και αναζητούμε τις λύσεις του:
|
|
- Φωκάς Ράγκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές διατυπωμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες ως εξής: και αναζητούμε τις λύσεις του: x : = ax + bx = ax + bx, x () ( x(), x() ) =. Το ερώτημα που τίθεται αφορά στην ύπαρξη και προσδιορισμό γραμμικών συντε-ταγμένων στις οποίες το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων αποκτά απλούστερη έκφραση με δυνατότητα άμεσης επίλυσής του. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου το γραμμικό μετασχηματισμό: a b x x = a b x. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από μια ορθοκανονική βάση και τις κανονικές προβολές: Κάθε γραμμικός ισομορφισμός: x, i =,. i : φ: μετατρέπει την ορθοκανονική βάση σε βάση όχι απαραίτητα ορθοκανονική, οπότε οι καρτεσιανές συντεταγμένες μετασχηματίζονται στις γραμμικές συντεταγμένες: y, i : yi = x i φ, =, i. Γραμμικός μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων στο ευκλείδειο επίπεδο. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
2 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 Η σχέση αυτών των συντεταγμένων με τις αρχικές δηλώνεται με το μεταθετικό διάγραμμα: φ xi y i Το σύστημα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων διατυπώνεται συμβολικά στις καρτεσιανές συντεταγμένες ως εξής: X( ) = A X( ) και στις νέες γραμμικές συντεταγμένες αποκτά την έκφραση: Y( ) = BY( ). Οι ιδιοτιμές κάθε γραμμικού μετασχηματισμού διατηρούνται αναλλοίωτες κατά την αλλαγή βάσης και ταυτίζονται με τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) de Α λ I =. 0 Θεωρώντας την ορίζουσα και το ίχνος του γραμμικού μετασχηματισμού που επίσης διατηρούνται αναλλοίωτα κατά τις αλλαγές βάσης: de Α= ab ba και r Α= a + b προκύπτει η ακόλουθη έκφραση της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ( ) λ Α λ+ Α=0 r de. Η φύση των ιδιοτιμών καθορίζεται από το πρόσημο της διακρίνουσας: και προκύπτει: = λ = ( ( A) + (A) ) (A) ( ra) 4de A r και λ = ( ( A) (A) ) r. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: (A) > 0 απλές πραγματικές ιδιοτιμές λ, λ, λ λ, (A) = 0 διπλή πραγματική ιδιοτιμή λ, (A) < 0 μιγαδικές ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ iω, λ =α iω. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
3 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) > 0 απλές πραγματικές ιδιοτιμές λ, λ, λ λ. Εμφανίζονται δυο ανεξάρτητες ιδιοδιευθύνσεις: E = ξ /Aξ=λξ λ i { i }, i =,. Έτσι, υπάρχει δυνατότητα επιλογής μιας βάσης ιδιοδιανυσμάτων ξ και ξ, οπότε στη βάση αυτή ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού διαγωνιοποιείται και προκύπτει: y λ 0 y = y 0 λ y. Στις αντίστοιχες γραμμικές συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεων εκφράζεται ως εξής: y y = λ y = λ y y() = ce y() = ce λ λ λ λ x () = cξ e + cξe. Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διακριτών πραγματικών ιδιοτιμών. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
4 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) = 0 διπλή πραγματική ιδιοτιμή λ. Στην περίπτωση αυτή ο ιδιόχωρος είναι δισδιάστατος ή μονοδιάστατος: E λ = ξ / Aξ=λξ. { } - Αν dim E λ =, ο γραμμικός μετασχηματισμός ορίζει ομοθεσία με λόγο την τιμή της διπλής ιδιοτιμής: λ 0 x x = 0 λ x και προκύπτουν οι λύσεις: λ = λ x x() = x e x () = xe λ λ = λ x. x() = xe - Αν dim E λ =, επιλέγουμε μια βάση αποτελούμενη από ένα ιδιοδιάνυσμα ξ και ένα διάνυσμα ξ τέτοιο ώστε: A ξ=ξ +λ ξ και στη βάση αυτή ο γραμμικός μετασχηματισμός έχει τριγωνικό πίνακα: y λ y = y 0 λ y. Έτσι, προκύπτουν οι γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων αποκτά απλούστερη μορφή και υπολογίζονται απευθείας οι λύσεις: y =λ y + y y = λ y y() = ( c + c) e λ y() = ce λ x ( ) =... x ( ) =... Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διπλής πραγματικής ιδιοτιμής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
5 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (A) < 0 μιγαδικές ιδιοτιμές λ, λ, λ=α+ i ω, λ =α iω. Εμφανίζονται δυο συζυγείς μιγαδικές ιδιοτιμές και στο μιγαδικό επίπεδο προκύπτουν δυο συζυγή μιγαδικά ιδιοδιανύσματα * : ζ=ζ + i ζ, ζ =ζ i ζ. Στο πραγματικό επίπεδο, τα πραγματικά διανύσματα: ξ =ζ+ζ = ζ, ξ = i ( ζ ζ ) = ζ, συγκροτούν βάση στην οποία ο γραμμικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: y y α ω = y ω α y. Στις αντίστοιχες γραμμικές συντεταγμένες το σύστημα των εξισώσεων αποκτά τη μορφή: y =αy ωy y =ω y+αy αλλά για τον υπολογισμό των λύσεων χρειάζεται να εισαχθούν οι συντεταγμένες: και προκύπτει: y = rcsθ, y = rsinθ, r > 0, θ ( md π), r = αr θ = ω α r () = re θ () =ω + θ α y ( ) = re cs( ω + θ) α y ( ) = re sin( ω + θ) x ( ) =... x ( ) =... Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο στην περίπτωση διπλής μιγαδικών ιδιοτιμών. * Έκφραση του μιγαδικού γραμμικού μετασχηματισμού στη βάση των μιγαδικών ιδιοδιανυσμάτων: z λ 0 z ( ) (0) z = z e = z 0 z λ z ( ) z (0) e = ( α+ iω) ( α iω) ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
6 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ΤΗΣ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
7 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές: = ax + bx = ax + bx. Το σύστημα αυτό έχει διατυπωθεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου, αλλά όπως διαπιστώσαμε, υπάρχουν κατάλληλες γραμμικές συντεταγμένες όπου αποκτά απλούστερη έκφραση με δυνατότητα άμεσης επίλυσής του. Αυτές οι συντεταγμένες καθορίζονται από ιδιοδιευθύνσεις ή κατάλληλες διευθύνσεις που εμφανίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο ανάλογα με τη φύση των ιδιοτιμών της δυναμικής και οδηγούν στις κανονικές μορφές του συστήματος των εξισώσεων: y y = λ y = λ y y y = λ y = λ y y =λ y + y y = λ y y =αy ωy y =ω y +αy. Όταν η γραμμική δυναμική έχει δυο πραγματικές διακριτές ιδιοτιμές τότε στο ευκλείδειο επίπεδο εμφανίζονται δυο ανεξάρτητες ιδιοδιευθύνσεις και έτσι συγκροτείται ένα σύστημα ιδιοαξόνων όπου προκύπτει η κανονική μορφή των εξισώσεων: y y = λ y = λ y y() = ce y ce λ λ () =. Για το σχεδιασμό των τροχιών είναι προτιμότερο να εργαστούμε στις συντεταγμένες του συστήματος των ιδιοαξόνων παρά στις καρτεσιανές συντεταγμένες και εκεί η κανονική αυτή μορφή των εξισώσεων διατηρείται αναλλοίωτη κατά την αλλαγή: y y και y y. Συνεπώς, οι τροχιές εμφανίζουν αξονική συμμετρία ως προς κάθε ιδιοάξονα παράλληλα προς τον άλλον. Αν κάποια από τις ιδιοτιμές είναι μηδενική τότε κάθε σημείο του αντίστοιχου ιδιοάξονα αποτελεί κατάσταση ισορροπίας και οι άλλες τροχιές είναι ευθύγραμμες και εξελίσσονται κατά ζεύγη, ελκτικά ή απωστικά, εκατέρωθεν της κατάστασης ισορροπίας. Αν δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή τότε η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και τέσσερις ευθύγραμμες τροχιές, με φορέα τους ημιάξονες των ιδιοδιευθύνσεων, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της αντίστοιχης ιδιοτιμής. Για τις άλλες τροχιές, η αξονική τους συμμετρία ως προς τους ιδιοάξονες, υποδεικνύει ότι αρκεί να κατασκευαστούν στο τεταρτημόριο: y > 0, y > 0 και εκεί διαπιστώνουμε ότι φορέας τους είναι τα γραφήματα των εκθετικών συναρτήσεων: y = cy λ λ, c > 0. / ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
8 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 Τροχιές της γραμμικής δυναμικής με απλές μη μηδενικές πραγματικές ιδιοτιμές σε ορθοκανονικό σύστημα ιδιοαξόνων του ευκλείδειου επιπέδου. Τροχιές της γραμμικής δυναμικής με μια μηδενική και μια μη μηδενική ιδιοτιμή σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του ευκλείδειου επιπέδου. Όταν η γραμμική δυναμική έχει διπλή πραγματική ιδιοτιμή τότε, εκτός από τη μηδενική περίπτωση ή την περίπτωση ομοθεσίας, υπάρχει μόνο μια ιδιοδιεύθυνση. Έτσι, συγκροτείται ένα σύστημα αξόνων αποτελούμενο από ένα ιδιοάξονα και έναν κατάλληλα επιλεγμένο άξονα, όπως ήδη αναφέρθηκε, και σε αυτό το σύστημα γραμμικών συντεταγμένων προκύπτει η κανονική μορφή Jrdan των εξισώσεων: y =λ y + y y = λ y y() = ( c + c) e λ y() = ce λ Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και δυο ευθύγραμμες τροχιές, που έχουν ως φορέα τους ημιάξονες της ιδιοδιεύθυνσης, κατευθύνονται προς αυτήν ή απομακρύνονται προς το άπειρο ανάλογα με το πρόσημο της ιδιοτιμής. Όλες οι άλλες τροχιές έχουν φορέα τα γραφήματα των συναρτήσεων: y = ln y + c y ( ) λ όπου c = ln c + c/ c, c 0. λ Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση διπλής ιδιοτιμής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
9 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Όταν η γραμμική δυναμική έχει μιγαδικές ιδιοτιμές: λ=α+ i ω, λ =α iω τότε στο ευκλείδειο επίπεδο δεν υπάρχουν ιδιοδιευθύνσεις αλλά, όπως αναφέρθηκε, υπάρχει σύστημα γραμμικών συντεταγμένων όπου προκύπτει η κανονική μορφή των εξισώσεων: α y =αy ωy y ( ) = re cs( ω + θ) y α =ω y+αy. y ( ) = re sin( ω + θ) Η αρχή των αξόνων αποτελεί τη μοναδική κατάσταση ισορροπίας και ολόγυρά της εξελίσσονται ελλειπτικές ή σπειροειδείς τροχιές ανάλογα με το αν οι ιδιοτιμές είναι καθαρά φανταστικές ή όχι. Οι σπειροειδείς τροχιές πλησιάζουν απεριόριστα την κατάσταση ισορροπίας ή απομακρύνονται στο άπειρο ανάλογα με αν το πραγματικό μέρος των συζυγών ιδιοτιμών είναι αρνητικό ή θετικό. α< 0, ω> 0 α= 0, ω> 0 α> 0, ω> 0 α< 0, ω< 0 α= 0, ω< 0 α> 0, ω< 0 Τροχιές της γραμμικής δυναμικής στην περίπτωση μιγαδικών ιδιοτιμών στο ευκλείδειο επίπεδο. Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται στο ευκλείδειο επίπεδο οι τροχιές τριών δυναμικών συστημάτων από τα οποία μόνο ένα είναι γραμμικό. Μπορείτε να το αναγνωρίσετε; ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
10 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Άσκηση.. Σχεδιάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: [] = x+ x = 4x x [] = 3x + x = 3x + x [3] = x 3x = 3x + 4x [4] = 3x 3x = 3x x Υπόδειξη. [] Ιδιοτιμές: λ = 3, λ =, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, 4), ξ = (, ). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = 3y y = y y() = ce y() = ce 3 3 x() = ce + ce x() = 4ce + ce 3 [] Ιδιοτιμές: λ = /, λ = 3, Ιδιοδιανύσματα: ξ = (, ), ξ = (, 3). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: / / 3 y = y / y() = ce x() = ce + ce 3 / 3 y = 3 y y() = ce x() = ce + 3ce [3] Ιδιοτιμή: λ=, Ιδιοδιάνυσμα: ξ= (, ), Συμπληρωματικό διάνυσμα: ξ= ( / 3, 0). Προκύπτουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = y + y y = y y() = ( c+ c ) e y() = c e x( ) = ( c + c c / 3) e x( ) = ( c + c) e [4] Ιδιοτιμές: λ= + i 5, λ = i 5, Ιδιοδιανύσματα: ζ= ( + i 5, 3), ζ = ( i 5, 3). Τα διανύσματα ξ = (, 3), ξ = ( 5, 0) ορίζουν γραμμικές συντεταγμένες στις οποίες το σύστημα εκφράζεται ως εξής: y = y 5y y = 5y+ y Από το μετασχηματισμό y = r sin θ, y = r csθ προκύπτει: άρα r () = r () θ () = 5 y( ) = re cs( 5 + θ) y( ) = re sin( 5 + θ) r () = r e θ() = 5 + θ r = ce θ / 5 x ( ) = re ( cs( 5 + θ) 5 cs( 5 + θ) ) x( ) = re sin( 5 + θ) ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
11 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 [] [] [3] [4] Άσκηση.3. Σχεδιάστε τις τροχιές των γραμμικών δυναμικών συστημάτων που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα διαφορικών εξισώσεων: = x + x = x + 3x = x = 3x+ x = x+ x = x x = x+ x = x x Άσκηση.4. Ανακαλύψτε τη φύση των ιδιοτιμών των γραμμικών δυναμικών συστημάτων των οποίων οι τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο δίνονται στα ακόλουθα σχήματα: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
12 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 Άσκηση.5. Θέστε στη σωστή αντιστοιχία τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που δίνονται στα ακόλουθα σχήματα με τα εξής συστήματα διαφορικών εξισώσεων: = x = x = x = x = 3x + 4x = 3x 3x = x = x + x = x = x = x = x = x = x + x = x = x Άσκηση.6. Σχεδιάστε τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και εντοπίστε τις διαφορές τους: = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x+ x = x+ x = x+ x = x 9 = 8x+ 8x 0 = 0x+ 9x 0 = 9x+ 0x = x 9 = 0x+ 8x 0 = 0x+ x 0 = x+ 0x Άσκηση.7. Σχεδιάστε και εντοπίστε τις διαφορές των τροχιών της γραμμικής δυναμικής με διπλή ιδιοτιμή: () λ= /0, () λ= /0, η οποία ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο με το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων και συγκρίνατε την με την περίπτωση λ= 0 : =λ x + x = λ x. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
13 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 Προβληματισμός: Ισομορφική ταξινόμηση των ροών της γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε δυο γραμμικά δυναμικά συστήματα στο ευκλείδειο επίπεδο: X( ) = A X( ), i =,, i που η εξελικτική τους ροή ορίζεται αντίστοιχα από τις μονοπαραμετρικές ομάδες: { : / i } g, i =,. Οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο καλούνται γραμμικά ισοδύναμες εφόσον υπάρχει γραμμικός ισομορφισμός: τέτοιος ώστε: φ : φ g ( x ) = g φ( x ),,. x Θεώρημα. Δυο γραμμικές δυναμικές με απλές πραγματικές ιδιοτιμές είναι γραμμικά ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ίδιες ιδιοτιμές. Απόδειξη. Κάθε γραμμική δυναμική με απλές πραγματικές ιδιοτιμές αποσυντίθενται σε μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Άρα, οι γραμμικές δυναμικές που έχουν ίδιες διακριτές πραγματικές ιδιοτιμές δε μπορούν παρά να αποσυντεθούν στις ίδιες μονοδιάστατες γραμμικές δυναμικές. Αντίστροφα, αν οι δυο γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες τότε οι γραμμικοί τελεστές τους ταυτίζονται με αλλαγή βάσης άρα έχουν ίδιες ιδιοτιμές απλές ή όχι. Γραμμικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές της γραμμικής δυναμικής στο ευκλείδειο επίπεδο. Θεώρημα. Δυο γραμμικές δυναμικές είναι γραμμικά ισοδύναμες αν και μόνο αν είναι διαφορικά ισοδύναμες. * * Η διαφορική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών σημαίνει την ύπαρξη αμφιδιαφορομορφισμού: φ : : φ g ( x ) = g φ( x ),,. Το θεώρημα δεν υπονοεί ότι κάθε αμφιδιαφορομορφισμός που αποκαθιστά τη διαφορική ισοδυναμία των ροών της γραμμικής δυναμικής είναι οπωσδήποτε γραμμικός ισομορφισμός. Όμως, θεωρώντας το διαφορικό ενός τέτοιου αμφιδιαφορομορφισμού θα μπορούσατε να αντιληφθείτε το σκεπτικό της απόδειξης. Πρόκειται για αποτέλεσμα που ισχύει και για την πολυδιάστατη γραμμική δυναμική. x ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
14 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 Άσκηση.8. Ποια παραμόρφωση θα προκαλέσουν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί: () φ ( x, x ) = ( x, x + x ), () ( x, x ) ( x x, x x ) φ = + +, στις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: = x = x. Άσκηση.9. Ποια παραμόρφωση θα προκαλέσουν οι γραμμικοί μετασχηματισμοί: φ ( x, x ) = ( x, x ), φ ( x, x ) = ( x + x, x x ), ( x, x ) ( x x, x 3x ) φ = + +, 3 φ ( x, x ) = ( x + x,3x + x ), ( x, x ) ( x x,4x 4x ) 4 φ = +. 5 στις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: = x = x. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
15 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 Άσκηση.0. Εξετάστε αν οι δυναμικές που ορίζονται από τα ακόλουθα γραμμικά συστήματα εξισώσεων είναι γραμμικά ισοδύναμες και στην καταφατική περίπτωση προσδιορίστε τη σχέση των εξελικτικών τους ροών στο ευκλείδειο επίπεδο: = x = x = x = x + x = 3x x = x = x = x. = x = x. = x = x. 5 = 7x 4x 5 = 6x 7x. 4 = x = 4x. 5 = 7x + 4x 5 = 6x + 7x. Άσκηση.. Διαπιστώστε ότι οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο από τα ακόλουθα γραμμικά συστήματα εξισώσεων, παρότι έχουν ίδιες ιδιοτιμές - όμως όχι ίδιας φύσης, δεν έχουν γραμμικά ισοδύναμες εξελικτικές ροές: = x = x = x + x = x Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται οι τροχιές στο ευκλείδειο επίπεδο δυο άγνωστων γραμμικών δυναμικών συστημάτων και θέλουμε να μάθουμε τη φύση των ιδιοτιμών τους για να συμπεράνουμε την τοπολογική τους ισοδυναμία: Άσκηση.3. Επιλέξτε μη γραμμικούς αμφιδιαφορομορφισμούς του ευκλείδειου επιπέδου και αφήστε τους να μετασχηματίσουν την εξελικτική ροή της γραμμικής δυναμικής: ως εξής: g ( x ) = x ( e,e ),,, φ x g φ( x ),,. x Ποιο είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζει τη δυναμική της εξελικτικής ροής η οποία προκύπτει από αυτούς τους μετασχηματισμούς; ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
16 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 Προβληματισμός: Τοπολογική ταξινόμηση των ροών της γραμμικής δυναμικής. Θεωρούμε δυο γραμμικά δυναμικά συστήματα στο ευκλείδειο επίπεδο: X( ) = A X( ), i =,, i που η εξελικτική τους ροή ορίζεται αντίστοιχα από τις μονοπαραμετρικές ομάδες: { : / i } g, i =,. Οι δυναμικές που ορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο καλούνται τοπολογικά ισοδύναμες εφόσον υπάρχει ομοιομορφισμός: τέτοιος ώστε: h : hg ( x) = g hx ( ),,. x Θεώρημα: Κριτήρια τοπολογικής ταξινόμησης των ροών της γραμμικής δυναμικής. * Οι γραμμικές δυναμικές των οποίων οι ιδιοτιμές είναι θετικές (αντ. αρνητικές) ή έχουν θετικό (αντ. αρνητικό) πραγματικό μέρος είναι τοπολογικά ισοδύναμες με τη δυναμική που ορίζεται από την εξίσωση: = x, (αντ. = x), x. Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. Τοπολογικά ισοδύναμες γραμμικές δυναμικές στο ευκλείδειο επίπεδο. * Το κριτήριο αυτό ισχύει στους πολυδιάστατους ευκλείδειους χώρους και έχει γενικότερη διατύπωση. Η κατασκευή του ομοιομορφισμού που αποκαθιστά την τοπολογική ισοδυναμία βασίζεται στη χρήση της συνάρτησης Liapunv που θα διδαχθεί λίγο αργότερα. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
17 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Άσκηση.4. Επιλέξτε μη γραμμικούς ομοιομορφισμούς του ευκλείδειου επιπέδου και αφήστε τους να μετασχηματίσουν την εξελικτική ροή της γραμμικής δυναμικής: ως εξής: g ( x ) = x ( e,e ),,, h x g hx ( ),,. x Ποιο είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζει τη δυναμική της εξελικτικής ροής η οποία προκύπτει από αυτούς τους μετασχηματισμούς; Άσκηση.5. Θέστε στη σωστή αντιστοιχία τις τροχιές της γραμμικής δυναμικής που δίνονται στα ακόλουθα σχήματα με τις ιδιοτιμές που σημειώνονται σχηματικά και αποφανθείτε για την τοπολογική ισοδυναμία των αντίστοιχων εξελικτικών ροών στο ευκλείδειο επίπεδο: ασταθής εστία κέντρο ευσταθής εστία ασταθής κόμβος σάγμα ευσταθής κόμβος ασταθής ασταθής ευσταθής ευσταθής ακτινωτός κόμβος εκφυλισμένος κόμβος εκφυλισμένος κόμβος ακτινωτός κόμβος ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
18 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 30 Άσκηση.6. Αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων και σχεδιάστε τις τροχιές τους στο ευκλείδειο επίπεδο: [] = x+ x = x x = x x = x+ x = x+ x = x+ x = x + x = x + x [] [3] = x = x + x = x+ x = x+ x = x = x + x = x+ x 4 = x + 4x [4] = x = x x = x x = x x Άσκηση.7. Σχεδιάστε τις τροχιές της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων για διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου ρ και διαπιστώστε τη συνεχή τοπολογική παραμόρφωσή τους που οδηγεί από κόμβο σε εστία: = x+ρx = x + ( +ρ/) x ρ. ρ= 0.5 ρ= 0. ρ= 0 ρ= 0.5 ρ= Άσκηση.8. Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου α στις οποίες η εξελικτική ροή του καθενός από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων αλλάζει τοπολογικό τύπο: [Ι] = x = α x [ΙΙ] = x = αx. Άσκηση.9. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία των αντίστοιχων εξελικτικών ροών της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: = x = ax + bx. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
19 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Άσκηση.0. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a και b αποφανθείτε για τη γραμμική και τοπολογική ισοδυναμία, ή μη, της δυναμικής που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από την εξίσωση x= a x+b x με εκείνη που ορίζεται από την εξίσωση x= x ή την εξίσωση x= x. * Άσκηση.. Ζητάμε να τεκμηριώσετε τον προτεινόμενο διαμερισμό των εικονιζόμενων τροχιών της γραμμικής δυναμικής σε κλάσεις τοπολογικής ισοδυναμίας, αφού προηγουμένως προσδιορίσετε την έκφραση των αντίστοιχων μονοπαραμετρικών ομάδων και των εξελικτικών ροών τους και διευκρινίσετε την αλγεβρική και γεωμετρική ερμηνεία τους. Άσκηση.. Στο επόμενο σχήμα δίνονται στο ευκλείδειο επίπεδο οι τροχιές δυναμικών συστημάτων από τα οποία μόνο ένα δεν είναι γραμμικό. Μπορείτε να το αναγνωρίσετε; Για τα υπόλοιπα γραμμικά δυναμικά συστήματα μπορείτε να ανακαλύψετε τη φύση των ιδιοτιμών τους και να τα ταξινομήσετε σε κλάσεις τοπολογικής ισοδυναμίας; * Σε αυτό το σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ανάγεται κάθε γραμμική διαφορική εξίσωση ης τάξης με σταθερούς συντελεστές: x= ax+ b. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
20 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Προβληματισμός: Οι μικρές ταλαντώσεις του απλού επίπεδου εκκρεμούς. Το απλό επίπεδο εκκρεμές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας με την παρουσία τριβών και μικρή γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο αποτελεί αντιπροσωπευτικό παράδειγμα μελέτης της γραμμικής δυναμικής στο επίπεδο των θέσεων και ταχυτήτων που αναπαρίσταται στο ευκλείδειο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή η κίνησή του διέπεται από τη διαφορική εξίσωση: * x x x () +ρ () +ω () = 0 που στο χώρο των θέσεων και των ταχυτήτων εκφράζεται ως σύστημα εξισώσεων: = y y = ω x ρ y Για κάθε αρχική θέση και ταχύτητα ορίζεται η αντίστοιχη λύση και κάθε χρονική στιγμή η προβολή του σημείου ( x ( ), y ( )) της τροχιάς στον άξονα των θέσεων ή των ταχυτήτων δίνει τη θέση και ταχύτητα του εκκρεμούς τη δεδομένη αυτή στιγμή. Άσκηση.3. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων l και ω του απλού επίπεδου εκκρεμούς αποφανθείτε για τη φύση των ιδιοτιμών της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης που διέπει την κίνησή του και προσδιορίστε την αντίστοιχη εξελικτική ροή, καθώς και τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες αλλάζει η τοπολογική της φύση. Δώστε τη φυσική ερμηνεία των φαινομένων που έχουν να κάνουν με τη δυναμική του απλού επίπεδου εκκρεμούς.. Τροχιές του απλού επίπεδου εκκρεμούς στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. * Θεωρούμε τη μάζα του εκκρεμούς μοναδιαία και σημειώνουμε l το μήκος του άκαμπτου νήματός του που το άκρο του είναι προσδεμένο σε σταθερό σημείο και g την αριθμητική τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας και θέτουμε ω = g / l. Επίσης, με ρ σημειώνουμε το συντελεστή τριβής του μέσου όπου εκτελείται η κίνησης και θεωρούμε τη δύναμη τριβής ανάλογη προς την ταχύτητα του εκκρεμούς. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
21 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 33 Προβληματισμός: Ο τελεστής εξέλιξης της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Τ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00
Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.
ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6
ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΈνα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την
ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ακόλουθη έκφραση στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου χώρου
Διαβάστε περισσότεραn xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:
ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται
Διαβάστε περισσότερα,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:
ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. *
ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Ι. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν μονοδιάστατους χώρους καταστάσεων όπου ο νόμος της εξέλιξης εκφράζεται
Διαβάστε περισσότερα, ( x) = ( f ( x),..., f ( x)
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΡΟΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις προσφέρουν τη δυνατότητα μαθηματικής μοντελοποίησης ενός πλήθους φυσικών, χημικών, βιολογικών, οικολογικών, οικονομικών
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΤροχιές της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής στην περιοχή των υπερβολικών καταστάσεων ισορροπίας. Σάγματα - saddles
ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΘΕΩΡΗΜΑ HARTMAN-GROBMAN Το θεώρημα των D M Grbman (959 και P Harman (960 δηλώνει ότι η εξελικτική ροή κάθε μη γραμμικής δυναμικής έχει τοπικά ίδια
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραx (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,
Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.
Διαβάστε περισσότεραΛ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί
Διαβάστε περισσότερα1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman
Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.
Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2.
ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 011) 1 Από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του αριθμητικού χωρο-χρόνου εντοπίστε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μεταπτυχιακό Μάθημα Ακαδημαϊκό έτος 2012-13 Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό,
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΠαραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 00-) Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: * ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού
//04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΣτο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής
Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως
Διαβάστε περισσότεραL = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10
Διαβάστε περισσότερα2.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις
ΚΕ. Εισαγωγή στην φυσική της κυματικής κίνησης.-0.5. Απλές λύσεις κυματικών εξισώσεων σε δύο και τρεις διαστάσεις.5.1 Σφαιρικά κύματα ως απλές λύσεις της εξίσωσης d Alembet στις τρεις διαστάσεις.5. Κυλινδρικά
Διαβάστε περισσότεραΘωμάς Ραϊκόφτσαλης 01
0 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)
Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑς ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΗ 30 ης ΜΑΪΟΥ 2016
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μάθηµα: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευµατικός ΕΞΕΤΑΣΗ 0 ης ΜΑΪΟΥ 016 ΘΕΜΑ I (5 µονάδες) Στερεό Σώµα Δίνεται ο τελεστής αδράνειας I: οµμογενούς στερεού σώµματος συνεχούς
Διαβάστε περισσότεραdx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.
Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73
ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραAΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Βλ σχολ βιβλίο σελ 5 Α Βλ σχολ βιβλίο σελ Α Σ Σ Σ 4 Σ 5 - Λ ΘΕΜΑ Β Β Η εξίσωση () z ισοδυναμεί με την z z που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα 4 διότι 4 Άρα οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικές
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1
Διαβάστε περισσότεραΣώματα σε επαφή και Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Σώματα σε επαφή και Απλή Αρμονική Ταλάντωση Σε όλες τις περιπτώσεις που θα εξετάσουμε το δάπεδο είναι λείο. Επίσης τα σύμβολα των διανυσματικών μεγεθών αντιπροσωπεύουν τις αλγεβρικές τους τιμές. Α. Η επιφάνεια
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή
Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014
ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότερα= x. = x1. math60.nb
MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέματα εξέτασης στο μάθημα «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου» (ΕΜ57) Ηράκλειο, 9 Μαΐου 009 Θέμα 1 ο (μονάδες.0) Έστω ο τανυστής προβολής P= 1 n n, όπου n
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότερα