τη σχέση ενώ η τελική τιμή της είναι: X 1 L I M R m R T Επιλύοντας ως προς ω βρίσκουμε: m d R (1/ M m) γ) Δεν είναι εφικτό αφού η κρούση είναι ανελαστική και η ενέργεια δε διατηρείται. Επίσης, το ποσό θερμότητας που χάνεται για να σφηνωθεί η σφαίρα δεν μπορεί να εκτιμηθεί. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------