Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων

Transcript

1 Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων Θ ανάλυςθ κλειςτϊν δικτφων ςτθρίηεται ςτθ διατιρθςθ τθσ μάηασ και τθσ ενζργειασ. Σε ζνα τυπικό βρόχο ABCDA υπάρχει ζνασ αρικμόσ από κόμβουσ, εδϊ A,B,C,D, ςτουσ οποίουσ ιςχφει θ διατιρθςθ τθσ μάηασ: Σε κάθε κόμβο: Q in Q out Σε κάθε τζτοιο βρόχο ςυνολικά ιςχφει θ διατιρθςθ τθσ ενζργειασ: h h h h 0 fab fbd fcd fac όπου τα πρόςθμα αποδίδονται με βάςθ με ςυμβατική θετική φορά με τθν οποία διατρζχουμε τον κόμβο και τθ φορά τησ ροήσ ςτουσ αντίςτοιχουσ κλάδουσ. Σθμείωςθ: το υδραυλικό φψοσ μειϊνεται ςτθ φορά τθσ ροισ.

2 Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων Σε ζνα δίκτυο υπάρχουν γενικά Μ κόμβοι, Λ βρόχοι και Κ ψεφδο-βρόχοι (από δεξαμενι ςε δεξαμενι). Θ ςυνολικι διατιρθςθ τθσ μάηασ, που είναι δεδομζνθ, είναι ιςοδφναμθ με το άκροιςμα όλων των Μ εξιςϊςεων διατιρθςθσ μάηασ ςτουσ κόμβουσ, επομζνωσ μόνο Μ-1 από αυτζσ τισ εξιςϊςεισ είναι ανεξάρτθτεσ. Συνολικά υπάρχουν Μ+Λ+Κ-1 ανεξάρτθτεσ εξιςϊςεισ. Θ διατιρθςθ τθσ μάηασ επιβάλει ότι ουςιαςτικά μόνο μία μεταβλητή παροχήσ είναι ανεξάρτητη ςε κάθε βρόχο. Επομζνωσ ζχουμε Λ+Κ μεταβλθτζσ παροχισ που βρίςκονται από τισ Λ+Μ εξιςϊςεισ διατθριςθσ ενζργειασ. Ακολουκϊντασ τθ κετικι φορά του βρόχου, όταν διατρζχουμε το κάκε οριςμζνο κλάδο ςε αυτόν ςφμφωνα με φορά τθσ ροισ τότε θ παροχι είναι κετικι (Q>0) το υδραυλικό φψοσ μειϊνεται (δθλαδι ζχουμε κετικι απϊλεια, hf>0), ενϊ όταν τον διατρζχουμε αντίκετα από τθ ροι τότε θ παροχι είναι αρνθτικι (Q<0) το υδραυλικό φψοσ αυξάνεται (δθλαδι ζχουμε αρνθτικι απϊλεια, hf<0). Αυτά τα περιγράφουμε ςυμπαγϊσ με τθν ζκφραςθ hf RQ Q Οπότε θ διατιρθςθ τθσ ενζργειασ δίνεται απλά από τθ ςχζςθ hf 0 RQ Q 0 διατρζχοντασ κατά τθ κετικι φορά όλο το βρόχο.

3 Το ςετ των εξιςϊςεων RQ Q 0 Εξιςϊςεισ ΔQ για όλουσ τουσ κόμβουσ και βρόχουσ είναι οι Q-εξιςϊςεισ για τθ λφςθ του κλειςτοφ δικτφου. Το πρϊτο ςετ (των κόμβων) μπορεί να λθφκεί αυτόματα υπόψθ (όπωσ κα δοφμε) και μζνει να λφςουμε το ςετ των βρόχων (διατιρθςθ τθσ ενζργειασ). Υπάρχουν αντίςτοιχεσ εξιςϊςεισ όπου το πρόβλθμα διατυπϊνεται ωσ πρόσ τισ απϊλειεσ hf όπου το ςετ των βρόχων λαμβάνεται αυτόματα υπόψθ και οι μθ τετριμμζνεσ εξιςϊςεισ είναι αυτζσ των κόμβων, δθλαδι θ διατιρθςθ τθσ μάηασ. Αυτζσ είναι οι Θ-εξιςϊςεισ. Εδϊ κα περιοριςτοφμε ςτισ Q-εξιςϊςεισ. Αναγωγή των παροχϊν ενόσ βρόχου ςε μία ανεξάρτητη μεταβλητή παροχήσ Ασ πάρουμε ζνα παράδειγμα ενόσ βρόχου με γνωςτζσ παροχζσ ειςροισ (30L/s) και εκροισ (12L/s, 18L/s). Μποροφμε να υποκζςουμε κάποιεσ τιμζσ για τισ παροχζσ των κλάδων, 16L/s,4L/s, 14L/s, ςτουσ κλάδουσ 12,23,31, αντίςτοιχα. Αν τϊρα υποκζςουμε ότι ςτισ παροχζσ αυτζσ υπερτίκεται μία παροχι ΔQ που διατρζχει το βρόχο κατά μία οριςμζνη φορά (κατά ςφμβαςη θετική) τότε οι προκφπτουςεσ παροχζσ ικανοποιοφν αυτόματα τθ διατιρθςθ τθσ μάηασ.

4 Εξιςϊςεισ ΔQ Με αυτα τα δεδομζνα ζχουμε να λφςουμε μία εξίςωςθ διατιρθςθσ ενζργειασ ςτο βρόχο αυτό. Πρζπει να κυμόμαςτε ότι γενικά θ αντίςταςθ R του κάκε κλάδου είναι ςυνάρτθςθ τθσ παροχισ Q αυτοφ του κλάδου RQ ( ) 8 fl g D 2 5 όπου ο ςυντελεςτισ τριβισ f ο οποίοσ δίνεται κατά τα γνωςτά από τον τφπο Swamee-Jain εξαρτάται από τθν παροχι του κλάδου διαμζςου του αρικμοφ Reynolds (Re): f 0.25 VD 4Q, Re k D log Re 3.7D Δθλαδι, οι παροχζσ των κλάδων (μαηί με τα πρόςθμα τουσ) είναι Q12=+16L/s+ΔQ, Q23=+4L/s+ΔQ, Q31= 14L/s+ΔQ Το ΔQ είναι εξ οριςμοφ μικρότερο από όλεσ αυτζσ τισ παροχζσ ϊςτε να μθν αλλάηει το πρόςθμο που ζχουμε αποδϊςει.

5 Εξιςϊςεισ ΔQ Θ εξίςωςθ διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ γίνεται R( Q ) Q Q 0 που επίςθσ γράφεται και ςτθ μορφι 2 sign( Q) R( Q ) Q 0 Το πρόβλθμα αυτό μπορεί να λυκεί με iterations: Αν για κάθε κλάδο ονομάςουμε Q0 τθν αρχική (δοκιμαςτική) παροχή του και hf0 την αντίςτοιχη απϊλεια φψουσ ςτον κλάδο αυτό, μποροφμε να δείξουμε ότι h Q1 2 h f 0 Q f 0 0 Οπότε ςτο ςτάδιο αυτό θ παροχι κάθε κλάδου είναι Q1=Q0+ΔQ1 κρατϊντασ προςεχτικά τα πρόςημα. Από τα Q1 υπολογίηουμε τα αντίςτοιχα hf1. Από αυτά υπολογίηουμε τθν επόμενθ διόρκωςθ h Q2 2 h f 1 Q f 1 1 Οι διορκωμζνεσ παροχζσ κα είναι τϊρα Q2=Q1+ΔQ2.

6 Εξιςϊςεισ ΔQ - Εφαρμογή Συνεχίηοντασ ζτςι μποροφμε να υπολογίςουμε τισ παροχζσ και τισ απϊλειεσ πιεηομετρικοφ φψουσ. Σταματάμε όταν οι παροχζσ ςε L/s ςτακεροποιθκοφν ςε επίπεδο δεφτερου δεκαδικοφ, ι πιο πρόχειρα, όταν το ΔQ γίνει μικρότερο του 0.01 L/s (κατά απόλυτθ τιμι). Εφαρμογή Το πρόβλθμα που ξεκινιςαμε μπορεί να λυκεί ςυγκεκριμζνα να ςυμπλθρϊςουμε τα γεωμετρικά ςτοιχεία των αγωγϊν Data κλάδοσ L (m) ονομαςτικθ D (mm) και κακορίςουμε ςυντελεςτι τραχφτθτασ και κινθματικό ιξϊδεσ του νεροφ: ν=10-6 m 2 /s και k=0.1mm. Θ λφςθ υλοποιείται ςε Excel (eswteriko_udragwgeio.xls). Τα αποτελζςματα είναι: κλάδοσ hf (m) Q(L/s)

7 Δίνεται επίςθσ το φψουσ τθσ πιεηομετρικισ γραμμισ ςτον κόμβο 1 κακϊσ και τα υψόμετρα των τριϊν κόμβων. Data κόμβοσ υψόμετρο z (m) πιεηομετρικό φψοσ Ηθτοφνται τα πιεηομετρικά φψθ ςτουσ άλλουσ δφο κόμβουσ, και ο ζλεγχοσ επάρκειασ πίεςθσ ςτο δίκτυο αν ο οικιςμόσ τθσ περιοχισ αυτισ ζχει ωσ διϊροφα κτίρια. κόμβοσ υψόμετρο z (m) πιεηομετρικό φψοσ hf (m) φψοσ πίεςθσ κλάδοσ = = = = = Παρατθροφμε ότι το φψοσ πίεςθσ είναι απολφτωσ επαρκζσ για διϊροφεσ οικοδομζσ (>16m).

8 Eφαρμογή Πρόβλθμα δφο βρόχων. Θ τραχφτθτα των αγωγϊν και το ιξϊδεσ του νεροφ είναι ίδια με τθν προθγοφμενθ εφαρμογι. Τα γεωμετρικά ςτοιχεία των αγωγϊν δίνονται ςτον πίνακα (οι διάμετροι είναι πραγματικζσ). Στο διάγραμμα δίνονται και οι πρϊτεσ δοκιμαςτικζσ παροχζσ των αγωγϊν. Data κλάδοσ L (m) D (m) κλάδοσ L (m) D (m)

9 Το ηθτοφμενο είναι οι παροχζσ των κλάδων. Στισ δοκιμαςτικζσ παροχζσ των κλάδων υπερκζτουμε μια παροχι ΔQ για κάκε κλάδο, που τον διατρζχει κατά τθ κετικι του φορά (ουςιαςτικά, τθν ορίηει). ΔQ1 ΔQ2 ΔQ1 ΔQ1 ΔQ2 ΔQ2 ΔQ1 ΔQ2 Το δίκτυο λφνεται προςδιορίηοντασ τισ παροχζσ ΔQ1, ΔQ2. Ζχουμε μια εξίςωςθ διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ για κάκε βρόχο, επομζνωσ δφο εξιςϊςεισ. Οι βρόχοι που πιραμε είναι οι και Μία άλλθ ιςοδφναμθ επιλογι κα ιταν και , και επίςθσ και

10 Οι εξιςϊςεισ διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ παίρνουν τθ μορφι R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q όπου Q12=+17L/s+ΔQ1 Q25=+10L/s+ΔQ1 ΔQ2 Q56= 11L/s+ΔQ1 Q61= 18L/s+ΔQ1 Q23=+7L/s+ΔQ2 Q34=+40L/s+ΔQ2 Q45=+29L/s+ΔQ2 Q52= 10L/s ΔQ1+ΔQ2 Φυςικά Q52= Q25. Θ λφςθ του προβλιματοσ υλοποιείται ςε Excel (eswteriko_udragwgeio.xls) με τθ χριςθ Solver.

11 Το πρόβλθμα επίςθσ μπορεί να λυκεί με iterations. Σε κάκε βιμα τα δφο ΔQ είναι θ λφςθ του ςυςτιματοσ που προκφπτει εφαρμόηοντασ ςε κάκε ζνα από τουσ (δφο) βρόχουσ τον κανόνα hf hf h 2 f Qαυτου του βροχου 2 Qτου αλλου βροχου 0 Q Q του κοινου κλαδου Αυτι θ διαδικαςία υλοποιείται ςε Excel (eswteriko_udragwgeio.xls). Με οποιοδιποτε τρόπο και να το λφςουμε βρίςκουμε τθν εξισ απάντθςθ: κλάδοσ hf (m) Q (L/s) κλάδοσ hf (m) Q (L/s)

12 Εφαρμογή Να βρεκοφν οι παροχζσ ςτουσ κλάδουσ του δικτφου για το παρακάτω πρόβλθμα ν (m2/s) z1 (m) 100 k (m) z5 (m) 90 κλαδοσ L (m) D (m) κλαδοσ L (m) D (m)

13 Δφο δεξαμενζσ δημιουργοφν ζνα ψευδο-βρόχο, επομζνωσ ζχουμε δφο βρόχουσ ςτο πρόβλθμα αυτό. Αυτό ςθμαίνει δφο ανεξάρτθτεσ παροχζσ ΔQ1 και ΔQ2 που διατρζχουν τουσ δφο βρόχουσ: h h h z z h 23 h 34 h 42 0 f 12 f 24 f δθλαδι f f f R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q z z R ( Q ) Q R ( Q ) Q R ( Q ) Q Το προβλιμα αυτό λφνεται επίςθσ ςτο Excel (eswteriko_udragwgeio.xls) με τθ χριςθ Solver: κλαδοσ hf (m) Q (L/s) κλαδοσ hf (m) Q (L/s)

14 Θ διάλεξθ αυτι είναι ςτθριγμζνθ ςτισ ακόλουκεσ πθγζσ: Υδραυλικά ζργα, Γ. Τςακίρθσ (ed.), Σχεδιαςμόσ & Διαχείρθςθ, Εκδόςεισ Συμμετρία, Hydraulics of pipeline systems, B. E. Larock, R. W. Jeppson, G. Z. Watters, CRC Press, 2000.