ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 01-1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Μάθημα 4 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ο Διαφορικός Λογισμός που ισχύει στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου είναι προπομπός της γεωμετρικής μελέτης των πολλαπλοτήτων 1 οι οποίες αποτελούν γεωμετρικό πρότυπο των πολυδιάστατων θεσεογραφικών χώρων των φυσικών συστημάτων. Εδώ θα περιοριστούμε στους δισδιάστατους θεσεογραφικούς χώρους που το γεωμετρικό τους πρότυπο είναι οι ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Π.χ., ο θεσεογραφικός χώρος του σφαιρικού εκκρεμούς είναι μια σφαιρική επιφάνεια και ο θεσεογραφικός χώρος του διπλού επίπεδου εκκρεμούς είναι η τοροειδής επιφάνεια που προκύπτει από το καρτεσιανό γινόμενο δυο κύκλων. Οι ομαλές επιφάνειες δέχονται σε κάθε σημείο a εφαπτόμενο επίπεδο T a και εκεί ενυπάρχουν τα διανύσματα που εκφράζουν τις υποψήφιες ταχύτητες με τις οποίες έχει τη δυνατότητα να διέλθει από αυτό το σημείο κάθε σωματίδιο που κινείται στην επιφάνεια. Έτσι, ο χώρος των θέσεων και των ταχυτήτων του σωματιδίου εκφράζεται γεωμετρικά με το εφαπτόμενο ινώδες του θεσεογραφικού του χώρου που ορίζεται ως διακριτή ένωση των εφαπτόμενων επιπέδων στα σημεία του θεσεογραφικού χώρου: { a } T : {} a T = : T. a a a 1 Ο Carl Fredrch Gauss (1777-1855), με το περίφημο θεώρημα Egregum, έδειξε ότι οι επιφάνειες διαθέτουν τη δική τους ενδογενή γεωμετρία που είναι ανεξάρτητη εκείνης του περιβάλλοντος τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου! Ο Bernhard Remann (186-1866) είναι ο πρώτος που εισήγαγε την έννοια των πολυδιάστατων επιφανειών και τις ονόμασε Manngfaltgket (πολλαπλότητες ή πολύπτυχα): Havng constructed the noton of a manfoldness of n dmensons, and found that ts true character conssts n the property that the determnaton of poston n t may be reduced to n determnatons of magntude,... B. Remann. Βλ. Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, B. O Nel, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ Οι τοπολογικές επιφάνειες του ευκλείδειου χώρου. είναι τα υποσύνολά του που, εφοδιασμένα με την επαγόμενη τοπολογία από τον περιβάλλοντα χώρο, είναι τοπικά ομοιόμορφα με το ευκλείδειο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο μιας τοπολογικής επιφάνειας διαθέτει περιοχή που απεικονίζεται ομοιομορφικά σε κάποιο ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Γενικότερα, ο όρος τοπολογική επιφάνεια δηλώνει οποιονδήποτε το- πολογικό χώρο τοπικά ομοιόμορφο με το ευκλείδειο επίπεδο.1f Ο όρος τοπικός χάρτης μιας τοπολογικής επιφάνειας δηλώνει ένα ζεύγος ( U, φ) όπου U είναι ανοιχτό υποσύνολό της και φ ένας ομοιομορφισμός που το απεικονίζει σε ένα α- νοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Ένας τοπολογικός άτλας της επιφάνειας ορίζεται από μια οικογένεια τοπικών χαρτών: τέτοια ώστε: ( ) = {( U, φ )} I U =. I Τοπικός χάρτης μιας τοπολογικής επιφάνειας του ευκλείδειου χώρου. Η επιλογή ενός τοπολογικού άτλαντα σε μια τοπολογική επιφάνεια ορίζει μια τοπολογική χαρτογράφηση της και πάντα είναι εφικτή η κατασκευή του αφού εξ ορισμού οποιοδήποτε σημείο της τοπολογικής επιφάνειας διαθέτει περιοχή ομοιόμορφη με ανοιχτό χωρίο της τοπολογίας του ευκλείδειου επιπέδου. Όμως, ζητούμενο είναι ο τοπολογικός αυτός άτλαντας να προσδίδει στην τοπολογική επιφάνεια διαφορική δομή που θα επιτρέπει την ανάπτυξη επάνω σε αυτή ενός Διαφορικού Λογισμού. Ο ορισμός της τοπολογικής επιφάνειας απαιτεί τοπική και όχι αναγκαστικά ολική ομοιομορφία με το ευκλείδειο επίπεδο! Π.χ. Η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι τοπικά αλλά όχι ολικά ομοιόμορφη με το ευκλείδειο επίπεδο και το ίδιο ισχύει για την επιφάνεια ενός τόρου, ενός κύβου, ενός κώνου. Η επιφάνεια ενός διπλού κώνου δεν είναι ούτε ολικά ούτε τοπικά ομοιόμορφη με το ευκλείδειο επίπεδο άρα δεν είναι τοπολογική επιφάνεια! Οι επιφάνειες μιας σφαίρας ή ενός τόρου είναι ομαλές τοπολογικές επιφάνειες γεγονός που σημαίνει ότι σε κάθε σημείο τους δέχονται εφαπτόμενο επίπεδο σε αντίθεση με τις επιφάνειες ενός κώνου ή ενός κύβου οι οποίες δεν είναι ομαλές τοπολογικές επιφάνειες. Βλ. Θεμελιώδεις έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ. Πνευματικού, Αθήνα 00. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

Για το σκοπό αυτό ελέγχουμε τη διαφορική συμβατότητα των τοπικών χαρτών του τοπολογικού άτλαντα με τον οποίο είναι εφοδιασμένη η τοπολογική επιφάνεια. Συγκεκριμένα, αν ( U, φ ) και ( U, φ ), U U j, είναι τοπικοί χάρτες ενός τοπολογικού άτλαντα ( ) j j τότε η μετάβαση από τον ένα χάρτη στον άλλο πραγματοποιείται με τον ομοιομορφισμό: όπου Φ φ( U U ) φ ( U U ) j j j j Φ j Φ =φ φ, x φ ( U U ), j( x) j ( x) j Φ =φ φ, x φ ( U U ). j( x) j ( x) j j Οι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών ενός τοπολογικού άτλαντα, ως αμφιμονοσήμαντες α- πεικονίσεις ανοιχτών χωρίων του ευκλείδειου επιπέδου, ελέγχονται για τη διαφορισιμότητά τους με την ύπαρξη και συνέχεια των μερικών παραγώγων τους. Επίσης, η αμφιδιαφορισιμότητά τους ελέγχεται διαμέσου των ιακωβιανών τους που υποδεικνύουν την ισομορφική συμπεριφορά των διαφορικών τους σε κάθε σημείο της τομής των χωρίων ορισμού τους. Όταν οι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών ενός τοπολογικού άτλαντα είναι όλοι αμφιδιαφορίσιμοι τότε λέμε ότι πρόκειται για διαφορικό άτλαντα που ορίζει μια διαφορική χαρτογράφησή της τοπολογικής επιφάνειας στο ευκλείδειο επίπεδο. Από την ένωση δυο διαφορικών ατλάντων μιας τοπολογικής επιφάνειας προκύπτει ένας νέος τοπολογικός άτλας, ο οποίος όμως δεν είναι πάντα διαφορικός αφού οι επιπλέον εμφανιζόμενοι ομοιομορφισμοί αλλαγής χαρτών δεν είναι οπωσδήποτε αμφιδιαφορίσιμοι. Στην καταφατική περίπτωση λέμε ότι οι δυο άτλαντες είναι διαφορικά συμβατοί. Αν σε μια τοπολογική επιφάνεια θεωρήσουμε όλους τους διαφορικά συμβατούς άτλαντές της, εφόσον διαθέτει τέτοιους, από την ένωσή τους προκύπτει ένας μέγιστος διαφορικός άτλας και τότε λέμε ότι στην επιφάνεια αυτή ορίζεται μια διαφορική δομή. Αλλαγή τοπικών χαρτών μιας τοπολογικής επιφάνειας του ευκλείδειου χώρου. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ 1. Χαρτογράφηση επίπεδων επιφανειών. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε το επίπεδο: { x1 x x ax1 bx cx k } Π= (,, ) / + + + = 0. Η χαρτογράφηση του μπορεί να πραγματοποιηθεί με ένα μονομελή άτλαντα, δηλαδή ένα μόνο χάρτη που ορίζεται διαμέσου της κανονικής προβολής σε ένα από τα τρία συντεταγμένα καρτεσιανά επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, λαμβάνοντας υπόψη ότι τουλάχιστο ένας από τους συντελεστές a,b,c δεν είναι μηδενικός: π (,, ) = (, ) π: Π x1 x x x1 x ή π 1 = 1. ( x, x, x ) ( x, x ) ή π ( x1, x, x) = ( x, x ). Έτσι, το επίπεδο Π, όντας εφοδιασμένο με την τοπολογία που επάγεται από τον περιβάλλοντα τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, ταυτίζεται ομοιομορφικά με το ευκλείδειο επίπεδο διαμέσου του ομοιομορφισμού χαρτογράφησης που προκύπτει από τον περιορισμό της προβολής στο επίπεδο Π: φ Π φ Π φ =π Π : ( ), ( x) ( x), x.. Χαρτογράφηση γραφημάτων συναρτήσεων. Το γράφημα κάθε πραγματικής διαφορίσιμης συνάρτησης ορισμένης σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου αποτελεί ομαλή επιφάνεια του ευκλείδειου χώρου { ( xy,, ( xy, )) / ( xy, ) V } f = f. Η χαρτογράφηση του μπορεί να πραγματοποιηθεί με ένα μονομελή άτλαντα, δηλαδή ένα : μόνο χάρτη που ορίζεται διαμέσου της κανονικής προβολής στο ευκλείδειο επίπεδο: π: f, π ( xy,, f ( xy, )) = ( xy, ). Το γράφημα κάθε διαφορίσιμης συνάρτησης είναι ομαλή επιφάνεια και η χαρτογράφησή της πραγματοποιείται με προβολή στο ευκλείδειο επίπεδο. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 4

. Χαρτογραφήσεις της σφαιρικής επιφάνειας. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε τη σφαιρική επιφάνεια: { x1 x x x1 x x } = (,, ) / + + = 1. Στην επιφάνεια αυτή δεν μπορεί να οριστεί άτλαντας αποτελούμενος από ένα μόνο χάρτη. Ο στερεογραφικός άτλας της, στον οποίο θα αναφερθούμε, αποτελείται από δυο χάρτες οι οποίοι κατασκευάζονται διαμέσου των στερεογραφικών προβολών στο ευκλείδειο επίπεδο: { } ( ) = ( U, φ),( U, φ). Στερεογραφικές προβολές της σφαίρας από το βόρειο κα νότιο πόλο της στο ισημερινό επίπεδο. Συγκεκριμένα, συμβολίζοντας Α και Α τα σημεία της σφαίρας που αντιστοιχούν στο βόρειο και στο νότιο πόλο της, θεωρούμε τα εξής δυο ανοιχτά υποσύνολά των οποίων η ένωση προφανώς επικαλύπτει ολόκληρη τη σφαίρα: U = {A }. U = {A} και Τα δυο αυτά ανοιχτά υποσύνολα της σφαίρας προβάλλονται στο επίπεδο x = 0 του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου διαμέσου των αντίστοιχων στερεογραφικών προβολών: x x π: U x 1 π ( 1,, ) =, 1 x 1 x x x π : U ( x, x, x ) x, 1 π 1 = 1+ x 1+ x x Αυτά τα υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας, όντας εφοδιασμένα με την επαγόμενη τοπολογία από τον περιβάλλοντα ευκλείδειο χώρο, ταυτίζονται ομοιομορφικά με το ευκλείδειο επίπεδο διαμέσου των ομοιομορφισμών χαρτογράφησης που προκύπτουν από τους αντίστοιχους περιορισμούς των στερεογραφικών προβολών: φ φ = φ =π : U ( U), ( x) ( x), x U, φ φ = φ =π : U ( U ), ( x) ( x), x U. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 5

Η μετάβαση από τον ένα στον άλλο χάρτη του στερεογραφικού άτλαντα εκτελείται με τον ομοιομορφισμό που εκφράζεται στις συντεταγμένες του ευκλείδειου επιπέδου ως εξής: Φ ( U U ) {0} {0} ( U U ) φ = =φ Φ x1 x Φ ( x1, x) =, x1 + x x1 + x Ο ομοιομορφισμός αυτός των δυο στερεογραφικών χαρτών είναι προφανώς αμφιδιαφορικός, άρα οι δυο στερεογραφικοί χάρτες είναι διαφορικά συμβατοί και κατά συνέπεια ο στερεογραφικός άτλας με τον οποίο εφοδιάστηκε η επιφάνεια της σφαίρα είναι διαφορικός. Για την χαρτογράφηση της επιφάνειας της γης απαιτούνται τουλάχιστο δυο τοπικοί χάρτες. Προσέξτε τη διαφορά μεταξύ της γεωμετρίας που ισχύει στην επιφάνεια της σφαίρας και της γεωμετρίας του ευκλείδειου επιπέδου στο οποίο πραγματοποιείται η χαρτογράφηση. Όταν ένα σωματίδιο κινείται στην επιφάνεια της σφαίρας τότε κάθε ενδεχόμενη τροχιά του αποτυπώνεται στο ευκλείδειο επίπεδο διαμέσου των στερεογραφικών χαρτογραφήσεων. Όμως, κάθε στερεογραφικός χάρτης δίνει τη δική του αποτύπωση στο ευκλείδειο επίπεδο και η συμβατότητά διασφαλίζεται από τον προηγούμενο αμφιδιαφορικό μετασχηματισμό. Οι κυκλικές τροχιές στην επιφάνεια της σφαίρας που διέρχονται από το βόρειο πόλο χαρτογραφούνται στον άνω χάρτη ως εφαπτόμενοι κύκλοι σε ένα κοινό σημείο και στον κάτω χάρτη ως παράλληλες ευθείες. Ο ομοιομορφισμός μετάβασης από τον ένα στερεογραφικό χάρτη στον άλλο είναι μετασχηματισμός αντιστροφής κέντρου Ο = φ (M), όπου M U U, είναι συ- και λόγου ίσου προς την ακτίνα της σφαίρας ρ=1. Τα τρία σημεία O, M 1 = φ (M), M νευθειακά και σχηματίζονται τα όμοια τρίγωνα (M,A,A), (O,M 1,A), (O,A,M ), οπότε: OM1 MA OA = = OA MA OM OM 1 OM =ρ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 6

Θα κατασκευάσουμε τώρα μια άλλη χαρτογράφηση της επιφάνειας της σφαίρας επικαλύπτοντάς την με έξι ανοικτά υποσύνολά της που ορίζονται από την επαγόμενη τοπολογία του περιβάλλοντος τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: U { 1 = ( x1, x, x) / x1 > 0} U { 1 = ( x1, x, x) / x1 < 0} U { = ( x1, x, x) / x > 0} U { 1 = ( x1, x, x) / x < 0} U { = ( x1, x, x) / x > 0} U { 1 = ( x1, x, x) / x < 0} Τα ανοικτά αυτά σύνολα της τοπολογίας της σφαίρας προβάλλονται στα αντίστοιχα τρία επίπεδα συντεταγμένων και δίνουν τον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου: {( x, x ) / x x 1} = + < 1 {( x, x ) / x x 1} = + < 1 1 {( x, x ) / x x 1} = + < 1 1 Περιορίζοντας το πεδίο ορισμού των προβολών στα αντίστοιχα ανοιχτά υποσύνολα της ε- πιφάνειας της σφαίρας προκύπτουν οι ομοιομορφισμοί ταύτισής τους με τον ανοιχτό δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου και ελέγχοντας τους ομοιομορφισμούς αλλαγής χαρτών διαπιστώνουμε ότι σχηματίζεται ένας διαφορικός άτλαντας στην επιφάνεια της σφαίρας: { } U U U U U U 4 ( ) = ( 1, φ1),( 1, φ1),(, φ),(, φ),(, φ),(, φ). ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ. Μια τοπολογική επιφάνεια του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου δέχεται μια ομαλή τοπική παραμετροποίηση, εφόσον αυτό είναι εφικτό, διαμέσου μιας διαφορίσιμης απεικόνισης ορισμένης σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου: ψ:v που ταυτίζει ομοιομορφικά το χωρίο ορισμού της με ένα ανοιχτό υποσύνολο της τοπολογικής επιφάνειας και ο πυρήνας του διαφορικού της στα σημεία του χωρίου ορισμού της είναι μηδενοδιάστατος: dmker Du ψ= 0, u o o V, D u ψ:. o 4 Από την ένωση του διαφορικού αυτού άτλαντα των έξι χαρτών με τον στερεογραφικό άτλαντα προκύπτει ένας νέος άτλας που είναι και αυτός διαφορικός, δηλαδή οι αλλαγές όλων των χαρτών του είναι αμφιδιαφορίσιμες. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 7

Αν μια τοπολογική επιφάνεια δέχεται ομαλή τοπική παραμετροποίηση, αν δηλαδή υπάρχει απεικόνιση που πληροί αυτές τις συνθήκες, η δισδιάστατη εικόνα του διαφορικού της στο δεδομένο σημείο, με ομοπαραλληλική μεταφορά, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Στην περιοχή αυτού του σημείου προκύπτει ένα τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων της επιφάνειας προερχόμενο από το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του ευκλείδειου επιπέδου. Η τοπολογική επιφάνεια λέγεται ομαλή όταν είναι εφικτή η επικάλυψή της με ομαλές τοπικές παραμετροποιήσεις: {( )} I I ( ) = V, ψ : = ψ (V ). Η τοπική παραμετροποίηση της επιφάνειας αποδίδει σε αυτήν ένα εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο της και στην περιοχή του ένα τοπικό σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Η διαφορισιμότητα της τοπικής παραμετροποίησης μιας τοπολογικής επιφάνειας: ψ:v ( ) ψ ( uv, ) = xuv (, ), yuv (, ), zuv (, ), ( uv, ) V, διασφαλίζει την ύπαρξη και συνέχεια των μερικών παραγώγων της, άρα τη δυνατότητα ο- ρισμού του ιακωβιανού πίνακα σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της: ux( uo, vo) vx( uo, vo) ψ( uo, vo) = uy( uo, vo) vy ( uo, vo) uz( uo, vo) vz( uo, vo) Η δισδιάστατη εικόνα του διαφορικού της σε κάθε σημείο του χωρίου ορισμού της υποδεικνύει ότι ο ιακωβιανός πίνακας είναι ης τάξης, που σημαίνει ότι ισχύει : ( x( u, v ) y( u, v ) z( u, v )) ( x( u, v ) y( u, v ) z( u, v )),,,, 0. u o o u o o u o o v o o v o o v o o Τα δυο αυτά διανύσματα είναι λοιπόν γραμμικά ανεξάρτητα και με ομοπαραλληλική μεταφορά ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας: ( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) και ( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) u o o u o o u o o. v o o v o o v o o ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ 1. Παραμετροποίηση επίπεδων επιφανειών. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, το επίπεδο: { } Π= ( x, y, z) / ax + by + cz + k = 0, c 0, παραμετροποιείται από τη γραμμική απεικόνιση:. ψ: Π, ax + by + k ψ ( xy, ) = xy,, c.. Παραμετροποίηση γραφημάτων συναρτήσεων. Θεωρούμε μια διαφορίσιμη συνάρτηση σε ένα ανοιχτό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου f :. Το γράφημά της είναι ομαλή επιφάνεια του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: και δέχεται μια ολική παραμετροποίηση: { ( xy,, ( xy, )) / ( xy, ) V } f = f ψ:v f, ψ ( xy, ) = ( xy,, f ( xy, )) που ο ιακωβιανός της πίνακας σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι ης τάξης: 1 0 ψ( xo, yo) = 0 1 x ( xo, yo) y ( xo, yo) f f Στα σημεία του γραφήματος το εφαπτόμενο επίπεδο προκύπτει με παράλληλη μεταφορά της εικόνας του διαφορικού της παραμετροποίησης, δηλαδή πρόκειται για το επίπεδο που ορίζεται από τα δυο διανύσματα του ιακωβιανού πίνακα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και εκφράζεται με την εξίσωση: z = f( x, y ) + ( x x ) f( x, y ) + ( y y ) f( x, y ). o o o x o o o y o o. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ MORSE ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ f ( xy, ) = x+ y f ( xy, ) = x y f( xy, ) = x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 9

. Παραμετροποιήσεις της σφαιρικής επιφάνειας. Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε τη σφαίρα: { xyz x y z } = (,, ) / + + = 1. Η επιφάνεια της σφαίρας δεν μπορεί να καλυφθεί με μια μόνο παραμετροποίηση. Οι στερεογραφικές παραμετρήσεις της, κάθε μια από τις οποίες καλύπτει όλη την επιφάνειά της εκτός από τον αντίστοιχο βόρειο ή νότιο πόλο της, ορίζονται ως εξής: ψ: {A}, u v 1 u v ψ ( uv, ) =,, 1+ u + v 1+ u + v 1+ u + v ψ : {A }, u v 1 u v ψ ( uv, ) =,, 1+ u + v 1+ u + v 1+ u + v Πρόκειται για διαφορίσιμες απεικονίσεις που απεικονίζουν ομοιομορφικά το ευκλείδειο επίπεδο αντίστοιχα σε δυο ανοιχτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας και σε κάθε σημείο το διαφορικό τους έχει δισδιάστατη εικόνα που ομοπαραλληλικά ορίζει το εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας της σφαίρας. Προφανώς, οι αντίστοιχοι ιακωβιανοί πίνακες είναι σε κάθε σημείο ης τάξης: 1 uo+ vo uv o o o vo= uv 1 o o + uo vo ψ( u, ) 1+ u + v uo v o ( o o ) ψ ( u, ) 1+ u + v uo v o 1 uo+ vo uv o o o vo= uv 1 o o + uo vo ( o o ) Θα κατασκευάσουμε τώρα μια άλλη παραμετροποίηση της επιφάνειας της σφαίρας που ορίζεται στον ανοιχτό μοναδιαίο δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου: { ( uv, ) / u v 1 } = + < και επικαλύπτει τοπικά την επιφάνεια της σφαίρας με έξι ανοικτά υποσύνολά της αναφορικά προς την τοπολογία που της κληροδοτεί ο περιβάλλον τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ (, ),, 1 1 uv = uv u v { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / z> 0 1 ψ (, ),, 1 uv = uv u v { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / z< 0 ψ (, ) 1,, uv = u v uv { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / x> 0 ψ (, ) 1,, 4 uv = u v uv { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / x< 0 4 ψ ( uv, ) = u, 1 u v, v 5 { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / y> 0 5 ψ ( uv, ) = u, 1 u v, v 6 { } ψ ( ) = ( xyz,, ) / y< 0 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 10

Πρόκειται για διαφορίσιμες απεικονίσεις που απεικονίζουν ομοιομορφικά τον μοναδιαίο ανοιχτό δίσκο του ευκλείδειου επιπέδου με αντίστοιχα ανοιχτά υποσύνολα της επιφάνειας της σφαίρας και τα διαφορικά τους σε κάθε σημείο (, ) uo vo έχουν δισδιάστατη εικόνα αφού ο ιακωβιανός πίνακάς τους είναι παντού ης τάξης, Π.χ.: 1 0 ψ1( uo, vo) = 0 1 uo / 1 uo vo vo / 1 uo vo Έτσι, το εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σημείο της επιφάνειας σφαίρας ορίζεται από τα εξής δυο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: ( 1, 0, uo/ 1 uo vo ) και ( 0, 1, vo/ 1 uo vo ).. ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Από τις τοπικές παραμετροποιήσεις επικάλυψης μιας ομαλής τοπολογικής επιφάνειας απορρέουν αντίστοιχοι τοπικοί χάρτες της που συγκροτούν ένα διαφορικό άτλαντα: ( ) = {( U, φ )}. I Πράγματι, ας θεωρήσουμε μια οικογένεια τοπικών παραμετροποιήσεων: {( )} I I ( ) = V, ψ : = ψ (V ). Για κάθε μια από αυτές τις τοπικές παραμετροποιήσεις: ψ :V, ( ) I ψ ( uv, ) = x( uv, ), y( uv, ), z( uv, ),, θεωρούμε την απεικόνιση: f :V, f uvw = ( x uv y uv z uv + w) I (,, ) (, ), (, ), (, ),. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 11

Πρόκειται για διαφορίσιμη απεικόνιση που από τον περιορισμό της στο σύνολο V {0} προκύπτει η αντίστοιχη στη παραμετροποίηση και, προφανώς, στα σημεία ( uv,,0) V {0}, ο ιακωβιανός της πίνακας είναι αντιστρέψιμος: 5 ux( uv, ) vx( uv, ) 0 f( uv,,0) = uy( uv, ) vy( uv, ) 0 uz( uv, ) vz( uv, ) 1 Το θεώρημα τοπικής αντιστροφής διασφαλίζει την τοπική αντιστρεψιμότητα και αμφιδιαφορισιμότητα αυτής της απεικόνισης στα σημεία μη μηδενισμού της ορίζουσας του ιακωβιανού της πίνακα. Έτσι, τα σημεία ( uo, vo,0) V {0} και f( uo, vo,0) διαθέτουν αντίστοιχες ανοιχτές περιοχές V και που διασφαλίζουν την τοπική αμφιδιαφορισιμότητα της περιορισμένης τοπικής απεικόνισης:. f f f. 1 :V : : Έτσι, θέτοντας =, απορρέουν οι τοπικοί χάρτες της ομαλής επιφάνειας: U φ f U : U, I. Τώρα εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τοπικοί αυτοί χάρτες συγκροτούν ένα διαφορικό άτλαντα της ομαλής επιφάνειας που σημαίνει αμφιδιαφορισιμότητα της αλλαγής των χαρτών: όπου Φ φ( U U ) φ ( U U ) j j j j Φ j Φ =φ j j φ, Φ =φ φ,, j I. j j ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ MONGE ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Τα ισοσταθμικά σύνολα των διαφορίσιμων συναρτήσεων:. f : είναι ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: { } Σ c ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = c, c, με την προϋπόθεση ότι στα σημεία τους δεν μηδενίζεται το διαφορικό: D f a :, a ( ) c f Σ. 5 Σε διαφορετική περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε μία από τις απεικονίσεις: = ( + ) ή f( u, u, w) ( x ( u, u ) w, y ( u, u ), z ( u, u )) f( u, u, w) x ( u, u ), y ( u, u ) w, z ( u, u ) 1 1 1 1 = +. 1 1 1 1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1

Η συνθήκη αυτή σημαίνει ότι η ομαλότητα των ισοσταθμικών επιφανειών μιας συνάρτησης χαρακτηρίζεται από τον μη μηδενισμό του πεδίου κατευθυντήριας κλίσης, δηλαδή στα σημεία της δεν μηδενίζεται τουλάχιστο μια από τις μερικές παραγώγους της, οπότε στα σημεία αυτά υφίσταται το εφαπτόμενο επίπεδο το οποίο ορίζεται με την εξίσωση: ( x x ) f( x, y, z ) + ( y y ) f( x, y, z ) + ( z z ) f ( x, y, z ) = 0. o x o o o o y o o o o z o o o Σε κάθε ομαλή ισοσταθμική επιφάνεια ορίζεται ένας διαφορικός άτλας, ο άτλας Monge, του οποίου οι τοπικοί χάρτες σχηματίζονται, στην περιοχή κάθε σημείου της, από τον περιορισμό των συντεταγμένων προβολών του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου: x:, y :, όταν f z (a) 0, y:, z :, όταν f x (a) 0, z:, x :, όταν f y (a) 0. Πράγματι, κάθε ομαλή ισοσταθμική επιφάνεια μέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο αποτελεί τοπικά γράφημα μιας συνάρτησης ορισμένης σε ένα χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου. Π.χ, αν f z ( a ) 0 όπου a = ( x,, ) ( ) o yo zo Σ c f, το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων υποδεικνύει την ύπαρξη μιας τοπικής διαφορίσιμης συνάρτησης ορισμένης σε μια ανοιχτή περιοχή του σημείου xo yo με τιμές σε μια ανοιχτή περιοχή του o (, ) z : g, gx ( o, yo) = zo, :V( x, ) V o yo zo τέτοιας ώστε να ισχύει η ισοδυναμία: ( xy, ) V( x o, y o ) και z gxy (, ) = xyz ( (, ) ) (,, ) V V Σ ( f). xo yo zo c Έτσι, είναι εφικτός ο ορισμός της τοπικής παραμετροποίησης:, ( uv, ) ( uvguv,, (, )) ψ:v Σ ( ) ( xo, yo) c f ψ =. Πρόκειται για διαφορίσιμη απεικόνιση της οποίας το διαφορικό έχει μηδενοδιάστατο πυρήνα και η εικόνα της ταυτίζεται μέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο με το ανοιχτό υποσύνολο της ισοσταθμικής επιφάνειας: ( V V (, ) ) ( ) x y z c f Σ. o o o Η προβολή αυτού του ανοιχτού υποσυνόλου της ισοσταθμικής επιφάνειας ορίζει την τοπική χαρτογράφησή της στο ευκλείδειο επίπεδο: ( ( x, y ) z ) c f φ : U = V V Σ ( ). o o o ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ MONGE ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 1. Η επιφάνεια της σφαίρας. Η επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της διαφορίσιμης συνάρτησης: { } Σ ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = 0 f( xyz,, ) x y z = + + ρ, 0 ρ>. Το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης δεν μηδενίζεται πουθενά στα σημεία αυτής της επιφάνειας, άρα πρόκειται για ομαλή επιφάνεια επιδεχόμενη τοπικές χαρτογραφήσεις που ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν τον άτλαντα Monge. Γενικότερα, το ίδιο ισχύει για τις σφαιροειδείς και ελλειψοειδείς επιφάνειες που ορίζονται ως ισοσταθμικά σύνολα της διαφορίσιμης συνάρτησης: x y z f( xyz,, ) = + + 1, abc>,, 0. a b c ΣΦΑΙΡΑ ΣΦΑΙΡΟΕΙΔΕΣ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ. Η επιφάνεια του τόρου. Η επιφάνεια του τόρου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της διαφορίσιμης συνάρτησης: { } Σ ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = 0 ( ) f( xyz,, ) x y R z r rr>. = + +,, 0 Το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης δεν μηδενίζεται πουθενά στα σημεία αυτής της επιφάνειας, άρα πρόκειται για ομαλή επιφάνεια επιδεχόμενη τοπικές χαρτογραφήσεις που ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν τον άτλαντα Monge. Σε κάθε σημείο της υφίσταται το ε- φαπτόμενο επίπεδο το οποίο ορίζεται με την εξίσωση: ( x x ) f( x, y, z ) + ( y y ) f( x, y, z ) + ( z z ) f ( x, y, z ) = 0. o x o o o o y o o o o z o o o ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 14

Η επιφάνεια του τόρου προκύπτει ως τοπολογικό γινόμενο δυο κύκλων ακτίνων R και r και γεωμετρικά σχηματίζεται από την περιστροφή στο χώρο ενός κύκλου γύρω από μια ευθεία. Η επιφάνεια αυτή ανήκει στην κατηγορία των επιφανειών που σχηματίζονται γενικότερα από τη περιστροφή γύρω από μια ευθεία μιας απλής ομαλής επίπεδης καμπύλης: C = γ () s, γ:i, ( ) γ () s = xs (), ys (), zs () Π. Για παράδειγμα, αν η θεωρούμενη καμπύλη βρίσκεται στο ημιεπίπεδο y = 0, x > 0 και η ευθεία περιστροφής ορίζεται ως εξής x y 0 = =, κάθε σημείο ( s) ( xs ( ), ys ( ), zs ( )) o o o o γ = διαγράφει κύκλο ακτίνας xs ( o ) σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο z = 0 σε ύψος zs ( o ): {( ( o)cos, ( o)sn, ( o) ) / [0, [} S= xs θ xs θ zs θ π και έτσι σχηματίζεται στον τρισδιάστατο χώρο η ομαλή επιφάνεια: {( xs ()cos, xs ()sn, zs ()) /(, s ) I [0, [} = θ θ θ π. Η προαναφερόμενη επιφάνεια του τόρου σχηματίζεται όταν ο κύκλος κέντρου ( R,0,0) και ακτίνας r < R, που ανήκει στο επίπεδο των συντεταγμένων x και z, περιστραφεί γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς. Ο κύκλος αυτός ορίζεται παραμετρικά στον τρισδιάστατο χώρο ως εξής: και προκύπτει η παραμετρική έκφραση: ( ) γ ( v) = R+ rcos v, 0, rsn v, v [0, π [, {( R r v u ( R r v u) r u) u v } = ( + cos )cos, + cos )sn, sn / (, ) [0, π [ [0, π[. Η επιφάνεια του τόρου και μια τοπική χαρτογράφησή της στο ευκλείδειο επίπεδο. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 15

. Η επιφάνεια του κυλίνδρου και η επιφάνεια του υπερβολοειδούς. Η επιφάνεια του κυλίνδρου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της συνάρτησης: { } Σ ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = 0 f( xyz,, ) x y = + ρ, 0 ρ>. Η επιφάνεια του υπερβολοειδούς ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο της συνάρτησης: x y z f( xyz,, ) = + 1, abc>,, 0. a b c Σε κάθε μια από αυτές τις δυο περιπτώσεις, το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης της αντίστοιχης συνάρτησης δεν μηδενίζεται πουθενά στα σημεία του ισοσταθμικού της συνόλου, άρα πρόκειται για ομαλές επιφάνειες που επιδέχονται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν τον άτλαντα Monge. Η επιφάνεια του τόρου και μια τοπική χαρτογράφησή της στο ευκλείδειο επίπεδο. 4. Η επιφάνεια του κώνου και του διπλού κώνου. Η επιφάνεια του κώνου ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της συνάρτησης: { } Σ ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = 0 f xyz z x y z (,, ) =, > 0. Πρόκειται για διαφορίσιμη συνάρτηση αλλά το πεδίο της κατευθυντήριας κλίσης της μηδενίζεται στην κορυφή του κώνου, άρα η κωνική επιφάνεια δεν επιδέχεται διαφορική χαρτογράφηση στην περιοχή της κορυφής της. Στα άλλα σημεία της επιδέχεται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν τον άτλαντα Monge. Ας σημειωθεί ότι τα ισοσταθμικά σύνολα της συνάρτησης: f( xyz,, ) = z x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 16

ορίζουν στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο μια διπλή κωνική επιφάνεια η οποία δεν είναι καν τοπολογική επιφάνεια, εκτός αν εξαιρεθεί η κορυφή της οπότε μπορεί να χαρτογραφηθεί με τοπικούς χάρτες που συγκροτούν τον άτλαντα Monge. 5. Οι επιφάνειες του ελλειπτικού και του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς ορίζεται ως ισοσταθμικό σύνολο: της συνάρτησης: { } Σ ( f) = ( xyz,, ) / f( xyz,, ) = 0 x y z f( xyz,, ) = a + b c, abc>,, 0 και εκείνη του υπερβολικού παραβολοειδούς ορίζεται από τη συνάρτηση: x y z f( xyz,, ) = a b c, abc>,, 0. Σε κάθε μια από αυτές τις δυο περιπτώσεις, το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης της αντίστοιχης συνάρτησης δεν μηδενίζεται πουθενά στα σημεία του ισοσταθμικού της συνόλου, άρα πρόκειται για ομαλές επιφάνειες που επιδέχονται τοπικές χαρτογραφήσεις οι οποίες ορίζονται από τον περιορισμό των προβολών στα συντεταγμένα επίπεδα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και συγκροτούν τον άτλαντα Monge. Οι επιφάνειες του ελλειπτικού και του υπερβολικού παραβολοειδούς και οι χαρτογραφήσεις τους. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 17

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε το υποσύνολο: E = {0}. Στο σύνολο αυτό εισάγουμε τη σχέση ισοδυναμίας σύμφωνα με την οποία δυο σημεία είναι ισοδύναμα αν και μόνο αν ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την αρχή του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου: x x λ 0 : x = λ x. Έτσι, τα σημεία του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, εξαιρώντας την αρχή του, διαμερίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας που αντιστοιχούν στις διανυσματικές του ευθείες, δηλαδή τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του. Το σχηματιζόμενο πηλικοσύνολο, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας, εφοδιασμένο με τη φυσική του πηλικοτοπολογία καλείται πραγματικό προβολικό επίπεδο [ ]. Η κανονική προβολή προσαρτά κάθε σημείο του Ε στην αντίστοιχη κλάση του μέσα στο προβολικό επίπεδο: π :E [ ]. Τα ανοιχτά σύνολα της πηλικοτοπολογίας του προβολικού επιπέδου είναι τα υποσύνολά του των οποίων η προεικόνα διαμέσου της κανονικής προβολής είναι ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του Ε. Πρόκειται για την ισχυρότερη τοπολογία που μπορεί να οριστεί στο προβολικό επίπεδο η οποία καθιστά συνεχή την κανονική προβολή.5f6 Κάθε ανοιχτό υποσύνολο του προβολικού επιπέδου αντιστοιχεί στο σύνολο των διανυσματικών ευθειών του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου που περιέχονται στο κωνικό σύνολο: {( x 1, x, x) {0} / x1 + x < x}. Από την κανονική προβολή προκύπτει η επικάλυψή του προβολικού επιπέδου με τα ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του: όπου U =π Π ( ) [ ] {( x 1, x, x) / x 0} Π = =, = 1,,. Το προβολικό επίπεδο χαρτογραφείται στο ευκλείδειο επίπεδο με τρεις χάρτες που συγκροτούν διαφορικό άτλαντα. Άρα, το προβολικό επίπεδο είναι ομαλή τοπολογική επιφάνεια και συγκεκριμένα, εφοδιασμένο με την πηλικοτοπολογία του, είναι συμπαγής τοπολογική επιφάνεια ομοιόμορφη με τη σφαίρα. 6 Βλ. Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ. Πνευματικού, Αθήνα 00 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 18

Η χαρτογράφηση αυτή κατασκευάζεται με τη θεώρηση των συνεχών απεικονίσεων: όπου f : Π ( ) f ( x, x, x ) = x / x, x / x 1 1 1 1 ( ) f ( x, x, x ) = x / x, x / x 1 1 ( ) f ( x, x, x ) = x / x, x / x 1 1 Διαπιστώνοντας ότι: f ( x) = f ( x ) π ( x) =π( x ) ορίζονται τρεις τοπολογικοί χάρτες: και συγκροτείται ο άτλας: φ : φ π =f, = 1,,, U, ( ( x)) ( x) {(, ),(, ),(, )} = U φ U φ U φ. 1 1 Διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για διαφορικό άτλαντα, δηλαδή οι ομοιομορφισμοί αλλαγής των τοπικών χαρτών του είναι αμφιδιαφορίσιμοι: Φ =φ φ : φ ( U U ) φ ( U U ) 1 1 1 1 1 Φ =φ φ : φ ( U U ) φ ( U U ) όπου 1 1 1 Φ =φ φ : φ ( U U ) φ ( U U ) 1 1 1 1 1 φ ( y, y ) =π (1, y, y ), φ ( y, y ) =π ( y,1, y ), φ ( y, y ) =π ( y, y,1). 1 1 1 1 Πράγματι, π.χ., ομοιομορφισμός αλλαγής χαρτών: V Φ V 1 1 Φ 1 1 ( ) { y y y x x y x x x } V φ ( U U ) =φ π( Π ) π( Π ) = (, ) / = /, = /, 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) { y y y x x y x x x } V φ ( U U ) =φ π( Π ) π( Π ) = (, ) / = /, = /, 0 1 1 1 1 1 1 εκφράζεται με τον αμφιδιαφορικό μετασχηματισμό που ορίζεται ως εξής: y 1 = 1/ y1, y = y / y1 και y1 = 1/ y 1, y = y / y 1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 19

Σχηματική παράσταση της αλλαγής χαρτών του προβολικού επιπέδου. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 0

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΑΛΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΕΚΔΟΧΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΜΦΙΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1