Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202
t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,..., x 2n2 } x 2 Ektim tria thc µ µ 2 : x x 2 Katanom thc x x 2? [όπως για x] Gnwstèc diasporèc σ 2 kai σ2 2 Upojètoume ( X N(µ, σ 2 ) X 2 N(µ 2, σ 2 2 )) ( >30 >30) ( x x 2 N µ µ 2, ) σ 2 + σ2 2 An σ 2 = σ2 2 = σ2 (omoskedastikèc katanomèc) diasporˆ: σ 2 ( + )
D.e. thc µ µ 2, gnwstˆ σ 2 kai σ2 2 H diadikasða eðnai ìpwc gia d.e. thc µ: µ µ µ 2 ektim tria x x x 2 mèsh tim thc µ µ µ 2 σ diasporˆ thc n σ2 + σ2 2 σ d.e. x ±z σ 2 α/2 n ( x x 2 ) ±z α/2 DiadikasÐa ektðmhshc d.e. thc µ µ 2 + σ2 2 Epilog tou α, σ, σ 2 gnwstˆ, x x 2 apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c z α/2 apì ton pðnaka gia tupik kanonik katanom. 3 Antikatˆstash [ ston tôpo ] σ 2 x x 2 z α/2 + σ2 2 σ 2, x x 2 + z α/2 + σ2 2
Parˆdeigma: Antoq jraôshc skurodèmatoc tôpoc A tôpoc B A/A x i (ksi) xi 2 x 2i (ksi) x2i 2 5.3 28. 5.0 25.0 2 4.5 20.2 4.2 7.6 3 5.7 32.5 5.4 29.2 4 5.8 33.6 5.5 30.2 5 4.8 23.0 4.6 2.2 6 6.4 4.0 6. 37.2 7 6.4 4.0 6. 37.2 8 5.6 3.4 5.3 28. 9 5.8 33.6 5.5 30.2 0 5.7 32.5 5.4 29.2 5.5 30.2 5.2 27.0 2 6. 37.2 5.8 33.6 3 5.2 27.0 4.9 24.0 4 7.0 49.0 6.7 44.9 5 5.5 30.2 5.2 27.0 6 5.7 32.5 5.4 29.2 7 6.3 39.7 6.0 36.0 8 5.6 3.4 5.3 28. 9 5.5 30.2 5.2 27.0 20 5.0 25.0 4.8 23.0 2 5.8 33.6 22 4.7 22. 23 6. 37.2 24 6.7 44.9 25 5. 26.0 SÔnolo 4.8 83.3 07.6 585.08
Parˆdeigma (sunèqeia) DÐnetai ìti h diasporˆ eðnai koin kai gnwst σ 2 = 0.38 (ksi) 2 Zhtˆme d.e. gia µ µ 2 Katanom thc x x 2? kai eðnai mikrˆ 5 Histogram of beton data 5 Histogram of beton data of type B 7 Θηκoγραμμα αντoχης θραυσης για τoυς 2 τυπoυς 4 4 6.5 3 3 6 5.5 2 2 5 4.5 0 4.5 5 5.5 6 6.5 7 bins 0 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 bins A B X N(µ, 0.38) kai X 2 N(µ 2, 0.38)
Parˆdeigma (sunèqeia) x = 5.67, x 2 = 5.38 x x 2 = 0.29 DiadikasÐa ektðmhshc tou d.e. thc µ µ 2 α = 0.95, σ = 0.38, x x 2 = 0.29. 2 KrÐsimh tim : z 0.975 = Φ (0.975) =.96. σ 2 3 ( x x 2 ) ± z α/2 + σ2 2 0.29 ±.96 0.38 ( 25 + 20) [ 0.073, 0.653] = Sumperˆsmata Se epðpedo empistosônhc 95% de mporoôme na poôme pwc oi dôo tôpoi skurodèmatoc diafèroun shmantikˆ wc proc th mèsh antoq jraôshc. To diˆsthma [ 0.073, 0.653] eðnai sqedìn jetikì allˆ de dðnei statistikˆ shmantik diaforˆ = aôxhsh twn,.
'Agnwstec diasporèc σ 2 kai σ2 2 PerÐptwsh : megˆla deðgmata (, > 30) s 2 σ 2 kai s 2 2 σ 2 2 : x x 2 z α/2 s 2 + s2 2, x x 2 + z α/2 s 2 + s2 2
'Agnwstec diasporèc σ 2 kai σ2 2 (sunèqeia) PerÐptwsh 2: mikrˆ deðgmata ( < 30) kai X N(µ, σ 2 ) X 2 N(µ 2, σ 2 ) kai omoskedastikèc katanomèc: σ 2 = σ2 2 = σ2 UpologÐzoume pr ta thn ektðmhsh thc koin c diasporˆc s 2 = ( )s 2 + ( )s 2 2 + 2 s 2 eðnai amerìlhpth ektim tria thc koin c diasporˆc σ 2 Ektim tria diasporˆc thc µ µ 2 : s 2 ( + ) t ( x x 2 ) (µ µ 2 ) t n + 2 s + ( α)% d.e.: ( x x 2 ) ± t n + 2, α/2 s + n n2
'Agnwstec diasporèc σ 2 kai σ2 2 (sunèqeia) DiadikasÐa ektðmhshc d.e. thc µ µ 2 Epilog tou α, s kai x x 2 apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c t n + 2, α/2 apì ton pðnaka gia katanom student. 3 Antikatˆstash ston tôpo ( x x 2 ) ± t n + 2, α/2 s + n n2 Jèma Diˆsthma empistosônhc gia diaforˆ mèswn tim n se mikrˆ deðgmata apì kanonikèc katanomèc me ˆgnwstec kai ˆnisec diasporèc. Parˆdeigma kai diaforˆ apì to diˆsthma empistosônhc me Ðsec diasporèc.
PerÐptwsh 3: mikrˆ deðgmata ( < 30) kai σ 2 = σ2 2 = σ2 kai (X N(µ, σ 2 ) X 2 N(µ 2, σ 2 )) Mh-parametrik mèjodoc PerÐptwsh 4: mikrˆ deðgmata ( < 30) kai σ 2 σ2 2 Den upˆrqei gnwst mèjodoc ektðmhshc d.e. (qrhsimopoioôntai teqnikèc epanadeigmatolhyðac) Jèma 2 Diˆsthma empistosônhc gia diaforˆ mèswn tim n se mikrˆ deðgmata apì mh-kanonikèc katanomèc. Parˆdeigma.
Parˆdeigma: antoq jraôshc skurodèmatoc, dôo tôpoi Diasporèc antoq c jraôshc skurodèmatoc A kai B ˆgnwstec Mikrˆ deðgmata ( = 25, = 20) kai katanomèc twn X, X 2 kanonikèc [ιστογράμματα, θηκογράμματα] x x 2 = 0.29 s 2 = 0.375 s2 2 = 0.326 s 2 s2 2 σ 2 = σ2 2 = σ2 s 2 24 0.375 + 9 0.326 = = 0.353 s = 0.594 43 DiadikasÐa ektðmhshc tou d.e. thc µ µ 2 α = 0.95, x x 2 = 0.29, s = 0.594. 2 KrÐsimh tim : t 43,0.975 = 2.02 3 ( x x 2 ) ± t n + 2, α/2 s n + n = 2 0.29 ± 2.02 0.594 25 + 20 [ 0.07, 0.65] Oi mèsec antoqèc jraôshc gia A kai B de diafèroun shmantikˆ
EktÐmhsh diast matoc empistosônhc thc µ µ 2 diasporèc katanom, katanom thc x x 2 diˆsthma empistosônhc twn X,X 2 twn X,X 2 gnwstèc kanonik z ( x x 2 ) (µ µ 2 ) σ 2 + σ2 2 gnwstèc mh kanonik megˆla z ( x x 2 ) (µ µ 2 ) σ 2 + σ2 2 N(0, ) ( x x 2 ) ± z α/2 σ 2 + σ2 2 N(0, ) ( x x 2 ) ± z α/2 σ 2 + σ2 2 gnwstèc mh kanonik mikrˆ ˆgnwstec ˆnisec/Ðsec ˆgnwstec Ðsec ˆgnwstec Ðsec ˆgnwstec ˆnisec megˆla z ( x x 2 ) (µ µ 2 ) s 2 + s2 2 n2 kanonik mikrˆ t ( x x 2 ) (µ µ 2 ) N(0, ) ( x x 2 ) ± z α/2 s 2 + s2 2 n2 s n + t n + 2 ( x x 2 ) ± t n + 2, α/2 s mh kanonik mikrˆ mikrˆ n +
p : AnalogÐa stoiqeðwn me mia idiìthta ston èna plhjusmì p 2 : AnalogÐa stoiqeðwn me mia idiìthta ston ˆllo plhjusmì Diaforˆ p p 2? DeÐgma : mègejoc kai m epituqðec ˆp = m DeÐgma 2: mègejoc kai m 2 epituqðec ˆp 2 = m 2 Ektim tria thc p p 2 : ˆp ˆp 2 DÐnetai ìti gia megˆla kai ( p ( p ) ˆp ˆp 2 N p p 2, + p ) 2( p 2 ) z (ˆp ˆp 2 ) (p p 2 ) N(0, ) p ( p ) + p 2( p 2 ) kai antikajistoôme p ˆp p 2 ˆp 2
Diˆsthma empistosônhc thc p p 2 (sunèqeia) ( α)% d.e. thc p p 2 (ˆp ˆp 2 ) ± z α/2 ˆp ( ˆp ) + ˆp 2( ˆp 2 ). Enallaktikˆ me qr sh koin c analogðac ˆp = ˆp +ˆp 2 +n : 2 σ 2ˆp ˆp 2 = ˆp( ˆp)( + ( ) (ˆp ˆp 2 ) ± z n α/2 ˆp( ˆp) + ) 2 DiadikasÐa ektðmhshc d.e. thc p p 2 Epilog tou α, ˆp, ˆp 2 apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c z α/2 apì ton pðnaka gia tupik kanonik katanom. 3 Antikatˆstash ston tôpo (ˆp ˆp 2 ) ± z α/2 ˆp ( ˆp ) + ˆp 2( ˆp 2 )
Parˆdeigma EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 Diaforˆ sto posostì skouriasmènwn rabd n qˆluba se dôo apoj kec? Apoj kh A: m = 2 stic = 00 eðnai skouriasmènec Apoj kh B: m 2 = 26 stic = 20 eðnai skouriasmènec ˆp = 2 00 = 0.2 ˆp 2 = 26 20 = 0.27 DiadikasÐa ektðmhshc tou d.e. thc p p 2 α = 0.95, ˆp ˆp 2 = 0.2 0.27 = 0.097. 2 KrÐsimh tim : z 0.975 =.96 3 (ˆp ˆp 2 ) ± z ˆp ( ˆp ) α/2 + ˆp 2( ˆp 2 ) = 0.2 0.88 0.097 ±.96 00 + 0.27 0.783 20 [ 0.98, 0.004] An kai h diaforˆ tou posostoô skouriasmènwn rabd n sto ergostˆsio B eðnai katˆ perðpou 0% megalôterh, se epðpedo empistosônhc 95% den eðnai statistikˆ shmantik.
'Askhsh EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 Εγιναν μετρήσεις της συγκέντρωσης διαλυμένου οξυγόνου (Δ.Ο.) σε δύο ποτάμια (σε mg/l).8 2.0 2..7.2 2.3 2.5 2.9.6 2.2 2.3.8 2.4.6.9 2.3 2..9 2.6 2.9.5 3. 2. 2.7 2.3 2.6 2.5 Βρείτε 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων συγκεντρώσεων Δ.Ο. στα δύο ποτάμια υποθέτοντας πρώτα ότι η διασπορά είναι γνωστή (0. (mg/l) 2 ) και ίδια για τα δύο δείγματα και μετά χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις των διασπορών από τα δείγματα. Μπορούμε να πούμε πως η μέση συγκέντρωση Δ.Ο. είναι ίδια στα δύο ποτάμια (στην κάθε περίπτωση); 2 Για το ίδιο πρόβλημα, σε 200 μετρήσεις στο πρώτο ποτάμι βρέθηκαν 26 τιμές κάτω από την κρίσιμη τιμή.6 mg/l και σε 200 μετρήσεις στο δεύτερο ποτάμι βρέθηκαν 8 τιμές κάτω από την κρίσιμη τιμή. Μπορούμε να πούμε σε επίπεδο 95% ότι η συγκέντρωση Δ.Ο. βρίσκεται σε μη επιθυμητά επίπεδα πιό συχνά στο πρώτο ποτάμι από ότι στο δεύτερο;