ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Φυσική των Laser ΠΑΛΜΙΚΑ LASER. Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Φυσική των Laser ΠΑΛΜΙΚΑ LASER Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΛΜΙΚΑ LASER 8.1. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την λειτουργία των παλμικών laser, δηλ. laser των οποίων οι παλμοί έχουν πεπερασμένη χρονική διάρκεια σε αντίθεση με αυτούς των laser συνεχούς. Συγκεκριμένα θα εξετάσουμε περιπτώσεις όπου ο ρυθμός άντλησης ή/και οι απώλειες της κοιλότητας είναι χρονικά εξαρτώμενες. Η συμπεριφορά του laser σε τέτοιες συνθήκες χαρακτηρίζεται ως μεταβατική (transient) και χωρίζεται σε δυο κατηγορίες: (i) Περιπτώσεις όπου το laser λειτουργεί σε ένα τρόπο δόνησης και που μπορεί να περιγραφεί μέσω εξισώσεων ρυθμών μεταβολής πληθυσμών π.χ. Q-switching. (ii) Περιπτώσεις όπου το laser λειτουργεί σε πολλούς τρόπους δόνησης και χρειάζεται μια διαφορετική περιγραφή από αυτή του ενός τρόπου δόνησης π.χ. mode-locking. 8.2. Αποσβένουσα ταλαντωτική συμπεριφορά Στο σημείο αυτό, πριν προχωρήσουμε στην λεπτομερή περιγραφή της μεταβατικής συμπεριφοράς του laser θα ασχοληθούμε με τη λύση των εξισώσεων 7.8 στην περίπτωση παλμικής λειτουργίας. Οι διαφορικές εξισώσεις 7.8 που περιγράφουν τη λειτουργία του laser δεν είναι γραμμικές (παρουσία όρων φν) κι επομένως δεν λύνονται αναλυτικά εν γένει. Θεωρούμε μια βηματική συνάρτηση για την περιγραφή του ρυθμού άντλησης, δηλ. R (t)=0 για t<0 και R (t)= R για t>0. Ένα τυπικό παράδειγμα αριθμητικής λύσης των εξισώσεων 7.8 για ένα σύστημα τριών σταθμών είναι αυτή που περιγράφεται από στο σχήμα 8.1. Η λύση για σύστημα τεσσάρων σταθμών είναι ποιοτικά ίδια αν θεωρήσουμε ως αρχή του χρόνου τα 2 μs. Σχ. 8.1. Παράδειγμα χρονικής συμπεριφοράς της αντιστροφής πληθυσμών (t)v α, και του αριθμού των φωτονίων φ(t) για ένα σύστημα laser τριών σταθμών παλμικής διέγερσης. 98

Τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του σχήματος 8.2 συνοψίζονται ως εξής: Μετά από περίπου 2 μs η αντιστροφή πληθυσμού αυξάνεται εξαιτίας της άντλησης ενώ ο αριθμός φωτονίων παραμένει πολύ χαμηλός κοντά στην αρχική του τιμή (καθορισμένης από την αυθόρμητη εκπομπή) ώσπου η αντιστροφή πληθυσμού να φτάσει στην κρίσιμη τιμή (Ν c =Ν ο V α στο σχήμα 8.1). Στη συνέχεια η αντιστροφή πληθυσμού συνεχίζει να αυξάνει με αποτέλεσμα την αύξηση του αριθμού των φωτονίων στην κοιλότητα. Άλλωστε από την 7.8.b προκύπτει ότι για Ν >Ν c είναι dφ/dt>0. Μετά την επίτευξη της κρίσιμης αντιστροφής πληθυσμού χρειάζεται κάποιος χρόνος μέχρι ο αρχικός αριθμός των φωτονίων της κοιλότητας (φ 1) να φτάσει στην τιμή της κατάστασης ισορροπίας (φ 0 = 5.8x10 14 στο σχήμα 8.1). Όταν ο αριθμός των φωτονίων γίνει μεγάλος (φ>φ 0 ) τότε η διαδικασία της εξαναγκασμένης εκπομπής υπερκεράζει τον ρυθμό άντλησης και η αντιστροφή πληθυσμού αρχίζει να μειώνεται. Στην μέγιστη τιμή του φ(t) η αντιστροφή πληθυσμού έχει φτάσει στην κρίσιμη τιμή Ν c. Αυτό μπορεί να προκύψει εύκολα και από την 7.8.b όπου για Ν = Ν c συνεπάγεται ότι dφ/dt=0 (μέγιστο φ). Στη συνέχεια μετά τη μεγιστοποίηση του φ(t) η αντιστροφή πληθυσμού συνεχίζει μειούμενη σε τιμές χαμηλότερες της κρίσιμης Ν c εξαιτίας του υψηλού ρυθμού εξαναγκασμένης εκπομπής. Έτσι η λειτουργία του laser τίθεται εκτός κατωφλίου και ο αριθμός των φωτονίων μειώνεται. Όταν ο αριθμός των φωτονίων μειωθεί πολύ (φ<φ 0 ) τότε ο ρυθμός άντλησης κυριαρχεί στο σύστημα και η διαδικασία ξαναρχίζει για να διαγράψει τον επόμενο κύκλο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου επιτευχθούν οι συνθήκες ισορροπίας (steady state). Ο αριθμός των φωτονίων στην έξοδο του laser εμφανίζεται ως αλληλουχία κορυφών (laser sikes) μειούμενου πλάτους και ισοκατανεμημένες στο χρόνο. Την ίδια συμπεριφορά έχει και η ισχύς εξόδου του laser. Το φαινόμενο χαρακτηρίζεται ως αποσβένουσα ταλαντωτική συμπεριφορά (damed relaxation oscillation). Παρατηρείστε πόσο μεγαλύτερος μπορεί να γίνει ο αριθμός των φωτονίων (άρα και η ενίσχυση του laser) όταν η αντιστροφή πληθυσμού υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή. 8.3. Q-Switching Είδαμε στο κεφάλαιο 7 ότι στα laser συνεχούς η αντιστροφή πληθυσμού δεν ξεπερνά την τιμή που αποκτά σε συνθήκες κατωφλίου δηλ. αυτής στην οποία αρχίζει η λειτουργία του laser. Στο υποκεφάλαιο 8.2 είδαμε πως μπορούμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο χρησιμοποιώντας παλμική άντληση. Το αποτέλεσμα είναι μεν η μεγαλύτερη ενίσχυση του φωτός laser αλλά μόνο για σχετικά μικρές τιμές (π.χ. δεν άλλαξε η τάξη μεγέθους). 99

Ένας ιδανικός τρόπος περεταίρω αντιστροφής πληθυσμού, άρα και ενίσχυσης του φωτός laser μπορεί να προκύψει αν με κάποιο τρόπο εισάγουμε ένα είδους κλείστρου (shutter) μέσα στην κοιλότητα. Όταν το κλείστρο είναι κλειστό τότε η διαδικασία laser διακόπτεται και η τιμή της αντιστροφής πληθυσμού μπορεί να πάρει τιμές πολύ μεγαλύτερες από την κρίσιμη τιμή. Εάν τώρα το κλείστρο ανοίξει, ξεκινά η διαδικασία του laser και η αποθηκευμένη ενέργεια εκπέμπεται με τη μορφή ενός χρονικά στενού και ισχυρού παλμού. Αυτή η διαδικασία αφορά στην αλλαγή του παράγοντα ποιότητας Q και η τεχνική ονομάζεται μεταγωγή του παράγοντα ποιότητας Q (Q-switching). Με την τεχνική αυτή επιτυγχάνονται διάρκειες παλμών της τάξης του χρόνου ζωής του φωτονίου στην κοιλότητα (μερικά έως δεκάδες ns) καθώς και μέγιστης ισχύος (στην περιοχή των MW). Για να περιγράψουμε τη δυναμική του Q-switching, θεωρούμε μια βηματική συνάρτηση για την περιγραφή του ρυθμού άντλησης, δηλ. R (t)=0 για t<0 και R (t)= R για 0<t<t, ενώ το κλείστρο είναι κλειστό. Σε αυτή την περίπτωση για 0<t<t, το σύστημα τεσσάρων σταθμών περιγράφεται από την 7.8.a για φ=0. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η ( t ) [1 ex( t / )] (8.1) όπου η ασυμπτωτική τιμή Ν (προκύπτει και από την συνθήκη dν/dt=0) δίνεται από την σχέση R (8.2) Η γραφική απόδοση των παραπάνω φαίνεται στο σχήμα 8.2 από το οποίο φαίνεται πως η διάρκεια του παλμού άντλησης t θα πρέπει στην ιδανική περίπτωση να είναι ίση ή μικρότερη του χρόνου αυθόρμητης εκπομπής τ. Πράγματι για t >> τ η αντιστροφή πληθυσμού δεν μεταβάλλεται ουσιαστικά, επομένως η περεταίρω προσφορά ενέργειας στο σύστημα σπαταλάται ως αυθόρμητη εκπομπή. Από την άλλη μεριά, με βάση τη σχέση 8.2 προκύπτει ότι για να πετύχουμε μεγάλη αντιστροφή πληθυσμού θα πρέπει ο χρόνος αυθόρμητης εκπομπής τ να είναι μεγάλος. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας καταστάσεις με απαγορευμένες ηλεκτρο-διπολικές μεταβάσεις (μετασταθείς καταστάσεις) των οποίων οι χρόνοι ζωής είναι ακόμη και στην κλίμακα των milliseconds. Σημειώνεται πως αυτές οι συνθήκες πληρούνται για τα laser στερεάς κατάστασης. Όχι όμως για τα laser ημιαγωγών, χρωστικών και μερικών αερίων για τα οποία το Q-switching είναι μη αποδοτικό. Έστω τώρα ότι το κλείστρο ανοίγει απότομα την χρονική στιγμή t. Η ποιοτική συμπεριφορά του συστήματος είναι ανάλογη αυτής που περιγράφηκε στην 8.2 και παρουσιάζεται στο σχήμα 8.2.b. Μετά το άνοιγμα του κλείστρου η αντιστροφή πληθυσμού παραμένει σταθερή για μικρό χρονικό διάστημα κι αρχίζει να μειώνεται όταν ο αριθμός των φωτονίων αυξηθεί σημαντικά. Όταν η τιμή της φτάσει την κρίσιμη τιμή c τότε ο πληθυσμός των φωτονίων μεγιστοποιείται, όπως έχουμε δείξει. Στη συνέχεια απώλειες της αντιστροφής συνεχίζονται με αποτέλεσμα να μειωθεί και ο αριθμός των φωτονίων μέχρι το μηδέν. Η αντιστροφή παραμένει σε μια μικρή τιμή f όπως θα δούμε παρακάτω. 100

Σχ. 8.2. Δημιουργία συνθηκών Q-switching laser. (a) Αντιστροφή πληθυσμού. (b) Εξέλιξη της αντιστροφής πληθυσμού και του αριθμού των φωτονίων κατά το «άνοιγμα» του Q- switching. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι χρονικές κλίμακες των σχημάτων 8.2.a και 8.2.b είναι πολύ διαφορετικές. Στο σχήμα 8.2.a η αντιστροφή καθορίζεται από το χρόνο ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser κι επομένως ως μετασταθής είναι της τάξης του 100 μs 1 ms. Από την άλλη μεριά στο σχήμα 8.2.b ο χρόνος είναι της τάξης του χρόνου ζωής του φωτονίου μέσα στην κοιλότητα δηλ. στην κλίμακα των ns (1-50 ns). Έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι κι αντίστοιχες συσκευές για την επίτευξη Q-switching σε κοιλότητα laser. Συνήθως χωρίζονται σε δυο κατηγορίες το ενεργό και το παθητικό Q- switching. Στο ενεργό Q-switching η συσκευή ενεργοποιείται από ένα εξωτερικό ερέθισμα (π.χ. αλλαγή τάσης). Στο παθητικό Q-switching η συσκευή ενεργοποιείται από την μηγραμμική οπτική απόκριση του μέσου της συσκευής. Παρακάτω θα περιγράψουμε τις αρχές λειτουργίας τέτοιων συσκευών. 8.3.1. Ηλεκτρο-οπτικό Q-Switching Αυτές οι συσκευές χρησιμοποιούν το ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο που ονομάζεται φαινόμενο Pockels. Αποτελούνται από ένα κελί (Pockels cell) που περιέχει ένα μη γραμμικό κρύσταλλο, όπως π.χ. ο KD*P (deuterated otassium dihydrogen hoshate, i.e., KD 2 PO 4 ), στο οποίο εφαρμόζεται κατάλληλη υψηλή τάση που έχει ως αποτέλεσμα την αλλαγή των δεικτών διάθλασης του κρυστάλλου. Η επαγόμενη διπλοθλαστικότητα είναι ανάλογη της επαγόμενης τάσης. Στο σχήμα 8.3 φαίνεται η διάταξη ενός Q-switched laser με τη χρήση πολωτή και Pockels cell. Το Pockels cell είναι τοποθετημένο έτσι ώστε οι άξονες x και y της επαγόμενης διπλοθλαστικότητας να βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο ως προς τον οπτικό άξονα της κοιλότητας και σε γωνία 45 ο σε σχέση με τον οπτικό άξονα του πολωτή. Έστω τώρα ότι η δέσμη laser διαδίδεται από το ενεργό μέσο προς τον πολωτή κι έστω ότι η πόλωσή της είναι παράλληλη αυτής του άξονα του πολωτή. Τότε θα διαδοθεί μέσα από τον πολωτή αδιατάρακτη και θα εισέλθει στο Pockels cell το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση υψηλής 101

τάσης ώστε να επάγει διπλοθλαστικότητα. Το ηλεκτρικό πεδίο του laser σχηματίζει γωνία 45 ο σε σχέση και με του δυο άξονες διπλοθλαστικότητας x και y του Pockels cell. Επομένως κατά την έξοδο της δέσμης από το Pockels cell οι δυο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου του laser Ex και Ey θα έχουν υποστεί διαφορετικές καθυστερήσεις στη φάση τους εμφανίζοντας μια διαφορά φάσης 2 ( n n ) L' x y (8.3) όπου L το μήκος του κρυστάλλου του Pockels cell. Εάν η τιμή της τάσης είναι τέτοια ώστε η επαγόμενη διαφορά φάσης να είναι Δφ=π/2 τότε η δέσμη του laser προκύπτει κυκλικά πολωμένη. Μετά από την ανάκλαση της δέσμης από τον καθρέφτη περνά πάλι από το Pockels cell αποκτώντας επιπλέον διαφορά φάσης μεταξύ των Ex και Ey Δφ=π/2, συνολικά δηλ. Δφ=π. Επομένως το πεδίο προκύπτει γραμμικά πολωμένο αλλά στραμμένο κατά 90 ο σχετικά με το αρχικό κύμα. Επομένως δεν μπορεί να διαδοθεί μέσα από τον πολωτή και ανακλάται εκτός κοιλότητας. Η διαδικασία αυτή αντιστοιχεί σε κλειστό διακόπτη Q- switching. Ο διακόπτης ανοίγει όταν απαλειφθεί η επαγόμενη τάση στο Pockels cell. Τότε παύει η διπλοθλαστικότητα και το φως διαδίδεται ανενόχλητο μέσα από το Pockels cell. Τυπικές τιμές της επαγόμενης τάσης (τάση λ/4 εξαιτίας της επαγόμενης διαφοράς φάσης σε κάθε πέρασμα) είναι από 1 5 kv. Ο δε χρόνος ανοίγματος μικρότερος του 20 ns. Σχ. 8.3. Διάταξη ενός Q-switched laser με τη χρήση πολωτή και Pockels cell. 8.3.2. Μηχανικό Q-Switching Ο πιο κοινός μηχανισμός για μηχανικό Q-switching είναι αυτός της περιστροφής ενός εκ των καθρεφτών της κοιλότητας γύρω από άξονα κάθετο στον οπτικό άξονα της κοιλότητας. Σε αυτή την περίπτωση το άνοιγμα του διακόπτη επιτυγχάνεται όταν κατά την περιστροφή ο καθρέφτης γίνει παράλληλος με τον άλλο καθρέφτη της κοιλότητας. Σε κάθε άλλη θέση ο διακόπτης είναι κλειστός. Για λόγους απλοποίησης της ευθυγράμμισης χρησιμοποιούνται πρίσματα αντί επίπεδων καθρεφτών όπως φαίνεται στο σχήμα 8.4. Η μέθοδος αυτή είναι απλή και φτηνή και κατάλληλη για όλα τα μήκη κύματος. Εξαιτίας όμως της πεπερασμένης ταχύτητας του μοτέρ παράγουν αργό Q-switching. Για παράδειγμα για ένα γρήγορο μοτέρ με ταχύτητα περιστροφής 24.000 rm (400Hz), η διάρκεια του ανοίγματος του Q-switching είναι περίπου 400 ns. Τόσο αργό Q-switching μπορεί να οδηγήσει σε ανεπιθύμητη παραγωγή δευτερευόντων παλμών. 102

8.3.3. Ακουστο-οπτικό Q-Switching Σχ. 8.4. Μηχανικό Q-switching. Ένας ακουστο-οπτικός διαμορφωτής αποτελείται από ένα κομμάτι διαφανούς υλικού (π.χ. fused Quartz) στη μια άκρη του οποίου είναι στερεωμένος ένας πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος (σχήμα 8.5). Σχ. 8.5. Ακουστο-οπτικό Q-switching. Ο πιεζοηλεκτρικός κρύσταλλος τίθεται σε λειτουργία από έναν ταλαντωτή ραδιοσυχνοτήτων και ταλαντούμενος προκαλεί την διάδοση ενός υπερηχητικού κύματος στο ακουστο-οπτικό υλικό. Το μέρος του υλικού απέναντι από τον πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο είναι κομμένο υπό γωνία και φέρει υλικό απορρόφησης των υπερήχων. Έτσι η ανάκλαση των υπερήχων στην επιφάνεια του υλικού μειώνεται δραστικά και τα υπερηχητικά κύματα διαδίδονται μόνο σε μια κατεύθυνση μέσα στο ακουστο-οπτικό υλικό. Το υλικό παραμορφώνεται τοπικά εξαιτίας των υπερηχητικών κυμάτων και παρουσιάζει διπλοθλαστικότητα, με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται τοπικά ο δείκτης διάθλασής του. Το φαινόμενο ονομάζεται φωτοελαστικό. Η περιοδική αλλαγή του δείκτη διάθλασης ενεργεί ως φράγμα περίθλασης με περίοδο ίση με αυτή ενός ακουστικού μήκους κύματος που όμως ταξιδεύει με την ταχύτητα του ήχου στο υλικό. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η δέσμη του laser να περιθλάται κατά ένα μέρος της εκτός της κοιλότητας όπως φαίνεται στο σχήμα 8.5. Οι επαγόμενες απώλειες από το οπτικοακουστικό υλικό μέσα στην κοιλότητα έχουν ως αποτέλεσμα την διακοπή της λειτουργίας του laser. Όταν η τάση μηδενιστεί τότε to laser επανέρχεται στην λειτουργία του παράγοντας ισχυρούς στενούς παλμούς. 103

8.3.4. Απορροφητές κορεσμού Οι τρεις παραπάνω συσκευές έκαναν χρήση του ενεργού Q-switching. Εδώ θα εξετάσουμε τη περίπτωση του παθητικού Q-switching που βασίζεται στους απορροφητές κορεσμού. Είναι η πιο κοινή μέθοδος παθητικού Q-switching. Ένας απορροφητής κορεσμού είναι ένα υλικό υψηλής απορροφητικότητας στο μήκος κύματος του laser και άρα χαμηλής τιμής έντασης κορεσμού (βλ. σχέση 5.42 για μεγάλο σ). Σε συνθήκες κορεσμού ο απορροφητής γίνεται διάφανος στο μήκος κύματος που απορροφούσε πριν τον κορεσμό. Η παρουσία ενός τέτοιου απορροφητή μέσα σε μια κοιλότητα laser έχει ως αποτέλεσμα να αποτρέπει την δημιουργία συνθηκών laser για όσο χρονικό διάστημα απαιτείται για να φτάσει σε συνθήκες κορεσμού απορρόφησης. Η διαδικασία του laser θα ξεκινήσει μόνο όταν η ενίσχυση ξεπεράσει τις απώλειες τόσο της κοιλότητας όσο και του απορροφητή. Εξαιτίας όμως των μεγάλων απωλειών του απορροφητή (μεγάλη απορρόφηση) η τελική τιμή της αντιστροφής πληθυσμού είναι επίσης πολύ μεγάλη. Έτσι επιτυγχάνονται οι συνθήκες Q- switcing. Ο κορεσμός του απορροφητή σηματοδοτεί και το «άνοιγμα» του διακόπτη για την διαδικασία του laser και την παραγωγή στενών και ισχυρών παλμών όπως περιγράφηκαν και προηγουμένως. Στη συνέχεια ο απορροφητής αποδιεγείρεται και η εικόνα επαναλαμβάνεται στο ρυθμό της άντλησης του laser. 8.4. Τρόποι λειτουργίας των Q-switched laser Τα laser που χρησιμοποιούν Q-switching λειτουργούν με δυο τρόπους: (1) Παλμικής άντλησης όπου ο ρυθμός άντλησης είναι παλμικός με διάρκεια παλμού συγκρίσιμου αυτού του χρόνου ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser (σχήμα 8.6). Εάν δεν υπήρχε το Q-switching, η αντιστροφή πληθυσμού θα έφτανε σε μια μέγιστη τιμή και μετά θα μειώνονταν. Το Q-switching ενεργοποιείται τη στιγμή που η αντιστροφή πληθυσμού έχει φτάσει στο μέγιστό της (πολύ μεγαλύτερο αυτού που θα έφτανε χωρίς το Q-switching). Έπειτα ο αριθμός των φωτονίων αυξάνει μέχρι την μέγιστη τιμή του που συμβαίνει όταν η αντιστροφή πληθυσμού φτάσει στην κρίσιμη τιμή της, για να μειωθεί πολύ γρήγορα (σχεδόν στο μηδέν) μαζί με την μείωση της αντιστροφής στην ελάχιστη παραμένουσα τιμή της. Να τονιστεί και πάλι πως οι δυο χρόνοι άντλησης και laser είναι πολύ διαφορετικοί κι αντιστοιχούν σε κλίμακες ms και ns αντίστοιχα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται στο ρυθμό επανάληψης της άντλησης που μπορεί να φτάσει και τα δεκάδες Hz. Ηλεκτρο-οπτικές και μηχανικές συσκευές, όπως και απορροφητές κορεσμού χρησιμοποιούνται σε αυτή την περίπτωση. 104

Σχ. 8.6. Παλμική λειτουργία laser μέσω παλμικής άντλησης. (a) Ρυθμός άντλησης, (b) Απώλειες κοιλότητας, (c) Αντιστροφή πληθυσμού, (d) Αριθμός φωτονίων. (2) Συνεχούς άντλησης με παλμική λειτουργία Q-switching (σχήμα 8.7). Σε αυτήν την περίπτωση το laser αντλείται συνεχώς σε ρυθμό R, και οι απώλειες της κοιλότητας αυξομειώνονται περιοδικά μέσω μια συσκευής Q-switching. Η έξοδος του laser τότε αποτελείται από ένα συνεχές τραίνο παλμών, όπως φαίνεται στο σχήμα 8.7.c. Κατά τη διάρκεια του κάθε παλμού η αντιστροφή πληθυσμού μειώνεται από τη μέγιστη τιμή στην παραμένουσα για να αυξηθεί ως την μέγιστη τιμή της πριν ενεργήσει το επόμενο Q- switching. Εφόσον ο χρόνος που χρειάζεται για να έχουμε συνθήκες μέγιστης αντιστροφής πληθυσμού είναι περίπου ίσος αυτού της ζωής της διεγερμένης κατάστασης του laser τ, ο χρόνος που απαιτείται μεταξύ δυο διαδοχικών παλμών laser τ μπορεί να είναι ίσος ή και μικρότερος του τ. Για την ακρίβεια εάν τ >>τ τότε το μεγαλύτερο μέρος της αντιστροφής θα σπαταληθεί σε αυθόρμητη αποδιέγερση. Επομένως ο ρυθμός επανάληψης σε αυτή την περίπτωση μπορεί να φτάσει ακόμη και τα μερικές δεκάδες khz. Ακουστο-οπτικές συσκευές και σε μερικές περιπτώσεις μηχανικές χρησιμοποιούνται σε αυτή την περίπτωση. 105

Σχ. 8.6. Παλμική λειτουργία laser μέσω παλμικού Q-switching. 8.5. Θεωρία ενεργού Q-switching Αν και όπως έχουμε επισημάνει το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 7.8 που περιγράφει το laser είναι μη γραμμικό και εν γένει δεν λύνεται αναλυτικά, εν τούτοις θα επιχειρήσουμε μια απλοποίησή του από τη οποία μπορούν να εξαχθούν ασφαλή αποτελέσματα για την λειτουργία του laser. Θα θεωρήσουμε σύστημα laser με ενεργό (γρήγορο) Q-switching που «ανοίγει» την χρονική στιγμή t=0 (βλ. σχήμα 8.6). Η χρονική εξέλιξη του συστήματος laser για t>0 περιγράφεται από τις εξισώσεις 7.8 με αρχικές συνθήκες Ν(0)=Ν i και φ(0)=φ i 1. Εξαιτίας της πολύ γρήγορης μεταβολής των Ν(t) και φ(t) μπορούμε να θεωρήσουμε την επίδραση των όρων R και Ν/τ μηδενική. Επομένως γράφουμε: d dt B (8.4.a) d V B 1 a (8.4.b) dt c Στο σημείο αυτό θα πρέπει να υπολογίσουμε το Ν i που από την σχέση 8.2 προκύπτει ίσο με Ν i =R (0)τ, όπου R (0) είναι η τιμή του ρυθμού άντλησης την στιγμή του ανοίγματος του Q- switching και που δεν είναι γνωστή. Υποθέτοντας ότι η συνάρτηση που περιγράφει την άντληση δεν αλλάζει τη μορφή της με την μεταβολή του μεγέθους της, μπορούμε να γράψουμε ότι. Επειδή όμως η ενέργεια Ε P που αντιστοιχεί στο ρυθμό άντλησης R μπορεί να γραφεί ως, προκύπτει ότι κι επομένως με βάση την σχέση 8.2 αντίστοιχη ενέργεια θα ισχύει. Ομοίως για την κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμού και την i ic. Με βάση αυτά γράφουμε: E x (8.5) E c Η ποσότητα μπορεί να μετρηθεί πειραματικά. Η κρίσιμη αντιστροφή πληθυσμών υπολογίζεται ως Ν ic =γ/σl (βλ. σχέση 7.14.a). Επομένως από την 8.5 υπολογίζεται 106

107 και το i. Παρατηρείστε ότι με βάση τις σχέσεις 8.4 η αντιστροφή πληθυσμού που αντιστοιχεί στο μέγιστο του παλμού των φωτονίων (dφ/dt=0) έχει τιμή. Επομένως ισχύει. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να προχωρήσουμε στο υπολογισμό των παρακάτω μεγεθών. Μέγιστη τιμή ισχύος εξόδου (eak ower) Με βάση την σχέση 7.11 έχουμε e hv L c P ) ( 2 2 (8.6) όπου φ ο αριθμός των φωτονίων που αντιστοιχεί στην μέγιστη τιμή ισχύος, ο οποίος υπολογίζεται παίρνοντας τον λόγο των σχέσεων 8.4.a και 8.4.b. Προκύπτει ότι V d d a 1 (8.7) η οποία εύκολα ολοκηρώνεται για να δώσει 1 ln i i a V (8.8) Έτσι η μέγιστη τιμή της ισχύος εξόδου υπολογίζεται ως 1 ln 2 2 i i c b hv A P (8.9) όπου είναι η τομή της δέσμης laser και χρησιμοποιήθηκε η σχέση όπως υπολογίστηκε στην 7.7.b. Ενέργεια εξόδου: dt t hv L c dt t P E e 0 2 0 ) ( 2 ) ( (8.10) Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την 8.4.b ως εξής: ) ( (0)] ) ( [ ) ( ) ( 1 (0) ) ( ) ( 1 0 0 0 0 0 0 f i c a c a c a c a V V dt t dt t dt dt d V dt t dt B V dt dt d (8.11) Είναι φ(0)=φ( ) 0 ενώ Ν f είναι η παραμένουσα αντιστροφή πληθυσμού. Ο λόγος που η αντιστροφή πληθυσμού δεν μηδενίζεται βασίζεται στην διαφορετική απώλεια πληθυσμού για την αντιστροφή και τα φωτόνια. Πράγματι, από τη σχέση 8.4 προκύπτει ότι τα φωτόνια έχουν μεγαλύτερες απώλειες λόγω και των απωλειών της κοιλότητας με αποτέλεσμα όταν μηδενιστεί ο πληθυσμός τους να υπάρχει ένας παραμένων πληθυσμός αντιστροφής ο οποίος δεν αποδιεγείρεται (αφού είναι σε μετασταθή κατάσταση και το Q-switching είναι «κλειστό»). Επομένως η ενέργεια γράφεται

2 E ( ) V hv f (8.12) 2 Για τον υπολογισμό της χρειάζεται επί πλέον ο υπολογισμός του Ν f. Αυτός προκύπτει ολοκληρώνοντας την 8.7 με άνω όριο ολοκλήρωσης το ( φ( ) 0). Προκύπτει ότι f ln (8.13) f που δίνει την ποσότητα Ν f / Ν i ως συνάρτηση της Ν / Ν i την οποία μπορούμε να μετρήσουμε. Ορίζοντας την ποσότητα η Ε = (Ν i -Ν f )/ Ν i ως τον κανονικοποιημένο παράγοντα αντιστροφής, η 8.13 γράφεται ως και η ενέργεια εξόδου ως E i i E 2 2 ln( 1 ) E A b hv E (8.14) (8.15) Διάρκεια παλμού: Προσεγγιστικά η διάρκεια του παλμού laser μπορεί να προκύψει ως το πηλίκο της ενέργειας προς την ισχύ. Έτσι με βάση τους υπολογισμούς των 8.9 και 8.15 προκύπτει ότι ( / ) i E c (8.16) [( / ) ln( / ) 1] i i 8.6. Gain switching Η τεχνική που ονομάζεται Gain switching (μεταγωγή ενίσχυσης), επιτρέπει την δημιουργία στενών (κλίμακα ns) και ισχυρών παλμών laser όπως και η τεχνική Q-switching. Η διαφορά τους είναι πως ενώ στην Q-switching απενεργοποιούνταν απότομα οι απώλειες της κοιλότητας, στην Gain switching ενεργοποιείται απότομα η ενίσχυση του laser. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας παλμούς άντλησης τόσο γρήγορους ώστε η αντιστροφή πληθυσμών κι επομένως η ενίσχυση του laser να αποκτούν τιμές πολύ μεγαλύτερες της τιμής κατωφλίου πριν ο αριθμός φωτονίων της κοιλότητας αποκτήσει τιμές ικανές να ελαττώσουν την αντιστροφή. Η ποιοτική εξήγηση του φαινομένου προκύπτει από το σχήμα 8.1. Χωρίς να μπούμε σε πολλές λεπτομέρειες, εάν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός άντλησης διαρκεί μόνο 5 μs τότε μέσα στο χρόνο αυτό θα προκύψει μόνο μια κορυφή κι επομένως ένας παλμός φωτονίων. Τυπική περίπτωση τέτοιου laser είναι το CO 2 όπου το Gain switching γίνεται με ηλεκτρική παλμική άντληση (δηλ. ηλεκτρική εκκένωση που λαμβάνει χώρα μέσα στο μείγμα των αερίων που αποτελούν το ενεργό μέσο του laser). 108

8.7. Εγκλείδωση τρόπων (Mode-locking) Ας υποθέσουμε ένα laser που ταλαντώνεται με έναν μεγάλο αριθμό διαμηκών τρόπων ταλάντωσης. Στη γενικότητά τους οι φάσεις των τρόπων θα έχουν τυχαία συμπεριφορά με αποτέλεσμα η ένταση της δέσμης να έχει κι αυτή ομοίως τυχαία συμπεριφορά. Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται στο σχήμα 8.7 όπου φαίνεται η ασύμφωνη άθροιση Ν=51 διαδοχικών τρόπων δόνησης ίσου πλάτους και τυχαίας φάσης. Το αποτέλεσμα είναι μια τυχαία αλληλουχία παλμών φωτός η οποία παρά τη τυχαιότητά της έχει τις εξής ιδιότητες ως αποτέλεσμα της φασματικής κατανομής των τρόπων: (i) Η κυματομορφή είναι περιοδική με περίοδο (ii) Κάθε παλμός φωτός της κυματομορφής έχει διάρκεια, όπου το συνολικό φασματικό εύρος. Επομένως για laser με σχετικά μεγάλο φασματικό εύρος ενίσχυσης, όπως τα στερεής κατάστασης, χρωστικών και ημιαγωγών, το μπορεί να γίνει συγκρίσιμο με το φασματικό εύρος ενίσχυσης του laser. Αυτό συνεπάγεται δημιουργία παλμών, έστω και σε μορφή θορύβου, με διάρκεια s ή και μικρότερη. Ωστόσο να σημειώσουμε στο σημείο αυτό πως τόσο γρήγοροι παλμοί δεν μπορούν να μετρηθούν από φωτοανιχνευτές και χρειάζονται ειδικές συμβολομετρικές τεχνικές για τη μέτρησή τους. Σχ. 8.7. Χρονική συμπεριφορά ασύμφωνης άθροισης 51 διαδοχικών τρόπων δόνησης ίσου πλάτους και τυχαίας φάσης. Η ποσότητα Α είναι το πλάτος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου. Ας υποθέσουμε τώρα πως οι τρόποι δόνησης ίδιου η συγκρίσιμου πλάτους έχουν συγκεκριμένη σχέση φάσεων μεταξύ τους. Ένα τέτοιο laser ονομάζεται κλειδωμένων τρόπων (mode locked), και η διαδικασία εγκλείδωσης των τρόπων mode locking. 8.7.1. Περιγραφή στη περιοχή των συχνοτήτων Έστω 2n+1 διαδοχικοί τρόποι ταλάντωσης ίσου πλάτους Ε 0. Υποθέτουμε πως οι φάσεις τους περιγράφονται από την σχέση: 109

l l 1 (8.17) όπου φ σταθερά. Τότε το ολικό ηλεκτρικό πεδίο του ΗΜ κύματος αποτελούμενου από τους παραπάνω τρόπους δόνησης γράφεται: l n ( t ) E ex{ j[( l ) t l 0 0 l n E ]} (8.18) όπου ω 0 η συχνότητα του κεντρικού τρόπου, Δω η διαφορά συχνότητας δυο διαδοχικών τρόπων και θεωρούμε την τιμή της φάσης του κεντρικού τρόπου μηδέν. Το συνολικό πεδίο μπορεί να γραφτεί ως με E ( t ) A ( t ) ex( j t ) (8.19) 0 l n l n A ( t ) E ex[ jl ( t ] 0 (8.20) ΟΙ σχέσεις 8.19 και 8.20 δείχνουν πως το συνολικό πεδίο μπορεί να περιγραφεί από ένα ημιτονοειδές φέρον κύμα συχνότητας ω 0 του οποίου το πλάτος Α είναι χρονικά εξαρτώμενο. Η χρονική εξάρτηση του πλάτους υπολογίζεται παραλείποντας την σταθερή φάση φ από την 8.20 (δεν προσδίδει τίποτε στην χρονική εξάρτηση) και παρατηρώντας πως η 8.20 τότε είναι μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο ex(jδωt). Το άθροισμα της προόδου τότε γράφεται A( t ) l n l n E 0 E 0 ex[ j( t ] sin[( 2n 1) t / 2] sin( t / 2) l E 0 ex( j t ) n 1 ex( ex( j t ) j t ) n 1 (8.21) Στο σχήμα 8.9 προβάλλεται η ποσότητα που είναι ανάλογη της έντασης της δέσμης για 2n+1 = 7 τρόπους. Το αποτέλεσμα είναι η συμβολή των τρόπων για την παραγωγή ενός τραίνου παλμών. Τα μέγιστα των παλμών συμβαίνουν όταν ο παρονομαστής της 8.21 μηδενίζεται. Επομένως δυο διαδοχικοί παλμοί θα απέχουν χρονικά κατά Δωt/2 = π ή αλλιώς 2 1 (8.22) όπου Δν η διαφορά συχνοτήτων δυο διαδοχικών τρόπων. Η τιμή του μέγιστου προκύπτει ως. Τα ελάχιστα συμβαίνουν όταν ο αριθμητής μηδενίζεται. Συγκεκριμένα το πρώτο ελάχιστο συμβαίνει όταν (2n+1)Δω t /2 = π. Κι επειδή είναι Δτ t προκύπτει 2 (2n 1) 1 L (8.23) όπου το συνολικό φασματικό εύρος. Οι σχέσεις 8.22 και 8.23 είναι συμφυής με τις ιδιότητες των σειρών Fourier όπως η σχέση 8.18. 110

Σχ. 8.8. Πλάτη τρόπων ταλάντωσης ενός mode-locked laser ως συνάρτηση της συχνότητας. a) Ομογενής κατανομή. b) Γκαουσιανή κατανομή με φασματικό εύρος Δω L. Το μεγάλο εύρος της Δν L της επιτρέπει να είναι της τάξης του φασματικού εύρους της ενίσχυσης του laser Δν 0 με αποτέλεσμα να επιτρέπεται ο σχηματισμός πολύ στενών παλμών laser. Για παράδειγμα laser στερεάς κατάστασης και ημιαγωγών επιτρέπουν έως και μερικά icoseconds. Laser χρωστικών και στερεάς κατάστασης, με εύρος ενίσχυσης εκατονταπλάσιο των προηγουμένων, επιτρέπουν παλμούς στην κλίμακα των femtoseconds (7 fs για Ti:sahire laser). Από την άλλη μεριά laser αερίων με πολύ στενότερο εύρος ενίσχυσης επιτρέπουν παλμούς μέχρι 100 s. Σχ. 8.9. Χρονική συμπεριφορά του τετραγώνου του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου επτά τρόπων ταλάντωσης με κλειδωμένες φάσεις και ίσα πλάτη. Η μέγιστη ισχύς του παλμού είναι ανάλογη του ενώ για ασύμφωνη άθροιση των τρόπων είναι απλά το άθροισμα των επί μέρους ισχύων, άρα είναι. Επομένως για τον ίδιο αριθμό τρόπων με τα ίδια πλάτη, ο λόγος των εντάσεων μεταξύ mode-locked και ασύμφωνης άθροισης είναι, που για laser στερεάς κατάστασης μπορεί να είναι και 10 3 με 10 4. Άρα η τεχνική mode-locking όχι μόνο επιτρέπει το σχηματισμό πολύ στενών παλμών αλλά ταυτόχρονα επιβάλλει και την υψηλή ισχύ τους. 111

Επεκτείνοντας το μοντέλο mode-locking σε πιο ρεαλιστικές περιπτώσεις εξετάζουμε αυτήν όπου τα πλάτη δεν είναι ισοϋψή αλλά ακολουθούν μια κατανομή Γκάους όπως στο σχήμα 8.8.b. Τότε αποδεικνύεται ότι το χρονικό έυρος του κάθε παλμού περιγράφεται από τη σχέση 2 ln 2 L 0.441 L (8.24) Γενικά παλμοί τέτοιου είδους όπου, όπου β μικρός ακέραιος που εξαρτάται από την φασματική κατανομή της έντασης του παλμού, ονομάζονται Fourier transform limited - FTL. Ουσιαστικά FTL παλμοί είναι οι στενότεροι επιτρεπτά παλμοί που μπορούν να σχηματισθούν με βάση το φασματικό τους εύρος και το καλύτερο κλείδωμα των φάσεών τους. Στην περίπτωση που ο παλμός δεν είναι FTL τότε η σχέση των φάσεων των τρόπων του μπορεί να είναι οιαδήποτε με αποτέλεσμα η συχνότητα του φέροντος κύματος να μην είναι σταθερή αλλά να εξαρτάται από το χρόνο. Το φαινόμενο λέγεται chiring (κελάηδημα, καθώς ομοιάζει μια μετατόπιση Doler κι άρα το κελάηδημα ορισμένων πουλιών). 8.7.2. Τρόποι mode-locking Οι μέθοδοι επίτευξης mode-locking, όπως και αυτές του Q-switching, μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες: (1) Ενεργού mode-locking, όπου το στοιχείο του mode-locking ενεργοποιείται από εξωτερικούς παράγοντες. (2) Παθητικό mode-locking, όπου το στοιχείο που επάγει mode-locking ενεργοποιείται από εξωτερικούς παράγοντες αλλά μέσω ενός μηγραμμικού φαινομένου όπως τον κορεσμό ενός απορροφητή κορεσμού ή την μη γραμμική αλλαγή του δείκτη διάθλασης κατάλληλου υλικού. Παρακάτω θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις παθητικού mode-locking. Γρήγορος απορροφητής κορεσμού. Θεωρούμε έναν απορροφητή με χαμηλή ένταση κορεσμού και χρόνο αποκατάστασης (αποδιέγερσης) μικρότερο από τη διάρκεια των modelocked παλμών. Για χαμηλές εντάσεις της δέσμης laser Ι εντός της κοιλότητας συγκριτικά με αυτής του κορεσμού I s μπορούμε να γράψουμε για τις απώλειες γ α του απορροφητή με μήκος l α (βλ. Σχέση 5.43). 0 l l l (1 I / I ) l l ( I / I ) ( I / I ) 0 s 0 0 s s (8.25) 1 I / I s Αθροίζοντας της σταθερές απώλειες της δέσμης εντός της κοιλότητας με το σταθερό όρο του απορροφητή η τελική μορφή των απωλειών για ένα κύκλο (2 γ t ) γράφεται 2 2 ( I / I ) (8.26) 2 t s όπου γ είναι οι απώλειες ανεξάρτητα από την ένταση της δέσμης και γ οι απώλειες στον απορροφητή κορεσμού που εξαρτώνται από την ένταση της δέσμης. Έστω λοιπόν τώρα ένας πολύ λεπτός απορροφητής που τοποθετείται πάνω στον έναν καθρέφτη της κοιλότητας κι ότι το laser αρχικά ταλαντώνεται με μη κλειδωμένες φάσεις. Το φάσμα θα ομοιάζει αυτό του σχήματος 8.7 και για τις χαμηλής έντασης κορυφές του η κορεσμένη ενίσχυση 2g 0 (βλ. σχέση 5.47) θα είναι περίπου ίση με τις απώλειες 2γ της κοιλότητας και του μη-κορεσμένου απορροφητή. Ωστόσο ένας παλμός (κορυφή) υψηλής έντασης θα υποστεί λιγότερη 112

εξασθένηση συγκριτικά με τις χαμηλής εξασθένησης, όπως δείχνει η σχέση 8.26. Σε αυτή την περίπτωση η κορεσμένη ενίσχυση 2g 0 μπορεί να ξεπεράσει τις ολικές απώλειες 2γ t. Τότε ένας τέτοιος παλμός θα ενισχύεται σε κάθε κύκλο του μέσα στην κοιλότητα με αποτέλεσμα μετά από πολλούς κύκλους να επιβιώσει ένας μοναδικός ισχυρός mode-locked παλμός. (Η ενίσχυση άλλων κορυφών που μπορεί να πληρούν τις προϋποθέσεις έντασης του απορροφητή, δεν είναι εφικτή παρουσία του ισχυρού παλμού επειδή απλά το ενεργό μέσο έχει αποδιεγερθεί κατά τη διέλευση του ισχυρού παλμού.) Η κατάσταση περιγράφεται ποιοτικά στο σχήμα 8.10 Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πως το κλείδωμα των φάσεων στους mode-locked παλμούς γίνεται καθαρά με χρονική επιλογή ενισχύοντας τον ισχυρότερο παλμό και απορρίπτοντας (μη ενισχύοντας) όλους τους υπόλοιπους. Επομένως εφόσον ένας παλμός (αυτός που τυχαία παρουσίασε υψηλή ένταση) ενισχύεται ξανά και ξανά μέχρι την μέγιστη τιμή, είναι αυτός ακριβός ο τρόπος δόνησης που «κλειδώνει» στην ενίσχυση. Τυπικό παράδειγμα γρήγορων απορροφητών κορεσμού είναι οι απορροφητές ημιαγωγών. Η αποδιέγερσή τους περιλαμβάνει τους εξής τυπικούς χρόνους: α) ~100 fs εξαιτίας της θερμοποίησης των ηλεκτρονίων εντός της ζώνης αγωγιμότητας μέσω αλληλεπιδράσεων ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. β) ~ 1 s εξαιτίας της θερμοποίησης των ηλεκτρονίων εντός της ζώνης αγωγιμότητας μέσω αλληλεπιδράσεων ηλεκτρονίου-φωνονίου. γ) s ns εξαιτίας των ακτινοβολητικών και μη-ακτινοβολητικών ηλεκτρονικών αποδιεγέρσεων. Σχ. 8.10. Παθητικό mode-locking από ένα γρήγορο απορροφητή κορεσμού. Kerr-lens mode-locking Μια άλλη τεχνική γρήγορου παθητικού mode-locking βασίζεται στο φαινόμενο της εστίασης που προκαλείται από κατάλληλο υλικό που παρουσιάζει μη γραμμικότητα τύπου Kerr (εξ ου και η αναφορά του ως Kerr-lens mode-locking (KLM). Έστω λοιπόν ένα οπτικό υλικό, όπως π.χ. quartz ή sahire, το οποίο διαπερνά δέσμη laser ομογενούς έντασης I. Για επαρκώς μεγάλη ένταση ο δείκτης διάθλασης του μέσου θα αλλάξει φανερώνοντας μια εξάρτησή του 113

από την ένταση, δηλ. n = n(i). Αναπτύσσοντας κατά Taylor τη σχέση αυτή και κρατώντας μέχρι γραμμικούς όρους προκύπτει n n n ( ) 8.27 I 0 2 όπου n 2 είναι μια θετική σταθερή που εξαρτάται από το υλικό και μόνο. Το φαινόμενο ονομάζεται οπτικό φαινόμενο Kerr και οφείλεται στην υπερ-πολωσιμότητα του μέσου εξαιτίας του υψηλού πεδίου (όροι υψηλότερης τάξης στο ανάπτυγμα της διπολικής ροπής πέραν του σταθερού όρου και της πολωσιμότητας. Μπορεί να εκληφθεί ως παραμόρφωση των ηλεκτρονικών τροχιακών των ατόμων.). Το οπτικό φαινόμενο Kerr δεν πρέπει να συγχέεται με το φαινόμενο Kerr ή πιο σωστά ηλεκτρο-οπτικό φαινόμενο Kerr το οποίο αναφέρεται στην εμφάνιση διπλοθλαστικότητας σε ένα μέσο όταν εφαρμοσθεί επάνω του ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο. Ας υποθέσουμε τώρα πως η ένταση της δέσμης laser σε ένα μέσο Kerr έχει Γκαουσιανό προφίλ στην κάθετη ως προς την διάδοσή της. Τότε η ένταση στο κέντρο θα είναι μεγαλύτερη από ότι αυτή στα άκρα. Επομένως, με βάση την 8.27, θα επαχθεί ένας μη γραμμικός δείκτης διάθλασης δn = n 2 I, με θετική τιμή στο κέντρο της δέσμης μειούμενη καθώς προχωρούμε προς τα άκρα. Για μια Γκαουσιανή κατανομή μπορούμε να γράψουμε, όπου η μέγιστη ένταση και w η ελάχιστη διάμετρος της δέσμης. Η μη γραμμική διαφορά φάσης που αποκτά η δέσμη κατά τη διέλευσή της από το υλικό μήκους l μπορεί να γραφεί ως: 2 n l 2n l 2n l 2 2 2 2 ex[ 2( r / w) ] [1 2( r / w) ] (8.28) Επομένως, σε πρώτης τάξης προσέγγιση, η διαφορά φάσης δφ μπορεί να θεωρηθεί ως παραβολική συνάρτηση του r/w, το οποίο είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι δημιουργείται ένας σφαιρικός φακός στο μέσο από το οπτικό φαινόμενο Kerr. Μάλιστα ο εν λόγω φακός μπορεί να οδηγήσει σε εστίαση της δέσμης όταν η ένταση της δέσμης ξεπεράσει μια κριτική τιμή. Το φαινόμενο λέγεται αυτοεστίαση (self-focusing). Με βάση τα προαναφερθέντα, ένα οπτικό στοιχείο μη γραμμικής απώλειας (σχέση 8.26), όπως ο απορροφητής κορεσμού, μπορεί να υλοποιηθεί όπως δείχνει το σχήμα 8.11. Η οπή παίζει τον αντίστοιχο ρόλο του απορροφητή κορεσμού. Συγκεκριμένα, σε υψηλές εντάσεις η δέσμη θα εστιάζεται ισχυρότερα στην περιοχή του κέντρου της οπής από ότι οι λιγότερο υψηλές εντάσεις, έχοντας έτσι πολύ λιγότερες απώλειες. Εφόσον οι απώλειες καθορίζονται από το μέγεθος της οπής, είναι αυτό το τελευταίο που επιλεκτικά θα ενισχύει το πιο ισχυρό παλμό, όπως ακριβώς γίνεται και με το απορροφητή κορεσμού. Επειδή το οπτικό φαινόμενο Kerr είναι εξαιρετικά γρήγορο οι mode-locked παλμοί που επιτυγχάνονται με αυτόν τον τρόπο μπορεί να έχουν διάρκεια έως και μερικά fs. Τέλος να σημειωθεί πως η έξοδος του mode-locked παλμού όταν έχει φτάσει στην επιθυμητή τιμή της έντασής του από την κοιλότητα γίνεται με κάποιο ηλεκτρο-οπτικό στοιχείο όπως π.χ. ένα Pockels cell. 114

Σχ. 8.11. Υλοποίηση του οπτικού φαινόμενου Kerr για την επίτευξη mode-locking. 115

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Είδαμε ότι στα παλμικά laser η ασυμπτωτική τιμή της αντιστροφής πληθυσμών περιγράφεται από τη σχέση. Για το λόγο αυτό επιλέγονται καταστάσεις όπου η R διεγερμένη κατάσταση είναι μετασταθής (δηλ. δεν αποδιεγείρεται με ηλεκτροδιπολικές μεταβάσεις) αυξάνοντας έτσι την τιμή της αντιστροφής, επιτυγχάνοντας τη διαδικασία γνωστή ως Q-switching. Μάλιστα ο χρόνος αποδιέγερσης τ μπορεί να είναι και ms. Ωστόσο όταν σταματά η διαδικασία του Q-switching έχουμε δει πως το σύστημα αποδιεγείρεται ταχύτατα σε κλίμακα χρόνων ns. Πως εξηγείτε αυτή τη συμπεριφορά δεδομένου ότι απαγορεύονται οι ηλεκτροδιπολικές μεταβάσεις; Δικαιολογείστε ποιοτικά αλλά επαρκώς την απάντησή σας. 2. Ο πιο στενός παλμός laser μέχρι σήμερα είναι ενός παλμικού laser στερεάς κατάστασης (Ti:Sahire) με χρονική διάρκεια 4 fs μετρημένη στο FWHM (full width at half maximum). a. Υπολογίστε το συχνοτικό κι ενεργειακό εύρος του αντίστοιχου φάσματος υποθέτοντας Γκαουσιανή κατανομή των πλατών των τρόπων δόνησης. b. Εάν το κεντρικό μήκος κύματος του φάσματος είναι λ = 800 nm ποιο το φασματικό εύρος Δλ; Μέχρι πιο όριο πιστεύετε ότι μπορεί να φτάσει η ελάχιστη χρονική διάρκεια αυτού του παλμού. c. Μπορεί το παραπάνω laser να χρησιμοποιεί τη μέθοδο του γρήγορου απορροφητή για να πετύχει Mode-locking; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 116

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. htt://ecourse.uoi.gr/course/view.h? id=1141.

Σημείωμα Αναφοράς Coyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Φυσική των Laser. ΠΑΛΜΙΚΑ LASER». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: htt://ecourse.uoi.gr/course/view.h?i d=1141.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] htts://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/