Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΣΥΜΒΟΛΗ, ΜΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ, ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ

Transcript

1 Η ΕΠΙΦΑΕΙΑΚΗ ΥΜΒΟΛΗ, ΜΙΑ ΥΘΗΚΗ, ΤΟ ΠΛΗΘΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΗ Δύο σύγχρονες πηγές Ο και Ο πο απέχον απόσταση dcm, αρχίζον να εκτεούν απή αρμονική ταάντωση τη χρονική στιγμή t0 με εξισώσεις y y Aημωt (y cm, t s) αντίστοιχα και δημιοργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα πο διαδίδονται στην επιφάνεια νερού πο ηρεμεί. Τη χρονική στιγμή t,75s στα σημεία και πο βρίσκονται στην επιφάνεια το νερού και αριστερά της μεσοκαθέτο το εθύγραμμο τμήματος Ο Ο, έχει φθάσει μόνο το κύμα πο δημιοργεί η πηγή Ο. Η φάση το σημείο τη χρονική στιγμή t είναι φ 3π rad. Την ίδια χρονική στιγμή η διαφορά φάσης μεταξύ το σημείο και το σημείο είναι Δφ. Εάν οι αποστάσεις πο απέχει το σημείο από τις πηγές Ο και Ο είναι Ο r 0,5cm και Ο r,5cm αντίστοιχα και η απόσταση το σημείο από την πηγή Ο είναι Ο r' 6cm, να ποογιστούν: Α. Το μήκος κύματος των παραγομένων από τις πηγές Ο και Ο αρμονικών κμάτων καθώς και η περίοδος τος Τ. Α. Η ταχύτητα διάδοσης των κμάτων στην επιφάνεια το νερού. Β. Εάν μετά την σμβοή των δύο κμάτων στα σημεία και, το σημείο βρίσκεται πάνω σε περβοή αριστερά της μεσοκαθέτο το τμήματος O O και τααντώνεται με ενέργεια ταάντωσης ίση με το μισό της ενέργειας ταάντωσης το σημείο, να βρεθεί μία παραμετρική σνθήκη πο να σνδέει τις αποστάσεις r' και r' από τις πηγές Ο και Ο των σημείων της επιφάνειας το νερού πο βρίσκονται μεταξύ των δύο πηγών και τααντώνονται με το ίδιο πάτος με το σημείο. Εάν το βρίσκεται πάνω στην περβοή πο αντιστοιχεί στην τιμή 9 της παραμέτρο, να βρεθεί η απόσταση Ο πο απέχει από την πηγή Ο. Β. Μετά την σμβοή των δύο κμάτων, να ποογιστεί το πήθος των περβοών πο αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με το ίδιο πάτος με το σημείο και βρίσκονται μεταξύ των σημείων και. Β 3. α ποογιστεί το πήθος των σημείων της επιφάνειας το νερού πο βρίσκονται στην εθεία Ο και παραμένον ακίνητα μετά την σμβοή των δύο κμάτων. Γ. α γίνει η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης Δφ μεταξύ των σημείων και σε σνάρτηση με τον χρόνο ταάντωσης t. α θεωρήσετε ότι όα τα σημεία της επιφάνειας το νερού έχον την ίδια μάζα και ότι τα κύματα διαδίδονται στην επιφάνεια το νερού χωρίς απώειες ενέργειας. ΑΠΑΤΗΗ Ο Λ Ρ x Μ Ο - - Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ

2 Οι κόκκινες περβοές αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με μέγιστο πάτος (ενίσχση). Οι διακεκομμένες περβοές αποτεούνται από σημεία πο παραμένον ακίνητα (απόσβεση). Οι πράσινες περβοές αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με πάτος Α. Α.Όταν τα σημεία και τααντώνονται μόνο πό την επίδραση το αρμονικού κύματος, πο t παράγει η πηγή Ο, οι εξισώσεις ταάντωσης τος είναι: y Αημ π ( ) T t r y ( και Αημ π ). Οι εξισώσεις των φάσεων τος σε σνάρτηση με το χρόνο είναι T αντίστοιχα : φ π ( t r ) () και φ π ( t r ) (). Τη χρονική στιγμή t : Από T T () t r,75 0,5,75 0,5 φ π ( ) 3 ( ),5 T π π Τ Τ (3) είναι: Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων και τη χρονική στιγμή t () r r 0,56 Δφ φ φ π () Από Α. (3) T 0,s. (5) ( ),5 cm 0 m. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κμάτων πο παράγον οι πηγές Ο και Ο είναι: 0,m / s Τ (5) Β. Όταν τα δύο κύματα σμβάον στο σημείο, ατό τααντώνεται με πάτος (r r ) (,5 0,5) A Ασνπ Α Ασνπ Α Α (6). (ενισχτική σμβοή). Το σημείο μετά την σμβοή των δύο κμάτων τααντώνεται με ενέργεια Ε ίση με το μισό της ενέργειας ταάντωσης Ε το σημείο : Ε m ω A Ε DA DA mω A m m A A A A (6) ' ' ' ' ( ) ( ) π r r π r r A σν Α σν ± ' ' ( r r ) π π ' ' ' ' κπ± r r κ± r r (κ ± ) με κ 0,,... Αά κ ± περιττός ακέραιος +. Άρα r r (+ ) r r (+ ) με 0,,... ( 7) Η (7) αποτεεί τη ζητούμενη σνθήκη. 9, από Επειδή το σημείο βρίσκεται στην περβοή με ( ) ' ' r > r r r ( 9 ) r r 9,5 r 5,5cm r - - Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ

3 ' Άρα η απόσταση Ο είναι Ο r 5,5cm. Β. Από τη σνθήκη ενισχτικής σμβοής στο σημείο : ( ) r r κ,5 0,5 κ κ. Άρα το βρίσκεται στην η περβοή ενισχτικής σμβοής αριστερά της μεσοκαθέτο της ΟΟ η οποία τέμνει την ΟΟ στο σημείο. Ο Ο cm 8) Για το σημείο έχομε: ( Ο) ( Ο ) ( ) ( ) ( κ και ( Ο ) + ( Ο ) ( ). cm 9 Αθροίζοντας τις σχέσεις ( 8) και ( 9 ) κατά μέη: ( Ο ) cm ( ) ( ) ( ) ( ) cm ( 0) Ο Μ + Μ + Μ Μ. Η περβοή στην οποία βρίσκεται το σημείο τέμνει την ΟΟ στο σημείο, για το οποίο έχομε: ( Ο) ( Ο ) + ( ) ( ) ( ( 9 ) Αθροίζοντας τις σχέσεις ( ) και ( ) κατά μέη: ( Ο ) ( ΟΜ ) + ( Μ) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( Μ ) Ο Ο 9,5cm ) και ( Ο ) + ( Ο ) cm ( ) ( Ο ) ( ) 6, 75cm ΟΜ + Μ 6,75cm + Μ 6,75,75cm. 3. Αά Για ένα τχαίο σημείο Ρ της εθείας Ο Ο πο βρίσκεται μεταξύ των και και τααντώνεται με το ίδιο πάτος με το σημείο (άρα και με το σημείο ), εάν θεωρήσομε ότι απέχει x από το σημείο Μ έχομε: Από ΟΡ ΟΡ + ( ) ( ) ( ) 7 : ( ) ( 0) Αά ( Μ ) < x < ( Μ) ( ) + x + x + 0,5 x + 0,5. < + 0,5 <,75 < +0,5<9,5 3,5 < < 9,5,6,7,8 (5 περβοές). Άρα μεταξύ των σημείων και πάρχον 5 περβοές πο αποτεούνται από σημεία πο τααντώνονται με πάτος ίσο με το πάτος ταάντωσης το σημείο. Β 3. Τα σημεία της εθείας Οπο παραμένον ακίνητα μετά την σμβοή των δύο κμάτων βρίσκονται πάνω σε περβοές αποσβεστικής σμβοής. Το πήθος τος είναι είναι όσο και το πήθος των σημείων πο βρίσκονται πάνω στην Ο και είναι ακίνητα. ος τρόπος Ο Λ Ο Λ κ + με κ 0,,... Η σνθήκη για ένα σημείο Λ από ατά είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ο Λ ) ( Ο Λ ) κ + ( 5 ) και ( ) ( ) ( Αθροίζοντας τις σχέσεις ( 5 ) και ( 6 ) κατά μέη: ( O Λ ) κ +,5. Ο Λ + Ο Λ cm 6) Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ

4 Αά 0 ( Ο Λ) Ο ( 3) 0 κ +,5 6,75 -,5 κ, 5 Άρα κ -,-, ,0,,,3,, δηαδή πάρχον 7 σημεία πο παραμένον ακίνητα πάνω στην εθεία Ο άρα και στην εθεία Ο. ος τρόπος Υποογίζομε την απόσταση d* μεταξύ δύο σημείων Α και Α το εθύγραμμο τμήματος (Ο Ο ) πο βρίσκονται σε δύο διαδοχικές περβοές αποσβεστικής σμβοής: (Ο Α )-(Ο Α ) ( + ) + (α) (Ο Α )-(Ο Α ) (+) (β) με 0,, Με αφαίρεση κατά μέη των (α) και (β): (Ο Α )-( Ο Α )+ (Ο Α )-( Ο Α ) (Α Α ) d* d* Η απόσταση d μεταξύ δύο σημείων Ε και Α το εθύγραμμο τμήματος (Ο Ο ) πο βρίσκονται σε δύο διαδοχικές περβοές ενισχτικής και αποσβεστικής σμβοής είναι: (Ο Ε )-( Ο Ε ) (γ) με 0,, Με αφαίρεση κατά μέη των (β) και (γ): (Ο Α )-( Ο Ε )+ (Ο Ε )- (Ο Α ) (Α Ε ) d d Με βάση τα προηγούμενα το πρώτο ακίνητο σημείο το εθύγραμμο τμήματος (Ο Ο ) δεξιά το Μ θα απέχει από ατό απόσταση μεταξύ τος κατά 0,5cm και τα επόμενα θα βρίσκονται σε θέσεις πο θα απέχον cm. Δηαδή, σε θέσεις πο θα απέχον από το Μ αποστάσεις:,5cm,,5cm, 3,5cm,,5cm, 5,5cm, 6,5cm, 7,5cm, 8,5cm, 9,5cm, 0,5cm,,5cm ( σημεία). Αντίστοιχα αριστερά το σημείο Μ και μέχρι τη θέση το σημείο πο απέχει από το Μ απόσταση,75cm θα πάρχον ακίνητα σημεία πο θα απέχον από το Μ: 0,5cm,,5cm,,5cm, 3,5cm,,5cm (5 σημεία). Άρα σνοικά στο τμήμα (Ο ) πάρχον 7 ακίνητα σημεία και επειδή ισάριθμες περβοές αποσβεστικής σμβοής θα τέμνον το εθύγραμμο τμήμα (Ο ) άρα και το εθύγραμμο τμήμα (Ο )- θα έχομε 7 ακίνητα σημεία και στο εθύγραμμο τμήμα (Ο ). r Γ. Τα κύματα από τις πηγές Ο και Ο φθάνον στο σημείο τις χρονικές στιγμές t,05s r r και t,5s αντίστοιχα. το σημείο φθάνον τις χρονικές στιγμές t3 0,8s r και t,75s αντίστοιχα. Από 0 t < 0,8s: Δ φ 0 t r 0, 8s t,05s : φ φ φ < Δ π 0 με αντικατάσταση: T Δ φ 0πt 6π rad - - Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ

5 t r t r, 05s t <,5s : Δ φ φ φ π π T T r r Δφ π με αντικατάσταση: Δ φ ' ' t r t r + r r + r r,5s t <,75s : Δ φ φ φ π π Δ φ π T T 3π με αντικατάσταση: Δφ ' ' ' ' t r + r t r + r r + r r + r t,75s : Δ φ φ φ π π Δ φ π T T 7π με αντικατάσταση: Δ φ 3,6 3π ΔΦΔΦ (rad) (rad) 7π 0 0 0,8,05,5,75 t (sec) Ξ. ΤΕΡΓΙΑΔΗ