Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού

Περιεχόμενα Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας. Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ήταν έλληνας μαθηματικός, γεωδαίτης, φυσικός και μηχανικός. Ένα μέρος των έργων του αποτελεί τον πυρήνα της γεωδαιτικής γραμματείας του ελληνικού κόσμου. Ο χρόνος και ο τόπος της γέννησης και του θανάτου του είναι άγνωστα. Έζησε πιθανώς κατά τον πρώτο π.χ. ή τον πρώτο μ.χ. αιώνα, χωρίς να αποκλείεται η ύπαρξή του και στον δεύτερο π.χ. αιώνα. Το βέβαιο είναι ότι έζησε και έδρασε στην Αλεξάνδρεια, όπου διηύθυνε το Μουσείο. Τα έργα του αποτελούσαν για πολλούς αιώνες, όπως και τα Στοιχεία του Ευκλείδη, τη βάση για τη διδασκαλία των μαθηματικών και της φυσικής. Το έργο του Ήρωνα Μετρικά, αποτελείται από τρία βιβλία και περιέχει διάφορες μετρήσεις γεωμετρικών σχημάτων, από το τρίγωνο μέχρι τη σφαίρα καθώς και κανόνες για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων με αριθμητικά παραδείγματα. Εις την αρχή του έργου τονίζεται ότι: αρχικά μοναδικός σκοπός της γεωμετρίας ήταν η μέτρηση επιφανειών στο έδαφος, απ όπου προκύπτει και το όνομα της επιστήμης αυτής, στη συνέχεια όμως το αντικείμενο έγινε ευρύτερο με την εισαγωγή τη μέτρηση μη επιπέδων επιφανειών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Αυτό έδωσε και την αφορμή για εργασίες θεωρητικού χαρακτήρα. Στο έργο του ο Ήρων στηρίζεται σε ορισμούς, θεωρήματα και μεθόδους που περιέχονται στα στοιχεία του Ευκλείδη και σε έργα του Αρχιμήδη, εκτός από το ζήτημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του με τη γνωστή ως τύπος του Ήρωνα λύση. Εις τον Ήρωνα αποδίδεται μια συλλογή που φέρει τον τίτλο Ορισμοί, Γεωμετρικά, όπου υπάρχουν γεωμετρικές μετρήσεις που αφορούν πρακτικές εφαρμογές, Γεωδαισία, απ όπου σώζονται ελάχιστα αποσπάσματα, και Στρερομετρικά, όπου αναφέρονται γεωμετρικές μετρήσεις που αφορούν στα στερεά. Η εξέλιξη των οργάνων, των μεθόδων και των συστημάτων μετρήσεων των επιστημών της αποτύπωσης στην Ελλάδα Θεσσαλονίκη, 15 & 16 Απριλίου 2005, σελ. 67-79 67

Γεωδαισία είναι επιστήμη διαιρετική και συνθετική των μεγεθών και των σχημάτων του αισθητού (αντιληπτού) κόσμου. Ποιό είναι το αντικείμενο της γεωδαισίας; Θεωρεί τα σχήματα όχι τέλεια και όχι σαφώς ορισμένα, όπως και η λογιστική. μετράει λοιπόν το σωρό ως κώνο και τα κυκλικά φρέατα ως κυλινδρικά σχήματα και τα μείουρα ως κολούρους κώνους. Όπως δε η γεωμετρία χρησιμοποιεί την αριθμητική, έτσι κι αυτή τη λογιστική. Χρησιμοποιεί όργανα, για μεν τις μετρήσεις των αγρών τις διόπτρες, ενώ τον κανόνα, τη στάθμη τον γνώμονα και τα παρόμοια για τις μετρήσεις αποστάσεων και υψών, άλλοτε με τη σκιά, άλλοτε πάλι με σκόπευση και μερικές φορές για τη λύση αυτών των προβλημάτων χρησιμοποιεί τις ανακλάσεις του φωτός. Όπως ο γεωμέτρης χρησιμοποιεί νοητές γραμμές, έτσι ο γεωδαίτης χρησιμοποιεί τις αντιληπτές.. Εικ. 1. Η διόπτρα του Ήρωνος (σχέδιο του Schöne, Die dioptra des Heron. Jahrbuch des Deutshen Arhäologischen Instituts, 14: 91-103). Όργανο μέτρησης και χάραξης ο- ριζοντίων και κατακορύφων γωνιών. Διακρίνεται ο μικροβατικός κοχλίας του οριζόντιου και κατακόρυφου δίσκου. Οι δίσκοι της διόπτρας στις τοπογραφικές εφαρμογές δεν ήταν βαθμολογημένοι. Η χρήση της βασιζόταν στη χάραξη ευθυγραμμιών, ορθών γωνιών και ομοίων τριγώνων. Βαθμολογημένους δίσκους διέθεταν οι διόπτρες που προορίζονταν για αστρονομικές παρατηρήσεις. Οι δύο κάθετοι δείκτες στο σύστημα σκόπευσης είναι το μοιρογνωμόνιο. 68 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

Στη μικρή πραγματεία με τίτλο Ηρωνος περί μέτρων, αναφέρονται: μέτρηση άσβεστου σε λάκκο, μέτρηση φρέατος, μέτρηση λίθου και ξύλου τετραγώνου και στρογγυλού, μέτρηση σχεδίας, μέτρηση κίονος, μέτρηση ασπίδας κ.λπ. Τα έργα του Ηρωνος που χάθηκαν είναι: Καμαρικά, Περί ζυγιών, Αστρόλαβον, και Γεωπονικόν. Ατελής διασώθηκε και η πραγματεία Χειροβαλλίστρας κατασκευή και συμμετρία, που αφορούσε στην κατασκευή μικρών βλητικών μηχανών οι οποίες λειτουργούσαν με το χέρι. Περί Διόπτρας, το πρώτο τοπογραφικό σύγγραμμα Η σημαντικότερη συμβολή του Ήρωνος στην Γεωμετρία φαίνεται στο έργο του Περί διόπτρας, στον πρόλογο του οποίου αναφέρεται ότι είναι το πρώτο εγχειρίδιο διοπτρικής, επιστήμης που ασχολείται με τις μεθόδους της πρακτικής γεωμετρίας σε συνδυασμό με τη χρήση της διόπτρας, σημαντικού οργάνου εκείνης της εποχής, ανάλογου με τον σημερινό θεοδόλιχο. Στο σύγγραμμα αυτό, που αποτέλεσε πολύ χρήσιμο εγκόλπιο για τον τοπογράφο μέχρι τον 16ο αιώνα, ο Ήρων: 1. Περιγράφει τη διόπτρα και τα παρελκόμενά της ώστε να χρησιμοποιηθεί ως όργανο χάραξης και μέτρησης γωνιών αλλά και ως χωροβάτης, δίνοντας και αναλυτικές οδηγίες για την κατασκευή τους. 2. Διατυπώνει και δίνει τη λύση σε μια σειρά από τοπογραφικά προβλήματα, που περιλαμβάνουν μεθόδους μέτρησης αποστάσεων, επιφανειών, υψομέτρων, βαθομέτρων, μεθόδους χάραξης σήραγγας, διαίρεσης επιφανειών κλπ. 3. Αναλύει μια τεχνική μέτρησης-υπολογισμού της απόστασης μεταξύ δύο τόπων, χρησιμοποιώντας τη διαφορά ώρας μιας έκλειψης και αναφέρεται στην απόσταση Αλεξάνδρειας-Ρώμης. 4. Περιγράφει το οδόμετρο για τη μέτρηση αποστάσεων στην ξηρά αλλά και στη θάλασσα. Θα πω με λίγα λόγια γιατί ή μελέτη αυτή είναι πολύ χρήσιμη στην ζωή: διότι μπορεί να βρει εφαρμογή και στη μεταφορά υδάτων, και στη κατασκευή τειχών και λιμανιών και κάθε οικοδομήματος. Ακόμη έχει εφαρμογές και στην εξέταση των ουρανίων σωμάτων, γιατί μετρά τα διαστήματα μεταξύ των αστεριών καθώς και τις αποστάσεις και τα μεγέθη και τις εκλείψεις του ήλιου και της σελήνης. Επί πλέον είναι χρήσιμη σε όσους ασχολούνται με την γεωγραφία επειδή μπορούν να μετρήσουν και νησιά και πελάγη και οποιαδήποτε περιοχή από μακριά. Γιατί πολλές φορές παρεμβάλλεται ένα εμπόδιο πού μας εμποδίζει να κάνουμε τη δουλειά μας, όπως μια εχθρική περιοχή, ή επειδή ένας τόπος είναι απρόσιτος και άβατος λόγω φυσικής ανωμαλίας ή ύπαρξης ορμητικού ρεύματος. Πολλοί μάλιστα, κατά την πολιορκία κατασκεύασαν σκάλες ή πολιορκητικές μηχανές κοντύ- Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 69

τερες από το αναγκαίο ύψος, και αφού τις μετέφεραν στα εχθρικά τείχη, έγιναν θύματα των αντιπάλων, επειδή έπεσαν έξω στον υπολογισμό του ύψους των τειχών, επειδή ήσαν άπειροι στην επιστήμη της διοπτρικής. Διότι πρέπει να μετρώνται πάντοτε τα διαστήματα πού προαναφέραμε από τέτοια απόσταση, ώστε να μη φθάνει το εχθρικό βέλος. Εικ. 2. Η κατακορύφωση της διόπτρας γινόταν με τη βοήθεια νήματος της στάθμης. Η διόπτρα, ο πρόδρομος του θεοδολίχου Στο σύγγραμμα του Ήρωνα ακολουθεί η περιγραφή της διόπτρας, ενός οργάνου μέτρησης οριζοντίων και κατακόρυφων γωνιών (με τις αρχές του σημερινού θεοδόλιχου), και ως οργάνου μέτρησης υψομετρικών διαφορών (υδραυλικός χωροβάτης). Ένα μεγάλο μέρος του κειμένου είναι χαμένο. Στο χαμένο κείμενο περιγράφεται η βασική μορφή της διόπτρας, ως όργανο μέτρησης γωνιών. Η ανακατασκευή της, όπως δίνεται στα σχήματα των διαφόρων μελετητών βασίσθηκε στις περιγραφές των εφαρμογών που δίνει ο Ήρων στις επόμενες παραγράφους του συγγράμματός του. Σύμφωνα με τις αναφορές αυτές ανάμεσα στα δύο παράλληλα στηρίγματα προσαρμόζεται ημικυκλικός οδοντωτός δίσκος που περιστρέφεται με τη βοήθεια του ατέρμονα κοχλία γύρω από οριζόντιο άξονα. Πάνω στον δίσκο αυτόν στηρίζεται άλλος μεγαλύτερος δίσκος, όπου υπήρχαν χαραγμένες δύο κάθετες μεταξύ τους διάμετροι, καθώς και κύκλος μικρότερης ακτίνας υποδιαιρεμένος σε 360 μοίρες, μόνο όμως για αστρονομικές εφαρμογές. Στο μέσο του κύκλου υ- πήρχε κανόνας περιστρεφόμενος γύρω από κατακόρυφο άξονα στο κέντρο του δίσκου, εφοδιασμένος και προς τις δύο πλευρές με σύστημα σκόπευσης. Η μορφή του συστήματος σκόπευσης δεν προκύπτει από τις εφαρμογές. Το σύστημα στήριξης της διόπτρας, ο παγεύς (από το ρήμα πήγνυμι), όπως α- ναφέρεται στο κείμενο, δεν περιγράφεται με σαφήνεια. Αιχμηρός πάσσαλος μπηγμένος στο έδαφος ή κάποιο άλλο σύστημα, π.χ. τρίποδας. Με τη βοήθεια της διόπτρας ήταν δυνατή η χάραξη ευθυγραμμιών, ορθών γω- 70 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

νιών, κατασκευή ομοίων τριγώνων και για αστρονομικές μόνο εφαρμογές η μέτρηση γωνιών. Εντυπωσιακό είναι το σύστημα των δύο κοχλιών που δίνουν τη δυνατότητα μικροβατικών κινήσεων των δίσκων και που πιθανότατα είναι καινοτομία του Ήρωνα. Εικ. 3. Μια εναλλακτική μορφή της διόπτρας, ο χωροβάτης για τη μέτρηση των υψομετρικών διαφορών. χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με τη σταδία που φαίνετα στο σχέδιο δεξιά. Στη συνέχεια, στο κείμενο του Ήρωνα, περιγράφεται μια εναλλακτική μορφή της διόπτρας, ο χωροβάτης για τη μέτρηση των υψομετρικών διαφορών. Στη θέση του σκοπευτικού κανόνα, χρησιμοποιείται κανόνας εφοδιασμένος με οριζόντιο χάλκινο σωλήνα, που έχει καμφθεί κατά τα δύο άκρα του. Τα άκρα καταλήγουν σε μικρούς κατακόρυφους γυάλινους σωλήνες, που επιτρέπουν την απευθείας παρατήρηση της στάθμης του υγρού. Ο κανόνας οριζοντιώνεται με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Για τη διευκόλυνση της σκόπευσης δια μέσου της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού, οι γυάλινοι σωλήνες ήταν εφοδιασμένοι με κατακόρυφα πλακίδια που έφεραν λεπτή οριζόντια σχισμή. Η μορφή αυτή της διόπτρας χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με κανόνα, που σύμφωνα με την περιγραφή του Ήρωνα, μοιάζει με τη σημερινή χωροσταθμική σταδία των οπτικών χωροβατών. Είναι κατασκευασμένη από ξύλο, φέρει υποδιαιρέσεις, σύστημα σκόπευσης και σύστημα κατακορύφωσης. Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 71

Τα προβλήματα Μετά την περιγραφή των οργάνων, της διόπτρας και των παρελκομένων της, ο Ήρων δίνει στη συνέχεια μια σειρά από πρακτικά προβλήματα που επιλύονται με τη βοήθεια της διόπτρας και που αποτελούν χρήσιμες εφαρμογές για εκπαιδευτικούς, στρατιωτικούς και κτηματολογικούς σκοπούς καθώς και για χαράξεις τεχνικών και εγγειοβελτιωτικών έργων. Από τη λύση των προβλημάτων αυτών φαίνεται πως η διόπτρα για τις επίγειες εφαρμογές δεν ήταν βαθμολογημένη. Η λειτουργία της στηρίζεται στη χάραξη ορθών γωνιών με τη βοήθεια του σταυρού στον δίσκο, στη χάραξη ευθυγραμμιών σκοπεύοντας από τις δύο πλευρές του συστήματος σκόπευσης, και στην κατασκευή ομοίων τριγώνων. Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αποστάσεων και υψομετρικών διαφορών. Για παράδειγμα, για να υπολογισθούν οι πλευρές ενός τριγώνου, δημιουργείται ένα όμοιό του με τη βοήθεια της διόπτρας, με κοινή κορυφή στην πιο απλή περίπτωση, και με ορισμένο μήκος πλευρών. Γνωρίζοντας το λόγο δύο αντιστοίχων πλευρών, υπολογίζονται οι πλευρές του πρώτου τριγώνου. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται και για τον υπολογισμό υψομετρικών διαφορών σκοπεύοντας με τη διόποτρα από μακριά, όπου η κάθετος πλευρά είναι μία κατακόρυφη ράβδος, όπου σημειώνεται το σημείο τομής της με τη σκόπευση προς το απομακρυσμένο σημείο. Η μέθοδος αυτή χρησμοποιείται πιθανότατα από τον 6ο αι. π.χ. (Θαλής ο Μιλήσιος), όπου όμως η διόπτρα δεν είχε οριζόντιο δίσκο, παρά μόνο έναν αυλό σκόπευσης. Στο πρώτο πρόβλημα περιγράφεται ο υπολογισμός της υψομετρικής διαφοράς μεταξύ δύο σημείων, ώστε να διοχετευθεί νερό από ένα σημείο προς το άλλο: 6. Δοθέντων δύο σημείων, που απέχουν τυχαίο διάστημα, να εξετασθεί ποιο από τα δύο κείται υψηλότερα ή χαμηλότερα και πόσο, ή αν και τα δύο βρίσκονται στο ίδιο ύψος, δηλαδή στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Το επόμενο πρόβλημα αναφέρεται στη χάραξη ευθυγραμμίας μεταξύ δύο σημείων 7. Να χαραχθεί με τη διόπτρα η ευθεία γραμμή ανάμεσα σε δύο σημεία τα οποία δεν είναι αμοιβαίως ορατά, οποιαδήποτε και αν είναι η μεταξύ τους απόσταση. Στη συνέχεια ακολουθούν τέσσερα προβλήματα υπολογισμού αποστάσεων και χάραξης κάθετων ευθειών. 8. Δίνονται δύο σημεία, το ένα στη θέση που βρισκόμαστε και το άλλο απομακρυσμένο. Να βρεθεί η οριζόντια απόσταση των σημείων, χωρίς να προσεγγίσουμε το απομακρυσμένο. 72 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

9. Να βρεθεί το ελάχιστο πλάτος ενός ποταμού, όταν ο παρατηρητής βρίσκεται στη μια όχθη του. 10. Δοθέντων δύο σημείων σε μακρινή απόσταση, που είναι ορατά από τον παρατηρητή, να βρεθεί η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση και επί πλέον η θέση τους. 11. Να αχθεί κάθετος από το πέρας μιας ευθείας γραμμής, χωρίς να προσεγγίσει κανένας ή την ευθεία ή το πέρας της. Ακολουθεί ο υπολογισμός της υψομετρικής διαφοράς μεταξύ ενός ορατού και σημείου και του παρατηρητή και μεταξύ δύο ορατών σημεών. 12. Από ένα σημείο, που μας είναι ορατό να βρεθεί η ευθεία, που διέρχεται από το σημείο αυτό κάθετα προς το οριζόντιο επίπεδο, που περνά από τη θέση μας, χωρίς να πλησιάσουμε το σημείο. 13. Από δύο σημεία, που μας είναι ορατά, να βρεθεί η κάθετος, που άγεται από το ένα σημείο, προς το οριζόντιο επίπεδο, που διέρχεται από το δεύτερο, χωρίς να προσεγγίσουμε τα σημεία αυτά. Στη συνέχεια αναλύονται τρία προβλήματα χάραξης που σχετίζονται με υδραυλικά και εγγειοβελτιωτικά έργα. 14. Να υπολογισθεί το βάθος δοθέντος ορύγματος 15. Να διανοιχθεί επί ενός όρους μια ευθύγραμμη σήραγγα, της οποίας έχουν δοθεί οι είσοδοι. 16. Επί ενός όρους να κατασκευαστούν φρεάτια σήραγγας, κάθετα στη διεύθυνση της σήραγγας. Το πρόβλημα χάραξης ενός λιμένος που ακολουθεί είναι ένα γενικότερο πρόβλημα χάραξης ενός κυκλικού προτύπου: 17. Να χαραχθεί το περίγραμμα ενός λιμένος, κυκλικού σχήματoς, όταν γνωρίζουμε τα δύο άκρα του. Ακολουθούν δύο προβλήματα διαμόρφωσης του εδάφους: 18. Να κυρτωθεί το έδαφος κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχει ορισμένη σφαιρική επιφάνεια. 19. Να καταστήσουμε επικλινές το έδαφος με συγκεκριμένη κλίση, έτσι ώστε η κλίση του να διέρχεται από ένα σημείο δοθέντος οριζόντιου τόπου σχήματος ρόμβου. Ο Ήρων δίνει λύση και στο πρόβλημα καθαρισμού και επισκευής των υπονόμων, ορίζοντας το σημείο για τη διάνοιξη κατακόρυφου φρεατίου, ώστε να είναι δυνατή η επίσκεψη στον υπόνομο και η μεταφορά υλικών για την επισκευή του: Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 73

20. Αν ξέρουμε τη θέση ενός υπονόμου, να βρεθεί σημείο στην επιφάνεια του υπερκειμένου εδάφους, ώστε να κατασκευασθεί φρεάτιο που να καταλήγει στον υπόνομο. 21. Από τη θέση μας, με τη βοήθεια της διόπτρας, να χαράξουμε πάνω σε μια γνωστή ευθεία ένα συγκεκριμένο μήκος. 22. Mε τη βοήθεια της διόπτρας, να χαράξουμε ένα συγκεκριμένο μήκος με αρχή δοσμένο σημείο σε απόσταση από τη διόπτρα και παράλληλο προς δοσμένη ευθεία. Στο επόμενο πρόβλημα παρουσιάζεται μέθοδος υπολογισμού του εμβαδού μιας περιοχής που περικλείεται από μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή. Δημιουργείται σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων με τη βοήθεια των οποίων υπολογίζεται το εμβαδόν. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα: 23. Να μετρηθεί με τη διόπτρα το εμβαδόν μιας περιοχής που περικλείεται από μια τυχαία γραμμή. 24. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος μέτρησης... (Δίνεται δεύτερη λύση στο προηγούμενο πρόβλημα). Με το επόμενο πρόβλημα ο Ήρων διδάσκει έναν τρόπο επανατοποθέτησης των ορίων ενός χωραφιού, με τη βοήθεια του τοπογραφικού διαγράμματος (μιμήματος υπάρχοντος) και 2 ή 3 υπαρχόντων σημείων. 25. Αν τα σημεία οριοθέτησης ενός χωραφιού έχουν χαθεί, εκτός από δύο ή τρία, αλλά υπάρχει το σχέδιο του χωραφιού, να τοποθετηθούν στο έδαφος και τα υ- πόλοιπα σημεία. Στη συνέχεια επιλύει πρόβλημα αναδασμού καθώς και πρόβλημα μέτρησης αγροτεμαχίου, χωρίς να εισέλθουμε σαυτό. 26. Να διαιρεθεί ένα χωράφι σε ένα ορισμένο πλήθος μεριδίων, με ευθείες διερχόμενες από το ίδιο σημείο. 27. Να μετρηθεί ένα χωράφι, χωρίς να εισέλθουμε σ αυτό. Ο Ήρων δίνει στη συνέχεια τις αποδείξεις προτάσεων που χρησιμοποίησε στα παραπάνω προβλήματα και επαναλαμβάνει την απόδειξη του τύπου του Ήρωνα, όπου υπολογίζει το εμβαδόν τριγώνου από τα μήκη των πλευρών του. Υπολογίζει την παροχή πηγής με τη χρήση μιας τάφρου, της διόπτρας και ενός ηλιακού ωρολογίου. Δίνει παράδειγμα χρήσης της διόπτρας για αστρονομικούς σκοπούς: τη μέτρηση της γωνιακής απόστασης μεταξύ δύο αστέρων. Για τη μέτρηση χαράσσει στον οριζόντιο δίσκο της διόπτρας ομόκεντρο κύκλο και τον διαιρεί σε 360 ο. Η ανάγνωση γίνεται με το μοιρογνωμόνιο, ένα δείκτη κάθετο στο σύστημα σκόπευσης. 74 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

Τέλος, προειδοποιεί όσους χρησιμοποιούν τον αστερίσκο αντί για τη διόπτρα, ότι δίνει λανθασμένες μετρήσεις επειδή τα τέσσερα νήματα της στάθμης δεν ηρεμούν και δεν ορίζουν σωστά τα κατακόρυφα επίπεδα. Ολοκληρώνεται δε το σύγγραμμα με τη περιγραφή του οδομέτρου, οργάνου που μετρά τις αποστάσεις, τοποθετημένο πάνω σ ένα κινούμενο όχημα και με τον υπολογισμό της απόστασης Αλεξάνδρειας-Ρώμης, γνωρίζοντας την τοπική ώρα που έγινε έκλειψη σελήνης, ταυτόχρονα ορατή από τις δύο πόλεις. Το οδόμετρο Στο σύγγραμμά του Περί Διόπτρας ο Ήρων ασχολείται και με τη μέτρηση των μεγάλων αποστάσεων. Περιγράφει το οδόμετρο, όργανο τοποθετημένο σε τροχήλατο όχημα, που μετρά των αριθμό των στροφών της γνωστής διαμέτρου ρόδας του οχήματος και το μετατρέπει σε μονάδες μήκους. Εκτός από το χερσαίο οδόμετρο, στο ίδιο σύγγραμμα περιγράφεται και το θαλάσσιο, όπου ένας πτερυγιοφόρος τροχός έχει αντικαταστήσει τον τροχό του οχήματος. Πριν από τον Ήρωνα όμως έχουμε περιγραφή του οδομέτρου και από τον Βιτρούβιο και από άλλους συγγραφείς που το αποδίδουν ως εφεύρεση στον Αρχιμήδη. Κατασκευάστηκε πιθανότατα το 240 π.χ. από τον μεγάλο μηχανικό με σκοπό τη σήμανση της Αππίας οδού, που είχε ολοκληρωθεί πρόσφατα. Εικ. 4. Αναπαραστάσεις του οδομέτρου (τα δύο σχήματα πάνω) και του δρομομέτρου (κάτω αριστερά). Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 75

Και νομίζουμε ότι επακόλουθο της επιμελούς σπουδής της διοπτρικής είναι η μέτρηση διαστημάτων επί της γης με το καλούμενο οδόμετρο, ώστε να μη κουραζόμαστε και χάνουμε χρόνο μετρώντας με την αλυσίδα ή το σχοινί, αλλά ευρισκόμενοι επάνω σε πορευόμενο όχημα να προσδιορίζουμε με ακρίβεια τα προαναφερθέντα διαστήματα, με το γύρισμα των τροχών. Και άλλοι πριν από μας ε- ξέθεσαν μερικές μεθόδους με τις οποίες γίνεται αυτό, εσείς δε θα έχετε τη δυνατότητα να κρίνετε και το όργανο που περιγράφουμε εμείς και εκείνα που περιέγραψαν οι προηγούμενοι. Ο Ήρων αναγνωρίζει ότι οι προκάτοχοί του έχουν παραγάγει διάφορα σχέδια για τα οδόμετρα και προκαλεί τη σύγκριση με αυτό που περιγράφει ως δική του κατασκευή. Το οδόμετρο του Ήρωνα είναι τεχνολογικά πιο κομψό απ αυτό που περιγράφει ο Βιτρούβιος. Η αρχική κίνηση μεταδίδεται μέσω μιας ακίδας στην πλήμνη της ρόδας του οχήματος, η οποία προωθεί έναν δίσκο που φέρνει οκτώ πίρους, από έναν πίρο ανά περιστροφή. Από κει και μετά η κίνηση μεταδίδεται σε μια σειρά κοχλιών και γραναζιών. Οι άξονες που φέρνουν τους κοχλίες και τα γρανάζια είναι διαδοχικά κάθετοι και οριζόντιοι και καταλήγουν σε δείκτες πάνω σε βαθμολογημένους δίσκους στο πάνω μέρος και στα πλαϊνά του κιβωτίου που περικλείει όλο αυτό το σύστημα. Παρόμοιο είναι και το θαλάσσιο δρομόμετρο που περιγράφει στο τέλος του συγγράμματός του ο Ήρων, όπου ένας πτερυγιοφόρος τροχός, προσαρμοσμένος στο εξωτερικό του πλοίου, αντικαθιστά τον τροχό του οχήματος. Η κίνηση μεταδίδεται σε έναν βαθμολογημένο δίσκο μέσω ενός συστήματος οδοντωτών τροχών, παρόμοιο με το οδόμετρο. H θέση του στο κείμενο (αμέσως μετά την περιγραφή ενός ανυψωτικού μηχανισμού, του βαρούλκου, που δεν έχει σχέση με τη διοπτρική) και ο διαφορετικός τρόπος γραφής κάνει τους μελετητές να πιστεύουν ότι το κομμάτι αυτό δεν είναι του Ήρωνα, αλλά κάποιου μεταγενέστερου αντιγραφέα. Εικ. 5. Η μέτρηση της απόστασης Αλεξάνδρεια-Ρώμη. Τα δύο σχήματα, αντίγραφα από το αρχαίο κείμενο, προέρχονται από την έκδοση του Vincent. 76 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

Ο υπολογισμός της απόστασης Αλεξάνδρειας Ρώμης Αμέσως μετά την περιγραφή του οδομέτρου, ο Ήρων δίνει μία μέθοδο υπολογισμού της απόστασης Αλεξάνδρεια-Ρώμη. Έστω ότι χρειάζεται να μετρηθεί η ευθεία απόσταση μεταξύ Ρώμης και Αλεξάνδρειας, δηλαδή η απόσταση επάνω σε μέγιστο κύκλο περιφέρειας της γης, λαμβάνοντας υπόψη μας πως η περίμετρος της γης είναι 252ΟΟΟ στάδια, όπως τη μέτρησε με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από όλους τους άλλους ό Ερατοσθένης, που ασχολήθηκε με το θέμα αυτό, στο βιβλίο του με τον τίτλο περί της αναμετρήσεως της γης 1. Παρατηρείται λοιπόν η ίδια έκλειψης σελήνης και στην Ρώμη και στην Αλεξάνδρεια. Και αν η έκλειψη αυτή περιλαμβάνεται σε αυτές πού έχουν καταγραφεί, θα χρησιμοποιήσουμε αυτή. Αν όχι, τότε μπορούμε να αποφασίσουμε εμείς οι ίδιοι κάνοντας την παρατήρηση, μια και εκλείψεις σελήνης γίνονται κάθε 5 με 6 μήνες 2. Στη συνέχεια ο Ήρων επιλύει το πρόβλημα αναφέροντας στοιχεία όπως μεσημβρινοί, ανάλημμα Ρώμης, παρατηρήσεις γνώμoνα, ημερήσιος κύκλος κ.ά. και υπολογίζει το τόξο του μέγιστου κύκλου, που ορίζεται από τις δυο πόλεις, ίσον προς 20 μοίρες. Θεωρώντας, σύμφωνα με τον Ερατοσθένη ότι 1 μοίρα αντιστοιχεί σε 700 στάδια (ή πιο σωστά σύμφωνα με τον Ίππαρχο που πρότεινε να διαιρεθεί ο 1 2 Η ιδέα του μεγέθους της γης φαίνεται να απασχολεί τους Έλληνες από πολύ νωρίς. Στις Νεφέλες ο Αριστοφάνης δίνει τον ορισμό της γεωμετρίας ως της επιστήμης που ασχολείται με τη μέτρηση όλης της γης. Ο Οράτιος αποκαλεί τον Αρχύτα μετρητή της γης και της θάλασσας. Ο Αριστοτέλης δίνει την πρώτη τιμή για την γήινη περίμετρο, 400 000 στάδια, αναφέροντας ότι υπολογίσθηκε από μαθηματικούς χωρίς να τους κατονομάζει. πιθανολογείται ότι είναι ο Εύδοξος ο Κνίδιος και οι μαθητές του. Η επόμενη τιμή, 300 000 στάδια δόθηκε από τον Αρχιμήδη στο έργο του Ψαμμίτης, η οποία αποδίδεται στον Δικαίαρχο τον Μεσσήνιο ή κατ άλλους στον Αρίσταρχο στο Σάμιο. Ακολουθεί στη συνέχεια η αυστηρότερη μέτρηση και ο υπολογισμός από τον Ερατοσθένη, και αργότερα από τον Ποσειδώνιο. Tο πλάτος ενός τόπου μπορεί να υπολογισθεί από τις μετρήσεις της γωνίας ύψους του ουράνιου πόλου και από τις μετρήσεις της σκιάς του ήλιου με τη βοήθεια του γνώμωνα. Πιο βολικές είναι οι μετρήσεις των ζενιθίων γωνιών του ήλιου το απόγευμα των ισημεριών, οπότε οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες με τη διεύθυνση του Ισημερινού. Το πρόβλημα του μήκους είναι δυσκολότερο. Ο Ίππαρχος αναφέρει ότι η διαφορά του μήκους δύο τόπων δεν μπορεί να βρεθεί με κανέναν άλλο τρόπο, παρά με τις διαφορές των τοπικών χρόνων που υπολογίζονται από τις εκλείψεις της σελήνης. Ο Πτολεμαίος αργότερα έχει την ίδια άποψη με τον Ίππαρχο, θεωρώντας ότι αυτά που προκύπτουν από την εφαρμογή αστρονομικών μεθόδων, πρέπει να προτιμώνται από τις αφηγήσεις των ταξιδιωτών. Παρά τις αναφορές αυτές το μήκος παραμένει μια αβέβαιη ποσότητα μέχρι σχεδόν τη σύγχρονη εποχή. Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 77

μεσημβρινός σε 360 ο και καθόρισε σύμφωνα με τις μετρήσεις του Ερατοσθένη το μήκος μιας μοίρας σε 700 στάδια), η απόσταση Αλεξάνδρειας-Ρώμης είναι 14000 στάδια. Εξαιτίας όμως των κενών που υπάρχουν στο αρχαίο κείμενο και στις σημαντικές κακοποιήσεις των αντιγραφέων, δεν μπορούμε να έχουμε μια σαφή εικόνα για η μέθοδο υπολογισμού που χρησιμοποιήθηκε. Αναφορά στις μεγάλες αποστάσεις κάνει και ο Πτολεμαίος στο περίφημο έργο του Γεωγραφική Υφήγησις, από τα διασημότερα έργα της ελληνικής αρχαιότητας, που αποτελεί την αρχή της προβολικής χαρτογραφίας:... Με τη χρήση αυτών των οργάνων μπορεί να εντοπιστεί πολύ εύκολα η θέση του μεσημβρινού οπουδήποτε και ανά πάσα στιγμή, και από αυτόν να βρεθούν οι αποστάσεις με βεβαιότητα που έχουν διανυθεί στα ταξίδια. Αλλά ακόμα και όταν αυτό έχει ολοκληρωθεί, ο σταδιασμός δεν μας δίνει σίγουρη πληροφορία, διότι τα ταξίδια σπανίως διέγραφαν ευθύγραμμη πορεία. Επειδή υπήρχαν πολλές α- ποκλίσεις τόσο στα επί ξηράς όσο και στα θαλάσσια ταξίδια, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε, όσον αναφορά ένα ταξίδι στη ξηρά, τη φύση και την έκταση της εκτροπής και πόσο αποκλίνει από την ευθύγραμμη πορεία, και να αφαιρέσουμε μετά μια ποσότητα από τον αριθμό των σταδίων ώστε να μετατρέψουμε την πορεία σε ευθύγραμμη.... Η απόσταση, που βρίσκεται μέσω μιας παρατήρησης των άστρων, δείχνει με ακρίβεια όλα αυτά τα πράγματα και επιπλέον δείχνει τι μέρος της περιφέρειας τέμνουν με τη σειρά τους οι παράλληλοι κύκλοι και οι μεσημβρινοί που διέρχονται από τα διάφορα μέρη. Με άλλα λόγια, τι μέρος της περιφέρειας των παραλλήλων κύκλων και του ισημερινού τέμνουν οι μεσημβρινοί, ή τι μέρος των μεσημβρινών τέμνουν οι παράλληλοι κύκλοι και ο ισημερινός. Μετά από αυτό, μπορούμε εύκολα να δούμε πόσο διάστημα υπάρχει ανάμεσα στα δύο μέρη πάνω στη περιφέρεια του μεγάλου κύκλου που διέρχεται από αυτά και γύρω από τη γη. Ο σταδιασμός αυτός, μετά από προσεχτικούς υπολογισμούς, δεν απαιτεί τη περιγραφή των ταξιδιών στα διάφορα μέρη της γης. Διότι, αρκεί να υποθέσουμε ότι η περίμετρος της γης διαιρείται σε όσα μέρη θέλουμε, και ότι κάποια από αυτά τα μέρη περιέχονται σε αποστάσεις που παρατηρήθηκαν στους μεγάλους κύκλους που πλαισιώνουν τη γη. Διαιρώντας ολόκληρη την περίμετρο της γης ή οποιοδήποτε μέρος αυτής, που έχει παρατηρηθεί από τις μετρήσεις μας και είναι γνωστές ως σταδιασμοί, αποτελεί μια όχι και τόσο πειστική μέθοδο... Βιβλιογραφία Ασημενός, Κ. (1997): Ήρωνος Αλεξανδρέως: Περί διόπτρας. Εκδόσεις Γεωργιάδης. Κηπουρός, Χ. (1995): Ήρωνος Αλεξανδρέως: Ονόματα γεωμετρικών όρων. Γεωμετρικά. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. 78 Δημήτριος Αμπατζίδης, Άννα Παρίση, Δημήτριος Ρωσσικόπουλος

Κηπουρός, Χ. (2000): Ήρωνος Αλεξανδρέως: Μετρικά-Διόπτρα. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. Λαμπαδάριος Δ. (1928): Η Γεωδαισία παρ αρχαίοις Έλλησιν. Πρακτικά της Ακαδημίας Αθηνών, Τόμος 4 ος, σελ. 187-204. Λιβεράτος, Ε. (1997): Η τεχνολογία της Αρχαίας Ελληνικής Χαρτογραφίας. Πρακτικά Α Διεθνούς Συνεδρίου «Αρχαία Ελληνική Τεχνολογία», Θεσσαλονίκη. Λιβιεράτος, Ε. (1998): Χαρτογραφίας και χαρτών περιήγησις. 25 αιώνες από τους Ίωνες στον Πτολεμαίο και τον Ρήγα. Εθνική Χαρτοθήκη. Lewis, M. J. T. (2001): Surveying Instruments of Greece and Rome. Cambridge University Press. Ρωσσικόπουλος, Δ. (2005). Μέτρον Γεωμετρικόν. Η ιστορία των επιστημών της αποτύπωσης. Εκδόσεις Ζήτη (υπό έκδοση). Σώκος, Α (1968): Γεωδαισία και Γεωμετρογραφία. Γεωμετρογραφικαί μελέται Εκδόσεις. Τσιμπουράκης, Δ. (2002): Μαθηματικές Μετρήσεις στην Αρχαία Ελλάδα. Εκδόσεις Αίολος. Oι τοπογραφικές μέθοδοι και οι μετρήσεις των μεγάλων αποστάσεων από τα κείμενα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού 79