ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Λεμονίδης Χ. (2006). Οι αρχές για τη διδασκαλία και ο εκσυγχρονισμός των αριθμητικών εννοιών στα νέα βιβλία της Α τάξης του δημοτικού σχολείου. Γέφυρες, 30:30-39. ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας e-mail: lemonidi@auth.gr Περίληψη Όπως είναι γνωστό από το Σεπτέμβριο του 2006, μετά από 24 χρόνια αλλάζουν τα σχολικά βιβλία των μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο. Ως μέλος της συγγραφικής ομάδας στην εργασία αυτή θα προσπαθήσω να παρουσιάσω τις βασικότερες αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν στα αναλυτικά προγράμματα και τα βιβλία των μαθηματικών της Α τάξης του Δημοτικού σχολείου. Αρχικά παρουσιάζονται η λογική και οι αρχές που διέπουν τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» που είναι μια άποψη για τη διδασκαλία των μαθηματικών και εφαρμόζεται στα βιβλία των μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Στη συνέχεια αναλύονται οι βασικότερες αλλαγές που πραγματοποιούνται στα περιεχόμενα της αριθμητικής των μαθηματικών της Α τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Ι. Εισαγωγή Ο τίτλος των νέων σχολικών βιβλίων των μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου είναι «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Η ονομασία αυτή αποτελεί επίσης τον τίτλο της άποψης για τη διδασκαλία των μαθηματικών που εκφράζεται από μια επιστημονική ομάδα στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας 1. Η ομάδα αυτή εδώ και πολλά χρόνια πραγματοποιεί έρευνες σχετικά με τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών και με βάση τις έρευνες αυτές κατασκευάζει εκπαιδευτικό υλικό. Μια από τις βασικές ιδέες των μαθηματικών της φύσης και της ζωής είναι ότι τα μαθηματικά που διδάσκονται στο σχολείο πρέπει να είναι πιο κοντά στα ενδιαφέροντα και τον κόσμο των παιδιών. Δίνετε μεγάλη σημασία στις διδακτικές καταστάσεις που χρησιμοποιούνται για να διδαχτούν τα μαθηματικά ώστε να είναι ευχάριστα και να δημιουργούν τη θετική στάση των παιδιών για το μάθημα των μαθηματικών. Για τη διδασκαλία των μαθηματικών επιλέγονται περιεχόμενα από τη 1 Περισσότερα στοιχεία για τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» μπορείτε να βρείτε στην ιστοσελίδα: http://www.eled.uowm.gr/mathslife.html

φύση (π.χ. διάφορα κατοικίδια και άγρια ζώα και πτηνά της Ελλάδος), από την προστασία του περιβάλλοντος, τον πολιτισμό (τέχνη και ζωγραφική στη γεωμετρία) και την ιστορία των μαθηματικών. Ένα μεγάλο μέρος των εργασιών της ερευνητικής αυτής ομάδας αναφέρονται στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών στην πρώτη σχολική ηλικία (Λεμονίδης, Χ., 1994, 1998, 2003β). Στα πλαίσια των εργασιών αυτών εντάσσεται και συγγραφή των σχολικών εγχειριδίων της Α, Β και Γ τάξης του Δημοτικού σχολείου. Δύο από τα εγχειρίδια αυτά της Α και Γ τάξης- θα εφαρμοστούν στα σχολεία από το σχολικό έτος 2006 2007. Τα βιβλία αυτά εφαρμόστηκαν για πολλά χρόνια σε σχολεία της Φλώρινας αλλά και της Θεσσαλονίκης. Με βάση την εφαρμογή στις τάξεις διορθώθηκαν και προσαρμόστηκαν πολλές φορές. Στην εργασία αυτή θα προσπαθήσουμε να παρουσιάζουμε τις διδακτικές αρχές με βάση τις οποίες είναι γραμμένο το βιβλίο της Α τάξης. Θα παρουσιαστούν και θα δικαιολογηθούν επίσης οι αλλαγές στα περιεχόμενα των αριθμών και των πράξεων. ΙΙ. ΟΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΤΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ» Σύνδεση των μαθηματικών με την καθημερινή ζωή. Δαθεματικότητα. Γνωρίζουμε ότι όταν ενεργοποιούμε τα παιδιά σε καταστάσεις και προβλήματα που είναι οικεία για αυτούς και προέρχονται από το βιωματικό τους περιβάλλον, δημιουργούνται περισσότερα κίνητρα και συντελείται αποτελεσματικότερη μάθηση. Θεωρούμε ότι πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη σημασία και προσοχή στα θέματα των διδακτικών καταστάσεων και των προβλημάτων που χρησιμοποιούμε για να διδάξουμε τα μαθηματικά. Τα θέματα αυτά θα πρέπει να είναι ελκυστικά για τους μαθητές ώστε να τους κινούν το ενδιαφέρον για να ασχοληθούν με τα μαθηματικά. Εμείς στα μαθηματικά της φύσης και της ζωής αντλούμε τις καταστάσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε ως αφετηρία για την εισαγωγή των μαθηματικών εννοιών από τη φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση δίνουμε έμφαση σε κανόνες και τρόπους προστασίας του περιβάλλοντος. Όταν λέμε πολιτισμό εννοούμε τη ζωγραφική, τη λαϊκή παράδοση και γενικότερα τα έργα της τέχνης. Εννοούμε επίσης, την ιστορία των ελληνικών αλλά και των παγκόσμιων μαθηματικών. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιούμε κατοικίδια ή άγρια ζώα, έντομα, κ.ά. για να τα μετρήσουν οι μαθητές και να σχηματίσουν αριθμούς ή να τα χωρίσουν σε ομάδες για να αναλύσουν τους αριθμούς σε άθροισμα. Προτείνονται παιχνίδια με νομίσματα ο ταμίας της τράπεζας- για να ασκηθούν οι μαθητές στην πρόσθεση και την ανάλυση των αριθμών. Παρουσιάζονται έργα από τη λαϊκή παράδοση και τη σύγχρονη τέχνη για να διδαχτεί η γεωμετρία. Δίνονται πολλά στοιχεία από την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, οι μικροί ήρωες του βιβλίου ονομάζονται Πυθαγόρας και Υπατία η οποία ήταν η πρώτη γυναίκα μαθηματικός (Εικόνα 1). Με βάση τη διαθεματική ή διεπιστημονική προσέγγιση των μαθηματικών, δίνεται η δυνατότητα στο παιδί να χειριστεί και να ανακαλύψει έννοιες, μέσα σε ένα πλαίσιο που προσφέρει μια σύνδεση μεταξύ αυτών των εννοιών. Η σύνδεση με τα άλλα αντικείμενα δημιουργεί μια πλατιά εννοιολογική βάση, στην οποία η γνώση γίνεται πλουσιότερη και πιο πολύπλευρη. Στο βιβλίο «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» συνδέονται οι μαθηματικές έννοιες τόσο μεταξύ τους όσο και με τα άλλα αντικείμενα. Για παράδειγμα, στην εικόνα 2 οι μαθητές σχηματίζουν τον αριθμό με το σώμα τους. Είναι μια διαθεματική δραστηριότητα με την κινητική αγωγή. Στη

δεύτερη αυτή περίπτωση, η σύνδεση επιτυγχάνεται είτε μέσα από διδακτικές καταστάσεις και δραστηριότητες, είτε μέσα από μεγαλύτερα σχέδια εργασίας (projects). Η σύνδεση αυτή παρουσιάζεται και επεξηγείτε, κάθε φορά, στο βιβλίο του δασκάλου. Εδώ μπορεί να μπει η Εικόνα 1 και 2 Προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Διδασκαλία που ακολουθεί την κατανόηση των μαθητών. Στα πλαίσια μιας παραδοσιακής λογικής για τη διδασκαλία τα περιεχόμενα των μαθηματικών αναπτύσσονται με βάση την επιστημονική δομή και εξέλιξη των εννοιών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, όπως θα δούμε παρακάτω, αυτής της περίπτωσης αποτελεί η εισαγωγή του αριθμού με βάση η θεωρία των συνόλων. Ο αριθμός εισάγεται στους μαθητές με βάση τις έννοιες: του συνόλου, της ταξινόμησης, της σειροθέτησης, της αντιστοίχισης, γιατί αυτές οι έννοιες συγκροτούν επιστημονικά την έννοια του αριθμού στη θεωρία των συνόλων. Στη σύγχρονη διδακτική θεώρηση η ανάπτυξη των περιεχομένων και η διδασκαλία των μαθηματικών γίνεται με βάση την κατανόηση των μαθητών. Οι μαθηματικές έννοιες παρουσιάζονται στα βιβλία αλλά και διδάσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε να βασίζονται στις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών και να δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να ανακαλύψουν και να κατανοήσουν εξελικτικά τις νέες έννοιες. Οι μαθητές ζουν μέσα σ ένα οικογενειακό και γενικότερα κοινωνικό περιβάλλον από το οποίο προσλαμβάνουν πολλές γνώσεις και δεξιότητες είναι αυτό που λέμε η άτυπη γνώση. Στο σχολείο οι μαθητές προτού από τη διδασκαλία μιας καινούργιας έννοιας διαθέτουν πολλές προϋπάρχουσες, γνώσεις σχετικά με αυτήν την έννοια, οι οποίες προέρχονται από το σχολικό ή το εξωσχολικό περιβάλλον (Λεμονίδης, Χ., 2003β, σελ. 37-56). Η διδασκαλία θα πρέπει να παίρνει σοβαρά υπόψη της αυτές τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών και να δομεί τις νέες έννοιες με βάση αυτές τις γνώσεις. Οι μαθητές ανακαλύπτουν και κατασκευάζουν μόνοι τους τη γνώση. Η κίνηση από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο. Σύμφωνα με τα νέα δεδομένα από το χώρο της Ψυχολογίας και της Διδακτικής γνωρίζουμε ότι κάθε άτομο κατασκευάζει μόνο του τη νέα γνώση με βάση τα γνωστικά σχήματα που διαθέτει. Έτσι λοιπόν το άτομο θα πρέπει να έρθει σε επαφή και να χειριστεί κατάλληλες καταστάσεις οι οποίες θα του δώσουν την ευκαιρία να χρησιμοποιήσει την προϋπάρχουσα γνώση του και να κινηθεί ώστε να ανακαλύψει και να κατασκευάσει μόνος του τη νέα γνώση. Τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν με αφορμή διάφορα ερωτήματα και προβλήματα που προέκυπταν μέσα από τη ζωή και το φυσικό περιβάλλον. Οι μαθηματικοί ξεκινώντας από καταστάσεις και προβλήματα της πραγματικότητας με διαδοχικές επεξεργασίες και αφαιρέσεις, ανακάλυπταν γενικούς κανόνες και μαθηματικούς τύπους. Ακολουθούσαν δηλαδή μια πορεία από το συγκεκριμένο και το εμπειρικό προς το αφηρημένο και το

γενικό. Αυτή η πορεία λέγεται «μαθηματικοποίηση» και είναι μια από τις πιο ενδιαφέρουσες διαδικασίες στη δημιουργία των μαθηματικών. Η κλασική διδασκαλία φέρνει ξεκομμένα και αναίτια τους μαθητές μπροστά στα έτοιμα αποτελέσματα των μαθηματικών ή αυτό που λέμε τα φορμαλιστικά μαθηματικά, χωρίς να τους δίνει την ευκαιρία να ακολουθήσουν την πορεία της ανακάλυψης. Με αυτόν τον τρόπο μένουν πολλά ερωτηματικά σχετικά με το γιατί το κάνω και τα μαθηματικά χάνουν το ενδιαφέρον τους και γίνονται ανούσια και δύσκολα για πολλούς μαθητές. Εμείς, στη διδασκαλία που προτείνουμε, θέλουμε να οδηγήσουμε τους μαθητές να ανακαλύψουν μόνοι τους τα μαθηματικά. Να κινηθούν από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο. Όταν λοιπόν ένας μαθητής αντιμέτωπος με ένα καθημερινό πρόβλημα σκέπτεται και ανακαλύπτει μόνος του τις μαθηματικές έννοιες καταλαβαίνει καλύτερα που εφαρμόζονται και γιατί ασχολείται με τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά έτσι είναι πιο λειτουργικά για τον μαθητή, έχουν νόημα και είναι πιο δυναμικά για αυτόν. Στα μαθηματικά της φύσης και της ζωής λοιπόν για να εισαχθούν καινούργιες έννοιες προτείνονται οι εισαγωγικές δραστηριότητες που περιγράφονται στο βιβλίο του δασκάλου. Αυτές οι εισαγωγικές δραστηριότητες έχουν βιωματικό χαρακτήρα. Μπορεί να είναι ένα παιχνίδι, ένα πρόβλημα, ένα λογοτεχνικό κείμενο, κτλ. Τα παιδιά δουλεύουν ομαδικά ή ατομικά σε αυτές τις βιωματικές δραστηριότητες που είναι κατάλληλα επιλεγμένες ώστε να οδηγήσουν τους μαθητές στο να ανακαλύψουν τη νέα μαθηματική έννοια. Στη συνέχεια εργάζονται στο βιβλίο του μαθητή όπου η πρώτη δραστηριότητα είναι προέκταση της εισαγωγικής δραστηριότητας και έχει το σήμα της ανακάλυψης (σκύλος ανιχνευτής). Ένα τέτοιο χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εισαγωγική δραστηριότητα το παιχνίδι του ταμία- που παρουσιάζεται στην εικόνα 3 που χρησιμοποιείται για να εισάγει τους μαθητές στη σχέση των μονάδων και των δεκάδων στους διψήφιους αριθμούς. Εικόνα 3: Η πρώτη σελίδα του βιβλίου του μαθητή μετά το εισαγωγικό παιχνίδι «ο ταμίας» Εδώ μπορεί να μπει η Εικόνα 3 Επικοινωνούμε με τους μαθητές χρησιμοποιώντας διάφορες σημειολογικές αναπαραστάσεις Σε έρευνες έχει δειχθεί ότι σε αρκετές περιπτώσεις όταν τροποποιείται ο σημειολογικός τρόπος παρουσίασης μιας μαθηματικής έννοιας τότε μπορεί να τροποποιηθεί και τη συμπεριφορά των μαθητών (Duval, R., 1995; Lemonidis, Ch., 2003). Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι η διαφοροποίηση των αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων παίζει ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη διδασκαλία και τη μάθηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών (Λεμονίδης, 2003δ). Στη διδασκαλία λοιπόν, παίζει σημαντικό ρόλο ο σημειολογικός τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται στους μαθητές οι διάφορες διδακτικές δραστηριότητες. Ειδικά στις μικρές ηλικίες, η παρουσίαση δραστηριοτήτων με τη χρήση ποικίλων μορφών αναπαράστασης (με φυσικά αντικείμενα, εικονικές αναπαραστάσεις ή συμβολικές αναπαραστάσεις), διαφοροποιεί τη συμπεριφορά των μαθητών και απαιτεί διαφορετικού τύπου γνωστική διαχείριση. Αυτό σημαίνει ότι ο διδάσκων θα πρέπει

να γνωρίζει και να μπορεί να χειρίζεται τις διαφοροποιήσεις στη σημειολογική παρουσίαση των καταστάσεων με βάση τις γνωστικές δυνατότητες των παιδιών. Για παράδειγμα στην εικόνα 4 οι αριθμοί παρουσιάζονται με εικόνες αντικειμένων ή δακτύλων, με σύμβολα (ζάρι) και με σημεία (ψηφίο αριθμού). Μαθησιακά είναι γόνιμο ο μαθητής να χειρίζεται αυτές τις διαφορετικές αναπαραστάσεις και να περνάει από την μια στην άλλη. Εδώ μπορεί να μπει η Εικόνα 4 Καινούργιοι ρόλοι για το δάσκαλο Με βάση όσα αναφέρονται παραπάνω και το πνεύμα της σύγχρονης διδασκαλίας που υιοθετούμε στα «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής», απαιτείται από το δάσκαλο ένας νέος ρόλος μέσα στην τάξη. Από αναμεταδότης της γνώσης θα πρέπει να γίνει φορέας προβληματισμού και συντονιστής στη διαδικασία της κατασκευής της γνώσης από τον ίδιο το μαθητή. Ο δάσκαλος θα επιδιώκει να καταλάβει τον τρόπο με τον οποίο ο μαθητής κατανοεί τις μαθηματικές έννοιες, να εκτιμά τις προϋπάρχουσες γνώσεις του, να δίνει σημασία στα λάθη των παιδιών και προσπαθεί να ερμηνεύσει τις αιτίες τους. Ο δάσκαλος δε πρέπει να μένει προσκολλημένος στο διδακτικό εγχειρίδιο και στη σειρά παρουσίασης της ύλης, αλλά να κινείται ελεύθερα με βάση το επίπεδο των μαθητών της τάξης του. Συνεπώς, πολλές διδακτικές καταστάσεις και ασκήσεις ο δάσκαλος μπορεί να τις προσαρμόσει ή και να τις αντικαταστήσει με καινούργιες δραστηριότητες. Σχετικά με τη διαχείριση της τάξης, ο δάσκαλος δεν θα πρέπει να είναι η αυθεντία που μονοπωλεί συνεχώς το λόγο αλλά να διαδραματίζει περισσότερο το ρόλο του οργανωτή, του συντονιστή και αυτού που θέτει προβλήματα και ζητά εξηγήσεις. Μέσα στην τάξη θα πρέπει να πραγματοποιείται συζήτηση, να παρουσιάζονται διαφορετικές λύσεις και επεξηγήσεις και οι μαθητές να εργάζεται ομαδικά ή και ατομικά για να κατανοήσουν τις μαθηματικές έννοιες. Οι επιστολές στους γονείς και η συμμετοχή τους στη διδασκαλία των μαθηματικών Η επικοινωνία των γονέων με το σχολείο γίνεται μέσα από τις συναντήσεις του δασκάλου με τους γονείς, τη συμμετοχή στο σύλλογο γονέων και τις σχολικές γιορτές. Εμείς στα βιβλία των Μαθηματικών της φύσης και της ζωής προσθέτουμε ακόμη μια διαδικασία επικοινωνίας με το γονέα την επιστολή προς το γονέα. Θέλουμε, όσοι γονείς το επιθυμούν, να νιώσουν ότι είναι συμμέτοχοι και εμπλέκονται ενεργά στη διαδικασία μάθησης των παιδιών τους. Σε κάθε ενότητα των Μαθηματικών της φύσης και της ζωής περιλαμβάνεται μια επιστολή προς το γονέα /κηδεμόνα, περιλαμβάνονται δηλαδή συνολικά εννιά επιστολές προς τους γονείς. Σε κάθε μια από αυτές τις επιστολές γίνεται προσπάθεια να εξηγηθεί στο γονέα /κηδεμόνα τι θα διδαχτεί το παιδί του στο σχολείο. Όπου χρειάζεται, δίνονται πρόσθετες επεξηγήσεις σχετικά με τον τρόπο που μαθαίνει το παιδί, τις ιδιαιτερότητες αυτής της μάθησης, τα εμπόδια κτλ. Τέλος προτείνονται ιδέες για δραστηριότητες και παιχνίδια με τα παιδιά στο σπίτι. Θεωρούμε ότι οι γονείς, αν θέλουν να βοηθήσουν τα παιδιά τους στα μαθηματικά, θα πρέπει να κάνουν εφαρμογές στο περιβάλλον της οικογένειας των μαθηματικών που

μαθαίνουν τα παιδιά στο σχολείο. Οι γονείς μπορούν να παίξουν μαζί με τα παιδιά τους διάφορα παιχνίδια τα οποία βασίζονται σε μαθηματικές έννοιες όπως είναι το φιδάκι, το τάγκραμ κ.ά. Να θέσουν στα παιδιά τους ερωτήσεις και να συζητήσουν για διάφορα θέματα όπου εμφανίζονται μαθηματικές έννοιες. Με αυτό τον τρόπο τα παιδιά θα αισθανθούν ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο είναι σημαντικά αφού ενδιαφέρονται και μπορούν να μιλήσουν για αυτά με τους γονείς τους. Θα αισθανθούν επίσης ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο δεν περιορίζονται μόνο στο σχολικό περιβάλλον αλλά βρίσκουν εφαρμογή και στην καθημερινή ζωή. ΙΙΙ. ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Εισάγονται αμέσως οι αριθμοί Στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα δεν γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ προαριθμητικών και αριθμητικών εννοιών όπως γινόταν στο παλιό πρόγραμμα μέσα από μια στρουκτουραλιστική λογική διδασκαλίας με βάση τα σύνολα (Λεμονίδης, Χ., 1998α). Στο παλιό βιβλίο δηλαδή οι μαθητές έπρεπε να φτάσουν μέχρι το μάθημα 28 για να συναντήσουν τους πρώτους αριθμούς (1, 2, 3, 4 και 5). Μέχρι τότε προετοιμάζονταν για τους αριθμούς με τις προαριθμητικές έννοιες αντιστοιχίσεις, σειροθετήσεις, ταξινομήσεις, κτλ.-. Αυτή ήταν μια διδασκαλία που ακολουθούσε τη λογική της επιστημονικής γνώσης και όχι της κατανόησης του μαθητή. Επιστημονικά στη θεωρία των συνόλων για να οριστεί η έννοια του αριθμού χρησιμοποιούνται οι έννοιες του συνόλου, της αντιστοίχισης, της σειροθέτησης και της ταξινόμησης. Η νέα διδασκαλία για την εισαγωγή των αριθμών ακολουθεί το δρόμο της κατανόησης του μαθητή. Η νέα γνώση δομείται με βάση τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Οι μαθητές όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο έχουν αρκετές γνώσεις σχετικά με τους αριθμούς (Λεμονίδης, Χ., 2003β, σελ. 37-56). Οι αριθμοί εισάγονται με δραστηριότητες της καθημερινής ζωής, οι οποίες καταδεικνύουν την αναγκαιότητα ύπαρξής τους, ενώ παράλληλα οι μαθητές παροτρύνονται να χρησιμοποιούν τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους. Προτείνονται δηλαδή καταστάσεις όπως είναι η σύγκριση ποσοτήτων μεταξύ τους, η εκτίμηση μιας ποσότητας, η καταγραφή μιας ποσότητας με τη χρήση συμβόλων χωρίς την παρουσία της κ.λπ. Προτείνονται πολλές δραστηριότητες σχετικές με την προφορική αρίθμηση και την απαρίθμηση (καταμέτρηση) αντικειμένων επειδή είναι εύκολες και οι μαθητές διαθέτουν πολλές προϋπάρχουσες γνώσεις σχετικά με αυτές. Αριθμοί μέχρι το 100 Στα παλιά βιβλία διδάσκονταν οι αριθμοί μέχρι το 20, με βάση το νέο αναλυτικό πρόγραμμα οι αριθμοί θα διδάσκονται μέχρι το 100. Αυτό που αλλάζει στα νέα σχολικά βιβλία είναι η σχέση μεταξύ του μεγέθους των αριθμών και του μεγέθους των αριθμών στις πράξεις. Στα παλιά βιβλία διδάσκονταν ταυτόχρονα οι αριθμοί και πράξεις μέχρι κάποιο συγκεκριμένο μέγεθος, π.χ. αριθμοί μέχρι το 5 και πράξεις μέχρι το 5, αριθμοί μέχρι το 10 και πράξεις μέχρι το 10. Στα νέα βιβλία αυτό αλλάζει, διδάσκονται αριθμοί σε μεγαλύτερο μέγεθος από ότι οι αριθμοί των πράξεων. Η ύλη

του νέου βιβλίου είναι χωρισμένη σε τρεις περιόδους. Στην πρώτη περίοδο διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 20 και προσθέσεις με αριθμούς μέχρι το 10. Στη δεύτερη περίοδο διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 50 και προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 10. Στη τρίτη περίοδο διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 100 και προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 20. Διδάσκονται επίσης προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μεγαλύτερους από το 20 όπου οι αριθμοί είναι δεκάδες π.χ. 40-20, 60-30. Οι πράξεις αυτές με αριθμούς μεγαλύτερους του 20 έχουν ως στόχο την εξάσκηση των μαθητών στους διψήφιους αριθμούς μέχρι το 100 και τους κανόνες του συστήματος αρίθμησης. Η επιλογή αυτή, να διδάσκονται δηλαδή αριθμοί μέχρι το 100 και οι αριθμοί να είναι μεγαλύτεροι σε μέγεθος από ότι το μέγεθος των αριθμών στις πράξεις έγινε για τους εξής λόγους: Η μάθηση των αριθμών και των πράξεων σ αυτήν την τάξη είναι αλληλένδετη. Η μάθηση των αριθμών βοηθάει πολύ τη μάθηση των πράξεων και αντίστροφα. Για παράδειγμα, σε μια έρευνα που έγινε στο τέλος της Α τάξης (Χ. Λεμονίδης 1998β) προτάθηκαν οι προσθέσεις 10+4, 10+6 και η αφαίρεση 16-6. Οι πράξεις αυτές αναφέρονται κυρίως στους διψήφιους αριθμούς και τις ιδιότητες του συστήματος αρίθμησης. Στις προσθέσεις έχουμε τη δεκάδα συν τις μονάδες ενός αριθμού και στην αφαίρεση βγάζουμε τις μονάδες από ένα διψήφιο αριθμό. Τα αθροίσματα αυτά (της μορφής 10+ν) θεωρούνται εύκολα, γιατί στην εύρεση του αποτελέσματος βοηθάει πολύ η γλώσσα. Το αποτέλεσμα το λέει η ίδια η λέξη, π.χ. 10+4=14 (δεκατέσσερα), που είναι σύνθεση των δύο λέξεων των προσθετέων. Παίρνοντας υπόψη λοιπόν το δεδομένο αυτό και παρατηρώντας τα ποσοστά των διαδικασιών που χρησιμοποίησαν οι μαθητές για την επίλυση των δύο προσθέσεων, διαπιστώθηκε ότι μόνο οι μισοί μαθητές χρησιμοποίησαν ολόκληρους τους αριθμούς και με τις διαδικασίες της άμεσης ανάκλησης από τη μνήμη κατέληξαν στο αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Διαπιστώσαμε ότι ένα ποσοστό 37% για το 10+4 και 29% για το 10+6 χρησιμοποίησαν διαδικασίες αρίθμησης ένα προς ένα και ένα ποσοστό 13% για το 10+4 και 16,5% για το 10+6 χρησιμοποιούν διαδικασίες με υλικά και κυρίως αντικείμενα για να υπολογίσουν το αποτέλεσμα. Η αφαίρεση 16-6 είναι της μορφής 1ν-ν, δηλαδή από το διψήφιο αριθμό αφαιρείται ένας μονοψήφιος αριθμός που είναι ίσος με το ψηφίο των μονάδων. Η αφαίρεση αυτή θεωρείται εύκολη και περιμένουμε να την απαντήσουν οι μαθητές χρησιμοποιώντας ολόκληρους τους αριθμούς με διαδικασίες ανάκλησης από τη μνήμη, γιατί αφενός εφαρμόζεται μια βασική αρχή του συστήματος αρίθμησης, δηλαδή από ένα διψήφιο αριθμό αφαιρείται το ψηφίο των μονάδων, και αφετέρου βοηθάει και η γλώσσα στην υποδήλωση του αποτελέσματος (δεκαέξι - έξι = δέκα). Στην αφαίρεση 16-6 παρουσιάστηκε μικρό ποσοστό επιτυχίας (69%). Όσον αφορά τις διαδικασίες που χρησιμοποίησαν οι μαθητές έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Μόνο το 48% των μαθητών χρησιμοποίησε ολόκληρους τους αριθμούς με διαδικασίες ανάκλησης από τη μνήμη και από αυτούς μόνο το 35,5% των μαθητών υπολόγισε σωστά τη διαφορά, χρησιμοποιώντας διαδικασίες ανάκλησης. Το 16,5% των μαθητών χρησιμοποίησε διαδικασίες αρίθμησης και αρκετά μεγάλο ποσοστό χρησιμοποίησε διαδικασίες με υλικά (26%) και μάλιστα η πλειοψηφία από αυτούς, το 23%, χρησιμοποίησε τα αντικείμενα για να υπολογίσει. Μαθητές, λοιπόν, που δεν είναι εξασκημένοι στους αριθμούς για να υπολογίζουν τέτοιες προσθέσεις και αφαιρέσεις, καλούνται να κάνουν προσθέσεις και αφαιρέσεις όπως 8+6 και 14-6 με τη μέθοδο της υπέρβασης της δεκάδας. Δηλαδή, στην πρόσθεση θα πρέπει να υπολογίσουν χρησιμοποιώντας τα τρία αθροίσματα: 6=4+2, 8+2=10 και 10+4=14 και στην αφαίρεση να υπολογίσουν χρησιμοποιώντας τις πράξεις: 6=4+2, 14-4=10 και 10-2=8. Οι μαθητές λοιπόν που δεν μπορούν να χειριστούν τις πράξεις 10+4=14 και 14-4=10 με άμεση ανάκληση από τη μνήμη και

μετρούν με αρίθμηση ή με αντικείμενα ένα προς ένα είναι σίγουρο ότι θα δυσκολευτούν να κάνουν υπολογισμούς με τη μέθοδο της υπέρβασης της δεκάδας. Έτσι λοιπόν στις περισσότερες χώρες της Ευρώπης και της Αμερικής με σύγχρονα εκπαιδευτικά συστήματα οι μαθητές στην Α τάξη διδάσκονται τους αριθμούς μέχρι το 100. Τα παιδιά σήμερα ζουν μέσα σε ένα ψηφιακό περιβάλλον και έχουν πολλές εμπειρίες αριθμών από την καθημερινή τους ζωή. Η μάθηση των αριθμών τους είναι ευχάριστη και τους μαθαίνουν σχετικά εύκολα όταν η διδασκαλία μεθοδεύεται σωστά. Αθροιστική ανάλυση και σύνθεση των αριθμών Θεωρούμε την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών σε άθροισμα μια πολύ σημαντική διαδικασία την οποία χρησιμοποιούμαι πολύ στη μάθηση των αριθμών και έχει ευεργετικά αποτελέσματα στην ικανότητα των μαθητών να εκτελούν πράξεις. Από την αρχή ακόμη της εισαγωγής των αριθμών φροντίζουμε να συνυπάρχει και η λογική της αθροιστικής ανάλυσης των αριθμών. Χρησιμοποιούμε χειραπτικά εκπαιδευτικά υλικά για την αισθητοποίηση των αριθμών που παρουσιάζουν μια αθροιστική δομή των ποσοτήτων όπως είναι το δίχρωμο αριθμητήριο, οι βάσεις και τα ζάρια. Στο δίχρωμο αριθμητήριο παρουσιάζονται οι ποσότητες (χάντρες) οργανωμένες με βάση τη δεκάδα π.χ. το 14 είναι 10 χάντρες της πρώτης σειράς του αριθμητηρίου και 4 χάντρες από τη δεύτερη σειρά-, αλλά και με βάση το πέντε. Οι πέντε χάντρες μιας σειράς είναι διαφορετικού χρώματος από τις άλλες πέντε. Έτσι ο αριθμός επτά παρουσιάζεται ως άθροισμα του 5 και 2, πέντε χάντρες ενός χρώματος και 2 χάντρες άλλου χρώματος (βλέπε, Χ. Λεμονίδης 2003α). Περισσότερος χρόνος και μεγαλύτερη έμφαση στην ονομασία και διάκριση μονάδων και δεκάδων Στα βιβλία που ίσχυαν μέχρι το 2006, όταν παρουσιάζονταν οι διψήφιοι αριθμοί, χωρίς να προηγηθεί κανένα προπαρασκευαστικό στάδιο, γινόταν αμέσως με έναν φορμαλιστικό τρόπο η ανάλυση των αριθμών σε δεκάδες και μονάδες (Λεμονίδης, Χ., 2003γ). Στα νέα βιβλία αφιερώνεται περισσότερος χρόνος (τρία μαθήματα) και δίνεται μεγαλύτερη έμφαση στην εισαγωγή της ανάλυσης των διψήφιων αριθμών σε δεκάδες και μονάδες. Οι μαθητές διδάσκονται και χειρίζονται από πολύ νωρίς τους διψήφιους αριθμούς χωρίς να αναφέρονται στην ανάλυσή τους σε δεκάδες και μονάδες. Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια σταδιακή μετάβαση στη διάκριση των δεκάδων και των μονάδων, με βάση τις ικανότητες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Οικίες καταστάσεις, για τους μαθητές, οι οποίες τους οδηγούν στο διαχωρισμό των δεκάδων και των μονάδων, είναι η καταμέτρηση με ομαδοποίηση ανά δέκα συλλογών με μεγάλο πλήθος αντικειμένων, ανταλλαγές νομισμάτων κ.ά. Επίσης γλωσσική σύνθεση των αριθμών-λέξεων βοηθάει πολύ και κάνει εύκολη την ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα δεκάδων και μονάδων, π.χ. το τριάντα έξι είναι τριάντα και έξι. Έτσι λοιπόν ασκούμε τους μαθητές στην εύρεση αθροισμάτων και διαφορών της μορφής, 10+ν, 20+ν, 30+ν, 1ν-ν, 2ν-ν, 3ν-ν,, π.χ. 20+4=24, 24-4=20. Δηλαδή, να βρίσκω τους αριθμούς που προκύπτουν όταν προσθέτω ή αφαιρώ από διψήφιους αριθμούς τις μονάδες. ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ

Στρατηγικά αθροίσματα και διαφορές Κάποια αθροίσματα και διαφορές τα θεωρούμε στρατηγικά γιατί τα χρησιμοποιούμε ως βάση για να υπολογίζουμε άλλες πράξεις. Αυτά τα αθροίσματα και οι διαφορές είναι τα εξής: - Άθροισμα ή διαφορά μεταξύ των μονάδων και των δεκάδων ενός διψήφιου αριθμού: π.χ. 10+7, 30+5, 15-5, 24-4. Το αποτέλεσμα των αθροισμάτων αυτών είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν γιατί σ αυτό βοηθάει η φυσική γλώσσα Δέκα + επτά = δεκαεπτά, τριάντα + πέντε = τριανταπέντε - Αθροίσματα της μορφής 5+ν: 5+1=6, 5+2=7, Εκτός από το 10, στους μικρούς αριθμούς σημαντικός αριθμός είναι και το πέντε. Πέντε είναι τα δάκτυλα του ενός χεριού, έτσι για παράδειγμα το έξι εύκολα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως πέντε και ένα. Δείχνουμε, λοιπόν, τους αριθμούς μεταξύ του πέντε και του δέκα πώς αναλύονται με βάση το πέντε (6=5+1, 7=5+2, ) - Τα διπλά ή όμοια αθροίσματα (ν+ν): 1+1, 2+2, 3+3, 4+4, - Το μισό ενός αριθμού (διαφορές της μορφής 2ν-ν): 2-1, 4-2, 6-3, 8-4, κτλ. Τα διπλά αθροίσματα και οι διαφορές με το μισό ενός αριθμού, όπως δείχνουν οι έρευνες στην ψυχολογία, είναι από τα πρώτα που αποθηκεύονται στη μνήμη μακράς διάρκειας. Οι μαθητές, λοιπόν, είναι από τα πρώτα αθροίσματα ή διαφορές που ξέρουν απέξω. - Τα συμπληρώματα του 10: 1+9=, 2+8=, 3+7=, κτλ. ή 3+ =10, 4+ =10 Τα συμπληρώματα του 10 ή τα συμπληρώματα σε οποιαδήποτε επόμενη δεκάδα (π.χ. 37+3=40, 54+ =60) είναι αυτά που χρησιμοποιούνται πολύ στους υπολογισμούς των πράξεων. Νοεροί υπολογισμοί Νοερούς ή νοητικούς υπολογισμούς λέμε τους υπολογισμούς με το μυαλό χωρίς να χρησιμοποιήσουμε μολύβι και χαρτί. Ανάμεσα στους υπολογισμούς που πραγματοποιούν οι ενήλικοι στην καθημερινή τους ζωή οι νοεροί υπολογισμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται περισσότερο (Wandt, E. and Brown, G.W., 1957). Σε πολλές έρευνες επισημαίνεται η σημαντική θέση που κατέχουν οι νοεροί υπολογισμοί στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών. Ο Ian Thompson (1999, p.147) επισημαίνει τέσσερις βασικούς λόγους για τους οποίους πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί: 1) χρησιμοποιούνται περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. 2) δημιουργούν καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της έννοιας του αριθμού (Mclntosh, 1990, Sowder, 1990). 3) Η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων. 4) βοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Ενώ στα παλαιά βιβλία έλλειπαν παντελώς στη νέα σειρά των βιβλίων μας «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» δίνουμε μεγάλη σημασία και αφιερώνουμε πολύ χρόνο στους νοερούς υπολογισμούς. Πολύ συχνά, στο επάνω μέρος της σελίδας του βιβλίου μέσα σε ορθογώνιο πλαίσιο, με σήμα τον Πυθαγόρα που σκέφτεται, προτείνονται νοεροί υπολογισμοί. Οι νοεροί υπολογισμοί στην Α τάξη αναφέρονται στις πράξεις -προσθέσεις και αφαιρέσεις- αλλά και στους αριθμούς. Στους αριθμούς ζητείται να βρεθεί για παράδειγμα ο αριθμός που έχει 3 δεκάδες και 7 μονάδες. Στο βιβλίο του δασκάλου στις διδακτικές οδηγίες αλλά και σε άλλα σημεία του βιβλίου εξηγούμαι και δίνουμε μεγάλη βαρύτητα στους τρόπους ή στις στρατηγικές με τις

οποίες υπολογίζουν οι μαθητές τις πράξεις. Οι δάσκαλοι θα πρέπει να γνωρίζουν τις διάφορες στρατηγικές που μπορεί να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές τους όταν υπολογίζουν. Υπάρχουν πολλές στρατηγικές ή διαδικασίες που αναπτύσσουν οι μαθητές κατά την εκτέλεση των νοερών υπολογισμών. Στη βιβλιογραφία μπορούμε να τις βρούμε με βάση το είδος των πράξεων και το μέγεθος των αριθμών. Μπορούμε να βρούμε λοιπόν στρατηγικές των μαθητών για τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 20 (Steffe, L.P., Cobb, P., 1988, K. Fuson, K.C., 1992, Λεμονίδης, Χ., 1998). Κατά τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών στην τάξη θα πρέπει να δίνεται ο λόγος στο παιδί για να μιλήσει και να εκθέσει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε και υπολόγισε την πράξη. Το παιδί όταν μιλάει και λέει τον τρόπο με τον οποίο υπολόγισε αναστοχάζεται, σκέφτεται πως σκέφτηκε. Αυτή η διαδικασία λέγεται μεταγνωστική και είναι για το παιδί μια πολύ χρήσιμη διανοητική ενεργεία. Στην τάξη θα πρέπει να υπάρχει πλουραλισμός και να ακούγονται όλες οι προτάσεις και οι τρόποι σκέψης των μαθητών. Οι μαθητές ακούνε τους συμμαθητές τους και βλέπουν και άλλους τρόπους υπολογισμού που μπορεί να εφαρμοστούν. Οι δάσκαλοι ακούνε τους μαθητές τους και γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται και υπολογίζουν. VI. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από όσα παρουσιάζονται παραπάνω φαίνεται ότι το νέο βιβλίο των μαθηματικών της Α τάξης βασίζεται σε σύγχρονες μαθητοκεντρικές διδακτικές αρχές. Δίνεται βαρύτητα στα θέματα μέσω των οποίων ανακαλύπτονται και παρουσιάζονται οι μαθηματικές έννοιες ώστε να είναι ευχάριστα και να προκαλούν το ενδιαφέρον των μαθητών. Από τους μαθητές ζητείται να ανακαλύψουν μόνοι τους τα μαθηματικά μέσω τις ενασχόλησης τους με ευχάριστες και χρήσιμες διδακτικές καταστάσεις. Τα περιεχόμενα εκσυγχρονίστηκαν με βάση δεδομένα από διεθνής αλλά και ελληνικές έρευνες στη διδακτική των μαθηματικών. Ο εκσυγχρονισμός των περιεχομένων έχει πάλι ως βάση του το παιδί, τώρα ξέρουμε καλύτερα, από ότι τις προηγούμενες δεκαετίες, πως σκέφτεται το παιδί και ποιες είναι οι κατάλληλες διδακτικές διαδικασίες για το οδηγήσουμε σε μια πιο ουσιαστική μάθηση. Τα βιβλία των τριών πρώτων τάξεων των Μαθηματικών της φύσης και της ζωής δοκιμάστηκαν για πολλά χρόνια σε σχολεία της Φλώρινας αλλά και της Θεσσαλονίκης και φάνηκε ότι τα παιδιά μαθαίνουν πολύ καλύτερα από ότι με τα προηγούμενα βιβλία (Λεμονίδης, Χ., 2003β). Όπως φαίνεται επίσης στη λογική των νέων βιβλίων ζητείται από το δάσκαλο μια διδακτική συμπεριφορά πιο σύγχρονη που διαφέρει από την παλιά δασκαλοκεντρική συμπεριφορά. Όσο οι δάσκαλοι εκσυγχρονίζουν και προσαρμόζουν τον τρόπο δουλειάς τους στα νέα δεδομένα τόσο οι μαθητές θα μαθαίνουν καλύτερα τα μαθηματικά και θα ωφελούνται περισσότερο από αυτά. Εμείς ως συγγραφείς προσπαθήσαμε να προσφέρουμε ότι καλύτερο μπορούσαμε. Το αποτέλεσμα αυτής της εργασίας μένει να φανεί από την εφαρμογή των βιβλίων στις τάξεις. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Fuson, K. C. (1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 243-275). New York: Macmillan.

Χ. Λεμονίδης (1994). Γιατί και πώς χρησιμοποιούν οι μαθητές τα δάκτυλά τους στην εκτέλεση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων. Διάσταση, Τεύχος,2-3, σσ. 96-112. Λεμονίδης, Χ., (1998α). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. τ. 3 σσ. 87-122. Λεμονίδης, Χ., (1998β). Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας του Πανεπιστημίου Κρήτης στη Διδακτική των Μαθηματικών. σσ. 161-174. Λεμονίδης, Χ. (2003α). Μια διαφορετική διδασκαλία των αριθμών και των πράξεων στην αρχή του σχολείου. Γέφυρες. Τεύχος 9, σελ. 22-29. Λεμονίδης, Χ. (2003β). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα. Λεμονίδης, Χ., (2003γ). Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 189-198. Λεμονίδης, Χ., (2003δ), Η αναπαράσταση των ποσοτήτων στις αριθμητικές έννοιες και η ικανότητα των υποψηφίων δασκάλων να τις χειριστούν. Επιστημονική επετηρίδα της Ψυχολογικής Εταιρείας Βορείου Ελλάδος, τόμος 1, σελ. 291-308, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα. Lemonidis, Ch. (2003). L enseignement des premières notions arithmétiques selon l analyse des différentes représentations des quantités. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives vol. 9, (parti 2) des actes du colloque Argentoratum 2002, pages 103 117. Strasbourg, France. McIntosh, A. (1990). Becoming numerate: developing number sense. In S. Willis (ed.), Being Numerate: What Counts? pp. 24-43. Hawthorn, Victoria: ACER (Australian, Council for Educational Research). Sowder, J. T. (1990). Mental computation and number sense. Arithmetic Teacher, 37(7), 18 20. Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. Thompson, I., (1999). Written methods of calculation, in I. Thompson (ed.), Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools, Open University Press, Buckingham, pp. 169 183. Wandt, E. And Brown, G.W., (1957). Non-occupational uses of mathematics. Arithmetic Teacher, 4: 151-4.