ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού Μερικέ επιφάνειε δευτέρου βαθμού στην κανονική μορφή του.. 17 Σφαίρα 17 Ελλειψοειδέ. 18 Ελλειπτικό παραβολοειδέ.. 19 Υπερβολικό παραβολοειδέ.. 21 Ελλειπτικό κώνο Μονόχωνο υπερβολοειδέ.. 24 Δίχωνο υπερβολοειδέ.. 26 Παραβολικό κύλινδρο.. 27 Ελλειπτικό κύλινδρο.. 28 Υπερβολικό κύλινδρο.. 29 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 30 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τοπολογικέ έννοιε 35 2 Ταξινόμηση των σημείων του Ευκλείδειου χώρου 37 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Ακολουθίε σημείων.. 40

2 8 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Ορισμό των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Ισοσταθμικέ Καμπύλε Επιφάνειε Όρια και συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Όρια συναρτήσεων Επάλληλα ή διαδοχικά όρια.. 55 Συνέχεια συναρτήσεων 58 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Μερικέ παράγωγοι πρώτη τάξεω.. 71 Υπολογισμό των μερικών παραγώγων Ιδιότητε των μερικών παραγώγων. 77 Γεωμετρική ερμηνεία των μερικών παραγώγων Εφαπτόμενα διανύσματα σε επιφάνεια Το διάνυσμα κλίσεω μια βαθμωτή συναρτήσεω Μερικέ παράγωγοι ανωτέρα τάξεω Συναρτησιακοί πίνακε συναρτησιακέ ορίζουσε Συναρτησιακή εξάρτηση 87 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 89 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυσωτή παραγώγιση Μετασχηματισμοί των εξισώσεων του Laplace Διαφορίσιμε συναρτήσει Ολικό διαφορικό Διαφορίσιμε συναρτήσει Ολικό διαφορικό Σφάλματα Ιδιότητε του ολικού διαφορικού Διαφορικά ανωτέρα τάξεω Ομογενεί συναρτήσει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 140

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Ορισμό τη παραγώγου κατά κατεύθυνση Υπολογισμό τη παραγώγου κατά κατεύθυνση και ερμηνεία αυτή Ιδιότητε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 160 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Πλεγμένε συναρτήσει Γενικά Θεωρήματα υπάρξεω πλεγμένων συναρτήσεων Συστήματα πλεγμένων συναρτήσεων Αντιστροφή συστήματο Εφαπτόμενο επίπεδο Ευθεία κάθετη σε επιφάνεια Εφαπτομένη ευθεία καμπύλη η οποία δίνεται ω τομή δύο επιφανειών 199 Γεωμετρική ερμηνεία του ολικού διαφορικού. 199 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR ΑΚΡΟΤΑΤΑ Τύπο του Taylor Ελεύθερα ακρότατα. 224 Ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών Ακρότατα συναρτήσεων τριών μεταβλητών Εύρεση ολικών ακροτάτων Δευσμευμένα ακρότατα Πολλαπλασιαστέ του Lagrange Δεσμευμένα ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών Δεσμευμένα ακρότατα συναρτήσεων τριών μεταβλητών. 245 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμό του διπλού ολοκληρώματο Γεωμετρική ερμηνεία του διπλού ολοκληρώματο

4 10 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Όγκο Εμβαδόν Ιδιότητε των διπλών ολοκληρωμάτων Υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματο Αλλαγή μεταβλητών σε διπλά ολοκληρώματα Μετασχηματισμό σε πολικέ συντεταγμένε Εφαρμογέ του διπλού ολοκληρώματο Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμό του τριπλού ολοκληρώματο Ιδιότητε των τριπλών ολοκληρωμάτων Υπολογισμό του τριπλού ολοκληρώματο Εφαρμογέ του τριπλού ολοκληρώματο Αλλαγή μεταβλητών σε τριπλά ολοκληρώματα Μετασχηματισμό σε κυλινδρικέ συντεταγμένε Μετασχηματισμό σε σφαιρικέ συντεταγμένε Γενικευμένα τριπλά ολοκληρώματα Κριτήριο συγκρίσεω των γενικευμένων ολοκληρωμάτων. 351 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 352 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 365 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικά Διανυσματικέ συναρτήσει μια μεταβλητή Παράγωγο διανυσματικών συναρτήσεων μια μεταβλητή Γεωμετρική ερμηνεία τη παραγώγου μια διανυσματική συναρτήσεω 376 Κίνηση ενό υλικού σημείου Κανόνε παραγωγίσεω Διαφορικό μια διανυσματική συναρτήσεω Ολοκλήρωση διανυσματικών συναρτήσεων α) Ορισμένο ολοκλήρωμα διανυσματική συναρτήσεω β) Αόριστο ολοκλήρωμα διανυσματική συναρτήσεω Διανυσματικέ συναρτήσει με περισσότερε μεταβλητέ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 386 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Γενικά. 399 Εφαπτόμενο διάνυσμα μια καμπύλη Καμπυλότητα, στρέψη. Τύποι των Frenet Serret. 404 Καμπυλότητα 404 Τρίεδρο του Frenet. 406 Στρέψη και τύποι των Frenet-Serret Εγγύτατο, κάθετο και ευθειοποιούν επίπεδο Εξίσωση εγγυτάτου επιπέδου Υπολογισμό τη καμπυλότητα μια καμπύλη, αν η καμπύλη δίνεται στη μορφή r = r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t)k Υπολογισμό τη στρέψεω αν η καμπύλη δίνεται στη μορφή r = r (s) = x(s) i + y(s) j + z(s)k Υπολογισμό τη στρέψεω σ αν η καμπύλη C δίνεται στη μορφή r = r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t)k ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΒΑΘΜΩΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Γενικά περί πεδίων Διανυσματικέ γραμμέ. 437 Διανυσματικέ γραμμέ. 438 Διαφορικέ εξισώσει διανυσματικών γραμμών Κλίση Απόκλιση Περιστροφή Σχέσει μεταξύ των grad, div και rot Συντηρητικά και σωληνοειδή πεδία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 456 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδου Ορισμό και υπολογισμό αυτού Ιδιότητε του επικαμπυλίου ολοκληρώματο α είδου Εφαρμογέ επικαμπυλίου ολοκληρώματο α είδου α) Κέντρο μάζα ενό υλικού τόξου β) Ροπέ αδρανεία ενό υλικού τόξου Επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδου Ορισμό και υπολογισμό αυτού Εφαρμογέ επικαμπυλίου ολοκληρώματο β είδου α) Έργο παραγόμενο από δοθείσα δύναμη

6 12 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ β) Κυκλοφορία και ροή ενό διανυσματικού πεδίου που περιγράφει την κίνηση ενό ρευστού ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14: ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ GREEN Απόδειξη του Θεωρήματο του Green Υπολογισμό εμβαδού επίπεδη επιφάνεια Το Θεώρημα του Green για πολλαπλά συνεκτικού τύπου Εφαρμογέ του Θεωρήματο του Green ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 533 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 552 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15: ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Επικαμπύλια ολοκληρώματα στο επίπεδο ανεξάρτητα του δρόμου ολοκληρώσεω Επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα του δρόμου ολοκληρώσεω στο χώρο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 582 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16: ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Παραμετρικέ εξισώσει επιφανειών Καμπυλόγραμμε συντεταγμένε Κάθετο διάνυσμα σε επιφάνεια Διαφορικό εμβαδού Εμβαδόν επιφάνεια Θεμελιώδη ποσά επιφάνεια 1 η τάξεω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Επιφανειακά ολοκληρώματα α είδου Υπολογισμό των επιφανειακών ολοκληρωμάτων α είδου Εφαρμογέ των ολοκληρωμάτων α είδου Επιφανειακά ολοκληρώματα β είδου

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 13 Επιφανειακό ολοκλήρωμα ή ροή διανυσματικού πεδίου F(x,y,z) Εφαρμογέ επιφανειακών ολοκληρωμάτων β είδου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18: ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ GAUSS Ή ΤΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΣ Το θεώρημα του Gauss για τόπου απλά συνεκτικού Το θεώρημα του Gauss για τόπου πολλαπλά συνεκτικού Ιδιότητε σωληνοειδών πεδίων Εφαρμογέ του θεωρήματο του Gauss ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 689 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19: ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ STOKES Τύπο του Stokes και πορίσματα αυτού Εφαρμογέ του τύπου του Stokes ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ