ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε 3 τότε έχουμε: i ma ma 3 i i i i που ισχύει προφανώς Επίσης έχουμε: i j j j 0 που ισχύει j j i j Για την τελευταία ανισότητα έχουμε: ma που ισχύει i 3 i Από τις ανισότητες 3 3 για κάθε προκύπτει ότι οι νόρμες είναι ισοδύναμες Αυτό βάσει του ορισμού σύμφωνα με τον οποίο οι νόρμες επί του είναι ισοδύναμες αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 0 τέτοιοι ώστε a για κάθε Έστω d μία συνάρτηση απόστασης επί του Ευκλείδειου χώρου Να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση d y d y : d y ορίζει μία απόσταση επί του Για τη συνάρτηση d ισχύουν: i

2 Ι d y d y d y : 0 Επιπλέον ισχύει: d d για κάθε y αφού d d y y y y : 0 d d y y 0 y αφού η συνάρτηση είναι απόσταση επί του ΙΙ Συμμετρική ιδιότητα d d d d y d d d y y y d y y y y y III Τριγωνική ανισότητα d y d z d zy dy dz dz y d y d z d zy dzy dy dz y y z y zy y z zy z zy y z y zy z zy dy dzy dy dz dzy y z zy z zy y z zy d y d z d zy d z d y d zy d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d που ισχύει 3 Να εξετάσετε αν υπάρχουν τα όρια των ακολουθιών: 3 3 y Παρατηρούμε ότι: lim 0 και lim e οπότε σύμφωνα με τη θεωρία θα ισχύει ότι: lim lim lim lim 0 e Επειδή δεν υπάρχει το lim δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Το προηγούμενο όριο δεν υπάρχει γιατί η υπακολουθία των άρτιων όρων έχει όριο υπακολουθία των περιττών όρων έχει όριο 4 Δίνεται το σύνολο 0 : ενώ η (α) Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία του Α είναι μεμονωμένα και να βρείτε το σύνορό του

3 3 (β) Είναι το σύνολο Α συμπαγές δηλαδή κλειστό και φραγμένο; (α) Για κάθε σημείο 0 D0 με 0 έτσι ώστε D0 0 του Α υπάρχει ανοικτός δίσκος δηλαδή κάθε σημείο του Α είναι μεμονωμένο Επιπλέον κάθε σημείο του Α είναι συνοριακό του σημείο οπότε θα είναι (β) Το σύνολο Α είναι κλειστό γιατί περιέχει όλα τα συνοριακά σημεία του όμως δεν είναι φραγμένο Πράγματι αν υποθέσουμε ότι το σύνολο Α είναι φραγμένο τότε θα υπάρχει M 0 τέτοιο ώστε να ισχύει M για κάθε ακέραιο που είναι άτοπο Επομένως το σύνολο Α δεν είναι συμπαγές 5 Να βρείτε και να παραστήσετε γεωμετρικά το πεδίο ορισμού D f της συνάρτησης f y l l y Είναι το σύνολο D f συνεκτικό; Βρείτε το σύνορο Df του συνόλου D f D y : y0 και l y 0 f y y y y y : 0 y ή 0 y : 0 και 0l 0 ή 0l 0 y : y0 και 0 y ή y0 και 0 y Σχήμα

4 4 6 Να περιγράψετε την επιφάνεια με αναλυτική εξίσωση : (α) yz 0 (β) ( ) y ( z) 4 (γ) (ε) z y z (δ) y z ( ) 4 9 y z y (στ) y z y ( ) 0 ( ) 0 (ζ) y z 0 (η) ( ) 4y 4z 4 (θ) z y (ι) y z (α) Επίπεδο που περιέχει τον άξονα (β) Σφαίρα κέντρου Ο(0) και ακτίνας α = (γ) Κυλινδρική επιφάνεια με γενέτειρα παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα επίπεδα: z 0 yz 0 (δ) Κυκλικός κύλινδρος με άξονα τον (ε) y z( y) 0 y yz 0 y 0 ή yz 0 οπότε έχουμε την ένωση των επιπέδων με εξισώσεις y 0 yz 0 (στ) Έχουμε εξίσωση ομογενή βαθμού ως προς τις μεταβλητές yz οπότε η εξίσωση παριστάνει κωνική επιφάνεια με κορυφή 000 (ζ) z y είναι εξίσωση ελλειπτικού παραβολοειδούς ( ) (η) Η εξίσωση γράφεται: y z οπότε έχουμε ελλειπτικό παραβολοειδές με μήκη ημιαξόνων (θ) Υπερβολικό παραβολοειδές (ι) Μονόχωνο υπερβολοειδές 7 Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο Oy ( z 0) των καμπύλων (α) y z 9 yz 0 (β) y z 0 z 0 (α) Με απαλοιφή του z από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ο προβάλλων κύλινδρος y 9 οπότε η προβολή της καμπύλης στο επίπεδο Oy ( z 0) είναι η y έλλειψη y 9 z 0 z (β) Με απαλοιφή του z από τις δύο εξισώσεις προκύπτει ο προβάλλων κύλινδρος y 0 y οπότε η προβολή της καμπύλης στο επίπεδο Oy z ( 0) είναι ο κύκλος y z 0 Παρατήρηση Με τη βοήθεια της προβολής καμπύλης του χώρου στο επίπεδο Oy είναι εύκολος ο προσδιορισμός μιας παραμετρικής παράστασης της δεδομένης καμπύλης Για παράδειγμα για την καμπύλη του ερωτήματος (α) έχουμε:

5 cos t y si t z si t t 0 Για το ερώτημα (β) έχουμε: cos t y si t z cos t t 0 8 Να βρεθούν οι ισοσταθμικές καμπύλες (επιφάνειες) των συναρτήσεων (α) f( y) y (β) f( y) y y y (γ) f( y) (δ) f( y z) 4z yz f yz e f yz y z (ε) ( ) (στ) ( ) (α) f( y) y c y c c (οικογένεια ευθειών) (β) f ( y ) yc y cc (οικογένεια τετραγώνων) y (γ) f( y) c y c c (οικογένεια παραβολών) y (δ) f ( yz ) c y 4cz(οικογένεια παραβολοειδών εκ 4z περιστροφής) yz (ε) f( y z) e c yz l c c0(οικογένεια επιπέδων) (στ) f ( yz ) y z c(οικογένεια δίχωνων παραβολοειδών) 9 Το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού δίνεται από το διανυσματικό πεδίο y i jαν y 0 v( y ) y y 0 αν y Να σχεδιάσετε τις ταχύτητες του ρευστού πάνω στα σημεία των κύκλων με εξισώσεις (i) y και (ii) y 4 Τι συμπεραίνετε για την κίνηση του ρευστού ; eρ (i) Χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες και τα μοναδιαία διανύσματα τους και e οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο λαμβάνει τη μορφή θ a V cos si a i j e θ οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο σε κάθε σημείο y πάνω στον κύκλο με εξίσωση y έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν του διανύσματος e θ και μέτρο ίσο με (ii) Εργαζόμενοι ομοίως βρίσκουμε ότι a V cos si 4a i j e θ

6 6 οπότε το δεδομένο διανυσματικό πεδίο σε κάθε σημείο y πάνω στον κύκλο με εξίσωση μέτρο ίσο με y 4 έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν του διανύσματος και e θ Σχήμα Το συμπέρασμα είναι ότι τα σημεία του ρευστού κάνουν κυκλική κίνηση σε ομόκεντρους κύκλους με κέντρο την αρχή Ο(00) και ακτίνα 0 Να εξετάσετε ως προς την ύπαρξη τα παρακάτω όρια και να υπολογίσετε όσα υπάρχουν : 3 3 si( y ) y y lim lim lim e lim ( y ) (00) ( y ) (00) ( y ) (00) ( y ) (00) (i) (ii) (iii) (iv) y y yz y yz (v) lim (vi) lim (vii) lim ( yz ) (000) ( ) (000) y z yz y z ( yz ) (000) (i) Με χρήση πολικών συντεταγμένων έχουμε: F το είναι το πιθανό όριο της συνάρτησης Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι στο σύνολο si( y ) cos y y αρκεί να αποδείξουμε ότι y y z y si οπότε 0 D y : y ισχύει ότι οπότε χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής lim cos Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τον ( y ) (00) ορισμό αφού ισχύει: y y cos y si y

7 7 οπότε για να ισχύει cos y αρκεί να ισχύει y y Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου λαμβάνοντας Άρα έχουμε ( y ) (00) si( y ) lim y (ii) Με χρήση πολικών συντεταγμένων λαμβάνουμε: F cos 3 si 3 0 (πιθανό όριο) Επιπλέον έχουμε y 3 3 y y y y y y y y y 3 3 y y 3 3 y οπότε για να ισχύει αρκεί να ισχύει: 3 y y y 3 Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου με οπότε y πράγματι έχουμε ότι: lim =0 ( y ) (00) y 0 (iii) Εργαζόμενοι πάλι σε πολικές συντεταγμένες διαπιστώνουμε ότι το πιθανό όριο 0 έχουμε: είναι το 0 Στη συνέχεια αν επιλέξουμε y y e l l y y e y y e οπότε ισχύει ότι: Για κάθε 0 αν l με 0 υπάρχει y τότε l e y l 0 έτσι ώστε l Στη περίπτωση που είναι τότε για οποιοδήποτε 0 ισχύει η σχέση e y Επομένως είναι: (iv) Έστω f y y e ( y ) (00) lim 0 y Θεωρούμε την ακολουθία 0 0 και έχουμε

8 8 f αφού lim Αν όμως θεωρήσουμε την ακολουθία y 0 0 τότε έχουμε: e f y Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο e e e e Παρατήρηση Από τη δεύτερη ακολουθία φαίνεται ότι θα μπορούσαμε να εργαστούμε χρησιμοποιώντας μόνο την ακολουθία z 0 0 με a μεταβλητό a οπότε θα προέκυπτε ότι f z a a a a (v) Θεωρούμε την ακολουθία 000 και έχουμε 3 f 0 Επειδή το ίδιο συμβαίνει και για άλλες μηδενικές 3 3 ακολουθίες θεωρούμε ότι το 0 είναι το πιθανό όριο yz Για να ισχύει: f y z 0 y z αρκεί να ισχύει y z y z y z y z y z y z ή ισοδύναμα y z Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τον ορισμό του ορίου με yz Άρα είναι: lim 0 ( yz ) (000) y z (vi) Θεωρούμε τις ακολουθίες και y 000 και έχουμε f f Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο

9 9 (vii) Θεωρούμε τις ακολουθίες και y 000 και έχουμε 5 0 f f 0 3 Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Επίσης θα μπορούσαμε να εργαστούμε κατά μήκος των ημιευθειών r t t όπου και t 0 οπότε λαμβάνουμε f r t t 0 δηλαδή το όριο που προκύπτει εξαρτάται από την θεωρούμενη ημιευθεία Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις : y (i) f( y) e αν ( y) (00) y 0 αν ( y ) (00) y αν y 0 (ii) f( y) y όπου a a αν y 0 (i) Η συνάρτηση συνεχών συναρτήσεων Για τη συνέχεια στο σημείο f y είναι συνεχής για κάθε y 0 lim f y f ( y ) (00) Όμως κατά μήκος της καμπύλης : r t kkcos t ksi t t0 και r ως γινόμενο 00 αρκεί να ισχύει ότι k y k με παραμετρική παράσταση k k t0 λαμβάνουμε f r t e e k k δηλαδή προκύπτει όριο που εξαρτάται από την θεωρούμενη καμπύλη οπότε δεν f y δεν είναι συνεχής στο υπάρχει το ζητούμενο όριο και έτσι η συνάρτηση 00 (ii) Η συνάρτηση f y είναι συνεχής για κάθε y ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για τη συνέχεια στα σημεία δηλαδή σημεία της ευθείας με εξίσωση y 0 αρκεί να ισχύει ότι:

10 0 ( y ) ( 0 0) lim f y f a 0 0 Θεωρούμε την ευθεία r t t t t 0 0 με r για την οποία προκύπτει ότι 0 t αν 0 0 f r t t0 t αν 0 0 Επομένως δεν υπάρχει το ζητούμενο όριο και η συνάρτηση f y δεν είναι συνεχής σε κάθε σημείο της μορφής 0 0 0