: :

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 9 Οκτωβρίου 03 Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 6 74 3 : 4 5334 :. 9 8 9 6 74 6 74 3 : 4 53 34 : 3 3 53 8 9 8 9 9 9 8 74 54 3 3 53 94 94 6 00. 9 9 9 Πρόβλημα Ένας οικογενειάρχης πήρε από την τράπεζα ένα ποσόν χρημάτων. Από αυτά ξόδεψε το 0% για την αγορά ενός φορητού ηλεκτρονικού υπολογιστή. Στη συνέχεια, από τα χρήματα που του έμειναν ξόδεψε το 5% για αγορά τροφίμων της οικογένειας. Αν του έμειναν τελικά 360 ευρώ, να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα πήρε από την τράπεζα ο οικογενειάρχης. (β) Πόσα χρήματα στοίχισαν τα τρόφιμα. (γ) Ποιο ποσοστό των χρημάτων που πήρε από την τράπεζα ξόδεψε συνολικά. (α) Μετά την αγορά τροφίμων έμειναν στον οικογενειάρχη 360 ευρώ. Αυτά τα χρήματα αποτελούν το 85% των χρημάτων που του έμειναν μετά την αγορά του υπολογιστή. Άρα το 85% αντιστοιχεί σε ποσόν 360 ευρώ, οπότε το ποσόν που του έμεινε μετά την αγορά του υπολογιστή είναι 00 600 360 600 ευρώ. 85 Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος: το (00 0)% 80% του ποσού που πήρε αντιστοιχούν σε 600 ευρώ. Άρα τα χρήματα που πήρε από την τράπεζα είναι: 00 ευρώ. 600 000 80

(β) Τα τρόφιμα στοίχισαν το 5% των χρημάτων που έμειναν μετά την αγορά του υπολογιστή, δηλαδή 5 600 40 ευρώ. 00 Το ποσό αυτό μπορεί να βρεθεί και με την αφαίρεση: 600 360 40. (γ) Ο οικογενειάρχης από τα 000 ευρώ που πήρε από την τράπεζα ξόδεψε 000 360 640 ευρώ, δηλαδή ποσοστιαία επί τις εκατό 640 64 00 3. 000 Πρόβλημα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η γωνία ˆ είναι διπλάσια της γωνίας ˆ. Η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και η ευθεία ΒΕ τέμνει την ευθεία, που περνάει από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: (α), (β) ˆ ˆ. Σχήμα (α) Επειδή το σημείο Ε ανήκει στη μεσοκάθετη της ΒΓ έπεται ότι, οπότε από το ισοσκελές τρίγωνο προκύπτει ˆ ˆ.Επειδή έπεται ότι: ˆ ˆ (εντός εναλλάξ γωνίες). Από τη σχέση της υπόθεσης ˆ, ˆ έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. Άρα το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΖ. (β) Η γωνία ˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΕΒΓ, οπότε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. Πρόβλημα 4 7 Ο λόγος δυο φυσικών αριθμών είναι. Διαιρώντας τον μεγαλύτερο αριθμό με το 5 8, το πηλίκο της διαίρεσης είναι ίσο με τον αριθμό 8, ενώ διαιρώντας τον μικρότερο αριθμό με το το πηλίκο της διαίρεσης είναι ίσο με τον αριθμό 9. Αν γνωρίζετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του μεγαλύτερου αριθμού με το 8 είναι πενταπλάσιο του

υπόλοιπου της διαίρεσης του μικρότερου αριθμού με το, να βρείτε τους δυο αριθμούς. ( ος τρόπος) 7 Έστω, οι δυο φυσικοί αριθμοί με, Τότε θα είναι και επιπλέον 5 88 5 και 9. Επομένως, έχουμε 7 5 7 (ιδιότητα ίσων κλασμάτων), οπότε έχουμε: 5 5 44 5 7 08 (από επιμεριστική ιδιότητα) 70 5 756 7 8 36, οπότε θα είναι 54 και 0. ος τρόπος. Έχουμε: 88, με 0,,,...,7 και 9, με 0,,,...,. Τα ζεύγη για τα οποία μπορεί να ισχύει η ισότητα είναι τα : και από αυτά μόνο το ζεύγος 0, μας δίνει 54 και 0 και το κλάσμα 54 0 που είναι ισοδύναμο με το 7 5. 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 0 Οκτωβρίου 0 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 44 39 8 : 5 5 5 6 3 5 44 39 88 5 39 5 8 :. 5 5 5 6 3 5 44 5 39.. Πρόβλημα Αν ο είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων, 30 και 54, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του και της παράστασης: 3 :. Είναι,30,54 6. Οι θετικοί διαιρέτες του 6 είναι οι,, 3, 6 και από αυτούς πρώτοι είναι οι και 3. Άρα έχουμε ή 3. 3 4 8 Για έχουμε: : :. 3 4 3 3 4

3 3 3 Για 3 ο διαιρέτης 0 της παράστασης Β γίνεται 0, ενώ ο 3 3 3 διαιρετέος γίνεται 5 5 0, οπότε η παράσταση Β δεν ορίζεται. 3 Πρόβλημα 3 Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού 800 κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε 407 ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε 050 ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι,5 ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό 6% πάνω στην τιμή πώλησης. (α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του. (β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το 8% του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του. 6 (α) Κατά την πώληση του λαδιού οι κρατήσεις είναι,5 0,5 ευρώ, οπότε η 00 καθαρή τιμή πώλησης είναι,5 0,5,35 ευρώ. Τα έξοδα του παραγωγού είναι 050 407 457 ευρώ, οπότε ο παραγωγός πρέπει να πωλήσει 457 :,35 60 κιλά λάδι. 8 (β) Το ελαιοτριβείο θα κρατήσει 800 64 κιλά λάδι, οπότε θα μείνουν στον 00 παραγωγό 800 60 64 6 κιλά λάδι. Πρόβλημα 4 3 Δίνεται τρίγωνο με ˆ 60 και. Παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε. Αν η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα BΕ στο σημείο Δ, να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ. Σχήμα 5

Για συντομία, θα συμβολίσουμε με το μήκος του τμήματος AB, δηλαδή: AB. 3 3 Εφόσον AB και, έχουμε: 3. o Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ( ) και η γωνία του ˆ είναι 60, οπότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και η διχοτόμος του είναι και διάμεσος. Άρα είναι και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, αφού. Η γωνία ˆ είναι εξωτερική του ισόπλευρου τριγώνου. Άρα έχουμε ˆ 80 ˆ 80 60 0 80 0 οπότε : ˆ ˆ o 30., 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 9 Νοεμβρίου 0 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7 3 7 : 5 7 4 7 6 3 4 4 3 3 4 4 4 4 7 7 6 3 7 3 9 8 6 3 3 0. 4 7 7 6 6 6 6 7 7 6 6 Πρόβλημα Αν ο είναι πρώτος φυσικός αριθμός και το κλάσμα 0 αριθμό, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης: :. 9 5 παριστάνει φυσικό Επειδή το κλάσμα 0 ν παριστάνει φυσικό αριθμό και ο αριθμός είναι πρώτος φυσικός αριθμός, έπεται ότι οι δυνατές τιμές του είναι ή 5. Για,έχουμε: Για 5, έχουμε: 0 0 : : : 9 0. 9 9 9 9 9 9 5 5 5 5 5 0 5 0 8 80 3 : : :. 9 4 9 4 8 4 5 0 5 5 5 7

Πρόβλημα 3 Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 3, 9, αντίστοιχα. Αν πάρουμε τον αριθμό γ ως μειωτέο και τον αριθμό α ως αφαιρετέο, τότε προκύπτει διαφορά ίση με 56. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β και γ. Από την πρώτη υπόθεση του προβλήματος έχουμε ότι:, οπότε θα 3 9 είναι 3, 9 και. Έτσι από τη δεύτερη υπόθεση του προβλήματος προκύπτει η εξίσωση 56 3 56 8 56 7. Άρα είναι: 37, 97 63 και 7 77. Πρόβλημα 4 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και η διχοτόμος του. Προεκτείνουμε τη διχοτόμο ΑΔ κατά το ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ έτσι ώστε ΑΔ = ΔΗ. Από το σημείο Η φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ.. Να αποδείξετε ότι : ˆ 90.. Να βρείτε τη γωνία ˆ, αν γνωρίζετε ότι : ˆ ˆ 0 0.. Επειδή η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ ˆ, θα ισχύει: ˆ ˆ. Από την παραλληλία των και ZH, συμπεραίνουμε ότι ˆ ˆ (εντός εναλλάξ). Άρα θα ισχύει ˆ ˆ, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. To είναι το μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου, οπότε η διάμεσος ΕΔ θα είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΕΗ, δηλαδή θα είναι και ˆ 90 Η. Επειδή ˆ ˆ 90, θα ισχύει: o o ˆ 90 ˆ 90 ˆ. Σχήμα ˆ 3 ˆ 3 είναι εξωτερική στο τρίγωνο, δηλαδή παραπληρωματική της γωνίας ˆ, οπότε θα είναι ˆ 3 ˆ. Από τις δύο τελευταίες ισότητες γωνιών έχουμε: o o o ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 o 90 90 0. 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 3. Έστω x = 3 4 :4+ και y= 4 5 4 + 7 3. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί x και y. (β) Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο θετικό ακέραιο Α, του οποίου οι αριθμοί x και y είναι πολλαπλάσια. (α) Έχουμε 3 5 x = 3 4 :4+ = 9 4 8:4+ 3= 9 3:4+ 3= 9 8+ 3= 33. 3 y = 4 5 4 + 7 3 = 4 5 64 + 7 9 = 00 64 + 63 = 99. (β) Για την εύρεση του Α αρκεί να βρούμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των ΜΚΔ 33,99 = 33, έπεται ότι θα είναι Α = 33. αριθμών x, y. Επειδή είναι ( ). Έστω α,β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και διαιρέτη τον β δίνει πηλίκο 6. Να βρεθεί ο αριθμός α, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο α είναι πολλαπλάσιο του 7, ενώ ο αριθμός β είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών 6, 3 και 48. Με τη γνωστή διαδικασία της διαίρεσης των δεδομένων ακέραιων με τον μικρότερό τους, βρίσκουμε το ΜΚΔ των αριθμών 6, 3 και 48. Έχουμε 6 3 48 6 0 8, οπότε είναι β= ΜΚΔ( 6, 3, 48) = 8. 0 0 8 Από την υπόθεση έχουμε: α = 86 + υ = 48 + υ, όπου υ ακέραιος με δυνατές τιμές από 0 μέχρι και 7. Δοκιμάζοντας τις δυνατές τιμές του υ στην παραπάνω σχέση διαπιστώνουμε ότι μόνο για υ =, ο αριθμός α = 49 που προκύπτει, είναι πολλαπλάσιο του 7. Άρα έχουμε α = 49 καιβ = 8. 9

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Ι. Η παράλληλη από το σημείο Ι προς την πλευρά ΑΒ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Δ ενώ η παράλληλη από το σημείο Ι προς την πλευρά ΑΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο 0 σημείο Ε. Αν είναι ΙΔΓ ˆ 0 = 70 και ΙΕΓ ˆ = 30, να βρεθούν: α) η γωνία ˆΑ του τριγώνου ΑΒΓ. β) oι γωνίες ΒΙΔ ˆ και ΕΙΓ ˆ. o α. Εφόσον ΙΔ //ΑΒ θα ισχύει: ˆΒ= Δˆ = 70,(ως εντός εκτός επί τα αυτά των παραλλήλων ΙΔ,ΑΒ τεμνομένων από την ΒΔ ). o o o Επειδή είναι ΙΕ //ΑΓ, θα ισχύει: Γˆ = Εˆ = 80 30 = 50. (Οι γωνίες Γ, ˆ Εˆ είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΙΕ,ΑΓ τεμνομένων από την ΕΓ ). Οι γωνίες Α, ˆ Β, ˆ Γ ˆ είναι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, οπότε θα ισχύει: ˆ ˆ ˆ o ˆ o ˆ ˆ o o o o Α+ Β+ Γ= 80 Α = 80 Β Γ= 80 70 50 = 60. β. Επειδή η ΙΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆΒ o ˆΒ 70 o, θα ισχύει: ˆΒ = = = 35. o Επίσης, επειδή ΙΔ //ΑΒ, θα ισχύει: ˆI ˆ = Β = 35, γιατί οι γωνίες ˆI,Β ˆ είναι εντός εναλλάξ στις παράλληλες ΙΔ,ΑΒ που τέμνονται από την IΒ. Σχήμα Εφόσον ΙΓ διχοτόμος της γωνίας ˆΓ o ˆΓ 50 o, θα ισχύει: ˆΓ = = = 5. o Επίσης είναι ΙE//ΑΓ, οπότε θα ισχύει: ˆI ˆ = Γ = 5, αφού οι γωνίες ˆI,Γ ˆ είναι εντός εναλλάξ στις παράλληλες ΙE,ΑΓ που τέμνονται από την ΙΓ. 4. Ένας αγρότης καλλιέργησε δύο κτήματα με ελαιόδενδρα. Το ένα κτήμα είναι δικό του και έχει 80 ελαιόδενδρα, ενώ το άλλο το μισθώνει και έχει 0 ελαιόδενδρα. Η συνολική παραγωγή λαδιού ήταν 600 κιλά λάδι. Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος το 0% της παραγωγής λαδιού του μισθωμένου κτήματος, πόσα κιλά λάδι θα πάρει ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. Καθένα από τα ελαιόδενδρα των δύο κτημάτων παράγει τα ίδια κιλά λάδι. 0

β. Κάθε ελαιόδενδρο του μισθωμένου κτήματος έχει απόδοση σε λάδι ίση με το 50% της απόδοσης σε λάδι κάθε ελαιόδενδρου του κτήματος του αγρότη. α. Επειδή θεωρούμε ότι τα 0+80=00 ελαιόδενδρα των δύο κτημάτων είναι της ιδίας απόδοσης σε λάδι, έπεται ότι το λάδι που παράγεται από κάθε ελαιόδενδρο είναι 600:00=3 κιλά. Επομένως τα 0 ελαιόδενδρα του μισθωμένου κτήματος παρήγαγαν 0 3 = 560 κιλά λάδι. 0 Άρα ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος θα πάρει 560 = 56 κιλά λάδι. 00 β. Αν υποθέσουμε ότι τα ελαιόδενδρα του κτήματος του αγρότη παράγουν x κιλά λάδι το καθένα, τότε κάθε ελαιόδενδρο του μισθωμένου κτήματος θα παράγει 50 3x x = κιλά λάδι. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε την 00 εξίσωση 3x 600 80 x + 0 = 600 80x + 80x = 600 60x = 600 x = = 0. 60 Επομένως τα ελαιόδενδρα του μισθωμένου κτήματος θα παράγουν 30 = 5 κιλά λάδι το καθένα, οπότε το μισθωμένο κτήμα θα παράγει συνολικά 0 5 = 800 0 κιλά λάδι και ο ιδιοκτήτης του θα πάρει 800 = 80 κιλά λάδι. 00

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ο 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5. Είναι 4 0 9 a = 4 = = = και 5 5 5 5 5 οπότε η παράσταση Α γίνεται: A = a: b b. 5a 009 3 5 3 5 8 b = 5+ = 5 = 5 = 5 4=, 9 9 9 76 3 = a: b b = : = : = = = 5a 5 9 5 5 9 5 9 45 45 5 009 009 A. ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός ακέραιος τον οποίο διαιρούμε με 4. (i) Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου α; (ii) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α, αν είναι περιττός μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50, και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο. (i) (ii) Οι δυνατές μορφές του ακέραιου αριθμού α είναι οι εξής: α = 4ρ, όπου ρ θετικός ακέραιος, ή α = 4ρ + ή α = 4ρ + ή α = 4ρ + 3 όπου ρ μη αρνητικός ακέραιος. Σύμφωνα με την υπόθεση είναι α = 4ρ +, οπότε έχουμε: 39 < 4ρ + < 50 38< 4ρ < 49 9,5 < ρ <, 5 Επομένως, αφού ο ρ είναι μη αρνητικός ακέραιος, έπεται ότι ρ = 0 ή ρ = ή ρ = και α = 4 ή α = 45 ή α=49.

ΘΕΜΑ 3 ο 0 Δίνεται ένα τρίγωνο ABΓ του οποίου οι γωνίες ˆΒ και ˆΓ έχουν άθροισμα 40 και είναι ανάλογες με τους αριθμούς και 6, αντίστοιχα. α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν το ύψος και η διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχούν στην πλευρά του ΒΓ. α) Κατ αρχή έχουμε: ˆ ( ˆ ˆ) 0 0 0 0 80 80 40 40. Α= Β+Γ = = Βˆ Γˆ Σύμφωνα με τις υποθέσεις έχουμε: και ˆ ˆ 40 6 Βˆ Γˆ = = λ Β= ˆ λ Γ= ˆ λ λ+ λ = λ = 6 0 0 Άρα είναι: Β= ˆ 0 και Γ= ˆ 0. 0 = Β+Γ=, οπότε θα έχουμε: 0 0, 6 και 6 40 0. Σχήμα β) Έστω ΑΔ το ύψος και ΑΕ η διχοτόμος της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε το σημείο Γ βρίσκεται μεταξύ των σημείων Β και Δ, αφού διαφορετικά το τρίγωνο ΑΓΔ 0 θα είχε άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 80. Έτσι έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ ( 90 ˆ Α ΔΑΕ = ΔΑΓ + ΓΑΕ = ΔΓΑ ) +. () 0 Επειδή είναι ˆ 0 0 0 Α= 40, ΔΓΑ ˆ = 80 0 = 60, από τη σχέση () λαμβάνουμε ΔΑΕ ˆ = 50 0. ΘΕΜΑ 4 ο Από τους μαθητές ενός Γυμνασίου, το 4 ασχολείται με το στίβο, το 5 ασχολείται με το μπάσκετ, το 8 ασχολείται με το βόλεϊ και περισσεύουν και 80 μαθητές που δεν ασχολούνται με κανένα από αυτά τα αθλήματα. Δεδομένου ότι οι μαθητές του Γυμνασίου οι ασχολούμενοι με τον αθλητισμό, ασχολούνται με ένα μόνο άθλημα, εκτός από μαθητές που ασχολούνται και με το μπάσκετ και με το βόλεϊ, να βρείτε: α) Ποιος είναι ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου; 3

β) Πόσοι είναι οι μαθητές του Γυμνασίου που ασχολούνται μόνο με το μπάσκετ; ( ος τρόπος) α) Έχουμε + + = 3. Όμως στα 3 των μαθητών του Γυμνασίου έχουν 4 5 8 40 40 υπολογιστεί δύο φορές οι μαθητές που ασχολούνται με μπάσκετ και βόλεϊ. Άρα οι 40 3 7 80 -=68 μαθητές είναι τα = των μαθητών του Γυμνασίου. Έτσι όλο το 40 40 40 σχολείο έχει : 7 40 68: = 68 = 4 40 = 60 μαθητές. 40 7 β) Μόνο με το μπάσκετ ασχολούνται 60 = 3 = 0 μαθητές. 5 ος τρόπος α) Αν x είναι ο αριθμός των μαθητών του Σχολείου, τότε, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, έχουμε την εξίσωση: x x x + + + 80 = x, 4 5 8 η οποία είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 0x+ 8x+ 5x+ 300 480 = 40x 7x = 70 x= 60. x 60 β) = = 0 μαθητές ασχολούνται μόνο με το μπάσκετ. 5 5 4

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 0 4 3 4 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 0 = 4 5 + 50 + 7 5 49 0 ( ) ( ) = + + = + + = 00 50 49 0000 0000 50 498 0000 000. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και διχοτόμος της γωνίας ΓAx ˆ. Δίνεται ακόμη ότι ΒAΓ=6 ˆ και ΑΒ = ΑΔ. (α) Να βρείτε τις γωνίες ˆΒκαιΓˆ του τριγώνου ΑΒΓ. (β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ ˆ. 4 Σχήμα (α) Επειδή η Αy είναι διχοτόμος της γωνίας ΓAˆ x θα είναι ΓΑΔ ˆ = ΔΑ ˆx. Όμως είναι 0 0 0 0 ΓΑΔ ˆ + ΔΑ ˆx = 80 ΒΑΓ ˆ = 80 6 = 8, οπότε καθεμία από τις γωνίες ΓΑˆΔ και ΔΑˆx είναι 59. Επειδή είναι Αy ΒΓ έχουμε τις ισότητες γωνιών 0 Β=ΔΑ ˆ ˆ x = 59 και Γ= ˆ 0 ΓΑΔ= ˆ 59. (β) Επειδή είναι ΑΒ = ΑΔ. έπεται ότι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με ΑΒΔ ˆ = ΑΔΒ. ˆ () Λόγω της παραλληλίας των ευθειών ΒΓ και Αy έχουμε ότι ΑΔΒ ˆ = ΔΒΓ ˆ (εντός εναλλάξ γωνίες) () Από τις () και () έπεται ότι: ΑΒΔ ˆ = ΔΒΓ ˆ, οπότε η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ ˆ. 5

4 3. Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό α ισχύει: < <, να βρεθεί η τιμή της παράστα 5 α 4 σης Α= α + 5(4 + α) + 3( α 4) + 99. Έχουμε: 4 4 4 4 8 5 < α α < 4 0 < α < 8 < < 0, οπότε θα είναι α = 9, αφού α θετικός ακέραιος. Άρα είναι: Α= 9 + 5(4 + 9) + 3(9 4) + 99 = 9 + 5 3+ 3 5 + 99 = 008. 4. Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το 60% του αριθμού των αγοριών και το 80% του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 00 και λιγότερα από 00. Αν το 80% των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου. Αν είναι Α ο αριθμός των αγοριών που συμμετέχουν στην παρέλαση, τότε ο Α είναι πολλαπλάσιο του 3 και επιπλέον έχουμε Α = πολ.5 + 3 Α 3 = πολ.5, Α = πολ.7 + 3 Α 3 = πολ.7 οπότε ο αριθμός Α 3 είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 7. Τότε ο αριθμός Α 3 θα είναι πολλαπλάσιο του ΕΚΠ(5,7)=35, δηλαδή θα είναι ένας από του αριθμούς 35, 70, 05, 40,..., Επομένως ο αριθμός Α θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 38, 73, 08, 43,... Αν Α είναι ο αριθμός των αγοριών του Γυμνασίου, τότε από την υπόθεση είναι 60 60 60 00 <Α< 00 00 < Α< 00 60 <Α < 0, 00 00 00 οπότε οι αποδεκτές τιμές για τον αριθμό Α είναι οι 73 και 08. Επειδή ο αριθμός Α είναι και πολλαπλάσιο του 3, έπεται ότι Α = 08, οπότε ο αριθμός των αγοριών του Γυμνασίου είναι: 00 Α= 08 = 80. 60 Από την υπόθεση έχουμε ότι τα κορίτσια που συμμετείχαν στην παρέλαση ήταν 08 = 6, οπότε ο αριθμός Κ των κοριτσιών του Γυμνασίου είναι: 00 Κ= 6 = 70. 80 Άρα συνολικά το Γυμνάσιο έχει 80+70=450 μαθητές και μαθήτριες. 6

mathematica.gr 007-008 7

mathematica.gr 006-007 005-006 8

mathematica.gr 004-005 9

mathematica.gr 003-004 0

mathematica.gr 00 003

mathematica.gr 000-00

mathematica.gr 999 000 3

mathematica.gr 998-999 4