ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005

2 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας. F( L { f ( t } 0 f ( t e t dt Όπου είναι μια μιγαδική μεταβλητή με διαστάσεις συχνότητας. ( f(t δ(τ u(t e -at in(t c(t te -at e -at in(t e -at c(t F( a ( a ( a a ( a

3 Κλασματικοί μετασχηματισμοί Lalace F( N( b M M M M N N D( an an b... b b... a a ( Οι ρίζες του του παρανομαστή λέγονται πόλοι. Η παραπάν συνάρτηση εκφράζεται ς άθροισμα κλασμάτν που στον παρανομαστή υπάρχουν οι πόλοι για να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lalace. Στην περίπτση πραγματικού μη πολλαπλού πόλου ι οαντίστοιχος όρος είναι της μορφής: K i i Στην περίπτση πραγματικού πολλαπλού πόλου ι οι αντίστοιχοι όροι είναι της μορφής (για πολλαπλότητα : K i i K i ( i 3

4 Όταν εμφανίζονται μιγαδικοί πόλοι θα πρέπει να είναι συζυγείς,γιατί οι αντίστοιχοιόροιείναιτηςμορφής: K K * a jβ a jβ Μόνο στην περίπτση αυτή η αντίστοιχη συνάρτηση χρόνου είναι: Με την συνθήκη ότι: K e K at c( β t θ K e jθ Ένας άλλος τρόπος γραφής της F( είναι με την μορφή γινομένου πόλν και μηδενικών: (3 ( z ( M F ( K, K ( ( z... ( z... ( N b a M N (4 Είναι δυνατόν να υπάρχουν πόλοι και μηδενικά στο άπειρο. Αυτό εξαρτάται από την τιμή της F( για. Ο συνολικός αριθμός πόλν και μηδενικών είναι ο ίδιος. 4

5 . Συνάρτηση μεταφοράς. Μετασχηματισμός παθητικών στοιχείν dυ Πυκντής: i C c υc ( 0 0 c I c( C Vc ( dt Πηνίο: Ορισμός υ L di L dt L H ( i ( 0 0 L I ( Y (, X( Υ(: μετασχηματισμός Lalace εξόδου Χ(: μετασχηματισμός Lalace εισόδου L VL( L Συνάρτηση μεταφοράς ή συνάρτηση συστήματος (5 (6 Αν Χ(,τότε Y(H(. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ο Lalace μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρισης. 5

6 Θέση πόλν και μηδενικών Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές θα πρέπει: h( t 0, t Οι πόλοι της H( θα πρέπει να είναι τέτοιοι ώστε να ικανοποιείται η παραπάν συνθήκη. Άρα, - Αν είναι πραγματικοί θα πρέπει να είναι αρνητικοί. - Αν είναι συζυγείς μιγαδικοί, θα πρέπει το πραγματικό μέρος να είναι αρνητικό. Το γενικό συμπέρασμα είναι ότι για ευσταθή συστήματα οι πόλοι πρέπει να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του πεδίου-. Τα μηδενικά δεν επηρεάζουν την ευστάθεια του συστήματος. Μορφή συνάρτησης μεταφοράς Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει ο βαθμός του πολυνύμου του αριθμητή να είναι μικρότερος ή ίσος από το βαθμό του πολυνύμου του παρανομαστή. 6

7 Έξοδος σε τυχαία διέγερση Y ( H( X ( Η Υ( αναλύεται σε άθροισμα μερικών κλασμάτν που έχουν τους πόλους του αριθμητή και του παρανομαστή. Σε ευσταθή συστήματα, οι όροι που προέρχονται από τους πόλους της H( εξασθενούν πολύ γρήγορα με τον χρόνο (tranient rene. Οι όροι που προέρχονται από τους πόλους της Χ( παραμένουν με τον χρόνο και αποτελούν την απόκριση σταθερής κατάστασης (teady-tate rene. 7

8 Η συνάρτηση μεταφοράς και η ημιτονική απόκριση σταθερής κατάστασης x( t Ac( t X ( A K K * ( term generated by the le f H( j j Y A K Απόκριση σταθερής κατάστασης K K H( A j A H( j H ( j H ( j e jθ ( j H( j e jθ ( (7 (3, (7: ( t A H( j c[ t θ ( ] (8 y 8

9 . AΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ. Απόκριση συχνότητας, μέτρου, φάσης.. Κύκλμα ης τάξης V in R C V ut H( c, c H( c c RC Συνάρτηση μεταφοράς j Απόκριση συχνότητας j H( Θ ( H( arg j ( [ H( j ] tan c c Απόκριση μέτρου Απόκριση φάσης (9 (0 9

10 0. Διαγράμματα Bde φ c c j 0 j j H( ( tan ( j H( c c φ Θ Για c ισχύει ότι: H( ( H 0 c

11 Προσέγγιση μέτρου G( 0 lg Για << c, G( 0 Για >> c, G( 0 H( j 0 lg0 j 0 lg 0 c H τομή τν δύο ασύμπττν ευθειών είναι στην c που ονομάζεται συχνότητα καμπής. G( c Κλίση: -0dB/decade -0 0 c 0 c ή -6dB/ctave

12 Διαγράμματα Bde με μεγαλύτερη προσέγγιση Για c : G( 3dB Για c /: G( db Για c : G( 7dB G( 0 c / c - -3

13 Προσέγγιση φάσης Για <0. c, Θ 0 Για >0 c, Θ( -90 Για 0. c <<0 c, Θ( είναι ευθεία που για c : Θ( c -45 ο c c 0 c -90 3

14 .3 ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Πραγματικός πόλος ης τάξης ( - c Απόκριση μέτρου << c, G( 0dΒ >> c, G( -0lg(/ c (db Οι δύο ασύμπττες τέμνονται για c (συχνότητα θλάσης. Απόκριση φάσης <0. c, Θ(j 0 >0 c, Θ(j -π/ 0. c <<0 c, Θ(j ευθεία που για c, Θ(j-π/4 4

15 Πραγματικό μηδενικό ης τάξης (z- z Απόκριση μέτρου << c, G( 0dB >> c, G( 0lg(/ z (db Οι δύο ασύμπττες τέμνονται για z Απόκριση φάσης <0. z, Θ(j 0 >0 z, Θ(j π/ 0. z <<0 z, Θ( είναι ευθεία που για z : Θ(π/4 5

16 6 Συζυγείς μιγαδικοί πόλοι ( ( * K Q K H( 4Q j Q ο : συχνότητα πόλου Q: συντελεστής ποιότητας πόλου Για να είναι μιγαδικοί οι πόλοι θα πρέπει Q>0.5. K K, Q j K j H( Q j 0 lg 0 lg K G( Q tan ( Θ

17 Απόκριση μέτρου <<, G( 0dB >>, G( -40lg(/ (db Οι δύο ασύμπττες τέμνονται για Απόκριση φάσης <<, Θ( 0 ο >>, Θ( -80 ο Η Θ( περνά από το σημείο ( ο,-90 ο και συναντά τις ασύμπττες 0 ο και 80 ο στις συχνότητες 4.8 -(/Q ο και 4.8 (/Q ο, αντίστοιχα. 7

18 8.4 Γενικοί τύποι εύρεσης τν αποκρίσεν μέτρου και φάσης N N N N M M M M a a... a a b b... b b H( ( N M N M a b K, (... ( ( z (... z ( z ( K ( H ( j (... j ( j ( z j (... z j ( z j ( K j H( N M i j zk i e V z j φ i j k i e V j φ Aν: και [ ] [ ] [ ] N zm z N z M z z K arg ( V... V V V... V V K H( φ φ φ φ Θ arg[k]0, K>0 arg[k]π, K<0

19 3. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3. Εισαγγή V in ( Αναλογικό φίλτρο V ( Συνάρτηση μεταφοράς: V H( V in ( ( (3. Απόκριση συχνότητας: H( j Απόκριση μέτρου: H( H( j Απόκριση φάσης: [ H( j ] Θ ( arg Συνάρτηση κέρδους: G( 0 lg H( (db Συνάρτηση απόσβεσης: A( 0 lg H( (db 9

20 Χαρακτηριστικά μετάδοσης ιδανικών φίλτρν Οι παραπάν αποκρίσεις δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν από ηλεκτρονικά κυκλώματα, γιατί απαιτούνται μη αιτιατά συστήματα. 0

21 3.. ΒHMATA ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΦΙΛΤΡΟΥ 3.. Προδιαγραφές του φίλτρου. Βαθμός επιλεκτικότητας (electivity factr: / Κυμάτση της ζώνης διέλευσης (aband rile: A max

22 3.. Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς (προσέγγιση του φίλτρου. b b... b b ( ( z... ( M M M M M H ( K, K N N an an... a a ( (... ( N z z b a M N (3. Οι ρίζες του αριθμητή λέγονται μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς ή μηδενικά διέλευσης. Οι ρίζες του παρανομαστή λέγονται πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ή φυσικές συχνότητες. Επειδή οι συντελεστές του φίλτρου είναι πραγματικοί, οι μιγαδικοί πόλοι/μηδενικά είναι συζυγείς. Τα μηδενικά βρίσκονται πάν στον j άξονα όταν η απόκριση μέτρου είναι μηδενική σε πεπερασμένες συχνότητες. Ο αριθμός τν μηδενικών που βρίσκονται στο άπειρο είναι: N-M. Για να υπάρχει ελάχιστη μεταβολή στη φάση, τα μηδενικά θα πρέπει να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του πεδίου- Για να είναι το φίλτρο ευσταθές θα πρέπει: N M. (Ν: τάξη του φίλτρου Οι πόλοι πρέπει να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του πεδίου- (εκτός από τον j άξονα.

23 Επίδραση της θέσης πόλν-μηδενικών στην απόκριση συχνότητας 3

24 3..3 Βαθυπερατές συναρτήσεις Butterwrth Όλα τα μηδενικά διέλευσης είναι στο άπειρο (φίλτρα με πόλους μόνο. H( ε N 4

25 Προσδιορισμόςτηςτάξηςτουφίλτρου Για H( ε Amax H( 0 Amax 0 lg H( 0 lg ε ε 0 ε N (3.3 (3.4 Για ε, τότε -3dB Για A( 0 lg ε N Από τις (3.4,(3.5 προσδιορίζεται η τάξη του φίλτρου. A min (3.5 N lg 0.Amin 0 0.Amax 0 lg (3.6 5

26 Εύρεση τν πόλν της συνάρτησης Εύρεση του μέτρου τν πόλν Οιπόλοιβρίσκονταιπάνσεκύκλοακτίνας: Άρα όλοι οι πόλοι έχουν την ίδια συχνότητα ο. ε N (3.7 Για Ν, τότε. Εύρεση της φάσης τν πόλν Οι πόλοι σχηματίζουν μεταξύ τους γνία π/ν, με τον πρώτο πόλο να σχηματίζει γνία π/ν με τον j άξονα. Εκφραση για τυχαίο πόλο: (cφ j inφ k k k 6

27 Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς Γενική μορφή συνάρτησης Butterwrth H( ( K ( N...( όπου Κ είναι το απαιτούμενο κέρδος στο DC. N (3.8 Σχόλια: Οι αντίστοιχες υψηπερατές, ζνοδιαβατές κ,.λ.π συναρτήσεις προκύπτουν με την χρήση κατάλληλν μετασχηματισμών συχνότητας. Τα φίλτρα Butterwrth έχουν το πλεονέκτημα της επίπεδης απόκρισης στηζώνηδιέλευσης(maximally flat filter. Τα φίλτρα Butterwrth έχουν το μειονέκτημα της αργής μετάβασης στη ζώνη αποκοπής. 7

28 3..4 Βαθυπερατές συναρτήσεις Chebyhev Στα φίλτρα περιττής τάξης είναι Η(0. Τα φίλτρα άρτιας τάξης παρουσιάζουν την μέγιστη απόκλιση για 0. Ο συνολικός αριθμός μεγίστν και ελαχίστν είναι ίσος με την τάξη του φίλτρου. Όλα τα μηδενικά διέλευσης είναι στο άπειρο (φίλτρα με πόλους μόνο. 8

29 9 H( ε 0 0 lg 0 lg H( A 0 A max max ε ε min A N ch ch 0 lg ( A ε Για (3.9 (3.0 (3. Προσδιορισμόςτηςτάξηςτουφίλτρου, N c c ( H ε, N ch ch ( H ε 0.A 0.A ch 0 0 ch N max min (3.

30 Εύρεση τν πόλν της συνάρτησης k π k π k in inh inh j c ch inh,k N N ε N N ε,,..., N (3.3 Εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς H( N ε ( K ( N...( N (3.4 όπου Κ είναι το απαιτούμενο κέρδος στο DC. Σχόλια: Για την ίδια τάξη και το ίδιο Α max, το φίλτρο Chebyhev παρέχει μεγαλύτερη απόσβεση στη ζώνη διέλευσης, σε σχέση με το Βutterwrth. Για να ικανοποιηθούν οι ίδιες προδιαγραφές απαιτείται μικρότερη τάξη για ένα φίλτρο Chebyhev, σε σχέση με το Butterwrth. 30

31 3.3 ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ H( a a (3.5 Τρόποι υλοποίησης: Με παθητικά RC κυκλώματα. Με ενεργά RC κυκλώματα. Πλεονεκτήματα-μειονεκτήματα Η υλοποίηση με ενεργά RC κυκλώματα προσφέρει την δυνατότητα ρύθμισης του μέγιστου κέρδους του φίλτρου. Η υλοποίηση με ενεργά RC κυκλώματα προσφέρει την δυνατότητα διαδοχικής διασύνδεσης τν βαθμίδν, χρίς η μία να επηρεάζει την άλλη. Η χρήση Τελεστικού Ενισχυτή συνεπάγεται διάφορους περιορισμούς για την συχνότητα λειτουργίας, το πλάτος του σήματος εισόδου κ.λ.π. 3

32 3

33 Ολοδιαβατό φίλτρο Τα ολοδιαβατά φίλτρα χρησιμοποιούνται σε συστήματα όπου απαιτείται μορφοποίηση της φάσης (π.χσεdelay equalizer. 33

34 3.4 ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ όπου Q, ± j H( a a a ( ( 4Q a a a Q (3.6 ο : συχνότητα πόλου Q: συντελεστής ποιότητας πόλου Οι πόλοι είναι συζυγείς μιγαδικοί όταν Q>0.5, και τότε το φίλτρο έχει υψηλότερη επιλεκτικότητα σε σχέση με την περίπτση πραγματικών πόλν. Τα μηδενικά μεταφοράς καθορίζονται από τους συντελεστές του αριθμητή και έτσι αυτοί καθορίζουν το είδος της συνάρτησης που υλοποιείται. 34

35 Η κορυφή εμφανίζεται για Q>0.707 Όταν Q0.707 έχουμε απόκριση Butterwrth. 35

36 Στο ζνοπερατό φίλτρο η συχνότητα τν πόλν είναι ίση με ην κεντρική συχνότητα του φίλτρου. Η επιλεκτικότητα ενός ζνοπερατού φίλτρου μετριέται με το εύρος ζώνης 3dB. BW - /Q 36

37 37

38 3.4. LCR κυκλώματα ης τάξης Βαθυπερατό φίλτρο Υψηπερατό φίλτρο H( LC CR LC (3.9 H( CR LC (3.0 Ζνοπερατό φίλτρο Φίλτρο σχισμής H( CR CR (3. LC H( LC CR (3. LC 38

39 3.4. Ενεργά RC κυκλώματα ης τάξης Τρόποι υλοποίησης Με εξομοίση τν επαγγών σε LCR κυκλώματα ης τάξης. Με χρήση βρόχου δύο ολοκληρτών Φίλτρα βασισμένα στην εξομοίση επαγγών Κύκλμα εξομοίσης επαγγού (κύκλμα Αντνίου Συνήθς επιλέγουμε: R R R 3 R 4 R και έτσι: L CR 39

40 Ζνοπερατό φίλτρο 40

41 Ενεργά φίλτρα ης τάξης βασισμένα στην τοπολογία βρόχου δύο ολοκληρτών Tw-Thma biquad 4

42 3.7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Αποκανονικοποίηση συχνότητας Πίνακας πολυνύμν Butterwrth για βαθυπερατή συνάρτηση (K DC,ε, rad/ec Βαθμός n Πολυώνυμο n.44 n 3 ( n n ( n Οι παραπάν εκφράσεις είναι κανονικοποιημένες στη συχνότητα αποκοπής. Για να γίνει αποκανονικοποίηση της συνάρτηση μεταφοράς ( rad/ec, πρέπει να τεθεί: n 4

43 Μετασχηματισμός βαθυπερατού σε υψηπερατό Στην κανονικοποιημένη βαθυπερατή συνάρτηση τίθεται: n οπότε προκύπτει υψηπερατό με συχνότητα. Μετασχηματισμός βαθυπερατού σε ζνοπερατό Στην κανονικοποιημένη βαθυπερατή συνάρτηση τίθεται: n ( Μετασχηματισμός βαθυπερατού σε απόρριψης ζώνης Στην κανονικοποιημένη βαθυπερατή συνάρτηση τίθεται: n ( 43

44 3.8 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ Αποκανονικοποίηση εμπέδησης Αν οι εμπεδήσεις όλν τν στοιχείν πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο συντελεστή: R k L k C m m C k m R L Τότε: Αποκανονικοποίηση συχνότητας Αν οι τιμές τν L και C μεταβληθούν ς εξής: H ( H( Z ( k Z( m L C L k f C k f Τότε: H ( H k f Z ( Z( 44

45 Αποκανονικοποίηση εμπέδησης και συχνότητας R k L C k k k m m f m R L k Αποκανονικοποίηση τν τιμών τν στοιχείν σε RLC f C Οι τιμές τν R, L και C που δίνονται σε πίνακες RLC φίλτρν είναι κανονικοποιημένες ς προς την -3dB και επίσης R n R Ln Ω. Αποκανονικοποίηση τιμών V in R n C n L n C 3n R Ln V R S,L k k L C k m m m 3dB R L n 3dB S,Ln C n 45

46 3.9 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ LC ΦΙΛΤΡΩΝ Μετασχηματισμός από βαθυπερατό σε υψιπερατό Μετασχηματισμός συχνότητας n Μετασχηματισμός στοιχείν Rn Rn C n L C n L n C L n 46

47 47 Μετασχηματισμός από βαθυπερατό σε ζνοπερατό n R n R C n L n C n B L B C C n C L C L L n B C B L L n Β n ο ο ο ( Μετασχηματισμός συχνότητας Μετασχηματισμός στοιχείν - και Β ο