Ta Jewr mata Alexander kai Markov thc JewrÐac Kìmbwn
|
|
|
- Γάννη Βυζάντιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ta Jewr mata Alexander kai Markov thc JewrÐac Kìmbwn Πατεράκης Αντώνης Αθήνα, Ιούλιος 2008
2 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Ενας κόμβος (knot) K είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού h του κύκλου S 1 στο χώρο R 3 ή στη σφαίρα S 3.
3 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Ενας κόμβος (knot) K είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού h του κύκλου S 1 στο χώρο R 3 ή στη σφαίρα S 3. Η έννοια του κόμβου γενικεύεται ως εξής:
4 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Ενας κόμβος (knot) K είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού h του κύκλου S 1 στο χώρο R 3 ή στη σφαίρα S 3. Η έννοια του κόμβου γενικεύεται ως εξής: Ενας κρίκος (link) L με n συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα από n αντίγραφα του κύκλου S 1 στον R 3 ή στην S 3.
5 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Ενας κόμβος (knot) K είναι η εικόνα ενός ομοιομορφισμού h του κύκλου S 1 στο χώρο R 3 ή στη σφαίρα S 3. Η έννοια του κόμβου γενικεύεται ως εξής: Ενας κρίκος (link) L με n συνιστώσες είναι η ομοιομορφική εικόνα από n αντίγραφα του κύκλου S 1 στον R 3 ή στην S 3. Αν σε ένα κόμβο ή κρίκο επιλέξουμε μια κατεύθυνση με την οποία θα κινούμαστε πάνω του, τότε καλείται προσανατολισμένος.
6 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Δύο κόμβοι K 1, K 2 λέγονται ισοτοπικοί, συμβολίζουμε K 1 K 2, όταν υπάρχει (προσανατολισμένος) ομοιομορφισμός του χώρου, h : (S 3, K 1 ) (S 3, K 2 ), τέτοιος ώστε h(k 1 ) = K 2. Δηλαδή από τον ένα κόμβο να μπορούμε να καταλήξουμε στον άλλο με μία συνεχή ελαστική κίνηση στο χώρο.
7 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Τους κόμβους τους μελετάμε μέσω των διαγραμμάτων τους. Διάγραμμα ενός κόμβου είναι μια προβολή του στο επίπεδο, η οποία περιέχει πεπερασμένο πλήθος διπλών σημείων (διασταυρώσεις), με την επιπλέον πληροφορία πάνω ή κάτω.
8 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Τους κόμβους τους μελετάμε μέσω των διαγραμμάτων τους. Διάγραμμα ενός κόμβου είναι μια προβολή του στο επίπεδο, η οποία περιέχει πεπερασμένο πλήθος διπλών σημείων (διασταυρώσεις), με την επιπλέον πληροφορία πάνω ή κάτω. Ενα διάγραμμα επίσης δεν περιέχει παθολογίες του τύπου: i) σημεία επαφής ii) πτυχώσεις ή iii) τριπλά σημεία
9 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Πρόταση 1. Κάθε κόμβος έχει τουλάχιστον ένα διάγραμμα, δηλαδή κάθε προβολή μπορεί να μετατραπεί σε διάγραμμα.
10 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Πρόταση 1. Κάθε κόμβος έχει τουλάχιστον ένα διάγραμμα, δηλαδή κάθε προβολή μπορεί να μετατραπεί σε διάγραμμα. Απόδειξη Γύρω από κάθε σημείο επαφής ή πτύχωση ή τριπλό σημείο γράφουμε δίσκο με ακτίνα ε i που να μην τέμνεται με το υπόλοιπο διάγραμμα. Θέτουμε ε το μικρότερο ε i και δ την ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων του κόμβου. Για ϱ = min{ε, δ} διαταράσσουμε την ακτίνα από το μάτι μας κατά κ < ϱ γύρω από κάθε παθολογικό σημείο. Δεδομένου ότι τα παθολογικά σημεία είναι πεπερασμένα, καταλήγουμε σε κανονική προβολή.
11 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Πρόταση 1. Κάθε κόμβος έχει τουλάχιστον ένα διάγραμμα, δηλαδή κάθε προβολή μπορεί να μετατραπεί σε διάγραμμα. Απόδειξη Γύρω από κάθε σημείο επαφής ή πτύχωση ή τριπλό σημείο γράφουμε δίσκο με ακτίνα ε i που να μην τέμνεται με το υπόλοιπο διάγραμμα. Θέτουμε ε το μικρότερο ε i και δ την ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων του κόμβου. Για ϱ = min{ε, δ} διαταράσσουμε την ακτίνα από το μάτι μας κατά κ < ϱ γύρω από κάθε παθολογικό σημείο. Δεδομένου ότι τα παθολογικά σημεία είναι πεπερασμένα, καταλήγουμε σε κανονική προβολή. Αυτό που μας επιτρέπει να μελετάμε την ισοτοπία στο επίπεδο αντί για το χώρο είναι το ακόλουθο θεώρημα.
12 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Θεώρημα Reidemeister. Δύο κόμβοι K 1, K 2 είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν οποιαδήποτε δύο διαγράμματά τους D(K 2 ), D(K 2 ) διαφέρουν κατά ισοτοπία επιπέδου (R0) και πεπερασμένο αριθμό κινήσεων Reidemeister, RI, RII, RIII :
13 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Θεώρημα Reidemeister. Δύο κόμβοι K 1, K 2 είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν οποιαδήποτε δύο διαγράμματά τους D(K 2 ), D(K 2 ) διαφέρουν κατά ισοτοπία επιπέδου (R0) και πεπερασμένο αριθμό κινήσεων Reidemeister, RI, RII, RIII :
14 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Απόδειξη Μία κίνηση Δ είναι μία κίνηση ισοτοπίας ενός τμήματος ενός κόμβου κατά μήκος ενός τριγώνου στο χώρο, η επιφάνεια του οποίου δεν τέμνει τον κόμβο.
15 Eisagwgikèc 'Ennoiec Kìmboi Απόδειξη Μία κίνηση Δ είναι μία κίνηση ισοτοπίας ενός τμήματος ενός κόμβου κατά μήκος ενός τριγώνου στο χώρο, η επιφάνεια του οποίου δεν τέμνει τον κόμβο. Θεωρούμε τους κόμβους κατα τμήματα γραμμικούς. Κάθε ισοτοπία στο χώρο παράγεται από κινήσεις Δ. Εξετάζουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις κινήσεων Δ στο χώρο.
16 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Κάποια άλλα τοπολογικά αντικείμενα συναφή με τους κόμβους είναι οι κοτσίδες.
17 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Κάποια άλλα τοπολογικά αντικείμενα συναφή με τους κόμβους είναι οι κοτσίδες. Μια κοτσίδα με n κλωστές είναι μια ομοιομορφική εικόνα n τόξων στο εσωτερικό του [0, 1] ε [0, 1], όπου ε > 0, τέτοια ώστε το σύνορο της εικόνας να είναι n αριθμημένα σημεία του I ε {1} και n αντίστοιχα σημεία του I ε {0}. Επιπλέον, δεν έχει τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα, άρα έχει έναν φυσικό προσανατολισμό από πάνω προς τα κάτω.
18 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Κάποια άλλα τοπολογικά αντικείμενα συναφή με τους κόμβους είναι οι κοτσίδες. Μια κοτσίδα με n κλωστές είναι μια ομοιομορφική εικόνα n τόξων στο εσωτερικό του [0, 1] ε [0, 1], όπου ε > 0, τέτοια ώστε το σύνορο της εικόνας να είναι n αριθμημένα σημεία του I ε {1} και n αντίστοιχα σημεία του I ε {0}. Επιπλέον, δεν έχει τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα, άρα έχει έναν φυσικό προσανατολισμό από πάνω προς τα κάτω.
19 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Κάποια άλλα τοπολογικά αντικείμενα συναφή με τους κόμβους είναι οι κοτσίδες. Μια κοτσίδα με n κλωστές είναι μια ομοιομορφική εικόνα n τόξων στο εσωτερικό του [0, 1] ε [0, 1], όπου ε > 0, τέτοια ώστε το σύνορο της εικόνας να είναι n αριθμημένα σημεία του I ε {1} και n αντίστοιχα σημεία του I ε {0}. Επιπλέον, δεν έχει τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα, άρα έχει έναν φυσικό προσανατολισμό από πάνω προς τα κάτω. Το κλείσιμο ˆb μιας κοτσίδας b είναι η ένωση με απλά τόξα των αντίστοιχων αριθμημένων σημείων.
20 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Άξονας μιας κλειστής κοτσίδας είναι μια ευθεία στο χώρο ως προς την οποία όλες οι κλωστές της στρέφονται με την ίδια φορά.
21 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Άξονας μιας κλειστής κοτσίδας είναι μια ευθεία στο χώρο ως προς την οποία όλες οι κλωστές της στρέφονται με την ίδια φορά. Μια κλειστή κοτσίδα είναι ένας προσαντολισμένος κόμβος ή κρίκος.
22 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Άξονας μιας κλειστής κοτσίδας είναι μια ευθεία στο χώρο ως προς την οποία όλες οι κλωστές της στρέφονται με την ίδια φορά. Μια κλειστή κοτσίδα είναι ένας προσαντολισμένος κόμβος ή κρίκος. Οπως για κόμβους, έτσι και για κοτσίδες επιτρέπονται κάποιες ισοτοπίες. Σε αυτές δεν συμπεριλαμβάνεται η RI γιατί περιέχει μέγιστα και ελάχιστα. Επιτρέπονται όμως οι RII και RIII.
23 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Άξονας μιας κλειστής κοτσίδας είναι μια ευθεία στο χώρο ως προς την οποία όλες οι κλωστές της στρέφονται με την ίδια φορά. Μια κλειστή κοτσίδα είναι ένας προσαντολισμένος κόμβος ή κρίκος. Οπως για κόμβους, έτσι και για κοτσίδες επιτρέπονται κάποιες ισοτοπίες. Σε αυτές δεν συμπεριλαμβάνεται η RI γιατί περιέχει μέγιστα και ελάχιστα. Επιτρέπονται όμως οι RII και RIII. Η βασική ισοτοπία για τις κοτσίδες είναι η RIII.
24 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Συμβολίζουμε το σύνολο των (κλάσεων ισοτοπίας) κοτσίδων με n κλωστές ως B n. Στο B n ορίζουμε την πράξη γινόμενο μέσω της συγκόλλησης κοτσίδων.
25 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Συμβολίζουμε το σύνολο των (κλάσεων ισοτοπίας) κοτσίδων με n κλωστές ως B n. Στο B n ορίζουμε την πράξη γινόμενο μέσω της συγκόλλησης κοτσίδων. Θεώρημα. Η (B n, ) αποτελεί ομάδα.
26 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Συμβολίζουμε το σύνολο των (κλάσεων ισοτοπίας) κοτσίδων με n κλωστές ως B n. Στο B n ορίζουμε την πράξη γινόμενο μέσω της συγκόλλησης κοτσίδων. Θεώρημα. Η (B n, ) αποτελεί ομάδα. Απόδειξη Προσεταιριστική ιδιότητα:
27 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Ουδέτερο στοιχείο:
28 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Ουδέτερο στοιχείο: Αντίστροφο στοιχείο:
29 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Πρόταση 2.Κάθε κοτσίδα μπορεί να ισοτοπηθεί σε γινόμενο από οριζόντιες λωρίδες, έτσι ώστε η κάθε μία να περιέχει μόνο μία διασταύρωση.
30 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Πρόταση 2.Κάθε κοτσίδα μπορεί να ισοτοπηθεί σε γινόμενο από οριζόντιες λωρίδες, έτσι ώστε η κάθε μία να περιέχει μόνο μία διασταύρωση. Απόδειξη Για τρεις γειτονικές κλωστές ισχύει λόγω μονοτονίας.
31 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Πρόταση 2.Κάθε κοτσίδα μπορεί να ισοτοπηθεί σε γινόμενο από οριζόντιες λωρίδες, έτσι ώστε η κάθε μία να περιέχει μόνο μία διασταύρωση. Απόδειξη Για τρεις γειτονικές κλωστές ισχύει λόγω μονοτονίας. Για μη γειτονικές κλωστές χαμηλώνουμε ή ανεβάζουμε με ισοτοπία επιπέδου
32 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Πρόταση 2.Κάθε κοτσίδα μπορεί να ισοτοπηθεί σε γινόμενο από οριζόντιες λωρίδες, έτσι ώστε η κάθε μία να περιέχει μόνο μία διασταύρωση. Απόδειξη Για τρεις γειτονικές κλωστές ισχύει λόγω μονοτονίας. Για μη γειτονικές κλωστές χαμηλώνουμε ή ανεβάζουμε με ισοτοπία επιπέδου Χωρίς βλάβη, εμφανίζονται μόνο δύο διασταυρώσεις στο ίδιο ύψος (με επαγωγή στον αριθμό ζευγών).
33 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Ορίζουμε την στοιχειώδη κοτσίδα σ i έτσι ώστε η i κλωστή να περνάει κάτω από την i + 1 κλωστή και οι υπόλοιπες να παραμένουν σταθερές. Αντίστοιχα ορίζεται η σ 1 i.
34 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Ορίζουμε την στοιχειώδη κοτσίδα σ i έτσι ώστε η i κλωστή να περνάει κάτω από την i + 1 κλωστή και οι υπόλοιπες να παραμένουν σταθερές. Αντίστοιχα ορίζεται η σ 1 i. Κάθε κοτσίδα στη B n περιγράφεται ως γινόμενο στοιχειωδών κοτσίδων με μία διασταύρωση και αποτελεί μια λέξη των στοιχειωδών κοτσίδων σ i. Η κοτσίδα που ακολουθεί γράφεται ως σ 1 σ 2 σ 1 1.
35 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Ορίζουμε την στοιχειώδη κοτσίδα σ i έτσι ώστε η i κλωστή να περνάει κάτω από την i + 1 κλωστή και οι υπόλοιπες να παραμένουν σταθερές. Αντίστοιχα ορίζεται η σ 1 i. Κάθε κοτσίδα στη B n περιγράφεται ως γινόμενο στοιχειωδών κοτσίδων με μία διασταύρωση και αποτελεί μια λέξη των στοιχειωδών κοτσίδων σ i. Η κοτσίδα που ακολουθεί γράφεται ως σ 1 σ 2 σ 1 1. Από την Πρόταση 2 τα σ i και σ 1 i είναι γεννήτορες της ομάδας B n.
36 Eisagwgikèc 'Ennoiec KotsÐdec Αποδεικνύεται (Chow) ότι η RIII για κοτσίδες μαζί με τις ισοτοπίες επιπέδου λόγω της Πρότασης 2, ορίζουν μια παράσταση της ομάδας B n. σ1,..., σ B n = n 1 σ i σ j = σ j σ i, i j > 1. σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1
37 To Je rhma Alexander (Θεώρημα Alexander, 1923) Κάθε προσανατολισμένος κόμβος ή κρίκος μπορεί να ισοτοπηθεί σε μιά κλειστή κοτσίδα.
38 To Je rhma Alexander (Θεώρημα Alexander, 1923) Κάθε προσανατολισμένος κόμβος ή κρίκος μπορεί να ισοτοπηθεί σε μιά κλειστή κοτσίδα. Η σημαντικότητα του Θεωρήματος Alexander έγκειται στο γεγονός ότι κάθε κόμβος μπορεί να κωδικοποιηθεί από την αλγεβρική λέξη μιας κοτσίδας.
39 To Je rhma Alexander (Θεώρημα Alexander, 1923) Κάθε προσανατολισμένος κόμβος ή κρίκος μπορεί να ισοτοπηθεί σε μιά κλειστή κοτσίδα. Η σημαντικότητα του Θεωρήματος Alexander έγκειται στο γεγονός ότι κάθε κόμβος μπορεί να κωδικοποιηθεί από την αλγεβρική λέξη μιας κοτσίδας. Το Θεώρημα Alexander έχει αποδειχθεί από τους: J.W. Alexander (1923) J.S. Birman (1976) H.R. Morton (1986) S. Yamada (1987) P. Vogel (1990) Σ. Λαμπροπούλου (1990)
40 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Alexander Προβάλλουμε τον κόμβο ή κρίκο στο επίπεδο. Ορίζουμε σημείο L ως προβολή του άξονα της τελικής κοτσίδας στο επίπεδο, ένα σημείο P που διατρέχει το διάγραμμα και μία θετική φορά περιστροφής του ακτινικού διανύσματος LP. Κρατάμε τα τμήματα στα οποία το LP κινείται με θετική φορά. Εστω σ ένα τμήμα στο οποίο το LP κινείται με αρνητική φορά. Υποδιαιρούμε, αν χρειαστεί το σ σε υποτμήματα σ i ώστε κάθε σ i να περιέχει μία διασταύρωση. Αν A, B τα άκρα του σ i, τότε υπάρχει σημείο C τ.ώ. το τρίγωνο ABC να περιέχει το L. Αντικαθιστούμε το σ i με τα BC και CA που περνάνε και τα δύο πάνω ή και τα δύο κάτω από το υπόλοιπο διάγραμμα αντίστοιχα με τη διασταύρωση του σ i. (Κίνηση Δ).
41 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Alexander Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλα τα αρνητικά υποτμήματα σ i και το αποτέλεσμα είναι μια κλειστή κοτσίδα. Για παράδειγμα, στο ακόλουθο διάγραμμα, μέσω της διαδικασίας που περιγράψαμε, ισοτοπούμε το αρνητικό τμήμα 22* και έπειτα το αρνητικό 11*.
42 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Ο κρίκος ˆβ L β καλείται πλήρες κλείσιμο μιας κοτσίδας β, όπου L β μια απλή κλειστή καμπύλη που αποτελεί τον άξονα του κλεισίματος ˆβ.
43 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Ο κρίκος ˆβ L β καλείται πλήρες κλείσιμο μιας κοτσίδας β, όπου L β μια απλή κλειστή καμπύλη που αποτελεί τον άξονα του κλεισίματος ˆβ. Εστω K L προσανατολισμένος κρίκος με L τετριμμένο. Το K L καλείται braided αν υπάρχει κοτσίδα β τ.ώ. το K L να είναι ισοτοπικό με το ˆβ L β, όπου η ισοτοπία θα αντιστοιχεί το L στο L β.
44 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Ο κρίκος ˆβ L β καλείται πλήρες κλείσιμο μιας κοτσίδας β, όπου L β μια απλή κλειστή καμπύλη που αποτελεί τον άξονα του κλεισίματος ˆβ. Εστω K L προσανατολισμένος κρίκος με L τετριμμένο. Το K L καλείται braided αν υπάρχει κοτσίδα β τ.ώ. το K L να είναι ισοτοπικό με το ˆβ L β, όπου η ισοτοπία θα αντιστοιχεί το L στο L β. Threading καλείται η διαδικασία κατά την οποία για ένα διάγραμμα προσανατολισμένου κρίκου K βρίσκουμε μια απλή κλειστή καμπύλη L, έτσι ώστε ο κρίκος K L να είναι braided.
45 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Σημειώνουμε στο διάγραμμα ενός κόμβου K τα σημεία αρχής (s i ) και τέλους (f i ) των τόξων που δεν περνούν κάτω από άλλα τόξα του διαγράμματος (overpasses). Σχεδιάζουμε καμπύλη L που να διαχωρίζει τα s i από τα f i και να διασταυρώνεται εγκάρσια με τον K. Ακολουθώντας τον προσανατολισμό του K αλλάζουμε τις περιοχές στις διασταυρώσεις με την L ώστε ο K να περνάει: pˆnw apì thn L ìtan erqìmaste sth diastaôrwsh apì thn perioq twn s i, kˆtw apì thn L ìtan erqìmaste sth diastaôrwsh apì thn perioq twn f i.
46 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Θεώρημα Morton. Από οποιοδήποτε threading σε ένα διάγραμμα K προκύπτει ένας κρίκος braided.
47 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Θεώρημα Morton. Από οποιοδήποτε threading σε ένα διάγραμμα K προκύπτει ένας κρίκος braided. Απόδειξη Ισιώνουμε την καμπύλη L με ισοτοπία του επιπέδου P στο οποίο βρίσκεται, ώστε να αφήνει από τη μία πλευρά τα s i και από την άλλη τα f i. Προβάλουμε τα overpasses του K από το P στα ημιεπίπεδα θ = ɛ και θ = π + ɛ και ομοίως τα underpasses στα ημιεπίπεδα θ = ɛ και θ = π ɛ.
48 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ Morton Τα overpasses και underpasses συνδέονται με κατακόρυφα τόξα που περνάνε από τα s i και f i. Εκτός από τα σημεία όπου το K τέμνει τον άξονα L, η πολική συντεταγμένη αυξάνει μονότονα, εφόσον είναι σταθερή στα ημιεπίπεδα και αύξουσα στα κατακόρυφα τόξα. Για τα σημεία τομής με τον L κάνουμε τα εξής: Ta tm mata pou pernoôn apì thn pleurˆ twn S proc ta F, ta isotopoôme ste na pernoôn pˆnw kai se apìstash r apì ton L. Ta tm mata pou pernoôn apì thn pleurˆ twn F proc ta S, ta isotopoôme ste na pernoôn kˆtw kai se apìstash r apì ton L. Με τον L ως άξονα η K αυξάνει μονότονα ως προς την πολική συντεταγμένη. Αυτό μας εξασφαλίζει ότι το K L είναι braided.
49 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Ο άξονας της κοτσίδας είναι μια ευθεία οριζόντια παράλληλη στο επίπεδο της κοτσίδας. Σημαδεύοντας τα τοπικά ακρότατα, υποδιαιρούμε το διάγραμμα σε τόξα με φορά: jetik gia autˆ pou èqoun forˆ proc ta kˆtw (down-arcs) arnhtik gia autˆ pou èqoun forˆ proc ta pˆnw (up-arcs) Θέλουμε να φτάσουμε σε κοτσίδα με φορά από πάνω προς τα κάτω. Συνεπώς, κρατάμε τα down-arcs και απαλείφουμε τα up-arcs. Αρχικά, τα υποδιαιρούμε σε άνω ( o ), κάτω ( u ) και ελεύθερα ( f ) υποτόξα.
50 To Je rhma Alexander Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Απαλείφουμε τα υποτόξα ως εξής: Κόβουμε σε ένα σημείο τους και τραβάμε τα δύο ελέυθερα άκρα, το άνω προς τα πάνω και το κάτω προς τα κάτω, αλλά και τα δύο πάνω από το υπόλοιπο διάγραμμα, αν η σήμανση του υποτόξου είναι o ή f ή κάτω από το υπόλοιπο διάγραμμα, αν η σήμανση είναι u ή f. Το αποτέλεσμα της διαδικασίας είναι μια ανοικτή κοτσίδα με αριθμό κλωστών όσα τα υποτόξα που απαλείφθηκαν.
51 To Je rhma Markov (Θεώρημα Markov, Weinberg, 1936) Δύο προσανατολισμένοι κόμβοι (ή κρίκοι) είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν οποιεσδήποτε δύο αντίστοιχες κοτσίδες τους είναι ισοδύναμες μέσω σχέσεων στις ομάδες B n και μέσω των κινήσεων: (i) Συζυγία σε κάθε B n : α σ 1 i ασ i (ii) Κίνηση Markov : B n α ασ n ±1 B n+1
52 To Je rhma Markov (Θεώρημα Markov, Weinberg, 1936) Δύο προσανατολισμένοι κόμβοι (ή κρίκοι) είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν οποιεσδήποτε δύο αντίστοιχες κοτσίδες τους είναι ισοδύναμες μέσω σχέσεων στις ομάδες B n και μέσω των κινήσεων: (i) Συζυγία σε κάθε B n : α σ 1 i ασ i (ii) Κίνηση Markov : B n α ασ n ±1 B n+1 Το Θεώρημα Markov επιτρέπει την κατασκευή αναλλοίωτων ισοτοπίας κόμβων, χρησιμοποιώντας τις ομάδες των κοτσίδων και αλγεβρικά εργαλεία.
53 To Je rhma Markov (Θεώρημα Markov, Weinberg, 1936) Δύο προσανατολισμένοι κόμβοι (ή κρίκοι) είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν οποιεσδήποτε δύο αντίστοιχες κοτσίδες τους είναι ισοδύναμες μέσω σχέσεων στις ομάδες B n και μέσω των κινήσεων: (i) Συζυγία σε κάθε B n : α σ 1 i ασ i (ii) Κίνηση Markov : B n α ασ n ±1 B n+1 Το Θεώρημα Markov επιτρέπει την κατασκευή αναλλοίωτων ισοτοπίας κόμβων, χρησιμοποιώντας τις ομάδες των κοτσίδων και αλγεβρικά εργαλεία. Η πρώτη αναλλοίωτη κατασκευάστηκε από τον V.F.R. Jones (1984), κάνοντας χρήση του Θεωρήματος Markov. Για αυτή του την εργασία τιμήθηκε με το βραβείο Fields.
54 To Je rhma Markov Το Θεώρημα Markov έχει αποδειχθεί από τους: A.A. Markov - N. Weinberg (1936) J.S. Birman (1976) H.R. Morton (1986) Σ. Λαμπροπούλου -C.P. Rourke (1997) P. Traczyk (1998) J.S. Birman - W.W. Menasco (2001) Ο λόγος που εμφανίστηκαν τόσες αποδείξεις, είναι γιατί μετά την κατασκευή των αναλλοίωτων από τον Jones, οι μαθηματικοί ξανακέρδισαν το ενδιαφέρον τους για τη Θεωρία Κόμβων.
55 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke (Η κίνηση L) Σε μια κοτσίδα, κόβουμε σε ένα σημείο της και τραβάμε τα ελεύθερα άκρα, το άνω προς τα πάνω και το κάτω προς τα κάτω αλλά και τα δύο είτε πάνω είτε κάτω από την υπόλοιπη κοτσίδα, δημιουργώντας ένα νέο ζεύγος κλωστών. Η κοτσίδα που προκύπτει μετά την εφαρμογή μιας κίνησης L, έχει κλείσιμο ισοτοπικό με την αρχική. Η κίνηση L με μικρή ισοτοπία μπορεί να πάρει την ακόλουθη μορφή:
56 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Εστω QP up-arc στο οποίο εφαρμόζεται κίνηση L. Το ορθογώνιο τρίγωνο πάνω στο οποίο ολισθαίνει η καινούρια κάτω κλωστή, καλείται τρίγωνο ολίσθησης. Λέμε ότι το τρίγωνο ολίσθησης είναι τύπου over ή under σύμφωνα με τη σήμανση του up-arc. Δύο τρίγωνα ολίσθησης λέγονται γειτονικά αν βρίσκονται στο ίδιο τόξο και έχουν μία κοινή κορυφή.
57 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Για την απόδειξη του Θεωρήματος Markov αποδεικνύεται το παρακάτω ισοδύναμο. (Θεώρημα Markov μίας κίνησης) Δύο κόμβοι είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν δύο οποιεσδήποτε κοτσίδες τους διαφέρουν κατά κινήσεις L.
58 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Για την απόδειξη του Θεωρήματος Markov αποδεικνύεται το παρακάτω ισοδύναμο. (Θεώρημα Markov μίας κίνησης) Δύο κόμβοι είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν δύο οποιεσδήποτε κοτσίδες τους διαφέρουν κατά κινήσεις L. (Λήμμα) Η ισοδυναμία στο n i=1 B n που επάγεται από το Θεώρημα Markov είναι η ίδια με αυτή που επάγεται από το Θεώρημα Markov μίας κίνησης.
59 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Για την απόδειξη του Θεωρήματος Markov αποδεικνύεται το παρακάτω ισοδύναμο. (Θεώρημα Markov μίας κίνησης) Δύο κόμβοι είναι ισοτοπικοί αν και μόνο αν δύο οποιεσδήποτε κοτσίδες τους διαφέρουν κατά κινήσεις L. (Λήμμα) Η ισοδυναμία στο n i=1 B n που επάγεται από το Θεώρημα Markov είναι η ίδια με αυτή που επάγεται από το Θεώρημα Markov μίας κίνησης. Για την απόδειξη του λήμματος θα δειχθούν τα εξής: ( ) Η κίνηση L μπορεί να παραχθεί από συζυγία κοτσίδων και μια κίνηση Markov. ( ) Οι κινήσεις συζυγία και κίνηση Markov του Θεωρήματος Markov μπορούν να παραχθούν από κινήσεις L.
60 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke ( ) Αλλά από συζυγία έχουμε: α 1 α 2 α 2 α 1, διότι α 1 α 2 α 2 (α 1 α 2 )α 1 2
61 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke ( ) Για την συζυγία έχουμε: Η κίνηση Markov είναι μια ειδική περίπτωση κίνησης L:
62 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Για την απόδειξη του Θεωρήματος Markov μίας κίνησης θα πρέπει να δείξουμε τα εξής: α) Διαφορετικές επιλογές στο braiding ενός διαγράμματος δίνουν L-ισοδύναμες κοτσίδες (στατικό μέρος). Αν προσθέσουμε σε ένα up-arc α ένα σημείο υποδιαίρεσης P και ονομάσουμε τα δύο καινούρια up-arcs α 1 και α 2 (με τη σήμανση του α), οι τελικές κοτσίδες είναι L-ισοδύναμες. Από την απαλοιφή ενός ελεύθερου up-arc στο διάγραμμα, για το οποίο έχουμε την επιλογή σήμανσης o ή u, προκύπτουν L-ισοδύναμες κοτσίδες ανεξάρτητα από τη σήμανση που θα επιλέξουμε. β) Κινήσεις Reidemeister στο διάγραμμα επάγουν L-ισοδύναμες κοτσίδες (κινητικό μέρος).
63 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke Συνθήκη τριγώνων : Σε ένα διάγραμμα κόμβου μη γειτονικά τρίγωνα επιτρέπεται να τέμνονται μόνο αν είναι αντίθετου τύπου. Η συνθήκη τριγώνων μπορεί να ικανοποιείται πάντα. Στην περίπτωση που παραβιάζεται, υποδιαιρούμε το ένα τόξο σε μικρότερα υποτόξα, μέχρι τα μικρότερα τρίγωνα ολίσθησης που δημιουργούνται να μην την παραβιάζουν.
64 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke α) Στατικό μέρος. Διαφορετικές επιλογές στο braiding. Προσθήκη σημείου υποδιαίρεσης.
65 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke α) Στατικό μέρος. Διαφορετικές επιλογές στο braiding. Προσθήκη σημείου υποδιαίρεσης. Ανεξαρτησία επιλογής σήμανσης o ή u.
66 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke β) Κινητικό μέρος. RI
67 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke β) Κινητικό μέρος. RI RII
68 To Je rhma Markov Apìdeixh katˆ LampropoÔlou Rourke β) Κινητικό μέρος. RI RII RIII
69 To Je rhma Markov Η απόδειξη του Θεωρήματος Markov εξαρτάται από το braiding. Ετσι για την απόδειξη του: η J.S. Birman (1976) χρησιμοποίησε τον αλγόριθμο του Alexander, ο H.R. Morton (1986) χρησιμοποίησε τον δικό του αλγόριθμο threading για μετατροπή διαγραμμάτων σε κοτσίδες, ο P. Traczyk (1998) χρησιμοποίησε τον αλγόριθμο του P.Vogel για τη μετατροπή των διαγραμμάτων σε γραφήματα, και οι J.S. Birman - W.W. Menasco (2001) χρησιμοποίησαν τις ιδέες του D. Bennequin (1982).
70 Σας ευχαριστώ για το χρόνο σας. ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ!
x 2 + y 2 + z 2 = R 2.
Σημειώσεις μαθήματος Μ2324 Γεωμετρική Τοπολογία Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2011 Εισαγωγή Η Γεωμετρική Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα ολικά χαρακτηριστικά
6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Κόμβοι, Κοτσίδες και Στατιστική Μηχανική
Κόμβοι, Κοτσίδες και Στατιστική Μηχανική Διπλωματική εργασία Μπαρμπαγιαννέρης Κωστής Επιβλέπουσα Καθηγήτρια : Σοφία Λαμπροπούλου Οι κόμβοι ως μαθηματικά αντικείμενα. Συναρτήσεις που τους περιγράφουν και
ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.
93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός
Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).
4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού
2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.
2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται
Παρουσίαση: Μπουζνεάν Σιμόνα-Μιχαέλα Σχολή: ΣΕΜΦΕ Διδάσκουσα: Λαμπροπούλου Σοφία
Παρουσίαση: Μπουζνεάν Σιμόνα-Μιχαέλα Σχολή: ΣΕΜΦΕ Διδάσκουσα: Λαμπροπούλου Σοφία Τι είναι η Θεωρία Κόμβων; Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους κόμβους και τους κρίκους.η
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν
3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε
( AB) + ( BC) = ( AC).
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 3 Προβολή, εσωτερικό γινόμενο Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Σεπ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-3 Σεπ 2014 1 / 12 Άξονας, αλγεβρική τιμή
1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.
2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
f x 0 για κάθε x και f 1
06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.
Σηµειώσεις στη Θεωρία Κόµβων ιαµαντής Ιωάννης
Σηµειώσεις στη Θεωρία Κόµβων ιαµαντής Ιωάννης. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A, B R και f : A B συνάρτηση. Ο f καλείται οµοιοµορφισµός αν είναι ένα προς ένα, συνεχής και έχει συνεχή αντίστροφη εικόνα.
από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers
Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου
1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1
Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές
Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Το Πολυώνυμο Alexander
Το Πολυώνυμο Alexander Διαμαντής Ιωάννης Υποψήφιος Διδάκτορας Αθήνα 008 3 4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στη παρούσα εργασία θα μελετήσουμε το πολυώνυμο Alexander, μία από τις ελάχιστες αναλλοίωτες κόμβων που παρέχουν πληροφορίες
Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου
ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)
< και δεδομένου ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι
_1696 α) f ( 5) = f ( 4) = 9 Αφού
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ
8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013
1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Να αποδείξετε ότι αυτή η τοποθέτηση των ακεραίων είναι δυνατή αν και μόνο αν οι ευθείες δεν είναι όλες παράλληλες.
η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ BMO 004 Μάιος 004, Πλέβεν Βουλγαρία Επιμέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Ανδρέας Σαββίδης Πρόβλημα. Η ακολουθία πραγματικών αριθμών a0, a, a, ικανοποιεί την σχέση am+ n+ am n m+
6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών
6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε
Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο
Διάλεξη 13: 25.11.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη & Σ. Κ. 13.1 Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 13.1 Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος
73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού
1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
H mèjodoc Sturm. Mˆjhma AkoloujÐec Sturm
Mˆjhma 2 H mèjodoc Sturm Το θεώρημα του Sturm μας δίνει έναν τρόπο καταμέτρησης των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου σε δοσμένο διάστημα που τηρεί κάποιες συνθήκες. Εισάγουμε την έννοια της ακολουθίας
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)
V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
1 Η εναλλάσσουσα ομάδα
Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις
I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ
Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].
Αλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας
Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης
7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
με μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές
ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Το πολυώνυμο Alexander
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...