Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2"

Μήδεια Μακρή
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 Δρ. Χρήζηος Ηλιούδης

2 Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Εφαρμογζσ (ςε οποιαδιποτε περίπτωςθ δεν χρειάηονται αρνθτικοί αρικμοί) Καταμζτρθςθ. Διευκυνςιοδότθςθ. 2

3 Μθ Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι Αν ο ακζραιοσ προσ αποκικευςθ είναι μεγαλφτεροσ από το μζγιςτο μθ προςθμαςμζνο τότε ζχουμε μια κατάςταςθ που ονομάηεται υπερχείλιςη Δεκαδικός Δέζμευζη 8 μπιη Δέζμευζη 16 μπιη Υπερχείλιζη Υπερχείλιζη Υπερχείλιζη Υπερχείλιζη Αποθήκεσζη μη προζημαζμένων ακεραίων ζε δύο διαθορεηικούς σπολογιζηές με δέζμεσζη 8 και 16 μπιη ανηίζηοιτα 3

4 Θζματα διάλεξησ Παράςταςθ πρόςθμο-μζγεκοσ Παράςταςθ ςυμπλιρωμα ωσ προσ 2 ι ΣΤ2 Παράςταςθ ςυμπλιρωμα ωσ προσ 1 ι ΣΤ1 4

5 παραςταςθ ςυνθκιςμζνοσ τρόποσ παραςταςθσ το ςφμβολο του πρόςθμου (+ ι - ) μπροςτά από το μζγεκοσ (απόλυτθ τιμι) του αρικμοφ. Η μζκοδοσ αυτι ονομάηεται πρόςημομζγεθοσ (αλγεβρικι μζκοδοσ). λογικά κυκλϊματα? Ανάγκθ για ευζλικτα ςυςτιματα παράςταςθσ. 5

6 ςυςτιματα παράςταςθσ Παράςταςθ πρόςθμο-μζγεκοσ Παράςταςθ ςυμπλιρωμα ωσ προσ 2 ι ΣΤ2 Παράςταςθ ςυμπλιρωμα ωσ προσ 1 ι ΣΤ1 6

7 ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ Στο ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ (Signed- Magnitude Representation), αν ο χϊροσ αποκικευςθσ ενόσ ακεραίου αρικμοφ ζχει μικοσ n bits, τότε θ παράςταςθ του χωρίηεται ςε δφο τμιματα. Πρόσημο Μέγεθος 0 1 n-1 7

8 ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ Το πρϊτο τμιμα αποτελείται από το bit 0 (κεςθ 0) και το δεφτερο τμιμα από τα bits 1 ζωσ n-1. (κεςεισ 1 ζωσ n-1) Το πρϊτο τμιμα περιζχει το πρόςημο του αρικμοφ και το δεφτερο το μζγεθοσ. Αν το πρόςθμο περιζχει το ψθφίο 0 τότε o αρικμόσ κα κεωρείται κετικόσ, αν περιζχει το 1 ο αρικμόσ κα κεωρείται αρνθτικόσ 8

9 Η αρίκμθςθ των bits γίνεται από αριςτερά προσ τα δεξιά. MSB βρίςκεται ςτθ κζςθ 1 LSB ςτθ κζςθ n-1. Το ςφςτθμα αυτό τθσ παράςταςθσ των αρνθτικϊν και κατ' επζκταςθ όλων των ακεραίων ονομάηεται πρόςημο-μζγεθοσ 9

10 Παραδείγματα Aν n = 8 τότε: = = = = = = O μζγιςτοσ ακζραιοσ είναι: = 2 7-1=128-1=127 10

11 Στθν παράςταςθ πρόςημο μζγεθοσ ςε ζναν υπολογιςτι με μικοσ κζςθσ n bits οι ακζραιοι αρικμοί περιζχονται μεταξφ των αρικμϊν -(2 n-1-1) και (2 n-1-1). ζνασ υπολογιςτισ με μικοσ κζςθσ n bits μπορεί, ςτο ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ, να κάνει πράξεισ μόνο με ακεραίουσ προςθμαςμζνουσ αρικμοφσ που περιλαμβάνονται ςτα παραπάνω όρια. 11

12 Ζχει ςθμαςία το μικοσ κζςθσ για τθν δυνατότθτα του υπολογιςτι. Στο ςφςτθμα αυτό μποροφν να κωδικοποιθκοφν 2 n -1 διαφορετικοί προςθμαςμζνοι ακζραιοι, από τουσ οποίουσ οι 2 n-1-1 είναι αρνθτικοί, οι 2 n-1-1 είναι κετικοί και υπάρχουν δφο παραςτάςεισ του μθδενόσ. 12

13 μικροχπολογιςτισ με επεξεργαςτι (ζχει μικοσ κζςθσ μνιμθσ 16 bits ) ο μεγαλφτεροσ προςθμαςμζνοσ ακζραιοσ πρζπει να είναι ο = επεξεργάηεται και μεγαλφτερουσ ακζραιουσ. τοποκετεί τουσ προςθμαςμζνουσ ακεραίουσ ςε δφο ςυνεχόμενεσ κζςεισ τθσ μνιμθσ. Αμζςωσ αυξάνεται το μζγεκοσ των αρικμϊν που μποροφμε ν' αποκθκεφςουμε, ςε βάροσ όμωσ τθσ χωρθτικότθτασ τθσ μνιμθσ. 13

14 αλγεβρικοί κανόνεσ Oι πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ και τθσ αφαίρεςθσ ακολουκοφν τουσ κλαςςικοφσ αλγεβρικοφσ κανόνεσ 14

15 Πρόςθεςη ΑN τα πρόςθμα είναι ίδια ΣΟΣΕ προςκζτουμε τα μεγζκθ και δίνουμε ςτο αποτζλεςμα το κοινό πρόςθμο. ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ αφαιροφμε το μικρότερο μζγεκοσ από το μεγαλφτερο και δίνουμε ςτο αποτζλεςμα το πρόςθμο του μεγαλφτερου. 15

16 Αφαίρεςη Αλλάηουμε το πρόςθμο του αφαιρετζου και κάνουμε πρόςκεςθ με τον αλγόρικμο πρόςκεςθσ. 16

17 Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2 ή Σ2 17

18 Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι ςε Μορφι Συμπλθρϊματοσ ωσ προσ Δφο Εφαρμογζσ Η αναπαράςταςθ ςυμπλθρϊματοσ ωσ προσ δφο αποτελεί τον τυπικό τρόπο αναπαράςταςθσ για τθν αποκικευςθ ακζραιων ςτουσ ςφγχρονουσ υπολογιςτζσ 18

19 Συμπλιρωμα μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ ωσ προσ βάςθ R Εςτω οτι ζχουμε ζναν υπολογιςτι με μικοσ κζςθσ n bits. 'Ένασ ακζραιοσ δυαδικόσ αρικμόσ Χ με n ψθφία παριςτάνεται από το διάνυςμα (Χ n-1 Χ n-2... Χ 0 ). Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ τθ βάςθ R του ςυςτιματοσ παράςταςθσ του Χ, ζναν ακζραιο αρικμό Χ' τζτοιον ϊςτε Χ + Χ' = R n. Aν R = 2 τότε X + X' = 2 n. Το Χ' ονομάηεται ςυμπλιρωμα ωσ προσ 2 (two's complement) του Χ. Το ςυμπλιρωμα του Χ ωσ προσ 2 κα το ςυμβολίηουμε με Σ2(Χ) 19

20 υπολογιςμόσ του Σ2(Χ) X + X' = 2 n ι Χ+Σ2(Χ)=2 n Σ2(Χ) = 2 n -Χ = ( ) - (Χ n-1 Χ n-2... Χ 0 ). n+1 όροι n όροι Σ2(Χ) = ( ) + ( ) - (Χ n-1 Χ n-2... Χ 0 ). n όροι nόροι Σ2(Χ) = (1-Χ n-1 1-Χ n X 0 ) + ( ) 20

21 Κανόνασ υπολογιςμοφ ςυμπλθρϊματοσ Σ2(Χ) = (1-Χ n-1 1-Χ n X 0 ) + ( ) Το ςυμπλιρωμα ωσ προσ 2 ενόσ δυαδικοφ αρικμοφ Χ, υπολογίηεται αν αντιςτρζψουμε ζνα προσ ζνα τα ψθφία του και προςκζςουμε τθ μονάδα (δυαδικι πρόςκεςθ). 21

22 παραδειγμα Αν n = 8 τότε : Χ = = Αντιςτροφι + 1 Πρόςκεςθ Σ2(17) = =

23 Σ2(127) Χ = = Σ2(127) = =

24 Σ2(99) Χ = = Σ2(99) = =

25 δεφτεροσ πρακτικόσ κανόνασ Αντιςτρζφουμε τα ψθφία ζνα προσ ζνα αρχίηοντασ από αριςτερά προσ τα δεξιά μζχρι να ςυναντιςουμε τθ δεξιότερθ μονάδα Χ = = Σ2(99) = =

26 φςτημα παράςταςησ Σ2 Οι μθ αρνθτικοί (κετικοί ι μθδζν) αρικμοί που είναι μικρότεροι ι ίςοι από 2 n-1-1 παριςτάνονται όπωσ ακριβϊσ ςτθν παράςταςθ πρόςθμο-μζγεκοσ. Οι αρνθτικοί αρικμοί από -2 n-1 μζχρι -1 ςυμπεριλαμβανομζνων παριςτάνονται με το ςυμπλιρωμα ωσ προσ 2 τθσ απολφτου τιμισ του Χ. αν κζλουμε ν' ανιχνεφςουμε τθν αρνθτικότθτα μιασ παράςταςθσ ςτο ΣΤ2 δεν ζχουμε παρά ν' ανιχνεφςουμε το MSB τθσ παράςταςθσ. Σε καμία περίπτωςθ όμωσ το ΜSB δεν μπορεί να κεωρθκεί πρόςθμο. 26

27 Παράςταςθ ςτο ΣΤ2 Στο ΣΤ2 οι ακζραιοι που μποροφν να παραςτακοφν ςε μια κζςθ των n bits πρζπει να βρίςκονται ςτο διάςτθμα (-2 n-1, 2 n-1-1) των ορίων ςυμπεριλαμβανομζνων. Στο ςφςτθμα αυτό μποροφν να κωδικοποιθκοφν 2 n διαφορετικοί προςθμαςμζνοι ακζραιοι, από τουσ οποίουσ οι 2 n-1 είναι αρνθτικοί, οι 2 n-1-1 είναι κετικοί και υπάρχει και μια παράςταςθ του μθδενόσ. 27

28 Παράδειγμα Να βρεκεί θ παράςταςθ του (-7) ςτο ΣΤ2 ςε υπολογιςτι με μικοσ κζςθσ 4 ψθφία. θ παράςταςθ του -7 ςτο ΣΤ2 για n=4 είναι : 7 = 0111 αντιςτροφι Σ2(-7) =

29 θ παράςταςθ του -7 ςτο ΣΤ2 είναι το Σ2(7) για n=8 7 = αντιςτροφι Σ2(-7) =

30 Παραςτάςεισ το 8 ςτο Σ2 n Παράσταση στο ΣΤ2 2 Δεν υπάρχει 3 Δεν υπάρχει

31 εφκολθ αρικμθτικι Χωρθτικότθτα μιασ κζςθσ μικουσ n bits Ονομάηουμε ζτςι το μζγιςτο πλικοσ των προςθμαςμζνων ακεραίων που μποροφν να παραςτακοφν με n bits. θ χωρθτικότθτα εξαρτάται και από το ςφςτθμα παράςταςθσ. O κρίςιμοσ παράγοντασ για τθν επιλογι του ενόσ ι του άλλου ςυςτιματοσ δεν είναι θ χωρθτικότθτα, αλλά θ "ευκολία" πραγματοποίθςθσ των αρικμθτικϊν πράξεων. Η "εφκολθ αρικμθτικι" είναι φανερό πωσ ζχει άμεςθ επίπτωςθ ςτθν πολυπλοκότθτα των λογικϊν κυκλωμάτων και κατ' επζκταςθ ςτο κόςτοσ του υπολογιςτι. 31

32 Παράςταςθ ςτο ΣΤ2 Στο ΣΤ2 οι ακζραιοι που μποροφν να παραςτακοφν ςε μια κζςθ των n bits πρζπει να βρίςκονται ςτο διάςτθμα (-2 n-1, 2 n-1-1) των ορίων ςυμπεριλαμβανομζνων. Στο ςφςτθμα αυτό μποροφν να κωδικοποιθκοφν 2 n διαφορετικοί προςθμαςμζνοι ακζραιοι, από τουσ οποίουσ οι 2 n-1 είναι αρνθτικοί, οι 2 n-1-1 είναι κετικοί και υπάρχει και μια παράςταςθ του μθδενόσ. 32

34 Κανόνασ πρόςθεςησ ςτο Σ2 Ακολουκοφμε τουσ κανόνεσ τθσ πρόςκεςθσ μθ προςθμαςμζνων δυαδικϊν Αρικμϊν και αγνοοφμε κάκε κρατοφμενο πζρα από το ΜSB. Εάν μια πράξθ πρόςκεςθσ παράγει ζνα αποτζλεςμα το οποίο είναι ζξω από τα όρια του ςυςτιματοσ παράςταςθσ τότε λζμε ότι ζχουμε υπερχείλιςη (Overflow). 34

35 υπερχείλιςη υπερχείλιςη είναι το φαινόμενο όπου αρικμοί n bits μετά τθν διαδικαςία μιασ πράξθσ δίνουν αποτζλεςμα που δεν παριςτάνεται με n bits. ςτθν πρόςκεςθ, αρικμοί με διαφορετικό πρόςθμο δεν παρουςιάηουν υπερχείλιςθ ενϊ αντίκετα αρικμοί με το ίδιο πρόςθμο παρουςιάηουν. 35

36 Παραδείγματα πρόςκεςθσ ςτο ΣΤ NO overflow NO overflow 36

37 NO overflow NO overflow 37

39 **overflow** **overflow** ΑΝ οι αρικμοί είναι ετερόςθμοι ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ ΑΝ το MSB του ενόσ προςκετζου είναι το ίδιο με το MSB του αποτελζςματοσ ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ υπάρχει υπερχείλιςθ 39

40 **overflow** **overflow* ΑΝ οι αρικμοί είναι ετερόςθμοι ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ ΑΝ το MSB του ενόσ προςκετζου είναι το ίδιο με το MSB του αποτελζςματοσ ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ υπάρχει υπερχείλιςθ 40

42 Kανόνασ υπερχείλιςησ για τη πρόςθεςη ΑΝ οι αρικμοί είναι ετερόςθμοι ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ ΑΝ το MSB του ενόσ προςκετζου είναι το ίδιο με το MSB του αποτελζςματοσ ΣΟΣΕ δεν υπάρχει υπερχείλιςθ ΔΙΑΦΟΡΕΣΙΚΑ υπάρχει υπερχείλιςθ 42

43 Κανόνασ αφαίρεςησ ςτο Σ2 Β0 : Αντιςτρζφουμε τα ψθφία του αφαιρετζου Β1 : Προςκζτουμε (πρόςκεςθ ςτο ΣΤ2) τον αρικμό που κα προκφψει από το βιμα 1 ςτον μειωτζο με αρχικό κρατοφμενο 1 αντί 0. 43

44 Παραδείγματα 1 αρχικό κρατοφμενο Αντιςτροφι NO overflow 44

45 1 αρχικό κρατοφμενο NO overflow 1 αρχικό κρατοφμενο NO overflow 1 αρχικό κρατοφμενο **overflow** 45

46 Ερωτιςεισ - ςυηιτθςθ

Σχετικά έγγραφα

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1 Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'