5. Μετασχηµατισµοί συντεταγµένν 5. Στοιχεία από την ελλειψοειδή Γεδαισία Η γήινη επιφάνεια έχει πολύπλοκη µοφή και δεν είναι δυνατό να πειγαφή µε µαθηµατικές εξισώσεις. Στην ποσπάθεια να πειγάψουν την γήινη επιφάνεια οι γεδαίτες από τα αχαία χόνια ποσπάθησαν να ποσαµόσουν σε αυτή διάφοες µαθηµατικές επιφάνειες, όπς η σφαία και το ελλειψοειδές εκ πειστοφής το ελλειψοειδές εκ πειστοφής είναι η επιφάνεια που ποκύπτει αν πειστέψουµε µια έλλειψη γύ από ένα άξονα της.. Το ελλειψοειδές εκ πειστοφής ποσαµόζεται καλύτεα στην επιφάνεια της Γης από την σφαία, αλλά ακόµη και αυτή η ποσέγγιση δεν καλύπτει τις τοπικές εξάσεις και υφέσεις του γήινου φλοιού. Για το λόγο αυτό δηµιουγήθηκαν ελλειψοειδή διαφοετικών διαστάσεν που ποσαµόζονται σε συγκεκιµένες πειοχές της γης, αλλά και ελλειψοειδή που ποσαµόζονται σε όλη την γήινη επιφάνεια. Σχήµα 5.: Ελλειψοειδές εκ πειστοφής. Χαακτηιστικά µεγέθη του ελλειψοειδούς εκ πειστοφής : Μεγάλος ηµιάξονας. b : Μικός ηµιάξονας. f : επιπλάτυνση : εκκεντότητα.
9 Όπου f b και b Πίνακας 5.. ιαστάσεις ελλειψοειδών εκ πειστοφής που χησιµοποιούνται στην Ελλάδα. ΕΕΠ b F Bssl 7797 579 /99.5 Hfrd 7888 59 /97 GRS 8 787 575 /98. Σχήµα 5.: Ελλειψοειδείς και κατεσιανές συντεταγµένες. Εάν γνίζουµε τις κατεσιανές συντεταγµένες,, Z ενός σηµείου τότε µποούµε να υ- πολογίσουµε τις ελλειψοειδείς συντεταγµένες του φ, λ, h και αντιστόφς χησιµοποιώντας τις παακάτ σχέσεις : h cs λ cs h cs λ s [ h] s Z λ rct Z rct s Z h s όπου h το γεµετικό υψόµετο και Ν η ακτίνα καµπυλότητας της πώτης κάθετου τοµής. Η ακτίνα της πώτης κάθετου τοµής ποκύπτει από τον τύπο: Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
9 s φ όπς φαίνεται από τον τύπο που µας δίνει το γεδαιτικό πλάτος φ συνατήσει τν Χ, Υ, Ζ για τον υπολογισµό του φ θα πέπει να χησιµοποιήσουµε µια µέθοδο αιθµητικής ανάλυσης επειδή η άγνστη ποσότητα φ εµφανίζεται και στα δύο µέλη της εξίσσης. Παατήηση: εν θα πέπει να συγχέουµε την ακτίνα καµπυλότητας Ν µε την αποχή του γεειδούς η οποία συµβολίζεται επίσης µε Ν. 5.. Αναγγή από την γήινη επιφάνεια στο ΕΕΠ Αν και η επιφάνεια του ελλειψοειδούς αποτελεί µια καλή ποσέγγιση της γήινης επιφάνειας εν τούτοις δεν µποούµε να αποφύγουµε τις πααµοφώσεις που υφίστανται τα διάφοα µεγέθη που µετούνται στο πεδίο. Για το λόγ αυτό είµαστε αναγκασµένοι να ανάγουµε πάντα τις παατηήσεις του πεδίου στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Στην πείπτση δε όπου οι παατηήσεις µας πέπει να αναχθούν σε ένα ποβολικό επίπεδο, αφού αναχθούµε στο ελλειψοειδές στη συνέχεια απαιτείται να αναχθούµε στο ποβολικό επίπεδο, οι αναγγές για τα ελλειψοειδή και τις ποβολές που χησιµοποιούνται στην Ελλάδα δίνονται από τους E.Λιβιεάτο και Α. Φτίου Λιβιεάτος, Φτίου 99 και αναλυτικά είναι : Αναγγή αζιµουθίου Αν Α το αστονοµικό αζιµούθιο, Α g το γεδαιτικό αζιµούθιο, η ζενίθια απόσταση, το µέσο πλάτος που ποκύπτει από τα φ ι, φ j, η µέση ακτίνα καµπυλότητας µεσηµβινής τοµής υ- πολογισµένη από το µέσο πλάτος, h Σ γεµετικό υψόµετο του στόχου, S το µήκος της γεδαισιακής γαµµής, ο µεγάλος ηµιάξονας του ΕΕΠ και η κύια εκκεντότητα τότε η αναγγή δίνεται από τον τύπο: α Α η t Η τάξη µεγέθους της αναγγής είναι τν ±.5. h cs s A Σ ξ s A η cs A ct S cs α κ Αναγγή διεύθυνσης Η αναγγή της διεύθυνσης δίνεται όπς και του αζιµουθίου µε µόνη διαφοά ότι λείπει ο ό- ος η tφ. ηλαδή: Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
9 α Α η t Η τάξη µεγέθους της αναγγής είναι τν ±.. h cs s A Σ ξ s A η cs A ct S cs α κ Αναγγή γνιών Η ανηγµένη γνία γ στο ΕΕΠ µιας γνίας ΓΣ ΤΣ στο χώο, ποκύπτει ς διαφοές αζι- µουθίν σύµφνα µε τις σχέσεις : ΓΑ ΤΣ - Α ΤΣ γα - α δγ γ - Γ Αναγγή αποστάσεν Αν s µια µετηµένη κεκλιµένη απόσταση στον χώο, τότε η ανηγµένη στο ποβολικό επίπεδο θα δίνεται από τις σχέσεις: Αναγγή κλίσης κ s δh s s s Αναγγή στη χοδή χ s S s h h R R Αναγγή στο τόξο οπότε : S r R rcs S S S R Ss κ χ r 5.. Αναγγή από το ΕΕΠ στο ποβολικό επίπεδο Ποβολή Htt Αναγγή απόστασης Όταν δουλεύουµε στην ποβολή Htt τότε λόγ της ιδιότητας της ποβολής οι γνιακές αναγγές δεν υπεβαίνουν το, γι αυτό στην πάξη αγνοούνται. Η ανηγµένη απόσταση είναι : Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
95 S S s γ j Sj R όπου R η µέση ακτίνα Gss υπολογισµένη στο κέντο φύλλου T και ιj ο συντελεστής α- ναγγής της απόστασης. j S j Εγκάσια Μεκατοική Ποβολή Αναγγή αζιµουθίου Αν α j ένα γεδαιτικό αζιµούθιο στο ΕΕΠ, η ανηγµένη τιµή α ιj δίνεται από την σχέση : α jα j -γ ι δ j όπου γ η σύγκλιση µεσηµβινών και υπολογίζεται ή από τις ποβολικές ή από τις γεδαιτικές συντεταγµένες : γ s cs 5 η 8 t cs 5 t η cs t 5η η 7 t t 8 η η 5η 5t η η 5t η E γ t t t η t E 5 t E 9η 7 η t E t η η 7t η 7t 7 77t 5t 5t η 5 η 8 5 t 5t η 8 η και το δ j η γνιακή διόθση τόξου-χοδής και υπολογίζεται από τις ποβολικές συντεταγµένες : δ j j j 7 E E E E E E E E E η E E E R R j j j j 9 Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος j 9 R s cs j j j
9 όπου R Ν για j και,ν οι ακτίνες καµπυλότητας. Αναγγή διεύθυνσης Αν β j µια διεύθυνση στο ΕΕΠ και β j στο ποβολικό επίπεδο τότε : β j β j δ j Αναγγή γνίας Αν γ jk η ανηγµένη γνία στο ποβολικό επίπεδο και γ jk η γνία στο ΕΕΠ τότε : γ jk γ jk δ k δ j Αναγγή απόστασης Η ανηγµένη απόσταση S δίνεται από την σχέση : S j S όπου j ο συντελεστής αναγγής και υπολογίζεται από τις ποβολικές συντεταγµένες: j E E E E j όπου R η ακτίνα που υπολογίζεται στο µέσο πλάτος. R j E E E j E j R 5. Τα γεδαιτικά συστήµατα στην Ελλάδα Στην Ελλάδα χησιµοποιούνται σήµεα τέσσεα γεδαιτικά συστήµατα. Το παλαιότεο και πιο χησιµοποιηµένο σύστηµα είναι το Ελληνικό Dt σε ποβολή Htt. Σε αυτό το σύστηµα αναφέονται τα κτηµατογαφικά διαγάµµατα της Τοπογαφικής Υπηεσίας του Υ- πουγείου Γεγίας µικά φύλλα, αλλά και χησιµοποιήθηκε και από την ΓΥΣ µεγάλα φύλλα. Λόγ του ότι τα διαγάµµατα της Τοπογαφικής Υπηεσίας αποτελούν µια σηµαντική αναφοά για το ιδιοκτησιακό καθεστώς τν αγοτεµαχίν και τν υµοτοµικών σχεδίν τν αγοτικών πειοχών, το συγκεκιµένο γεδαιτικό σύστηµα χησιµοποιείται ακετά µέχι και σήµεα. Το 98 στα πλαίσια της ΕΠΑ Επιχείηση Πολεοδοµικής Ανασυγκότησης από το Υπουγείο ΠΕΧΩ Ε χησιµοποιήθηκε η ποβολή ΤΜ ο τεις ζώνες µε αναφοά το Ελληνικό Dt. Το Ευπαϊκό Dt µε την ποβολή UTM δύο ζώνες η οποία χησιµοποιείται κυίς από την ΓΥΣ για τις ανάγκες του Στατού. Το 987 ο Ο.Κ.Χ.Ε. σε συνεγασία µε την Γεδαιτική και Γεφυσική Επιτοπή του Κάτους ΓΓΕΚ ίδυσε ένα νέο γεδαιτικό σύστηµα Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
97 το ΕΓΣΑ 87 µε ποβολή την Εγκάσια Μεκατοική µε κεντικό µεσηµβινό τις ο. Το νέο αυτό σύστηµα χησιµοποιεί ο Ογανισµός Κτηµατολογίου και Χατογαφήσεν ΟΚΧΕ. 5.. Ποβολή ΗΑΤΤ Έστ δύο σηµεία στο ΕΕΠ, Τ ο φ ο, λ ο και Τ φ, λ που ενώνονται από την γεδαισιακή γαµ- µή S και µε γεδαιτικό αζιµούθιο α Σχήµα 5.. Θεούµε ένα επίπεδο εφαπτόµενο του Ε- ΕΠ στο σηµείο Τ ο. Στο επίπεδο αυτό οίζουµε ένα σύστηµα οθογνίν κατεσιανών συντεταγµένν, µε αχή το σηµείο Τ ο, άξονα τν να εφάπτεται στο µεσηµβινό του ΕΕΠ στο σηµείο Τ ο και άξονα τν να είναι κάθετος στον άξονα τν. Τ P Τ ΕΕΠ Τ ο α S α S Τ ο Ποβολικό επίπεδο Σχήµα 5.. Ποβολή γεδαιτικού αζιµουθίου και γεδαισιακής γαµµής από το ΕΕΠ στο επίπεδο ποβολή HATT. Ένα τυχόν σηµείο Τ του ΕΕΠ, ποβάλλεται στο επίπεδο έτσι ώστε η εικόνα S της γεδαισιακής γαµµής και η εικόνα α του αζιµουθίου να πααµένουν αναλλοίτα, δηλαδή ίσα µε τα α- ντίστοιχα στο ΕΕΠ. Ο Ελληνικός χώος, στο ΕΕΠ του Βssl που είναι το ΕΕΠ αναφοάς για το Ελληνικό Dt, υποδιαιείτε σε σφαιοειδή ταπέζια πλευών, σε κάθε ένα από αυτά έχου- µε ένα κέντο Τ ο όπς αυτό οίζεται από την τοµή του κεντικού µεσηµβινού και πααλλήλου. Ο µεσηµβινός αφετηίας είναι ο µεσηµβινός του βάθου του αστεοσκοπείου Αθηνών. Τα σφαιοειδή ταπέζια, αντιστοιχούν σε φύλλα - χάτη, µε κέντα τις εικόνες τους Τ κλίµακας :. Κάθε φύλλο έχει το δικό του σύστηµα, µε κέντο που έχει γεδαιτικές συντεταγµένες φ ο,λ ο ακέαιες µοίες πλέον 5 ή πλέον 5. Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος 98 Σχήµα 5.. Επίπεδη ή αζιµουθιακή ποβολή. Οι σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζουµε τα φ, λ ή τα, στην ποβολή αυτή µε βάση το κέντο φύλλου φ ο, λ ο και τν ακτινών καµπυλότητας ο και Ν ο της µεσηµβινής και πώτης κάθετης τοµής αντίστοιχα υπολογισµένες στα φ ο και λ ο είναι Λιβιεάτος, Φτίου 99: K s s s cs s 9 cs s cs K cs s s cs s s cs s cs s s cs K t t t t s s t s t K λ λ cs t t cs t t cs cs t cs t cs t cs
99 5.. H Εγκάσια Μεκατοική Ποβολή Αν Θεήσουµε την γη σαν µια σφαία η οποία να πειβάλλεται από ένα κύλινδο, έτσι ώ- στε ο κύλινδος να εφάπτεται κατά µήκος ενός µέγιστου κύκλου και συνεπώς ο άξονας του να είναι κάθετος µε την διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τους δύο πόλους της σφαίας ή να ταυτίζεται µε µια διεύθυνση διαµέτου του ισηµεινού κύκλου της σφαίας. Ποβάλουµε όλα τα σηµεία της σφαίας πάν στον κύλινδο κατά τις ποεκτάσεις τν ευθειών τους από το κέντο της σφαίας και αναπτύσσουµε τον κύλινδο σε ένα επίπεδο γύ από µια γενέτειά του. Ο κύλινδος επειδή είναι αναπτυκτή επιφάνεια έχει ς συνέπεια τα σηµεία να µην έχουν καµιά πααµόφση κατά την ανάπτυξή του. Αυτή είναι µια σύµµοφη απεικόνιση της σφαίας σε ένα επίπεδο. Σχήµα 5.5. Εγκάσια Μεκατοική Ποβολή. Στο ποβολικό αυτό επίπεδο ιδύουµε ένα σύστηµα οθογνίν κατεσιανών συντεταγµένν µε άξονα τν να ταυτίζεται µε τον µέγιστο κύκλο επαφής και ο οποίος ποβάλλεται ς ευθεία και άξονα τν τον ισηµεινό, ο οποίος επίσης ποβάλλεται ς ευθεία και είναι κάθετος στον άξονα τν. Η αχή του συστήµατος είναι η τοµή του κεντικού µεσηµβινού µε τον ισηµεινό. Αν αντί για σφαία χησιµοποιήσουµε ένα ΕΕΠ, τότε για µια ζώνη ο κύλινδος θα εφάπτεται σε ένα σηµείο του κεντικού µεσηµβινού που στο ΕΕΠ δεν είναι κύκλος αλλά έλλειψη. Οι παάλληλοι ποβάλλονται ς καµπύλες γαµµές µε τα κυτά να στέφονται πος τον ισηµε- Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
ινό, ενώ οι µεσηµβινοί ς καµπύλες γαµµές µε τα κοίλα να στέφονται πος τον κεντικό µεσηµβινό και αποκλίνοντας απ αυτόν τόσο όσο πεισσότεο απέχουν. Οι σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζουµε τις συντεταγµένες Ε,Ν στην Μεκατοική ποβολή είναι : 88η 8 S φ s φ cs 7 5 8 t η 9t η φ 58t s φcsφ s φ cs t 7η t 9η η 8 7 s φ cs φ 85 t 5t t t η φ 5 5η η 8t η E 5 cs 5 7 7 cs 5 cs cs 5 8t t 79t 79t t t η η 58t η η η t η t η µε ΕΕ c όπου c ή c5. και t t η cs λ λ και οι σχέσεις για τις συντεταγµένες φ, λ είναι: t t 5 7 E 8 E t 9t t η 9t η 88η t 8 E 7 8 5t E 5t η 5 t η η 9t η η 85 t 95t 575t 5t η 8t η η 9t η 8 η Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
λ λ 5 E sc E E 5 t η 5 η 8t η 8t η t η t η t η 7 E t t 7t όπου, Ν οι ακτίνες καµπυλότητας για πλάτος φ και t t η cs Στην Ελλάδα χησιµοποιούνται τεις πααλλαγές της εγκάσιας µεκατοικής ποβολής. Η Εγκάσια µεκατοική ποβολή ζώνης ο ΤΜ ο Η ποβολή ΤΜ είναι µια πααλλαγή της εγκάσιας µεκατοικής ποβολής. Έχει µέτο γαµµική πααµόφσης ο.9999, εύος ζώνης ο µε αναφοά το Ελληνικό Dt και το ελλειψοειδές του Bssl και σταθεή ποσότητα c. Η αφετηία τν λ είναι ο µεσηµβινός του βάθου του Αστεοσκοπείου Αθηνών. Τεις είναι οι ζώνες για τον Ελλαδικό χώο :. Η υτική µε κεντικό µεσηµβινό λ -. Η Κεντική µε κεντικό µεσηµβινό λ. Η Ανατολική µε κεντικό µεσηµβινό λ Ο άξονας τν τετµηµένν θεείται η εφαπτόµενη στον παάλληλο αφετηίας. Η Εγκάσια µεκατοική µιας ζώνης. Η ΤΜ µιας ζώνης χησιµοποιείται παάλληλα µε το νέο Ελληνικό Γεδαιτικό Σύστηµα Αναφοάς ΕΓΣΑ 87 και το ελλειψοειδές εκ πειστοφής GRS 8, µε κεντικό µεσηµβινό λ ο και άξονα τετµηµένν τον ισηµεινό. Το µέτο γαµµικής πααµόφσης είναι.999 και η σταθεή ποσότητα c5. Η ποβολή ΤΜ 87 είναι το ποβολικό σύστηµα που χησιµοποιείται από τον ΟΚΧΕ για την δηµιουγία του Ελληνικού Κτηµατολογίου. Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Η ποβολή UTM. Η UTM στην Ελλάδα εφαµόζεται σε συνδυασµό µε το Ευπαϊκό Dt ED 5 και το ΕΕΠ του Hfrd. Ο Ελληνικός χώος πειλαµβάνεται από τις ζώνες και 5 µε κεντικούς µεσηµβινούς λ ο και λ7 αντίστοιχα. Το µέτο γαµµικής πααµόφσης είναι ο.999 και η σταθεή ποσότητα c5. Ο άξονας τν τετµηµένν θεείται η εφαπτόµενη στον ισηµεινό. 5. Μετασχηµατισµός συντεταγµένν 5.. Αλλαγή συστήµατος αναφοάς Το παγκόσµιο σύστηµα εντοπισµού θέσης Glbl Pstg Sst - GPS χησιµοποιείται πλέον στην συντιπτική πλειοψηφία τν Τοπογαφικών και Γεδαιτικών εγασιών διότι, όπς ήδη αναφέθηκε υπετεεί σε σχέση µε τις υπόλοιπες - πογενέστεες - µεθόδους. Το σύστηµα µέτησης τν συντεταγµένν του συστήµατος GPS είναι το WGS 8 Wrld Gdtc Sst 98 και το ελλειψοειδές εκ πειστοφής που χησιµοποιείται έχει σταθεές: Μεγάλο ηµιάξονα 787. Επιπλάτυνση f98.575 στο σύστηµα αναφοάς WGS 8 αναφέονται όλες οι παατηήσεις που κάνουµε µε το GPS αν στη συνέχεια θέλουµε να µεταβούµε σε ένα τοπικό σύστηµα αναφοάς τότε είναι απααίτητο να γνίζουµε τις πααµέτους που συνδέουν τα δύο συστήµατα. Έστ ότι έχουµε δύο κατεσιανά συστήµατα αναφοάς το πώτο είναι το WGS 8 το σύστηµα αναφοάς του GPS και το δεύτεο ένα τοπικό σύστηµα αναφοάς ΤΣ. Τα δυο συστήµατα διαφέουν κατά τεις συνιστώσες παάλληλης µετάθεσης της αχής τν αξόνν καθώς επίσης και κατά τεις γνίες στοφής τν αξόνν του ενός συστήµατος ς πος το άλλο Σχήµα 5.. Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος Σχήµα 5.. Γεδαιτικά Συστήµατα αναφοάς. Αναλυτικά οι µαθηµατικές σχέσεις που συνδέουν τα δύο συστήµατα είναι Ρσσικόπουλος 998: λ ΤΣ Z Z Z WGS R όπου R είναι ο οθογώνιος πίνακας στοφής που ποκύπτει από το γινόµενο τιών επιµέους πινάκν στοφής Elr. Για δεξιόστοφα συστήµατα αναφοάς η σειά τν διαδοχικών στοφών µποεί να είναι :. Στοφή κατά γνία γύ από τον άξονα, ο πίνακας στοφής είναι cs s s cs R. Στοφή κατά γνία γύ από τον άξονα, ο πίνακας στοφής είναι cs s s cs R
. Στοφή κατά γνία γύ από τον άξονα, ο πίνακας στοφής είναι R cs s s cs Οπότε ο πίνακας R είναι : R R R R cs cs R s s cs cs cs s cs s s s s cs s s cs s s s cs s cs cs s s cs cs cs Στις συνήθεις γεδαιτικές εφαµογές επειδή οι γνίες στοφής είναι µικές ο πααπάν πίνακας απλοποιείται ς εξής : R Συνεπώς για να µεταβούµε από το σύστηµα αναφοάς του GPS στο τοπικό σύστηµα πέπει να γνίζουµε τις συνιστώσες µετάθεσης και τις γνίες στοφής. Σε αντίθεση πείπτση θα πέπει να υπολογίσουµε τις άγνστες πααµέτους εφαµόζοντας ένα µετασχηµατισµό στις τεις διαστάσεις µεταξύ τν δύο συστηµάτν. Οι εξισώσεις του µετασχηµατισµού οµοιότητας για δύο δεξιόστοφα γεδαιτικά συστήµατα στις συνήθεις πειπτώσεις είναι: Z ΤΣ λ Z WGS Z Ο υπολογισµός τν πααµέτν του µετασχηµατισµού γίνεται µε ελάχιστα τετάγνα οµοίς µε τον µετασχηµατισµό οµοιότητας στις δύο διαστάσεις. Στην πείπτση όπου το τοπικό σύστηµα είναι το ΕΓΣΑ 87 και οι απαιτήσεις µας σε ακίβεια είναι της τάξης του µέτου, σαν σχέση που συνδέει τα δύο συστήµατα µποούµε να χησιµοποιήσουµε την Z ΕΓΣΑ' 87 Χ Υ Ζ WGS'8 99.7 75..8 Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
5 Τα συστήµατα ΕΓΣΑ 87 και WGS 8 έχουν σχεδόν παάλληλους άξονες. 5.. Υπολογισµός τν ποβολικών συντεταγµένν από συντεταγµένες στο WGS 8 Οι µετήσεις µε το GPS χαακτηίζονται από καλή ακίβεια στον ποσδιοισµό της σχετικής θέσης µεταξύ τν σηµείν παατήησης της τάξης του εκατοστού ς πος το σύστηµα αναφοάς WGS 8. Επειδή όµς στον υπολογισµό του υψοµέτου η ακίβεια ποσδιοισµού του υψοµέτου δεν είναι ανάλογη της οιζόντιας ακίβειας ελλιπής γνώση του πεδίου βαύτητας κτλ., για να διατηήσουµε την καλή ακίβεια της οιζόντιας θέσης η διαδικασία µετατοπής τν συντεταγµένν εκτελείται σε δύο στάδια, ξεχιστά για την οιζόντια θέση και ξεχιστά για το υψόµετο. Η µετατοπή τν συντεταγµένν τν σηµείν από το σύστηµα αναφοάς WGS 8 σε ένα τοπικό σύστηµα αναφοάς για την οιζόντια θέση γίνεται ακολουθώντας τα παακάτ βήµατα:. Συνοθώνουµε το δίκτυο GPS στο σύστηµα WGS 8 ς ελεύθεο ή µε ελάχιστες δεσµεύσεις.. Από τις κατεσιανές συντεταγµένες Χ,Υ,Ζ στο WGS 8 υπολογίζουµε τις κατεσιανές συντεταγµένες στο τοπικό σύστηµα αναφοάς, για όλες τις κουφές του δικτύου. Οι νέες συντεταγµένες στο τοπικό σύστηµα καλούνται και ποσεγγιστικές, επειδή δεν µας δίνουν ικανοποιητική ακίβεια στο τοπικό σύστηµα, ο λόγος είναι ότι συνήθς δεν γνίζουµε τις σχέσεις µετατοπής µεταξύ τν δύο συστηµάτν µε την απαιτούµενη ακίβεια.. Από τις ποσεγγιστικές κατεσιανές συντεταγµένες Χ,Υ,Ζ στο τοπικό σύστηµα υπολογίζουµε τις ποσεγγιστικές γεδαιτικές φ,λ,h.. Από τις ποσεγγιστικές γεδαιτικές συντεταγµένες φ,λ,h του τοπικού συστήµατος υπολογίζουµε τις ποβολικές συντεταγµένες, στην αντίστοιχη ποβολή µε βάση τις εξισώσεις απεικόνισης. 5. Υπολογίζουµε τις πααµέτους του µετασχηµατισµού οµοιότητας στο ποβολικό επίπεδο, µεταξύ τν ποσεγγιστικών ποβολικών συντεταγµένν και ενός αιθµού σηµείν γνστών ποβολικών συντεταγµένν τουλάχιστον τιών σηµείν.. Με βάση τις πααµέτους του µετασχηµατισµού οµοιότητας που υπολογίσαµε µετασχηµατίζουµε και τα υπόλοιπα σηµεία του δικτύου. Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Ο µετασχηµατισµός που χησιµοποιούµε στο 5 ο βήµα είναι ο οµοιότητας. Ο λόγος που επιλέγουµε αυτόν το µετασχηµατισµό είναι για να διατηήσουµε την καλή γεµετία του αχικού δικτύου µας. Στην συνέχεια πειγάφουµε τους αλγοίθµους τν δύο συνηθέστεν µετασχηµατισµών, του µετασχηµατισµού οµοιότητας και του αφινικού. 5.. Μετασχηµατισµός Οµοιότητας Οι µετασχηµατισµοί είναι διαδικασίες που µας επιτέπουν να µεταβούµε από ένα σύστηµα αναφοάς σε ένα άλλο. Για να υπολογίσουµε τις σχέσεις που συνδέουν τα δύο συστήµατα αναφοάς θα πέπει να γνίζουµε τις θέσεις συντεταγµένες κάποιου συγκεκιµένου, για κάθε τύπο µετασχηµατισµού, αιθµού σηµείν κοινών και στα δύο συστήµατα. Ο µετασχηµατισµοί µποεί να αφοούν τισδιάστατα συστήµατα αναφοάς ή δισδιάστατα. Για την επίλυση του ποβλήµατος του µετασχηµατισµού οµοιότητας απαιτούνται τουλάχιστον γνστά σηµεία. Στην πείπτση όπου γνίζουµε πεισσότεα τν δύο σηµείν, καταφεύγουµε στην µέθοδο τν ελαχίστν τεταγώνν. Με την ποϋπόθεση ότι οι παατηήσεις τν συντεταγµένν είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους και της ίδιας ακίβειας καταλήγουµε στις παακάτ σχέσεις υπολογισµού τν πααµέτν του µετασχηµατισµού:, b, t, t όπου, είναι οι αναγόµενες συντεταγµένες τν, αντίστοιχα,στο κέντο βάους τους δηλαδή, και, όπου ο αιθµός τν σηµείν.για τα υπόλοιπα σηµεία οι σχέσεις του µετασχηµατισµού γίνονται : b b t t 5.. Αφινικός µετασχηµατισµός Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος 7 Στον αφινικό µετασχηµατισµό έχουµε δύο επιπλέον πααµέτους σε σχέση µε τον µετασχηµατισµό οµοιότητας, συγκεκιµένα υπολογίζουµε δύο µεταθέσεις, δύο γνίες στοφής, και δύο συντελεστές κλίµακας κατά και. Η µοφή του αφινικού µετασχηµατισµού για συστήµατα δύο διαστάσεν επίπεδο είναι : t b t b όπου, οι συντεταγµένες τν σηµείν στο αχικό σύστηµα αναφοάς και, οι συντεταγµένες στο τελικό σύστηµα αναφοάς. Όπς φαίνεται από την µοφή τν εξισώσεν για να υπολογίσουµε τις πααµέτους του µετασχηµατισµού,,, b b απαιτούνται τουλάχιστον τία κοινά σηµεία. Συνήθς όµς για αυξήσουµε την ακίβεια αλλά και για καλύτεο έλεγχο χησιµοποιούµε πεισσότεα τν τιών σηµείν. Αν υποθέσουµε ότι έχουµε κοινά σηµεία γνστών συντεταγµένν, µποούµε να δηµιουγήσουµε εξισώσεις µε αγνώστους και στην πείπτση που τα κοινά σηµεία είναι πεισσότεα τν τιών, δηλαδή όταν >, το σύστηµα έχει πεισσότεες από µια λύσεις. Για την επίλυση του ποβλήµατος καταφεύγουµε στην µέθοδο τν ελαχίστν τεταγώνν. Με την ποϋπόθεση ότι οι παατηήσεις τν συντεταγµένν είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους και της ίδιας ακίβειας καταλήγουµε στις παακάτ σχέσεις υπολογισµού τν πααµέτν του µετασχηµατισµού :, b, b t, t όπου, είναι οι αναγόµενες συντεταγµένες τν, αντίστοιχα,στο κέντο βάους τους δηλαδή
8, και, όπου ο αιθµός τν σηµείν. Για να εφαµόσουµε τον µετασχηµατισµό και για τα υπόλοιπα σηµεία του συστήµατος οι αχικές σχέσεις παίνουν τη µοφή : b b t t 5..5 Αλλαγή ποβολικού συστήµατος για τον Ελληνικό Χώο Ένα ποβολικό σύστηµα χαακτηίζεται από το είδος της ποβολής που χησιµοποιείται και τον τόπο εφαµογής της σε συνδυασµό πάντοτε µε το γεδαιτικό Dt που χησιµοποιείται. Στους µετασχηµατισµούς, µε τις ποβολές και τα Dt που χησιµοποιούνται στην Ελλάδα συναντάµε τις εξής δύο πειπτώσεις : Αλλάζει η ποβολή ενώ το Dt πααµένει το ίδιο. Πείπτση µετασχηµατισµού π.χ α- πό Htt σε TM. Σε αυτήν την πείπτση τα, της Htt γίνονται φ, λ και στην συνέχεια µετατέπονται σε Ε, Ν στην ΤΜ από τις εξισώσεις απεικόνισης της κάθε ποβολής. Αλλάζει η ποβολή και το Dt. Πείπτση µετασχηµατισµού π.χ από Htt σε ΤΜ µιας ζώνης. Σε αυτήν την πείπτση τα χ, της Htt γίνονται φ, λ. Τα φ, λ γίνονται Χ, Υ, Ζ στο Ελληνικό Dt. Τα,, Z µετασχηµατίζονται σε,, Z στο ΕΓΣΑ 87 µέσ τν πααµέτν σύνδεσης D, D, DZ. Τα,, Z µετατέπονται σε φ, λ στο ΕΓΣΑ 87 και τέλος µετασχηµατίζονται σε Ε, Ν στην ΤΜ µιας ζώνης. Σε όλες τις πειπτώσεις µετασχηµατισµών συντεταγµένν, µποούµε να κάνουµε και µετασχηµατισµούς οµοιότητας ή αφινικού για να βελτιώσουµε την ακίβεια της ποσαµογής. Σηµαντική παάµετος στις Τα σηµεία αυτά θα πέπει να ποσέχουµε να έχουν καλή κατανοµή στην πειοχή που εγαζόµαστε. π.χ υπάχουν από τον Ο.Κ.Χ.Ε πολυώνυµα µετασχηµατισµού Htt -> ΕΓΣΑ 87 όχι το αντίστοφο που αναφέονται σε φύλλα :5. Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
9 5. Υπολογισµός οθοµετικών υψοµέτν Το GPS µποεί να µας δώσει ακίβεια στον σχετικό ποσδιοισµό τν γεµετικών υψοµέτν h της τάξες του εκατοστού και αναφέονται στο ΕΕΠ του GPS. Από τα γεδαιτικά υψόµετα µποούν να ποσδιοιστούν τα οθοµετικά υψόµετα Η µε διαφοετική ακίβεια επειδή παεµβάλλεται και η επιφάνεια του Γεειδούς. Γενικά η σχέση που µας δίνει το οθοµετικό υψόµετο όταν γνίζουµε το γεµετικό είναι : hh ή Ηh- όπου Ν η αποχή του γεειδούς. Συνεπώς η ακίβεια ποσδιοισµού τν οθοµετικών υψοµέτν εξατάται από την γνώση που έχουµε για το Γεειδές στην πειοχή τν µετήσεν. Τις αποχές του γεειδούς µποούµε να τις πάουµε από ένα χάτη γεειδούς, σε αυτή την πείπτση η ακίβεια ποσδιοισµού τν οθοµετικών υψοµέτν είναι ανάλογη της ακίβειας του χάτη και της διακιτικής ικανότητας εντοπισµού του κάθε σηµείου. Στην πείπτση όπου γνίζουµε τα οθοµετικά υψόµετα σε οισµένα σηµεία και η πειοχή εγασίας είναι πείπου K, έχοντας και ένα οµαλό σχετικά γεειδές τότε οι αποχές του γεειδούς µποούν να ποκύψουν µε την εφαµογή µιας αναλυτικής παεµβολής της µοφής : Όπου,, και, οι οιζόντιες συντεταγµένες Σηµείση: Στην αναλυτική παεµβολή µποούµε να χησιµοποιήσουµε και µεγαλύτεης τάξης πολυώνυµο, για αύξηση της ακίβειας. Με την ποϋπόθεση ότι οι παατηήσεις τν συντεταγµένν είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους και της ίδιας ακίβειας η επίλυση µε ελάχιστα τετάγνα για το αναλυτικό µοντέλο µας δίνει την παακάτ λύση Ρσσικόπουλος 998 : ^ h H k Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος
Σ. Κατσουγιαννόπουλος Γ. Βέγος Σεπτέµβιος k k H h c H h b c b ^ k k H h c H h c b ^ για την απλοποίηση τν πάξεν αντί για τις συντεταγµένες, χησιµοποιούµε τις, που είναι οι ανηγµένες συντεταγµένες στο κέντο βάους τους, και, και τις βοηθητικές µεταβλητές, b και c b, και c και τελικά εκτιµήσεις τν αποχών του γεειδούς είναι ^ ^ ^ ^ Η αναλυτική παεµβολή µας δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα για µικές πειοχές µε την ποϋπόθεση ότι τα σηµεία γνστών οθοµετικών υψοµέτν καλύπτουν όλη την πειοχή και είναι χοσταθµικές αφετηίες της ΓΥΣ ή είναι σηµεία που έχουν ποκύψει από χοσταθµική όδευση. Για µεγαλύτεης έκτασης πειοχές θα πέπει να χησιµοποιούµε πιο σύνθετα µοντέλα Γεειδούς.