Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Εξισώσεις Πεδίου Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

ÊåöÜëáéï 6 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ 6.1 ÅéóáãùãÞ Áöïý ïëïêëçñþóáìå ôç óõæþôçóç ãéá ôéò êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò åßìáóôå Ýôïéìïé íá ðñï ùñþóïõìå óôï åðüìåíï ìáò âþìá ðïõ åßíáé ç äéáôýðùóç ïëïêëçñùìåíùí ìáèçìáôéêþí ìïíôýëùí ðïõ ðåñéãñüöïõí óõãêåêñéìýíá öõóéêü ðñïâëþìáôá. íá ìáèçìáôéêü ìïíôýëï ðåñéãñüöåé ôç óõìðåñéöïñü (êßíçóç Þ éóïññïðßá) åíïò óõóôþìáôïò êáé âáóßæåôáé óå ôñßá óõóôáôéêü ìýñç: á. Óå Ýíáí Þ ðåñéóóüôåñïõò öõóéêïýò íüìïõò óáí áõôïýò ðïõ åîåôüóáìå óôï 4ï êåöüëáéï. Ïé íüìïé áõôïß, ðïõ üðùò ãíùñßæïõìå áíôéóôïé ïýí óå ìç{åðéëýóéìåò ÌÄÅ, éó ýïõí ðüíôïôå áíåîüñôçôá áðü ôï õëéêü ðïõ áöïñü óôï óõãêåêñéìýíï ðñüâëçìá. â. Óôéò êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò ðïõ ðåñéý ïõí åêåßíç ôçí ðëçñïöïñßá ðïõ ó åôßæåôáé ìå ôï óõãêåêñéìýíï õëéêü Þ õëéêü áðü ôá ïðïßá åßíáé êáôåóêåõáóìýíï ôï óýóôçìá ìáò. Ïé êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò, óå ôåëéêþ áíüëõóç, ðåñéý ïõí ôçí ðëçñïöïñßá ãéá ôçí éäéáßôåñç óýóôáóç ôïõ õëéêïý ðïõ ñçóéìïðïéïýìå ã. Óôéò óõíïñéáêýò Þ áñ éêýò óõíèþêåò ðïõ ïõóéáóôéêü ðåñéãñüöïõí ôïí ôñüðï ðïõ åìåßò Þ Üëëá óõóôþìáôá åðéäñïýí óôï óýóôçìá ðïõ ìåëåôïýìå. Ì'Üëëá ëüãéá ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò ðåñéãñüöïõí ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï ôï ðåñéâüëëïí åðéäñü ðüíù óôï õðü åîýôáóç óýóôçìá. Áí óõíäõüóïõìå ôïõò äýï ðñþôïõò ðáñüãïíôåò, äçëáäþ áí åéóüãïõìå ôéò êáôáóôáôéêýò ó Ýóåéò óôç ÌÄÅ ðïõ áíôéóôïé åß óôïí öõóéêü íüìï ðïõ ìáò åíäéáöýñåé êáôáëþãïõìå óôéò ëåãüìåíåò åîßóùóåéò ðåäßïõ. Ïé åîéóþóåéò ðåäßïõ, ðïõ åßíáé ðëýïí åðéëýóéìåò, ìáæß ìå ôéò êáôüëëçëåò óõíïñéáêýò êáé áñ éêýò óõíèþêåò êáôáëþãïõí ó' Ýíá Ðñüâëçìá Óõíïñéáêþí Ôéìþí (ÐÓÔ) Þ ó' Ýíá Ðñüâëçìá Áñ éêþí Ôéìþí Þ ôýëïò ó' Ýíá Ðñüâëçìá Áñ éêþí{

132 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ Ó Þìá 6.1. Ðñüâëçìá óõíïñéáêþí ôéìþí: Ó çìáôéêþ ðåñéãñáöþ. Óõíïñéáêþí Ôéìþí ðïõ èá áðïôåëïýí ôï áíáæçôïýìåíï ìáèçìáôéêü ìïíôýëï. ÔåëéêÜ, Ýíá ìáèçìáôéêü ìïíôýëï èá áðïôåëåßôáé áðü ôéò åîéóþóåéò ðåäßïõ{äçëáäþ Ýíá óýóôçìá Ìåñéêþí Äéáöïñéêþ Åîßóùóåùí êáé ôéò êáôüëëçëåò áñ éêýò Þ óõíïñéêýò óõíèþêåò üðùò ó çìáôéêü áðåéêïíßæåôáé óôï Ó Þìá 6.1. ÈÝëïõìå ôï ôåëéêü ðñüâëçìá óõíïñéêþí ôéìþí (äçëáäþ ôï ìïíôýëï ìáò) íá åßíáé êáëü ôïðïèåôçìýíï. Áõôü óçìáßíåé üôé á. Ôï ðñüâëçìá åßíáé åðéëýóéìï, äçëáäþ Ý åé ëýóç áíåîüñôçôá áí åßìáóôå óå èýóç íá ôç âñïýìå Þ ü é. â. Ç ëýóç áõôþ åßíáé ìïíáäéêþ, åöüóïí ôï öõóéêü ðñüâëçìá ðïõ ðñïóðáèïýìå íá ðåñéãñüøïõìå Ý åé üíôùò ìéá ìïíáäéêþ ëýóç 1. ã. Ç ëýóç ôïõ ðñïâëþìáôïò åßíáé åõóôáèþò, ìå ôçí Ýííïéá üôé ìéêñýò äéáöïñïðïéþóåéò óôá äåäïìåíá, ãéá ðáñüäåéãìá ìéêñü ëüèç ðïõ õðåéóýñ ïíôáé áðü ôéò ìåôñþóåéò, ïäçãïýí óå ìéêñþ áðüêëéóç áðü ôç ëýóç. Ðïéá åßíáé ôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò êáé ôé áíáæçôïýìå. ÅðåéäÞ óôá ðñïâëþìáôá ìáò õðåéóýñ ïíôáé Ýíá ðëþèïò åîßóùóåùí êáé åéäéêþí ó Ýóåùí åßíáé ñþóéìï íá îåêáèáñßóïõìå ðïéá åßíáé ôá äåäïìýíá åíüò ðñïâëþìáôïò êáé ðïéåò åßíáé ïé ðïóüôçôåò ðïõ ðñýðåé íá õðïëïãéóôïýí ìå ôçí åðßëõóþ ôïõ. Ðñþôá áðü üëá ðñýðåé íá ìáò åßíáé ãíùóôü ðùò ôï ðåñéâáëëüí åðéäñü ðüíù óôï óýóôçìá Þ ðùò ôï ðåñéâüëëïí äéåãåßñåé ôï óýóôçìá, Üñá ïé óõíïñéáêýò êáé ïé áñ éêýò óõíèþêåò áíþêïõí óôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò. Ðñïóï Þ üìùò ôï ðåñéâüëëïí äåí åðéäñü ìüíï ìýóù ôùí óõíïñéáêþí êáé áñ éêþí óõíèçêþí. Ïé ìáæéêýò äõíüìåéò ðïõ áíôéðñïóùðåýïõí äõíüìåéò áðü áðüóôáóç (âëýðå Ðáñ. 4.3) åßíáé äõíüìåéò ðåäßïõ (âáñõíôéêïý Þ çëåêôñïìáãíçôéêïõ) ôïõ ïðïßïõ ç ðçãþ åßíáé Ýîù êáé ìáêñéü áðü ôï óþìá, Üñá áíôéðñïóùðåýåé ìéá Üëëç äõíáôþ åðßäñáóç áðü ôï ðåñéâáëëüí. Ì' áõôþ ôçí Ýííïéá ïé ìáæéêýò äõíüìåéò áíþêïõí åðßóçò óôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò êáé ðñýðåé íá ìáò åßíáé ãíùóôýò. ÔÝëïò, ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå ìå ôï ôé åßäïõò 1 ÕðÜñ ïõí ðñïâëþìáôá ðïõ áðü ôç öýóç ôïõò Ý ïõí ðåñéóóüôåñåò áðü ìéü ëýóç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ôï ðñüâëçìá ôçò êüìøçò ìéáò ñüâäïõ õðü áîïíéêþ öüñôéóç. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá 133 õëéêü Ý ïõìå íá êüíïõìå áí ãéá ðáñüäåéãìá ðñüêåéôáé ãéá óôåñåü ðïõ óõìðåñéöýñåôáé ùò ãñáììéêü åëáóôéêü Þ áí ðñüêåéôáé ãéá Ýíá ñåõóôü ìå éîþäåò. Ì' Üëëá ëüãéá ðñýðåé íá îýñïõìå ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç êáèþò êáé ôéò õëéêýò óôáèåñýò ðïõ áíôéðñïóùðåýïõí ôï óõãêåêñéìýíï õëéêü. ÅðïìÝíùò ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç êáé ïé õëéêýò óôáèåñýò áíþêïõí åðßóçò óôá äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò. Áðü ôçí Üëëç ðëåõñü óôçí ðåñßðôùóç ôçò Ó Þìá 6.2. Ôá äåäïìýíá êáé ôá áíáæçôïýìåíá ðåäßá ôïõ ðñïâëþìáôïò. åëáóôéêüôçôáò áíáæçôïýìå ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí, ôçí ðáñáìüñöùôéêþ êáôüóôáóç, äçëáäþ ôï ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí êáé ôçí åíôáôéêþ êáôüóôáóç ôïõ óþìáôïò, äçëáäþ ôïí ôáíõóôþ ôçò ôüóçò. Óôç ñåõóôïìç áíéêþ áíáæçôïýìå ôï ðåäßï ôùí ôá õôþôùí, ôç ñïíéêþ ðáñüãùãï ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí êáé ôïí ôáíõóôþ ôçò ôüóçò. Óôéò ðáñáãñüöïõò ðïõ áêïëïõèïýí, ó' áõôü ôï êåöüëáéï èá áðïðåéñáèïýìå íá äéáôõðþóïõìå ôéò åîéóþóåéò ðåäßïõ ðïõ äéýðïõí ôç ãñáììéêþ Åëáóôéêüôçôá êáé ôç Ñåõóôïìç áíéêþ. Óôç óõíý åéá èá äþóïõìå ïñéóìýíá ðáñáäåßãìáôá áðëþí ðñïâëçìüôùí óõíïñéáêþí ôéìþí. 6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá Óçìåéþíïõìå üôé èá ðåñéïñéóôïýìå óôçí ïìïãåíþ éóïôñïðéêþ åëáóôéêüôçôá. ÅðïìÝíùò üôáí, ó' áõôü ôï êåöüëáéï, áíáöåñüìáóôå óôç ãñáììéêþ åëáóôéêüôçôá åííïïýìå üôé õéïèåôïýìå ôáõôï ñüíùò ôéò ãñáììéêýò êéíçìáôéêýò ó Ýóåéò (3.29) êáé ôéò ãñáììéêýò êáôáóôáôéêýò ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

134 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ ó Ýóåéò (5.18): e ij = 1 2 (u i;j + u j;i ); (6.1) ô ij = ëe kk ä ij + 2ìe ij : (6.2) Éóïäýíáìá ìðïñåß êáíåßò íá ñçóéìïðïßçóåé ùò êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ôçí áíôßóôñïöç ôçò (6.2), äçëáäþ íá íá êüíåé ñþóç ôçò (5.22): e ij = í Å ô kkä ij + 1 + í Å ô ij: (6.3) Ãßíåôáé öáíýñï áðü ôéò (6.2) êáé (6.3) üôé ìðïñïýìå íá äþóïõìå äýï äéáôõðþóåéò ôùí åîéóþóåùí ðåäßïõ: ìéá äéáôýðùóç ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò êáé ìéá ùò ðñïò ôéò ôüóåéò. 6.2.1 Ïé åîéóþóåéò ðåäßïõ ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò Ï óêïðüò ìáò ó' áõôþ ôçí ðáñüãñáöï åßíáé íá äéáôõðþóïõìå ôéò åîéóþóåéò êßíçóçò ôçò ãñáììéêþò åëáóôéêüôçôáò Ýôóé þóôå ç Üãíùóôç óõíüñôçóç íá åßíáé ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí. Èá îåêéíþóïõìå ëïéðüí áðü ôçí åîßóùóç êßíçóçò (4.80): ô ij;j + ñb i = ñ v i : (6.4) Ç ðáñáðüíù åîßóùóç åßíáé äéáôõðùìýíç ùò ðñïò ôéò ôüóåéò. Èá ñçóéìïðïßçóïõìå ôçí (6.2) ãéá íá ãñüøïõìå ôïí ðñþôï üñï ôçò (6.4) ùò ðñïò ôéò ôñïðýò ô ij;j = (ëe kk ä ij + 2ìe ij ) ;j = ëe kk;i + 2ìe ij;j : (6.5) Óôç óõíý åéá èá êüíïõìå ñþóç ôçò êéíçìáôéêþò ó Ýóçò (6.1) ãéá íá ãñüøïõìå ôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò ô ij;j = [ ] 1 ë(u k;k ); i + 2ì 2 (u i;j + u j;i ) ;j = ëu k;ki + ì(u i;jj + u j;ij ) = ëu j;ji + ìu i;jj + ìu j;ji = (ë + ì)u j;ji + ìu i;jj : (6.6) ôóé ï ðñþôïò üñïò ôçò (6.4) ãñüöôçêå ðëþñùò ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò. Åßíáé ðïëý åýêïëï íá êüíïõìå ôï ßäéï ìå ôïí ôåëåõôáßï üñï ðïõ ãñüöåôáé ñ v i = ñü i : (6.7) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá 135 Ôï ìüíï ðïõ ìýíåé åßíáé íá åéóüãïõìå ôéò (6.6) êáé (6.7) óôçí (6.4) ãéá íá ðüñïõìå (ë + ì)u j;ji + ìu i;jj + ñb i = ñü i (6.8) ðïõ áðïôåëåß ôéò åîéóþóåéò ðåäßïõ ãéá ôç ãñáììéêþ åëáóôéêüôçôá. H (6.8) ãñüöåôáé åðßóçò ìå ôïí óõìâüëéóìü ôçò äéáíõóìáôéêþò áíüëõóçò. (ë + ì) ( u) + ì 2 u + ñb = ñ @2 u @t 2 : (6.9) Ãéá íá ðüñïõìå ôçí áíôßóôïé ç åîßóùóç éóïññïðßáò äåí Ý ïõìå ðáñü íá ðáñáëåßøïõìå ôïí áäñáíåéáêü üñï óôçí åîßóùóç (6.8). (ë + ì)u j;ji + ìu i;jj + ñb i = 0: (6.10) Ç åîßóùóç éóïññïðßáò ãñüöåôáé åðßóçò ìå ôïí ðáñáäïóéáêü óõìâïëéóìü (ë + ì) @2 u j + ì @2 u i + ñb @x j @x i @x 2 i = 0: (6.11) j Áò óçìåéþóïõìå üôé ç (6.10) ðåñéý åé óôçí ðáñáãìáôéêüôçôá ôñåéò åîéóþóåéò ( ) ( ) @ 2 u 1 (ë + ì) + @2 u 2 + @2 u 3 @ 2 u 1 + ì + @2 u 1 + @2 u 1 + ñb @x 2 1 @x 2 @x 1 @x 3 @x 1 @x 2 1 @x 2 2 @x 2 1 = 0; 3 ( ) ( ) @ 2 u 1 (ë + ì) + @2 u 2 + @2 u 3 @ 2 u 2 + ì + @2 u 2 + @2 u 2 + ñb @x 1 @x 2 @x 2 2 @x 3 @x 2 @x 2 1 @x 2 2 @x 2 2 = 0; (6.12) 3 ( ) ( ) @ 2 u 1 (ë + ì) + @2 u 2 + @2 u 3 @ 2 u 3 + ì + @2 u 3 + @2 u 3 + ñb @x 1 @x 3 @x 2 @x 3 @x 2 3 @x 2 1 @x 2 2 @x 2 3 = 0: 3 Ç (6.12) áðïôåëåß Ýíá óýóôçìá ôñéþí ÌÄÅ ìå ôñåéò Üãíùóôåò óõíáñôþóåéò ôéò u 1 ; u 2 êáé u 3. Ïé óõíéóôþóåò ôùí ìáæéêþí äõíüìåùí b 1 ; b 2 êáé b 3, ç ðõêíüôçôá ñ, êáèþò åðßóçò ïé õëéêýò óôáèåñýò ë êáé ì èåùñïýíôáé ãíùóôýò. Ïé åîéóþóåéò (6.12) ðñýðåé íá éó ýïõí óå ïëüêëçñï ôï ùñßï Ù ôïõ óþìáôïò. ÈåùñçôéêÜ ôï óýóôçìá (6.12) èá ìðïñïýóå íá áíôéìåôùðéóèåß áí Ý ïõìå ðëçñïöïñßåò ãéá ôéò ìåôáôïðßóåéò óôç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá @Ù ôïõ óþìáôïò. 6.2.2 ÓõíïñéáêÝò óõíèþêåò ãéá ôéò åîéóþóåéò (6.12) Ðåñíïýìå ôþñá óôï åðüìåíï âþìá ðïõ åßíáé íá åîåôüóïõìå ôéò êáôüëëçëåò óõíïñéáêýò óõíèþêåò ðïõ èá ðñýðåé íá óõíïäåýïõí ôéò åîéóþóåéò (6.12). Áðü ìáèçìáôéêþò áðüøçò, óå Ýíá óýóôçìá ÌÄÅ 2çò ôüîçò, üðùò ôï (6.12), æçôåßôáé íá åßíáé ãíùóôü óôçí óõíïñéáêþ åðéöüíåéá @Ù ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí u i Þ ç ðñþôç ðáñüãùãïò ôïõ ðåäßïõ ìåôáôïðßóåùí 2 Þ 2 Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá ðñüêåéôáé ãéá ôçí êëßóç ôïõ ðåäßïõ ôùí ìåôáôïðßóåùí @u i =@x j Þ u. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

136 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ Ýíáò óõíäõáóìüò ôùí ðñþôùí ðáñáãþãùí. Ìðïñïýìå ëïéðüí íá óõíïøßóïõìå ôñåéò ôýðïõò óõíïñéáêþí óõíèçêþí 1. Íá ãíùñßæïõìå ôï ðåäßï u i ðáíôïý ðüíù óôçí åðéöüíåéá @Ù, ôüôå èá ëýìå üôé Ý ïõìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò ôýðoõ Dirichlet. 2. Íá ãíùñßæïõìå ôçí ðáñüãùãï ôïõ ðåäßïõ u i ðáíôïý ðüíù óôçí åðéöüíåéá @Ù, ôüôå èá ëýìå üôé Ý ïõìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò ôýðoõ Neumann. 3. Íá ãíùñßæïõìå ôï ðåäßï u i ó' Ýíá ìýñïò ôçò åðéöüíåéáò @Ù, êáé ôçí ðáñüãùãï ôïõ ðåäßïõ u i óôï õðüëïéðï ôçò åðéöüíåéáò @Ù, ôüôå èá ëýìå üôé Ý ïõìå ìåéêôýò óõíïñéáêýò óõíèþêåò. ÅðéóôñÝöïõìå ôþñá óôï öõóéêü ìáò ðñüâëçìá êáé áò ðáñáôçñþóïõìå üôé ìðïñïýìå íá åðéäñüóïõìå åðß åíüò óþìáôïò ìýóù ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò ôïõ ìå äýï ôñüðïõò. Ï ðñþôïò åßíáé íá áóêçèåß åðß ôçò óõíïñéáêþò ôïõ åðéöüíåéáò ìéá åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ ôçí åëýã ïõìå åìåßò. Áõôü óçìáßíåé üôé åßíáé ãíùóôþ ìéá êáôáíïìþ åðéöáíåéáêþò äýíáìçò åðß ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò ôïõ óþìáôïò P i (x k ); x k @Ù: (6.13) Ðñïöáíþò ç äýíáìç P i ðñýðåé íá ðëçñïß ôïí ôýðï ôïõ Cauchy åðß ôçò @Ù, äçëáäþ ô ij n j = P i ; åðß ôçò @Ù; (6.14) üðïõ n j åßíáé ôï ìíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ôçò åðéöüíåéáò @Ù ìå öïñü áðü ôï åóùôåñéêü ðñïò ôï åîùôåñéêü ôìþìá ôïõ óþìáôïò. Ç (6.14) áðïôåëåß Ýíáí ðåñéïñéóìü ãéá ôéò ôüóåéò ðïõ ïõóéáóôéêü áíþêïõí óôá áíáæçôïýìåíá ðåäßá óå ïëüêëçñï ôï óþìá. Ç (6.14) äçëïß üôé ôï áíáæçôïýìåíï ðåäßï ôùí ôüóåùí åßíáé äïóìýíï óôï óýíïñï @Ù. Ì' Üëëá ëüãéá áðïôåëåß ìéá óõíïñéáêþ óõíèþêç ãéá ôéò ôüóåéò, äçëáäþ ìðïñåß íá óõíïäåýóåé ôçí åîßóùóç êßíçóçò (4.80) Þ ôçí åîßóùóç éóïññïðßáò (4.81). Ôé ãßíåôáé üìùò üôáí ç åîßóùóç ðåäßïõ äßíåôáé ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò, äçëáäþ äßíåôáé áðü ôçí åî. (6.12); Ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ìåôáó çìáôßæïõìå ôçí (6.14) ìå ôç âïþèåéá ôùí (6.1) êáé (6.2) Ýôóé þóôå ïé ôüóåéò íá äþóïõí ôç èýóç ôïõò óôéò ìåôáôïðßóåéò P i = ô ij n j = (ëe kk ä ij + 2ìe ij )n j P i = ëu k;k n i + ì(u i;j + u i;j )n j : (6.15) H (6.15) åßíáé öõóéêü áðïëýôùò éóïäýíáìç ìå ôçí (6.14) áðü ôçí ïðïßá ðñïýñ åôáé. Åßíáé üìùò ðëýïí ìéá óõíïñéáêþ óõíèþêç äéáôõðùìýíç ùò ðñïò ôéò ìåôáôïðßóåéò êáé ìðïñåß íá óõíïäåýåé ôéò åî. (6.12). Áò ðáñáôçñþóïõìå åðßóçò üôé ç (6.15) áðïôåëåßôáé Ýíá Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá 137 óõíäõáóìü ôùí ðñþôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí ôïõ ðåäßïõ ôùí ìåôáôïðßóåùí, åðïìåíþò åßíáé ìéá óõíïñéáêþ óõíèþêç ôýðïõ Neumann. Ï äåýôåñïò ôñüðïò íá åðéäñüóïõìå åðß åíüò óþìáôïò åßíáé íá åëýã ïõìå ôéò ìåôáôïðßóåéò ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò, äçëáäþ íá åðéâüëëïõìå Ýíá ãåùìåôñéêü êáôáíáãêáóìü åðß ôïõ óõíüñïõ. Ãéá ðáñüäåéãìá áí ìå ïðïéïäþðïôå ôñüðï êñáôþóïõìå óôáèåñþ ôçí óõíïñéêþ åðéöüíåéá åíüò óþìáôïò, ôüôå üëá ôá óçìåßá ôçò ðáñáìýíïíïõí õðï ñåùôéêü áêßíçôá êáé êáôü óõíýðåéá ôï ðåäßï ôùí ìåôáôïðßóåùí èá ìçäåíßæåôáé åðß ôçò óõíïñéêþò åðéöüíåéáò 3 u i = 0; åðß ôçò @Ù: (6.16) Ç (6.16) áðïôåëåß Ýíáí ðåñéïñéóìü ãéá ôéò ìåôáôïðßóåéò ðïõ åðßóçò áíþêïõí óôá áíáæçôïýìåíá ðåäßá. Ç (6.16) äçëïß üôé ôï áíáæçôïýìåíï ðåäßï ôùí ìåôáôïðßóåùí ðáßñíåé ìéá äïóìýíç ôéìþ óôï óýíïñï @Ù. ÅðïìÝíùò ç (6.16) áðïôåëåß ìéá óõíïñéáêþ óõíèþêç ôýðïõ Dirichlet ãéá ôï ðåäßï ôùí ìåôáôïðßóåùí. ÐáñÜäåéãìá 6.1 Èá åîåôüóïõìå Ýíá áðëü öõóéêü ðñüâëçìá áðü ôçí ðëåõñü ôùí óõíïñéáêþí óõíèçêþí. óôù ï êýëéíäñïò ôïõ Ó Þìáôïò 6.3 ï üðïßïò Ý åé ìþêïò h= 0.1 m êáé äéüìåôñï l=0.02 m. Ï êýëéíäñïò ðñïóáñôüôáé óôáèåñü áðü ôçí Üíù åðéöüíåéá ôïõ, åíþ áðü ôçí êüôù åðéöüíåéá áíáñôüôáé ìüæá 100 kg. Óôï äåîéü ôìþìá ôïõ Ó Þìáôïò 6.3 áðåéêïíßæåôáé ìéá Ó Þìá 6.3. ÓõíïñéáêÝò óõíèþêåò ãéá ôéò ôüóåéò êáé ôéò ìåôáôïðßóåéò. 2{ä ó çìáôéêþ áíáðáñüóôáóç ôïõ ðñïâëþìáôïò. Ç ìüæá ðïõ áíáñôüôáé áðü ôï êüôù ìýñïò Ý åé âüñïò 10 3 Í èá Ý åé ùò áðïôýëåóìá ìéá åðéöáíåéáêþ äýíáìç ðïõ èá êáôáíýìåôáé ó' 3 Ðñïöáíþò áíôß ãéá ôç ìçäåíéêþ, ôï ðåäßï ôùí ìåôáôïðßóåùí èá ìðïñïýóå íá Ý åé ïðïéáäþðïôå óõãêåêñéìýíç ôéìþ. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

138 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ ïëüêëçñç ôçí êüôù óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ðïõ Ý åé åìâáäüí Á = ðl 2 =4 = ð10 4 m 2. ÄçëáäÞ óôçí êüôù äéáôïìþ èá áíáðôõ èåß ìéá åðéöáíåéáêþ äýíáìç óôç äéåýèõíóç ôïõ 2 {Üîïíá ðïõ èá Ý åé ìýôñï P = 103 Á = 107 Pa: (6.17) ð Éóïäýíáìá, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç óôç äéáíõóìáôéêþ ôçò ìïñöþ ùò áêïëïýèùò P = (P 1 ; P 2 ) = (0; P ): (6.18) Ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá óôçí äéáôïìþ x 2 = h åßíáé ôï n = e 2 = (0; 1): (6.19) ÔåëéêÜ óôçí êüôù óõíïñéáêþ åðéöüíåéá èá ðñýðåé íá éó ýåé ç óõíïñéáêþ óõíèþêç ô ij n j = P i ãéá x 2 = h (6.20) Ìå ôç âïþèåéá ôùí (6.18) êáé (6.19), ç óõíèþêç (6.20) ãñüöåôáé áíáëõôéêü: { } { } { } ô11 n 1 + ô 12 n 2 = P 1 ô11 n 1 + ô 12 n 2 = 0 ô12 = 0 : (6.21) ô 21 n 1 + ô 22 n 2 = P 2 ô 21 n 1 + ô 22 n 2 = P ô 22 = P ôóé ç óõíïñéáêþ óõíèþêç (6.20) ãñüöåôáé ôåëéêü ùò åîþò ô 12 = 0; ô 22 = P ãéá x 2 = h: (6.22) Åßíáé ôåôñéìýíï íá óçìåéþóïõìå üôé óôçí Üíù åðéöüíåéá, äçëáäþ ãéá x 2 = 0, èá Ý ïõìå óõíïñéáêþ óõíèþêç ãéá ôéò ìåôáôïðßóåéò u 1 = 0; u 2 = 0 ãéá x 2 = 0: (6.23) ÁðïìÝíåé íá äïýìå ôé óõìâáßíåé óôçí ðáñüðëåõñç åðéöüíåéá ôïõ êõëßíäñïõ. Ãéá ôç 2{ä áðåéêüíéóç ôïõ Ó Þìáôïò 6.3 ðñýðåé íá äéáôõðùóïõìå ó.ó. ãéá ôéò ðëåõñýò x 1 = l=2 êáé x 1 = l=2. Ðñïöáíþò, äåí áóêåßôáé êüíåíáò ãåùìåôñéêüò êáôáíáãêáóìüò, åðïìýíùò äåí ìðïñïýìå íá Ý ïõìå óõíèþêç ãéá ôéò ìåôáôïðßóåéò (ôýðïõ Dirichlet). Áðü ôçí Üëëç ðëåõñü äåí áóêïýìå êáìéü åðéöáíåéáêþ äýíáìç ãåãïíüò ðïõ óçìáßíåé üôé ç åðéöáíåéáêþ äýíáìç åðß ôùí äýï ðëåõñþí ìçäåíßæåôáé. Ó' áõôþ ôçí ðåñßðôùóç èá ëýìå üôé ïé ðëåõñýò åßíáé åëåýèåñåò ôüóåùí, êáé ðñýðåé íá áðáéôþóïõìå íá éó ýåé ô ij n j = 0 ãéá x 1 = l=2 (6.24) êáé ô ij n j = 0 ãéá x 1 = l=2: (6.25) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá 139 Ó Þìá 6.4. Ó çìáôéêþ áíáðáñüóôáóç ôùí óõíïñéáêþí óõíèçêþí ôïõ Ðáñáä. 6.1. ¼ðùò öáßíåôáé áðü ôï Ó Þìá 6.4, ôá ìïíáäéáßá êüèåôá äéáíýóìáôá åðß ôùí äýï ðëåõñþí åßíáé e 1 = (1; 0) êáé e 1 = ( 1; 0): (6.26) ôóé ìå ôç âþèåéá ôçò ó Ýóçò (6.26á) ç óõíèþêç (6.24) áíáëýåôáé þò åîþò: { ô11 n 1 + ô 12 n 2 = 0 ô 21 n 1 + ô 22 n 2 = 0 } { ô11 = 0 ô 21 = 0 ôóé ç óõíïñéáêþ óõíèþêç (6.24) ãñüöåôáé ôåëéêü ùò åîþò: } : (6.27) ô 11 = 0; ô 21 = 0 ãéá x 1 = l=2: (6.28) Ìå áíüëïãï ôñüðï ìðïñåß íá áðïäåßîåé êüðïéïò üôé ç ó.ó. (6.25) ìáò äßíåé ô 11 = 0; ô 21 = 0 ãéá x 1 = l=2: (6.29) Ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò ôïõ ðñïâëþìáôïò óõíïøßæïíôáé ðáñáóôáôéêü óôï Ó Þìá 6.4. Óôçí Üíù åðéöüíåéá Ý ïõìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò ôýðïõ Dirichlet ðïõ äßíïíôáé áðü ôéò (6.23). Åíþ óôéò Üëëåò ôñåéò ðëåõñýò Ý ïõìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò ôýðïõ Neumann ðïõ äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò (6.22), (6.28) êáé (6.29). Óçìåéþíïõìå üôé ïé ðáñáðüíù óõíïñéáêýò óõíèþêåò ãéá ôéò ôüóåéò ãñüöïíôáé åýêïëá ùò ðñïò ôéò ðáñáãþãïõò ôùí ìåôáôïðßóåùí áí åðéêáëåóôïýìå ôï íüìï ôïõ Hooke (ó Ýóç 6.2) êáé ôéò êéíçìáôéêýò ó Ýóåéò (6.1): ô 11 = (ë + 2ì)u 1;1 + ëu 2;2 ô 12 = ì(u 1;2 + u 2;1 ) (6.30) ô 22 = (ë + 2ì)u 2;2 + ëu 1;1 ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

140 Åîéóþóåéò Ðåäßïõ Ó Þìá 6.5. Ðñüâïëïò öïñôéóìýíïò åãêüñóéá óôçí Üíù åðéöüíåéá ôïõ. ÐáñÜäåéãìá 6.2 Èåùñïýìå ôïí ðñüâïëï ôïõ Ó Þìáôïò 6.5, ï ïðïßïò öïñôßæåôáé åãêüñóéá óôçí Üíù óõíïñéáêþ ôïõ åðéöüíåéá ìå ôçí åðéöáíåéáêþ äýíáìç P = (0; P ). Óôï êüôù ìýñïò ôïõ Ó Þìáôïò 6.5 öáßíåôáé ìéá 2{ä åêäï Þ ôïõ ðñïâëþìáôïò. Óôï áñéóôåñü ôïõ Üêñï, äçëáäþ ãéá x 1 = 0, Ý ïõìå ðüêôùóç äçëáäþ ìçäåíéêýò ìåôáôïðßóåéò (óõíèþêç ôýðïõ Dirichlet): u 1 = 0; u 2 = 0 ãéá x 1 = 0: (6.31) ÓôÞí Üíù åðéöüíåéá (x 2 = l=2) èá Ý ïõìå ôçí åðéâáëëüìåíç öüñôéóç ô ij n j = P i ãéá x 2 = l=2: (6.32) Ïé äýï Üëëåò óõíïñéáêýò åðéöüíåéåò, äçëáäþ ïé x 1 = h êáé x 2 = l=2 åßíáé åëåýèåñåò ôüóåùí, äçëáäþ éó ýåé ô ij n j = 0 ãéá x 1 = h (6.33) êáé ô ij n j = 0 ãéá x 2 = l=2: (6.34) Ôï ìïíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá ðïõ åìöáíßæåôáé óôçí ó Ýóç (6.32) åßíáé (âëýðå Ó. 6.5) n = e 2 = (0; 1); (6.35) Ýôóé ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå îáíü ôç óõíïñéáêþ óõíèþêç { } { ô11 n 1 + ô 12 n 2 = P 1 ô11 n 1 + ô 12 n 2 = 0 ô 21 n 1 + ô 22 n 2 = P 2 ô 21 n 1 + ô 22 n 2 = P } { ô12 = 0 ô 22 = P } ; (6.36) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

6.2 ÃñáììéêÞ Åëáóôéêüôçôá 141 äçëáäþ óôçí Üíù åðéöüíåéá ôïõ ðñïâüëïõ èá Ý ïõìå ô 12 = 0; ô 22 = P ãéá x 2 = l=2: (6.37) Ìå ðáñüìïéï ôñüðï óôéò äõï Üëëåò ðëåõñýò èá Ý ïõìå ôéò áêüëïõèåò óõíïñéáêýò óõíèþêåò Ó Þìá 6.6. Ó çìáôéêþ áíáðáñüóôáóç ôùí óõíïñéáêþí óõíèçêþí ôïõ Ðáñáä. 6.2. (âëýðå åðßóçò Ó Þìá 6.6) êáé ô 11 = 0; ô 12 = 0 ãéá x 2 = h (6.38) ô 12 = 0; ô 22 = 0 ãéá x 2 = l=2: (6.39) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1296.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης. «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Εξισώσεις Πεδίου». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1296.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/.