Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ
Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 11/199, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας, Άλγεβρα Α Λυκείου, β τόμος Διορθώσεις: Νάντια Κουτσουρούμπα Υπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη), Δ. Διαμαντίδης, Γ. Ευθυμίου, Α. Κουπετώρης και Ι. Σταμπόλας, Αθήνα, 014 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Ιανουάριος 015 Κ.Ε.Τ. 8779 Κ.Ε.Π. 01/15 ISBN (set.) 978-960-16-554- ISBN (vol. ) 978-960-16-550-4 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 104 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.6.50.000, 10.5.05.600, 801.100.665, ΦΑΞ: 10.6.50.069 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.8.1.078 YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), 570 09 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 11, ΤΗΛ.: 10.70.6.54, 10.70.67.15, ΦΑΞ: 10.70.6.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16. Ανισώσεις 1ου βαθμού.................................................. 7 Επίλυση ανίσωσης Επίλυση συστήματος ανισώσεων......................... 9 Παραμετρικές ανισώσεις................................................ 18 Σύνθετες ανισώσεις (με απόλυτα και ρίζες)................................. Γενικές Ασκήσεις...................................................... 0 Φύλλο εργασίας στις ανισώσεις ου βαθμού................................... 17. Ανισώσεις ου βαθμού................................................. 5 Μορφές τριωνύμου Πρόσημο τριωνύμου.................................. 9 Επίλυση ανισώσεων ου βαθμού.......................................... 46 Συνθήκες δευτεροβάθμιων παραμετρικών εξισώσεων και ανισώσεων............. 5 Γενικές Ασκήσεις...................................................... 59 8ο Κριτήριο Αξιολόγησης.............................................. 61 18. Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο................................. 6 Πρόσημο γινομένου-πηλίκου Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο......... 65 19. Επαναληπτικές Ασκήσεις.............................................. 75 ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα........................................... 81 Φύλλο εργασίας στις ακολουθίες............................................ 8 0. Ακολουθίες.......................................................... 85 * Υπολογισμός ν-οστού ν όρου ακολουθίας Εύρεση αναδρομικού τύπου από τον γενικό όρο Εύρεση γενικού όρου από τον αναδρομικό τύπο............ 88 1. Αριθμητική πρόοδος.................................................. 96 Εύρεση στοιχείων αριθμητικής προόδου (Α.Π.)............................. 98 Απόδειξη ότι μία ακολουθία είναι Α.Π.................................... 108 Αριθμητικός μέσος Διαδοχικοί όροι Α.Π. (δ.ό.α.π.)........................ 111 Αριθμητική παρεμβολή................................................ 118 Προβλήματα......................................................... 10 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 1. Γεωμετρική πρόοδος................................................. 14 Εύρεση στοιχείων γεωμετρικής προόδου (Γ.Π.)............................. 16 Απόδειξη ότι μία ακολουθία είναι Γ.Π..................................... 14 Διαδοχικοί όροι Γ.Π. (δ.ό.γ.π.).......................................... 17 Γεωμετρική παρεμβολή................................................ 145 Ανατοκισμός......................................................... 147 Προβλήματα......................................................... 151 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 15
Περιεχόμενα. Επαναληπτικές Ασκήσεις............................................. 155 4ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα.......................................... 158 4. Η έννοια της συνάρτησης............................................. 160 Πεδίο ορισμού συνάρτησης............................................. 165 Εύρεση τιμών συνάρτησης Σύνολο τιμών................................ 174 Προβλήματα......................................................... 18 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 185 9ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 189 Φύλλο εργασίας στις καρτεσιανές συντεταγμένες και στη γραφική παράσταση συνάρτησης............................................................. 191 5. Καρτεσιανές συντεταγμένες........................................... 195 Καρτεσιανές συντεταγμένες............................................ 199 Αποστάσεις σημείου από άξονες και σημείου από σημείο Κύκλος κέντρου Ο 0, 0............................................... 04 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 14 10ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 16 6. Γραφική παράσταση συνάρτησης...................................... 18 Σχετική θέση και σημεία τομής γραφικών παραστάσεων...................... 0 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 9 11ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 40 Φύλλο εργασίας στην ευθεία............................................... 4 7. Η συνάρτηση α β f x x........................................... 45 Ο ρόλος των παραμέτρων α και β της ευθείας y αx β..................... 48 Γραφική παράσταση ευθείας............................................ 55 Σχετική θέση δύο ευθειών.............................................. 65 Εύρεση τύπου ευθείας................................................. 7 Γενικές Ασκήσεις..................................................... 8 1ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 87 Φύλλο εργασίας στην f x αx.......................................... 89 8. Μελέτη των συναρτήσεων f x αx και f x αx βx γ, Η συνάρτηση f x αx και οι συναρτήσεις της μορφής α Σύνδεση του τύπου της συνάρτησης f x αx βx γ, α 0, με α 0...... 9 f x x p q... 04 με τη γραφική της αναπαράσταση.................................................... 18 Άλλες συναρτήσεις................................................... Γενικές Ασκήσεις..................................................... 46 9. Επαναληπτικές Ασκήσεις............................................. 48 4
Περιεχόμενα Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις.......................................... 59 Σύνθετα θέματα Προσομοίωση τράπεζας................................... 81 Τεστ Σωστού Λάθους................................................... 97 1ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 99 ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 40 ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 405 4ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 408 5ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 411 6ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 416 Απαντήσεις Τεστ Σωστού Λάθους......................................... 418 Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτων και προτάσεων σχολικού βιβλίου......... 419 Ενδεικτικές Λύσεις Απαντήσεις........................................... 45 Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.................................. 559 Τυπολόγιο.............................................................. 608 5
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤHN ΕΥΘΕΙΑ 1) Έστω το σημείο Α, του καρτεσιανού επιπέδου. Να βρείτε τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτουν, αν ξεκινώντας κάθε φορά από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα (μονάδες) παράλληλα με τον άξονα x x και στη συνέχεια κ παράλληλα με τον άξονα y y, για κ 1,,, 1,, και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. (Όταν τα κ και κ είναι θετικά, εννοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά των αξόνων, κι όταν είναι αρνητικά, κατά την αρνητική φορά.) Βήματα κ 1 Τετμημένη x του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα Τεταγμένη y του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα y x 1 4
Φύλλο εργασίας στην ευθεία Μπορείτε να υποθέσετε σε τι είδους γραμμή θα βρίσκονται όλα τα σημεία που μπορεί να προκύψουν με αυτή τη διαδικασία; Απ.:... ) Έστω το σημείο Α 1, του καρτεσιανού επιπέδου. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες που αφορούν τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτουν αν ξεκινώντας από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα παράλληλα με τον άξονα x x και ακ βήματα παράλληλα με τον άξονα y y για τις τιμές του α που δίνονται. (Όταν τα κ και ακ είναι θετικά, εννοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά των αξόνων, κι όταν είναι αρνητικά, κατά την αρνητική φορά.) α 1 κ x y 1 1 5 4 y 1 x 1 α κ x y 1 1 5 4 y 1 x ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ α κ x y 1 1 5 4 y 1 x 4
Φύλλο εργασίας στην ευθεία ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ) Λαμβάνοντας υπόψη τους πίνακες του ερωτήματος (), να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα απαντώντας στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Παρατηρώντας την τελευταία στήλη κάθε πίνακα του ερωτήματος (), μπορείτε να διατυπώσετε κάποια σχέση που να συνδέει τις συντεταγμένες x και y του σημείου M; β) Ποια είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραμμής με τον άξονα y y; γ) Να λύσετε τη σχέση του ερωτήματος (α) ως προς y. Πώς συνδέεται το αποτέλεσμα του ερωτήματος (γ) με την τεταγμένη του σημείου τομής με τον άξονα y y και με τον α; Απ.:... Τον αριθμό α τον ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας. α 1 1 Ερώτηση (α) Ερώτηση (β) Ερώτηση (γ) 4) Ποια σχέση συνδέει τις συντεταγμένες των σημείων Α x, y μιας ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, β και έχει συντελεστή διεύθυνσης α; Απ.:... 5) Έστω τα σημεία Α 1, και, Β του καρτεσιανού επιπέδου. α) Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης που διέρχεται από τα σημεία Α και Β; Απ.:... β) Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Β στη σχέση y αx β, να βρείτε τον β. Απ.:... γ) Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β; Απ.:... 44
7 H συνάρτηση f(x) = αx + β ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο η οποία τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α. Έστω ΟΡΙΣΜΟΣ Γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x x λέμε τη γωνία που διαγράφει η ημιευθεία Αx μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε, όταν η ημιευθεία αυτή στραφεί κατά τη θετική φορά. Θετική φορά ορίζουμε τη φορά περιστροφής που είναι αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού. Αν μια ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα x x ή συμπίπτει με αυτόν, λέμε ότι σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 0. Για τη γωνιά ω που σχηματίζει μια ευθεία ε με τον άξονα x x ισχύει 0 ω 180 ή 0 ωπ. Κλίση ή συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ονομάζουμε τον αριθμό λ εφω. Αν λ 0, τότε 0 ω 90. Αν λ 0, τότε 90 ω 180. Αν λ 0, τότε ω 0 και η ευθεία είναι παράλληλη ή συμπίπτει με τον άξονα x x. H γραφική παράσταση της συνάρτησης α β οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β0, β και έχει κλίση λ α. f x x είναι ευθεία, έστω Ένα σημείο Μ x, y του επιπέδου είναι σημείο της ευθείας y f x y αx β. Από δω και στο εξής η εξίσωση α εξίσωση της ευθείας ε. ε, η ε αν και μόνο αν y x β θα ονομάζεται Αν ω είναι η γωνία της ευθείας y αx β με τον άξονα x x, ισχύει ε ω α. 45
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Αν γνωρίζουμε δύο σημεία της ευθείας Αx1, y 1 και, y y1 κλίση της είναι α x x. 1 Β x y με x1 x, τότε η Πράγματι, αν y αx β είναι η εξίσωση της ευθείας, τότε ισχύει y1 αx 1 β και y y1 y αx β. Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε y y1 αx x1α x x. 1 Αν β 0, η συνάρτηση f παίρνει τη μορφή f x αx και η γραφική της παράσταση y αx περνάει από την αρχή των αξόνων. Ειδικότερα: Αν α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 45 και είναι η διχοτόμος των γωνιών xoy και x Oy. Αν α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ω 15 και είναι η διχοτόμος των γωνιών x Oy και y Ox. Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Έστω δύο ευθείες ε1: y α1x β1 και ε : y αx β οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα x x γωνίες ω 1 και ω αντίστοιχα. Αν α 1 α, τότε εφω1 εφω, οπότε ω1 ω. Στην περίπτωση αυτή, οι δύο ευθείες: είναι παράλληλες, αν β1 β, ταυτίζονται, αν β1 β. 46
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Αν α1 α, οι ευθείες τέμνονται. Ειδικότερα, αν β1 β, οι ευθείες τέμνονται πάνω στον άξονα y y. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι ευθείες y αx β, α, β, είναι παράλληλες μεταξύ τους για α σταθερό και β μεταβλητό, ενώ διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο 0, β για β σταθερό και α μεταβλητό. Η συνάρτηση f(x) = x Από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε: x, αν x0 f x x x, αν x 0 Eπομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x αποτελείται από τις ημιευ θείες y x, με x 0, και y x, με x 0. 47
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Μ.1 Ο ρόλος των παραμέτρων α και β της ευθείας y = αx + β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 [Μ.1.1] Για τον συντελεστή διεύθυνσης α (κλίση της ευθείας) ισχύει ότι: i. [Μ.1.1.i] όταν γνωρίζουμε δύο σημεία Αx1, y 1 και, Β x y, με x 1 x, της ευθείας, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης προκύπτει από τον τύπο y y1 α x x, 1 ii. [M1.1.ii] όταν γνωρίζουμε τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα x x και ζητείται ο α ή, αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε τον α και ζητείται η γωνία ω, χρησιμοποιούμε τη σχέση α εφω. Υπενθυμίζουμε ότι: ω 0 0 45 60 10 15 150 εφω 0 1 1 iii. [M1.1.iii] αν α 0, τότε η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα x x είναι οξεία, ενώ, αν α 0, η γωνία αυτή είναι αμβλεία, και αντίστροφα. Η περίπτωση α 0 αντιστοιχεί σε ευθεία της μορφής y β με γραφική παράσταση παράλληλη στον άξονα x x. [M.1.] Ο σταθερός όρος β εκφράζει την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα y y, δηλαδή η ευθεία διέρχεται πάντα από το σημείο 0, β. Αν β 0, η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων. n Λυμένα Θέματα 7.1 Δίνονται τα σημεία, Α 1 0, Β, 4, Γ, 7, Δ x, x. Να βρεθούν: α. ο συντελεστής διεύθυνσης και το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει με τον άξονα xx η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: i. A, B, ii. B, Γ, 48
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Λύση β. ο x, ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ: i. να σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία, ii. να έχει κλίση. [Μ.1.1.i, M.1.1.iii] α. i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB είναι: α y B ya 40 4 4 1 4 1 10 xb xa 1 1 1 1 1 Άρα, αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία AB με τον άξονα x x, θα είναι 0 ω 90, δηλαδή οξεία. ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι: yγ y B 4 6 6 α xγ xβ 7 9 6 0 Άρα 90 ω 180, δηλαδή η γωνία ω που σχηματίζει η ΒΓ με τον άξονα x x είναι αμβλεία. [Μ.1.1.iii, M.1.1.ii] β. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η ευθεία A Δ με τον άξονα x x. Επειδή x 1 0, ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας A Δ και είναι: yδ yα x0 x α xδ xα x 1 x 1 x x 1 0 i. Για να είναι η ω οξεία, πρέπει α 0 0 = x0 x. x 1 Άρα πρέπει x,. ii. Για να έχει η A Δ κλίση ίση με, πρέπει: x 1 α xx xx10 0 ή x x x 1 7. Δίνονται οι ευθείες ε ζ η θ υ και μ,,,, με αντίστοιχες εξισώ- x σεις y 17x, y x 1, y x 0, y x, y 1 8 και y x x 1. 49
Η συνάρτηση f(x) = αx + β α. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης καθεμιάς από τις ευθείες και το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει αυτή με τον άξονα xx. β. Ποιες από τις παραπάνω ευθείες: i. διέρχονται από την αρχή των αξόνων; ii. τέμνουν τον άξονα yy στο σημείο 0, ; Λύση [M.1.1.iii] α. Για την ε, α 17 0, άρα η γωνία ω είναι οξεία. Για τη ζ, y x1 y xy x, άρα α 0, επομένως η γωνία είναι αμβλεία. Για την η, y x0 y x, άρα α 10, επομένως η γωνία είναι αμβλεία. Για τη θ, y x y x, άρα α 0, επομένως η γωνία είναι οξεία. 1x 8 1 8 Για την υ, y y x 1 y x 4 y 6x, άρα α 6 0, δηλαδή η γωνία είναι οξεία. Για τη μ, y xx1 yxxy, άρα α 0εφω 0ω 0. [M.1.] β. i. Όλες οι παραπάνω ευθείες είναι της μορφής y αx β. Από την αρχή των αξόνων διέρχονται όσες έχουν β 0. Αυτό συμβαίνει μόνο με τις ζ και η. ii. Τον άξονα y y τέμνουν στο 0, όσες από τις παραπάνω ευθείες έχουν ε θ υ και μ. β, δηλαδή οι ευθείες 7. Δίνεται η ευθεία ο κ, ώστε η ευθεία ε με εξίσωση y ε : α. να έχει κλίση ίση με, β. να έχει κλίση 0 και να μη συμπίπτει με τον xx, κ 1 x κ κ. Να βρεθεί γ. να σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον οριζόντιο άξονα, δ. να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 o, ε. να περνάει από την αρχή των αξόνων, αλλά να μη συμπίπτει με τον άξονα xx. 50
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Λύση [M.1.] α. Πρέπει κ1 κ1 1κ11ή κ11κ ή κ 0. β. Για να έχει κλίση 0, πρέπει: κ1 0 κ1 κ1ή κ1κ 4 ή κ Επίσης, για να μη συμπίπτει η ε με τον x x, πρέπει κ κ 0. Λύνουμε την εξίσωση κ κ0κ 1κ10κ1κ1κ10 κ1κ 0κ 1ή κ. Άρα κ 1 και κ. Τελικά, κ 4. [Μ.1.1.iii] γ. Για να σχηματίζει η ε αμβλεία γωνία με τον οριζόντιο άξονα, πρέπει α 0 κ1 0 κ1 κ1κ 4. Άρα κ, 4. [Μ.1.1.ii] δ. Πρέπει εφω εφ45 εφω 1 κ 1 1 κ 1 4 κ14 ή κ14κ 5 ή κ. [Μ.1.] ε. Πρέπει η εξίσωση της ε να είναι της μορφής y αx, με α 0. Άρα πρέπει κ κ 0 κ 1 κ 0 κ 1 ή κ και από το ερώτημα (β) για α 0 προκύπτει ότι κ 4 και κ. Τελικά, κ 1. 51
Η συνάρτηση f(x) = αx + β Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 7.4 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών: α. y x 5 β. x y 1 γ. y δ. 1 y x 4 ε. x 1 x y στ. y 5 ζ. y 1x η. y α β 7.5 Ποιες από τις παρακάτω ευθείες διέρχονται από την αρχή των αξόνων; ε : y 4 7x, ζ: y 5x, x 1 x 1 η : y, θ: y, 1 ι : y, κ : y 0, λ : x 0, μ : x 7.6 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x καθεμία από τις παρακάτω ευθείες: α. y x β. x 1 y γ. y x δ. y ε. x 1 στ. y x ζ. x y x η. y 1 θ. x x y ι. y 5 1 7.7 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης και το είδος της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: α. Α, και Β, 6 1 β. Α, 1 και Β 4, 8 5, Β 1, 1 γ. Α και 6 5 105 δ. Α, 17 και Β, 5 5 7.8 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίνακας: Εξίσωση ευθείας x ε y 7x1 ε y 5x ε4 y 11x ε5 y x1 1 ε6 y 4 x x ε7 : y ε1 : y : : : : : Διέρχεται από τo Ο Τέμνει yy στο 1 Τέμνει yy στο Σχηματίζει με x x οξεία γωνία Σχηματίζει με x x αμβλεία γωνία 5