ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

DIALOGVS DE SYSTEMATE MVNDI "Dialg spra i due massimi sisemi del mnd" 16

«Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραμμένη σε εκείνο το μεγάλο βιβλίο που βρίσκεται συνεχώς μπροστά στα μάτια μας, εννοώ το Σύμπαν Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε χωρίς να μάθουμε πρώτα τη γλώσσα του και να αντιληφθούμε το νόημα των συμβόλων της Το βιβλίο είναι γραμμένο στη γλώσσα των Μαθηματικών» Γαλιλαίος (16ος αιώνας)

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 11 Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles Lamb (19 ος αιώνας) Κάθε βάσιμη επιστημονική θεωρία, είτε αναφέρεται στο χρόνο και στο χώρο, είτε σε οποιαδήποτε άλλη έννοια, οφείλει να στηρίζεται στην πλέον αποτελεσματική φιλοσοφία της επιστήμης: τη θετικιστική προσέγγιση Σύμφωνα με το συγκεκριμένο τρόπο σκέψης, μια επιστημονική θεωρία συνιστά ένα μαθηματικό πρότυπο που περιγράφει και κωδικοποιεί τις παρατηρήσεις μας Αν κάποιος ακολουθεί τη θετικιστική προσέγγιση δεν μπορεί να πει τι είναι στην πραγματικότητα ο χρόνος, όμως μπορεί να περιγράψει αυτό το οποίο θεωρείται ως ένα καλό μαθηματικό πρότυπο του χρόνου και να αναφέρει τις προβλέψεις αυτού του προτύπου Ο Isaac Newn, στο έργο του Philsphiæ Nauralis Principia Mahemaica (1687), παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο Στο πρότυπο αυτό, ο χρόνος και ο χώρος συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονται τα γεγονότα, χωρίς όμως να επηρεάζεται από αυτά Ο χρόνος είναι διαχωρισμένος από το χώρο και νοείται ως μια ανεξάρτητη γραμμή, κάτι σαν σιδηροδρομική γραμμή, που εκτείνεται επ άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις Θεωρείται επίσης παντοτινός, υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα Sephen Hawking (0ος αιώνας) Ο χωρο-χρόνος του Νεύτωνα (Κλασική Μηχανική) Ο χωρόχρονος του Αϊνστάιν (Σχετικιστική Μηχανική) Από το βιβλίο του Sephen Hawking: «The Universe in a Nushell»

11 Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 17 Ο Νεύτωνας, στο βιβλίο του Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, παρουσίασε το πρώτο μαθηματικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο Στο πρότυπο αυτό, σε αντίθεση με την αντίληψη που επικρατούσε από την αρχαιότητα, ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν αρχή, είναι διαχωρισμένοι μεταξύ τους και συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραματίζονται τα γεγονότα, χωρίς να επηρεάζεται από αυτά Στη σύγχρονη μαθηματική θεώρηση, το γεωμετρικό πρότυπο αναπαράστασης του κλασικού χωρο-χρόνου, που ανταποκρίνεται στην ανυπαρξία χωρικής και χρονικής 4 αρχής, εκφράζεται με έναν τετραδιάστατο αφινικό χώρο Τα σημεία του καλούνται γεγονότα και αποκτούν διανυσματική υπόσταση στον πραγματικό διανυσματικό χώρο Αυτό διασφαλίζεται διαμέσου μιας 4 απεικόνισης: 4 4 4 4 4 που σε κάθε ζεύγος γεγονότων ab, προσαρτά ένα μοναδικό διάνυσμα ab κατά τρόπο ώστε να πληρούνται οι αξιωματικές συνθήκες: 4 Αν δοθεί ένα διάνυσμα 4, σε κάθε γεγονός a προσαρτάται ένα 4 μοναδικό γεγονός b τέτοιο ώστε: ab 4 Για κάθε τριάδα γεγονότων abc,, ισχύει: ab bc ac 4 4 Η μετάβαση από ένα γεγονός a σε ένα γεγονός b πραγματοποιείται με τη 4 μεταφορά που ορίζεται από το διάνυσμα ab και όλες αυτές οι τετραδιάστατες μεταφορές σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο ισόμορφο προς τον πραγματικό 4 διανυσματικό χώρο Ο χρόνος ορίζεται ως προβολή του τετραδιάστατου χώρου των μεταφορών στην πραγματική ευθεία που πλέον θα καλείται χρονικός άξονας: 4 : Η 1 η συνθήκη διασφαλίζει τη δυνατότητα μεταφοράς των γεγονότων μέσα στο χωρο-χρόνο 4 διαμέσου των διανυσμάτων του πραγματικού διανυσματικού χώρου : b a ab Η η συνθήκη εκφράζει την κλασική διανυσματική σχέση του Chasles και από εδώ απορρέει ότι: 0 aa και ab ba Στο Παράρτημα 1, υπενθυμίζουμε τη γεωμετρική κατασκευή μιας n-διάστατης αφινικής δομής σε ένα σύνολο Ε, τους νόμους που διέπουν αυτή τη δομή και το πώς τα στοιχεία του αποκτούν διανυσματική n υπόσταση στον προσαρτημένο πραγματικό διανυσματικό χώρο - Βλ Παράρτημα 1 4

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο γεγονότα a και b προσμετράται με τον πραγματικό αριθμό ( b a ) ( ab) και όταν ( b a ) 0 τότε τα γεγονότα λέγονται ταυτόχρονα Ο πυρήνας της προβολής αυτής στο χρονικό άξονα αποτελείται από τις τετραδιάστατες μεταφορές που μεταφέρουν κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του: Ker 4 / ( ) 0 ab Σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή, τα ταυτόχρονα γεγονότα σχηματίζουν έναν τρισδιάστατο αφινικό χώρο προσαρτημένο στον πραγματικό διανυσματικό χώρο Έτσι, ο χωρο-χρόνος διασπάται σε καρτεσιανό γινόμενο χώρου και χρόνου : 4 1 και προσαρτάται στον αριθμητικό χωρο-χρόνο που ορίζεται ως καρτεσιανό γινόμενο του ευκλείδειου χώρου με το χρονικό άξονα : 4 Στον αριθμητικό χώρο-χρόνο τα γεγονότα αποκτούν χωρικές και χρονικές συντεταγμένες και η χωρική απόσταση δύο ταυτόχρονων γεγονότων a ( x, ) και b ( y, ) προσμετράται με την ευκλείδεια μετρική: d :, d( x, y) x y Η γεωμετρική δομή του κλασικού χωρο-χρόνου που χαρακτηρίζεται από τον αφινικό της χαρακτήρα, τη γραμμικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δομή του χώρου, καλείται γαλιλαϊκή δομή ab Μετάβαση από ένα γεγονός σε ένα άλλο γεγονός στον κλασικό χωρο-χρόνου Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει φυσική μετρική που να προσμετρά συγχρόνως τις χωρικές αποστάσεις και τα χρονικά διαστήματα γιατί, στο πλαίσιό της, δεν υφίσταται παγκόσμια σταθερά με διαστάσεις ταχύτητας όπως συμβαίνει με την ταχύτητα του φωτός στη Θεωρία της Σχετικότητας

1 ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 19 1 ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Οι μετασχηματισμοί του χωρο-χρόνου που αφήνουν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δομή του καλούνται γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο, πρόκειται για τους μετασχηματισμούς: g : που διατηρούν τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων, τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων, το χωρικό προσανατολισμό και τους μετασχηματισμούς αδρανειακής μετατόπισης στο χωρο-χρόνο Συνεπώς, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από τη σύνθεση των χρονικών μεταφορών, των χωρικών μεταφορών, των χωρικών στροφών και των μετασχηματισμών αδρανειακής μετατόπισης: χρονική μεταφορά: ( x, ) ( x, ), χωρική μεταφορά: ( x, ) ( x x, ) x, χωρική στροφή: ( x, ) ( Sx, ) S (), αδρανειακή μετατόπιση: ( x, ) ( x v, ) v Το σύνολο των γαλιλαϊκών μετασχηματισμών, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης, αποτελεί μη αντιμεταθετική ομάδα που καλείται γαλιλαϊκή ομάδα και συμβολίζεται G ( ) Κάθε στοιχείο της καθορίζεται από τις τιμές 10 παραμέτρων:, x ( x, x, x ), v ( v, v, v ), S () 1, 1, Από φυσική άποψη, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί εκφράζουν τη χρονική ομογένεια, τη χωρική ομογένεια, 1 τη χωρική ισοτροπία και την αδρανειακή συμπεριφορά στο χωρο-χρόνο Το σύμβολο () δηλώνει την ομάδα στροφών στον ευκλείδειο χώρο - Βλ Παράρτημα

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η γαλιλαϊκή ομάδα δρα στον αριθμητικό χωρο-χρόνο μετασχηματίζοντας κάθε γεγονός σε ένα άλλο γεγονός ως εξής: g, g :, ( x, ) (S xvx, ) g G( ), και, στο πλαίσιο του λογισμού των πινάκων, η δράση της αναπαρίσταται ως εξής: v 1x1 x1 x 1 S v x x x v x x x 0 0 0 1 Τα στοιχεία της γαλιλαϊκής ομάδας που έχουν μηδενική χρονική παράμετρο, 0, μετασχηματίζουν κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του γεγονός Κάθε γαλιλαϊκός μετασχηματισμός διατηρεί εξ ορισμού τις χωρικές αποστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων, άρα ορίζει μια ισομετρία στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, η οποία επιπλέον οφείλει να διατηρεί το χωρικό προσανατολισμό, άρα πρόκειται για χωρική στροφή ακολουθούμενη από μεταφορά: x 1 x1 v01 x01 x S x v0 x 0 x x v x 0 0 Μετασχηματισμός στροφής σε χώρο ταυτόχρονων γεγονότων Κάθε ισομετρία αποσυντίθεται μονοσήμαντα σε ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό ακολουθούμενο από μια μεταφορά Οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα των βάσεων και εκείνοι που επιπλέον διατηρούν τον προσανατολισμό τους είναι ακριβώς οι χωρικές στροφές, δηλαδή τα στοιχεία της ομάδας () - Βλ Παράρτημα

1 ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 1 Κάθε χωρική στροφή διαθέτει ένα μοναδικό ιδιοάξονα που προσανατολίζεται με την επιλογή ενός μοναδιαίου ιδιοδιανύσματός του και η στροφή πραγματοποιείται γύρω από αυτόν μέσα στον ευκλείδειο χώρο Το μοναδιαίο αυτό ιδιοδιάνυσμα και δυο ακόμη κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου, με κατάλληλη διάταξη, συγκροτούν μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου Σε αυτή τη βάση, η χωρική στροφή, ακολουθούμενη από τη μεταφορά, εκφράζεται ως εξής: x 1 cs sin 0x1 v01x01 x sin cs 0 x v0x 0 x 0 0 1x v x 0 0 Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος των πινάκων των γραμμικών μετασχηματισμών διατηρείται αναλλοίωτο κατά την αλλαγή βάσης, προκύπτει: cs1 Tr S Από τη σχέση αυτή προσδιορίζεται η μη προσανατολισμένη γωνία στροφής και ο προσανατολισμός της καθορίζεται από τη φορά του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος με το οποίο έχει ήδη προσανατολιστεί ο ιδιοάξονας μέσα στον ευκλείδειο χώρο Στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, αν το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα που ορίζει τον άξονα της χωρικής στροφής είναι =( 1,, ), τότε ο μετασχηματισμός στροφής εκφράζεται με τον πίνακα: S (1 cs ) cs (1 cs ) (sin ) (1cs ) (sin ) 1 1 1 (e 1,e,e ) (1 cs ) 1 (sin ) (1 cs ) cs (1 cs ) (sin ) 1 (1 cs ) 1 (sin ) (1 cs ) (sin ) 1 (1 cs ) cs Η γαλιλαϊκή ομάδα G( ) δρα αφινικά στον αριθμητικό χωρο-χρόνο, όμως, θεωρώντας μια επιπλέον συμβολική διάσταση, έχουμε τη δυνατότητα να την ταυτίσουμε ισομορφικά με μια υποομάδα της γραμμικής ομάδας GL( ) και έτσι να προ- 5 κύψει η ισοδύναμη πενταδιάστατη γραμμική δράση: v 1 x 1x1 x 1 S v x x x v x x x 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 - Βλ Παράρτημα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τα χαρακτηριστικά ενός γαλιλαϊκού μετασχηματισμού Στον αριθμητικό χωρο-χρόνο θεωρούμε το μετασχηματισμό: g : που μετασχηματίζει κάθε γεγονός a ( x1, x, x, ) στο γεγονός b ( x 1, x, x, ) ως εξής: 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x v x x x x x v x x x x x v x Πρόκειται για το μετασχηματισμό: 1 με παραμέτρους: g ( x, ) ( S xv x, ) 0, x ( x, x, x ), v ( v, v, v ), 1 1 και η χωρική στροφή, στην κανονική βάση, ορίζεται ως εξής: 1 1 S 1 1 Διαπιστώνουμε ότι ο μετασχηματισμός αυτός είναι γαλιλαϊκός: T SS I και de S 1, άρα S (), και, λαμβάνοντας υπόψη ότι 0, εκφράζεται στην κανονική βάση ως εξής: x 1 / 1/ / v 1 x1 x1 x / / 1/ v x x x 1/ / / v x x 0 0 0 1 0 Ο μηδενισμός της χρονικής παραμέτρου σημαίνει ότι ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός μετασχηματίζει κάθε γεγονός σε ταυτόχρονό του, άρα στον τρισδιάστατο αριθμητικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, εφοδιασμένο με την κανονική του βάση, ο επαγόμενος μετασχηματισμός διατυπώνεται ως εξής:

1 ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ x 1 / 1/ /x1 v01x01 x / / 1/ x v0x 0 x 1/ / /x v x 0 0 Στο μετασχηματισμό αυτό, εκτός από την αδρανειακή μετατόπιση και τη χωρική μεταφορά, υπεισέρχεται μια χωρική στροφή της οποίας ο ιδιοάξονας ορίζεται ως εξής: x1 x x Συγκροτούμε μια ορθοκανονική βάση αποτελούμενη από το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα: ( /, /, /) και συμπληρώνοντας την επιλογή αυτή με δυο ορθογώνια μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα και του ορθογώνιου προς τον ιδιοάξονα επιπέδου: ( x, x, x ) / x x x 0 1 1 Ο επαγόμενος μετασχηματισμός στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκφράζεται στη θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση {,,} ως εξής: x 1 cs sin 0x1 v01x01 x sin cs 0 x v0x 0 x 0 0 1x v x 0 0 Επειδή το ίχνος ενός πίνακα δεν επηρεάζεται από την αλλαγή βάσης προκύπτει ότι: cs1 / και ο προσανατολισμός του ιδιοάξονα, σε συνδυασμό με το θετικό προσανατολισμό της ορθοκανονικής βάσης, καθορίζουν τον προσανατολισμό της στροφής: / Άρα, ο γαλιλαϊκός μετασχηματισμός περιέχει μια αδρανειακή μετατόπιση και μια χωρική μεταφορά: x v x, εμπεριέχει μια στροφή γωνίας / που πραγματοποιείται στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων περί τον άξονα που ορίζεται από το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα Ο θετικός προσανατολισμός της ορθοκανονικής βάσης {,,} δηλώνεται με τη σχέση: Ο προσανατολισμός της γωνίας στροφής γύρω από τον άξονα του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος προσδιορίζεται και απευθείας λαμβάνοντας υπόψη ότι για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα ισχύει: sin de,s, - Βλ Παράρτημα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Οι αριστοτελικές αντιλήψεις για τα φυσικά φαινόμενα διαμόρφωσαν το πλαίσιο στο οποίο, για πολλούς αιώνες, αναπτύχθηκε η προβληματική για την έννοια της κίνησης Ο Γαλιλαίος, πρώτος εισηγήθηκε τη ριζική αναθεώρηση της έως τότε επικρατούσας αντίληψης και, κατόπιν, ο Νεύτωνας, με μια αφαιρετική θεώρηση, εισήγαγε την έννοια της κίνησης ενός σημειακού γεωμετρικού προτύπου, που καλούμε υλικό σημείο Η κίνηση ενός υλικού σημείου, από μαθηματική άποψη, εκφράζεται στον ευκλείδειο χώρο ως συνεχής απεικόνιση ορισμένη στο χρονικό άξονα ή σε ένα διάστημά του: x :I Η τροχιά της κίνησης αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον ευκλείδειο χώρο και το γράφη- μά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο Στιγμιότυπα της χωρο-χρονικής εξέλιξης μιας τρισδιάστατης κυκλικής ελικοειδούς κίνησης : x :, x ( ) cs, sin, Επίπεδη κυκλική κίνηση στον ευκλείδειο χώρο και η εξέλιξή της στο χωρο-χρόνο : Η συνέχεια καθορίζεται από την ευκλείδεια μετρική και την απορρέουσα τοπολογία του ευκλείδειου χώρου - Βλ Παράρτημα 1

1 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 5 x :, x ( ) cs, 0,sin Σε κάθε χρονική στιγμή, η θέση ενός υλικού σημείου εντοπίζεται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες: x() x (), x (), x () 1 Η ταχύτητα με την οποία διανύεται η τροχιά του αναπαρίσταται, τη στιγμή I, με το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο x() : x () x (), x (), x () 1 x() και, την ίδια στιγμή, η επιτάχυνση αναπαρίσταται με το διάνυσμα: x () x(), x(), x() 1 x() Η επιτάχυνση, σε κάθε στιγμή, αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντρομόλο συνιστώσα της: x () () () όπου () x () και () x () Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της Αν η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μηδενική: 0, τότε η τροχιά είναι ευθύγραμμη και αν η επιτρόχια συνιστώσα της είναι επίσης μηδενική: 0, τότε πρόκειται για ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Οι τροχιές δεν είναι απαραίτητα λείες σε όλα τα σημεία τους, όμως για να οριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση χρειάζεται οι συνιστώσες συναρτήσεις να είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: xi :I, i 1,,

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ x() x v ( x v, x v, x v ), 1 1 x, v Η ύπαρξη κεντρομόλου επιτάχυνσης προκαλεί καμπύλωση της τροχιάς και σε κάθε χρονική στιγμή, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, η καμπυλότητά της υποδεικνύεται από την τιμή της συνάρτησης: x() x() :I, () x ( ) Προφανώς, η συνάρτηση καμπυλότητας είναι μηδενική αν και μόνο αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τόσο εντονότερη είναι η καμπύλωση της τροχιάς Σε κάθε χρονική στιγμή, με την προϋπόθεση μη μηδενι- της καμπυλότητας, ορίζεται η στρέψη της τροχιάς που υποδεικνύει τη χωρική σμού ανέλιξή της και προσμετράται από τη συνάρτηση: x( ) x(), x() :I, () x () x () Προφανώς, η συνάρτηση στρέψης είναι μηδενική αν και μόνο αν η κίνηση είναι επίπεδη, ενώ η απόλυτη τιμή της προσμετρά την εκτροπή της τροχιάς από την επίπεδη κίνηση Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς και δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμέτρησής της Τα γεωμετρικά αυτά χαρακτηριστικά εμπεριέχονται στο τρίεδρο Frene της τροχιάς, δηλαδή στο θετικά προσανατολισμένο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων που, σε κάθε στιγμή, προσαρτάται στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς και, εφόσον εκεί δεν μηδενίζεται η καμπυλότητα, ορίζεται από τα μοναδιαία διανύσματα: x () T( ) x, N( ) B( ) T( ), ( ) x() x () B( ) = x () x () Θεωρώντας το μέτρο της ταχύτητας της κίνησης, προκύπτουν οι τύποι Frene: T N, N T B, B N, και η θεμελιώδης σχέση: Η καμπυλότητα, η στρέψη και το τρίεδρο Frene, είναι βασικές έννοιες της θεωρίας των καμπύλων που διδάσκεται στο πλαίσιο του μαθήματος της Διαφορικής Γεωμετρίας Το φυσικό νόημα των τύπων με τους οποίους ορίστηκαν αυτές οι έννοιες αποκαλύπτεται με κατάλληλη αναπαραμέτρηση του χρονικού άξονα η οποία περιγράφεται στην επόμενη ενότητα

1 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 7 T 0 0 T N 0 N B 0 0 B Προσδιορισμός της καμπυλότητας και της στρέψης μιας τροχιάς Ο όρος χρονική αναπαραμέτρηση δηλώνει μια αλλαγή της κλασικής διαδικασίας μέτρησης του χρόνου που πραγματοποιείται διαμέσου ενός αμφιδιαφορικού μετα- δηλαδή ενός αντιστρέψιμου μετασχηματισμού που σχηματισμού του χρονικού άξονα, τόσο ο ίδιος όσο και ο αντίστροφός του είναι παραγωγίσιμοι: s :, s() Αν θεωρήσουμε μια κίνηση x :I, x() x (), x (), x (), 1 η χρονική αναπαραμέτρηση οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση: x x s :I s :I I, s(), x x x x, ( ) 1( ), ( ), ( ) Ο χρονική αναπαραμέτρηση δεν επηρεάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς, όπως η καμπυλότητα και η στρέψη της, όμως αλλοιώνει την ταχύτητα ως εξής: dxi d( xi s ) dxi ds, i 1,, d d d d Η χρονική αναπαραμέτρηση, που αποκαλύπτει το φυσικό νόημα της καμπυλότητας και της στρέψης, καθορίζεται λαμβάνοντας υπόψη το μήκος της τροχιάς από μια αρχική στιγμή έως μια οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή : s() x ( u) du Με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, διασφαλίζεται η αμφιδιαφορισιμότητα της συνάρτησης =s () και προκύπτει η μεταχρονισμένη κίνηση: της οποίας η ταχύτητα: x :I, x( ) x( ( s )),

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: αφού x( ) x ( ), x ( ), x ( ) 1 x ( ) x ( ) d/ ds 1 ds d d d x( u) du x( ) Η μεταχρονισμένη αυτή κίνηση προσφέρεται για να δοθούν οι κλασικοί ορισμοί της καμπυλότητας και της στρέψης μιας τροχιάς, υποδεικνύοντας το φυσικό νόημά τους Πράγματι, η σταθερότητα του μέτρου της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης επιβάλλει το μηδενισμό της επιτρόχιας επιτάχυνσής της, οπότε υφίσταται μόνο η κεν- τρομόλος επιτάχυνσή της, αίτιο της καμπύλωσης της τροχιάς, και ισχύει: ( x ) x ( ), I Η καμπυλότητα της τροχιάς ορίζεται από τη συνάρτηση που σε κάθε χρονική στιγμή προσαρτά το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης της μεταχρονισμένης κίνησης: :I, ( ) x( ) Το τρίεδρο Frene ορίζεται, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, ως το θετικά προσανατολισμένο ορθοκανονικό σύστημα διανυσμάτων: T( ) x( ), 1 N( ) x( ), B( ) T( ) N( ) ( ) Η στρέψη της τροχιάς ορίζεται από τη συνάρτηση: :I που, λαμβάνοντας υπόψη τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων N( ) και B( ), προκύπτει από τη σχέση: B( ) ( ) N( ) Στην ακόλουθη θεμελιώδη σχέση, η πρώτη και η τελευταία γραμμή εκφράζει τον ορισμό της καμπυλότητας και της στρέψης, ενώ η ενδιάμεση προκύπτει διαμέσου μιας ορθοκανονικής ανάπτυξης στο τρίεδρο Frene: Σε κάθε χρονική στιγμή, το 1 ο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το μοναδιαίο διάνυσμα της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης και το ο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα της κεντρομόλου επιτάχυνσής της, ενώ το ο διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα δυο άλλα διανύσματα

1 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 9 T 0 0 T N 0 N B 0 0 B Η καμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς της φυσικής κίνησης ορίζονται ακριβώς όπως καθορίστηκαν στη μεταχρονισμένη κίνηση της οποίας η ταχύτητα έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: () ( ), () ( ) Συγκεκριμένα, οι συναρτήσεις και είναι διαφορετικές γιατί δεν ορίζονται απαραίτητα στο ίδιο διάστημα του χρονικού άξονα, όμως δίνουν ίδ ια τιμή αφού, σε κάθε σημείο x() x ( s()), οι αριθμοί () και () είναι εξ ορισμού ίδιοι Το ίδιο ισχύει για τις συναρτήσεις και που δίνουν ίδια τιμή στρέψης, άρα και για τα στοιχεία του τριέδρου Frene: T( ) T( ), N( ) N( ), B( ) B( ) Δεν ισχύει όμως το ίδιο για τους τύπους Frene της φυσικής κίνησης όπου τώρα απαιτείται η εισαγωγή του διορθωτικού συντελεστή που δηλώνει το μέτρο της ταχύτητας της φυσικής κίνησης: T N, N TB, BN Άλλωστε, μόνο στις κινήσεις στις οποίες η ταχύτητα διατηρεί σταθερό μέτρο συμβαίνει τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης να είναι μεταξύ τους κάθετα ενώ, στη γενική περίπτωση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αποσυντίθενται σε συνιστώσες στο σύστημα αξόνων του Frene ως εξής: x () ()T(), x () ()T() () () N() Ο τύπος της ταχύτητας είναι αναμενόμενος, όμως ο τύπος της επιτάχυνσης αποκαλύπτει, με τον πρώτο όρο του το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και με το δεύτερο όρο του το ρυθμό εκτροπής της διεύθυνσής της από την ευθύγραμμη κίνηση Ένας απλός υπολογισμός, στο πλαίσιο του λογισμού των διανυσμάτων, οδηγεί στις αναλυτικές εκφράσεις των μοναδιαίων διανυσμάτων που ορίζουν το τρίεδρο

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Frene σε κάθε χρονική στιγμή και στις αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων καμπυλότητας και στρέψης όπως εισήχθησαν στην προηγούμενη ενότητα: x() x() x () x(), x() () x και () ( ) x () x () ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των ελικοειδών κινήσεων Η τροχιά της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης ανελίσσεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου κυκλικής βάσης έτσι ώστε ο φορέας της ταχύτητας να διατηρεί σταθερή γωνία με τον κεντρικό άξονα του κυλίνδρου Όταν ο άξονας του κυλίνδρου συμπίπτει με τον κατακόρυφο άξονα του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς, η ομαλή κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής: x :, x ( ) acs, asin, b, 0, 0 Η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο: a b x () asin, acs, b, x () b v, x( ) a και η επιτάχυνσή της έχει επίσης σταθερό μέτρο και είναι κάθετη στην ταχύτητα: x () acs, asin,0, x ( ) a x() Η καμπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς είναι σταθερές: () a b () a b, a b, και το τρίεδρο Frene, σε κάθε χρονική στιγμή, καθορίζεται ως εξής: 1 T( ) a sin, a cs, b, v 1 N( ) acs, asin,0, B( ) b sin, b cs, v a Η υπολογιστική διαδικασία της χρονικής αναπαραμέτρησης, με σκοπό την αναγωγή μιας κίνησης σε κίνηση με ταχύτητα σταθερού μέτρου, γενικά είναι περίπλοκη και αυτό αναδεικνύει την πρακτική σημασία αυτών των τύπων Στην περίπτωση b 0, η στρέψη είναι μηδενική και καθορίζεται η καμπυλότητ α () 1/ a, άρα πρόκειται για επίπεδη κυκλική τροχιά ακτίνας a, ενώ το τρίεδρο Frene εκφυλίζεται σε δυο ορθογώνιους άξονες

1 ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 1 τ() > 0 τ() < 0 Κυκλικές ελικοειδείς τροχιές στον ευκλείδειο χώρο Η χρονική αναπαραμέτρηση που καθορίζεται από το μήκος της διανυόμενης τροχιάς: οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση: με ταχύτητα: και επιτάχυνση: s() v d v 0 x :, x( s) x( s/ v ) cs( / ), sin( / ), / a s v a s v bs v 1 x ( s) asin( s/ v), acs( s/ v), b v 1 xs () acs( s/ v), asin( s/ v),0 v Το μέτρο της ταχύτητας είναι μοναδιαίο και το μέτρο της επιτάχυνσης δίνει απευθείας τη συνάρτηση καμπυλότητας: Ξαναβρίσκουμε έτσι το τρίεδρο Frene: a () s x() s a b 1 T( s) asin( s/ v), acs( s/ v), b, v N( s) cs( s/ v), sin( s/ v ),0, 1 B( s) bsin( s/ v), bcs( s/ v), a, v και από τη σχέση B( s) ( s) N( s) προκύπτει η συνάρτηση στρέψης:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ b () s a b Οι ελικοειδείς κυκλικές κινήσεις χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα της καμπυλότητας και της στρέψης των τροχιών τους με την προϋπόθεση ότι η καμπυλότητα δεν είναι μηδενική Γενικότερα, αν συμβεί ο φορέας της ταχύτητας να διατηρεί σταθερή γωνία με έναν οποιονδήποτε σταθερό άξονα τότε η τροχιά ανελίσσεται ελικοειδώς στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου με βάση όχι απαραίτητα κυκλική και οι κινήσεις αυτές χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα του λόγου της στρέψης προς την καμπυλότητα των τροχιών τους - Βλ Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Β O Neil, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ο Αριστοτέλης αναζητώντας το αίτιο της κίνησης εισήγαγε την έννοια της δύναμης και από την εποχή εκείνη έως τον 17 ο αιώνα ήταν αποδεκτή η αντίληψη ότι ένα σώμα διατηρεί την κίνησή του μόνο όταν προωθείται διαρκώς από κάποια δύναμη Ο Γαλιλαίος, πρώτος τόλμησε να δηλώσει ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτεί- για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώματος παρά μόνο για τη μεταβολή της ται Στο βιβλίο του: Dialg spra i due massimi sisemi del mnd (16), ξετυλίγεται ένας σπουδαίος φιλοσοφικός και επιστημονικός διάλογος μεταξύ τριών προσώπων, του Salviai που εκφράζει τις απόψεις του συγγραφέα, του Simplici οπαδού της αριστοτελικής παράδοσης και του Sagred που εκπροσωπεί τον μη προκατειλημμένο συζητητή Από αυτόν το διάλογο αναδύονται οι θεμελιακές αντιλήψεις που διαμόρφωσαν τη βάση της Κλασικής Μηχανικής και σηματοδότησαν την απαρχή της σύγ- με απλοϊκό τρόπο η Αρχή της χρονης Φυσικής Στις σελίδες του, αποκαλύπτεται Σχετικότητας της Κλασικής Μηχανικής Ο Νεύτωνας, εμπνευσμένος από το βιβλίο του Γαλιλαίου, συνέγραψε το μνημειώδες επιστημονικό σύγγραμμα: Philsphiæ Nauralis Principia Mahemaica, (1687) Εκεί, διατύπωσε την Αρχή της Σχετικότητας που δηλώνει την ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου που επιτρέπει να αποφανθούμε για το αν ένα σώμα βρίσκεται σε κατάσταδιέπει την κίνηση ση ηρεμίας ή όχι Απλά, μπορούμε να αποφανθούμε για το αν ένα σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας σε σχέση με κάποιο άλλο Έτσι διαμορφώθηκε η Αρχή της Αδράνειας με την οποία εισάγεται αξιωματικά η ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Κατόπιν, εισήγαγε τη Θεμελιώδη Εξίσωση που των σωμάτων, η οποία αποτελεί τη βάση του επιστημονικού ντετερμινισμού και από αυτήν απορρέει ότι αν, σε μια χρονική στιγμή, είναι γνωστή η θέση και η ταχύτητα ενός φυσικού συστήματος τότε είμαστε σε θέση να προβλέψουμε την εξελικτική του πορεία στο μέλλον αλλά και να αντιληφθούμε το παρελθόν της Οι δυο αυτές θεμελιακές αρχές έδωσαν το έναυσμα στη διαμόρφωση σημαντικών επιστημονικών και φιλοσοφικών αντιλήψεων της σύγχρονης εποχής Κλειστείτε μαζί με φίλους σας στο αμπάρι ενός πλοίου, εκεί όπου δεν έχετε δυνατότητα εξωτερικής αντίληψης, και αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πετούμενα, βάλτε μικρά ψάρια σε ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφτουν στάλες νερού σε ένα μπουκάλι τοποθετημένο στο πάτωμα Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς πετούν τα μικρά ζώα εξίσου άνετα προς όλες τις κατευθύνσεις, πώς κινούνται τα ψάρια εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά, πώς όλες οι στάλες πέφτουν στο μπουκάλι Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε μεγαλύτερη ή μικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείμενο στον ένα ή τον άλλο φίλο σας που βρίσκονται ολόγυρά σας και απέχουν εξίσου από σας Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι ομαλή χωρίς ταλαντώσεις, δεν θα διακρίνετε την παραμικρή αλλαγή στις παρατηρήσεις σας ώστε να μπορέσετε να συμπεράνετε ότι πράγματι κινείται Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ότι άλλο υπάρχει σε αυτό συμπεριλαμβανομένου του αέρα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η Κλασική Μηχανική, στη μαθηματική θεώρησή της, στηρίζεται σε δυο θεμελιώδη αξιώματα: την Αρχή της Σχετικότητας και την Αρχή του Ντετερμινισμού: που ορίζει την κίνηση του υλι κού σημείου, το οποίο τη δεδομένη στιγμή βρί- σκεται στη θέση x με ταχύτητα v, ως λύση της θεμελιώδους εξίσωσης: Η Αρχή του Ντετερμινισμού του Νεύτωνα δηλώνει ότι η θέση και η ταχύτητα ενός υλικού σημείου, σε μια χρονική στιγμή, ορίζουν μονοσήμαντα τη χρονική εξέλιξή του Συγκεκριμένα, υπάρχει συνάρτηση: f : που πληροί τις συνθήκες: d x f ( xx,, ) d x( ) x και x ( ) v Η Αρχή της Σχετικότητας του Γαλιλαίου δηλώνει την ύπαρξη μιας κλάσης προνο- στα οποία η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης διατηρείται μιούχων συστημάτων αναφοράς, που καλούνται αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αναλλοίωτη Συγκεκριμένα, τα αδρα νειακά συστήματα αναφοράς χαρακτηρίζονται από το ότι, σε αυτά, οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί μετατρέπουν κάθε κίνηση σε κίνηση που ορίζεται από την ίδια θεμελιώδη εξίσωση με άλλες αρχικές συνθήκες Οι δυο θεμελιώδεις αρχές, σε συνδυασμό με τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς, οδηγούν απευθείας στα ακόλουθα συμπεράσματα: Συνέπεια 1 Αδρανειακή κίνηση: Κάθε σύστημα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ανήκει στην κ λάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Η ανάγκη αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς οφείλεται στην αδυναμία πειραματικής επαλήθευσης της ύπαρξής τους Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυσικά δεδομένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζει μονοσήμαντα την κίνηση τουλάχιστο σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα, για δεδομένη αρχική θέση και ταχύτητα Η συνάρτηση αυτή ορίζεται, κατ αρχάς, στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα και παίρνει τιμές στο χώρο των θέσεων Όταν πρόκειται για σύστημα k υλικών σημείων, η θεμελιώδης εξίσωση ορίζεται από μια συνάρτηση: k k k f :

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 5 Πράγματι, η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ενός συστήματος αναφοράς ως προς ένα αδρανειακό συστήματος αναφοράς αφήνει αναλλοίωτη τη θεμελιώδη εξίσωση, αφού πραγματοποιείται διαμέσου του γαλιλαϊκού μετασχηματισμού: g ( x, ) ( x v, ), v Συνέπεια Χρονική ομογένεια: Οι μετασχηματισμοί χρονικής μεταφοράς: g ( x, ) ( x, ),, υποδεικνύουν ότι, αν x () είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η x ( ) είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε, και αυτό σημαίνει ότι οι νόμοι της φύσης παραμένουν αναλλοίωτοι στο πέρασμα του χρόνου Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση εξαρτάται έμμεσα και όχι άμεσα από το χρόνο, συνεπώς η θεμελιώδης εξίσωση εκφράζεται ως εξής: d x f ( xx, ) d Συνέπεια Χωρική ομογένεια: Οι μετασχηματισμοί χωρικής μεταφοράς: g ( x, ) ( x x, ), x, υποδεικνύουν ότι, αν x () είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η x () x είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε x, και αυτό σημαίνει ότι ο χώρος είναι ομογενής, δηλαδή έχει παντού τις ίδιες φυσικές ιδιότητες Συνέπεια 4 Χωρική ισοτροπία: Οι μετασχηματισμοί χωρικής στροφής: g ( x, ) ( x v, ), v, υποδεικνύουν ότι, αν x () είναι λύση της θεμελιώδους εξίσωσης, η x S () είναι επίσης λύση αυτής της εξίσωσης, για κάθε S (), και αυτό σημαίνει ότι ο χώρος είναι ισότροπος, δηλαδή δεν διαθέτει κάποια προνομιούχο διεύθυνση Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση πληροί κατά συνέπεια τη σχέση: f ( Sx, Sx) Sf( x, x ), S () Όταν ένα σύστημα υλικών σημείων επηρεάζεται από ένα άλλο εξωτερικό σύστημα τότε η επίδραση αυτή μπορεί να υποκατασταθεί από μια χρονική μεταβολή των παραμέτρων που υπεισέρχονται στη θεμελιώδη εξίσωση του αρχικού συστήματος και έτσι να εμφανιστεί ο χρόνος ως ανεξάρτητη μεταβλητή

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι νόμοι του Νεύτωνα για την Κλασική Μηχανική Ο Νεύτωνας διατύπωσε τους νόμους της Κλασικής Μηχανικής στηριζόμενος στην έννοια της δύναμης Από φυσική άποψη η δύναμη εισάγεται ως πρωταρχική έννοια που εκφράζει το αίτιο της μεταβολής της κίνησης και από μαθηματική άποψη δηλώνεται ως διανυσματική συνάρτηση ορισμένη στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων: F: ος 1 Νόμος: Η αρχή της αδράνειας Κάθε σώμα διατηρείται στην κατάσταση της ακινησίας ή της ευθύγραμμης ομαλής κίνησής του, εκτός αν εξαναγκαστεί σε μεταβολή αυτής της κατάστασης από ασκούμενες σε αυτό δυνάμεις Συνεπώς, κάθε υλικό σημείο στο οποίο δεν ασκείται δύναμη ή αν η συνισταμένη των ασκούμενων σε αυτό δυνάμεων είναι μηδενική, διατηρείται σε κατάσταση ακινησίας ή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: F 0 x σταθερό Ο νόμος αυτός αποτελεί την πρόταση αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Δηλώνει ότι όταν σε ένα υλικό σημείο δεν ασκείται δύναμη τότε, στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η καταγραφόμενη ταχύτητά του είναι σταθερή, χωρίς να γίνεται διάκριση από την κατάσταση ακινησίας Όταν ένας παραότι το σώμα δεν επιταχύνεται τηρητής τοποθετημένος σε ένα σύστημα αναφοράς βρίσκει ότι ένα σώμα ηρεμεί, τότε, ένας άλλος παρατηρητής τοποθετημένος σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς το πρώτο, βρίσκει ότι το ίδιο σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα και οι δυο βρίσκουν και βασιζόμενοι σε αυτόν το νόμο συμπεραίνουν ότι δεν ασκείται επάνω του δύναμη Ο Νεύτωνας διατύπωσε στα κείμενά του τους τρεις θεμελιώδεις νόμους ακριβώς ως εξής: LEX I Crpus mne perfeverare in fau fu quiefcendi vel mvendi unifrmier in direcum, nifi quaennus illud a viribus impreffi cgiur faum suum muare : Every bdy cninues -perseveres- in is sae f res, r f un ifrm min in a righ line, unless i is cmpelled change ha sae by frces impressed upn i LEX II Muainem mus prprinalem esse vi mrici impressae, e fieri secundum lineam recam qua vis illa imprimiur : The change f min is prprinal he mive frce impressed; and is made in he direcin f he righ line in which ha frce is impressed LEX III Acini cnrariam simper e aequalem esse reacinem: sive crprum durum acins in se muu simper esse aequales e in pares cnrarias dirigi : T every acin here is always ppsed an equal reacin: r, he muual acins f w bdies upn each her are always equal, and direced cnrary pars

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 7 ος Νόμος: Η εξίσωση της κίνησης Η μεταβολή της κίνησης είναι ανάλογη προς την ασκούμενη κινητήρια δύναμη και συντελείται στην κατεύθυνση της ευθείας γραμμής στην οποία ασκείται η δύναμη Συνεπώς, η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο προκαλεί ανάλογη προς αυτήν επιτάχυνση, δηλαδή η κίνηση κάθε υλικού σημείου υπακούει στη θεμελιώδη εξίσωση: d x m F( x, x ) d που αποσυντίθεται στις συνιστώσες διαφορικές εξισώσεις: d x1 F( 1, ) m x x, d d x F(, ) m x x, d d x F(, ) m x x d Ο νόμος αυτός προϋποθέτει την ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και εισάγει την εξίσωση της κίνησης των υλικών σημείων σε αυτά τα συστήματα Επίσης, υποδεικνύει το διανυσματικό χαρακτήρα της δύναμης και καθορίζει τη μάζα ως συντελεστή αναλογίας της δύναμης προς την επιτάχυνση ος Νόμος: Η αρχή δράσης-αντίδρασης Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα μια αντιτιθέμενη ίση αντίδραση: ή οι αμοιβαίες δράσεις δυο σωμάτων, μεταξύ του ενός και του άλλου, είναι πάντα ίσες και κατευθύνονται αντίθετα η μια προς την άλλη Συνεπώς, τα υλικά σημεία ενός συστήματος αλληλεπιδρούν ανά δύο με αμοιβαίες αντίρροπες δυνάμεις ίδιου μέτρου και αν ij f είναι η ασκούμενη δύναμη στο i-οστό υλικό σημείο από το j-οστό υλικό σημείο τότε ισχύει: f f 0 ij Ο νόμος αυτός εισάγει τις εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης υποδεικνύοντας ότι η συνολικά ασκούμενη δύναμη στο i-οστό υλικό σημείο από τα υπόλοιπα k 1 υλικά σημεία του συστήματος καθορίζεται ως εξής: ji Έως την εποχή του Νεύτωνα, η έννοια της μάζας ως ποσότητα της ύλης (quanias maeriae) που περιέχεται σε ένα σώμα παρέμενε ασαφής τουλάχιστο ως προς τη μετρησιμότητά της Πάντως, ήταν αντιληπτό ότι η μάζα αποτελεί μέτρο της αδράνειας της ύλης και για το λόγο αυτό ονομάστηκε αδρανειακή μάζα Εντούτοις, ο ορισμός αυτής της έννοιας και η δυσκολία αποσαφήνισής της προκάλεσαν μακρόχρονες επιστημολογικούς προβληματισμούς και αντιπαραθέσεις Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση με τη Θεωρία Σχετικότητας, η μάζα παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη από την ταχύτητα του σώματος

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ k k f f f e j1 j1 ji ji όπου fij f ji δηλώνει το μέτρο της δύναμης αλληλεπίδρασης f ij και e ij το μοναδιαίο διάνυσμα του προσανατολισμένου άξονα που ορίζεται από το i-οστό και το j-οστό υλικό σημείο Αν επιπλέον, στο υλικό αυτό σημείο ασκείται μια συνισταμένη εξωτερική δύναμη f i τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε αυτό καθορίζεται ως εξής: F i f i f i Αν στα υλικά σημεία ενός συστήματος ασκούνται μόνο δυνάμεις αλληλεπίδρασης λέμε ότι πρόκειται για κλειστό σύστημα και προκύπτει η προφανής άθροιση: f f 0 k k k i ij i1 i1 j1 ji Στην πραγματικότητα δεν υφίστανται κλειστά συστήματα, αλλά η θεώρηση εξωτερικών δυνάμεων προσφέρει την εννοιολογική αλλά και πρακτική δυνατότητα διαχωρισμού ενός συστήματος υλικών σημείων από το υπόλοιπο περιβάλλον του Στα συστήματα που αποτελούνται από ένα μόνο υλικό σημείο προφανώς δεν υφίστανται παρά μόνο εξωτερικές δυνάμεις Εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης σε ένα σύστημα υλικών σημείων Ο τρίτος νόμος προκάλεσε μια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών όπως αυτή που αφορά στη δράση μιας δύναμης από απόσταση και στην αντίστοιχη αντίδραση Αφού οι δυνάμεις δεν δρουν ακαριαία στο χώρο, οφείλουμε να αναρωτηθούμε για το τι συμβαίνει στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα έως ότου ένα σωματίδιο αντιδρ άσει στην παρουσία ενός άλλου υπακούοντας σε αυτόν το νόμο Σε επόμενη ενότητα θα αντιμετωπίσουμε αυτόν τον προβληματισμό

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η γαλιλαϊκή αναζήτηση των νόμων της φύσης Η ρήξη με την αριστοτελική αντίληψη για το αίτιο της κίνησης Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που τόλμησε να έρθει σε ρήξη με την επικρατούσα αριστοτελική αντίληψη κατά την οποία ένα σώμα διατηρεί την κίνησή του μόνο όταν προωθείται διαρκώς από κάποια δύναμη και να δηλώσει ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητάς του παρά μόνο για τη μεταβολή της Πραγματοποιεί μια σειρά πειραματικών παρατηρήσεων και μετρήσεων που πειστικά τον οδηγούν στην ουσία της αρχής της αδράνειας την οποία, λίγα χρόνια αργότερα, διατύπωσε με σαφήνεια ο Νεύτωνας Στην πειραματική του διάταξη, που εικονίζεται στο σχήμα, μετά από πολλές βελτιώσεις της σφαιρικότητας του σώματος και της λειότητας της τοξοειδούς επιφάνειας, παρατηρεί ότι, αν το σφαιρίδιο ξεκινήσει με μηδενική ταχύτητα από κάποιο σημείο της καμπυλόγραμμης διαδρομής, διανύοντας ένα τμήμα της, φτάνει κάπως χαμηλότερα από το απέναντι ισοϋψές σημείο και επανακάμπτοντας εκτελεί μια παλινδρομική κίνηση Συμπεραίνει ότι, αν η επιφάνεια ήταν απόλυτα λεία το σφαιρίδιο θα ανέκαμπτε στην ισοϋψή θέση ως προς τη θέση εκκίνησής του Το ίδιο παρατηρεί να συμβαίνει όταν σταδιακά αποκαμπυλώνει τη μια πλευρά της τοξοειδούς διαδρομής και εικάζει ότι αν η πλευρά αυτή ευθειοποιηθεί, υπό την προϋπόθεση απόλυτης λειότητας, το σφαιρίδιο θα διατηρήσει στο διηνεκές μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση χωρίς κάποια δύναμη να ασκείται επάνω του Έτσι, πείθεται και φτάνει στα πρόθυρα της αρχής της αδράνειας Το πείραμα του Γαλιλαίου

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ελεύθερη πτώση πριν και μετά το annus mirabilis Ένα σώμα ξεκινά με μηδενική ταχύτητα προκειμένου να διανύσει με σταθερή επιτάχυνση μια ευθύγραμμη διαδρομή από ένα σημείο Α έως ένα σημείο Β Αν θέλουμε να διανύσει με σταθερή ταχύτητα την ίδια διαδρομή στο ίδιο χρονικό διάστημα, ποια πρέπει να είναι αυτή η ταχύτητα; Το ερώτημα αυτό, που σήμερα αποτελεί γυμνασιακή άσκηση, ήταν γνωστό πριν πεντακόσια περίπου χρόνια ως πρόβλημα του Mern και με ένα απλό γεωμετρικό σκεπτικό είχε από τότε καθοριστεί η ζητούμενη ταχύτητα Ο Γαλιλαίος, αξιοποιώντας αυτό το σκεπτικό, εστίασε τον προβληματισμό του στην κίνηση που προκαλείται υπό την επίδραση του βάρους των σωμάτων σε ευθύγραμμες κεκλιμένες διαδρομές, ακόμη και όταν η κλίση φτάνει στην κατακόρυφο Όταν, όπως λένε, πήγε στον πύργο της Πίζας και άφησε δυο σώματα να πέσουν από το ίδιο ύψος υπό την επίδραση του βάρους τους, ποιο υπολόγιζε ότι θα φτάσει πρώτο στο έδαφος; Ο Νεύτωνας, λίγα χρόνια αργότερα, στηριζόμενος στη θεμελιώδη εξίσωσή του και στη γνώση του για την επιτάχυνση της βαρύτητας, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα Σήμερα, ένας μαθητής λυκειακού επιπέδου δίνει απευθείας το συμπέρασμά του, κά-νοντας όμως μια ευαίσθητη αφαιρετική αναγωγή στην κίνηση μιας σημειακής μάζας: mx B 1 mx mg x g x gv x() g v x Η γεωμετρική συλλογιστική στο πρόβλημα του Mern Η απάντηση στο πρόβλημα του Mern: Όταν ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και σε ένα χρονικό διάστημα το μέτρο της ταχύτητάς του μετα- Οι πρώτες σαφείς περιγραφές των κινήσεων δόθηκαν, τον 14 ο αιώνα, στο Mern Cllege της Οξφόρδης, από τον Thmas Bradwardine (190-149) που όρισε την ταχύτητα ως λόγο των διανυόμενων χωρικών διαστημάτων προς τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα και από τον William Heyesbury (11-17) που όρισε την επιτάχυνση ως ταχύτητα της ταχύτητας Ο κανόνας του Mern, που απέδειξε ο Niclas Oresme (10-18) στο σύγγραμμά του Περί των διαμορφώσεων των ιδιοτήτων, δίνει τη δυνατότητα θεωρητικής αναγωγής κάθε ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης σε μια αντίστοιχη ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αναδεικνύοντας έτσι την έννοια της μέσης ταχύτητας

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 41 βληθεί από 0 σε v, η έως τότε διανυθείσα απόσταση είναι ίδια με εκείνη που θα διένυε στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα μέτρου v/ Το πείραμα του Γαλιλαίου Ο Γαλιλαίος στο πείραμά του, θεωρώντας ως μονάδα μήκους την απόσταση που δια- ένα σφαιρίδιο υπό την επίδραση του βάρους του κατά την 1 η χρονική μονάδα, νύει η διαπιστώνει ότι την χρονική μονάδα διανύει μονάδες μήκους, την η χρονική μονάδα 5 μονάδες μήκους, την 4 η χρονική μονάδα 7 μονάδες μήκους, την 5 η χρονική μονάδα 9 μονάδες μήκους, κοκ και το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο της μάζας του σφαιριδίου και ισχύει για όλες τις κλίσεις της ευθύγραμμης διαδρομής Συνολικά, στο τέλος της 1 ης χρονικής μονάδας έχει διανύσει 1 μονάδα μήκους, της ης χρονικής μονάδας 4 μονάδες μήκους, της ης χρονικής μονάδας 9 μονάδες μήκους, της 4 ης χρονικής μονάδας 16 μονάδες μήκους, κοκ και έτσι, με γεωμετρική συλλογιστική, κατέληξε στην τετραγωνική αναλογική σχέση και στη σταθερότητα της επιτάχυνσης που ίσχυαν ακόμη και στην κατακόρυφη κλίση, δηλαδή στην ελεύθερη πτώση: x() k x() k x() k Η γεωμετρική συλλογιστική στο πρόβλημα του Γαλιλαίου Η απάντηση στο πρόβλημα του Γαλιλαίου: Κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά την ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας ύσαν με ικανοποιητική Ο Γαλιλαίος δεν είχε στη διάθεσή του όργανα που μετρο ακρίβεια τον παρερχόμενο χρόνο Εντούτοις, οδηγήθηκε στο συμπέρασμά του και επιπλέον διαπίστωσε ότι αν αυξηθεί η κλίση της διαδρομής τότε αυξάνει αντίστοιχα το μέτρο της σταθερής επιτάχυνσης, έως ότου λάβει τη μέγιστη τιμή στην ελεύθερη πτώση Προκειμένου να ερμηνεύσει το τι ακριβώς συμβαίνει, σε κάθε χρονική στιγμή, χρειαζόταν να αναπτύξει μια συλλογιστική απεριόριστων διαδοχικών διαμερίσεων της χρονικής μονάδας καταλήγοντας στην έννοια του απειροστού, στο λογισμό των απειροστών και κατά συνέπεια στην έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ του, και σε κάθε χρονική στιγμή η διανυθείσα απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του παρελθόντος χρόνου Ο πύργος της Πίζας και η ελεύθερη πτώση των σωμάτων Η βαλλιστική κίνηση πριν και μετά το annus mirabilis Ο Γαλιλαίος, προχωρώντας στις αναζητήσεις του, προεκτείνει την κεκλιμένη ευθύ- γραμμη διαδρομή της πειραματικής του διάταξης έτσι ώστε, από κάποιο σημείο και πέρα, να κάμπτ εται και μετά να οριζοντιώνεται, οπότε το σφαιρίδιο, συνεχίζοντας την επιβληθείσα από το βάρος του κίνηση, διανύει ευθύγραμμα την οριζόντια διαδρομή και εκβάλεται προς το έδαφος διαγράφοντας μια καμπυλόγραμμη τροχιά Θέλει να διαπιστώσει αν οι νόμοι που διέπουν την κατακόρυφη κίνηση επηρεάζουν ή όχι τους νόμους της οριζόντιας κίνησης Αν όχι, τότε κάθε σώμα, είτε εκτοξευτεί οριζόντια από κάποια θέση με οποιαδήποτε ταχύτητα, είτε αφεθεί να πέσει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα από την ίδια θέση, θα χρειαζόταν ίδιο χρόνο έως ότου φτάσει στο έδαφος και οι όποιες διαφορές θα οφείλονται στην αντίσταση του αέρα Αυτό θα σή- μαινε ότι η παρατηρούμενη κίνηση αποτελεί σύνθεση δυο ανεξάρτητων κινήσεων, οριζόντιας και κατακόρυφης, και θα αποκάλυπτε μια αρχή ανεξαρτησίας κινήσεων Ο Γαλιλαίος σημειώνει ότι τα συμπεράσματά του που αφορούν στην ελεύθερη πτώση των σωμάτων, δηλαδή η σταθερότητα της επιτάχυνσής τους και το ότι η διανυόμενη απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του αντίστοιχου χρόνου, θα ίσχυαν με απόλυτη ακρίβεια αν ανάμεσα στο αρχικό και στο τελικό σημείο της πτώσης υπήρχε κενό Στο συμπέρασμα αυτό κατέληξε το 1604, αλλά παρουσίασε την πλήρη ανάλυσή του στο τελευταίο του βιβλίο το 168

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 4 Το πείραμα του Γαλιλαίου Πραγματοποιεί μια σειρά μεθοδικών πειραματικών μετρήσεων τις οποίες συγκρίνει με τα θεωρητικά του αποτελέσματα και συμπεραίνει την ορθότητα της σκέψης του, την ανεξαρτησία των νόμων που διέπουν την οριζόντια και την κατακόρυφη κίνηση, όπως επίσης το ότι οι τροχιές των σωμάτων, στα οποία προσδίδεται αρχικά οριζόντια κίνηση, είναι πάντα παραβολικές Οι παρατηρήσεις του αποκάλυψαν την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων και τους νόμους που διέπουν τις βαλλιστικές κινήσεις, καταρρίπτοντας την έως τότε επικρατούσα λανθασμένη αριστοτελική αντίληψη Οι μετρήσεις του Γαλιλαίου και η σύγκρισή τους με τα θεωρητικά του αποτελέσματα Έως την εποχή εκείνη, πίστευαν στη μη συνύπαρξη των δυο συνιστωσών κινήσεων, της οριζόντιας και της κατακόρυφης, που εμπεριέχονται στη βαλλιστική κίνηση και ότι κατά την έναρξή της προσδίδονταν στο σώμα μια ώθηση που μετά την εξάντλησή της το σώμα, ακολουθώντας τη φυσική πτωτική του κίνηση, έπεφτε κατακόρυφα στο έδαφος Ο Nicl Taraglia (1499-1557) υποστήριζε μια κάπως διαφορετική άποψη θεωρώντας ότι η φυσική πτωτική κίνηση άρχιζε λίγο πριν εξαντληθεί εξολοκλήρου η ώθηση, αλλά ούτε σε αυτή την αντίληψη αντικατοπτρίζονταν η πραγματικότητα Ας σημειωθεί ότι όταν μιλάμε για κίνηση δεν αναφερόμαστε στην έννοια της δύναμης που ουσιαστικά εισήχθη τον 17 ο αιώνα από τον Νεύτωνα, ούτε στην έννοια της ενέργειας που διαμορφώθηκε τον 19 ο αιώνα

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η αντίληψη της βαλλιστικής κίνησης πριν τον Γαλιλαίο Η γαλιλαϊκή ανάλυση της βαλλιστικής κίνησης Ο Νεύτωνας, λίγο αργότερα, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα κάνοντας χρήση της θεμελιώδους εξίσωσής του και της γνώσης του για την επιτάχυνση της βαρύτητας Σήμερα, ένας μαθητής λυκειακού επιπέδου θα έλεγε ότι, αν ένα σώμα μάζας m βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της γης και η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι το βάρος του, με αναγωγή σε σημειακή μάζα, η κίνησή του διέπεται από την εξίσωση: mx () mg όπου g (0,0, g ) δηλώνει τη γήϊνη βαρυτική επιτάχυνση και, κατά συνέπεια, η μάζα του δεν επηρεάζει την κίνησή του: x() g Αν x ( x01, x0, x0) και v ( v01, v0, v0) είναι αντίστοιχα η θέση και η ταχύτητά του τη στιγμή = 0, προκύπτει κάθε μελλοντική του θέση και ταχύτητα: mx () 0 1 x 1() v 01 x1() x 01+v01 mx () 0 x () v x () x +v 0 0 0 mx () mg x () v0 g x() x0 v0 g /

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 45 Βαλλιστική τροχιά κοντά στην επιφάνεια της γης Η κίνηση του εκκρεμούς πριν και μετά το annus mirabilis Η κίνηση του εκκρεμούς προκαλούσε αντιφάσεις στην ανάπτυξη των αριστοτελικών συλλογισμών γιατί, σύμφωνα με αυτούς, κάθε σώμα που εκτελούσε την κίνησή του υπό την επίδραση του βάρους του, μόλις έφτανε στην κατώτερη φυσική του θέση όφειλε να μείνει ακίνητο σε αυτήν Ο Γαλιλαίος, όπως και ο αριστοτελικός παρατη- συλλο- ρητής, έβλεπαν την ίδια κίνηση, όμως ανέπτυσσαν διαφορετική ερμηνευτική γιστική Εκείνος, από τα νεανικά του χρόνια, παρατηρώντας τις αιωρήσεις μιας κρεμαστής λάμπας στον καθεδρικό ναό της Πίζας, είχε αντιληφθεί τα χαρακτηριστικά της κίνησής της Ήξερε αυτό που σήμερα αποκαλούμε συγχρονισμό του εκκρεμούς, δηλαδή ότι η περίοδος ταλάντωσής του είναι ανεξάρτητη του πλάτους της και ήθελε από τότε να εξιχνιάσει πλήρω ς τους νόμους των αιωρήσεων Απλό επίπεδο εκκρεμές Το απλό επίπεδο εκκρεμές εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση του βάρους του και, στο πλαίσιο της μελέτης μιας ιδεατής κίνησής του, θεωρούμε αμελητέες τις τρι-

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ βές που θα προέρχονταν από τον αέρα ή το μέσον στο οποίο είναι τοποθετημένο Αν είναι το μήκος του άκαμπτου και αμελητέας μάζας νήματος και m η προσδεμένη στο άκρο του μάζα, σε κάθε χρονική στιγμή, η θέση της ορίζεται με ένα σημείο στον κύκλο που περιέχεται στο επίπεδο κίνησής του με κέντρο το σημείο πρόσδεσής του Ο Νεύτωνας, με τη γνώση του για τη βαρύτητα, έδωσε τη δυνατότητα προσδιορισμού της τελικά ασκούμενης δύναμης που ορίζει την κίνηση του εκκρεμούς και της διατύπωσης την εξίσωσης της κίνησης στην οποία τελικά δεν υπεισέρχεται η μάζα: m x mgsin x x sin x, g / Προσδιορισμός της τελικά ασκούμενης δύναμης στο απλό επίπεδο εκκρεμές Η κίνησή του απλού επίπεδου εκκρεμούς έχει ένα βαθμό ελευθερίας αφού, σε κάθε χρονική στιγμή, αρκεί η γνώση της γωνίας απόκλισής του από την κατακόρυφο προκειμένου να εντοπιστεί η θέση του Συνεπώς, ο χώρος των ενδεχόμενων θέσεων και των ενδεχόμενων ταχυτήτων του είναι δισδιάστατος και εκεί η εξίσωση της κίνησής του διατυπώνεται ως σύστημα: x y y sin x που εκφράζεται γεωμετρικά με το διανυσματικό πεδίο: :, ( x, y) y, sinx Το διανυσματικό αυτό πεδίο ορίζεται στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων και μηδενίζεται στα σημεία x k, x 0, k, δηλαδή στην κατώτερη και στην ανώτερη θέση της κυκλικής διαδρομής του εκκρεμούς, όπου μηδενίζεται η κινούσα Πρόκειται για μη γραμμική διαφορική εξίσωση που η μέθοδος επίλυσής της δεν είναι καθόλου προφανής Η κάθετη συνιστώσα της βαρυτικής δύναμης στην κυκλική διαδρομή του εκκρεμούς αντισταθμίζεται από την τάση του άκαμπτου νήματος και η κινούσα δύναμη αποτελεί την ορθογώνια προβολή της βαρυτικής δύναμης επάνω στην εφαπτομένη της κυκλικής διαδρομής, στο εκάστοτε σημείο της, παραμετροποιημένης από τη γωνία απόκλισης x

14 ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 47 δύναμη, αλλά εφόσον στις θέσεις αυτές είναι μηδενική η ταχύτητα, οπότε το εκκρε- ές παραμένει σε κατάσταση ακινησίας όπως το υπαγορεύει η αρχή της αδράνειας Το διανυσματικό πεδίο που ορίζει τις τροχιές του εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του Η επίλυση της εξίσωσης που διέπει την κίνηση του εκκρεμούς οδηγεί στον προσδιορισμό των τροχιών του στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων Από κάθε σημείο διέρχεται μόνο μια τροχιά, όπως άλλωστε το υπαγορεύει το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων Κάθε χρονική στιγμή, κάθε σημείο ( x( ), x ( )) προβαλλόμενο στον άξονα των θέσεων ή των ταχυτήτων δίνει αντίστοιχα τη θέση και την ταχύτητα του εκκρεμούς τη δεδομένη αυτή στιγμή Οι τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του Ακριβολογώντας, το γεωμετρικό πρότυπο του χώρου των θέσεων και των ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεμούς είναι το καρτεσιανό γινόμενο της κυκλικής διαδρομής του και του πραγματικού άξονα όπου καταγράφεται η γωνιακή ταχύτητά του, 1 δηλαδή η κυλινδρική επιφάνεια S η οποία, με καθολική εκδίπλωσή της, αποτυπώνει τις τροχιές στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων Θα επανέλθουμε στο επόμενο κεφάλαιο, όταν εισαχθεί η έννοια της ενέργειας και η αρχή διατήρησής της, προκειμένου να αναλυθεί το σκεπτικό που οδηγεί σε απευθείας προσδιορισμό των τροχιών του εκκρεμούς

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αποτύπωση των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο των θέσεων και των ταχυτήτων του 15 Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης διατηρείται αναλλοίωτη και έχει τη μορφή που υπέδειξε ο Νεύτωνας: d x m F( x, x ) d Στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς εμφανίζονται επιπλέον δυνάμεις, οι καλού- μενες αδρανειακές δυνάμεις Για τους παρατηρητές που βρίσκονται σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς οι αδρανειακές δυνάμεις δεν υφίστανται, όμως υφίστανται και γίνονται αντιληπτές από εκείνους που βρίσκονται σε επιταχυνόμενα συστήματα ανα-φοράς και αυτοί οφείλουν να τις συμπεριλάβουν στην εξίσωση της κίνησης των σω-μάτων προκειμένου να ερμηνεύσουν σωστά τα φαινόμενα Οι αδρανειακές δυνάμεις δεν αποτελούν συνέπεια μιας φυσικής αλληλεπίδρασης μεταξύ σωμάτων, αλλά μιας αδρανειακής αντιπαράθεσης κάθε συστήματος αναφοράς σε οποιαδήποτε επιτάχυν-σή του που το υποχρεώνει να εγκαταλείψει την ευθύγραμμη ομαλή κίνησή του, άρα στην ουσία πρόκειται για φαινομενικές και όχι καθαυτού δυνάμεις Ας θεωρήσουμε δυο συστήματα αναφοράς, ένα αδρανειακό και ένα μη αδρανειακό που την αρχική στιγμή ταυτίζεται με το και με την πάροδο του χρόνου περιστρέφεται στο χώρο διατηρώντας την αρχή του ταυτισμένη με την αρχή του Για τους παρατηρητές αυτούς υφίσταται μόνο η αδράνεια, δηλαδή τα φαινόμενα που αντιλαμβάνονται προέρχονται από το ότι απαιτείται να καταβληθεί προσπάθεια προκειμένου να αλλάξει η αρχική κίνηση ενός σώματος