Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών
ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ άλγεβρα β τόμος α λυκείου
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο A Λυκείου Άλγεβρα Α Λυκείου, β τόμος Νίκος Τάσος ISBN: 978-90-881-77-0 SET: 978-90-881-73-2 Θεώρηση κειμένου: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Σχεδιασμός έκδοσης: Γεωργία Λαμπροπούλου Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Δημήτρης Κάπος, Μαλβίνα Κότο Εξώφυλλο: Πωλίνα Κοντογεώργη Προσαρμογή εξωφύλλου: Μαλβίνα Κότο Υπεύθυνος έκδοσης: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Copyright 201 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Επικοινωνία με συγγραφέα: Νίκος Τάσος nikotaso@yahoo.gr 944 34 34 15 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, ΤΚ 185 35 Πειραιάς Τ. 210 4112507 F. 210 411752 www.ekdoseispoukamisas.gr info@ekdoseispoukamisas.gr
Στον Μάκη και στη Λιάνα, τις ταξιδιάρες ψυχές, στη φιλία... Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της A Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμιά από τις οποίες περιέχει: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Πλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες, οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις σωστού λάθους, αντιστοίχισης, συμπλήρωσης κενού και πολλαπλής επιλογής, οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος των περισσότερων παραγράφων υπάρχουν φύλλα αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, όπως δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν: θέματα επανάληψης και επαναληπτικά φύλλα αξιολόγησης που καλύπτουν όλη τη διδακτέα ύλη, απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων του παρόντος βιβλίου, αναλυτικές απαντήσεις της Τράπεζας Θεμάτων, απαντήσεις όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνημα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και των συνάδελφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.
20. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 12 εμβάθυνσης... 18 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 21 21. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 23 εμβάθυνσης... 32 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 3 Φύλλο αξιολόγησης... 37 22. ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 39 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 42 εμβάθυνσης... 4 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 48 25. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 115 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 11 εμβάθυνσης... 122 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 123 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 125 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 127 εμβάθυνσης... 145 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 154 Φύλλο αξιολόγησης 1... 159 Φύλλο αξιολόγησης 2... 11 Περ ι ε χ ο μ ε ν α 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 5. ΠΡΟΟΔΟΙ 23. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ερωτήσεων απαντήσεων... 51 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 53 εμβάθυνσης... 9 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 75 Φύλλο αξιολόγησης... 77 24. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 79 εμβάθυνσης... 100 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 104 Τράπεζα Θεμάτων: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ... 105 27. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 13 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 15 εμβάθυνσης... 191 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 199 Φύλλο αξιολόγησης 1... 203 Φύλλο αξιολόγησης 2... 205 28. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 207 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 208 εμβάθυνσης... 209 Τράπεζα Θεμάτων: ΠΡΟΟΔΟΙ... 211. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 29. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 221 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 224 εμβάθυνσης... 237 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 245 Φύλλο αξιολόγησης... 247
30. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ερωτήσεων απαντήσεων... 249 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 253 εμβάθυνσης... 259 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 22 31. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 23 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 24 εμβάθυνσης... 274 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 281 Φύλλο αξιολόγησης... 283 34. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 ερωτήσεων απαντήσεων... 351 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 355 εμβάθυνσης... 34 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 39 32. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ερωτήσεων απαντήσεων... 285 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 290 εμβάθυνσης... 311 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 320 Φύλλο αξιολόγησης... 323 33. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ερωτήσεων απαντήσεων... 325 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 330 εμβάθυνσης... 342 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 347 7. ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 35. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = α x 2 + βx + γ ερωτήσεων απαντήσεων... 371 Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 375 εμβάθυνσης... 390 Ερωτήσεις αξιολόγησης... 397 Φύλλο αξιολόγησης... 401 Τράπεζα Θεμάτων: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 403 100 ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ... 419 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ... 445 Απαντήσεις άλυτων ασκήσεων...457 Απαντήσεις τελικής επανάληψης...493 Απαντήσεις Τράπεζας Θεμάτων...499 Απαντήσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου... 549
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
20 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1. Με ποιον τρόπο επιλύουμε τις ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 Απάντηση Ισχύει ότι: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: αx + β > 0 αx + β β > 0 β αx > β (1) Περίπτωση 1η Αν α > 0, τότε από την (1) βρίσκουμε ισοδύναμα: αx > β αx α > β α x > β α Περίπτωση 2η Αν α < 0, τότε από την (1) βρίσκουμε ισοδύναμα: αx > β αx α < β α x < β α Περίπτωση 3η Αν α = 0, τότε από την (1) βρίσκουμε 0 x > β, η οποία: αν β > 0, αληθεύει για κάθε x, αν β 0, είναι αδύνατη. Παραδείγματα i. Η ανίσωση 2x + > 0 ισοδύναμα γράφεται: 2x + > 0 2x > 2x 2 > 2 x > 3 x 3 0 x ii. Η ανίσωση 3x + 12 > 0 ισοδύναμα γράφεται: 3x + 12 > 0 3x > 12 3x 3 < 12 3 x < 4 x 0 4 x iii. Η ανίσωση 0x > 2 αληθεύει για κάθε x. iv. Η ανίσωση 0x > 7 είναι αδύνατη. 11
Κεφάλαιο 4ο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Σχόλιo Είναι φανερό ότι και οι ανισώσεις της μορφής αx + β 0 και αx + β 0 επιλύονται με την ίδια ακριβώς διαδικασία. Κατηγορία 1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να λύσουμε ανισώσεις 1ου βαθμού. Μέθοδος Για να λύσουμε ανισώσεις 1ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν). Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων (αν υπάρχουν). Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε πράξεις ώστε να γράψουμε την ανίσωση στη μορφή: αx < β ή αx > β Τέλος, διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και τα δύο μέλη της ανίσωσης χωρίς να ξεχνάμε ότι: Όταν διαιρούμε (ή πολλαπλασιάζουμε) και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με θετικό αριθμό, τότε δεν αλλάζει η φορά της ανίσωσης. Όταν διαιρούμε (ή πολλαπλασιάζουμε) και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με αρνητικό αριθμό, τότε αλλάζει η φορά της ανίσωσης. Εφαρμογή 20.1 Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 4(x 1) 2(3x + 5) > 4x 2(2 x) ii. 2x + 1 x 4 2 3 2 x 12 ΛΥΣΗ i. Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε: 4(x 1) 2(4x + 5) > 4x 2(2 x) 4x 4 8x 10 > 4x 4 + 2x 4x 4x 2x 8x > 4 + 4 + 10 10x > 10 10 < 0 10x 10 < 10 10 x < 1 Αναπαριστούμε τις λύσεις της ανίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών ως εξής: x 1 0 x 12
20. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Με τον λευκό κύκλο δηλώνουμε ότι ο αριθμός 1 δεν είναι λύση της ανίσωσης. Το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης σε μορφή διαστήματος είναι το (, 1). Επομένως ισχύει ότι: x < 1 x (, 1) ii. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και ισοδύναμα βρίσκουμε: 2x + 1 4 x 2 3 2 12 x 12 2x 4 + 1 12 x 2 12 3 12 2 12 x 3(2x + 1) 2x 4 2 (2 x) x + 3 2x 8 2 + x x 2x x 8 2 3 3x 3 3 > 0 3x 3 3 3 x 1 Αναπαριστούμε τις λύσεις της ανίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών ως εξής: x 0 1 x Με τον μαύρο κύκλο δηλώνουμε ότι ο αριθμός 1 είναι λύση της ανίσωσης. Το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης σε μορφή διαστήματος είναι το [1, + ). Επομένως ισχύει ότι: x 1 x [1, + ) Εφαρμογή 20.2 Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 2x + 1 3 x 4 2 > 2 + 5x 4 ii. 1 2x 4 + x + 3 2 > 5 12 ΛΥΣΗ i. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και ισοδύναμα βρίσκουμε: 2x + 1 3 x 4 2 > 5 + 5x 4 4 2x + 4 1 4 3 x 4 2 > 4 5 + 4 5x 4 8x + 4 12 x 4 2 > 20 + 5x 8x + 4 3(x 2) > 20 + 5x 8x + 4 3x + > 20 + 5x 8x 3x 5x > 20 4 0 x > 10, άτοπο Άρα η ανίσωση είναι αδύνατη. 13
Κεφάλαιο 4ο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ii. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και ισοδύναμα βρίσκουμε: 1 2x 4 + x + 3 2 > 5 12 12 1 4 2x + 12 x + 3 2 > 12 5 12 3(1 2x) + (x + 3) > 5 3 x + x + 18 > 5 x + x > 5 3 18 0 x > 20 Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Κατηγορία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε τις κοινές λύσεις δύο ανισώσεων. Μέθοδος Για να βρούμε τις κοινές λύσεις δύο ανισώσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Λύνουμε την κάθε μία ανίσωση ξεχωριστά. Παριστάνουμε τις λύσεις στον ίδιο άξονα αριθμών. Συναληθεύουμε και γράφουμε το κοινό διάστημα λύσεων. Εφαρμογή 20.3 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x 1 2 + 2 x + 3 1 > x + 2 2 13 2x 1 και 4 + 2x x + 2 1 11 4 ΛΥΣΗ Για την πρώτη ανίσωση έχουμε: x 1 2 + 2 x + 3 1 > x + 2 2 13 x 2 1 + 2 x + 3 1 > x + 2 2 13 3(x 1) + 12 x + 3 1 > 3(x + 2) 13 3x 3 + 4(x + 1) > 3x + 13 3x 3 + 4x + 4 > 3x 7 3x + 4x 3x > 7 4 + 3 4x > 8 4x 4 > 8 4 x > 2 Για τη δεύτερη ανίσωση βρίσκουμε: 2x 1 4 + 2x x + 2 1 11 4 4 2x 4 1 + 4 2x 4 x + 2 1 4 11 4 14
2x 1 + 8x 2(x + 1) 11 2x 1 + 8x 2x + 2 11 2x + 8x 2x 2 11 + 1 8x 8 8x 8 8 8 x 1 20. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Παριστάνουμε τις λύσεις των δύο ανισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών και βρίσκουμε: x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει: 2 < x 1 x ( 2, 1] Εφαρμογή 20.4 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2x 1 + 3 x 4 2 < 3x + 2 1 και x 1 3 + x 1 3x x 2 ΛΥΣΗ Για την πρώτη ανίσωση έχουμε: 2x 1 4 + 3 x 2 < 3x + 2 1 12 2x 4 1 + 12 3 x 3x + 2 2 < 12 12 1 3(2x 1) + (3 x) < 2(3x + 2) 12 x 3 + 18 x < x + 4 12 x x x < 4 12 + 3 18 x < 23 x > 23 x > 23 Για τη δεύτερη ανίσωση βρίσκουμε: x 1 3 + x 1 3x x 2 x 3 1 1 3x + x x 2 2(x 1) + x 1 3x 3x 2x 2 + x 1 3x 3x 2x + x + 3x + 3x 1 + 2 14x 3 14x 14 3 14 x 3 14 15
Κεφάλαιο 4ο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Παριστάνουμε τις λύσεις των δύο ανισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών και βρίσκουμε: 3 x 2 1 0 1 2 3 23 4 5 x 14 Παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει: x > 23 x ( 23, + ) Μεθοδολογικό σχόλιο Για να λύσουμε μια διπλή ανίσωση της μορφής: Α(x) B(x) Γ(x) τη χωρίζουμε στις ανισώσεις: Α(x) B(x) και B(x) Γ(x) και στο τέλος συναληθεύουμε τα αποτελέσματά τους. Εφαρμογή 20.5 Να λύσετε την ανίσωση: 2x 1 + 1 3x x 1 x 3 < 2x + 3 + 1 2 ΛΥΣΗ Λύνουμε ξεχωριστά τις ανισώσεις: 2x 1 + 1 3x x 1 3 x και x 1 3 x < 2x + 3 2 + 4 Είναι: 2x 1 + 1 3x x 1 3 x 2x 1 + 1 3x x 1 3 x 12x + 1 3x x 2(1 x) 9x 5 x 2 + 2x 9x x 2x 5 2 x 3 (1) Ισχύει ότι: x 1 3 x < 2x + 3 2 + 1 x 1 3 x < 2x + 3 2 + 1 x 2(1 x) < 3(2x + 3) + 1 x 2 + 2x < x + 9 + 1 x + 2x x < 9 + 1 + 2 2x < 12 x < (2) 1