Μουσική και Μαθηματικά!!!



Σχετικά έγγραφα
ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

Μουσική και Μαθηματικά

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

Ο χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Ύψος Συχνότητα Ένταση Χροιά. Ο ήχος Ο ήχος είναι μια μορφή ενέργειας. Ιδιότητες του ήχου. Χαρακτηριστικά φωνής

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Κατασκευή- γραφή- έκταση

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΔΡΟΜΙΑ 2017 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Παρασκευή 27 Ιανουαρίου 2017 ΛΕΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμνασίου

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015

2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ

Μουσική Παιδαγωγική Θεωρία και Πράξη

«ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ»

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ. Ορισμός της θεωρίας Θεωρία είναι το μάθημα που μας διδάσκει το γράψιμο και το διάβασμα της μουσικής.

ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΤΑΞΗ: Β ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/06/0214

Η ιστορία του φωτός σαν παραμύθι

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

ΠΕΝΤΑΧΟΡΔΟ (Φ. ΤΙΦΑ) Τίτλος Διερεύνησης: Παράγοντες που επηρεάζουν το ύψος του ήχου. Σύντομη περιγραφή Διερεύνησης

Τα Μαθηματικά στο ρυθμό της μουσικής

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Τα μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα ήταν ο αυλός, με διαφορετικές μορφές, η λύρα, η άρπα, η φόρμιξ, η κιθάρα, αργότερα η ύδραυλις κλπ.

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Π Ρ Ο Τ Υ Π Ο Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Κ Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Υ Π Α Τ Ρ Ω Ν. Μουσικά όργανα. Η καθ ημάς Μικρά Ασία

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ. ΤΟΥ 46 ου ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΜΑ: «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΝΩΣΗ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Επιμέλεια : Πάνου Εμμανουήλ ( )

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ ( )

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΑΡΙΘΜΟΙ ΩΣ ΤΟ 100

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 12: Ο ήχος, τα ηχητικά φαινόμενα και οι σχετικές ιδέες των μαθητών

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;

Φυσική για Μηχανικούς

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Το Βιολί. Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη. Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 2

ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΟΥΣΙΚΗ ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΚΑΙ ΓΝΩΣΗ»

Ο ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΤΕΧΝΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑ ΜΑΝΕΝΤΗ ΖΩΗ ΑΝΤΩΝΑΤΟΥ ΑΣΠΑ ΔΡΟΓΓΙΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΠΙΔΑ

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # (α) Ένα µικρό σώµα πηγαινοέρχεται γλιστρώντας στο κατώτερο µέρος ενός κυλινδρικού αυλακιού ακτίνας R. Ποια είναι η περίοδος

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης /11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

B τάξη Γυμνασίου : : και 4 :

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015


Εισαγωγή στη μουσική. Μουσικοκινητική Αγωγή. Α εξάμηνο Θεωρία 3. ΝΟΤΕΣ. 1. Μουσική 2. Μελωδία 3. Νότες 4. Ρυθμός

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

Ιστορία των Μαθηματικών

ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ # 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια Εισαγωγικό σημείωμα

Transcript:

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου, ενός χαρακτήρα, όπως είναι το ύψος, ή ένταση, ή πυκνότητα, όπως είναι ο βαθμός αταξίας. Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπορία απέναντι στη μαθηματική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι, για παράδειγμα, συσχέτιζαν το ύψος με το μήκος των χορδών. Για να βρούνε, ας πούμε, το διάστημα της ογδόης, έπρεπε να διαιρέσουν τη χορδή στα τέσσερα. Είναι διαίρεση με το δύο - πρόκειται για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Ι. Ξενάκης, Έλληνας μουσικός και μαθηματικός.

Ιστορική αναδρομή - Πυθαγόρας Αρχαία ελληνικά μουσικά όργανα Αρμονία, φιλοσοφία & μαθηματικά

Ρυθμός - Αριθμός Η πρώτη συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά συντελείται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Ο άνθρωπος διαθέτει την ικανότητα να εντοπίζει, να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Η κατάτμηση που υφίσταται ο χρόνος από τη ροή των γεγονότων δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός, μονάδα του οποίου είναι η στιγμή (G.Bachelard 1997).

Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΟΥΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥΣ Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Πυθαγόρας Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομαζόταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Μονόχορδο

Η Αναλογία - Πυθαγόρας Ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι οι μουσικοί τόνοι έχουν το αντίστοιχό τους σε χωρική έκταση. Οι μουσικές συνηχήσεις ορίζονται από λόγους μονοψήφιων ακέραιων αριθμών. Οι συνηχήσεις πάνω στις οποίες βασιζόταν το ελληνικό μουσικό σύστημα μπορούν να εκφραστούν με την πρόοδο 1:2:3:4.

Η Αναλογία - Πλάτωνας Ο Πλάτωνας έβρισκε αυτή την αρμονία στα τετράγωνα και στους κύβους του διπλάσιου και του τριπλάσιου της μονάδας, πράγμα που τον οδήγησε στις δύο γεωμετρικές προόδους 1, 2, 4, 8,... και 1, 3, 9, 27,...

Η Πυθαγόρεια άποψη. Η πρώτη συστηματική αλλά συγχρόνως και καθοριστική προσπάθεια υπαγωγής του φαινομένου της μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα. Δύο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: α) Πότε δύο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά, β) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία αυτής της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.

Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση φαίνεται να προέρχεται μέσα από την παρατήρηση και το πείραμα, τις δύο βασικές δηλαδή επιστημονικές δραστηριότητες, οι οποίες οδηγούν στη διατύπωση του πρώτου νόμου στον οποίο υπακούει η αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά". Έτσι κατασκευάζεται η περίφημη Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν φυσική κλίμακα μουσικής σύνθεσης.

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται, κατά τους Πυθαγόρειους, στις μεταφυσικές ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 (τετρακτύς). Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτύ δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 κλπ.

Αρχαία ελληνικά μουσικά όργανα Φόρμιγγα, λύρα, αυλός, κιθάρα.

Η μετάβαση Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier. Κάθε περιοδικό φαινόμενο, επομένως και η μουσική νότα, μπορεί να εκφραστεί από ένα αλγεβρικό άθροισμα αρμονικών συνιστωσών. Η αρμονία πλέον δύο μουσικών τόνων καθορίζεται από το πλήθος των αρμονικών συνιστωσών οι οποίες συμπίπτουν. Θα αναζητήσουμε τη σύνδεση των Μαθηματικών με τη Μουσική στις δύο βασικές συνιστώσες της Μουσικής που είναι ο Ρυθμός και η Αρμονία.

Ο Μπαχ αργότερα δημιούργησε μαθηματικές θεωρίες μουσικής σύνθεσης. Και ο μαθηματικός- αρχιτέκτονας Ιάνης Ξενάκης συνδύασε τα Μαθηματικά με τη Μουσική και δημιούργησε ηλεκτρονικές μουσικές συνθέσεις.

Εφαρμογή της χρυσής τομής σε ένα βιολί Stradivarius

«Δεν θα υπήρχε (μουσική) αρμονία αν δεν υπήρχαν αριθμοί. Δεν θα υπήρχε αρμονία αν δεν υπήρχε ο άνθρωπος για να την ακούσει και να την κρίνει ως τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί εργαλεία. Δεν υπάρχει αρμονία από μόνη της» Ρούντολφ Τάσνερ, καθηγητής στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης.

Επίλογος Η Μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσιμα, αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο. Ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.

Επιμέλεια: Παππάς Δημήτρης, Πετράκος Κωνσταντίνος, Σκιαδάς Πέτρος, Τσιλίκης Γιάννης