Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα

Χρωματισμός γραφημάτων proper coloring: ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές ενός γραφήματος ώστε γειτονικές κορυφές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα k-coloring: proper coloring με το πολύ k χρώματα Το αντίστοιχο γράφημα λέγεται k-χρωματίσιμο (k-colorable)

Χρωματισμός γραφημάτων proper coloring: ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές ενός γραφήματος ώστε γειτονικές κορυφές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα k-coloring: proper coloring με το πολύ k χρώματα Το αντίστοιχο γράφημα λέγεται k-χρωματίσιμο (k-colorable) Αναζητούμε k-colorings με ελάχιστο k

Χρωματισμός γραφημάτων χ(g) ή γ(g) - χρωματικός αριθμός (chromatic number) γραφήματος G: η μικρότερη τιμή k για την οποία γράφημα G είναι k-colorable χ(k n ) = n αφού κάθε κορυφή πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα

Γραφήματα διαδρομών Tour graphs Διαδρομή (tour) ενός απορριμματοφόρου οχήματος είναι το πρόγραμμα των σημείων που επισκέπτεται σε δοσμένη μέρα Το ακόλουθο πρόβλημα πρόεκυψε [Beltrami & Bodin (1973), Tucker (1973)] από ένα πρόβλημα που τέθηκε από την υπηρεσία Ύδρευσης/Αποχέτευσης της Νέας Υόρκης Δεδομένης συλλογής διαδρομών απορριμματοφόρων οχημάτων, είναι δυνατή η ανάθεση μιας διαδρομής σε κάθε ημέρα της εβδομάδας (εκτός Κυριακής) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές περνούν από το ίδιο σημείο να είναι προγραμματισμένες για διαφορετική ημέρα; Παρόμοια προβλήματα διατυπώθηκαν και για το πρόγραμμα άλλων υπηρεσιών όπως π.χ., διανομή τύπου ή γάλακτος, οδοκαθαρισμός,

Γραφήματα διαδρομών Tour graphs Το πρόβλημα διατυπώνεται γραφοθεωρητικά ως εξής: Γράφημα διαδρομών (tour graph): κορυφές = οι διαδρομές (tours), υπάρχει ακμή μεταξύ δύο διαδρομών αν περνάνε από το ίδιο σημείο Το πρόβλημα: είναι δυνατόν να ανατεθεί σε κάθε κορυφή (tour) 1 από 6 χρώματα (ημέρες) έτσι ώστε αν δύο διαδρομές συνδέονται με ακμή (περνάνε από το ίδιο σημείο) να λαμβάνουν διαφορετικό χρώμα; είναι το γράφημα διαδρομών (tour graph) 6-χρωματίσιμο (6-colorable);

Προγράμματα Επιτροπών Committee schedules Κάθε μέλος κάποιων νομικών προσώπων μετέχει σε πολλές επιτροπές Πρέπει να δημιουργείται πρόγραμμα συνεδριάσεων των επιτροπών σε εβδομαδιαία βάση Κάθε επιτροπή πρέπει να συνεδριάζει ακριβώς μία φορά αλλά δύο επιτροπές στις οποίες μετέχει το ίδιο μέλος δεν πρέπει να συνεδριάζουν ταυτόχρονα Πόσα διαστήματα συνεδριάσεων απαιτούνται;

Προγράμματα Επιτροπών Committee schedules Για να απαντήσουμε προχωράμε ως εξής: Κατασκευάζουμε γράφημα G στο οποίο κορυφές είναι οι επιτροπές και υπάρχει ακμή μεταξύ δύο επιτροπών αν και μόνον αν τα μέλη τους επικαλύπτονται Επιθυμούμε να αναθέσουμε σε κάθε κορυφή (επιτροπή) ένα χρώμα (διάστημα συνεδρίασης) έτσι ώστε αν δύο κορυφές συνδέονται με ακμή (έχουν κοινό μέλος) να λαμβάνουν διαφορετικά διαστήματα συνεδρίασης Ο ελάχιστος αριθμός διαστημάτων συνεδρίασης είναι ο χρωματικός αριθμός του γραφήματος G Παρόμοιο πρόβλημα ανακύπτει κατά τον προγραμματισμό εξετάσεων σε πανεπιστημιακό τμήμα επιτροπές μαθήματα

Χρωματισμός χαρτών Map coloring Μας δίνεται χάρτης και επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε συλλογή χρωμάτων για τις χώρες έτσι ώστε κράτη που συνορεύουν να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Μετατρέπουμε το χάρτη σε γράφημα κάνοντας κάθε κράτος κορυφή και τοποθετώντας ακμή μεταξύ δύο κορυφών όταν τα αντίστοιχα κράτη συνορεύουν Τότε το πρόβλημα χρωματισμού του χάρτη είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα χρωματισμού του γραφήματός του

Χρωματισμός χαρτών Map coloring Γνωστή ερώτηση: μπορεί κάθε χάρτης να χρωματιστεί με 4 ή λιγότερα χρώματα; Η απάντηση είναι θετική [Appel & Haken (1977), Appel, Haken & Koch (1977)] Ισοδύναμη ερώτηση: μπορεί κάθε γράφημα που προκύπτει από χάρτη να χρωματιστεί με 4 χρώματα; Τα γραφήματα που προκύπτουν από χάρτες καλούνται επίπεδα (planar) γραφήματα που μπορούν να ζωγραφιστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Το πρόβλημα υπολογισμού του χρωματικού αριθμού ενός γραφήματος είναι δύσκολο στη γενική περίπτωση Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει πολυωνυμικός (ντετερμινιστικός) αλγόριθμος για τον υπολογισμό του χ(g) Το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) ανήκει στην κλάση NP [Stockmeyer (1973)] το πρόβλημα καθορισμού του αν ένα επίπεδο (planar) γράφημα είναι 3-χρωματίσιμο είναι πλήρες στην κλάση NP (NP-complete) το ίδιο ισχύει και για το πρόβλημα υπολογισμού του χ(g) [Garey, Johnson & Stockmeyer (1976)] το πρόβλημα καθορισμού της δυνατότητας 3- χρωματισμού σε επίπεδα γραφήματα των οποίων οι κορυφές έχουν το πολύ 4 γειτονικές είναι NP-complete τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού διαδρομών απορριμματοφόρων και συνεδριάσεων επιτροπών είναι επίσης δύσκολα αφού αντιστοιχούν σε προβλήματα χρωματισμού Σημείωση: η ακριβής μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος μπορεί να μας διαφωτίσει για τη δυσκολία του προβλήματος

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού Εύκολα διαπιστώνουμε σε πολυωνυμικό χρόνο αν ένα γράφημα είναι 2- χρωματίσιμο Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν είναι διμερές Διμερές γράφημα: οι κορυφές του διαμερίζονται σε 2 κλάσεις έτσι ώστε όλες οι ακμές του γραφήματος να είναι μεταξύ κλάσεων Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο DFS έχουμε πολυωνυμικό αλγόριθμο για έλεγχο του αν ένα γράφημα είναι διμερές [Reingold, Nievergelt & Deo (1977)]

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού [König (1936)] Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν δεν περιέχει κυκλώματα περιττού μήκους ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν το γράφημα G είναι 2-χρωματίσιμο σε κάθε κύκλωμα πρέπει να εναλλάσσονται 2 χρώματα κάθε κύκλωμα έχει άρτιο μήκος

Υπολογισμός χρωματικού αριθμού [König (1936)] Ένα γράφημα είναι 2-χρωματίσιμο αν και μόνον αν δεν περιέχει κυκλώματα περιττού μήκους ΑΠΟΔΕΙΞΗ Υποθέτουμε ότι κάθε κύκλωμα του G είναι άρτιο Χ.α.γ., υποθέτουμε ότι το G είναι συνεκτικό διαφορετικά εκτελούμε 2-χρωματισμό ξεχωριστά σε κάθε συνιστώσα Αφού το G είναι συνεκτικό, έστω d(u, v) το μήκος της συντομότερης αλυσίδας μεταξύ των κορυφών u και v Διαλέγουμε αυθαίρετη κορυφή u στο V(G) και ορίζουμε τα σύνολα: A = {v V(G): d(u,v) άρτιος} B = {v V(G): d(u,v) περιττός} u ανήκει στο σύνολο A αφού d(u, u) = 0 Δεν υπάρχουν ακμές μεταξύ κορυφών στην κλάση A ή μεταξύ κορυφών στην κλάση Β Αν υπήρχε τέτοια ακμή θα υπήρχε κλειστή αλυσίδα περιττού μήκους στο G μια συντομότερη τέτοια αλυσίδα θα έπρεπε να ήταν κύκλωμα περιττού μήκους Με παραπλήσιο τρόπο δείχνουμε ότι τα A και B είναι ξένα μεταξύ τους αποτελούν 2 κλάσεις κορυφών σε έναν 2-χρωματισμό

Clique number clique number, ω(g): το μέγεθος της μέγιστης κλίκας στο G Κλίκα σε γράφημα G: σύνολο αμοιβαία γειτονικών κορυφών του G

Clique number O clique number εμφανίζεται σε διάφορες εφαρμογές Π.χ., κοινωνιολογία: είναι εξαιρετικά σημαντικός ο εντοπισμός κλικών σε κοινωνιογράμματα (sociograms) δηλ., γραφήματα που αναπαριστούν κάποια σχέση μεταξύ μελών της ομάδας χ(g) ω(g): αφού κάθε κορυφή μιας κλίκας πρέπει να λάβει διαφορετικό χρώμα χ μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ω Π.χ., χ(z 5 ) = 3 ενώ ω(z 5 ) = 2 Ένα γράφημα λέγεται ασθενώς γ-τέλειο (weakly γ-perfect) αν χ(g) = ω(g) Z 5 και Z n όπου n περιττός μεγαλύτερος του 3 ΔΕΝ είναι weakly γ-perfect Τα γραφήματα Z n καλούνται και περιττές οπές (odd holes)

Clique number Ο όρος γ-perfect προκύπτει από το ότι ο συμβολισμός γ(g) χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει τον ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων συνόλων στα οποία διαμερίζονται οι κορυφές του G Ισχύει ότι χ(g) = γ(g): οι κορυφές συγκεκριμένου χρώματος αποτελούν τα ανεξάρτητα σύνολα

Clique number Αν ένα γράφημα είναι weakly γ-perfect ο χρωματικός του αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από το clique number του Αν και ίσως φαίνεται απλούστερο, το πρόβλημα εντοπισμού του clique number είναι επίσης δύσκολο (NP-hard) Πάντως, με συγκεκριμένους αλγόριθμους ο clique number υπολογίζεται ευκολότερα από το χρωματικό αριθμό Κατά την επίλυση του tour graph problem ο καθορισμός του χρωματικού αριθμού πρέπει να γίνεται ξανά και ξανά για συνεχώς μεταβαλλόμενο σύνολο διαδρομών Επειδή το σύνολο των διαδρομών μεταβάλλεται bit by bit, το γράφημα διαδρομών αλλάζει μόνον τοπικά Έτσι είναι ευκολότερος ο υπολογισμός clique number για τα επόμενα γραφήματα από προηγούμενα κάνοντας μόνο τοπικές αναζητήσεις ΔΕΝ είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο χρωματικός αριθμός επόμενων γραφημάτων από προηγούμενα με τοπικές αναζητήσεις Για το λόγο αυτό ο Tucker (1973) πρότεινε τη χρήση του clique number για τον υπολογισμό του χρωματικού αριθμού Η διαδικασία δουλεύει μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν οι δύο αριθμοί είναι οι ίδιοι μόνον αν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί αν δοσμένο γράφημα είναι weakly γ-perfect

Clique number Ένα γράφημα είναι γ-perfect αν κάθε υπογράφημά του είναι weakly γ-perfect Μεγάλη κλάση γραφημάτων είναι γ-perfect Η ιδέα οφείλεται στον Berge (1961,1962) που διατύπωσε την εικασία ότι ένα γράφημα G είναι γ-perfect αν και μόνον αν το συμπληρωματικό του είναι γ-perfect Η δήλωση αυτή γνωστή σαν weak Berge conjecture ή weak perfect graph conjecture αποδείχθηκε από το Lovász (1972)

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Ένα n-tuple coloring για γράφημα G είναι μια ανάθεση χρώματος από ένα σύνολο S(x) με n διαφορετικά χρώματα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε αν {x,y} ακμή του G τότε τα S(x) και S(y) είναι ξένα μεταξύ τους Αν US(x) είναι σύνολο με k στοιχεία, το n-tuple coloring χρησιμοποιεί k χρώματα Δεδομένου του n, το μικρότερο k ώστε να υπάρχει n-tuple coloring με k χρώματα για το G λέγεται n-χρωματικός αριθμός (n-chromatic number) του G και συμβολίζεται X n (G) Έχει μελετηθεί από Clarke & Jamison (1976), Garey & Johnson (1976), Scott (1975), Stahl (1976), Chvátal, Garey & Johnson (1976) Παράδειγμα: Αν I p είναι το γράφημα που αποτελείται από p απομονωμένες κορυφές τότε χ n (I p )=n αφού κάθε κορυφή μπορεί να λάβει το ίδιο σύνολο n χρωμάτων Αν G είναι διμερές γράφημα με τουλάχιστον 1 ακμή τότε χ n (G)=2n αφού κάθε κορυφή στην ίδια κλάση μπορεί να λάβει τα ίδια n χρώματα αλλά κορυφές που συνδέονται με ακμή πρέπει να λάβουν ξένα μεταξύ τους σύνολα χρωμάτων Σχήμα: 2-tuple coloring με 5 χρώματα για το γράφημα Z 5

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Η ιδέα του n-tuple coloring προέκυψε από το πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων στην κινητή τηλεφωνία Αρχικά κατασκευάζεται ένα conflict graph όπου κορυφές = ζώνες, ακμές = παρεμβολές μεταξύ ζωνών Ζητούμενο: ανάθεση δέσμης συχνοτήτων B(i) σε κάθε ζώνη i έτσι ώστε αν υπάρχει ακμή μεταξύ των i και j τότε θα πρέπει B(i) B(j) = Φανταζόμαστε τις δέσμες συχνοτήτων σαν διαστήματα ή σαν ένωση διαστημάτων και απαιτούμαι να έχουν συγκεκριμένο ελάχιστο μέγεθος Αν υποθέσουμε ότι τα διαστήματα έχουν το ίδιο μήκος ή το ίδιο άθροισμα μηκών μπορούμε να τα χειριστούμε σαν διακριτά σύνολο, π.χ., n ακεραίων Τότε η ανάθεση δεσμών συχνοτήτων χωρίς παρεμβολές αντιστοιχεί σε ένα n- tuple coloring του conflict graph

Πολυχρωματισμοί Multicolorings Έχει ενδιαφέρον ο συσχετισμός του n-χρωματικού αριθμού με το χρωματικό αριθμό [Harary (1959b)] lexicographic product G[H] of two graphs Σύνολο κορυφών: καρτεσιανό γινόμενο V(G) x V(H) Υπάρχει ακμή από την (a,b) στην (c,d) αν και μόνον αν {a,c} είναι ακμή του G ή a = c και {b, d} είναι ακμή του H [Stahl (1976)] χ n (G) = χ(g[k n ])

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Άπληστος (greedy): προσπαθεί να χρησιμοποιεί τα λιγότερα δυνατά χρώματα Επιτυγχάνει proper coloring Δεν επιτυγχάνει πάντα το χρωματικό αριθμό (δηλ., χρωματισμούς με ελάχιστο αριθμό χρωμάτων) Τα χρώματα αριθμούνται καθώς χρησιμοποιούνται 1. Χρωμάτισε μια κορυφή με το χρώμα 1 2. Διάλεξε μια μη χρωματισμένη κορυφή v και χρωμάτισέ τη με το μικρότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιείται σε ήδη χρωματισμένες κορυφές γειτονικές της v αν κανένα από τα ήδη χρησιμοποιούμενα χρώματα δεν είναι διαθέσιμο, χρησιμοποίησε νέο χρώμα και αρίθμησέ το 3. Επανάλαβε το προηγούμενο βήμα όσο υπάρχουν μη χρωματισμένες κορυφές

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Ο αλγόριθμος επιστρέφει proper coloring αφού κάθε φορά που χρωματίζεται νέα κορυφή δεν λαμβάνει ίδιο χρώμα με κάποια γειτονικής της Πόσα χρώματα χρησιμοποιούνται; Είναι δύσκολο να πούμε εξ αρχής Εξαρτάται από τη σειρά με την οποία επισκεπτόμαστε τις κορυφές

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C 4 χρώματα

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: A, I, P, M, S, C, H, L, G 5 χρώματα

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών Ποιότητα χρωματισμού που παράγει ο άπληστος αλγόριθμος = f(σειρά επίσκεψης κορυφών) Υπάρχει εγγύηση ποιότητας Υπάρχει ελάχιστη ποιότητα παραγόμενου χρωματισμού Έστω d ο μέγιστος βαθμός κορυφών στο γράφημα Όλες οι κορυφές έχουν βαθμό d ή μικρότερο και ακριβώς μία κορυφή έχει βαθμό ακριβώς d, δηλ., ακριβώς d προσκείμενες ακμές Καθώς χρωματίζουμε μια κορυφή v, αυτή είναι γειτονική με το πολύ d άλλες κορυφές κάποιες από τις οποίες μπορεί να έχουν ήδη χρωματιστεί Υπάρχουν το πολύ d χρώματα που πρέπει να αποφύγουμε Χρησιμοποιούμε το μικρότερο επιτρεπτό χρώμα Χρησιμοποιούμε το χρώμα d + 1 ή μικρότερο αφού τουλάχιστον 1 από τα χρώματα 1, 2,, d + 1 είναι επιτρεπτό Δεν χρησιμοποιούμε ποτέ πάνω από d + 1 χρώματα

O άπληστος αλγόριθμος χρωματισμού κορυφών ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν d είναι ο μέγιστος βαθμός κορυφής σε ένα γράφημα G, τότε το G έχει ένα proper coloring με d + 1 ή λιγότερα χρώματα, δηλ., ο χρωματικός αριθμός του G είναι το πολύ d + 1 Έχουμε ένα άνω φράγμα (upper bound) για το χρωματικό αριθμό ΑΛΛΑ ο πραγματικός χρωματικός αριθμός μπορεί να είναι πολύ μικρότερος ειδικά αν είμαστε τυχεροί στη σειρά επίσκεψης των κορυφών Σειρά επίσκεψης κορυφών: G, L, H, P, M, A, I, S, C

Χρωματισμός χαρτών Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος χρωμάτων που χρειάζονται για το χρωματισμό χάρτη έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα; Ισοδύναμο με χρωματισμό γραφήματος Περιοχές κορυφές Γειτονικές περιοχές ύπαρξη ακμής μεταξύ τους Άλλο πρακτικό ισοδύναμο: ανάθεση συχνοτήτων σε ασύρματα κυψελικά δίκτυα Περιοχές κυψέλες Χρώματα συχνότητες Πρόβλημα χρωματισμού πρόβλημα ανάθεσης συχνοτήτων

Χρωματισμός χαρτών

Χρωματισμός χαρτών

Χρωματισμός χαρτών 4 χρώματα

Χρωματισμός χαρτών Αν δοκιμάσετε να χρωματίσετε και άλλους χάρτες θα διαπιστώσετε ότι 4 χρώματα πάντα είναι επαρκή Θα αποδείξουμε ότι: Six Color Theorem: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 6 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα

Χρωματισμός χαρτών Five Color Theorem, P. J. Heawood, 1890: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 5 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα Το 5 ο χρώμα φαίνεται να μην είναι απαραίτητο αν είμαστε προσεκτικοί Ισχυρισμός, Appel & Haken, 1976: Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 4 ή λιγότερα χρώματα έτσι ώστε γειτονικές περιοχές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Παρατήρηση: δεν μπορούμε να χρωματίσουμε όλα τα γραφήματα με 6 χρώματα!!

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Παρατήρηση: δεν μπορούμε να χρωματίσουμε όλα τα γραφήματα με 6 χρώματα!! ΑΛΛΑ γραφήματα σαν το προηγούμενο που χρειάζεται 7 χρώματα για να χρωματιστεί δεν ανακύπτουν ως αφαιρέσεις γεωγραφικών χαρτών Γράφημα που προέρχεται από χάρτη έχει περιορισμούς που το κάνουν πάντα 6-χρωματίσιμο! Γράφημα που προέρχεται από χάρτη μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο έτσι ώστε να μην τέμνονται οι ακμές του ΟΡΙΣΜΟΣ: Επίπεδο (planar) είναι ένα γράφημα που μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο χωρίς να διασταυρώνονται οι ακμές του Οι γεωγραφικοί χάρτες δίνουν επίπεδα γραφήματα

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη 18 κορυφές - 29 ακμές

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Το γράφημα διαμερίζει το επίπεδο σε 13 μέρη ή όψεις (faces)

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη V = 18 κορυφές, E = 29 ακμές, F = 13 όψεις

V - E + F = 2 V = 13 κορυφές, E = 25 ακμές, F = 14 όψεις V = 18 κορυφές, E = 29 ακμές, F = 13 όψεις

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Euler Characteristic Σε κάθε κανονικό πολύεδρο ισχύει: ΚΟΡΥΦΕΣ ΑΚΜΕΣ + ΟΨΕΙΣ = 2 V - E + F = 2 Κύβος: V - E + F = 8 12 + 6 = 2 Τετράεδρο: V - E + F = 4 6 + 4 = 2 ΟΡΙΣΜΟΣ: Το Euler characteristic ενός επίπεδου (planar) γραφήματος ή πολυέδρου με V κορυφές, E ακμές και F όψεις ισούται με V - E + F

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει Euler characteristic = 2 Η πλήρης απόδειξη είναι δύσκολη Αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας το γράφημα βήμα-βήμα 1. Γράφημα με 1 κορυφή έχει V-E+F = 1-0+1=2 2. Προσθέτουμε κορυφές χρησιμοποιώντας 1 ακμή κάθε φορά οπότε παραμένει V-E+F = 2 Όσο προσθέτουμε νέες κορυφές τις προσθέτουμε με αντίστοιχη ακμή και δεν δημιουργούνται νέες όψεις 3. Κάθε φορά που προσθέτουμε ακμή δημιουργείται και νέα όψη οπότε παραμένει V-E+F = 2 Αφού προσθέσουμε όλες τις κορυφές, για κάθε επιπλέον ακμή που προσθέτουμε δημιουργείται και νέα όψη

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Κορυφές χαμηλού βαθμού, δηλ., περιοχές στο χάρτη που δεν έχουν πολλές γειτονικές περιοχές χρωματίζονται ευκολότερα Έστω επίπεδο γράφημα G που έχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο Αν χρωματίσουμε όλες τις άλλες κορυφές του G με 6 χρώματα και μείνει μόνον η v δεν χρειαζόμαστε νέο χρώμα Η v γειτονεύει με 5 (ή λιγότερες) άλλες κορυφές υπάρχουν το πολύ 5 χρώματα που δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τη v 1 από τα 6 χρώματα είναι διαθέσιμο για τη v

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το θεώρημα Υπάρχει επίπεδο γράφημα που όλες οι κορυφές του έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Θα καταλήξουμε σε άτοπο

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 1. Υπάρχουν V κορυφές, E ακμές και F όψεις στο επίπεδο γράφημα 2. Αφού κάθε κορυφή έχει βαθμό 6 ή μεγαλύτερο, έχει και περισσότερες προσκείμενες ακμές Υπάρχουν 3πλάσιες ακμές από ό,τι κορυφές Αφού κάθε ακμή συνδέει 2 κορυφές Μισή ακμή ανήκει σε κάθε κορυφή Σε κάθε ακμή ανήκουν τόσες ακμές όσο είναι το μισό του βαθμού της Αφού όλες οι κορυφές έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Κάθε κορυφή έχει τουλάχιστον 6/2 = 3 ακμές Ε 3V V E/3

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 3. Κάποιες ακμές ορίζουν όψεις μισές ακμές ανήκουν στη μία όψη και μισές στην άλλη 4. Κάποιες ακμές έχουν την ίδια όψη και από τις δύο μεριές τους ανήκουν εξ ολοκλήρου στην όψη που τις περιβάλλει 5. Μία φραγμένη όψη πρέπει να έχει τουλάχιστον 3 ακμές που να την περιβάλλουν Αν έχουμε 2 ή 1 ακμές χρειαζόμαστε loop για να ορίσουμε όψη ΑΛΛΑ loops δεν υπάρχουν σε επίπεδα γραφήματα (a) Το ίδιο ισχύει και για μη φραγμένη όψη αν υπάρχει τουλάχιστον μία άλλη φραγμένη όψη στο επίπεδο γράφημα» Η μη φραγμένη όψη δεν μπορεί να διαχωριστεί από άλλες όψεις με λιγότερες από 3 ακμές εκτός και αν επιτρέπονται loops ή πολλαπλές ακμές (b) Αν η μη φραγμένη όψη είναι μοναδική ( το επίπεδο γράφημα είναι δέντρο) τότε ο όψη αυτή αγγίζει όλες τις ακμές πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 6 ακμές αφού κάθε κορυφή έχει βαθμό 6 ή μεγαλύτερο όπως αρχικά υποθέσαμε

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ: Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει τουλάχιστον 1 κορυφή με βαθμό 5 ή μικρότερο Απόδειξη (με εις άτοπον απαγωγή) 6. Σε κάθε όψη πρόσκεινται 3 ή περισσότερες ακμές και σε κάθε όψη ανήκει μισή από κάθε προσκείμενη ακμή σε κάθε όψη ανήκουν 3/2 ακμές το πλήθος των ακμών είναι τουλάχιστον 3F/2: Ε 3F/2 F 2E/3 7. Ισχύει V-E+F=2 αφού έχουμε επίπεδο γράφημα V E/3 & F 2E/3 V-E+F E/3-E+ 2E/3=0 ΑΤΟΠΟ Είναι αδύνατον να έχουμε επίπεδο γράφημα με όλες τις κορυφές του να έχουν βαθμό 6 ή μεγαλύτερο Τουλάχιστον μία κορυφή του έχει βαθμό 5 ή μικρότερο

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Ισχύει για επίπεδα γραφήματα με 6 ή λιγότερες κορυφές Δώσε την κάθε μία διαφορετικό χρώμα Τι συμβαίνει για επίπεδα γραφήματα με περισσότερες από 6 κορυφές; Χρησιμοποιούμε επαγωγή

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 1. Γνωρίζουμε ότι επίπεδα γραφήματα με 6 κορυφές χρωματίζονται με 6 χρώματα 2. Θέλουμε να δείξουμε ότι και κάθε επίπεδο γράφημα G με 7 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 3. Όπως δείξαμε πριν, το G έχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 4. Αν αγνοήσουμε τη v και τις προσκείμενες ακμές της λαμβάνουμε επίπεδο γράφημα με 6 κορυφές που μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 5. Επαναφέρουμε τη v και τις προσκείμενες ακμές της και πρέπει να χρωματίσουμε τη v με κάποιο χρώμα διαφορετικό από αυτό των γειτονικών της κορυφών

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα; 6. Επειδή η v έχει βαθμό 5 ή μικρότερο έχει 5 ή λιγότερες προσκείμενες ακμές υπάρχουν 5 ή λιγότερα χρώματα που δεν μπορεί να λάβει Αλλά έχουμε στη διάθεσή μας 6 χρώματα υπάρχει τουλάχιστον 1 χρώμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη v της το αναθέτουμε το γράφημα G χρωματίζεται με 6 χρώματα 7. κάθε επίπεδο γράφημα με 7 κορυφές χρωματίζεται με 6 χρώματα

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Ζητούμενο: κάθε χάρτης χρωματίζεται με 6 χρώματα Κάθε επίπεδο (planar) γράφημα έχει χρωματικό αριθμό μικρότερο ή ίσο με 6 Μπορεί επίπεδο γράφημα με 8 κορυφές να χρωματιστεί με 6 χρώματα;

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη 1. Δείξαμε ότι επίπεδα γραφήματα με 7 κορυφές χρωματίζονται με 6 χρώματα 2. Θέλουμε να δείξουμε ότι και κάθε επίπεδο γράφημα G με 8 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα 3. Έχουμε δείξει ότι το G περιέχει κορυφή v με βαθμό 5 ή μικρότερο 4. Αγνοούμε προσωρινά τη v και χρωματίζουμε με 6 χρώματα τις υπόλοιπες 7 κορυφές του G 5. Επαναφέρουμε τη v και τη χρωματίζουμε 6. Επειδή η v έχει βαθμό 5 ή μικρότερο 5 ή λιγότερα χρώματα έχουν ανατεθεί σε γειτονικές της κορυφές και περισσεύει 1 χρώμα το οποίο της αναθέτουμε 7. Κάθε επίπεδο γράφημα με 8 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα

Χρωματισμός χαρτών 6 color theorem: απόδειξη Με ανάλογο συλλογισμό, αυξάνοντας το πλήθος των κορυφών του επίπεδου γραφήματος κατά 1 κάθε φορά, καταλήγουμε στο ότι Κάθε επίπεδο γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με 6 χρώματα