Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες"

Εὐκλείδης Αλεξάνδρου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018) μιλήσαμε για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο, ενώ στο τέλος κάναμε μια εισαγωγή στις πολικές συντεταγμένες. Σε σχέση με το βιβλίο αυτά που κάναμε είναι λίγο ανακατεμένα. Οπότε, θα δίνω αναφορές σε συγεκριμένες σελίδες όπου χρειάζεται. Επίσης, μετά από κάθε έννοια κάναμε και κάποια σχήματα για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας. Επειδή είναι λίγο δύσκολο να αναπαράγω τα σχήματα ηλεκτρονικά, καλό θα ήταν να ανατρέχετε στις σελίδες του βιβλίου που σας παραπέμπω (κυρίως αυτοί που δεν παρακολουθούν). Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Αρχικά δώσαμε τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός. Έστω U R n και συνάρτηση f U R m. [ Δηλαδή για κάθε x = (x 1, x 2,, x n ) R n, το f (x) είναι ένα δiάνυσμα στο R m. Άρα έχει τη μορφή f (x) = f ((x 1, x 2,, x n )) = (f 1 (x), f 2 (x),, f m (x)), όπου f i U R για κάθε i {1,, n}.] ισχύουν Αν m = 1, η f καλείται πραγματική η βαθμωτή συνάρτηση. Αν m > 1, η f καλείται διανυσματική συνάρτηση. Αν n > 1, η f καλείται συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Αν n = m, η f καλείται διανυσματικό πεδίο. Είδαμε τα εξής παραδείγματα (κάποια μπορεί να είναι λίγο παραλλάγμενα). (1) Έστω f R R, ώστε f (x) = x 2. η f ειναι πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής. (2) Έστω f R 2 R 3, ώστε f (x, y) = (e x y cos(y), sin(x 3 ) y, y 2 ). Εδώ η f ειναι διανυσματική συνάρτηση δύο μεταβλητών, όπου f 1 (x, y) = e x y cos(y), f 2 (x, y) = sin(x 3 ) y, f 3 (x, y) = y 2. (3) Έστω Τ U R 3 R. η τιμή T(x, y, z) R, μπορεί να δίνει τη θερμοκρασία στο σημείο (x, y, z) U (To U μπορεί για παράδειγμα να είναι ένα δωμάτιο). (4) Έστω V R 4 R. η τιμή V(x, y, z, t) R, μπορεί να δίνει το μέτρο της ταχύτητας του σημείο (x, y, z), ενός ρευστού, κατά τη χρονική στιγμή t. 1

2 (5) Έστω F R 2 R 2, ώστε F(x, y) = ( y, x). Εδώ η F είναι διανυσματικό πεδίο. Παρατήρηση. Είπαμε ότι για τα διανυσματικά πεδία, μπορούμε να έχουμε την εξής γεωμετρική αναπαράσταση. Σε κάθε σημείο (x, y) εφαρμόζουμε το διάνυσμα F(x, y) (Δηλ., μεταφέρουμε το F(x, y) σαν διάνυσμα θέσης στο σημείο (x, y)). Δείτε τις σελίδες του βιβλίου για σχήματα! Στη συνέχεια ορίσαμε το γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης (σελίδες Δείτε για σχήματα!) Ορισμός. Έστω U R n και συνάρτηση f U R. Ορίζουμε το γράφημα της f, ως Gr(f ) = {(x, f (x)) = (x 1, x 2,, x n, f (x)) x = (x 1, x 2,, x n ) U} R n+1. Δηλαδή, το γράφημα αποτελείται από τα σημεία (x, y) R n+1, για τα οποία ισχύει y = f (x). Εδώ είδαμε τα εξής παραδείγματα. (1) Έστω f R R, ώστε f (x) = x 2. Gr(f ) = {(x, f (x)) x R} = {(x, x 2 ) x R} R 2. Για παράδειγμα το σημείο (2, 4) ανήκει στο γράφημα, διότι 4 = 2 2. (2) Έστω f R 2 R, ώστε f (x, y) = x 2 + y 2. Gr(f ) = {(x, y, f (x, y)) (x, y) R 2 } = {(x, y, x 2 + y 2 ) (x, y) R 2 } R 3. Το γράφημα της f καλείται παραβολοειδές και ένα σημείο του είναι το ( 2, 2, 4), διότι ( 2) 2 + ( 2) 2 = 4. Ως άσκηση για το σπίτι είχατε την εξής. H/W: Έστω η συνάρτηση f R 2 R, ώστε f (x, y) = x 2 + y 2. Να γράψετε συμβολικά το γράφημα της f (δεν απαιτείται σχήμα, αλλά προσπαθήστε να καταλάβετε τι είναι) και να βρεθεί ένα σημείο του γραφήματος. Στη συνέχεια ορίσαμε το σύνολο στάθμης για μία πραγματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Το σύνολο στάθμης μας δίνει πληροφορίες για το γράφημα της συνάρτησης, καθώς αν n 3, δεν έχουμε γεωμετρική εποπτεία για το γράφημα (Δείτε τις σελίδες του βιβλίου για σχήματα!). Ορισμός. Έστω U R n συνάρτηση f U R και c R. Ορίζουμε το σύνολο στάθμης της f, με τιμή c, ως το σύνολο των σημείων x U, για τα οποία η f έχει σταθερή τιμή, ίση με c. Δηλαδή Σ c = {x U 2 f (x) = c}.

3 Αν n = 2, το σύνολο στάθμης καλείται ισοσταθμική καμπύλη. Αν n = 3, το σύνολο στάθμης καλείται ισοσταθμική επιφάνεια. Εδώ κάναμε τα εξής παραδείγματα. (1) Έστω f R 2 R, ώστε f (x, y) = x 2 + y 2. Σ 1 = {(x, y) R 2 f (x, y) = 1} = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. Εδώ το Σ 1, είναι ο κύκλος με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα 1. Όμοια το Σ 4, είναι ο κύκλος με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα 2. (2) Έστω f R 3 R. ώστε f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Σ 1 = {(x, y, z) R 3 f (x, y) = 1} = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Εδώ το Σ 1, είναι η σφαίρα με κέντρο το (0, 0, 0) και ακτίνα 1. Όμοια το Σ 4, είναι η σφαίρα με κέντρο το (0, 0, 0) και ακτίνα 2. Ως άσκηση για το σπίτι είχατε την εξής. H/W: Έστω η συνάρτηση f R 2 R, ώστε f (x, y) = x 2 + y 2. Να βρείτε τις ισοσταθμικές καμπύλες Σ 1 και Σ 4. Καμπύλες Στη συνέχεια μιλήσαμε για καμπύλες. Ορισμός. Έστω I R διάστημα. Μία συνάρτηση r I R n, καλείται παραμετρική καμπύλη. Δηλαδή για κάθε t I, r(t) = (x 1 (t), x 2 (t),, x n (t)) R n. Όπου μπορούμε να φανταζόμαστε το t I, σαν το χρόνο και το r(t) σαν το διάνυσμα θέσης ενός κινητού κατά τη χρονική στιγμή t. Είδαμε τα εξής παραδείγματα (κάποια μπορεί να είναι λίγο παραλλάγμενα). (1) Ευθεία στο R 3 : Η ευθεία που περνάει από το σημείο (x 0, y 0, z 0 ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v, περιγράφεται από την παραμετρική καμπύλη r R R 3, ώστε r(t) = (x 0, y 0, z 0 ) + tv, t R. Δείτε το σχήμα στη σελίδα 777 του βιβλίου. 3

4 (2) Κύκλος στο R 2 : Ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο αναπαρίσταται από την παραμετρική καμπύλη r [0, 2 π) R 2, ώστε Για παράδειγμα r(t) = (cos(t), sin(t)). r(0) = (cos(0), sin(0)) = (1, 0), r(π/2) = (cos(π/2), sin(π/2)) = (0, 1). Δηλαδή, καθώς το t [0, 2π), το r(t) διαγράφει τον κύκλο αριστερόστροφα (Δείτε το σχήμα 9.28, σελ. 716). Ο ίδιος κύκλος όμως αναπαρίσταται επίσης από την παραμετρική καμπυλη r 1 [0, 2 π) R 2, ώστε r 1 (t) = (sin(t), cos(t)), με τη διαφορά ότι τώρα, καθώς το t [0, 2π), το r(t) διαγράφει τον κύκλο δεξιόστροφα. (3) Έλικα στο R 3 : Έστω η παραμετρική καμπύλη r [0, 2 π) R 3, ώστε Για παράδειγμα r(t) = (cos(t), sin(t), t). r(0) = (cos(0), sin(0), 0) = (1, 0, 0), r(π/2) = (cos(π/2), sin(π/2), π/2) = (0, 1, π/2). Δηλαδή, καθώς το t [0, 2π), το r(t) διαγράφει μία έλικα στο R 3 αριστερόστροφα (Δείτε το παράδειγμα 1, σελ. 796 για το σχήμα!) Παρατήρηση. Γενικά όπως είπαμε και στο μάθημα, όταν λέμε ότι μία καμπύλη C σαν γεωμετρικό αντικείμενο αναπαρίσταται από μία παραμετρική καμπύλη r, εννοούμε ότι το σύνολο τιμών της r(i), δίνει την καμπύλη C. Όπως φαίνεται και από το παράδειγμα 2, για μια καμπύλη C, μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές παραμετρικές καμπύλες που να την περιγράφουν. Εμείς θα ταυτίζουμε την καμπύλη C με την παραμετρική καμπύλη r και θα αναφερόμαστε σε αυτήν ως καμπύλη. Στη συνέχεια μιλήσαμε για την παράγωγο μιας παραμετρικής καμπύλης. Ορισμός. Έστω r I R n, ώστε r(t) = (x 1 (t), x 2 (t),, x n (t)) R n. Αν οι συναρτήσεις x i I R είναι διαφορίσιμες (παραγωγίσιμες) στο I, για κάθε i {1,, n}, τότε η r είναι διαφορίσιμη (παραγωγίσιμη) και ισχύει ότι r (t) = (x 1 (t), x 2 (t),, x n(t)). Επίσης, αν r (t) 0, τότε το διάνυσμα r (t), είναι εφαπτόμενο στο σημείο r(t). Για παράδειγμα αν r [0, 2 π) R 2, ώστε r(t) = (cos(t), sin(t)). r (t) = ((cos(t)), (sin(t)) ) = ( sin(t), cos(t)). Τελειώνοντας την αναφορά στις καμπύλες, μιλήσαμε για την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο r(t 0 ). Για το λόγο αυτό δώσαμε τον παρακάτω ορισμό. 4

5 Ορισμός. Έστω r I R n, ώστε r(t) = (x 1 (t), x 2 (t),, x n (t)) R n. Η r καλείται λεία, αν r (t) 0, t I και οι συναρτήσεις x i I R είναι διαφορίσιμες στο I, για κάθε i {1,, n}, με συνεχή παράγωγο. Ορισμός. Έστω r I R n, μία λεία παραμετρική καμπύλη στο R n. η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο r(t 0 ) της καμπύλης δίνεται από τη σχέση e(t) = r(t 0 ) + r (t 0 ) t, t R Παρατήρηση. Ο λόγος που απαιτούμε η καμπύλη να είναι λεία, είναι επειδή θέλουμε να ισχύει ότι r (t) 0, t I, διαφορετικά η παραπάνω έκφραση δεν έχει νόημα. Είδαμε το εξής παράδειγμα. Παράδειγμα: Αν r [0, 2 π) R 2, ώστε r(t) = (cos(t), sin(t)), να βρεθεί η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο, r(π/2). Είδαμε ότι r (t) = ((cos(t)), (sin(t)) ) = ( sin(t), cos(t)). Άρα r (π/2) = ( 1, 0). Οπότε η εφαπτομένη θα δίνεται από τη σχέση Δηλαδή e(t) = r(π/2) + r (π/2) t, t R e(t) = (0, 1) + ( 1, 0) t = ( t, 1), t R. Δηλαδή η εφαπτομένη είναι η ευθεία που περνάει από το σημέιο (0, 1) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 1, 0). Για άσκηση για το σπίτι έιχατε (δεν θυμάμαι αν το είπα στο μάθημα) H/W: Έστω η καμπύλη r [0, 2 π) R 3, ώστε r(t) = (cos(t), sin(t), t). Να βρεθεί η εφαπτομέμη της καμπύλης στο σημείο r(π). Πολικές Συντεταγμένες Στο τέλος του μαθήματος κάναμε μία εισαγωγή στις πολικές συντεταγμένες. (Ενότητα 9.5 του βιβλίου, σελ ). Επιλέγουμε ένα σημείο του επιπέδου, το οποίο συμβολίζουμε με O και το οποίο καλούμε πόλο (Το αντίστοιχο της αρχής των αξόνων στις καρτεσιανές συντεταγμένες). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τον 5

6 πολικό άξονα. Σε ένα σημείο P του επιπέδου προσπαθούμε να αποδώσουμε ένα ζέυγος συνεταγμένων (r, θ), έτσι ώστε Το r δείχνει την κατευθυνόμενη απόσταση του O από το P. Το θ δείχνει την κατευθυνόμενη γωνία από τον πολικό άξονα στην ημιευθεία OP. Όπου, η γωνία θ είναι θετική, όταν διαγράφεται αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού (αριστερόστροφα). Τέλος, είπαμε ότι αντίθετα από τις καρτεσιανές συντεταγμένες, στις οποίες υπάρχει μοναδική αντιστοιχία με τα σημεία του επιπέδου, στις πολικές για κάθε σημείο, μπορούμε να βρούμε διαφορετικά ζεύγη που το αναπαριστούν. Για παράδειγμα είδαμε ότι το σημείου του επιπέδου το οποίο απέχει απόσταση 2 μονάδες από τον πόλο O, αναπαρίσταται από τα ζεύγη, (2, 7π/6), ( 2, π/6), αλλά και από το (2, 5π/6). Τα σχήματα εδώ είναι ιδιαίτερα διαφωτιστικά, οπότε δείτε οπωσδήποτε το βιβλίο για καλύτερη κατανοήση. 6

Σχετικά έγγραφα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο