ΕΙΔΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΟΜΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΑΜΗΛΗΣ ΤΑΣΗΣ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΟΜΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΑΜΗΛΗΣ ΤΑΣΗΣ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΤΟΥΜΠΟΥ ΕΛΕΝΗ Α.Μ. 79 Επιβλέπων: Επικ. Καθ. Κων/νος Ψυχαλίνος ΠΑΤΡΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 8

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Ειδική Επιστημονική Εργασία πραγματοποιήθηκε κατά το ακαδημαϊκό έτος 7-8 στα πλαίσια του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών «Ηλεκτρονική και Επεξεργασία της Πληροφορίας». Καταρχήν θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Κων/νο Ψυχαλίνο, επιβλέποντα αυτής της εργασίας, τόσο για την εμπιστοσύνη που έδειξε προς το πρόσωπό μου για την ανάθεση της διπλωματικής εργασίας, όσο και για την ουσιαστική βοήθεια που παρείχε για την ολοκλήρωσή της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους κ.κ. Σπύρο Βλάσση και Γιώργο Σουλιώτη για την διαρκή συνεργασία που είχα μαζί τους κατά την διάρκεια της φοίτησής μου στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους υποψήφιους διδάκτορες του Τμήματος Φυσικής Γεώργιο Ράικο και Κων/νο Λαουδιά για την συνεχή και αδιάκοπη βοήθειά τους. i

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της παρούσας Ειδικής Επιστημονικής Εργασίας είναι η ανάπτυξη φίλτρων στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας με τη μέθοδο του γραμμικού μετασχηματισμού (Linear Transformation). Ως παράδειγμα, δίνεται η σχεδίαση, η εξομοίωση και τέλος η φυσική σχεδίαση ενός ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας (Square-Root Domain). Για λόγους σύγκρισης, η σχεδίαση του φίλτρου γίνεται με τέσσερις διαφορετικές μεθόδους εξομοίωσης παθητικών φίλτρων (Leapfrog, Topologic, Wave και Linear Trasformation method) και η ανάλυση κάθε μεθόδου παρουσιάζεται σε αντίστοιχο κεφάλαιο. Στο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα γενικά χαρακτηριστικά των φίλτρων συμπίεσης στα οποία ανήκουν τα φίλτρα του πεδίου τετραγωνικής ρίζας. Επίσης γίνεται ανάλυση της διαγραμμικής αρχής (Translinear principle) στην οποία στηρίζεται η λειτουργία των βασικών δομικών βαθμίδων των κυκλωμάτων στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Στο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι δύο βασικές βαθμίδες για φίλτρα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας: το κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου ρεύματος (currentgeometric mean) και το κύκλωμα του τετραγωνιστή/διαιρέτη ρεύματος (currentsquarer/divider). Αρχικά, γίνεται η ανάλυση της λειτουργίας τους και στη συνέχεια παρουσιάζεται η χρήση τους σε πιο πολύπλοκα κυκλώματα όπως είναι οι ολοκληρωτές με και χωρίς απώλειες. Στο Κεφάλαιο 3, παρουσιάζεται αναλυτικά η σχεδίαση ενός ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας την μέθοδο εξομοίωσης παθητικών φίλτρων Leapfrog. ii

Στο Κεφάλαιο 4, γίνεται η σχεδίαση ενός ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας την τοπολογική μέθοδο εξομοίωσης παθητικών φίλτρων. Στο Κεφάλαιο 5, γίνεται χρήση της κυματικής μεθόδου εξομοίωσης παθητικών φίλτρων για τη σχεδίαση ενός ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Στο Κεφάλαιο 6, παρουσιάζεται αναλυτικά η σχεδίαση ενός ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιώντας την μέθοδο γραμμικού μετασχηματισμού. Στο Κεφάλαιο 7, πραγματοποιείται η φυσική σχεδίαση του φίλτρου που προέκυψε κάνοντας χρήση της μεθόδου γραμμικού μετασχηματισμού και επαληθεύεται η σωστή λειτουργία του με τη βοήθεια αποτελεσμάτων εξομοίωσης. Τέλος, στο Κεφάλαιο 8 γίνεται η σύγκριση των φίλτρων που προέκυψαν από τις τέσσερις μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια και τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις εξομοιώσεις αυτών περιλαμβάνονται σε έναν συγκεντρωτικό πίνακα.στο τέλος του κεφαλαίου, δίνονται τα συμπεράσματα καθώς και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. iii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ i ii ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ (SQUARE-ROOT DOMAIN FILTERS-SRD FILTERS).... ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΦΙΛΤΡΑ ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΜΠΙΕΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ (COMPANDING FILTERS)... 3.3 Η TRANSLINEAR ΑΡΧΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΟΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΓΙΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ... 8. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ... 9. ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ... 6.3 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΤΗ/ΔΙΑΙΡΕΤΗ... 7.4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΣ....4. SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ....4. SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ... 3.4.3 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΤΡΙΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ... 4.4.4 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ... 6.4.5 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ... 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ LEAPFROG... 9 3. ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ SRD ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 9 3. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ SRD ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ... 43 4. SRD ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΤΩΝ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 43 4. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ SRD ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗΝ KYMATIKH ΜΕΘΟΔΟ... 57 5. ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ SRD ΚΥΜΑΤΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 57 5. SRD ΚΥΜΑΤΙΚΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΜΗ ΓΕΙΩΜΕΝΟΥ ΕΠΑΓΩΓΟΥ... 58 5.3 SRD ΚΥΜΑΤΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... 6 5.4 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ SRD ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ... 7 6. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ SRD ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ... 8 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8 7. ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ...8 7.3 ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ... 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 88 8. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 88 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ.. 9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Στους γονείς μου,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα αναλογικά ολοκληρωμένα κυκλώματα συνεχούς χρόνου αποτελούν βασικά τμήματα στα συστήματα μικτού σήματος (mixed-mode systems). Η συνεχής μείωση των διαστάσεων της CMOS τεχνολογίας σε συνδυασμό με την αυξανόμενη χρήση φορητών ηλεκτρονικών συσκευών, απαιτεί ολόκληρο το σύστημα να λειτουργεί σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Έτσι, η σχεδίαση αναλογικών φίλτρων αποτελεί μεγάλη πρόκληση, καθώς θα πρέπει να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές της εκάστοτε εφαρμογής υπό συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας και όσο το δυνατόν χαμηλότερης κατανάλωσης ισχύος. Τα τελευταία χρόνια υπάρχει ένα συνεχώς αυξανόμενο ερευνητικό ενδιαφέρον για τη σχεδίαση φίλτρων συμπίεσης-αποσυμπίεσης (companding filters). Βασικό πλεονέκτημα αυτής της κατηγορίας φίλτρων είναι ότι προσφέρουν μεγάλη δυναμική περιοχή υπό συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι διακυμάνσεις (swings) των τάσεων στα άκρα των πυκνωτών των φίλτρων είναι πολύ μικρές και επομένως η συνεχής τάση τροφοδοσίας είναι λιγότερο περιοριστική όσον αφορά το μέγιστο επιτρεπόμενο σήμα στην είσοδο. Το γεγονός αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό ειδικά στην περίπτωση όπου η σχεδίαση κυκλωμάτων γίνεται σε τεχνολογίες κάτω του ενός μικρόμετρου (sub-micrometer technologies). Βασικό στοιχείο στη σχεδίαση φίλτρων συμπίεσης είναι ότι γίνεται εκμετάλλευση των μη γραμμικών χαρακτηριστικών των transistors, με αποτέλεσμα να δημιουργείται ένα σύστημα το οποίο εσωτερικά εμφανίζει μη γραμμική συμπεριφορά ενώ εξωτερικά διατηρείται γραμμικό. Μια κατηγορία φίλτρων στα οποία χρησιμοποιήθηκε η παραπάνω λογική είναι τα φίλτρα στο λογαριθμικό πεδίο (logdomain filters), τα οποία στηρίζονται στην εκθετική I-V σχέση των BJT transistors και στην αρχή διαγραμμικότητας (Translinear, TL). Η συγκεκριμένη τεχνική

επεκτάθηκε και στα MOS transistors τα οποία λειτουργούν στην ασθενή αναστροφή (weak inversion), αφού και σε αυτή την περίπτωση ισχύει η εκθετική σχέση ρεύματος-τάσης I-V. Αξίζει να σημειωθεί, ότι η σχεδίαση log-domain φίλτρων με MOS transistors είναι πολύ εύκολη καθώς στηρίζεται στις ήδη υπάρχουσες δομές φίλτρων με BJT transistors, κάνοντας απλά αντικατάσταση των transistors. Όμως, οι συγκεκριμένες τοπολογίες, λόγω της περιοχής στην οποία λειτουργούν τα transistors, παρουσιάζουν πολλά μειονεκτήματα με κυριότερα την αυξημένη επίδραση από τα mismatches των transistors καθώς και την περιορισμένη μέγιστη ταχύτητα λειτουργίας τους. Για να ξεπεραστούν τα παραπάνω μειονεκτήματα, εισήχθηκε μια νέα κατηγορία φίλτρων συμπίεσης-αποσυμπίεσης, τα οποία στηρίζονται στην Translinear αρχή και καλούνται φίλτρα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας (Square-Root Domain filters, SRD filters). Η συγκεκριμένη κατηγορία φίλτρων βασίζεται στον τετραγωνικό νόμο I- V του MOS transistor, όταν αυτό λειτουργεί στην περιοχή κορεσμού. Συνεπώς, τα φίλτρα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, λόγω της φύσης τους, προσφέρουν μεγάλη δυναμική περιοχή υπό συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Από την άλλη, οι συγκεκριμένες δομές φίλτρων είναι πιο πολύπλοκες (σε σύγκριση με δομές φίλτρων κλασσικών γραμμικών τεχνικών, όπως ΟΤΑ-C φίλτρα) και επομένως εμφανίζονται περισσότεροι παρασιτικοί πόλοι ενώ έχουμε και μεγαλύτερη κατανάλωση ισχύος. Επίσης, η συγκεκριμένη τεχνική σχεδίασης φίλτρων έχει έναν περιορισμό όσον αφορά το ελάχιστο μήκος καναλιού (channel length) των MOS transistors. Συγκεκριμένα, τα transistors θα πρέπει να έχουν μήκος καναλιού μm το οποίο δεν είναι το ελάχιστο που χρησιμοποιείται, έτσι ώστε να περιγράφεται η λειτουργία τους σύμφωνα με τον τετραγωνικό νόμο. Στις επόμενες ενότητες αυτού του κεφαλαίου θα μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίο επιτυγχάνεται η γραμμική συμπεριφορά ολόκληρου του φίλτρου εξωτερικά, ενώ εσωτερικά είναι μη γραμμικό. Επίσης, θα μελετήσουμε την translinear αρχή και τους translinear loops στα οποία στηρίζονται οι βασικές δομικές μονάδες των SRD φίλτρων.

.. ΦΙΛΤΡΑ ΣΥΜΠΙΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΜΠΙΕΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ (COMPANDING FILTERS) Ένα τυπικό σύστημα συμπίεσης-αποσυμπίεσης σήματος, όπως είναι τα φίλτρα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, αποτελείται από: (i) το block συμπίεσης (compression block), το οποίο μετατρέπει το ρεύμα (γραμμικό σήμα) που εφαρμόζεται στην είσοδο σε μια συμπιεσμένη τάση (μη γραμμικό σήμα). (ii) το μη γραμμικό block, το οποίο διαχειρίζεται τη συμπιεσμένη τάση εισόδου έτσι ώστε μετά από κατάλληλη επεξεργασία να προκύψει η συμπιεσμένη τάση στην έξοδο. (iii) το block αποσυμπίεσης (expansion block), με το οποίο η συμπιεσμένη τάση εξόδου αποσυμπιέζεται και ταυτόχρονα μετατρέπεται σε ρεύμα, όπου πλέον είναι γραμμικό σήμα. Το block διάγραμμα ενός τέτοιου γραμμικού current-mode συστήματος φαίνεται στην Εικόνα., όπου το μη γραμμικό υποσύστημα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας (SRD cell) απεικονίζεται με διακεκομμένες γραμμές. Για να διατηρηθεί η γραμμική συμπεριφορά του συνολικού συστήματος, γίνεται η χρήση δύο μαθηματικά συμπληρωματικών τελεστών, οι οποίοι καλούνται SQ και SQRT. υˆin ˆIN υ υˆout υˆout Εικόνα. Block διάγραμμα ενός current-mode συστήματος στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας 3

Οι συναρτήσεις οι οποίες υλοποιούνται από τους δύο τελεστές είναι η τετραγωνική δύναμη και η τετραγωνική ρίζα (μαζί με κάποιες σταθερές) έτσι ώστε να επιτυγχάνεται η συμπληρωματικότητα των τελεστών. Πιο αναλυτικά, κάνοντας χρήση του γνωστού τετραγωνικού νόμου για το ρεύμα απαγωγού ενός MOS transistor όταν αυτό λειτουργεί στην περιοχή κορεσμού, ορίζεται ο SQ τελεστής όπως φαίνεται στην εξίσωση (.), K SQ( ˆ υ ) = ( ˆ υ V TH ) I (.) Ο παράγοντας K C ( W L) = ονομάζεται συντελεστής ρεύματος του MOS μ ox transistor, V TH είναι η τάση κατωφλίου του transistor και I είναι ένα dc ρεύμα. Ο τελεστής SQ ( υˆ ) αναπαριστά ένα ρεύμα i το οποίο διαρρέει ένα MOS transistor και υˆ είναι η τάση μεταξύ πύλης-πηγής, ενώ η υλοποίηση του SQ τελεστή φαίνεται στην Εικόνα.. ˆ) i = SQ(υ υˆ Εικόνα. Υλοποίηση του SQ τελεστή Ο SQRT τελεστής είναι ο συμπληρωματικός του SQ και ορίζεται από την εξίσωση (.) ενώ η υλοποίησή του φαίνεται στην Εικόνα.3. ( i + I ) SQRT () i = + K V TH (.) 4

όπου το SQRT ( i) αναπαριστά την τάση μεταξύ πύλης-πηγής ενός διοδικά συνδεδεμένου transistor, το οποίο διαρρέεται από ρεύμα i+i. V DD i I ˆ υ = SQRT( i) V SS Εικόνα.3 Υλοποίηση του SQRT τελεστή.3. Η TRANSLINEAR ΑΡΧΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Όπως έχει ήδη αναφερθεί, τα κυκλώματα στο πεδίο τετραγωνικής ρίζας ανήκουν στην κατηγορία των διαγραμμικών κυκλωμάτων (translinear circuits). Οι δομές αυτές στηρίζονται στις εξής τοπολογίες: stacked loop, up-down loop και electronically simulated loop, όπου κάθε τεχνική παρουσιάζει σημαντικές διαφορές έναντι των άλλων και έχουν να κάνουν κυρίως με την ακρίβεια λειτουργίας, το εύρος συχνοτήτων και την πολυπλοκότητα του κυκλώματος. Οι τεχνικές αυτές εφαρμόζονται σε κυκλώματα όπως το κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου (geometric mean), του τετραγωνιστή/διαιρέτη (squarer/divider) κ.λ.π, τα οποία αποτελούν τις βασικές δομικές βαθμίδες των φίλτρων στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Η stacked loop τεχνική έχει ως κύριο πλεονέκτημα τη σχεδίαση κυκλωμάτων με μικρή πολυπλοκότητα, άρα πιο απλά κυκλώματα και επομένως μικρή συνολική 5

κατανάλωση ισχύος. Όμως, παρουσιάζουν χαμηλή ακρίβεια λειτουργίας καθώς είναι έντονη η επίδραση του φαινομένου σώματος (body effect). Για να ξεπεραστεί το συγκεκριμένο πρόβλημα, ακολουθείται μια διαφορετική διαδικασία κατά την φυσική σχεδίαση των συγκεκριμένων κυκλωμάτων, όπου τα transistors τα οποία σχηματίζουν τον stacked loop θα πρέπει να τοποθετηθούν σε διαφορετικό πηγάδι. Αυτό έχει ως άμεσο επακόλουθο την μείωση του εύρους συχνοτήτων αφού εμφανίζονται πολλές παρασιτικές χωρητικότητες μεταξύ πηγαδιού και υποστρώματος. Η up-down loop τεχνική παρουσιάζει πολύ μικρότερη επίδραση όσον αφορά το φαινόμενο σώματος και επομένως μπορεί να επιτευχθεί μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων. Όμως τα κυκλώματα που προκύπτουν είναι πιο πολύπλοκα σε σύγκριση με την προηγούμενη τεχνική. Τέλος, στην περίπτωση της electronically simulated loop τεχνικής η επίδραση του φαινομένου σώματος εξαλείφεται εντελώς. Από την άλλη μεριά, η πολυπλοκότητα των κυκλωμάτων που προκύπτουν με χρήση αυτής της τοπολογίας είναι αυξημένη σε σχέση με αυτή των κυκλωμάτων που προκύπτουν με χρήση των προηγούμενων δυο τοπολογιών. Συνεπώς, στο Κεφάλαιο, για τη σχεδίαση των δομικών βαθμίδων geometric mean και squarer/divider, θα χρησιμοποιηθεί η up-down loop τεχνική. Στην Εικόνα.4, φαίνεται η διασύνδεση των τεσσάρων transistors στην stacked loop και up-down loop τεχνική, αντίστοιχα. Αξίζει να σημειωθεί πως λόγω της δομής της, η up-down τοπολογία μπορεί να λειτουργήσει με χαμηλότερη τάση τροφοδοσίας, από ότι η stacked loop τοπολογίες, καθώς η ελάχιστη τάση τροφοδοσίας είναι ίση με = όπου VDS sat = VGS VTH V DD, min VGS + V DS, sat,. (α) Stacked loop τοπολογία (β) Up-down loop τοπολογία Εικόνα.4. Τοπολογίες βρόχων για SRD φίλτρα. 6

Υποθέτοντας ότι τα transistors είναι όμοια και λειτουργούν στην περιοχή κορεσμού, τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα Kirchhoff για τις τάσεις στο βρόχο αυτό έχουμε: 3 4 + = + (.3) ( W L ) ( W L ) ( W L ) ( W L ) I 3 I 3 I 4 I 4 όπου I i είναι το ρεύμα που διαρρέει κάθε transistor M ni (i=,, 3, 4). Επίσης, υποθέτοντας για λόγους απλότητας, ότι τα transistors έχουν τις ίδιες διαστάσεις, τότε υψώνοντας στο τετράγωνο την εξίσωση (.3), προκύπτει η εξίσωση (.4). I + I I + I + I (.4) I3 I + I3 = 4 4 Έτσι, η εξίσωση (.4) αποτελεί τη βασική σχέση στα current-mode διαγραμμικά κυκλώματα, καθώς θα διαπιστωθεί στο επόμενο κεφάλαιο, επιλέγοντας τα κατάλληλα ρεύματα μπορούν να υλοποιηθούν οι συναρτήσεις των geometric mean και squarer/divider. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΔΟΜΙΚΕΣ ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΓΙΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ Στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε αναφορά στις τεχνικές σχεδίασης φίλτρων στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας (Square-Root Domain, SRD). Οι τεχνικές αυτές μπορούν να εφαρμοστούν σε κυκλώματα όπως τετραγωνιστής/διαιρέτης (squarer/divider) και γεωμετρικός μέσος (geometric mean), τα οποία βρίσκουν πλέον ευρεία εφαρμογή σε VLSI συστήματα χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Τα κυκλώματα αυτά αποτελούν βασικές δομικές βαθμίδες και χρησιμοποιούνται σε πολλά αναλογικά συστήματα όπως ηλεκτρονικά φίλτρα, ανιχνευτές κορυφής (peak detectors), ανιχνευτές φάσης (phase detectors), διαμορφωτές (modulators), synthesizers κ.α. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί διάφορες τοπολογίες για τα συγκεκριμένα κυκλώματα με σκοπό την βελτίωση χαρακτηριστικών όπως είναι η δυναμική περιοχή (dynamic range), το εύρος λειτουργίας (bandwidth), η ακρίβεια, η πολυπλοκότητα του κυκλώματος και τέλος η ικανότητα για λειτουργία σε περιβάλλον χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Έτσι λοιπόν, στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθεί η λειτουργία των βαθμίδων τετραγωνιστή/διαιρέτη και γεωμετρικού μέσου και θα αναλυθεί η χρήση τους σε πιο πολύπλοκα κυκλώματα όπως είναι οι ολοκληρωτές με και χωρίς απώλειες (lossy and lossless integrators). 8

.. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Η υλοποίηση του κυκλώματος γεωμετρικού μέσου βασίζεται στην τεχνική Flipped Voltage Follower (FVF technique) για την πόλωση των MOS TL (Translinear Loops, διαγραμμικών βρόχων). Η συγκεκριμένη τεχνική χρησιμοποιεί την βαθμίδα FVF η οποία αποτελεί μια εναλλακτική περίπτωση του ενισχυτή κοινού απαγωγού ή ακολουθητή τάσης (Εικόνα..α). Όπως φαίνεται στην Εικόνα..β, ο FVF είναι ένας κασκωδικός ενισχυτής με αρνητική ανατροφοδότηση όπου η πόλωση γίνεται από διαφορετικό ακροδέκτη. Ένα πολύ σημαντικό στοιχείο είναι ότι λόγω της ανατροφοδότησης η πόλωση του transistor M n γίνεται από άλλο ακροδέκτη σε σχέση με την έξοδο, οπότε το ρεύμα που διαρρέει το transistor είναι σταθερό. Συνεπώς, η τάση V GS του transistor M n παραμένει και αυτή σταθερή (αγνοώντας το body effect). (α) Τυπικός Ακολουθητής τάσης (Voltage Follower) (β) Flipped Voltage Follower (FVF) Εικόνα. Τοπολογίες ακολουθητή τάσης Τέλος, η ελάχιστη τάση τροφοδοσίας για τον FVF είναι V DD, min VTH + VDS, sat = όπου V TΗ είναι η τάση κατωφλίου και V = V V DS, sat GS TH, και για τον λόγο αυτό χρησιμοποιείται ευρέως σε κυκλώματα χαμηλής τάσης τροφοδοσίας. Στην Εικόνα., φαίνεται η τοπολογία ενός κυκλώματος γεωμετρικού μέσου όπου δημιουργούνται translinear loops ης τάξης οι οποίοι σχηματίζονται από τα transistors M n -M n4. Ο FVF υλοποιείται από τα transistors M n5, M n7 και από το ρεύμα πόλωσης Ι Β. 9

V DD Mp : : :/ /: : : : Mp Mp4 Mp5 Mp6 Mp7 Mp8 Mp9 Mp i Y Y Mn Mp3 Mn VB IB Mn5 Mn3 Mn4 i X X i Z +Z Mn6 Mn7 I B VSS VSS Εικόνα. Τοπολογία κυκλώματος γεωμετρικού μέσου βασισμένος στην FVF τεχνική Στην Εικόνα.3 φαίνεται το block διάγραμμα του κυκλώματος γεωμετρικού μέσου όπως αυτό θα χρησιμοποιηθεί σε πολυπλοκότερα κυκλώματα. i = Z i X i Y Εικόνα.3.Block διάγραμμα του κυκλώματος γεωμετρικού μέσου Στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα.4), φαίνεται ο βασικός TL loop ης τάξης από τον οποίο προκύπτει το πλήρες κύκλωμα γεωμετρικού μέσου. Εικόνα.4. Ο δεύτερης τάξης TL loop και η βαθμίδα του FVF

Όπως είδαμε και στο Κεφάλαιο, σύμφωνα με τον κανόνα Kirchhoff για τις τάσεις στο βρόχο αυτό, το άθροισμά τους είναι ίσο με το μηδέν οπότε έχουμε: V + V = V + V (.) GS GS3 GS GS 4 Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό νόμο για το MOS transistor, η τάση πύληςπηγής (V GS ) συνδέεται με το ρεύμα I σύμφωνα με την εξίσωση (.) V GS = I V k + n TH ( W L) (.) όπου kn μ = C και V TH είναι η τάση κατωφλίου του transistor. Επομένως ox χρησιμοποιώντας την εξίσωση (.) και υποθέτοντας ότι όλα τα transistors λειτουργούν στην περιοχή κορεσμού, η εξίσωση (.) γράφεται ως εξής: I + + (.3) I3 = I I 4 Έτσι, όπως φαίνεται από την εξίσωση (.3), επιλέγοντας κατάλληλα τα ρεύματα των κλάδων μπορούν να υλοποιηθούν διάφορες μη γραμμικές πράξεις. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί η χρήση του FVF στο TL loop καθώς ο ακροδέκτης Χ έχει πολύ χαμηλή εμπέδηση και παρέχει ένα DC δυναμικό το οποίο παραμένει σταθερό και δεν μεταβάλλεται από τα ρεύματα που διαρρέουν το βρόχο. Αγνοώντας τους ης όρους τάξης, η τάση στο σημείο αυτό δίνεται από την εξίσωση (.4) V X M B = VB VGS = VB (.4) kn n5 I ( W L) M n5 Στην πράξη, η τάση V B σε συνθήκες χαμηλής τάσης τροφοδοσίας μπορεί να επιλεγεί ίση με την τάση V DD, ρυθμίζοντας κατάλληλα το ρεύμα πόλωσης I B και τις διαστάσεις των transistors M n5, M n7, έτσι ώστε να μην απαιτείται δεύτερη εξωτερική τάση.

Έχοντας αναλύσει την χρησιμότητα του FVF καθώς και την πράξη που υλοποιείται στον TL loop όσον αφορά τα ρεύματα που τον διαρρέουν, η λειτουργία της τοπολογίας του γεωμετρικού μέσου είναι εύκολο να κατανοηθεί. Επιλέγοντας τα ρεύματα έτσι ώστε: i) I =i y, ii) I 3 =i x και iii) I I + I 3 + i = I z 4 =, τότε υψώνοντας 4 στο τετράγωνο την εξίσωση (.3) και ύστερα από απλές μαθηματικές πράξεις, προκύπτει η έκφραση για το ρεύμα εξόδου i Z του κυκλώματος στην Εικόνα.. i = i i (.5) Z X Y Στην περίπτωση που απαιτείται ανεστραμμένη φορά του ρεύματος εξόδου i Z, αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας έναν επιπλέον καθρέπτη ρεύματος στο κλάδο εξόδου. Το κύκλωμα που προκύπτει καθώς και το αντίστοιχο block διάγραμμα, φαίνονται στις Εικόνες.5 και.6, αντίστοιχα. V DD Mp : : :/ /: : : : Mp Mp4 Mp5 Mp6 Mp7 Mp8 Mp9 Mp i Y Y Mn Mp3 Mn VB IB Mn5 Mn3 Mn4 i X X Mn8 -Z i Z Mn9 VSS Mn6 Mn7 I B VSS VSS Εικόνα.5 Τοπολογία γεωμετρικού μέσου βασισμένος στην FVF τεχνική με ανεστραμμένο ρεύμα εξόδου i = Z i X i Y Εικόνα.6.Block διάγραμμα του κυκλώματος γεωμετρικού μέσου με ανεστραμμένο ρεύμα εξόδου

Για να εξομοιωθεί η λειτουργία μικρών σημάτων των δυο κυκλωμάτων των Εικόνων. και.5, επιλέγεται η τάση τροφοδοσίας V DD =.5Volts και η V B =.8Volts. Επίσης, το ρεύμα πόλωσης του FVF I B επιλέχθηκε ίσο με μα, και επομένως επιλέγεται η κατάλληλη τάση στην πηγή του transistor M n5 εξασφαλίζοντας την κατάλληλη πόλωση του καθρέπτη ρεύματος που σχηματίζεται από τα transistors M n6 και M n7. Υπολογίζοντας τις διαστάσεις των transistors ώστε να λειτουργούν στην περιοχή του κόρου, τότε στην περίπτωση που η τιμή του ρεύματος πόλωσης επιλεγεί ίση με 5μΑ προκύπτουν οι ακόλουθοι λόγοι W/L για τα NMOS και PMOS transistors που υλοποιούν τις απαιτούμενες πηγές ρεύματος. ΠΙΝΑΚΑΣ. ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ NMOS KAI PMOS TRANSISTORS Transistors (W/L) M p -M p3 M p4 M p5 M p6 -M p M n -M n4 M n5 M n6 -M n7 M n8 -M n9.6μm/μm 5.8 μm/μm 4μm/μm 8μm/μm 3.6μm/μm μm/μm 3μm/μm μm/μm Στην συνέχεια, παρατίθονται οι δυο τοπολογίες των Εικόνων. και.5 οι οποίες υλοποιούν το κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου, όπως φαίνονται στο σχεδιαστικό περιβάλλον Virtuoso Schematic του Cadence Software. 3

Εικόνα.7. Το κύκλωμα της Εικόνας. όπως φαίνεται στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic 4

Εικόνα.8. Το κύκλωμα της Εικόνας.5 όπως φαίνεται στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic 5

.. ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Αφού πραγματοποιήθηκαν τα σχηματικά των δυο κυκλωμάτων, μπορεί να εξεταστεί η ορθή τους λειτουργία χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα εξομοίωσης Virtuoso Analog Design Environment. Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθεί ότι τα μοντέλα των transistors που χρησιμοποιούνται είναι Level 49 MOS με τεχνολογία.35μm AMS S35D4 BiCMOS. Επίσης, όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν για την σχεδίαση και την εξομοίωση των κυκλωμάτων είναι από το Design Kit HIT-KIT v.3.7 της AUSTRIA MICROSYSTEMS (AMS). Στην Εικόνα.9 φαίνεται το ρεύμα εξόδου I Z ως συνάρτηση του ρεύματος εισόδου I X για διάφορες τιμές του ρεύματος I Y. Συγκεκριμένα μεταβάλλοντας την τιμή του ρεύματος I Y από μα εως 6μΑ με βήμα μα, διαπιστώνεται η ορθή λειτουργία του γεωμετρικού μέσου καθώς υλοποιείται η πράξη των ρευμάτων. Εικόνα.9. Το ρεύμα εξόδου του κυκλώματος του γεωμετρικού μέσου για διάφορες τιμές των ρευμάτων πόλωσης 6

.3. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΤΗ/ΔΙΑΙΡΕΤΗ Στην Ενότητα. έγινε η ανάλυση της λειτουργίας του κυκλώματος του γεωμετρικού μέσου, όπου έγινε αναφορά στην χρησιμότητα του FVF και με ποιο τρόπο χρησιμοποιείται η συγκεκριμένη βαθμίδα για την πόλωση των TL loops. Έτσι λοιπόν η υλοποίηση της δομικής βαθμίδας του τετραγωνιστή/διαιρέτη βασίζεται στην τεχνική FVF. Πραγματοποιώντας πολύ μικρές αλλαγές στην τοπολογία της Εικόνας.5 προκύπτει το κύκλωμα που φαίνεται στην Εικόνα.. Εικόνα.. Τοπολογία τετραγωνιστή/διαιρέτη βασισμένος στην FVF τεχνική με ανεστραμμένο ρεύμα εξόδου Όπως και στο κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου έτσι και στη τοπολογία του τετραγωνιστή/διαιρέτη μπορεί να διαπιστωθεί, πώς οι ης τάξης translinear loops σχηματίζονται από τα transistors M n -M n4 και, αντίστοιχα, ο FVF υλοποιείται από τα transistors M n5, M n7 και από το ρεύμα πόλωσης Ι Β. Ακολουθώντας παρόμοια λογική με αυτήν που αναπτύχθηκε στην Ενότητα. για τη πράξη των ρευμάτων στον TL loop και συγκεκριμένα επιλέγοντας τα ρεύματα έτσι ώστε: i) I =i y, ii) I 3 =i z και iii) I I + I 3 + i = I x 4 =, τότε η έκφραση που προκύπτει για το ρεύμα εξόδου i Z του 4 κυκλώματος στην Εικόνα. δίνεται από την εξίσωση (.6). i Z ix = (.6) i Y 7

Επομένως, το block διάγραμμα του τετραγωνιστή/διαιρέτη όπως αυτό θα χρησιμοποιηθεί σε μεγαλύτερα κυκλώματα ακολουθεί στην Εικόνα.. i X i Y X Y i Z = i i X Y -Z i Z Εικόνα..Block διάγραμμα του κυκλώματος τετραγωνιστή/διαιρέτη με ανεστραμμένο ρεύμα εξόδου Αξίζει να σημειωθεί πως η έξοδος του κυκλώματος συμβολίζεται με Ζ καθώς το ρεύμα i Z έχει αντίθετη φορά από τα ρεύματα εισόδου i Χ και i Υ κατά πλήρη αντιστοιχία με όσα προαναφέρθηκαν για το κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου με ανεστραμμένη φορά ρεύματος. Στην συνέχεια για να επιβεβαιωθεί η ορθή λειτουργία της τοπολογίας του τετραγωνιστή/διαιρέτη, επιλέχθηκαν οι ίδιες συνθήκες πόλωσης με το κύκλωμα του γεωμετρικού μέσου και επομένως οι διαστάσεις των NMOS και PMOS transistors παρουσιάζονται στον Πίνακα.. Στην Εικόνα. φαίνεται η τοπολογία του τετραγωνιστή/διαιρέτη στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic. Τέλος, από την Εικόνα.3 όπου απεικονίζεται το ρεύμα εξόδου i Z για διάφορες τιμές ρευμάτων πόλωσης επαληθεύεται η πράξη ρευμάτων που υλοποιεί η εξίσωση (.6). ΠΙΝΑΚΑΣ. ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ NMOS KAI PMOS TRANSISTORS Transistors (W/L) M p -M p3.6μm/μm M p4 M p5 M p6 -M p M n -M n4 M n5 M n6 -M n7 M n8 -M n9 6.3 μm/μm 5.4μm/μm 7μm/μm 3.9μm/μm μm/μm 48μm/μm.3μm/μm 8

Εικόνα.. Το κύκλωμα της Εικόνας.9 όπως φαίνεται στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic 9

Εικόνα.3. Το ρεύμα εξόδου του κυκλώματος του τετραγωνιστή/διαιρέτη για διάφορες τιμές των ρευμάτων πόλωσης.4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΣ Στις Ενότητες.-.3 μελετήθηκαν οι βασικές δομικές βαθμίδες στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, γεωμετρικού μέσου και τετραγωνιστή/διαιρέτη. Οι συγκεκριμένες τοπολογίες θα χρησιμοποιηθούν για να πραγματοποιηθούν πιο σύνθετα κυκλώματα τα οποία είναι χρήσιμα στη σχεδίαση αναλογικών ηλεκτρονικών φίλτρων. Στα Κεφάλαια 3-6, όπου παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τεχνικές σχεδίασης φίλτρων, οι εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν τα κυκλώματα αυτά καθώς και τα αντίστοιχα διαγράμματα ροής σήματος (Signal Flow Graphs-SFGs), απαιτούν την χρήση ολοκληρωτών. Συνεπώς στην συγκεκριμένη ενότητα θα παρουσιαστούν οι τοπολογίες SRD ολοκληρωτών (Square-Root Domain Integrators) που θα χρησιμοποιηθούν στις διάφορες δομές φίλτρων με ενεργά στοιχεία στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας.

.4. SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Στην Εικόνα.4 φαίνεται η τοπολογία του SRD ολοκληρωτή χωρίς απώλειες (SRD Lossless Integrator) μιας εισόδου, ο οποίος υλοποιείται από τις δομικές βαθμίδες γεωμετρικού μέσου και τετραγωνιστή/διαιρέτη. i Z i = i X Y i = Z i i X Y i Z i = i X Y i = Z i i X Y Εικόνα.4. Τοπολογία του SRD ολοκληρωτή χωρίς απώλειες μιας εισόδου Το block διάγραμμα του παραπάνω κυκλώματος όπως αυτό θα χρησιμοποιηθεί σε μεγαλύτερα κυκλώματα φαίνεται στην Εικόνα.5. Εικόνα.5. Block διάγραμμα του SRD ολοκληρωτή χωρίς απώλειες μιας εισόδου Στην συνέχεια ακολουθεί μια λεπτομερής ανάλυση του κυκλώματος της Εικόνας.4. Το ρεύμα i C που διαρρέει τον πυκνωτή Ĉ δίνεται από την εξίσωση (.7). i C dυˆ OUT = Cˆ (.7) dt

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Kirchhoff για τα ρεύματα στον κόμβο εξόδου και λαμβάνοντας υπόψιν τις πράξεις ρευμάτων που υλοποιούν τα κυκλώματα των geometric mean και squarer/divider (εξισώσεις (.5)-(.6)) το i C δίνεται από την εξίσωση (.8). I I = (.8) ic iin I iout iout Επομένως, από τις εξισώσεις (.7)-(.8) προκύπτει ˆ d ˆ υ OUT C = iin I dt iout iout I I i I OUT ˆ d ˆ υ C dt OUT = i IN I (.9) Σύμφωνα με όσα έχουν προαναφερθεί στο Κεφάλαιο τότε το δεξιό μέλος της εξίσωσης (.9) είναι ίσο με SQ( υˆ OUT ) και το ( W ) ˆυ ( i + I ) OUT OUT = K + V TH, όπου K = μ Cox, V L TH είναι η τάση κατωφλίου, και I είναι το συνεχές ρεύμα πόλωσης. Μετά από μαθηματικές πράξεις η εξίσωση (.9) γράφεται ως εξής: Cˆ KI di dt OUT Cˆ = SQ( ˆ υ ) i = SQ( ˆ IN OUT υ IN ) dt KI (.) Άρα, από την εξίσωση (.) προκύπτει η τελική έκφραση για τον SRD ολοκληρωτή χωρίς απώλειες μιας εισόδου που φαίνεται στην εξίσωση (.) SQ( ˆ υout ) = SQ( ˆ υ IN ) dt (.) ˆ τ

Ο σταθερός όρος τˆ αποτελεί την σταθερά χρόνου του ολοκληρωτή και ορίζεται ως Cˆ ˆ τ =. KI Από την έκφραση της σταθεράς χρόνου φαίνεται καθαρά ότι τα SRD φίλτρα προσφέρουν ηλεκτρονικό συντονισμό (electronic tuning) διαμέσου του ρεύματος I. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, γιατί υπάρχει η δυνατότητα αντιστάθμισης διαφόρων σφαλμάτων που επηρεάζουν την απόκριση συχνοτήτων του φίλτρου (π.χ. επίδραση παρασιτικών πυκνωτών/αντιστάσεων, αποκλίσεις από τον τετραγωνικό νόμο κ.λ.π)..4. SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Στην Εικόνα.6 φαίνεται η τοπολογία του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες (SRD Lossless Integrator-Subtractor) δύο εισόδων ο οποίος υλοποιείται από τις δομικές βαθμίδες geometric mean και squarer/divider. i iz = i X Y i = Z i i X Y i iz = i X Y i = Z i i X Y Εικόνα.6. Τοπολογία του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες δύο εισόδων Το block διάγραμμα του παραπάνω κυκλώματος όπως αυτό θα χρησιμοποιηθεί σε μεγαλύτερα κυκλώματα φαίνεται στην Εικόνα.7. 3

Εικόνα.7. Block διάγραμμα του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες δύο εισόδων Όπως φαίνεται από την Εικόνα.6, κάνοντας μικρές αλλαγές στο κύκλωμα του ολοκληρωτή χωρίς απώλειες μιας εισόδου προκύπτει ο ολοκληρωτής-αφαιρέτης δύο εισόδων. Ακολουθώντας την ανάλυση που περιγράφηκε παραπάνω (Ενότητα.4.), η τελική έκφραση που συνδέει τα ρεύματα εισόδου-εξόδου της διάταξης στην Εικόνα.6, δίνεται από την εξίσωση (.). [ ˆ IN IN ] SQ( ˆ υ ) = SQ( ˆ OUT υ ) dt SQ( υ ) dt (.) ˆ τ Όπου η σταθερά χρόνου τˆ του ολοκληρωτή-αφαιρέτη δίνεται από την έκφραση Cˆ ˆ τ =. KI.4.3 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΤΡΙΩΝ ΕΙΣΟΔΩΝ Στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα.8) δίνεται η τοπολογία του SRD ολοκληρωτήαφαιρέτη χωρίς απώλειες (SRD Lossless Integrator-Subtractor) τριών εισόδων ο οποίος υλοποιείται και αυτός από τις δομικές βαθμίδες geometric mean και squarer/divider. Προσθέτοντας τα απαραίτητα blocks στην τοπολογία της Εικόνας.6 προκύπτει ο αντίστοιχος ολοκληρωτής-αφαιρέτης τριών εισόδων του οποίου η τελική έκφραση που συνδέει τα ρεύματα εισόδου-εξόδου δίνεται από την εξίσωση (.3). [ ˆ IN IN IN ] SQ( ˆ υ ) = SQ( ˆ OUT υ ) dt SQ( ˆ υ ) dt SQ( υ 3 ) dt (.3) ˆ τ 4

Εικόνα.8. Διάταξη του SRD ολοκληρωτή χωρίς απώλειες τριών εισόδων Επίσης, το block διάγραμμα του παραπάνω κυκλώματος φαίνεται στην Εικόνα.9. Εικόνα.9. Block διάγραμμα του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες τριών εισόδων 5

.4.4 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Έχοντας παρουσιάσει τους SRD ολοκληρωτές χωρίς απώλειες που θα χρησιμοποιηθούν στις διάφορες δομές φίλτρων, μπορεί να σχεδιαστούν και οι αντίστοιχοι SRD ολοκληρωτές με απώλειες. Στην Εικόνα. φαίνεται η τοπολογία του SRD ολοκληρωτή με απώλειες (SRD Lossy Integrator) μιας εισόδου ο οποίος υλοποιείται από τις δομικές βαθμίδες γεωμετρικού μέσου και τετραγωνιστή/διαιρέτη. i iz = i X Y i = Z i i X Y i = Z i i X Y Εικόνα.. Τοπολογία του SRD ολοκληρωτή με απώλειες μιας εισόδου Το block διάγραμμα του παραπάνω κυκλώματος όπως αυτό θα χρησιμοποιηθεί σε μεγαλύτερα κυκλώματα φαίνεται στην Εικόνα.. Εικόνα.. Block διάγραμμα του SRD ολοκληρωτή με απώλειες μιας εισόδου Στην συνέχεια ακολουθεί μια λεπτομερής ανάλυση του κυκλώματος της Εικόνας.. Το ρεύμα i C που διαρρέει τον πυκνωτή Ĉ δίνεται από την εξίσωση (.7). Όπως στην Ενότητα.4., εφαρμόζοντας τον κανόνα του Kirchhoff για τα ρεύματα στον κόμβο εξόδου και λαμβάνοντας υπόψιν τις πράξεις ρευμάτων που υλοποιούν τα κυκλώματα των γεωμετρικού μέσου και τετραγωνιστή/διαιρέτη (εξισώσεις (.5)- (.6)) το i C δίνεται από την εξίσωση (.4). 6

I I = (.4) ic iin iout iout iout Επομένως, από τις εξισώσεις (.7)-(.4) προκύπτει ˆ d ˆ υ = i i OUT C IN OUT dt iout iout I I i I OUT d Cˆ υˆ dt OUT = i IN i OUT (.5) Σύμφωνα με όσα έχουν προαναφερθεί στο Κεφάλαιο τότε το δεξιό μέλος της εξίσωσης (.5) είναι ίσο με SQ( υ ) SQ( ˆ υ ) όπου K μ C ( W ox ) ˆ και το IN OUT ( i + I ) OUT OUT ˆυ = + VTH, =, V L TH είναι η τάση κατωφλίου, και I είναι το συνεχές ρεύμα πόλωσης. Μετά από μαθηματικές πράξεις η εξίσωση (.5) παίρνει την τελική μορφή [εξίσωση (.6)] η οποία αποτελεί την έκφραση για τον SRD ολοκληρωτή με απώλειες μιας εισόδου. d ˆ τ [ SQ( ˆ υout )] + SQ( ˆ υout ) = SQ( ˆ υin ) (.6) dt Όπως και στα προηγούμενα κυκλώματα, ο σταθερός όρος τˆ αποτελεί την σταθερά Cˆ χρόνου του ολοκληρωτή και ορίζεται ως ˆ τ =. KI K 7

.4.5 SRD ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ ΜΕ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Η τελευταία τοπολογία που θα παρουσιαστεί αποτελεί τον SRD ολοκληρωτήαφαιρέτη με απώλειες δύο εισόδων (Εικόνα.) ο οποίος προκύπτει τροποποιώντας κατάλληλα το κύκλωμα της Εικόνας.. Επίσης στην Εικόνα.3 δίνεται το αντίστοιχο block διάγραμμά του. Εικόνα.. Τοπολογία του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη με απώλειες δύο εισόδων Εικόνα.3. Block διάγραμμα του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη με απώλειες δύο εισόδων Σύμφωνα με την ανάλυση που περιγράφηκε παραπάνω, η τελική έκφραση που συνδέει τα ρεύματα εισόδου-εξόδου της διάταξης στην Εικόνα., δίνεται από την εξίσωση (.7). d ˆ τ dt [ SQ( ˆ υ )] SQ( ˆ υ ) = SQ( ˆ υ ) SQ( υ ) OUT + (.7) OUT ˆ IN IN 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ LEAPFROG Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθεί ένα ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο 3 ης τάξης ακολουθώντας τη μέθοδο Leapfrog. Συγκεκριμένα, θα αναπτυχθεί η τεχνική με την οποία διαπιστώνεται πως από το διάγραμμα ροής σήματος (SFG) του παθητικού κυκλώματος προκύπτει το αντίστοιχο διάγραμμα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Οι βασικές δομικές μονάδες που θα χρησιμοποιηθούν είναι οι SRD ολοκληρωτές που παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο και οι οποίοι δομούνται από τις βαθμίδες γεωμετρικού μέσου και τετραγωνιστή/διαιρέτη. Επίσης, όπως προαναφέρθηκε στο Κεφάλαιο, για να διατηρηθεί η γραμμική συμπεριφορά όλου του συστήματος (φίλτρου) θα τοποθετηθούν στην είσοδο και στην έξοδό του, οι δυο συμπληρωματικοί τελεστές, SQ και SQRT. Τέλος, μέσα από μια σειρά εξομοιώσεων και μετρώντας σημαντικές παραμέτρους, επαληθεύεται η τεχνική με την οποία σχεδιάστηκε το φίλτρο, καθώς και η ορθή του λειτουργία. 3. ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ SRD ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ Με την μέθοδο Leapfrog μπορεί να εξομοιωθεί η συμπεριφορά των πρωτότυπων LC κλιμακωτών κυκλωμάτων, με βάση την λειτουργία τους και τις εξισώσεις που την περιγράφουν. Σύμφωνα με την συγκεκριμένη μέθοδο, η διαδικασία που θα ακολουθηθεί για την σχεδίαση του SRD φίλτρου αποτελείται από τα εξής βήματα: ΒΗΜΑ : Επιλογή του κατάλληλου LC κλιμακωτού κυκλώματος με τις αντίστοιχες κανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων. 9

ΒΗΜΑ : Εύρεση του διαγράμματος ροής σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων (s-domain). Μετασχηματισμός του συγκεκριμένου διαγράμματος έτσι ώστε να προκύψει το αντίστοιχο στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας (SRD). ΒΗΜΑ 3: Υλοποίηση του διαγράμματος ροής σήματος που προέκυψε στο Βήμα με χρήση κατάλληλων δομικών βαθμίδων. Αρχικά, αυτό που απαιτείται για την σχεδίαση του φίλτρου είναι το αντίστοιχο πρωτότυπο LC κλιμακωτό κύκλωμα το οποίο φαίνεται στην Εικόνα 3.. Οι κανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων δίνονται στον Πίνακα 3.. υ υ3 υ out υ s Εικόνα 3.. Παθητικό ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο 3 ης τάξης ΠΙΝΑΚΑΣ 3. ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΙΜΗ C.45F L 55.4mH C.F C 3.45F R S,R L Ω Pass Band Ripple=dB, Stop Band Ratio=. 3

Η αποκανονικοποίηση των στοιχείων θα γίνει σύμφωνα με τις παρακάτω εξισώσεις, όπου με το δείκτη n συμβολίζονται οι κανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων που φαίνονται στον Πίνακα 3., R είναι η στάθμη αποκανονικοποίησης εμπεδήσεων και f είναι η συχνότητα αποκανονικοποίησης. Cn C = (3..α) πf R R = R R (3..β) n LnR L = (3..γ) πf Όπως είναι γνωστό, όταν είναι γνωστό το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων που περιγράφουν ένα κύκλωμα τότε η εύρεση των διαγραμμάτων ροής σήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί με την επίλυση του συστήματος. Έτσι, χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές που βρίσκονται σημειωμένες στο σχήμα της Εικόνας 3. και εφαρμόζοντας τους κανόνες του Kirchhoff για την ανάλυσή του προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τα ρεύματα: ( υ υ ) R ( υ ) i S S υ S = υ S = RS RS R (3.) i = ( υ υ ) R ( υ υ ) L s υ = L s 3 R (3.3) υ R 3 υ3 il = υ L = RL RL R (3.4) Εφόσον έχουν εκφραστεί τα ρεύματα που διαρέεουν το κύκλωμα της Εικόνας 3., εφαρμόζεται ο κανόνας του Kirchhoff (KCL) στον κόμβο Α. Έτσι, με απλές μαθηματικές πράξεις, προκύπτει η εξίσωση (3.5) όπου αντικαθιστώντας σε αυτήν τις εκφράσεις των ρευμάτων των εξισώσεων (3.)-(3.4) προκύπτει η τελική μορφή για την τάση υ [εξίσωση (3.6)]. ( υ ) C s i S = i + υ C s + υ 3 (3.5) 3

υ C = υ S υ + υ3 (3.6) RC eqs C eq Η τιμή του πυκνωτή C eq της εξίσωσης (3.6) είναι ίση με το άθροισμα των πυκνωτών C +C. Στην συνέχεια εφαρμόζεται ο KCL στον κόμβο Γ [εξίσωση (3.7)] ώστε να βρεθεί η εξίσωση που δίνει την τάση υ 3. ( ) C s C s i υ3 3 L i υ = (3.7) + υ 3 Αντικαθιστώντας, λοιπόν, τις εκφράσεις για τα ρεύματα που δίνονται από τις εξισώσεις (3.)-(3.4) στην εξίσωση (3.7) προκύπτει η τελική έκφραση: υ C 3 = υ υ L + υ (3.8) RC3eqs C3eq Η τιμή του πυκνωτή C 3eq της εξίσωσης (3.8) είναι ίση με το άθροισμα των πυκνωτών C +C 3. Έτσι, σύμφωνα με τις εξισώσεις (3.)-(3.8), το διάγραμμα ροής σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων για το φίλτρο της Εικόνας 3., φαίνεται παρακάτω. 3

R R s R R s υs υ src eq υ s L R C C eq C C3 eq src 3eq υ 3 R R L Εικόνα 3.. Διάγραμμα ροής σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων για το φίλτρο της Εικόνας 3. Όπου η τιμή της αντίστασης R μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα ίση με τις αντιστάσεις R s και R L, με σκοπό τη βελτίωση διαφόρων χαρακτηριστικών του φίλτρου. Κάνοντας χρήση του γνωστού τελεστή SQ, οι εξισώσεις (3.6) και (3.8) γράφονται στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, ως εξής: SQ C = (3.6) ( ˆ υ ) SQ ˆ υ SQ ˆ υ + SQ( υ ) ˆ S 3 RC eqs C eq Αντίστοιχα, SQ C = (3.8) ( ˆ υ ) SQ ˆ υ SQ ˆ υ + SQ( υ ) 3 ˆ L RC3eqs C3eq Το διάγραμμα ροής σήματος που προκύπτει από τις εξισώσεις (3.6) -(3.8) δίνεται στο σχήμα της Εικόνας 3.3. 33

R R s i s R R s ˆυ SQRT SQ - ˆυ src eq s L R C C C eq - C3 eq src 3eq ˆυ 3 i out R R L Εικόνα 3.3. Διάγραμμα ροής σήματος στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας για το φίλτρο της Εικόνας 3. Το παραπάνω διάγραμμα ροής στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας προέκυψε με τέτοιο τρόπο ώστε οι ενδιάμεσες βαθμίδες να έχουν μη γραμμική συμπεριφορά και παράλληλα το συνολικό σύστημα (φίλτρο) να διατηρεί την γραμμική του λειτουργία. Για να πραγματοποιηθεί αυτό, χρησιμοποιούνται οι δύο τελεστές SQ και SQRT ως εξής: Τοποθετείται ο τελεστής SQRT στην έξοδο κάθε ολοκληρωτή. Τοποθετείται ο τελεστής SQ στην είσοδο κάθε ολοκληρωτή. Τοποθετείται ο τελεστής SQ στην έξοδο του φίλτρου. Τοποθετείται ο τελεστής SQRT στην είσοδο του φίλτρου. Τέλος, τα δύο μερικώς επικαλυπτόμενα τετράγωνα (SQ και SQRT) στην είσοδο του διαγράμματος ροής σήματος, μπορούν να αφαιρεθούν με σκοπό την απλοποίηση του συστήματος, καθώς συνθέτουν ένα καθρέπτη ρεύματος. Έτσι, αρκεί να συνδεθεί το ρεύμα εισόδου i s με αντίθετη φορά. 34

Γίνεται φανερό ότι, για να υλοποιηθεί το διάγραμμα ροής σήματος του ελλεπτικού βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης αρκεί να χρησιμοποιηθεί ο SRD ολοκληρωτής αφαιρέτης δύο εισόδων χωρίς απώλειες [Εικόνες.6-.7], ο SRD ολοκληρωτής αφαιρέτης τριών εισόδων χωρίς απώλειες [Εικόνες.8-.9], καθώς και το κύκλωμα ενός αθροιστή με βάρη. Έτσι, πριν παρουσιαστεί το διάγραμμα ροής σήματος του φίλτρου ακολουθεί η ανάλυση και η τοπολογία του SRD αθροιστή. Το κύκλωμα καθώς και το block διάγραμμα αυτού φαίνονται στις Εικόνες 3.4-3.5. Εικόνα 3.4 Τοπολογία SRD αθροιστή δύο εισόδων Εικόνα 3.5 Block διάγραμμα του SRD αθροιστή δύο εισόδων Εφαρμόζοντας τον KCL στον κόμβο εξόδου του κυκλώματος της Εικόνας 3.4 τότε η έκφραση για το i OUT δίνεται από την εξίσωση (3.9) i OUT = i (3.9) IN + m iin m I 35

Κάνοντας χρήση του τετραγωνικού νόμου για το MOS transistor το οποίο λειτουργεί στην περιοχή κορεσμού και μετά από απλές μαθηματικές πράξεις η εξίσωση (3.9) παίρνει τη παρακάτω μορφή: K K K ( ˆ υ V ) I = ( ˆ υ V ) I + m ( ˆ υ V ) I OUT TH IN TH IN TH (3.) Έτσι, στην εξίσωση (3.) φαίνεται η έκφραση του SRD αθροιστή δύο εισόδων όπου η δεύτερη είσοδος προστίθεται πολλαπλασιαζόμενη με έναν παράγοντα m. SQ ( ˆ υ ) SQ( ˆ υ ) + m SQ( υ ) OUT = (3.) ˆ IN IN 3. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ SRD ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ 3 ΗΣ ΤΑΞΗΣ Έχοντας αναλύσει την τεχνική με την οποία θα γίνει η σχεδίαση του ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, θα υλοποιηθεί το διάγραμμα ροής σήματος που φαίνεται στην Εικόνα 3.3, διασυνδέοντας κατάλληλα τις απαραίτητες δομικές βαθμίδες. Έτσι, η τοπολογία του φίλτρου φαίνεται παρακάτω στην Εικόνα 3.6. 36

SQRT Operator V DD i IN I V SS IN IN IN3 Lossless Integrator Subtractor OUT C a IN IN Summation OUT V SS C a OUT Lossless Integrator Subtractor IN IN SQ Operator V DD V SS I iout IN IN Lossless Integrator Subtractor OUT C 3a V SS IN IN Summation OUT V SS Εικόνα 3.6 Τοπολογία SRD ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης Αυτό που απομένει είναι ο υπολογισμός των τιμών των πυκνωτών Ĉ a, Ĉa και Ĉ 3a του ενεργού φίλτρου. Αρχικά, επιλέγεται η στάθμη αποκανονικοποίησης εμπεδήσεων ίση με R = = 34. 48kΩ. Σε αυτό το σημείο, υπενθυμίζεται από το Κεφάλαιο, ότι η KI σταθερά χρόνου κάθε SRD ολοκληρωτή είναι ίση με Cˆ ˆ τ = και εξισώνοντάς KI την με την σταθερά χρόνου κάθε ολοκληρωτή από τα διαγράμματα ροής των Εικόνων 3.-3.3, προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις RC Cˆ = a (3..α) eq KI L R Cˆ a = (3..β) KI 37

RC Cˆ 3a 3eq = (3..γ) KI Επίσης, επιλέγοντας την συχνότητα αποκοπής του φίλτρου ίση με f c =khz,οι αποκανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων φαίνονται στον Πίνακα 3.. ΠΙΝΑΚΑΣ 3. ΑΠΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΙΜΗ C 65.77pF L C C 3 8.8mH 5.69pF 65.77pF R, 34.48kΩ S R L Pass Band Ripple=dB, Stop Band Ratio=. Από τις εξισώσεις (3..α)-(3..γ) και από τον Πίνακα 3. οι τελικές τιμές των πυκνωτών του ελλειπτικού φίλτρου 3 ης τάξης είναι C ˆ = a 4. pf, Cˆ C C C pf 3 a = 3eq = + 3 = 7. 46. Cˆ a = C eq = C + C = 7. 46 pf, Όπως και στο Κεφάλαιο, όλες οι εξομοιώσεις πραγματοποιούνται με το πρόγραμμα εξομοίωσης Virtuoso Analog Environment του Cadence Software και τα μοντέλα των transistors που χρησιμοποιούνται είναι Level 49 MOS με τεχνολογία.35μm AMS S35D4 BiCMOS. Στην παρακάτω εικόνα, (Εικόνα 3.7) φαίνεται το κύκλωμα του φίλτρου όπως πραγματοποιήθηκε στο περιβάλλον σχεδίασης Virtuoso Schematic. 38

Εικόνα 3.7. Το κύκλωμα της Εικόνας 3.6 όπως φαίνεται στο περιβάλλον του Cadence Virtuoso Schematic 39

Στην Εικόνα 3.8 φαίνεται η απόκριση συχνότητας του φίλτρου, όπου παρατηρείται πολύ μικρή απόκλιση από τις προδιαγραφές σχεδίασης του ελλειπτικού φίλτρου (f c =khz, Pass Band Ripple=dB). Επίσης, στην Εικόνα 3.9 φαίνονται οι κυματομορφές εισόδου-εξόδου του ελλειπτικού φίλτρου σε ημιτονική διέγερση συχνότητας khz και πλάτους μα. Παρατηρείται ότι το σήμα περνάει αναλλοίωτο με μισό πλάτος, αφού το φίλτρο αποτελεί εξομοίωση ενός παθητικού το οποίο, ιδανικά παρουσιάζει στην ζώνη διέλευσης ενίσχυση -6dB. Εικόνα 3.8. Απόκριση συχνότητας ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου 3 ης τάξης Εικόνα 3.9. Κυματομορφές εισόδου-εξόδου του φίλτρου 4

Επίσης, στις Εικόνες 3.-3. παρουσιάζονται οι αποκρίσεις θορύβου για την είσοδο και την έξοδο του ελλειπτικού βαθυπερατού φίλτρου που σχεδιάστηκε στο παρόν κεφάλαιο. Εικόνα 3.. Απόκριση θορύβου εισόδου του φίλτρου Εικόνα 3.. Απόκριση θορύβου εξόδου του φίλτρου 4

Τέλος, χρησιμοποιώντας την στατιστική ανάλυση Monte Carlo μπορεί να εκτιμηθούν οι τυπικές αποκλίσεις των low-frequency gain και της συχνότητας αποκοπής, όπου συνυπολογίζονται τα mismatches των ενεργών και των παθητικών στοιχείων. Εικόνα 3.. Αποτέλεσμα της Monte-Carlo ανάλυσης για το low-frequency gain Εικόνα 3.3. Αποτέλεσμα της Monte-Carlo ανάλυσης για τη συχνότητα αποκοπής 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΟΥ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ ΜΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ Στο Κεφάλαιο 3 μελετήθηκε αναλυτικά η τεχνική σχεδίασης φίλτρων με την μέθοδο Leapfrog, στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Στο παρόν Κεφάλαιο θα γίνει χρήση της τοπολογικής μεθόδου εξομοίωσης φίλτρων, η οποία βασίζεται στην αντικατάσταση των παθητικών στοιχείων ενός πρωτότυπου LC κλιμακωτού κυκλώματος με τα αντίστοιχα SRD ισοδύναμά τους. Βασικό πλεονέκτημα της συγκεκριμένης μεθόδου είναι η ευκολία με την οποία μπορεί να σχεδιαστούν φίλτρα στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας καθώς δεν υπάρχει ανάγκη, χρησιμοποιώντας τους κανόνες του Kirchhoff να κατασκευαστεί κανένα διάγραμμα ροής. Στο τέλος του κεφαλαίου, θα σχεδιαστεί ένα ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο 3 ης τάξης και θα μελετηθεί η ορθή του λειτουργία μέσα από μια σειρά εξομοιώσεων. 4. SRD ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΤΩΝ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η τοπολογική μέθοδος σχεδίασης φίλτρων στηρίζεται στο γεγονός, ότι η τάση στα άκρα κάθε SRD ισοδύναμου αποτελεί την συμπιεσμένη έκφραση της τάσης στα άκρα του αντίστοιχου παθητικού στοιχείου και ότι το ρεύμα που διαρρέει το SRD ισοδύναμο είναι ίσο με αυτό του παθητικού στοιχείου. Έτσι, με αυτό τον τρόπο χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα στοιχεία κάθε φορά, μεταφέρεται η γραμμική σχέση μεταξύ i-υ στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας. Αρχικά, αφού παρουσιαστούν τα SRD ισοδύναμα των παθητικών στοιχείων μπορεί να σχεδιαστεί το ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο 3 ης τάξης, όπου το αντίστοιχο πρωτότυπο LC κλιμακωτό κύκλωμα φαίνεται στην Εικόνα 4. και οι κανονικοποιημένες τιμές των στοιχείων δίνονται στον Πίνακα 4.. 43

ΠΙΝΑΚΑΣ 4. ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΙΜΗ C.45F L 55.4mH C.F C 3.45F R S,R L Ω Pass Band Ripple=dB, Stop Band Ratio=. υ υ3 υ out υ s Εικόνα 4.. Παθητικό ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο 3 ης τάξης ΓΕΙΩΜΕΝΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗΣ (Grounded Resistor) Στην Εικόνα 4. φαίνεται ένας γειωμένος αντιστάτης με τιμή R και η γραμμική σχέση μεταξύ ρεύματος-τάσης i-υ δίνεται από την εξίσωση (4.). (α) Γειωμένος Αντιστάτης (β) SRD ισοδύναμο Εικόνα 4.. SRD ισοδύναμο γειωμένου αντιστάτη 44

i = υ R (4.) Για να αντιστοιχηθεί η εξίσωση (4.) στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας αρκεί να εισαχθεί ο κατάλληλος τελεστής SQ ο οποίος ορίζεται ως εξής: K υ = SQ( ˆ υ) ( ˆ υ VTH ) I KI (4.) Όπου οι παράμετροι K, V TH και I έχουν την φυσική σημασία που ορίστηκε στα προηγούμενα κεφάλαια. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.) στην (4.) τότε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση δίνεται από την εξίσωση (4.3): i K SQ( ˆ υ ) ( ˆ υ VTH ) I R R KI (4.3) = Στη εξίσωση 4.3 δίνεται η σχέση που συνδέει το ρεύμα με την συμπιεσμένη τάση για τον γειωμένο αντιστάτη. Αξίζει να σημειωθεί, ότι το ρεύμα διατηρείται κατά την αντιστοίχισή του από το γραμμικό πεδίο στο πεδίο της τετραγωνικής ρίζας, ενώ η τάση αντιστοιχίζεται σε μια συμπιεσμένη πλέον τάση. Επίσης στην Εικόνα 4..β δίνεται το SRD ισοδύναμο για τον γειωμένο αντιστάτη, όπου το ρεύμα i είναι ίσο με: K i = ( ˆ υ VTH ) I (4.4) Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (4.3) και (4.4), προκύπτει ότι το SRD ισοδύναμο της Εικόνας 4..β εξομοιώνει έναν γειωμένο αντιστάτη με τιμή R =. KI ΑΝΤΙΣΤΑΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΓΕΙΩΣΗ (Floating Resistor) Κατά αντίστοιχο τρόπο, το ρεύμα που διαρρέει τον αντιστάτη χωρίς γείωση που φαίνεται στην Εικόνα 4.3.α είναι ίσο με: i = R K K υ S S TH TH (4.5) R KI [ SQ( ˆ ) SQ( ˆ υ) ] = ( ˆ υ V ) ( ˆ υ V ) 45

(α) Μη γειωμένος αντιστάτης (β) SRD ισοδύναμο Εικόνα 4.3.SRD ισοδύναμο μη γειωμένου αντιστάτη Η έκφραση για το ρεύμα του SRD ισοδύναμου του αντιστάτη χωρίς γείωση δίνεται από την εξίσωση 4.6 K ( ) K i = ˆ υ ( ˆ ) S VTH υ VTH (4.6) Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (4.5) και (4.6), προκύπτει ότι το SRD ισοδύναμο της Εικόνας 4.3.β εξομοιώνει έναν αντιστάτη χωρίς γείωση με τιμή R =. KI ΕΠΑΓΩΓΟΣ ΧΩΡΙΣ ΓΕΙΩΣΗ (Floating Inductor) Η γραμμική σχέση που συνδέει το ρεύμα με την τάση σε έναν επαγωγό χωρίς γείωση (Εικόνα 4.4.α) είναι: = i L υ dt (4.7) υˆc (α) Επαγωγός χωρίς γείωση (β) SRD ισοδύναμο Εικόνα 4.4. SRD ισοδύναμο μη γειωμένου επαγωγού 46

Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, κάνοντας χρήση του τελεστή που ορίσαμε SQ, τότε η εξίσωση (4.7) γράφεται ως εξής: i = [ SQ( ) SQ( )]dt L ˆ υ ˆ υ (4.8) Το SRD ισοδύναμο του επαγωγού χωρίς γείωση φαίνεται στην Εικόνα 4.4.β, όπου η τάση εξίσωση (4.9): υˆ C στην έξοδο του ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες δίνεται από την SQ( ˆ υ C ) = [ SQ( ˆ υ ) SQ( ˆ υ )]dt (4.9) ˆ τ Όπου τˆ είναι η σταθερά χρόνου του SRD ολοκληρωτή-αφαιρέτη χωρίς απώλειες που αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο. Στην Εικόνα 4.4.β, το transistor Μn και η πηγή ρεύματος I μετατρέπουν την συμπιεσμένη τάση υˆ C σε ρεύμα i και τα transistors Mn,Mp,Mp αναστρέφουν την φορά του. Το ρεύμα i ισούται με: K i = ( ˆ υ C VTH ) I (4.) Κάνοντας χρήση της εξίσωσης (4.), τότε η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφεί εναλλακτικά ( υˆ ) i = KI SQ (4.) C Επομένως, αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.) στην (4.9) προκύπτει η τελική έκφραση για το ρεύμα: KI i ˆ τ [ SQ( ˆ υ ) SQ( ˆ υ )]dt = (4.) Τέλος, συγκρίνοντας τις εξισώσεις (4.8) και (4.) συμπεραίνεται ότι η τοπολογία της Εικόνας 4.4.β εξομοιώνει έναν μη γειωμένο επαγωγό με τιμή ˆ τ L =. KI 47

ΓΕΙΩΜΕΝΟΣ ΠΥΚΝΩΤΗΣ (Grounded Capacitor) Για τον γειωμένο πυκνωτή (Εικόνα 4.5.α), η σχέση μεταξύ ρεύματοςσυμπιεσμένης τάσης δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: d i = C SQ( υˆ C ) (4.3) dt (α) Γειωμένος Πυκνωτής (β) SRD ισοδύναμο Εικόνα 4.5. SRD ισοδύναμο γειωμένου πυκνωτή Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Kirchhoff για τα ρεύματα στον κόμβο Α στο SRD ισοδύναμο του γειωμένου πυκνωτή (Εικόνα 4.5.β), προκύπτει ότι: K ( ) K ˆ υ V ( ˆ ) TH = υc VTH (4.4) Από την εξίσωση (4.4) συμπεραίνεται ότι η τάση στην έξοδο του ολοκληρωτή χωρίς απώλειες είναι ίση με την τάση στην είσοδό του ( ˆ υ = ˆ υ ). Επίσης, λόγω της παρουσίας του ολοκληρωτή, η τάση υˆ A μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: C d SQ( ˆ υ A ) = ˆ τ SQ( ˆ υc ) (4.5) dt 48

Κάνοντας χρήση του κανόνα του Kirchhoff, αυτή τη φορά, για τα ρεύματα στον κόμβο εισόδου του κυκλώματος προκύπτει ότι: λόγω της (4.) K i = ( ˆ υ A VTH ) I i KI SQ( ˆ = υ A ) (4.6) Αντικαθιστώντας την τελική έκφραση της εξίσωσης (4.6) στην (4.5) και θεωρώντας C = ˆ τ KI. ˆ υ = ˆ υ, τότε η τιμή του εξομοιωμένου γειωμένου πυκνωτή είναι C ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΧΩΡΙΣ ΓΕΙΩΣΗ (Floating Capacitor) Στην Εικόνα (4.6) δίνονται ο μη γειωμένος πυκνωτής καθώς και το αντίστοιχο SRD ισοδύναμό του. Η έκφραση που συνδέει το ρεύμα με την συμπιεσμένη τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι η εξής: d i = C [ SQ( ˆ υ) SQ( ˆ υ )] (4.7) dt (α) Πυκνωτής χωρίς γείωση (β) SRD ισοδύναμο Εικόνα 4.6. SRD ισοδύναμο μη γειωμένου πυκνωτή Ακολουθώντας παρόμοια ανάλυση όπως με όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις προκύπτει εύκολα ότι η τιμή του εξομοιωμένου μη γειωμένου πυκνωτή είναι C = ˆ τ KI. 49