φγκριςθ Πλθκυςμών 1. Ζλεγχοι Τποκζςεων για τθ Διαφορά των μζςων τιμών δφο Πλθκυςμών Δείγματα Ανεξάρτθτα Προχποκζςεισ Εναλλακτικι Τπόκεςθ τατιςτικό Κριτικζσ Σιμζσ ( 1 ) Πλθκυςμοί Κανονικοί Διακυμάνςεισ 1, γνωςτζσ Δείγματα μικρά ι μεγάλα Οποιοδιποτε Πλθκυςμοί Διακυμάνςεισ 1, γνωςτζσ Δείγματα μεγάλα n, n ι 1 30 : 1 1 : Z X n X 1 n 1 1 1 ι Z 1 1 : 1 Z ( ) Pooled Variance t- test : 1 1 t s X p X 1 1 1 n1 n t ;n n 1 ΠΛΘΘΤΜΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΔΙΑΚΤΜΑΝΕΙ ΑΓΝΩΣΕ ΑΛΛΑ ΙΕ 1 Δείγματα μικρά ι μεγάλα 1 : 1 n1 1s1 n 1s ι sp ;n n n1 n 1 : 1 τακμιςμζνοσ εκτιμθτισ διαςποράσ (pooled variance estimator) t 1 ( 3 ) Separate Variance t-test : 1 1 t X X 1 s n s n 1 1 t ;n n 1 ΠΛΘΘΤΜΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΔΙΑΚΤΜΑΝΕΙ ΑΓΝΩΣΕ ΚΑΙ ΑΝΙΕ 1 Δείγματα μικρά ι μεγάλα : 1 1 ι : 1 1 df.. s1 n1 s n s1 n1 s n n 1 n 1 1 t ;n1 n Z.33, Z 1.96, Z 1.65 0.01 0.05 0.05
φγκριςθ Πλθκυςμών Ρροτοφ επιλζξουμε τον ζλεγχο ( ) ι ( 3 ) κα πρζπει να διεξάγουμε ζλεγχο για τθν ιςότθτα των διαςπορϊν των δφο πλθκυςμϊν. : : 1 0 1 1 1 1 1 1 s1 Στατιςτικό: F s Η μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται όταν F F ; n11; n1 ι F F 1 ; n11; n1 Ππου F ; n11; n1 και F 1 ; n11; n1 τιμζσ από τον πίνακα τθσ Κατανομισ F. Πταν θ μθδενικι υπόκεςθ (που είναι θ υπόκεςθ τθσ ιςότθτασ των διαςπορϊν των δφο πλθκυςμϊν) απορρίπτεται, διεξάγουμε τον ζλεγχο (3), διαφορετικά διεξάγουμε τον ζλεγχο ( ). Παράδειγμα 1 Διεξιχκθ μία ζρευνα για το ειςόδθμα των εργαηομζνων ςτον Ιδιωτικό Τομζα ςτα μεγάλα Αςτικά Κζντρα και ςτθν Επαρχία. Για το ςκοπό αυτό πάρκθκαν δφο τυχαία δείγματα, και τα αποτελζςματα φαίνονται ςτον παρακάτω πίνακα. ΔΕΙΓΜΑ 1 (Αςτικά Κζντρα) ΔΕΙΓΜΑ (Επαρχία) n1 50 n 7 X1 750 X 770 1 10 1 ( α ) Είναι το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτα μεγάλα Αςτικά Κζντρα διαφορετικό από το ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτθν Επαρχία; ( β ) Είναι το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτα μεγάλα Αςτικά Λφςθ Κζντρα μικρότερο από το ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτθν Επαρχία; Οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν είναι γνωςτζσ και τα δείγματα μεγάλα. Επομζνωσ, μποροφμε να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου κάνοντασ χριςθ του ςτατιςτικοφ Z. ( α ) Επιλζγεται αμφίπλευροσ ζλεγχοσ και επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0 : 1 1: 1 Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 3 Z X X 750 770 0 0 0 1 100 144 4 1 10 1 n n 1 50 7 50 7 10 Κριτικι Σιμι Z z Z 1.96 a 0.05 0.05 Απόφαςθ Επειδι Z 10 101.96 θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται και γίνεται δεκτι θ εναλλακτικι. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτα Αςτικά Κζντρα είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικό από το ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτθν Επαρχία. ( β ) Επιλζγεται μονόπλευροσ ζλεγχοσ με και επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0 : 1 1: 1 Z X X 750 770 0 0 0 1 100 144 4 1 10 1 n n 1 50 7 50 7 10 Κριτικι Σιμι Za Z 0.05 1.65 Απόφαςθ Επειδι Z 10 101.96 θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται και γίνεται δεκτι θ εναλλακτικι. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο το μζςο ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτα Αςτικά Κζντρα είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά μικρότερο από το ειςόδθμα των εργαηομζνων του Ιδιωτικοφ Τομζα ςτθν Επαρχία. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
4 φγκριςθ Πλθκυςμών Παράδειγμα Ο υπεφκυνοσ ενόσ Super Market που προμθκεφεται ςυςκευαςίεσ καφζ των 100 gr από δφο διαφορετικά εργοςτάςια Α και Β, κζλει να ελζγξει αν το μζςο βάροσ κακαροφ περιεχομζνου των ςυςκευαςιϊν που προζρχονται από τα δφο εργοςτάςια είναι διαφορετικό. Για το ςκοπό αυτό επζλεξε τυχαία 50 ςυςκευαςίεσ από το κάκε εργοςτάςιο και μζτρθςε το βάροσ του κακαροφ περιεχομζνου τουσ. Το μζςο βάροσ κακαροφ περιεχομζνου των ςυςκευαςιϊν του εργοςταςίου Α ιταν 10 gr και θ τυπικι απόκλιςθ gr. Το μζςο βάροσ κακαροφ περιεχομζνου των ςυςκευαςιϊν του εργοςταςίου Β ιταν 101 gr και θ τυπικι απόκλιςθ 1 gr. Με τθν προχπόκεςθ ότι το βάροσ του κακαροφ περιεχομζνου των ςυςκευαςιϊν ακολουκεί τθν Κανονικι Κατανομι, ο υπεφκυνοσ ζκανε ζλεγχο με επίπεδο ςθμαντικότθτασ. Ροιο ιταν το ςυμπζραςμά του; (Δίνεται: 0.05 0. ) Λφςθ Οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν δεν είναι γνωςτζσ, ακολουκοφν όμωσ Κανονικι Κατανομι και τα δείγματα είναι μεγάλα. Επομζνωσ, μποροφμε να προχωριςουμε ςτον ζλεγχο τθσ υπόκεςθσ με τθ χριςθ του ςτατιςτικοφ Z. Δεδομζνα ΔΕΙΓΜΑ 1 (Εργοςτάςιο Α) ΔΕΙΓΜΑ (Εργοςτάςιο Β ) n1 50 n 50 X1 10 X 101 s1 s 1 Θζλουμε να ελζγξουμε αν το μζςο βάροσ του κακαροφ περιεχομζνου ςτισ ςυςκευαςίεσ των εργοςταςίων Α και Β είναι διαφορετικό. Επιλζγουμε αμφίπλευρο και επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0 : 1 1: 1 Z X X 1 s 4 1 5 1 s 1 n n 1 10 101 1 1 50 50 50 50 10 3.16 Κριτικι τιμι Z a Z 0.05 1.96 Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 5 Απόφαςθ Επειδι Z 3.16 3.16 1.96 θ μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι το μζςο βάροσ του κακαροφ περιεχομζνου ςτισ ςυςκευαςίεσ καφζ 100 gr των δφο εργοςταςίων είναι διαφορετικό. Παράδειγμα 3 (με τθ χριςθ του ςτατιςτικοφ πακζτου SPSS) Ζνασ δάςκαλοσ, κζλθςε να ελζγξει εάν ο μζςοσ χρόνοσ για τθν επίλυςθ ενόσ ςυγκεκριμζνου μακθματικοφ προβλιματοσ είναι ίδιοσ για τα αγόρια και τα κορίτςια. Επζλεξε τυχαία 10 αγόρια και 10 κορίτςια και μζτρθςε το χρόνο (ςε min) που χρειάςτθκαν για να λφςουν το πρόβλθμα και πιρε τα παρακάτω αποτελζςματα. Group Statistics Gender (Φφλο) N Mean (Μζςοσ) Std. Deviation (Τυπικι Απόκλιςθ) Std. Error Mean (Τυπικό ςφάλμα μζςου) Time (Χρόνοσ) 1 (Αγόρι) 10 16,0150,0308,00957 (Κορίτςι) 10 16,0050,0550,00806 Ζχουμε δφο ανεξάρτθτουσ πλθκυςμοφσ, τον πλθκυςμό των αγοριϊν και τον πλθκυςμό των κοριτςιϊν. Η μεταβλθτι μασ είναι, X : Χρόνοσ (ςε min), και είναι μία ποςοτικι ςυνεχισ μεταβλθτι. Θζλουμε να ελζγξουμε εάν ο μζςοσ χρόνοσ (επίλυςθσ του προβλιματοσ) είναι ι όχι διαφορετικόσ ςτουσ δφο πλθκυςμοφσ. Επομζνωσ, κα διεξάγουμε αμφίπλευρο ζλεγχο, επιλζγοντασ ωσ επίπεδο ςθμαντικότθτασ 0. 05 Οι υποκζςεισ του ελζγχου είναι: 0 : 1 1: 1 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
6 φγκριςθ Πλθκυςμών Ζνασ ζλεγχοσ είναι αξιόπιςτοσ όταν τθροφνται κάποιεσ βαςικζσ υποκζςεισ. Αυτζσ είναι: Κανονικότθτα των πλθκυςμών, όταν ζχουμε μικρά δείγματα, δθλαδι όταν ζχουμε λιγότερεσ από 30 παρατθριςεισ. Κανονικότθτα των πλθκυςμών, όταν οι διαςπορζσ τουσ είναι άγνωςτεσ, είτε τα δείγματα είναι μικρά είτε μεγάλα. Στθν περίπτωςθ που ζχουμε παραβίαςθ των παραπάνω βαςικϊν υποκζςεων δεν επιτρζπεται να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου. ΘΜΑΝΣΙΚΘ ΠΑΡΑΣΘΡΘΘ: Πταν οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν είναι άγνωςτεσ πρζπει, επιπλζον, να γίνεται και ζλεγχοσ υπόκεςθσ για τθν ιςότθτα των διαςπορϊν των πλθκυςμϊν. Οι υποκζςεισ είναι: : 0 1 : 1 1 ΘΜΕΙΩΘ: Σφμφωνα με τα παραπάνω δεν υπάρχει πρόβλθμα για τθν αξιοπιςτία του ελζγχου όταν: Πταν ζχουμε μεγάλα δείγματα και είναι γνωςτζσ οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν, και ςτθν περίπτωςθ αυτι δεν μασ ενδιαφζρει θ Κανονικότθτα. ι όταν Ζχουμε Κανονικοφσ πλθκυςμοφσ με γνωςτζσ διαςπορζσ, και τότε δεν μασ ενδιαφζρει το μζγεκοσ των δειγμάτων. Γενικά, οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν όταν διεξάγουμε μία ζρευνα είναι άγνωςτεσ. Επομζνωσ, τα βιματα που ςυνικωσ ακολουκοφμε είναι: 1) Ζλεγχοσ για τθν Κανονικότθτα των πλθκυςμϊν ) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορϊν των πλθκυςμϊν 3) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των μζςων τιμϊν των πλθκυςμϊν Στο παράδειγμα μασ, τα δείγματα είναι μικρά και οι διαςπορζσ είναι άγνωςτεσ αφοφ δεν μασ δίνεται κάποια πλθροφορία. Ζτςι, το πρϊτο βιμα είναι ο ζλεγχοσ για τθν Κανονικότθτα των πλθκυςμϊν. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 7 ( 1 ) Ζλεγχοσ Κανονικότθτασ 0 1 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Η μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται εάν το παρατθροφμενο επίπεδο ςθμαντικότθτασ που μασ παρζχει το SPSS και δίνεται ςτθ ςτιλθ Sign. είναι ΜΙΚΟΤΕΟ από 0.05. Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Gender Statistic (Στατιςτικό) df (β.ε. = Ν) Sig. ( p value) Statistic (Στατιςτικό) df (β.ε. = Ν) Sig. ( p value) 1,166 10,00 *,935 10,501 Time,178 10,00 *,949 10,660 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Στον παραπάνω πίνακα βλζπουμε τα αποτελζςματα για τθν κανονικότθτα τθσ μεταβλθτισ Time (Χρόνοσ). Υπολογίηονται δφο ςτατιςτικά: Το Kolmogorov Smirnov και το Shapiro Wilk. Χρθςιμοποιοφμε το ςτατιςτικό Kolmogorov Smirnov όταν το μζγεκοσ του δείγματοσ είναι μεγαλφτερο του 50. Διαφορετικά, χρθςιμοποιοφμε το ςτατιςτικό Shapiro Wilk. Για τα παραπάνω tests, το μζγεκοσ του δείγματοσ είναι ίςο με τουσ βακμοφσ ελευκερίασ, που βρίςκονται ςτθ ςτιλθ df. Επομζνωσ, επειδι τα δείγματά μασ είναι μεγζκουσ 10, κα χρθςιμοποιιςουμε το ςτατιςτικό Shapiro Wilk. Για τα αγόρια (Gender = 1) βλζπουμε ότι Sig. = 0.501 > 0.05. Επομζνωσ, θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί, και θ κατανομι του πλθκυςμοφ των αγοριϊν μπορεί να κεωρθκεί ωσ Κανονικι. Για τα κορίτςια (Gender = ) βλζπουμε ότι Sig. = 0.660 > 0.05. Επομζνωσ, θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί, και θ κατανομι του πλθκυςμοφ των κοριτςιϊν μπορεί να κεωρθκεί ωσ Κανονικι. Κακϊσ και οι δφο πλθκυςμοί είναι Κανονικοί, μποροφμε να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
8 φγκριςθ Πλθκυςμών ( ) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών : 0 1 : 1 1 Χρθςιμοποιείται το test του Lenvene. Η μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται όταν Sig. < 0.05 Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means Time Equal variances assumed Equal variances not assumed F Sig. t df Sig. (-tailed),33,57,799 18,435,799 17,493,435 Παρατηροφμε ότι Sig. = 0.57 > 0.05, και η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί. Επομζνωσ, δεχόμαςτε ότι υπάρχει ιςότητα των διαςπορών. ( 3 ) Ζλεγχοσ για τθ διαφορά των μζςων τιμών : 0 1 : 1 1 Η μθδενικι υπόκεςθ απορρίπτεται όταν Sig. (-tailed) < 0.05 Υπολογίηονται δφο ςτατιςτικά, για τθν περίπτωςθ που οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν είναι ίςεσ (Equal variances assumed) και για τθν περίπτωςθ που οι διαςπορζσ είναι ίςεσ (Equal variances not assumed). Στη γραμμή «Equal variances assumed» βλζπουμε ότι Sig.(-tailed = 0.435 > 0.05), και η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ χρόνοσ επίλυςθσ του προβλιματοσ δεν είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικόσ ανάμεςα ςτα αγόρια και τα κορίτςια. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 9 Παράδειγμα 4 Ζνασ ερευνθτισ, κζλθςε να ελζγξει εάν θ τιμι πϊλθςθσ ενόσ ςυγκεκριμζνου τηιν παντελονιοφ είναι διαφορετικι ανάμεςα ςτισ τουριςτικζσ και ςτισ μθ τουριςτικζσ περιοχζσ. Για το ςκοπό αυτό πιρεσ τυχαία δείγματα 10 παρατθριςεων από κάκε περιοχι. Ραρακάτω βλζπετε τα αποτελζςματα τθσ επεξεργαςίασ των δεδομζνων. Τι είδουσ ζλεγχο διεξιγαγε και ποιό ιταν το ςυμπζραςμα; Δίνονται Price: Η τιμι πϊλθςθσ του παντελονιοφ Area 1: Τουριςτικζσ περιοχζσ Area : Μθ τουριςτικζσ περιοχζσ Group Statistics Area N Mean Std. Deviation Std. Error Mean Price 1 10 104,30940,73030 10 99,7 4,1769 1,33375 Tests of Normality Area Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Price 1,107 10,00 *,953 10,705,134 10,00 *,949 10,660 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means Price Equal variances assumed Equal variances not assumed F Sig. t df Sig. (-tailed) 3,487,048,88 18,011,88 13,95,013 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
10 φγκριςθ Πλθκυςμών Λφςθ Τα δείγματα είναι μικρά, οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν είναι άγνωςτεσ και δεν γνωρίηουμε εάν οι πλθκυςμοί είναι Κανονικοί. Επομζνωσ, χρθςιμοποιικθκε t test για τον ζλεγχο τθσ διαφοράσ των μζςων τιμϊν. (1) Ζλεγχοσ για τθν Κανονικότθτα των πλθκυςμών 0 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό 1 : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Τα δείγματα είναι μικρά, επομζνωσ χρθςιμοποιείται ο ζλεγχοσ Shapiro Wilk Για τισ Τουριςτικζσ Περιοχζσ (Area = 1) ιςχφει ότι Sig. = 0.705 > 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Για τισ μη Τουριςτικζσ Περιοχζσ (Area = ) ιςχφει ότι Sig. = 0.660 > 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Κακϊσ και οι δφο πλθκυςμοί είναι Κανονικοί, μποροφμε να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου. () Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών Χρθςιμοποιείται το test του Lenvene. 0 : Διαςπορζσ ίςεσ 1 : Διαςπορζσ άνιςεσ Sig. = 0.048 < 0.05, και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. Επομζνωσ θεωροφμε ότι οι διαςπορζσ ςτουσ δφο πληθυςμοφσ είναι άνιςεσ. (3) Ζλεγχοσ για τθ διαφορά των μζςων τιμών (Equal variances not assumed) 0 : 1 1 : 1 Ιςχφει ότι Sig.(-tailed = 0.013 < 0.05), και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι θ μζςθ τιμι πϊλθςθσ του παντελονιοφ είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικι ανάμεςα ςτισ τουριςτικζσ και μθ τουριςτικζσ περιοχζσ. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 11 Παράδειγμα 5 (Amir Aczel Jayavel Sounerpandian) «Για να αναπτυχκοφν νζεσ εταιρικζσ ςτρατθγικζσ απαιτοφνται χρόνια. Ζθτείται θ ςφγκριςθ μεκόδων για τθ διευκόλυνςθ τθσ ανάπτυξθσ νζων ςτρατθγικϊν που βαςίηονται ςε ςυναντιςεισ ςτελεχϊν. Η μία μζκοδοσ απομονϊνει τα ςτελζχθ για δφο θμζρεσ ςε ζνα πολυτελζσ ξενοδοχείο και θ άλλθ προτείνει τθ ςυμμετοχι των ςτελεχϊν ςε μία ςειρά από ανεπίςθμα γεφματα ςε χϊρουσ τθσ εταιρείασ. Τα δεδομζνα που παρουςιάηονται ςτθ ςυνζχεια είναι τα αποτελζςματα δφο ανεξάρτθτων τυχαίων δειγμάτων επιχειριςεων που ακολουκοφν μία από αυτζσ τισ μεκόδουσ. Τα δεδομζνα είναι ο αρικμόσ των μθνϊν που πζραςαν από τθ ςτιγμι που προτάκθκε μια ιδζα μζχρι τθ ςτιγμι που εφαρμόςτθκε, για κάκε εταιρεία.» Ραρακάτω βλζπετε τα αποτελζςματα του ελζγχου για τθ διαφορά των μζςων τιμϊν μεταξφ των δφο μεκόδων, που προζκυψαν με τθ χριςθ του ςτατιςτικοφ πακζτου SPSS. Τι είδοσ ελζγχου ζγινε και ποιο είναι το ςυμπζραςμα; Δίνονται Time: Ο χρόνοσ που μεςολαβεί από τθν πρόταςθ μιασ ιδζα μζχρι τθν υλοποίθςι τθσ (ςε μινεσ) Treatment 1: Απομόνωςθ ςε Ξενοδοχείο Treatment : Ανεπίςθμα Γεφματα ςτουσ χϊρουσ τθσ Εταιρείασ Group Statistics Treatment N Mean Std. Deviation Std. Error Mean Time 1 15 19,93 7,166 1,850 15 10,60 4,03 1,041 Tests of Normality Treatment Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. 1,15 15,00 *,955 15,599 Time,108 15,00 *,977 15,94 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
1 φγκριςθ Πλθκυςμών Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means Price Equal variances assumed Equal variances not assumed F Sig. t df Sig. (-tailed) 3,314,079 4,396 8,000 4,396,057,000 Λφςθ Τα δείγματα είναι μικρά, οι διαςπορζσ των πλθκυςμϊν είναι άγνωςτεσ και δεν γνωρίηουμε εάν οι πλθκυςμοί είναι Κανονικοί. Επομζνωσ, χρθςιμοποιείται t test για τον ζλεγχο τθσ διαφοράσ των μζςων τιμϊν. ( 1 ) Ζλεγχοσ για τθν Κανονικότθτα των πλθκυςμών 0 1 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Τα δείγματα είναι μικρά, επομζνωσ χρθςιμοποιείται ο ζλεγχοσ Shapiro Wilk Για την περίπτωςη τησ απομόνωςησ ςε ξενοδοχείο (Treatment = 1) ιςχφει ότι Sig. = 0.599 > 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Για την περίπτωςη των ανεπίςημων γεμάτων ςτουσ χώρουσ τησ Εταιρείασ (Treatment = ) ιςχφει ότι Sig. = 0.94> 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Κακϊσ και οι δφο πλθκυςμοί είναι Κανονικοί, μποροφμε να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου. ( ) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών Χρθςιμοποιείται το test του Lenvene. 0 1 : Διαςπορζσ ίςεσ : Διαςπορζσ άνιςεσ Sig. = 0.079 > 0.05, και η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί. Επομζνωσ θεωροφμε ότι οι διαςπορζσ ςτουσ δφο πληθυςμοφσ είναι ίςεσ. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 13 ( 3 ) Ζλεγχοσ για τθ διαφορά των μζςων τιμών (Equal variances assumed) : 0 1 : 1 1 Ιςχφει ότι Sig.(-tailed = 0.000 < 0.05), και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι ο μζςοσ αρικμόσ των μθνϊν που περνά από τθ ςτιγμι που προτείνεται μια ιδζα μζχρι τθ ςτιγμι που εφαρμόηεται είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικόσ ανάμεςα ςτισ δφο μεκόδουσ.. Ζλεγχοι Τποκζςεων για τθ Διαφορά των μζςων τιμών δφο Πλθκυςμών Ηευγαρωτζσ Παρατθριςεισ Μια ειδικι περίπτωςθ του t test, παρουςιάηεται όταν οι παρατθριςεισ των δφο πλθκυςμϊν που μασ ενδιαφζρουν ςυλλζγονται κατά ηεφγθ. Για παράδειγμα, ζνα πολυκατάςτθμα κζλει να ελζγξει εάν μια νζα κάρτα bonus για τισ αγορζσ προϊόντων που κζλει να προωκιςει ςτουσ πελάτεσ οδθγεί ςε αφξθςθ των πωλιςεων. Λογικά, κα μποροφςε να διεξάγει ζναν ζλεγχο για τθ διαφορά των μζςων αγορϊν ανάμεςα ςε κατόχουσ τθσ νζασ κάρτασ και ςε κατόχουσ τθσ παλιάσ κάρτασ. Πμωσ, το ςυμπζραςμα δεν κα είναι αξιόπιςτο, κακϊσ δεν λαμβάνει υπόψθ τουσ εξωγενείσ παράγοντεσ που επθρεάηουν τθ ςυμπεριφορά των καταναλωτϊν, όπωσ, για παράδειγμα το ειςόδθμα των καταναλωτϊν, το πλικοσ των μελϊν τθσ οικογζνειασ, κ.α. Στισ περιπτϊςεισ που κζλουμε να αφαιρζςουμε τθν επίδραςθ των εξωγενϊν παραγόντων, προχωράμε ςε ζλεγχο χρθςιμοποιϊντασ ηευγαρωτζσ παρατθριςεισ, ωσ εξισ. Επιλζγονται τυχαία 10 πελάτεσ του πολυκαταςτιματοσ που ζχουν ςτθν κατοχι τουσ τθν παλιά κάρτα bonus και καταγράφεται το ποςό των χρθμάτων που δαπανοφν κατά τθν περίοδο των Χειμερινϊν εκπτϊςεων. Στθ ςυνζχεια, δίνεται ςτα άτομα αυτά θ νζα κάρτα bonus και καταγράφεται το ποςό που δαπανοφν κατά τθν περίοδο των Χειμερινϊν εκπτϊςεων, τθν επόμενθ χρονιά. Με τον τρόπο αυτό, δθμιουργοφνται δφο πλθκυςμοί: ( ) Ρελάτεσ που κάνουν χριςθ τθσ νζασ κάρτασ και ( ) Ρελάτεσ που κάνουν χριςθ τθσ παλιάσ κάρτασ. Αυτοί όμωσ οι δφο πλθκυςμοί δεν είναι ανεξάρτθτοι και, επιπλζον, οι παρατθριςεισ «ηευγαρϊνονται» δίνοντάσ μασ τθ δυνατότθτα να καταγράψουμε τισ διαφορζσ που εμφανίηει θ μεταβλθτι μασ (δαπάνθ για αγορά προϊόντων από το πολυκατάςτθμα) με ι χωρίσ τθ νζα κάρτα για τα Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
14 φγκριςθ Πλθκυςμών ίδια άτομα. Με τον τρόπο αυτό θ επίδραςθ των εξωγενϊν παραγόντων μειϊνεται ςθμαντικά. Βζβαια, και εδϊ κάνουμε κάποιεσ παραδοχζσ όπωσ, για παράδειγμα, ότι τα άτομα που μετζχουνε ςτθν ζρευνα δεν ζχουν ςθμαντικζσ αλλαγζσ ςτο ειςόδθμά τουσ μετά από ζνα χρόνο. Ζςτω, x, x, x, x,, x, x 11 1 1 1n n ζνα ςφνολο n ηευγαρωτϊν παρατθριςεων, για τισ οποίεσ υποκζτουμε ότι προζρχονται από δφο πλθκυςμοφσ με μζςεσ τιμζσ 1, και διακυμάνςεισ, 1. Ορίηουμε τθ διαφορά μεταξφ των παρατθριςεων κάκε ηεφγουσ ωσ D x x, j,,..., n j 1j j 1 Με τθν προχπόκεςθ ότι οι διαφορζσ D j, ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι με μζςο D 1 και διαςπορά D, ο ζλεγχοσ για τθ διαφορά των μζςων τιμϊν 1 και των δφο πλθκυςμϊν, διεξάγεται εφαρμόηοντασ ζλεγχο για τθ μζςθ τιμι ενόσ πλθκυςμοφ πάνω ςτθν παράμετρο D, ωσ εξισ: Ο ζλεγχοσ : 0 1 : 1 1 διεξάγεται από τον ζλεγχο 0 1 : 0 D : 0 D Ο ζλεγχοσ : 0 1 : 1 1 διεξάγεται από τον ζλεγχο 0 1 : 0 D : 0 D Ο ζλεγχοσ : 0 1 : 1 1 διεξάγεται από τον ζλεγχο 0 1 : 0 D : 0 D Το ςτατιςτικό του ελζγχου είναι το t D s όπου D, ο δειγματικόσ μζςοσ των n διαφορϊν, και s D θ δειγματικι τυπικι απόκλιςθ των διαφορϊν. D n Οι κριτικζσ τιμζσ είναι και t ; n1 για τον αμφίπλευρο ζλεγχο t ; n 1 για τουσ μονόπλευρουσ ελζγχουσ. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 15 Παράδειγμα 6 (Λφςθ με τθ χριςθ του ςτατιςτικοφ πακζτου SPSS) Ραρακάτω βλζπουμε τισ αγορζσ που ζχουν κάνει τα 10 άτομα, με τθ χριςθ τθσ νζασ (NEW) και τθσ παλιάσ (OLD) κάρτασ, και τον πίνακα των ςτατιςτικϊν. NEW 40 340 450 0 150 30 310 450 430 00 OLD 400 350 340 180 170 50 300 350 380 180 DIF. 0-10 110 40-0 70 10 100 50 0 ( α ) Ζλεγχοσ για τθν Κανονικότθτα των Πλθκυςμών Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. NEW,196 10,00 *,904 10,40 OLD,14 10,00 *,877 10,119 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. 0 1 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Τα δείγματα είναι μικρά, επομζνωσ χρθςιμοποιείται ο ζλεγχοσ Shapiro Wilk Για την περίπτωςη χρήςησ τησ νζασ κάρτασ (NEW) ιςχφει ότι Sig. = 0.40 > 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Για την περίπτωςη χρήςησ τησ παλιάσ κάρτασ (OLD) ιςχφει ότι Sig. = 0.119 > 0.05. Επομζνωσ, η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί και η Κατανομή του πληθυςμοφ μπορεί να θεωρηθεί Κανονική. Κακϊσ και οι δφο πλθκυςμοί είναι Κανονικοί, μποροφμε να προχωριςουμε ςτθ διαδικαςία του ελζγχου. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
16 φγκριςθ Πλθκυςμών ( β ) Αποτελζςματα για το ηευγαρωτό t - test Paired Samples Statistics Mean N Std. Deviation Std. Error Mean Pair 1 NEW 39,0000 10 109,99495 34,78346 OLD 90,0000 10 88,31761 7,9848 Στον πίνακα των ςτατιςτικϊν. παρατθροφμε ότι το μζςο φψοσ των αγορϊν με τθ χριςθ τθσ νζασ κάρτασ είναι 39, ενϊ με θ χριςθ τθσ παλιάσ είναι 90. Για να μπορζςουμε να ςυνεχίςουμε τον ζλεγχο, κα πρζπει ο ςυντελεςτισ ςυςχζτιςθσ ανάμεςα ςτισ δφο μεταβλθτζσ να είναι κετικόσ και υψθλόσ (άνω του 0.4) Paired Samples Correlations N Correlation Sig. Pair 1 NEW & OLD 10,95,000 Ραρατθροφμε τον ιδιαίτερο υψθλό ςυντελεςτι ςυςχζτιςθσ 0,95. Επομζνωσ, μποροφμε να ςυνεχίςουμε ςτον ζλεγχο για τθν διαφορά των μζςων τιμϊν. : 0 1 : 1 1 Paired Samples Test Paired Differences 95% Confidence Interval of Std. Error the Difference Mean Std. Deviation Mean Lower Upper t df Sig. (-tailed) Pair 1 NEW - OLD 39,00000 43,83048 13,8604 7,64556 70,35444,814 9,00 Ιςχφει ότι Sig.(-tailed = 0.00 < 0.05), και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι το μζςο φψοσ αγορϊν είναι, ςτατιςτικά, ςθμαντικά διαφορετικό ανάμεςα ςτθ χριςθ των δφο καρτϊν. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 17 3. Ανάλυςθ Διαςποράσ με ζναν Παράγοντα (One way Analysis of Variance) Η ανάλυςθ τθσ διαςποράσ μασ επιτρζπει να διερευνιςουμε τισ διαφορζσ τω ν μζςω όρων ςε περιςςότερουσ από δφο πλθκυςμοφσ. Οι υποκζςεισ είναι : Δεν υπάρχει διαφορά ανάμεςα ςτουσ μζςουσ ( ) 1 0 1 : Δεν είναι όλοι πλθκυςμιακοί μζςοι ίςοι μεταξφ τουσ n Ρροχπόκεςθ για τθν εφαρμογι τθσ μεκόδου είναι οι πλθκυςμοί να ακολουκοφν τθν Κανονικι Κατανομι και να ζχουν ίςεσ διαςπορζσ. Για παράδειγμα Μια εταιρεία προϊκθςθσ προϊόντων εφιρμοςε τρεισ διαφορετικζσ ςτρατθγικζσ για τθν προϊκθςθ ενόσ προϊόντοσ, ςε τρεισ διαφορετικζσ μεγάλεσ αλυςίδεσ Super Market και κατζγραψε τισ πωλιςεισ (ςε ) για ζξι θμζρεσ. Α ΣΤΑΤΗΓΙΚΗ Β ΣΤΑΤΗΓΙΚΗ Γ ΣΤΑΤΗΓΙΚΗ 450 490 460 490 480 360 510 460 380 460 450 400 450 390 40 400 430 380 Ρροφανϊσ, κζλει να ελζγξει αν οι μζςεσ πωλιςεισ διαφζρουν. Δθλαδι, 0 : 1 3 1 : Δεν είναι όλα τα j ίςα μεταξφ τουσ, j 1,, 3 Στθν ανάλυςθ τθσ διαςποράσ οι πλθκυςμοί κεωροφνται ωσ τα διαφορετικά επίπεδα (ι ςτάκμεσ ι κεραπείεσ ι ομάδεσ) μιασ κατθγορικισ μεταβλθτισ. Ροιο ςυγκεκριμζνα: Ζχουμε μία εξαρτθμζνθ ποςοτικι μεταβλθτι (εδϊ είναι οι πωλιςεισ του προϊόντοσ) και μία κατθγορικι μεταβλθτι X θ οποία ονομάηεται παράγοντασ και ζχει k επίπεδα (εδϊ είναι θ «ςτρατθγικι» και ζχει 3 επίπεδα) Στόχοσ τθσ ανάλυςθσ τθσ διακφμανςθσ είναι να ελζγξει αν θ μζςθ τιμι τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ είναι διαφορετικι ςτα k επίπεδα τθσ κατθγορικισ μεταβλθτισ. Αυτό το πετυχαίνει βρίςκοντασ κατά πόςο τα k επίπεδα τθσ κατθγορικισ μεταβλθτισ Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
18 φγκριςθ Πλθκυςμών «ευκφνονται» για τθ μεταβλθτότθτα των τιμϊν τθσ εξαρτθμζνθσ μεταβλθτισ και, ςυνεπϊσ, κατά πόςο τθν «ερμθνεφουν». Η υνολικι Μεταβλθτότθτα (Total Variation) SST διαμερίηεται ςε δφο ςυνιςτϊςεσ: Μεταβλθτότθτα Μεταξφ των Ομάδων (Between Groups Variation) SSB Μεταβλθτότθτα Εντόσ των Ομάδων (Within Groups Variation) SSW SST SSB SSW Η Μεταξφ των Ομάδων μεταβλθτότθτα οφείλεται ςτισ διαφορζσ μεταξφ των επιπζδων τθσ κατθγορικισ μεταβλθτισ. Η Εντόσ των Ομάδων μεταβλθτότθτα οφείλεται ςε τυχαία ςφάλματα. Μεγάλθ SSB ςθμαίνει ότι μεγάλο μζροσ τθσ ςυνολικισ μεταβλθτότθτασ τθσ οφείλεται ςτισ κατθγορίεσ του παράγοντα X, και επομζνωσ οι κατθγορίεσ είναι ςθμαντικζσ. Ερμθνεφουν, δθλαδι, το μεγαλφτερο μζροσ τθσ μεταβλθτότθτασ τθσ. (Είναι θ περίπτωςθ κατά τθν οποία θ μθδενικι υπόκεςθ τθσ ιςότθτασ των μζςων τιμϊν απορρίπτεται.) Μεγάλθ SSW ςθμαίνει ότι μεγάλο μζροσ τθσ ςυνολικισ μεταβλθτότθτασ τθσ οφείλεται ςτα τυχαία ςφάλματα. Επομζνωσ, οι κατθγορίεσ του παράγοντα X δεν ζχουν καμία ςθμαςία. (Είναι θ περίπτωςθ κατά τθν οποία θ μθδενικι υπόκεςθ τθσ ιςότθτασ των μζςων τιμϊν δεν μπορεί να απορριφκεί. ΠΙΝΑΚΑ ANOVA ΠΘΓΘ ΜΕΣΑΒΛΘΣΟΣΘΣΑ ΑΘΡΟΙΜΑΣΑ ΣΕΣΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΣΑΞΤ ΣΩΝ ΟΜΑΔΩΝ SSB k 1 ΕΝΣΟ ΣΩΝ ΟΜΑΔΩΝ SSW n k ΤΝΟΛΟ SST n 1 β.ε. ΜΕΑ ΣΕΣΡΑΓΩΝΑ ΣΑΣΙΣΙΚΟ MSB MSB F MSB k 1 MSW MSW SSW n k Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 19 Ερμθνεία των Αποτελεςμάτων ( 1 ) Περιγραφικά τατιςτικά Descriptives SALES - ΠΩΛΘΕΙ 95% Confidence Interval for Mean Upper N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Bound Minimum Maximum 1 6 460,0000 37,94733 15,49193 40,1767 499,833 400,00 510,00 6 450,0000 36,33180 14,8340 411,871 488,179 390,00 490,00 3 6 400,0000 35,77709 14,60593 36,454 437,5458 360,00 460,00 Total 18 436,6667 43,79095 10,3163 414,8899 458,4434 360,00 510,00 Στον πίνακα Descriptives, βλζπουμε τα ςτατιςτικά για τθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι SALES (ΡΩΛΗΣΕΙΣ), ςε κακζνα από τα επίπεδα του παράγοντα (ΣΤΑΤΗΓΙΚΗ). Ραρατθροφμε ότι από τισ τρεισ ςτρατθγικζσ, ςτθν 1 θ παρουςιάηει το μεγαλφτερο μζςο φψοσ μζςων πωλιςεων, και ςτθν 3 θ το χαμθλότερο. Ενϊ ςτθν θ 3 θ ςτρατθγικι παρουςιάηει τθ μικρότερθ τυπικι απόκλιςθ και, ςυνεπϊσ, τθ μικρότερθ διαςπορά, ενϊ θ 1 θ ζχει τθ μεγαλφτερθ διαςπορά. ( ) Ζλεγχοι για τθν Κανονικότθτα των Πλθκυςμών Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk TREATMENT Statistic df Sig. Statistic df Sig. 1,9 6,00 *,953 6,765 SALES,167 6,00 *,951 6,746 3,1 6,00 *,933 6,607 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. 0 1 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
0 φγκριςθ Πλθκυςμών Τα μεγζκθ των δειγμάτων είναι μικρά, και επομζνωσ χρθςιμοποιοφμε το Shapiro Wilk. Και ςτισ τρεισ περιπτϊςεισ θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί (Sign. > 0.05). Επομζνωσ, για όλουσ τουσ πλθκυςμοφσ δεχόμαςτε ότι είναι Κανονικοί. (3) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών Test of Homogeneity of Variances SALES Levene Statistic df1,000 df Sig. 15 1,000 0 : Διαςπορζσ ίςεσ 1 : Διαςπορζσ άνιςεσ Sig. = 1.000 > 0.05, και η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί. Επομζνωσ θεωροφμε ότι οι διαςπορζσ ςτουσ πληθυςμοφσ είναι ίςεσ. (4) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των μζςων τιμών 0 : 1 3 1 : Δεν είναι όλα τα j ίςα μεταξφ τουσ, j 1,,3 ANOVA SALES Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 1400,000 600,000 4,604,08 Within Groups 000,000 15 1346,667 Total 3600,000 17 Ιςχφει ότι Sig. = 0.08 < 0.05, και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι για, τουλάχιςτον, δφο ςτρατθγικζσ οι μζςεσ πωλιςεισ του προϊόντοσ είναι διαφορετικζσ. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 1 ( 5 ) Εκ των υςτζρων ζλεγχοι (Post hoc tests) Η ανάλυςθ τθσ διαςποράσ μασ ζδειξε ότι υπάρχει ςτατιςτικά ςθμαντικι διαφορά μεταξφ των κατθγοριϊν. Δεν μασ δείχνει όμωσ ποιζσ κατθγορίεσ διαφοροποιοφνται μεταξφ τουσ. Για να ελζγξουμε ποιζσ κατθγορίεσ διαφοροποιοφνται προχωράμε ςτουσ εκ των υςτζρων ελζγχουσ, τα αποτελζςματα των οποίων παρουςιάηονται ςτον πίνακα Multiple Comparisons. Βλζπουμε τα αποτελζςματα για 3 από τισ post hoc μεκόδουσ: Tukey, Schefe και Bonferoni Dependent Variable:SALES Multiple Comparisons (I) (J) Mean Difference 95% Confidence Interval TREATMENT TREATMENT (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound Tukey HSD Scheffe Bonferroni 1 3 1 3 1 3 10,00000 1,18700,885-45,036 65,036 3 60,00000 * 1,18700,03 4,9674 115,036 1-10,00000 1,18700,885-65,036 45,036 3 50,00000 1,18700,078-5,036 105,036 1-60,00000 * 1,18700,03-115,036-4,9674-50,00000 1,18700,078-105,036 5,036 10,00000 1,18700,895-47,4970 67,4970 3 60,00000 * 1,18700,040,5030 117,4970 1-10,00000 1,18700,895-67,4970 47,4970 3 50,00000 1,18700,094-7,4970 107,4970 1-60,00000 * 1,18700,040-117,4970 -,5030-50,00000 1,18700,094-107,4970 7,4970 10,00000 1,18700 1,000-47,07 67,07 3 60,00000 * 1,18700,038,978 117,07 1-10,00000 1,18700 1,000-67,07 47,07 3 50,00000 1,18700,097-7,07 107,07 1-60,00000 * 1,18700,038-117,07 -,978-50,00000 1,18700,097-107,07 7,07 *. The mean difference is significant at the 0.05 level. Οι ζλεγχοι που διεξάγουμε είναι οι εξισ: 0 1 : i : i j j Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
φγκριςθ Πλθκυςμών Ζλεγχοσ Tuckey Scheffe Bonferroni Συμπζραςμα : 0 1 : 1 1 : 0 1 3 : 1 1 3 : 0 3 : 1 3 Sig. = 0.885 Sig. = 0.895 Sig. = 1.000 Sig. = 0.03* Sig. = 0.040* Sig. = 0.038* Sig. = 0.078 Sig. = 0.094 Sig. = 0.097 0 δεν απορρίπτεται ςε καμία από τισ 3 μεκόδουσ 0 απορρίπτεται και ςτισ 3 μεκόδουσ 0 δεν απορρίπτεται ςε καμία από τισ 3 μεκόδουσ Επομζνωσ, ςτατιςτικά ςθμαντικι διαφορά εμφανίηει μόνον θ 1θ με τθν 3θ ςτρατθγικι. ( 6 ) Simple Error Bar Στο γράφθμα αναπαριςτάνονται τα 95% διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ για κακζναν από τουσ μζςουσ όρουσ. Τα διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ για τισ δφο πρϊτεσ ςτρατθγικζσ εμφανίηουν ςθμαντικι αλλθλοεπικάλυψθ, επιβεβαιϊνοντάσ μασ για άλλθ μια φορά ότι μεταξφ των δφο πρϊτων ςτρατθγικϊν δεν υπάρχει, ςτατιςτικά, ςθμαντικι διαφορά. Από τθν άλλθ, παρατθροφμε τθν μικρι αλλθλοεπικάλυψθ του διαςτιματοσ εμπιςτοςφνθσ τθσ 3 θσ ςτρατθγικισ με τα διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ των άλλων δφο. Ο ζλεγχοσ απζδωςε ςτατιςτικά ςθμαντικι διαφορά μόνον ανάμεςα ςτθν 1 θ και τθν 3 θ ςτρατθγικι, όμωσ, κοιτάηοντασ το διάγραμμα κα μποροφςαμε να ποφμε ότι και ανάμεςα ςτθ θ και τθν 3 θ θ διαφορά είναι αξιοςθμείωτθ. Ωσ προσ τθν επιλογι τθσ καλφτερθσ ςτρατθγικισ, είναι προφανζσ ότι δεν μπορεί να είναι θ 3 θ, για τθν οποία το μζςο φψοσ των πωλιςεων είναι αρκετά μικρότερο ςε ςχζςθ με τισ άλλεσ δφο. Ανάμεςα ςτθν 1 θ και τθ θ, κακϊσ οι μζςεσ τιμζσ τουσ δεν είναι ςτατιςτικά ςθμαντικά διαφορετικζσ κα μποροφςαμε να επιλζξουμε οποιαδιποτε, ίςωσ με μία μικρι προτίμθςθ ςτθ δεφτερθ που ζχει ελαφρϊσ μικρότερο διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 3 Παράδειγμα 6 Μεταβλθτζσ που χρθςιμοποιικθκαν SCORE: Θ βακμολογία από τα άτομα που ςυμμετείχαν ςτθν ζρευνα METHOD: Διαφθμιςτικι Εκςτρατεία Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
4 φγκριςθ Πλθκυςμών Λφςθ ( 1 ) Περιγραφικά τατιςτικά Descriptives SCORE 95% Confidence Interval for Mean N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound Minimum Maximum 1 6 18,00 1,789,730 16,1 19,88 15 0 6 17,67 1,966,803 15,60 19,73 16 1 3 6 11,33 3,445 1,406 7,7 14,95 7 15 4 6 9,00 3,033 1,38 5,8 1,18 5 13 5 6 15,33 3,077 1,56 1,10 18,56 1 19 Total 30 14,7 4,417,806 1,6 15,9 5 1 Τθν υψθλότερθ μζςθ βακμολογία πετυχαίνουν οι 1 θ και θ θ διαφθμιςτικι εκςτρατεία, ενϊ τθ χαμθλότερθ μζςθ βακμολογία θ 4 θ. Είναι επίςθσ αξιοςθμείωτο ότι θ 1 θ και θ θ διαφθμιςτικι εκςτρατεία όχι μόνον παρουςιάηουν τθν υψθλότερθ μζςθ βακμολογία, αλλά εμφανίηουν και τθ μικρότερθ τυπικι απόκλιςθ, και επομζνωσ τθ μικρότερθ διαςπορά, ςε ςχζςθ με τισ υπόλοιπεσ. Ραρατθροφνται επίςθσ διαφορζσ ανάμεςα ςτισ μζςεσ βακμολογίεσ. ( ) Ζλεγχοι για τθν Κανονικότθτα των Πλθκυςμών Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk METHOD Statistic df Sig. Statistic df Sig. SCORE 1,1 6,00 *,933 6,607,99 6,100,851 6,161 3,81 6,15,869 6,3 4,17 6,00 *,957 6,798 5,06 6,00 *,879 6,64 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. 0 1 : Τα δεδομζνα προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό : Τα δεδομζνα ΔΕΝ προζρχονται από Κανονικό Ρλθκυςμό Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 5 Τα μεγζκθ των δειγμάτων είναι μικρά, και επομζνωσ χρθςιμοποιοφμε το Shapiro Wilk. Σε όλεσ τισ περιπτϊςεισ θ μθδενικι υπόκεςθ δεν μπορεί να απορριφκεί (Sig. > 0.05). Επομζνωσ, για όλουσ τουσ πλθκυςμοφσ δεχόμαςτε ότι είναι Κανονικοί. (3) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών Test of Homogeneity of Variances SCORE Levene Statistic df1 df Sig.,84 4 5,089 0 : Διαςπορζσ ίςεσ 1 : Διαςπορζσ άνιςεσ Sig. = 0.089 > 0.05, και η μηδενική υπόθεςη δεν μπορεί να απορριφθεί. Επομζνωσ θεωροφμε ότι οι διαςπορζσ ςτουσ πληθυςμοφσ είναι ίςεσ. (4) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των μζςων τιμών 0 : 1 3 4 5 1 : Δεν είναι όλα τα j ίςα μεταξφ τουσ, j 1,,3, 4,5 ANOVA SCORE Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 377,867 4 94,467 1,56,000 Within Groups 188,000 5 7,50 Total 565,867 9 Ιςχφει ότι Sig. = 0.000 < 0.05, και η μηδενική υπόθεςη απορρίπτεται. υμπζραςμα Για επίπεδο ςθμαντικότθτασ, ςυμπεραίνουμε ότι για, τουλάχιςτον, δφο διαφθμιςτικζσ εκςτρατείεσ οι μζςεσ βακμολογίεσ είναι διαφορετικζσ. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
6 φγκριςθ Πλθκυςμών ( 5 ) Εκ των υςτζρων ζλεγχοι (Post hoc tests) Οι ζλεγχοι που διεξάγουμε είναι οι εξισ: 0 1 : i : i j j SCORE Bonferroni Multiple Comparisons (I) (J) Mean 95% Confidence Interval METHOD METHOD Difference (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound,333 1,583 1,000-4,54 5,1 1 3 6,667 * 1,583,003 1,79 11,54 4 9,000 * 1,583,000 4,13 13,87 5,667 1,583 1,000 -,1 7,54 1 -,333 1,583 1,000-5,1 4,54 3 6,333 * 1,583,005 1,46 11,1 4 8,667 * 1,583,000 3,79 13,54 5,333 1,583 1,000 -,54 7,1 1-6,667 * 1,583,003-11,54-1,79 3-6,333 * 1,583,005-11,1-1,46 4,333 1,583 1,000 -,54 7,1 5-4,000 1,583,18-8,87,87 1-9,000 * 1,583,000-13,87-4,13 4-8,667 * 1,583,000-13,54-3,79 3 -,333 1,583 1,000-7,1,54 5-6,333 * 1,583,005-11,1-1,46 1 -,667 1,583 1,000-7,54,1 5 -,333 1,583 1,000-7,1,54 3 4,000 1,583,18 -,87 8,87 4 6,333 * 1,583,005 1,46 11,1 *. The mean difference is significant at the 0.05 level. Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 7 Στατιςτικά ςθμαντικι διαφορά εμφανίηουν: Η διαφθμιςτικι εκςτρατεία 1 με τθ διαφθμιςτικι εκςτρατεία 3 (Sig. = 0.003 < 0.05) Η διαφθμιςτικι εκςτρατεία 1 με τθ διαφθμιςτικι εκςτρατεία 4 (Sig. = 0.000 < 0.05) Η διαφθμιςτικι εκςτρατεία με τθ διαφθμιςτικι εκςτρατεία 3 (Sig. = 0.005 < 0.05) Η διαφθμιςτικι εκςτρατεία με τθ διαφθμιςτικι εκςτρατεία 4 (Sig. = 0.000 < 0.05) Η διαφθμιςτικι εκςτρατεία 4 με τθ διαφθμιςτικι εκςτρατεία 5 (Sig. = 0.005 < 0.05) ( 6 ) Simple Error Bar Μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε το γράφθμα ωσ βοθκό για τθν επιλογι τθσ καλφτερθσ διαφθμιςτικισ εκςτρατείασ. Ρροφανϊσ αποκλείονται θ 3 θ και θ 4 θ, κακϊσ παρουςιάηουν χαμθλοφσ μζςουσ βακμολογίασ και μεγάλα διαςτιματα εμπιςτοςφνθσ. Για τθν 5 θ μζκοδο οι ζλεγχοι δεν ζδωςαν ςτατιςτικά ςθμαντικι διαφορά από τθν 1 θ και τθ θ. Πμωσ, θ παρατθροφμενθ μικρι διαφορά ςε ςυνδυαςμό με το μεγάλο εφροσ του διαςτιματοσ εμπιςτοςφνθσ τθν αποκλείει. Τζλοσ, θ 1 θ με τθ θ δεν εμφανίηουν διαφορζσ. Κακϊσ όμωσ θ 1 θ ζχει λίγο μεγαλφτερθ μζςθ βακμολογία και λίγο μικρότερο το διάςτθμα εμπιςτοςφνθσ φαίνεται να είναι προτιμότερθ. Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
8 φγκριςθ Πλθκυςμών Άςκθςθ Μεταβλθτζσ που χρθςιμοποιικθκαν DISTANCE: Θ απόςταςθ (ςε γιάρδεσ) που διανφει το μπαλάκι του γκολφ DESIGN_METHOD: Θ μζκοδοσ ςχεδιαςμοφ Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 9 Λφςθ ( 1 ) Περιγραφικά τατιςτικά Descriptives DISTANCE 95% Confidence Interval for Mean N Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound Minimum Maximum 1 10 06,6140,9051,743 04,9755 08,55 03,81 10,86 10 18,460 5,6147 1,7748 14,4471,4769 11,8 9,43 3 10 4,5630 5,86548 1,85483 0,3671 8,7589 13,00 34,30 4 10 9,00 3,81673 1,0696 6,917 31,753 1,53 35,45 Total 40 19,6653 9,61390 1,5009 16,5906,7399 03,81 35,45 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
30 φγκριςθ Πλθκυςμών ( ) Ζλεγχοι για τθν Κανονικότθτα των Πλθκυςμών Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk DESIGN_METHOD Statistic df Sig. Statistic df Sig. 1,176 10,00 *,931 10,461 DISTANCE,159 10,00 *,946 10,67 3,15 10,00 *,980 10,963 4,189 10,00 *,964 10,87 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. ( 3 ) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των διαςπορών Test of Homogeneity of Variances DISTANCE Levene Statistic df1 df Sig.,074 3 36,11 Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 31 ( 4 ) Ζλεγχοσ για τθν ιςότθτα των μζςων τιμών ANOVA DISTANCE Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 833,197 3 944,399 44,070,000 Within Groups 771,458 36 1,49 Total 3604,654 39 Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ
3 φγκριςθ Πλθκυςμών ( 5 ) Εκ των υςτζρων ζλεγχοι (Post hoc tests) Multiple Comparisons DISTANCE Tukey HSD (I) (J) Mean 95% Confidence Interval DESIGN_METHOD DESIGN_METHOD Difference (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound -11,84800 *,0704,000-17,436-6,74 1 3-17,94900 *,0704,000-3,546-1,3734 4 -,40800 *,0704,000-7,9836-16,834 1 11,84800 *,0704,000 6,74 17,436 3-6,10100 *,0704,07-11,6766 -,554 4-10,56000 *,0704,000-16,1356-4,9844 1 17,94900 *,0704,000 1,3734 3,546 3 6,10100 *,0704,07,554 11,6766 4-4,45900,0704,156-10,0346 1,1166 1,40800 *,0704,000 16,834 7,9836 4 10,56000 *,0704,000 4,9844 16,1356 *. The mean difference is significant at the 0.05 level. 3 4,45900,0704,156-1,1166 10,0346 Μαρίνα Σφρπθ
ANOVA 33 ( 6 ) Simple Error Bar Σθμειϊςεισ Στατιςτικισ