.3 Στάσιμο Κύμα.3 Στάσιμο κύμα.3.1 Μαθηματική Επεξεργασία Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία χορδή και σε αυτήν την χορδή διαδίδονται δύο πανομοιότυπα κύματα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Δηαδή αν το δούμε από την μαθηματική άποψη θα έχουμε δύο κύματα με εξισώσεις t y1 = Aημπ T και t y = Aημπ + τα οποία T αφού βρίσκονται στο ίδιο μέσον θα συμβάουν. Ο τρόπος με τον οποίο έχουν δημιουργηθεί αυτά τα κύματα προς στιγμήν δεν μας ενδιαφέρει γιατί θα ασχοηθούμε στη συνέχεια με αυτό το θέμα. Έτσι αν χρησιμοποιήσουμε την αρχή της επαηίας θα έχουμε: t t yο = y1+ y = A ημπ + ημπ + T T y ο t t t t + + T T T T = Aσυν π ημ π t yο = Aσυν π ημ π T y ο π πt = Aσυν ημ.19 T ( ) Η εξίσωση αυτή είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος. Στην πραγματικότητα αυτή είναι μια εξίσωση ταάντωσης, σύμφωνα με την οποία το κάθε σημείο τααντώνεται με το δικό του πάτος, το οποίο εξαρτάται από το που βρίσκεται στην χορδή. Αυτό μπορούμε να το δούμε καύτερα αν δούμε π την σχέση του πάτους: A = A συν. Βέπουμε ότι το πάτος ταάντωσης κυμαίνεται από μηδέν ως Α και εξαρτάται από το σε ποια θέση βρίσκεται το εν όγω σημείο. Έτσι, οι θέσεις των σημείων που τααντώνονται με μέγιστο πάτος (Α) θα είναι τα σημεία: π π A = A συν = A συν =± 1 π = k π = k = k k = 0, ± 1, ±... (.0) 4 Τα σημεία αυτά ονομάζονται κοιίες. Τα σημεία τα οποία παραμένουν διαρκώς ακίνητα ονομάζονται δεσμοί και θα είναι: Εξίσωση στάσιμου κύματος Θέσεις δεσμών - κοιιών Στάσιμο κύμα - Θεωρία 36
.3 Στάσιμο Κύμα = π π π A συν 0 συν 0 = = π k 1 = + A ( ) = ( k + 1) 4 (.1) Η απόσταση ενός δεσμού από μία κοιία ή μιας κοιίας από ένα δεσμό μπορεί εύκοα να βρεθεί: ( ) = K ( k + Δ 1) k k 4 4 = 4 + 1 k Δ K = (.) 4 t=0 ενώ η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ή μεταξύ δύο διαδοχικών κοιιών είναι προφανώς ίση με /. Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στην όη διαδικασία που έχουμε κάνει για να καταήξουμε στις εξισώσεις του στάσιμου κύματος και για τις θέσεις κοιιών δεσμών θεωρήσαμε ότι η θέση =0 είναι κοιία. Φυσικά στάσιμο κύμα έχουμε και στην περίπτωση που το =0 είναι δεσμός, αά οι εξισώσεις που περιγράφουν το στάσιμο κύμα διαφέρουν από τις προαναφερόμενες..3. Φυσική Μεέτη Αφού οιπόν οοκηρώσαμε σχεδόν- την μαθηματική περιγραφή του στάσιμου κύματος είναι σωστό να αρχίσουμε την φυσική περιγραφή. Δύο κύματα «μοιράζονται» την ίδια χορδή το ένα πηγαίνοντας από τα δεξιά προς τα αριστερά και το άο από τα αριστερά προς τα δεξιά. Τα κύματα αυτά συμβάουν και το αποτέεσμα είναι ένα στάσιμο κύμα. Το γεγονός αυτό το βέπουμε και στα διπανά σχήματα. Τα δύο κύματα καθώς διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις συναντώνται και όπως στην εικόνα για t=0 το μέγιστο του ενός συναντάται με το μέγιστο του άου, το μηδέν του ενός με το μηδέν του άου κ.ο.κ. Έτσι η χορδή εμφανίζει την εικόνα που βέπουμε στο y. Τα δύο κύματα συνεχίζουν να κινούνται, έτσι σε κάποια χρονική στιγμή (t=t/4 στην εικόνα) το πάτος του ενός θα συναντηθεί με το Α του άου και η συνοική εικόνα θα είναι μηδενικής απομάκρυνσης. Μετά πάι (t=t/) το Α το ενός θα συναντηθεί με το Α του άου και έτσι θα έχουμε μια εικόνα συμμετρική της πρώτης ως προς τον άξονα διάδοσης. t=t/4 t=t/ Σχήμα 17: ημιουργία στάσιμου κύματος Στάσιμο κύμα - Θεωρία 37
.3 Στάσιμο Κύμα Σχήμα 18: Φωτογραφία στάσιμου κύματος Η φωτογραφία αυτή τραβήχτηκε με ειδική μηχανή ικανή να πάρει ποές φωτογραφίες σε σύντομο χρονικό διάστημα, έτσι αποτυπώνεται με τον καύτερο τρόπο η εικόνα ενός στάσιμου κύματος. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι το κάθε σημείο τααντώνεται με το δικό του πάτος ενώ οι δεσμοί δεν τααντώνονται καθόου. Δηαδή το κάθε σημείο τααντώνεται μέσα στα όρια της περιβάουσας που δίνεται π από την σχέση Aσυν Από την προηγούμενη ανάυση, βέπουμε ότι το στάσιμο κύμα είναι στην πραγματικότητα μία ταάντωση, όχι ενός μόνο σημείου αά οόκηρης της χορδής. Πράγματι οόκηρη η χορδή πηγαίνει «πάνω-κάτω» με την ίδια συχνότητα, ενώ κάθε σημείο τααντώνεται με το δικό του πάτος που κυμαίνεται μεταξύ 0 και Α. Εξάου αν δούμε και ενεργειακά το στάσιμο κύμα, η ύπαρξη των δεσμών απαγορεύει την μεταφορά ενέργειας από το ένα σημείο στο άο. Οι δεσμοί παραμένουν συνεχώς ακίνητοι (απομάκρυνση μηδενική άρα και δυναμική ενέργεια ταάντωσης μηδέν) και με μηδενική ταχύτητα άρα και κινητική ενέργεια μηδέν. Έτσι, ενώ οι διαταραχές διαδίδονται στη χορδή μεταφέροντας ενέργεια και ορμή, το στάσιμο κύμα δεν μπορεί να μεταφέρει ενέργεια. Απά αυτό που συμβαίνει είναι το ότι κάθε σημείο κάνει ΑΑΤ με το δικό του πάτος. Σε μια χορδή μπορούμε να έχουμε συμβοή από δύο αντιθέτως κινουμένων κυμάτων αν έχω στα δύο άκρα της χορδής δύο σύγχρονες πηγές. Αυτό βέβαια είναι μια προφανής περίπτωση αά όχι η μοναδική. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία χορδή της οποίας το ένα άκρο είναι ακόνητα στερεωμένο και το άο άκρο της είναι εεύθερο. Αν διεγείρουμε το εεύθερο άκρο τότε θα δημιουργηθεί μια διαταραχή η οποία θα διαδοθεί στην χορδή και θα φτάσει στο ακόνητο άκρο. Εκεί η διαταραχή θα ανακαστεί και στη συγκεκριμένη περίπτωση ο παμός αυτός θα παρουσιάζει διαφορά φάσης π με το προσπίπτων. Η εικόνα αυτή φαίνεται στο δίπα σχήμα. Στην περίπτωση που το ένα άκρο δεν είναι ακόνητο αά μπορεί να κινηθεί στην διεύθυνση του άξονα y αά όχι του άξονα τότε έχω πάι ανάκαση μόνο που σε αυτή την περίπτωση δεν αά ζει η φάση και η διαταραχή Προσοχή! Θα πρέπει να ξεχωρίζουμε τα πάτη! Υπάρχει το πάτος των δύο κυμάτων (Α) που δημιούργησαν το στάσιμο, υπάρχει το πάτος ταάντωσης ενός τυχαίου σημείου της χορδής (Ασυνπ/) Και το μέγιστο πάτος της ταάντωσης δηαδή το Α. Πως είναι δυνατόν σε μία χορδή να έχω δύο κύματα που κινούνται αντίθετα; Σχήμα 19: Μηχανισμός ανάκασης σε εμπόδιο Στάσιμο κύμα - Θεωρία 38
.3 Στάσιμο Κύμα επιστρέφει με την ίδια μορφή που έφτασε στο άκρο. Αν οιπόν η διέγερση είναι μια απή αρμονική ταάντωση τότε θα ανακαστεί στο ακόνητο άκρο και το ακόνητο άκρο θα ειτουργεί ως πηγή σύμφωνη με την αρχική. Άρα το αποτέεσμα της συμβοής θα είναι στάσιμο κύμα. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και στην περίπτωση που έχω μία χορδή με τα δύο άκρα ακόνητα. Έτσι αν διεγείρω την χορδή σε κάποιο σημείο η διαταραχή θα διαδοθεί και προς τις δύο κατευθύνσεις και θα ανακαστεί και έτσι θα έχω στάσιμο κύμα. Ακόμη όμως κι αν όα αυτά που έχουν αναφερθεί πιο πάνω συμβούν η «γεωμετρία» της χορδής θα επιτρέψει την ύπαρξη στάσιμων κυμάτων συγκεκριμένης συχνότητας ή συγκεκριμένου μήκους κύματος και όχι οποιονδήποτε. Ας πάρουμε για παράδειγμα μία χορδή κιθάρας. Τα δύο άκρα της είναι σταθερά στερεωμένα δηαδή είναι δεσμοί. Η διαταραχή θα ανακαστεί στα άκρα και θα έχουμε συμβοή. Για να μπορέσει όμως το μαθηματικό μοντέο να ταιριάζει και με την πραγματικότητα θα πρέπει αν δεν αγγίξουμε πουθενά αού την χορδή, δηαδή αν δεν δημιουργήσουμε πουθενά αού δεσμό το συνοικό μήκος της χορδής να u u είναι ίσο με / δηαδή: L = = f = και f L ονομάζεται θεμειώδης συχνότ ητα. Με βάση το ότι τα δύο άκρα της χορδής θα πρέπει να είναι σταθερά μπορούμε να προχωρήσουμε και ίγο παραπέρα: Αν έχει έναν δεσμό u u επιπέον τότε ισχύει L = = f =, αν έχει δύο f L 3 3u u επιπέον δεσμούς ισχύει L = = f = 3. Γενικά f L δηαδή ισχύει f u = n (.3) όπου n στην συγκεκριμένη L περίπτωση είναι ίσος με το πήθος των κοιιών που εμφανίζονται. Είναι προφανές ότι οι συχνότητες που μπορούν να υπάρξουν στην χορδή εξαρτώνται από τις συνοριακές συνθήκες, δηαδή σε ποια θέση βρίσκονται οι δεσμοί ή οι κοιίες. Σε μια χορδή μπορώ να έχω στάσιμο κύμα οποιασδήποτε συχνότητας; Σχήμα 19: Η ίδια χορδή με, 3 και 4 δεσμούς αντίστοιχα Συνεπώς η συχνότητα ταάντωσης της χορδής είναι συγκεκριμένη και εξαρτάται μόνο από το μήκος της χορδής και από την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Στην κιθάρα παρατηρούμε ότι έχουμε έξι διαφορετικές χορδές με διαφορετικά πάχη. Αυτό γίνεται για να έχουμε διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης στην χορδή άρα και διαφορετικές Στάσιμο κύμα - Θεωρία 39
.3 Στάσιμο Κύμα συχνότητες. Το ίδιο συμβαίνει κι όταν τις κουρδίζουμε: αυξάνουμε ή μειώνουμε την τάση με αποτέεσμα την ααγή στην ταχύτητα διάδοσης και στη συχνότητα. Η ίδια ογική, η ίδια αρχή ειτουργίας υπάρχει σε όα τα έγχορδα (βιοί, άρπα, πιάνο κπ). Ανάογα συμπεράσματα μπορούμε να έχουμε στις περιπτώσεις που το ένα ή και τα δύο άκρα είναι εεύθερα να κινηθούν κατά τον άξονα y y. Τεευταία αφήσαμε την κουβέντα μας για την ενέργεια. Μέχρι τώρα γνωρίζαμε ότι ένα κύμα μεταφέρει ενέργεια και ορμή. Στο στάσιμο κύμα τα πράγματα δεν είναι έτσι. Τα τρέχοντα κύματα που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα, πράγματι μετέφεραν ενέργεια. Η ενέργεια που μετέφεραν δεν χάθηκε αά μεταφέρθηκε σε κάθε στοιχειώδες κομμάτι της χορδής που κάνει ταάντωση. Έτσι υπάρχουν σημεία τα 1 οποία τααντώνονται με ενέργεια E ( ) ma = D A, άα 1 σημεία με ενέργεια Ema = DA ενώ άα παραμένουν διαρκώς ακίνητα, άρα δεν έχουν ενέργεια. Γενικότερα θα μπορούσαμε να πούμε ότι η ενέργεια με την οποία τααντώνεται το κάθε σημείο δίνεται από την σχέση: 1 1 π Ema = DA Ema = D Aσυν (.4) Λογικά οιπόν από την στιγμή που έχω την δημιουργία ενός στάσιμου κύματος το κάθε σημείο τααντώνεται με την δική του ενέργεια δηαδή η ενέργεια δεν μπορεί να μεταφερθεί από σημείο σε σημείο όπως στο τρέχων κύμα. Αυτό μπορούμε να το καταάβουμε πού εύκοα αφού οι δεσμοί είναι διαρκώς ακίνητοι δεν θα έχουν ενέργεια. Κάθε άο σημείο, εκτός των δεσμών έχει ενέργεια η οποία από δυναμική μετατρέπεται σε κινητική, από κινητική σε δυναμική κ.ο.κ. όπως σε μία απή αρμονική ταάντωση. Ας μιήσουμε για ενέργεια....και ίγα ακόμη μαθηματικά. Η εξίσωση της φάσης σε ένα στάσιμο κύμα δίνεται από πt την σχέση φ = = ωt, δηαδή είναι περίπτωση φάσης T όπως στην απή αρμονική ταάντωση. Όπως πού εύκοα μπορούμε να δούμε στο δίπα σχήμα, υπάρχουν σημεία τα οποία βρίσκονται στο μέγιστο θετικό πάτος την ίδια χρονική στιγμή που άα σημεία βρίσκονται στο μέγιστο αρνητικό πάτος. Αυτό μπορούμε να πούμε ότι είναι αποτέεσμα του πρώτου όρου στο στάσιμο κύμα δηαδή του π A = Aσυν. Προφανώς το κάθε σημείο ανάογα με το σε ποια θέση βρίσκεται ξεκινάει την t=0 από το μέγιστο θετικό ή από το μέγιστο αρνητικό πάτος. Το ίδιο ακριβώς θα μπορούσαμε να πετύχουμε αν θεωρούσαμε ότι τα μεν σημεία που βρίσκονται στο μέγιστο θετικό πάτος ξεκινούν με αρχική φάση μηδέν, ενώ τα σημεία που ξεκινούν από το Σε ένα στάσιμο κύμα υπάρχουν μόνο δύο διαφορές φάσης: φ=0 αν τα σημεία βρίσκονται ανάμεσα σε δύο δεσμούς ή φ=π αν τα σημεία βρίσκονται εκατέρωθεν δεσμού. Στάσιμο κύμα - Θεωρία 40
.3 Στάσιμο Κύμα μέγιστο αρνητικό πάτος, ξεκινούν με μία αρχική φάση π. Σε κάθε περίπτωση, η διαφορά φάσης δύο οποιονδήποτε σημείων που βρίσκονται εκατέρωθεν δεσμού είναι π, ενώ δύο σημεία που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς έχουν διαφορά φάσης μηδέν. Η εικόνα βέβαια που βέπουμε δίπα δεν ανταποκρίνεται στην μαθηματική εξίσωση που έχουμε δώσει, αά δεν παύει να δείχνει την πραγματικότητα, το πώς τααντώνονται τα σημεία της χορδής. Για να βρούμε την ταχύτητα ενός σημείου της χορδής στο στάσιμο κύμα, θα πρέπει να παραγωγίσουμε την σχέση της απομάκρυνση ή να σκεφτούμε ότι αφού στην πραγματικότητα πρόκειται για ταάντωση, η σχέση θα έχει την ίδια μορφή. Είναι δηαδή: dy π π πt u = u = Aσυν συν (.5) dt T T Τεευταίο αφήσαμε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος, αφού δεν έχουμε να σχοιάσουμε κάτι το ιδιαίτερο. Η χάραξή του γίνεται με το να βρούμε διαδοχικές τιμές και να τις καταγράψουμε στο χαρτί. Ανακεφααιώνοντας θα καταγράψουμε τις διαφορές των στασίμων από τα τρέχοντα κύματα: Σχήμα 0: ιαδοχικά στιγμιότυπα στάσιμου Τρέχοντα Κύματα Όα τα σημεία εξ αιτίας ενός τρέχοντος κύματος εκτεούν τααντώσεις του ίδιου πάτους. Μέσω ενός τρέχοντος κύματος έχουμε μεταφορά ενέργειας Κάθε στιγμή τα σημεία του μέσου, όγω ενός τρέχοντος κύματος, έχουν διαφορετικές φάσεις Δύο σημεία του μέσου, όγω ενός τρέχοντος κύματος, μπορούν να έχουν οποιαδήποτε διαφορά φάσης Στάσιμα Κύματα Εξ αιτίας ενός στάσιμου κύματος τα σημεία τααντώνονται με διαφορετικά πάτη. Μέσω ενός στάσιμου κύματος δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας Κάθε στιγμή τα σημεία του μέσου, όγω ενός στάσιμου κύματος, ή έχουν την ίδια φάση ή έχουν διαφορά φάσης π Δύο σημεία του μέσου, όγω ενός στάσιμου κύματος, μπορούν να έχουν διαφορά φάσης ή μηδέν ή π Στάσιμο κύμα - Θεωρία 41
.3 Στάσιμο Κύμα Συμβοή Μεθοδοογία εφαρμογές 4