" Θεωρητική και υπολογιστική µελέτη της βαροκλινικής αστάθειας "

Transcript

1 Αιστοτέειο Πανεπιστήµιο Θεσσαονίκης Σχοή ετικών επιστηµών Τµήµα Φυσικής " Θεωητική και υποογιστική µεέτη της βαοκινικής αστάειας " ιπωµατική εγασία Πόγαµµα µεταπτυχιακών σπουδών Υποογιστική Φυσική Καογεάς Κ Πέτος Επιβέπων : Στεγιούας Νικόαος Επ Καηγητής Θεσσαονίκη Σεπτέµβιος

2

3 Πειεχόµενα Εισαγωγικά Μέος Α : Θεωητική εισαγωγή Η είσωση της σχετικής κίνησης Ποσεγγίσεις ιαστωµάτωση Saca 4 4 Scal και ο αιµός ssb 57 5 Qas Gs QG 67 6 Βαοκινική αστάεια 8 7 Το πόβηµα του Ea 9 8 Η τεική µοφή του συστήµατος 9 Αποτεέσµατα / Συµπεάσµατα Μέος Β : Στοιχεία αιµητικής ανάυσης Το υπεβοικό σύστηµα 7 Μετασχηµατισµός του συνόου ποτύπων για το υπεβοικό σύστηµα 77 Το σχήµα La 85 4 Είσωση Pss Το σχήµα των 5 σηµείων 97 5 Μετασχηµατισµός του συνόου ποτύπων για την είσωση Pss 7 6 Το σχήµα Lbma Μέος Γ : Παάτηµα Καµπυόγαµµες συντεταγµένες στο χώο E Γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες 45 Γεωστοφική ισοοπία και εµικός άνεµος 59 4 Βασικά στοιχεία εµοδυναµικής 67

4 5 Σταεά ποφί 8 6 Μετασχηµατισµός συνόων ποτύπων 95 Αναφοές

5 Εισαγωγικά Στην εδώ εγασία µεετάται το έµα της βαοκινικής αστάειας Χησιµοποιώντας τον όο " αστάεια " εννοούµε ποιοτικά το εής : Ότι είναι δυνατόν µια αχική κατάσταση στο ατµοσφαιικό ευστό να µεταβηεί " ακετά " κάτι το οποίο αποδίδεται στην εµφάνιση και µετέπειτα παουσία επιδώντων διατααχών οι οποίες δεν φίνουν αά αντιέτως εµφανίζουν µια αυστηά αύουσα συµπειφοά µέχι το σηµείο όπου αυτές γίνουν συγκίσιµες µε τις τιµές των φυσικών µεταβητών πίεση πυκνότητα των υφιστάµενων στάµεων αναφοάς που εωείται ότι ποϋπάχουν στο φυσικό σύστηµα Το έµα της βαοκινικής αστάειας µεετάται στα παίσια της εωίας που αναπτύχηκε από τους Ca και Nma συνδυαστικά µε µια υφιστάµενη αποποίηση που αποδίδεται στον Ea Κατά το πώτο στάδιο της µεέτης συστήµατα αποποιηµένων εισώσεων του αχικού και πέον γενικού συστήµατος εισώσεων Na Ss σύστηµα Bsssq ανεαστική ποσέγγιση ποκύπτουν γαµµικοποιώντας τη συνάτηση της πίεσης και της πυκνότητας εωώντας ότι το ευστό είναι ευσταώς διαστωµατωµένο sabl sa l Αυτά τα αποποιηµένα συστήµατα εντάσσονται στα παίσια της εώησης πεί διαστωµάτωσης saca και ως εκ τούτου καούνται και saca mls Η εώηση εδώ αναφέει ποιοτικά ότι δύναται το ατµοσφαιικό ευστό αχικά να βίσκεται σε µια κατάσταση τέτοια ώστε οι συνατήσεις της πίεσης και της πυκνότητας να µεταβάονται κυίαχα µόνο µε το υόµετο Αυτό είναι σε συµφωνία µε υφιστάµενα ατµοσφαιικά υποδείγµατα όπου στην απούστεη εώησή τους δίνουν σχέσεις για την πίεση και την πυκνότητα απώς ως και ώστε να εωείται παάηα και µια υφιστάµενη υδοστατική ισοοπία κάτι που είναι συµβατό και µε την καηµεινή εµπειία Το επόµενο στάδιο της µεέτης αναφέει ότι ποκειµένου να ποκύουν πεεταίω αποποιηµένα συστήµατα εισώσεων α πέπει να ηφούν υπ όιν το γεωγαφικό εκτατό εντός του οποίου αµβάνει χώα η κίνηση συνδυαστικά µε τη σχετική τάη µεγέους των όων που εµφανίζονται στις εισώσεις ποσεγγίσεις κίµακας / scal Λαµβάνοντας µια οογώνια γεωµετία και αγνοώντας την καµπυότητα του πανήτη µε βάση τα πααπάνω ποκύπτουν τέτοιες αποποιήσεις οι οποίες εντάσσονται στα παίσια της ποσέγγισης του qas / sm s Το τεικό αποτέεσµα των ποσεγγίσεων αυτών είναι η εαγωγή εισώσεων οι οποίες καούνται και " al c qas sc qas " Η εκάστοτε φύση των ποσεγγίσεων καοίζει και την ακιβή τεική έκφαση των σχέσεων αυτών Στα παίσια της αχικής εωίας Ca επί πααδείγµατι η παάµετος Cls εωείται ως συνάτηση του γεωγαφικού πάτους β la ama κάτι το οποίο α- γνοείται εν τέει Μέσω υφιστάµενων γαµµικοποιήσεων σε µια τέτοια qas sc al c qa καταήγουµε στη εώηση Ea Ea ca / blm σε µια µαηµατική µοφή η οποία επιδέχεται αναυτικών ύσεων Οι ύσεις αφοούν τις διατααχές µέσω διαδοχικών γαµµικοποιήσεων των µεταβητών του συστήµατος κατά κύιο όγο της πίεσης και της πυκνότητας το τεικό αποτέεσµα δε της µεέτης του ποβήµατος του Ea δίνει µια εκετική αύηση για αυτές µέχι ένα χονικό οίζοντα Η εκετική αύηση των διατααχών δεν υφίσταται κα όη τη χονική εέιη του συστή- µατος Αυτό σηµαίνει ότι δεν αναµένεται τεικά κάποια " εκηκτική " µη φαγµένη συµπειφοά για τις µεταβητές όπου οι τιµές τους τότε α έτειναν στο άπειο Χησιµοποιώντας τον όο " αστάεια " δεν ζητούµε κάποια µη φαγµένη συµπειφοά για τις µεταβητές του συστήµατος κάτι το οποίο δεν α ήταν φυσικώς αποδεκτό Αυτό το οποίο υποδηώνεται µε τον όο αυτό είναι ότι υπό ποϋποέσεις δηαδή συνατήσει κατάηων αχικών συνηκών

6 στο σύστηµα είναι δυνατόν να εµφανιστούν και να εειχούν καταήως διατααχές οι οποίες δύνανται να αάουν την πότεη αχική κατάσταση αυτού εν οδηγούν όµως όες οι αχικές συνήκες σε µια τέτοια συµπειφοά δηαδή εν τέει σε αστάεια και όπως ποκύπτει δεν υπάχουν και ικανά κιτήια εύεσης τέτοιων αχικών συνηκών Η εωεία του Ea όµως δίνει ένα τέτοιο αχικό ποφί το οποίο µέσω της αναυτικής αντιµετώπισης που επιδέχεται αποδεικνύεται ότι οδηγεί σε τέτοια αστάεια Και είναι αυτό το αχικό ποφί της εώησης του Ea το οποίο χησιµοποιείται τεικά σε µια τοποποιηµένη έκφαση του συστήµατος Bsssq το οποίο και χησιµοποιείται για την ποσοµοίωση που γίνεται στη συνέχεια Τα τεικά αποτεέσµατα που ποκύπτουν βίσκονται σε συµφωνία µε τα πααπάνω Το τεικό συµπέασµα που ποκύπτει είναι ότι µε τον όο " βαοκινική αστάεια " αυτό το ο- ποίο ποσοµοιώνουµε / πειγάφουµε εν τέει είναι η δηµιουγία ενός µετώπου αέιας µάζας και πιο συγκεκιµένα ενός υχού µετώπου Από κατασκευής η πααπάνω εωεία χησιµοποιείται και για αυτό για την ποσοµοίωση τέτοιων µετώπων όπου ο χησιµοποιού- µενος όος είναι ο " ss " Μέσω αυτής της εέιης του συστήµατος ποκύπτει τεικά ότι ένα κατάηο αχικό ποφί στο σύστηµα δύναται να µεταβηεί σε µια νέα µη µποώντας αυτή η αχική κατάσταση να διατηηεί κόντα στις εµφανιζόµενες και οοένα αύουσες διατααχές Και αυτό ακιβώς πειγάφεται µέσω του όου " αστάεια " Η συογιστική η οποία ακοουείται στα παακάτω δίνεται ως εής : Για το µέος Α Θεωητική εισαγωγή : " Η είσωση της σχετικής κίνησης " : Στο εδάφιο αυτό η συογιστική άχεται από εµειώδεις και πού βασικές αχές τις διανυσµατικής ανάυσης και της µηχανικής το τεικό αποτέεσµα δε είναι η εαγωγή των εισώσεων κίνησης δηαδή του δεύτεου νόµου του Νεύτωνα για στεφόµενο πανήτη τη Γη ως µη αδανειακό σύστηµα αναφοάς " Ποσεγγίσεις " : Οι εδώ ποσεγγίσεις γίνονται επί των αποτεεσµάτων του ποηγούµενου εδαφίου Αχικά η είσωση της οµής γάφεται διαχωίσιµα για σφαιικό κέυφος και κατακόυφη διεύυνση κάτι που χειάζεται στη συνέχεια της εώησης και εν συνεχεία αµβάνεται οογώνια συµµετία Οι εδώ εισώσεις καούνται και " m qas " και αποτεούν τις πώτες ποσεγγίσεις που γίνονται πιν γαφούν τα µοντέα της διαστωµάτωσης Επίσης αναφέεται και το φαινόµενο β ως µια καύτεη ποσέγγιση της πααµέτου Cls για οογώνια συµµετία " ιαστωµάτωση Saca " : Εδώ αναπτύσσεται η εωεία η οποία οδηγεί στο σύστηµα Bsssq και της ανεαστικής ποσέγγισης alasc ama Το σύστηµα που χησιµοποιείται τεικά για την ποσοµοίωση είναι µια παααγή του συστήµατος Bsssq 4 " Scal και ο αιµός ssb " : Εδώ παγµατοποιείται µια επιπέον ποσέγγιση αµβάνοντας υπ όιν µας τη σχετική τάη µεγέους των όων στις εισώσεις των µοντέων της διαστωµάτωσης Κάποιοι όοι ποκύπτουν ακετά µεγαύτεοι σε σχέση µε κάποιους άους ο σχετικός όγος ποκύπτει ως και αυτό χησιµοποιείται για πεεταίω αποποιήσεις

7 5 " Qas Gs QG " : Το εδάφιο της εωίας του Ca Το τεικό αποτέεσµα είναι η εαγωγή του qas sc al c qa που χησιµοποιείται στη συνέχεια 6 " Βαοκινική αστάεια " : Εδώ γαµµικοποιείται εκ νέου η πααπάνω είσωση η οποία καταήγει σε µια αποποιηµένη γαφή όπου ποκειµένου να υεί για κάποιο συγκεκιµένο παάδειγµα απαιτείται κάποιο συγκεκιµένο ποφί κατάστασης στο σύστηµα 7 " Το πόβηµα του Ea " : Μια τέτοια κατάσταση δίνεται στα παίσια της εώηση του Ea Οι συνατήσεις που εισάγονται εδώ αποτεούν µια απή αά και πού ογική επιογή πειγάφοντας µια ατµοσφαιική κατάσταση η οποία µποεί να υφίσταται 8 " Η τεική µοφή του συστήµατος " : Το ότι το πόβηµα του Ea ύνεται και δίνει αναυτικές ύσεις δεν χησιµοποιείται κάπου αού αυτό κα εαυτό Η σκοπιµότητα που ευπηετεί έγκειται στο ότι δίνει αχικές συνήκες που αποδεδειγµένα οδηγούν σε αστάεια οι οποίες όµως δεν αποτεούν ύση στο σύστηµα του Bsssq έτσι όπως αυτό γάφεται αχικά Συνδυάζοντας καταήως το µοντέο της διαστωµάτωσης σύστηµα Bsssq µε τη εωία του qas s καταήγουµε στην τεική γαφή του συστήµατος αυτού η οποία δέχεται ως ύση και το σύνοο των αχικών συνηκών που ποκύπτουν από τη εώηση του Ea και το σύστηµα αυτό χησιµοποιείται για την πεεταίω αιµητική ανάυση Για το µέος Β Αιµητική ανάυση : Τα εδώ εδάφια αναπτύσσουν την υποογιστική τεχνική και τις υοποιούµενες σχέσεις που πογαµµατίζονται τεικά Εν συντοµία για το υποογιστικό µέος του ποβήµατος έχουµε να οοκηώσουµε αιµητικά τέσσεις υπεβοικές ΕΜΠ παουσία ενός εειπτικού δεσµού είσωση Pss κάτι το οποίο γίνεται τεικά σε έναν ανηγµένο τόπο χησιµοποιώντας κατάηα επιεγµένη κίµακα για τις χωικές διαστάσεις Από τα µοντέα της διαστωµάτωσης επίσης απαιτείται η γνώση κάποιων σταεών χονο ανεάτητων ποφί για την πίεση και την πυκνότητα πηοφοία που παατίεται στο εδάφιο " Σταεά ποφί " χησιµοποιώντας ως βάση απά ατµοσφαιικά υποδείγµατα όπου εωούµε την ατµόσφαια συµπιεστή µε αυστηά φίνουσα εµοκασία για τη στατόσφαια µε υµό µείωσης ίσο µε την ηή αδιαβατική εµοβαµίδα Το ατµοσφαιικό ευστό εωείται µε σταεή χηµική σύσταση εποµένως η υγασία παίνεται ακιβώς µηδέν ηός αέας και οι µεταβοές στο ευστό εωούνται επίσης αδιαβατικές και σε κάε πείπτωση αντιστεπτές Τέος δίνονται παατήµατα ο όος των οποίων είναι κααά επικουικός Εδώ παατίενται γνώσεις από τη γαµµική άγεβα από τη διανυσµατική ανάυση από τη εµοδυναµική και παατίεται επίσης και η βασική εωία του µετασχηµατισµού συντεταγµένων που χησιµοποιείται εδώ ποκειµένου να πεάσουµε στον ανηγµένο τόπο αιµητικής οοκήωσης

8

9 Μέος Α Θεωητική εισαγωγή

10

11 Η είσωση της σχετικής κίνησης Εισαγωγικά : Η µηχανική ως κάδος της κασσικής φυσικής χωίζεται σε δύο επιµέους εωίες Τη µηχανική του υικού σηµείου maal mcacs και τη µηχανική των συνεχών µέσων cm mcacs κάδος της οποίας είναι και η µηχανική των ευστών l mcacs Τα πααπάνω δύο µοντέα βίσκουν εφαµογή σε κατάηες κάε φοά εωήσεις Στα παίσια της µηχανικής του υικού σηµείου το υπόεµα δηαδή αυτό ως πος το ο- ποίο γίνεται ο όγος είναι αδιάστατο και εφοδιασµένο µε µια µόνο φυσική ιδιότητα τη µάζα αδάνειας Ε αιτίας αυτού οι εφαµογές αυτού του µοντέου είναι πειοισµένες διότι µε βάση αυτό µποούν να πειγαφούν µόνο µηχανικές ιδιότητες όχι όµως και εµοδυναµικές Στη µηχανική των ευστών εν αντιέσει το υπόεµα καείται στοιχείο του όγκου lm lm και εκτός από µάζα αδάνειας ιδιότητα η οποία σχετίζεται αµιγώς µε την κινητική κατάσταση αυτού δύναται να φέει και ενεγειακές ιδιότητες Για παάδειγµα µποούµε να οίσουµε τη συνάτηση εσωτεικής ενέγειας αά και άες εεύεες ενέγειες πεδία εµοκασίας πίεσης κα και εν τέει η µηχανική των ευστών είναι το υοποιούµενο µοντέο το οποίο µποεί να πειγάει πεισσότεα φυσικά συστήµατα όπως αυτό της γήινης ατµόσφαιας το οποίο εωείται εδώ συνδυαστικά και µε τη εµοδυναµική η οποία επίσης κάνει όγο για συνεχή µέσα σε µια συµβατή εώηση µε αυτήν της µηχανικής των ευστών Κίµακες κίνησης : Μποούµε να σκεφτούµε διάφοα φυσικά συστήµατα στα οποία παατηείται κίνηση ευστού Από τη οή νεού εντός κάποιου σωήνα µέχι και την κίνηση αείων µαζών στη γήινη ατµόσφαια ή και την κίνηση υδάτων στους ωκεανούς Τα πααπάνω πααδείγµατα υπόκεινται όα τους στην ίδια εώηση και πειγάφονται µε το ίδιο ακιβώς µαηµατικό µοντέο µε το ίδιο σύνοο εισώσεων Όµως όπως ποκύπτει είναι δυνατόν να υπάουν αποποιήσεις οι οποίες αποέουν από την εκάστοτε χωική και χονική κίµακα στις οποίες αµβάνουν χώα τα φαινόµενα και εν τέει από τη σχετική τάη µεγέους όων στις εισώσεις Για παάδειγµα αν εωήσουµε την κίνηση νεού σε σωήνα µποούµε να αγνοήσουµε την παουσία της επιτάχυνσης Cls η οποία πάντοτε υφίσταται κάτι που δεν µποεί να γίνει στην πειγαφή κίνησης αείων µαζών στην ατµόσφαια σε πανητική κίµακα εδοµένου τώα ότι οι κινήσεις ευστού µε τις οποίες ασχοούµαστε εδώ αµβάνουν χώα πάνω στη Γη η οποία ιδιο-πειστέφεται αυτό σηµαίνει ότι επειδή το σύστηµα αναφοάς ενός γήινου παατηητή που βίσκεται πάνω στη γήινη επιφάνεια δεν είναι αδανειακό όγω της κίνησης του πανήτη οι εισώσεις της µηχανικής α πέπει να γαφούν για ένα τέτοιο µη αδανειακό σύστηµα στο οποίο εµφανίζονται και δυνάµεις αδάνειας όοι στο δεύτεο αίωµα της κίνησης του Νεύτωνα των οποίων η παουσία δεν συνδέεται µε το ότι το υ- πόεµα είναι εφοδιασµένο µε µάζα αδάνειας αά όγω της κινητικής κατάστασης του συστήµατος αναφοάς Στη συνέχεια αποδεικνύεται η µοφή των εισώσεων σε ένα τέτοιο µη αδανειακό σύστηµα αναφοάς η οποία παό αυτά δύναται να αποποιηεί καταήως εωώντας κατάηη κίµακα κίνησης όπως αυτό πειγάφεται και στα παακάτω

12 4 Η είσωση της σχετικής κίνησης : Σχετική αναφοά για τα παακάτω είναι η [] Επίσης χησιµοποιούνται γνώσεις γαµµικής άγεβας και διανυσµατικής ανάυσης οι οποίες παουσιάζονται στα πεισσότεα µαηµατικά συγγάµµατα αναυτικής γεωµετίας αά και στα εδώ παατήµατα " Καµπυόγαµµες συντεταγµένες στο χώο E " και " Γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες " Λέγοντας κίνηση στη φυσική εννοούµε το µε ποιόν τόπο εείσσεται µεταβάεται η έση ενός υποέµατος Λέγοντας έση εννοούµε το πού βίσκεται το υπόεµα αυτό για κάε χονική στιγµή Η πααπάνω διατύπωση είναι ακετά αφηηµένη Για να µποέσουµε να αναπααστήσουµε τη έση ενός υποέµατος µονοσήµαντα δηαδή µε µια ένα πος ένα απεικόνιση α πέπει να εισάγουµε και την έννοια του συστήµατος αναφοάς Το σύστηµα αναφοάς αναπαίσταται ως ένα διατεταγµένο σύνοο Για το χώο των τιών διαστάσεων εντός του οποίου παατηείται η κίνηση γάφουµε : S Το πααπάνω διατεταγµένο σύνοο S πειέχει ως στοιχεία όους τους δυνατούς συνδυασµούς των στοιχείων των επιµέους συνόων Συµβοίζουµε : Ας είναι M το τυχαίο στοιχείο του συνόου δηαδή M και M το τυχαίο στοιχείο του συνόου S δηαδή M S Η έση του υποέµατος α είναι το στοιχείο M Χησιµοποιώντας τώα στοιχειώδεις έννοιες γαµµικής άγεβας µποούµε να εισάγουµε και την έννοια του διανυσµατικού χώου του συστήµατος συντεταγµένων και της βάσης Η είσωση που πειγάφει την κίνηση δηαδή το µε ποιόν τόπο µεταβάεται η έση του υποέµατος ως πος το σύστηµα αναφοάς εκφάζεται µέσω του δευτέου αιώµατος της κίνησης του Νεύτωνα Για ένα υικό σηµείο ο φοµαισµός είναι : F m a F m όπου : F : η συνιστάµενη δύναµη που ασκείται στο υπόεµα υικό σηµείο µε σηµείο εφαµογής πάνω σε αυτό και a : η επιτάχυνση του υποέµατος Ως m συµβοίζουµε τη µά- ζα αδάνειας την οποία και εωούµε σταεή Η πααπάνω είσωση δίνεται διανυσµατικά σε κειστή µοφή cls m a ή αιώς αναοίωτα aa έτσι ώστε να ισχύει για το όποιο σύστηµα φυσικών συντεταγµένων Επίσης η πααπάνω είσωση δίνεται ως πος αδανειακό σύστηµα αναφοάς το οποίο εωούµε αιωµατικά ότι είτε ηεµεί αυαίετα ή ότι κινείται µε σταεή διανυσµατικά ταχύτητα ως πος άο ηεµών σύστηµα αναφοάς Η είσωση της σχετικής κίνησης τώα είναι ο δεύτεος νόµος του Νεύτωνα γαµµένος για ένα παατηητή ο οποίος δεν είναι αδανειακός δηαδή το σύστηµα του οποίου έχει κίνηση τέτοια ώστε η αχή του συστήµατος αυτού να µην έχει σταεή διανυσµατικά ταχύτητα ως πος ένα αδανειακό σύστηµα αναφοάς Αυτό έχει ως αποτέεσµα να αάζει η µοφή της πααπάνω είσωσης

13 5 Θεωούµε το εής σχήµα : Έστω ένα ηεµών αδανειακό σύστηµα µε αχή έστω Ο Αυτή είναι µια εώηση η οποία τίεται αιωµατικά Θεωούµε και ένα άο σύστηµα µη αδανειακό του οποίου η αχή ας είναι η O Αναπαιστούµε και ένα υικό σηµείο ως Σ Το µη αδανειακό σύστηµα αναφοάς τυπικά α πέπει να εωείται ότι είναι ένα γήινο σύστηµα εγαστηίου το οποίο βίσκεται ακόνητο πάνω στη γήινη επιφάνεια ενώ το ηεµών σύστηµα αναφοάς µποεί να εωηεί ότι είναι ένα σύστηµα µε αχή το κέντο της Γης Η πααπάνω εώηση είναι α- πώς µια διατύπωση της γενικής εικόνας την οποία και εετάζουµε εδώ στην οποία υπάχουν οι εής κινήσεις : Το υικό σηµείο Σ έχει τη δική του κινητική κατάσταση µε αναφοά ως πος το Ο την αχή του αδανειακού συστήµατος Ως πος το Ο εωούµε κίνηση και για το O κίνηση η οποία είναι εντεώς ανεάτητη από την κινητική κατάσταση του σηµείου Σ Αυτό σηµαίνει τεικά ότι οι δυνάµεις οι οποίες καοίζουν τεικά και την κίνηση των O και Σ δεν α είναι οι ίδιες Επίσης εωούµε την κινητική κατάσταση του µη αδανειακού O ως κάτι το δεδοµένο και έγοντας αυτό εννοούµε ότι δεν µας απασχοεί να έουµε υπό την επίδαση ποιών δυνάµεων εκτεεί το O τη δική του κίνηση Αυτό α είναι κάτι το γνωστό κάτι το δεδοµένο δηαδή η τοχιά του O ως πος το Ο εωείται γνωστή Αχικά εωούµε και το εής : Όα τα µεγέη που γάφονται εδώ αχικά εωείται ότι είναι γαµµένα ως πος το ηε- µών αδανειακό σύστηµα Ο Αυτό σηµαίνει ότι µε ανάυση στο όποιο σύστηµα συντεταγµένων ως πος την όποια βάση οι χησιµοποιούµενες βάσεις α είναι του αδανειακού παατηητή Γάφουµε : Ισοδύναµα έτουµε : O Σ OO OΣ # OΣ : απόυτη έση Σ OO : µετοχική έση ' O Σ : σχετική έση

14 6 Σχηµατικά είναι : Σχήµα # : Σχετική κίνηση σηµείου Σ ως πος µη ηεµών σηµείο O Μεταύ του αδανειακού Ο και του µη αδανειακού O µε κάποιον τόπο α πέπει να διαχωίσουµε τις γαφές Για το µη αδανειακό χησιµοποιούµε τόνους τα µεγέη εδώ α είναι τονισµένα Και για τις χωικές συντεταγµένες και για το χόνο Ποκύπτει η αναγκαιότητα να έουµε το πότε µιάµε για το αδανειακό και πότε για τη µη αδανειακό σύστηµα Έχουµε οιπόν από τη σχέση # : ' Σ Έχουµε εισάγει και τη ητή εάτηση που α έχουν τα διανύσµατα αυτά µόνο από το χόνο Η πααπάνω ταυτότητα συνδέει τα διανύσµατα έσης του Σ ως πος το Ο του O ως πος το Ο και του Σ ως πος το O και οι συνατήσεις αυτές α εατώνται εν ποκειµένω για υικά σηµεία µόνο από τη µεταβητή Πααγωγίζουµε µια φοά ως πος : Σ ' Σ ' Σ ' #

15 7 Σε αυτό το σηµείο α πέπει να αναφέουµε κάποιες έννοιες από τη εωεία της γαµµικής άγεβας Έχουµε δύο ειδών βάσεις τις συναοίωτες και τις ανταοίωτες Για τις ανταοίωτες βάσεις µε τανυστική συµβοογαφία έχουµε για τις συντεταγµένες δείκτες κάτω και για τα στοιχεία της βάσης δείκτες πάνω ενώ για τις συναοίωτες το αντίετο δηαδή για τις συντεταγµένες δείκτες πάνω και για τα στοιχεία βάσης δείκτες κάτω Για την τυχαία ανταοίωτη βάση γάφουµε : Για τις συντεταγµένες : Για τη βάση : Για την τυχαία συναοίωτη βάση γάφουµε : Για τις συντεταγµένες : Για τη βάση : Ασχοούµαστε µόνο µε φυσικές βάσεις δηαδή για συστήµατα συντεταγµένων που είναι οογώνια κανονικά και αιστεόστοφα για τα στοιχεία βάσης των οποίων ισχύει : δ ή δ ε ή ε όπου δ το δέτα του c και ε το ε της αντιµετάεσης Το πααπάνω ισχύει γενικά χωίς καµία αναφοά ως πος χόνο εποµένως ισχύει και στα δύο συστήµατα αδανειακό και µη Για να αποποιήσουµε κατά τι το πααπάνω ας πούµε ότι µε τη µοναδική ανταοίωτη βάση µε την οποία α ασχοηούµε σε όα τα επόµενα α είναι απώς η γνωστή κατεσιανή βάση : Από τη σχέση # έχουµε τώα : ' Σ Τα πώτα δύο διανύσµατα τα κατάµε σε κειστή µοφή δεν τα αναύουµε ως πος κάποια βάση Για το τίτο γάφουµε όµως : Ας είναι σε κάποια συναοίωτη µη σταεή βάση : Το πααπάνω διάνυσµα δεν είναι διάνυσµα έσης κάποιου σηµείου ως πος το Ο εποµένως γενικά α έχει και τις τεις συνιστώσες του Λχ σε σφαιικές συντεταγµένες µποεί να είναι γενικά για το διάνυσµα έσης :

16 8 όµως για το οποιοδήποτε άο διάνυσµα α υπάχει µια γαφή ως : φ Θα είναι οιπόν : Αναύουµε το διάνυσµα της σχετικής έσης ως πος τη συναοίωτη βάση Η αχή του είναι το σηµείο O Mε τοπική αχή lcal το O επί του σηµείου αυτού α υφίσταται και ένα συνοδεύον τίακµο µε στοιχεία βάσης τα πααπάνω Με αναφοά ως πος το O τα πααπάνω διανύσµατα είναι σταεά Παόο που το O κινείται µαζί µε αυτό όντας εφαµοζόµενα στην εκεί τοπική αχή αάζουν και τα διανύσµατα αντιστοίχως ώστε τεικά να µποούν να εισαχούν τα µεγέη του µη αδανειακού παατηητή O µέσω της εής αντικατάστασης : εν υφίσταται είσωση απώς µια συµβοογαφική αντικατάσταση : και Τα διανύσµατα της συναοίωτης βάσης ως πος την οποία αναύει ο αδανειακός παατηητής το αά και το ' αυτά ταυτίζονται στο σύστηµα του µη αδανειακού µε τα διανύσµατα της δικής του σταεής ανταοίωτης βάσης Οι συντεταγµένες αάζουν αντιστοίχως ως : και Τεικά αυτό το οποίο έτουµε ταυτοτικά ως σχετική ταχύτητα είναι το εής διάνυσµα :

17 9 σ υ µε µια απή συµβοογαφική αντικατάσταση χωίς να υφίσταται είσωση ηαδή το διάνυσµα σε όους µη αδανειακού α γίνει : Σ ώστε να είναι ακιβώς : Σ σ υ όπου η πααγώγιση γίνεται σε διάνυσµα σταεής βάσης Η γωνιακή ταχύτητα : Γενικά ένα διάνυσµα µε τη γεωµετική έννοια του όου συνίσταται από δύο έννοιες Μήκος m και ποσανατοισµό a Μεταβοή διανύσµατος σηµαίνει ότι µεταβάεται τουάχιστον το µήκος ή η διεύυνσή του δηαδή ο ποσανατοισµός Η γωνιακή ταχύτητα µετάει το υµό µε τον οποίο αάζει η διεύυνση του διανύσµατος αυτού Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας ε οισµού είναι το al a ca του al aal al και πάνω σε αυτό έχουµε τα εής : Ποκύπτει ότι για το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας έστω Ω ισχύει : Ω για } { Ω σε κάποιο σύστηµα συναοίωτων συντεταγµένων Η πααπάνω σχέση αναφέει ότι το Ω αναύεται και αυτό ως πος την ίδια βάση στην οποία αναύεται και το όποιο διάνυσµα έστω Πάνω σε αυτό είναι : Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω

18 Τεικά από τη πααπάνω σχέση α πάουµε την εής ταυτότητα : ή όπου : υ Ω σ Σ Ω # Σ Μποεί κασσικά να είναι όµως πέπει να συµβοίζεται ητά το ως πος ποιανού συστήµατος το χόνο πααγωγίζουµε δεδοµένου ότι η κατεσιανή βάση του µη αδανειακού δεν είναι σταεή Τεικά έχουµε από τις # και # : Σ ' Σ ' Σ Ω #4 Τα τονισµένα σύµβοα για τον µη αδανειακό ενώ τα µη τονισµένα για τον αδανειακό παατηητή Τίεται και : Σ υ a : απόυτη ταχύτητα ' υ ' : µετοχική ταχύτητα Πααγωγίζουµε εκ νέου τη σχέση #4 για να καταήουµε στην επιτάχυνση : ' Σ Ω Σ Σ ' Σ Ω #5 Ο πώτος όος της #5 τίεται απώς ως : Σ aa : απόυτη επιτάχυνση οµοίως και ο δεύτεος της #5 : ' a' : µετοχική επιτάχυνση

19 Ο τίτος όος της #5 είναι : Σ Θέτουµε : & για } { Είναι : & & & & && & & & & & & & & && & & & & & Ο δεύτεος όος του τίτου όου δίνει : & & & Ω Ω Ω & & & Ω & & & Είναι όµως και : & & & εποµένως είναι : Ω σ υ

20 Για τον πώτο όο του τίτου όου α πάουµε απώς : & & && & & a σ η σχετική επιτάχυνση µε σταεά διανύσµατα βάσης Έχουµε την ταυτότητα : Ω Σ Σ Σ ή ισοδύναµα µε χήση της σχέσης # : Ω Σ α είναι και : Ω Ω Ω Σ Ω Ω Ω Ω Σ Μένει να αποτιµηεί ο τεευταίος όος της #5 Είναι : Ω Ω Ω #6 Ο δεύτεος όος δίνει απ ευείας : Ω Ω Ω Σ Ω Ω Ω Σ Ω Ω Ω σ υ Ο πώτος όος της #6 µένει ως έχει και εκφάζει τη γωνιακή επιτάχυνση του µη αδανειακού συστήµατος αναφοάς Επιστέφοντας στη σχέση #5 α είναι συνοικά : ' Ω Σ Σ Ω Ω Σ Σ Σ Σ '

21 a Ισοδύναµα : Ω Ω Ω a ' a Ω υ Ω υ Ω Ω Ω & a σ σ σ ή a a ' a Ω Ω Ω Ω & σ υ σ a Όπως παατηούµε από την πααπάνω ταυτότητα έχουµε διανύσµατα που α πέπει να νοούνται ως πος το σύστηµα Ο µη τονισµένα αά και µεγέη που α πέπει να νοούνται ως πος το σύστηµα O τονισµένα Αυτό το οποίο ζητείται τεικά είναι µια σχέση για τη σχετική επιτάχυνση a σ εποµένως ύνοντας ως πος αυτό το µέγεος α είναι : a a a ' Ω Ω Ω Ω & σ υ σ a Για να πάουµε τεικά την είσωση της σχετικής κίνησης αντικαιστούµε την απόυτη επιτάχυνση από το ο αίωµα της κίνησης και α είναι : a a ' Ω Ω Ω Ω & σ υ σ #7 Η πααπάνω είσωση είναι και το τεικό αποτέεσµα Έχει χησιµοποιηεί ο ος νόµος του Νεύτωνα µε τη µοφή που αυτός έχει στο αδανειακό σύστηµα αναφοάς µιας και ο νόµος αυτός έχει τεεί από κατασκευής για αδανειακά συστήµατα Αυτό το οποίο α πέπει να γίνεται σε κάε πείπτωση είναι το ότι α πέπει να γάφονται τα διανύσµατα τα οποία αχικά αναύονται ως πος βάσεις του αδανειακού παατηητή σε βάσεις του µη αδανειακού Τα διανύσµατα εκείνα της πααπάνω είσωσης που γάφονται ως πος βάσεις του αδανειακού παατηητή είναι τα : : ειδική συνιστάµενη δύναµη scc c δηαδή η συνιστάµενη δύναµη F διαιεµένη δια της µάζας αδάνειας m ποκειµένου να πάουµε επιτάχυνση Είναι : F F m a F m aa aa m a : µετοχική επιτάχυνση a ' ' ' : σχετική έση ' Σ Ω : γωνιακή ταχύτητα του µη αδανειακού συστήµατος Το τεευταίο διάνυσµα έει ποσοχή διότι αυτό αναπαιστά τη γωνιακή ταχύτητα του ίδιου του µη αδανειακού συστήµατος δηαδή κάνει όγο για τη στοφή του ίδιου του O ως

22 4 πος Ο και ουδεµία σχέση έχει µε το πώς στέφει το άο σηµείο το Σ Το υικό σηµείο όπως αναφέηκε έχει τη δική του κινητική κατάσταση η οποία είναι ανεάτητη από την κινητική κατάσταση του O εποµένως το Σ α έχει τη δική του γωνιακή ταχύτητα για την οποία µέχι στιγµής δεν έχουν εισαχεί εισώσεις ούτε και έχει αναπαασταεί µε κάποιο σύµβοο Ποκειµένου να µποεί να γίνει η όποια πάη µεταύ διανυσµάτων αυτά α πέπει να είναι αναυµένα ως πος την ίδια βάση Με βάση αυτό και υποέτοντας ότι τα Ω και α γαφούν τεικά ως πος κάποια βάση του µη αδανειακού παατηητή α έχουµε και τους εής όους οι οποίοι αναπαιστούν δυνάµεις αδάνειας : Επιτάχυνση Cls Cls accla : Ω υ ac Φυγόκεντος επιτάχυνση Cal accla : σ Ω Ω a c Σχετική γωνιακή επιτάχυνση la aal accla : Ω & a Η είσωση της σχετικής κίνησης σχέση #7 γίνεται : a σ a' ac ac a Θα πέπει να εισαχεί και µια συγκεκιµένη γεωµετία και αυτό γίνεται στη συνέχεια για το έµα που µας ενδιαφέει εδώ Η ιδιο πειστεφόµενη σφαία Scal a am : Θεωούµε ένα αιστεόστοφο και οοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων το οποίο εωείται σταεό απούτως δηαδή χωίς καµία αναφοά σε τίποτα το εωτεικό Ένα τέτοιο σύστηµα τίεται αιωµατικά και σε αυτό ισχύει ο δεύτεος νόµος του Νεύτωνα στην αχική του µοφή χωίς δυνάµεις αδάνειας Η αχή του συστήµατος αυτού είναι έστω το σηµείο Ο Με κέντο το Ο εωούµε σφαία ακτίνας έστω α Το κέντο της σφαίας εωούµε ότι πααµένει στο σηµείο Ο για κάε χονική στιγµή Αυτό σηµαίνει ότι ένα τυχαίο σηµείο α- κόνητο ως πος τη σφαιική επιφάνεια µποεί το πού µόνο να στέφει µε γωνιακή ταχύτητα που α ταυτίζεται µε τη γωνιακή ταχύτητα του ίδιου του συστήµατος της σφαίας αν και το ίδιο στέφει Θεωούµε για τη σφαία ότι εκτεεί ιδιο πειστοφή πεί κάποιου άονα Το µη αδανειακό σύστηµα αναφοάς α είναι η ίδια η σφαιική επιφάνεια Επειδή οι εισώσεις γάφονται για ευστά και επειδή τα ευστά κατααµβάνουν κάποιο εκτατό δεν έχει νόηµα να γάουµε εισώσεις ως πος κάποιο συγκεκιµένο τόπο δηαδή ως πος συγκεκιµένο σηµείο ακόνητο ως πος τη σφαιική επιφάνεια αά ως πος την ίδια τη σφαιική επιφάνεια συνοικά Με βάση αυτό και έχοντας κατά νου ότι έουµε να εφαµόσουµε τις ποηγούµενες εισώσεις α ισχύουν ειδικότεα για εδώ τα εής δύο πάγµατα είναι απού-

23 5 τως ισοδύναµα : Ή α πάουµε το σηµείο O να ταυτίζεται µε το Ο για κάε χονική στιγµή ή α εωούµε για κάε χονική στιγµή τα διανύσµατα ' και συγγαµµικά Σχήµα # : Η γεωµετία των γήινων γεωγαφικών συντεταγµένων στο σύστηµα του ιδιο πειστεφόµενου πανήτη Επεήγηση : Οι πααπάνω τεις άονες είναι ακόνητοι απούτως αιωµατικά Αυτοί οίζουν το αδανειακό σύστηµα αναφοάς O η απούστεη αναπαάσταση του οποίου δίνεται µέσω του οογώνιου κατεσιανού συστήµατος Casa cala ssm CS µε συντεταγµένες τις και βάση την Θεωούµε και ένα σηµείο στο χώο το Σ το οποίο εκτεεί µια κάποια κίνηση υπό την επίδαση γνωστών δυνάµεων Το διάνυσµα έσης του Σ ως πος Ο είναι το Σ Θεωούµε επίσης και την εν όγω σφαία για την κινητική κατάσταση της οποίας έχουµε :

24 6 Ο άονας της ιδιο πειστοφής της µε αναφοά ως πος το O παίνεται να είναι ο κατακόυφος άονας O για κάε χονική στιγµή εν εωείται µετάπτωση Το µη αδανειακό σύστηµα α έχει ως αχή το σηµείο O το οποίο ταυτίζεται µεν µε το Ο για κάε χονική στιγµή αά ηεµεί ως πος τη σφαία Το µη αδανειακό σύστηµα αναφοάς µποεί και αυτό να αναπαασταεί διανυσµατικά όπως και το αδανειακό χησιµοποιώντας το όποιο οοκανονικό και αιστεόστοφο σύστηµα συντεταγµένων µέσω του οποίου α οίζεται µε µονοσήµαντο τόπο η έση ενός σηµείου του χώου Η απούστεη αναπαάσταση και για το µη αδανειακό είναι µέσω του συστήµατος CS όπου για το σύστηµα αυτό α είναι : Για τις συντεταγµένες του : και για τη βάση του : εδοµένου ότι εωείται για το µη αδανειακό αυτό να µην εκτεεί µετάπτωση α ισχύει ότι οι άονες O και O α ταυτίζονται για κάε χονική στιγµή ηαδή αν πάουµε και για τα δύο συστήµατα τις ανταοίωτες CS βάσεις σε αυτές οι συντεταγµένες και α ταυτίζονται οι άες δύο όχι εδοµένου τώα ότι έχουµε κατά νου να µεετήσουµε κινήσεις οι οποίες αµβάνουν χώα πάνω στη σφαιική επιφάνεια δεδοµένης της σφαιικής αυτής συµµετίας α έχουµε και για τα δύο συστήµατα υοποίηση σε κάποιου είδους σφαιικών συντεταγµένων Από το εδάφιο του παατήµατος " Γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες " όπου µεετώνται οι γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες έχουµε ότι σε αυτό το σύστηµα γάφονται τεικά οι εισώσεις στη βιβιογαφία συνοικά Αυτή η σύµβαση έχει επικατήσει Οι γωνίες και του πααπάνω συστήµατος είναι το γεωγαφικό πάτος la και µήκος l και το σηµείο " G " είναι η τοµή του µεσηµβινού του Gc µε το επίπεδο του ισηµεινού Το πααπάνω σχήµα αναπαιστά τη Γη ενώ το σηµείο Σ δεν παίνεται αυστηά πάνω στη γήινη επιφάνεια και αυτό διότι µε αναφοά ως πος τη µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ µποεί να υπάχει κίνηση και σε µεγαύτεο και σε µικότεο υόµετο ιανυσµατική ανάυση : Έχουµε τους δύο παατηητές αδανειακό και µη οι οποίοι αµφότεοι βέπουν κίνηση µε σφαιική συµµετία Αυτό σηµαίνει ότι και οι δύο α χησιµοποιήσουν πωτίστως το σύστη- µα των γήινων γεωγαφικών συντεταγµένων Ξαναγάφουµε τη σχέση #7 : a a ' Ω Ω Ω Ω & σ υ σ Αν εαιέσουµε τη σχετική ταχύτητα και επιτάχυνση όα τα υπόοιπα διανύσµατα είναι γαµµένα ως πος κάποια βάση του αδανειακού παατηητή Με δεδοµένη την εδώ γεωµετία δεν υπάχει σχετική µετατόπιση του O ως πος το Ο α είναι και :

25 7 ' Σ ' Σ Ο αδανειακός παατηητής α γάει για τις δικές του γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες τα εής : Από την ανταοίωτη CS βάση στις γήινες γεωγαφικές : s cs s cs cs cs s s s cs cs s Από τις γήινες γεωγαφικές πίσω στη CS βάση : s cs cs s s s cs cs cs s cs s µε τις σχέσεις των συντεταγµένων τις : cs cs s cs s Για τη έση του σηµείου Σ είναι : Σ Σ Σ Σ Σ Σ csσ csσ sσ csσ sσ csσ csσ Σ sσ csσ csσ sσ sσ sσ csσ s cs s Σ Σ Σ Σ cs cs s s cs cs Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ cs Σ csσ sσ Σ s Σ csσ sσ Σ sσ csσ Σ cs Σ cs Σ Σ s Σ cs Σ Σ s Σ cs s cs s s cs Σ Σ Σ Σ cs Σ s Σ cs Σ Σ s Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ

26 8 Όσον αφοά τη γωνιακή ταχύτητα του ίδιου του µη αδανειακού συστήµατος Ω : Έχει ποκύει ο εής γενικός φοµαισµός : Ω & cs & s & Ας αναφέουµε σε αυτό το σηµείο το εής : Ποκειµένου να διαχωίσουµε µε σαφή τόπο το πότε µιάµε για το σηµείο Σ και πότε για το ίδιο το σύστηµα εισάγουµε δείκτες Αν ο δείκτης είναι το Σ α αναφεόµαστε στο σηµείο αυτό δηαδή στο όποιο υπόεµα ας είναι maal ή lm lm δεν έχει σηµασία ενώ όταν έουµε να αναφεούµε στο ίδιο το σύστηµα α χησιµοποιούµε το διακιτικό " " a am Το πααπάνω έγεται διότι το Σ έχει τη δική του κινητική κατάσταση άσχετη ως πος το πώς κινείται το µη αδανειακό σύστηµα Αυτό α πέπει να υοποιείται και για τις συντεταγµένες και για τα στοιχεία της βάσης Πάνω σε αυτό έτουµε : Για τις συντεταγµένες : και για τη βάση : µε : Εποµένως για τη έση του Σ α είναι : Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ { Σ } Σ Σ Σ Αν είναι για τη γωνιακή ταχύτητα του ίδιου του Σ : Ω Σ Σ Σ cs Σ Σ Σ Σ sσ Σ µε όµοιο τόπο α γάουµε αχικά και για τη γωνιακή ταχύτητα του ίδιου του συστήµατος : Ω cs s Το σύµβοο Ω που χησιµοποιήηκε σε όα τα ποηγούµενα είναι ακιβώς το διάνυσµα Ω διότι όπως ποέκυε από την ποηγούµενη ανάυση κατά τη διαδικασία της πααγώγισης της συναοίωτης βάσης ως πος την οποία αναύεται το σχετική έση εκεί ο όγος γίνεται ως πος το µε ποιόν τόπο στέφει στο χώο όχι το Σ αά το

27 9 Για το εδώ a am που εωούµε δεν παίνουµε µετάπτωση Αυτό σηµαίνει ότι αυτή η γωνία δεν α µεταβάεται οικά ως πος το χόνο εποµένως ποκύπτει για το σύστηµα : Ω cs & s & Οι πααπάνω γωνίες και µποούν να είναι αυαίετες τιµές Ο όγος γίνεται για το µε ποιόν τόπο στέφει το ίδιο το σύστηµα εποµένως δεν έχει καµία σηµασία το πού δηαδή η έση ή καύτεα ως πος ποιανού σηµείου το διάνυσµα έσης γίνεται ο όγος Ακεί αυτό να είναι ακόνητο ως πος το µη αδανειακό Το µήκος του πααπάνω διανύσµατος είναι : Ω cs & s & & cs s & abs & Εδώ µποούµε να υποέσουµε ότι η πααπάνω γωνία α εατάται γαµµικά ως πος το χόνο δηαδή α ισχύει µια απή σχέση της µοφής : ώστε να είναι : c c cs Αυτό εωούµε και α έχουµε ότι το µήκος του Ω α είναι και αυτό σταεό Αναφοικά µε το πόσηµο : Από κατασκευής εωούµε ότι το σύστηµα στέφει αιστεόστοφα c clc s ώστε να είναι αγεβικά : > και µέσω αυτού παίνουµε τεικά και : Ω abs & & Το ίδιο το διάνυσµα Ω είναι σταεό κάτι το οποίο ποκύπτει µε διάφοους τόπους Μποούµε είτε να το πααγωγίσουµε οικά ως πος το χόνο αά µποούµε να το γάου- µε και σε στην εής µοφή : Τα διανύσµατα ê και ê ως ο γαµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του CS συστήµατος είναι : cs s s s cs cs cs s cs s

28 Έχουµε : Ω Ω & Ω cs & s & Ω Ω cs Ω s Ω Ω cs cs s s s cs Ω s cs cs s cs s Ω cs cs s Ω s cs cs î Ω cs s s Ω s s cs ĵ Ω cs Ω s Ω Πακτικά είτε γαφεί σε κυινδικές είτε και σε κατεσιανές δεν αάζει Παατηούµε ότι τα διάνυσµα Ω ως στοιχείο του χώου E α έχει εν γένει τεις συνιστώσες Αν επιέουµε ως βάση την όποια παααγή των σφαιικών α έχει για εκεί µόνο δύο µεσηµβινή και κατακόυφη συνιστώσα ενώ αν επιέουµε κυινδικές α έχει µόνο µια Σε γήινες γεωγαφικές έχει µια πεισσότεο σε σχέση µε τις κυινδικές αά όα τα άα διανύσµατα γάφονται στο πώτο σύστηµα εποµένως κατάµε την πααπάνω γαφή µε τις δύο συνιστώσες Από τόπο σε τόπο πάνω στη σφαία οι συνιστώσες µεταβάονται όγω της εάτησης από το γεωγαφικό πάτος η επαηία όµως όχι Ισοδύναµα αν έαµε να πααγωγίσουµε την έκφαση : Ω Ω cs Ω s για σταεό χωίς χονοεάτηση α ήταν : Ισχύει γενικά : Για το a am α είναι : Έχουµε : s cs s cs Ω Ω cs Ω s Ω Ω cs Ω s Ω cs Ω s Ω cs s Ω s cs Ω cs s s cs

29 Όα τα πααπάνω για δείκτες Με βάση όα τα πααπάνω η σχέση #7 αναγάφεται ως εής : σ Ω υ σ Ω Ω #8 a Σ Οι υπακτές δυνάµεις : Λέγοντας " υπακτές " εννοούµε όες εκείνες τις δυνάµεις των οποίων η ποέευση α πέπει να αναζητηεί στο ότι το υπόεµα υικό σηµείο ή και στοιχείο όγκου α είναι εφοδιασµένο µε µια τουάχιστον φυσική ιδιότητα τη µάζα αδάνειας Σε άα µοντέα µποεί και µε φοτίο αά για την εδώ εώηση µόνο µε την ιδιότητα m Οι δυνάµεις αυτές είναι οι εής τεις : Η δύναµη της βαοβαµίδας ss a c PGF : Με αναγωγή ως πος τη µάζα scc c accla έχουµε : όπου : : Η πυκνότητα µάζας αδάνειας του ευστού βαµωτή συνάτηση µε ητή εάτηση από έση και χόνο : Η συνάτηση της πίεσης Η Νευτώνειος βαύτητα acal a : Η δύναµη επιτάχυνση αυτή αναπαίσταται απώς ως και ποκύπτει εννοιοογικά από το νόµο της παγκόσµιας έης Ο πήης φοµαισµός είναι : όπου : G V V : Το διάνυσµα της σχετικής έσης τυχαίου σηµειακού υποέµατος ως πος το τυχαίο σηµείο µε αχή το Ο και πέας τυχαίο σηµείο της κατανοµής Το διάνυσµα έσης του ίδιου του υποέµατος ως πος την κοινή αχή Ο είναι το : η συνάτηση χωικής κατανοµής της µάζας εντός της πηγής χωικού εκτατού ο πανήτης δηαδή Από την πααπάνω οοκήωση η οποία γίνεται επί του χωικού εκτατού της πηγής του βαυτικού πεδίου ποκύπτει και ένας φοµαισµός για το διάνυσµα Αν µιήσουµε για τη Γη για παάδειγµα αυτή δεν είναι ούτε τέεια ούτε και οµογενής σφαία φυσικά Παό

30 αυτά ποσεγγίζεται ως τέτοια ώστε ενώ γενικά α έπεπε να ζητήσουµε µια σχέση της µοφής χωίς ητή χονοεάτηση εωούµε απώς έτσι ώστε το διάνυσµα να µην εατάται από το γεωγαφικό µήκος και πάτος παά µόνο από το υόµετο Στην πάη βέβαια ούτε αυτό δεν συµβαίνει και παίνουµε το να είναι σταεό Τότε σε σφαιική συµµετία ισχύει απώς : ενώ ως µια καύτεη ποσέγγιση α είναι και : M G όπου Μ η µάζα της πηγής του βαυτικού πεδίου και η απόσταση από την αχή Ιώδες scs : Η τίτη δύναµη η οποία συνήως δεν αµβάνεται υπ όιν είναι η δύναµη του ιώδους Για την επιτάχυνση αυτή ο φοµαισµός είναι : s ν υ α όπου " s " ο δείκτης για το ιώδες Έχουµε δηαδή τη απασιανή της απόυτης ταχύτητας ποαπασιασµένη επί µια συνάτηση σε πιο απές εωήσεις µια σταεά η οποία καείται συντεεστής του κινητικού ιώδους mac scs cc Ανάυση σε άονες για σφαιική συµµετία : Πέπει να τονιστεί κάτι σε αυτό το σηµείο Ότι γάφεται στη συνέχεια ισχύει µόνο για την πείπτωση όπου και στα δύο συστήµατα χησιµοποιούµε τις γήινες γεωγαφικές δηαδή απόσταση και δύο γωνίες Έχουµε : s ν υa Η σχέση #8 γίνεται : aσ ν υa Ω υσ Ω Ω Σ Σε αυτό το σηµείο α πέπει να δούµε µε ποιόν τόπο συνδέονται οι δύο βάσεις µεταύ τους όµοια και για τις τεις συντεταγµένες Πάνω σε αυτό έχουµε τα ακόουα δύο σχήµατα :

31 Σχήµα # : Γωνιώδεις αποκίσεις γεωγαφικών µηκών ποβοή µεταύ του αδανειακού και του µη αδανειακού συστήµατος αναφοάς Σχήµα #4 : Γωνιώδεις αποκίσεις γεωγαφικών πατών χωικά µεταύ του αδανειακού και του µη αδανειακού συστήµατος αναφοάς

32 4 Από το δεύτεο σχήµα έχουµε ότι για κάε χονική στιγµή οι παατηητές Ο και O µετούν ταυτόσηµες αποστάσεις και γεωγαφικά πάτη Αυτές οι δύο συντεταγµένες ταυτίζονται είναι δηαδή για κάε χονική στιγµή : Σ Σ και Σ Σ Το γεωγαφικό πάτος του σηµείου Σ βεβαίως και έχει ητή χονοεάτηση µεταβάεται δηαδή εν είναι ακόνητο ως πος το µη αδανειακό Για το γεωγαφικό µήκος όµως έχου- µε από το σχήµα # για κάε χονική στιγµή : Ισχύει επίσης : Σ π Σ Σ π Σ π Σ π Σ Ω Ω Ω Ω Ω όπου κάποια αχική χονική στιγµή και µια γνωστή αχική συνήκη Είναι : ή Σ π Σ Σ π Ω Σ π Ω Σ Σ Η πααπάνω είσωση µας δίνει τη γωνία γεωγαφικό µήκος του σηµείου Σ στο σύστηµα O Κασσικά είναι αν υποτεεί δε ότι υπάχει και συγχονισµός α είναι απώς Η πιο απή γαφή της πααπάνω σχέσης α είναι η : π Ω π Σ Σ Σ Σ Με βάση τις πααπάνω αγεβικές σχέσεις για τις συντεταγµένες µποούν να ποκύουν και οι σχέσεις για τα διανύσµατα βάσης Μας ενδιαφέει να γάουµε τα διανύσµατα Σ Σ Σ σε όους του µη αδανειακού συστήµατος Αυτό α- ποδεικνύεται πιο εύκοα αν γάουµε τα διανύσµατα Σ Σ Σ σε όους Σ Σ Σ Αναφέηκε ποηγουµένως την εής παατήηση : Η CS σταεή / ανταοίωτη / κατεσιανή του µη αδανειακού ταυτίζεται µε την τοπική συναοίωτη ως πος την οποία αναύει ο αδανειακός το διάνυσµα ή και το Εδώ έχουµε πάει ' αά φαίνεται από τα πααπάνω σχήµατα ότι οι κυινδικές συντεταγµένες του '

33 5 αδανειακού ταυτίζονται µε την κατεσιανή του µη αδανειακού µε αναφοά ως πος το σύστηµα αυτό κααυτό Είναι δηαδή : cs s s cs σταεό Το σύµβοο " " δηώνει απώς το ότι τα πααπάνω διανύσµατα ταυτίζονται Οι πααπάνω σχέσεις ισχύουν όχι µόνο µε εφαµογή το O αά και για το οποιοδήποτε άο σηµείο ακόνητο ως πος την αχή O δηαδή για το ίδιο το µη αδανειακό σύστηµα Κάτι αντίστοιχο ειπώηκε και για τη γωνιακή ταχύτητα Ω Για το µη αδανειακό είναι : Σ s cs Σ Σ Σ cs s s s cs Σ Σ Σ Σ Σ Σ cs cs s cs s Σ Σ Σ Σ Σ η βάση των γήινων γεωγαφικών µε εφαµογή στο Σ δηαδή στο όποιο µη ακόνητο σηµείο του µη αδανειακού συστήµατος Έχουµε για το πώτο διάνυσµα : Σ s cs Σ Σ Σ Σ sσ cs s cs s cs s cs Σ Σ Είναι και : s cs cs s s s cs cs Αποποιούµε τις γαφές και έτουµε : Σ Σ Σ Σ π Σ ' α Σ β γ Σ Είναι και : α π β γ π δ και δ β γ Έχουµε : Σ sα csγ csα sγ sα sγ csα csγ sπ δ csγ csπ δ sγ î Σ

34 6 sπ δ sγ csπ δ csγ ĵ sδ csγ csδ sγ sδ sγ csδ csγ s δ γ cs δ γ sβ csβ s cs Σ Έχουµε για το δεύτεο διάνυσµα : Σ Σ Σ cs s s s cs Σ Σ Σ Σ Σ Σ csσ sσ sσ sσ cs Σ cs Σ s cs s Σ s s s cs cs Σ Σ s cs cs s s Σ Σ s cs s s cs cs Σ Σ Σ Σ s csα csγ sα sγ î Σ s csα sγ sα csγ cs Σ Σ s csπ δ csγ sπ δ sγ î Σ Σ s csπ δ sγ sπ δ csγ cs Σ Σ s csδ csγ sδ sγ î Σ s csδ sγ sδ csγ cs Σ Σ s cs δ γ s s δ γ cs Σ s csβ s sβ cs Σ Σ s cs s s cs Σ Σ Σ Όµοια και για το τίτο Ε άου ισχύουν και οι σχέσεις ε οισµού : Σ Σ Σ και Σ Σ Σ γενικά Εφόσον τα πώτα µέη είναι ίσα α είναι και τα δεύτεα Καταήγουµε συνοικά στις εής σχέσεις : Σ

35 7 Σ Σ Σ Σ Σ Σ και π Σ Σ Σ Σ Σ Σ Επιστέφουµε τώα στην είσωση της σχετικής κίνησης και αγνοούµε το ιώδες : a σ Ω υσ Ω Ω Σ #9 Όα τα πααπάνω διανύσµατα εκτός του ότι α πέπει να γαφούν ως πος την ίδια βάση α πέπει να έχουν και το ίδιο σηµείο εφαµογής το σηµείο Σ Η γωνιακή ταχύτητα ήταν : Γάφουµε : ΩΩcs Ωs ΩΩcs Σ Ωs Σ Σ Η πααπάνω γαφή ειδικά για τη γωνιακή ταχύτητα απώς αναφέει ποιο είναι το σηµείο ε- φαµογής Επίσης : Για τη βαύτητα : Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Θεωούµε ότι τα βαµωτά πεδία πααµένουν αναοίωτα Το ίδιο ισχύει για πίεση και πυκνότητα δηαδή : και Σ Σ Σ Σ εν τονίζουµε τα βαµωτά πεδία παά µόνο τα διανύσµατα και τις συντεταγµένες Ότι εωείται αναοίωτο δεν τονίζεται όπως και το µήκος του Ω Για την κίση της πίεσης α είναι : Σ Σ Σ Σ cs Το µόνο που πέπει να δούµε εδώ είναι : Σ Σ Σ Σ Σ π Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Για την κίση γάφουµε απώς : Σ Σ όπου η πααγώγιση α γίνεται ως πος τις γήινες γεωγαφικές του µη αδανειακού Επειδή πέον είναι σαφές το ότι έχουµε διανύσµατα ως πος την ίδια βάση και ότι έχουµε το ίδιο σηµείο εφαµογής Σ παντού συν Σ

36 8 το ότι από αυτό το σηµείο και κάτω δεν α ανα ασχοηούµε µε όους του µη αδανειακού παατηητή αποποιούµε τις γαφές και σταµατάµε να τονίζουµε και να βάζουµε τους δείκτες Σ στα πααπάνω σύµβοα Έχουµε για τη σχέση #9 : Η βαοβαµίδα : Η Νευτώνειος βαύτητα : cs Η φυγόκεντος : Χωίς το µείον είναι : Ω Ω Ω Ω Σ Έχουµε : Ω D Ωcs Ωs Ωcs Ω Ω D Ωcs Ωcs Ωs Ω cs s Ω cs Για την Cls είναι : Χωίς το µείον είναι και εδώ : Η σχετική ταχύτητα υ σ για τις γήινες γεωγαφικές τίεται απά ως : υ σ όπου Σ Σ σχετική έση Είναι : Ω υ Ω υ σ Ω υ D Ωcs Ωs Ωcs Ωs Ωs Ωcs

37 9 Για τη σχετική επιτάχυνση : Πέπει να γαφεί σε όους σχετικής ταχύτητας όµως πααγωγίζεται διάνυσµα του οποίου η βάση δεν είναι σταεή Είναι : Σ ασ a υ Είναι : υ Έχει αναφεεί ότι ισχύει εν γένει ο τύπος : Ω όπου το εκάστοτε διάνυσµα Ω µετάει το υµό της στοφής του µεταβαόµενου διανύσµατος Με ποιόν τόπο στέφει το Σ είναι ανεάτητο του µε ποιόν τόπο στέφει το ίδιο το σύστηµα Εδώ γάφουµε : Ω Ω & cs & s & l όπου τα σύµβοα και αναπαιστούν τη έση του Σ ως πος το µη αδανειακό σύστηµα Η γωνία δεν είναι σταεή οµοίως ο υµός & δεν ισούται µε το µήκος της γωνιακής ταχύτητας του µη αδανειακού συστήµατος Επίσης από το γαµµικό στοιχείο καµπύης είναι : l cs l Η ταχύτητα δίνεται ε οισµού ως : υ άα είναι : δηαδή : l υ cs cs & cs & &

38 Είτε πάουµε τον τύπο : l Ω } { για : l a Ω είτε εφαµόσουµε απ ευείας τις σχέσεις από το εδάφιο " Γήινες γεωγαφικές συντεταγ- µένες " : cs s s cs α ποκύει τεικά : υ s cs s & & & & cs & & ή a a υ Μποούµε τεικά να κάνουµε ανάυση σε άονες και α πάουµε συνοικά : a Σ Ω Ω Ω σ σ υ a a Ω Ω s cs cs cs s cs cs s Ω Ω Ω Ω

39 Η συνιστώσα ως πος ê καείται ζωνική al Για αυτήν είναι : a cs Ωcs Ωs Ωcs Ωs a cs Η συνιστώσα ως πος ê καείται µεσηµβινή mal Για αυτήν είναι : a Ωs Ω cs s Ωs Ω cs s a Η συνιστώσα ως πος το τίτο διάνυσµα ê καείται κατακόυφη cal Είναι : Ωcs Ω cs Ωcs Ω cs Οι πααπάνω εισώσεις µας δίνουν το σύστηµα των Na Ss για στεφόµενο πανήτη όπως και η Γη άωστε Συνήως αναφεόµαστε σε αυτές ως οι εισώσεις της οµής mmm qas και από τη µαηµατική άποη έχουµε τεις εισώσεις µε πέντε αγνώστους Οι άγνωστοι σε αυτό το σηµείο εωούνται οι εής συνατήσεις : Ζωνική συνιστώσα της ταχύτητας : Μεσηµβινή συνιστώσα της ταχύτητας : Κατακόυφη συνιστώσα της ταχύτητας : Πίεση : Πυκνότητα µάζας : Οι πααπάνω γενικές γαφές ισχύουν υπό την ποϋπόεση ότι α έχουµε ως σύστηµα συντεταγµένων της γήινες γεωγαφικές Για αυτήν την πείπτωση µόνο έχουν ποκύει οι πααπάνω σχέσεις που συνδέουν συντεταγµένες και διανύσµατα βάσης του αδανειακού παατηητή µε τα αντίστοιχα του µη αδανειακού Οι πααπάνω εισώσεις επιδέχονται και αποποιήσεις µε αυτό ασχοούµαστε σε επόµενο εδάφιο όµως

40 Αναφοικά µε τις διευύνσεις της κίνησης πάνω στη σφαία : Ποηγουµένως χησιµοποιήσαµε τους όους ζωνική µεσηµβινή και κατακόυφη συνιστώσα Από κατασκευής έχουµε τα εής : Ζωνική είναι η διεύυνση της κίνησης κατά µήκος κάποιου παάηου κύκου παάηα ως πος τον ισηµεινό δηαδή µε ετική φοά κίνησης από τη ύση πος την Ανατοή Αυτήν είναι και η ετική φοά του διανύσµατος ê Μεσηµβινή είναι η διεύυνση της κίνησης κατά µήκος κάποιου µεσηµβινού µε ετική φοά από το Νότιο γεωγαφικό πόο πος το Βόειο Κατακόυφη είναι η ακτινική διεύυνση της κίνησης µε φοά από το κέντο της σφαίας και πος τα έω από το κέντο της Γης πος το ζενί του παατηητή Τα πααπάνω ισχύουν παγκοσµίως και για τα δύο ηµισφαίια Με τις διευύνσεις έτσι όπως οίζονται έχουµε ένα αιστεόστοφο σύστηµα συντεταγµένων για το οποίο ισχύει : ε µε ο οποιοσδήποτε συνδυασµός εκ των και όπου και

41 Ποσεγγίσεις Στο εδάφιο " Η είσωση της σχετικής κίνησης " καταήγουµε στη γενική έκφαση της είσωσης της οµής για το στεφόµενο πανήτη σε γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες χωίς τεικά να αµβάνεται υπ όιν το ιώδες Κατά τα άα δεν έχουν γίνει άες αποποιήσεις Στη συνέχεια παατίενται κάποιες αποποιήσεις οι οποίες µποούν να γίνουν ποκειµένου να αποποιηεί η τεική γαφή των τιών βαµωτών εισώσεων της οµής Σχετική αναφοά για το εδώ εδάφιο είναι η [] Μια γενική ποσέγγιση : Καταήγουµε στη διανυσµατική έκφαση για την είσωση της σχετικής κίνησης µε αναφοά ως πος το µη αδανειακό σύστηµα : υ Ω υ Ω Ω # Εµφανίζονται οι όοι της βαοβαµίδας της Νευτώνειου βαύτητας της επιτάχυνσης Cls και της φυγοκέντου επιταχύνσεως Για το σύστηµα των γήινων γεωγαφικών η Cls και η φυγόκεντος είναι : a Ω υ Ωcs Ωs Ωs Ωcs C a c Ω Ω Ω cs s Ω cs όπου η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος είναι η : ΩΩ cs Ω s Μια γενική ποσέγγιση η οποία γίνεται και που δεν σχετίζεται ούτε µε την κίµακα της κίνησης δηαδή σε πόσο µεγάη γεωγαφική έκταση αυτή αµβάνει χώα ή ισοδύναµα αν αµβάνουµε υπ όιν ή όχι την καµπυότητα της Γης ούτε και µε τη σχετική τάη µεγέους των διαφόων όων scal amas είναι η εής : Απώς αγνοούµε τη µεσηµβινή συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας την οποία τη γάφουµε απούστεα ως : ΩΩ s ηαδή παίνουµε µόνο τη συνιστώσα του Ω επί της διευύνσεως της τοπικής καέτου κατακόυφη διεύυνση Η βαοβαµίδα και η επιτάχυνση της βαύτητας µένουν αµετάβητες από αυτήν την ποσέγγιση που σχετίζεται µόνο µε τις δυνάµεις αδάνειας Σε αυτήν την πείπτωση η Cls και η φυγόκεντος γίνονται : Ω s Ω s a C c a ê

42 4 Παατηούµε ότι είναι ασυµβίβαστο να έχουµε σε εώηση και τη µεσηµβινή συνιστώσα του Ω µη µηδενική και να µην είναι µηδέν η φυγόκεντος Παατηούµε επίσης ότι στην επιτάχυνση Cls ο όος Ω s επανααµβάνεται Θέτουµε αυτόν τον όο ως εής : Παάµετος Cls : Ωs και η γωνιακή ταχύτητα α είναι : Ω Ω s µε την επιτάχυνση Cls να γάφεται και ως : a C υ µε Ω s Η γωνία που εµφανίζεται εδώ είναι ακιβώς το γεωγαφικό πάτος του τόπου ώστε η παάµετος Cls µηδενίζεται στον ισηµεινό και µεγιστοποιείται στους δύο γεωγαφικούς πόους του πανήτη απούτως Η σχέση # γίνεται : υ υ # Οιζόντιο επίπεδο και κατακόυφη διεύυνση : Η σχέση # µποεί να αποποιηεί πεεταίω µέσω της εής διαδικασίας : Αγνοώντας α- πώς τη µεσηµβινή συνιστώσα της γωνιακής ταχύτητας του ίδιου του µη αδανειακού συστήµατος αυτό δεν σχετίζεται ούτε µε την κίµακα της κίνησης αν αµβάνουµε υπ όιν µας ή όχι και την καµπυότητα της Γης ούτε και µε τη σχετική τάη µεγέους των διαφόων όων στις εισώσεις scal Στην ακόουη ποσέγγιση αµβάνουµε υπ όιν µας το δεύτεο δηαδή το εγόµενο scal όπου πάνω σε αυτό έχουµε τα εής : Στη σχέση # στο πώτο µέος έχουµε πααγώγιση διανύσµατος εν γένει µη σταεής βάσης Είναι : υ Ω υ l

43 5 όπου χησιµοποιείται η σχέση : Ω l Για το Ω l αναφέαµε ότι αυτό αναπαιστά το υµό της στοφής του διανύσµατος έσης του Σ δηαδή του Σ το οποίο δεν σχετίζεται µε το Ω του στεφόµενου πανήτη το οποίο µετάει το υµό της στοφής του ίδιου του συστήµατος Είναι : Ω & cs & s & l Ω a l Ω l Ω l Ω l Ω l όπου οι πααπάνω γωνίες είναι µεν τα γεωγαφικά πάτη / µήκη του τόπου αά ως οι συντεταγµένες του Σ Η γωνία του Σ µεταβάεται όγω της οής της κίνησης αυτού ως πος τη Γη Ο δεύτεος όος είναι : Ω l υ DΩ l Ω l Ω l Ω l Ω l Ω l Ω l Ω l Ω l a a Εισάγονται νέες µεταβητές αδιάστατες ως ο όγος των πααπάνω µεταβητών διαιεµένων µε µια σταεά κίµακας αντιποσωπευτική της τάεως µεγέους του αντίστοιχου όου Ποκύπτει από παατηησιακά δεδοµένα για τα µέσα γεωγαφικά πάτη ότι συνήως οι οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας είναι δύο τάεις µεγέους πιο πάνω από την κατακόυφη Εισάγουµε ως παάγοντα κίµακας scal ac για τις οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας την U Για την κατακόυφη γάφουµε W και για το υόµετο Θέτουµε : U U W και όπου οι τιµές των U W και είναι τέτοιες ώστε οι όγοι να είναι ως τάη µεγέους δηαδή µονάδες Εποµένως όες αυτές οι ανηγµένες συντεταγµένες και µεταβητές και είναι της αυτής τάης µεγέους Για τη ζωνική συνιστώσα του διανύσµατος είναι : Ω l υ α a W U U U a WU U a

44 6 εποµένως η πααπάνω πα- U Εάν τώα είναι : O α είναι και U >> WU W άσταση µποεί να ποσεγγιστεί ως : a a Με όµοιο τόπο και για τη µεσηµβινή συνιστώσα του Ω l υ : U WU U a a a όπου εωείται ότι είναι και : a O Συνδυαστικά µε βάση την εδώ ποσέγγιση συν την πααπάνω οι τεις εισώσεις της οµής α γίνουν : a cs a Μια επιπέον ποσέγγιση σχετίζεται µε την τεευταία σχέση Εδώ εωείται ότι κατά την κατακόυφη διεύυνση οι κυίαχοι όοι οι οποίοι καοίζουν την κίνηση επί της διεύυνσης αυτής είναι απώς η βαοβαµίδα και η Νευτώνειος βαύτητα Γάφουµε : Οι πααπάνω τεις σχέσεις µποούν να τεούν σε µια πιο συµπαγή µοφή και ως εής : και όπου από κατασκευής είναι : Οιζόντια συνιστώσα της ταχύτητας al la m lc : Κατακόυφη ταχύτητα cal lc :

45 7 Γωνιακή ταχύτητα οής µε την αναγωγή του scal : Κίση για σταεή υοµετική στάµη : a Ω l s Για τις γήινες γεωγαφικές είναι για παάδειγµα : cs Η πώτη από τις πααπάνω δύο σχέσεις δίνει την είσωση της οµής επί του οιζοντίου " επιπέδου " της κίνησης al la m mmm qa ενώ η δεύτεη την είσωση της οµής επί της κατακούφου διεύυνσης Καταχηστικά χησιµοποιείται ο όος " επίπεδο " µιας και τα πααπάνω αµβάνουν υπ όιν εν γένει και την καµπυότητα της Γης Η ποσέγγιση αυτή ισχύει µόνο όταν ισχύει η σχέση : U >> W Κίνηση για οογώνια συµµετία : Εδώ συνεχίζουµε να εωούµε όα τα πααπάνω συν κάτι ακόµη : Ποές φοές η κίνηση αµβάνει χώα σε µια πειοισµένη γεωγαφική πειοχή έτσι ώστε οι µεταβοές στα και να είναι πού µικές Αυτό ισχύει κυίως για τη µεσοκίµακα όπου το χωικό εκτατό εντός του οποίου αµβάνει χώα η κίνηση α είναι το πού µεικές εκατοντάδες m η και m οιζοντίως Εδώ σταµατάµε να χησιµοποιούµε γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες και αναγόµαστε στο να χησιµοποιούµε µια τοπική CS βάση Οι πααπάνω εισώσεις γίνονται : Για το οιζόντιο επίπεδο είναι : και και για την κατακόυφη διεύυνση : Εδώ αντί να χησιµοποιούµε τις χησιµοποιούµε πέον τις και η σταεή πέον βάση α είναι η Αναφοικά µε τις διευύνσεις :

46 8 : από τη ύση πος την Ανατοή παάηα ως πος τον ισηµεινό : από το νότιο πόο πος το βόειο κατά µήκος µεσηµβινού : κατακόυφα µε φοά πος το ζενί του τόπου Η παάµετος Cls πααµένει ως έχει δηαδή Ωs όπου µια κεντική τιµή για το γεωγαφικό πάτος του τόπου Η οοογία " κεντική " εηγείται στη συνέχεια Το φαινόµενο β T β la ama : Εδώ συνεχίζουµε από το ποηγούµενο σηµείο συνεχίζοντας να εωούµε πέον οογώνια συµµετία συν όες τις άες ποσεγγίσεις Η παάµετος Cls αχικά είναι : Ωs Αν εωήσουµε τη γωνία ως κάτι σταεό τότε έχουµε ότι για την αντίστοιχη εώηση δεν α µποεί να µεταβάεται η πααπάνω παάµετος Παόο που εωούµε οογώνια συµµετία σε κάε πείπτωση ως ένα βετιωµένο µοντέο της πααπάνω εώησης µποεί να τεεί και το ακόουο : Επιτέπουµε µικές µεταβοές στο γύω από µια κεντική τιµή έστω Αναπτύσσουµε το ηµίτονο σε σειά Tal και κατάµε µέχι και το γαµµικό όο Είναι : Είναι και : s s cs αά και Οι πααπάνω δύο σχέσεις ποκύπτουν από το γαµµικό στοιχείο καµπύης για το CS και σύστηµα των γήινων γεωγαφικών αντίστοιχα Από τις πααπάνω σχέσεις είναι ποσεγγιστικά : όπου έχουµε µεταβοή µόνο επί της µεσηµβινής διεύυνσης δηαδή Είναι και : s s cs Ω Ω s Ω cs Ω Ω Ωs cs cs

47 9 Θέτουµε : Ω s ενώ ο τίτος όος εωείται πακτικά σταεός εφόσον είναι πού το υόµετο Ως παάµετο β έτουµε : χωίς να µεταβάεται β όπου α είναι : Ω Ω Ω β Ωs cs cs cs Η τεική έκφαση είναι : µε cs ή β cs Ω cs cs όπου εδώ έχουµε τον όο ο οποίος σχετίζεται τεικά µε τη γωνιακή ταχύτητα της Γης έστω και για τοπικής κίµακας εώηση να µεταβάεται µόνο κατά τη µεσηµβινή διεύυνση κάτι σε συµφωνία και µε το ότι το Ω είναι συνάτηση του ή καύτεα η κατακόυφη συνιστώσα αυτού ιανυσµατικά είναι : όπου β cs Ω µε τον συντεεστή β να είναι σταεός µε αγεβική τιµή την cs Αν εκέουµε κατάηα την αχή του τοπικού συστήµατος και πάουµε δηαδή την αχή επί του σηµείου για α είναι τεικά απώς : β

48 4

49 4 ιαστωµάτωση Saca Εισαγωγικά : Από το εδάφιο " Ποσεγγίσεις " ποκύπτει η συογιστική µε την οποία γάφεται η γενική είσωση της οµής σε µια πιο απή µοφή Οι εκεί ποσεγγίσεις αναφέουν : Αγνόηση της µεσηµβινής συνιστώσας της γωνιακής ταχύτητας του µη αδανειακού συστήµατος το οποίο συνεπάγεται και ότι η φυγόκεντος α µηδενίζεται ταυτοτικά Σε πειπτώσεις όπου ισχύει U >> W για εκεί η διανυσµατική είσωση της οµής τεικά δίνει την είσωση για το οιζόντιο επίπεδο και την κατακόυφη διεύυνση διαχωίσιµα Αναγωγή σε οογώνια συµµετία ώστε η χησιµοποιούµενη βάση να είναι πέον µια τοπική CS Καταήγουµε στις εισώσεις : # και # ή ισοδύναµα στην : υ υ # µε : όπου β ιαστωµάτωση saca : Σχετική αναφοά για τη εωεία της διαστωµάτωσης δίνεται στα συγγάµµατα [] και [5] Η έννοια αυτή συνδυαστικά µε τα παακάτω µποεί να γίνει καύτεα κατανοητή και µε την α- νάγνωση του εδαφίου του παατήµατος " 5 Σταεά ποφί " Μιώντας για διαστωµάτωση σε ένα ευστό αυτό το οποίο εννοούµε ουσιαστικά είναι το εής : Σε κάε πείπτωση εωώντας ότι σε ένα ευστό οι οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας α είναι κυίαχες έναντι της κατακόυφης συνιστώσας χωίς σε καµία πείπτωση να είµαστε υποχεωµένοι να µιήσουµε και για υδόσταση εωούµε ως µια επιπέον αποποίηση το ότι πωτίστως η πυκνότητα του ευστού α δίνεται ως η επαηία δύο όων Ο ένας όος ο κυίαχος αναπαιστά το κατακόυφο ποφί της συνάτησης ενώ ο άος διατααχές δηαδή αποκίσεις από αυτό το κατακόυφο ποφί Η πααπάνω αποποίηση δεν γίνεται τυχαία Υπάχουν πειαµατικές µετήσεις οι οποίες δείχνουν ότι οι µεταβοές στην πυκνότητα σε ευστά όπως η γήινη ατµόσφαια αά και το ω- κεάνιο ύδω είναι στην πάη πού µικές σε σχέση µε ένα κατακόυφο ποφί το οποίο

50 4 εωείται µάιστα και χονικά σταεό δηαδή µη χονο εεισσόµενο Για τη διαστωµάτωση τώα υπάχουν δύο βασικά µοντέα τα : Ποσέγγιση Bsssq Bsssq ama Ανεαστική ποσέγγιση Alasc ama Οι σηµαντικότεες διαφοοποιήσεις είναι οι εής δύο : Στην ποσέγγιση Bsssq εωούµε ότι το κυίαχο ποφί της πυκνότητας είναι µια σταεή παάµετος και όχι συνάτηση Επίσης ποκειµένου τεικά να πάουµε ένα κειστό σύστηµα το οποίο ποκύπτει ως 5 5 χησιµοποιούµε εµοδυναµική για υγά µέσω της εκάστοτε εωούµενης καταστατικής είσωσης και του πώτου εµοδυναµικού αιώµατος Είναι µια ποσέγγιση η οποία υοποιείται για πειγαφή κίνησης σε υγά οιπόν Από την άη υπάχει και το µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης Αυτό το µοντέο χησιµοποιείται ειδικότεα για αέια δεδοµένου ότι εωούµε πωτογενώς την καταστατική είσωση των ιδανικών αείων ποκειµένου να κείσουµε και εδώ το σύστηµα το οποίο πάι ποκύπτει ως ένα διαφοικό σύστηµα 5 5 Το κυίαχο ποφί για την πυκνότητα εδώ παίνεται ως συνάτηση του υοµέτου Εποµένως ασχέτως µοντέου όταν µιάµε για διαστωµάτωση saca ή και csl sa l ποσεγγίζουµε από την αχή την πυκνότητα του ευστού και όα τα υπόοιπα έπονται Η ποσέγγιση Bsssq Η συνάτηση της πυκνότητας σε µια τοπική CS βάσης είναι απώς : Στην εδώ ποσέγγιση τίεται : δ όπου ο πώτος όος αναπαιστά το κυίαχο ποφί την στάµη αναφοάς c sa όπως συνηίζεται να έγεται ενώ ο άος όος αναπαιστά αποκίσεις από αυτή τη στάµη αναφοάς Αιµητικά εωούµε ότι α είναι και : >> δ Ο πααπάνω φοµαισµός ποκύπτει ως : Από το οικό διαφοικό είναι : το οποίο δίνει την είσωση του εφαπτοµένου επιπέδου γύω από ένα κεντικό σηµείο έστω M τη χονική στιγµή όπου επί του εφαπτόµενου αυτού χώου για µικές αποκίσεις από την κεντική τιµή γάφουµε ποσεγγιστικά και :

51 4 Θέτοντας : για τις αποκίσεις α είναι τεικά : δ δ δ Ο φοµαισµός δ έει ότι αυτό α ισχύει εφόσον αυτές οι αποκίσεις από την κεντική τιµή στάµη αναφοάς είναι µικές και εδώ ακιβώς αυτό εωείται Για τη συνάτηση της πίεσης : Για την πίεση εισάγεται η εής γαφή : δ όπου από κατασκευής εωείται ότι οι στάµες αναφοάς για την πίεση και την πυκνότητα α βίσκονται σε υδοστατική ισοοπία ή ισοδύναµα ότι µε αναφοά σε αυτή τη βασική στά- µη ότι δεν υπάχει κατακόυφη µετατόπιση ευστού Είναι : #4 όπου η επιτάχυνση της βαύτητας παίνεται σταεή Στη συνέχεια γάφουµε σε µια αποποιηµένη µοφή τις εισώσεις της οµής την είσωση συνέχειας και τη εµοδυναµική είσωση για την εδώ εώηση Η είσωση της οµής : Από τη σχέση # είναι : υ υ υ υ υ δ δ δ υ δ υ δ δ δ υ δ

52 44 Ποσεγγίζουµε ως : δ Για την κίση της πίεσης : Είναι ποσεγγιστικά : υ δ υ δ Με χήση της σχέσης #4 γίνεται : υ δ υ δ υ δ δ υ Με cs είναι και : υ δ δ υ #5 Τίεται : δ φ Αυτός ο όος καείται " ba ss " ή αιώς διαταακτική πίεση είναι µια άγνωστη συνάτηση η µια από τις πέντε µε ητή εάτηση από έση και χόνο Ο άος όος : δ b καείται άνωση " bac " και είναι άη µια συνάτηση από τις πέντε που έχουµε να ποσδιοίσουµε µε ητή εάτηση και αυτή από έση και χόνο ιανυσµατικά είναι και : Η σχέση #5 γίνεται : δ δ δ b υ φ υ b ενώ αν γαφεί διαχωίσιµα για οιζόντιο επίπεδο και κατακόυφη διεύυνση α είναι :

53 45 φ #6 και φ b φ b φ b #7 Το maal a των σχέσεων #6 και #7 είναι για την D πείπτωση δηαδή : υ εφόσον οι τεις ταχύτητες και έχουν ητή εάτηση από έση και χόνο Το πααπάνω δεν σχετίζεται µε την υπόεση του U >> W Στη γενική πείπτωση και παόο που γάφουµε το D mmm qa σε οιζόντιο επίπεδο και κατακόυφη διεύυνση στην είσωση του οιζοντίου επιπέδου α υπάχει και η ταχύτητα όπως επίσης και στην είσωση της κατακόυφης διεύυνσης α υπάχουν και οι οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας Θα είναι δηαδή σε γαφή µεικών πααγώγων : και : φ υ φ φ φ b Η είσωση συνέχειας της µάζας : Είναι γενικά : Ποσεγγίζουµε ως : φ υ b φ b υ δ δ υ υ σχέση από την οποία παίνουµε : υ

54 46 Η σχέση αυτή είναι µια ποσέγγιση εν είναι cs αά ε αιτίας όµως της φύσης της ποσέγγισης α έχουµε ότι στα ευστά Bsssq η οή α είναι πείπου ασυµπίεστη Ισοδύναµα µποούµε να πούµε ότι απώς αγνοούµε το maal a του όου δ δηαδή δ ως αµεητέο αιµητικά Η εµοδυναµική είσωση ο πώτος νόµος : Ως καταστατική επιέγεται συνήως µια είσωση η οποία δίνει την εντοπία ως συνάτηση της πίεσης και της πυκνότητας Με βάση αυτό για εδώ γάφουµε : η η S Θεωού- µε µια σχέση που να συνδέει την ειδική εντοπία scc µε τις συνατήσεις και S χηµική σύσταση και ως µια επιπέον ποσέγγιση εωούµε και τη χηµική σύσταση σταεή για εδώ Ποκύπτει µια σχέση ως από " 4 Βασικά στοιχεία εµοδυναµικής " του παατήµατος : µε Q[ ] c s Q& S& Q[] T η S µη συντηητικοί όοι q Q& υµός αντααγής ενέγειας ως εµότητα και Q q m όπου για εδώ µε S S& υµός µεταβοής στη χηµική σύσταση του υγού S cs α είναι : c s Q& #8 T η Η µεική παάγωγος στο δεύτεο µέος ισούται µε : βt T η c Έχουµε για τη σχέση #8 : c s Q& T η βt δ δ Q& c c s

55 47 Για το πώτο µέος : δ δ c s δ c s Είναι και : υ Επίσης : cal lc Έχουµε : Είναι : δ c δ δ c c s s s βt δ Q& c c s Ως ακόµη µια ποσέγγιση εωούµε ότι είναι c s >> µε τέτοιο τόπο ώστε ο δεύτεος όος να ποκύπτει πού µικότεος σε σχέση µε τον πώτο Τότε α είναι : βt δ Q & c βt b Q& c b βt Q & c ή οίζοντας βt Q[ b] Q & α είναι : b Q[b] Χησιµοποιώντας το σύµβοο Q [ ] c αυτό αναπαιστά όους πηγών ετικών ή ανητικών Το 5 5 σύστηµα της ποσέγγισης Bsssq : Έχουµε πέντε εισώσεις τις : φ φ b

56 48 υ b Q[b] µε αγνώστους τους : φ και b οι οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας η κατακόυφη συνιστώσα αυτής η διαταακτική πίεση και η άνωση αντίστοιχα Όα νοούνται για σταεή τοπική CS βάση σε οογώνια συµµετία δηαδή µε ητή εάτηση όα τους από και Η ανεαστική ποσέγγιση Η πααπάνω ποσέγγιση επί της συνεχούς διαστωµάτωσης εφαµόζεται σε υγά κάτι το οποίο φαίνεται και από τη εµοδυναµική είσωση εκεί Επίσης εωήσαµε την πυκνότητα της κατάστασης αναφοάς ως σταεή Η ανεαστική ποσέγγιση εφαµόζεται κυίως σε συστήµατα αείων ιδανικών στην απούστεη δυνατή πείπτωση Εδώ η πυκνότητα της κατάστασης αναφοάς εωείται ως συνάτηση µόνο του υοµέτου και µε βάση αυτό ποσεγγίζουµε τη συνάτηση ως εής : όπου και εδώ εωείται : δ >> δ Η πυκνότητα της στάµης αναφοάς αναπαίσταται ως και οι αποκίσεις από αυτήν ως δ Για τη συνάτηση της πίεσης και εδώ εωούµε τη γαφή : δ όπου από κατασκευής για την κατάσταση αναφοάς εωούµε και υδόσταση ώστε να είναι και : µε cs Η είσωση της οµής : Από τη σχέση # είναι : δ δ δ

57 Ο όος είναι ταυτοτικά µηδέν ενώ και εδώ ποσεγγίζουµε ως δ Είναι : δ δ Ως διαταακτική πίεση εδώ τίεται : δ φ µια από τις πέντε άγνωστες συνατήσεις όπου σε κάε πείπτωση το κυίαχο κατακόυφο ποφί είναι µια γνωστή συνάτηση Για την είσωση οµής επί του οιζοντίου επιπέδου α είναι : Επί της κατακούφου διευύνσεως α είναι : φ 49 δ δ δ δ δ δ δ Είναι και : εποµένως : δ δ δ δ δ δ Έχουµε δεσµευµένα ένα σύστηµα ιδανικού αείου Αυτό για την ανεαστική ποσέγγιση εδοµένου ότι η συνάτηση της εσωτεικής ενέγειας ανά µονάδα µάζας δηαδή scc al έστω ε από τη εµοδυναµική σκοπιά εατάται ητά µόνο από τη εµοκασία δηαδή είναι ε ε T µε βάση αυτό ποκύπτει όπως αυτό αποδεικνύεται η εής σχέση : η c lt l

58 5 όπου " η " η ειδική εντοπία και η σταεά του εκάστοτε αείου Σε όες αυτές τις ποσεγγίσεις ούτως ή άως ο όγος γίνεται για µικές αποκίσεις από µια κυίαχη στάµη αναφοάς και το ίδιο ισχύει και για τη εµοκασία Για µικά T µποούµε να πούµε ότι και η ειδική εµότητα υπό σταεή πίεση α είναι απώς µια σταεά Με βάση αυτά είναι : η η c lt l lt l c c Θέτουµε : η η lt l lt l c c c c η c s όπου το σύµβοο " s " είναι το scc µε αναγωγή ως πος το scc a a csa ss Είναι : Θέτουµε εκ νέου : s lt l c lt c l l όπου " " η συνάτηση της δυναµικής εµοκασίας al ma Ισοδύναµα είναι T και : κ όπου κ µια σταεά της πουτοπικής µεταβοής Για µικά T c εωούνται σταεές ποσότητες Καταήγουµε στην : s l µια διαφοική είσωση η οποία δίνει ως ύση την : Έστω cs Είναι και : s l cs s lt l l l c γ c όπου γ η σταεά του Pss Εδώ χησιµοποιούµε την καταστατική είσωση των cv ιδανικών αείων : T και τη σχέση c c για το εκάστοτε αέιο Τεικά α πάουµε : V s l l l s l l l l l γ γ γ s γ

59 5 Ως ποσέγγιση στο s έχουµε : s s δs Για τις διακυµάνσεις είναι : s δ δ δ δ δs γ γ δ δ s δ γ Για τη στάµη αναφοάς έτουµε από κατασκευής : σχέση αυτή και είναι : s γ Χησιµοποιώντας τη σχέση της υδόστασης α είναι και : s γ l l s ιαφοίζουµε τη γ s γ s γ Έχουµε τεικά για την είσωση της οµής επί της κατακούφου διευύνσεως : δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ s δ γ δ δ δ δ δ δ δ δ s γ s γ δ s δ δs Καταήγουµε στη σχέση : δ s δ δs Αντικαιστώντας και εδώ τη διαταακτική πίεση α είναι τεικά : φ s φ δs Ο µεσαίος όος δίνει γινόµενο µεταύ αγνώστων συνατήσεων Αυτό µποεί να αγνοηεί ως µια ακόµη ποσέγγιση

60 5 Η τεική σχέση είναι : φ φ δs ba Στην ανεαστική ποσέγγιση µποούµε να εισάγουµε µια άνωση ως εής : δ s ba όπου δ δ είναι και : δ s Είναι : b a ως ba ba µια άγνωστη συνάτηση η τεευταία του διαφοικού συστήµατος της ανεαστικής ποσέγγισης Η είσωση συνέχειας : Εν γένει είναι : Έχουµε : Για το δεύτεο µέος ποσεγγίζουµε : υ υ δ δ δ υ υ υ Επίσης : Ο πώτος όος : υ υ υ υ Ο δεύτεος όος : υ

61 5 Συνοικά : υ εποµένως : υ δ Και εδώ όπως και στην ποσέγγιση Bsssq αγνοούµε τον όο τεικά : δ και παίνουµε υ Η εµοδυναµική είσωση πώτος νόµος : Για την ανεαστική ποσέγγιση έχουµε τα παακάτω εν συντοµία Η εωία αναπτύσσεται πεισσότεο στο αντίστοιχο εδάφιο της εµοδυναµικής Ο πώτος νόµος µε αναγωγή ως πος τη µάζα είναι : E Q W Για τα ιδανικά αέια είναι και : E m V a a m Q W ε q m m scc lm ειδικός όγκος Γαµµική ποσέγγιση συνάτησης µέσω του οικού διαφοικού της : ε ε ε T ε T T Α T Θεµοχωητικότητα a caac και ειδική εµότητα scc a : Q T C m Q T C m c Για σταεό όγκο είναι από τον πώτο νόµο : Q ε m ε Q T m T ε T cv ε c T Β V

62 54 Συγκίνοντας τις σχέσεις Α και Β ποκύπτει γενικά : ε T c V για T Εποµένως σε κάε πείπτωση που α είναι απώς ε ε T τότε ο πώτος νόµος α γάφεται και ως : c V T q a c V T a q Από την καταστατική είσωση του ιδανικού αείου είναι : α T Είναι τεικά : T T T a a TT c V T a q c V T T T q T q T q c V c T T T T Όπως στα της ποσέγγισης Bsssq έτσι και εδώ εισάγουµε τη συνάτηση της δυναµικής εµοκασίας µε τον ίδιο τόπο : lt c l l Είναι : T c T q T lt c l q T c lt q l c T c q l T c όπου παίνοντας το c σταεό εωούµε και εδώ µικά c T Τεικά είναι : q Q& q l µε Q& T c T δ όπως και στην ποσέγγιση Bsssq Αναφέηκε ποηγουµένως ότι είναι : δ s ό- που cs γνωστή σταεά

63 55 Είναι ποσεγγιστικά : δ l δ δ δ δ άα τεικά : δ Q& T c s Q& δ δs Q& Tc Tc b a Q& T c ή b a Q[ b a ] µε T c Q& Q[ b a ] Το 5 5 σύστηµα της ανεαστικής ποσέγγισης : Εδώ οι εισώσεις είναι : φ φ b a b a Q[ b a ] µε άγνωστες συνατήσεις και εδώ τις : φ και b a Όες οι συνατήσεις έχουν ητή εάτηση από έση και χόνο και οι δύο συνατήσεις και cs που εµφανίζονται στις πααπάνω εισώσεις α εωούνται γνωστές σταεές Βέβαια στη εµοδυναµική είσωση εµφανίζεται και το πεδίο εµοκασιών οπότε για να εωηεί το σύστηµα παγµατικά κειστό α πέπει να εωήσουµε και αδιαβατικές µεταβοές ώστε να είναι και Q [ ] b a

64 56

65 57 4 Scal και ο αιµός ssb Εισαγωγικά : Σε αυτό το εδάφιο µεετάται η έννοια του scal Λέγοντας " scal " εννοούµε την τεχνική εκείνη µέσω της οποίας κάνουµε µια αναγωγή στις εισώσεις των διαφόων µοντέων εδώ για sa mls και πενάµε σε µια ισοδύναµη γαφή όπου όες οι συντεταγµένες οι άγνωστες συνατήσεις και ο χόνος α είναι ανηγµένα αδιάστατα µεγέη της ίδιας τάης µεγέους από κατασκευής ενώ α εµφανίζονται στις διάφοες εισώσεις και κάποιοι γνωστοί συντεεστές των οποίων η αιµητική τιµή α σχετίζεται άµεσα µε την εκάστοτε εωού- µενη κίµακα Στο εδάφιο " Η είσωση της σχετικής κίνησης " αναφέονται κάποια βασικά σηµεία πάνω στην έννοια της κίµακας δηαδή πάνω στο πόσο µεγάη α είναι αυτή η γεωγαφική πειοχή εντός της οποίας α αµβάνει χώα η κίνηση στο ευστό Εν ποκειµένω για τη Γη οίζονται τέσσεις τέτοιες κίµακες κίνησης : Στη συνέχεια δίνονται τάεις µεγέους µήκους αά αυτό που εννοείται είναι η τάη µεγέους των γαµµικών διαστάσεων της κίνησης Μικοκίµακα mcscal : Ως χωική τάη µεγέους για την κίµακα αυτή εωούµε από µεικά mm µέχι και ίγα m Για παάδειγµα κίνηση ευστού χ του αέα πάνω από µια καµινάδα ή και πάνω από µια οόκηη πόη εωείται κίνηση µικοκίµακας Μεσοκίµακα msscal : Η χωική τάη µεγέους είναι από ίγα m µέχι και µεικές εκατοντάδες m Συνοπτική κίµακα sc scal : m Εδώ α έχουµε κίνηση από m µέχι και 8 m Η κίνηση µποεί να αφοά κίνηση ευστού πάνω από µια οόκηη ήπειο όπως η Ευώπη για παάδειγµα ή και πάνω από έναν οόκηο ωκεανό Παγκόσµια κίµακα lbal scal : Εδώ έχουµε την πιο µεγάη κίµακα κίνησης η οποία α αφοά οόκηο τον πανήτη Η Γη για παάδειγµα έχει διάµετο 4 m εποµένως η τάη µεγέους της κίνησης χωικά α είναι 4 m Από το εδάφιο της σχετικής κίνησης ποέκυαν οι γενικές σχέσεις για τις τεις συνιστώσες της οµής όπως αυτές αναύονται σε άονες Εκεί έχουµε τους πέον γενικούς φοµαισµούς χωίς να γίνεται όγος για καµία ποσέγγιση Στην πάη όµως παόο που αυτές οι εισώσεις πειγάφουν την εέιη της οµής για κάε δυνατή πείπτωση κίνησης ευστού µας ενδιαφέει να βούµε τόπους για να αποποιήσουµε τις µοφές και όπως ήδη αναφέηκε στο εδάφιο " Ποσεγγίσεις " οι ποσεγγίσεις που µποούν να γίνουν αφοούν κυίως δύο έννοιες :

66 58 Ποια είναι η κίµακα της κίνησης Scal δηαδή ποια είναι η σχετική τάη µεγέους των όων που εµφανίζονται Για παάδειγµα αν έουµε να µεετήσουµε κίνηση σε εγαστηιακό ευστό σε µικοκίµακα δηαδή σκόπιµο α ήταν να αγνοήσουµε την επιτάχυνση Cls εν µποεί να ειπωεί το ίδιο όµως και για κίνηση αέιας µάζας πάνω από ωκεανό Μας ενδιαφέει η κίνηση εκείνη για την οποία έχει νόηµα κάποιος να άβει υπ όιν του και τις δυνάµεις αδάνειας κυίαχα δε την επιτάχυνση Cls Αυτό σηµαίνει ότι η εκάστοτε εωούµενη κίµακα δεν µποεί να είναι µικότεη από τη µεσοκίµακα Επίσης από τα ποηγούµενα εδάφια αναπτύχηκαν κάποια αποποιηµένα µοντέα πειγαφής της κίνησης τα : Bsssq ama Alasc ama Λαµβάνουµε υπ όιν µας τη δύναµη της βαοβαµίδας την επιτάχυνση Cls και τη Νευτώνειο βαύτητα Κάνοντας την ποσέγγιση ότι το ευστό α είναι " sabl sa " δηαδή ότι α είναι U >> W το οποίο σχετίζεται µε το scal αναύουµε την κίνηση σε οιζόντιο επίπεδο και σε κατακόυφη διεύυνση και εωούµε ακόµη οογώνια συµµετία αγνοώντας την καµπυότητα της Γης Αυτές είναι αποποιήσεις οι οποίες µας εµποδίζουν φυσικά από το να µιήσουµε για πανητική κίνηση αά παό αυτά µποούν και πειγάφουν ένα µεγάο φάσµα κινήσεων και σε αυτό µένουµε Επίσης όπως παατηείται στην πάη για αυτήν την κίµακα κίνησης επί του οιζοντίου επιπέδου υπάχει µια ποσεγγιστική ισοοπία µεταύ της οιζόντιας συνιστώσας της βαοβαµίδας και της επιτάχυνσης Cls το ο- ποίο οδηγεί σε αυτό που καέσαµε " γεωστοφική ισοοπία " ενώ για την κατακόυφη διεύυνση υπάχει µια ποσεγγιστική ισοοπία µεταύ της κατακούφου συνιστώσας της βαοβαµίδας και της Νευτώνειου βαύτητας το οποίο και οδηγεί σε αυτό που καείται " υδοστατική ισοοπία " Ο αιµός του ssb : Ε οισµού η παάµετος αυτή µετάει τη σχετική τάη µεγέους της οιζόντιας σχετικής επιτάχυνσης πος την πειστοφή δηαδή την τάη µεγέους του ac κίνηση επί του οιζοντίου επιπέδου πος το a µέσω της επιτάχυνσης Cls Η φυσική σηµασία του αιµού αυτού είναι ότι µας έει πόσο σηµαντικό είναι το a στην κίνηση Όσο µικότεος ο αιµός ssb τόσο µικότεη και η συνεισφοά και επίδαση της επιτάχυνσης Cls στην κίνηση Αναφέεται εδώ το εής : U L ssb mb όπου τα µεγέη επεηγούνται στη συνέχεια

67 59 Scal στο µοντέου της ανεαστικής ποσέγγισης : Από το εδάφιο " ιαστωµάτωση Saca " έχουµε για το µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης το ακόουο σύστηµα : φ οιζόντια είσωση οµής φ b a κατακόυφη είσωση οµής είσωση συνέχειας b a εµοδυναµική είσωση Θεωούµε για την τέτατη είσωση εµοδυναµική είσωση ειδικότεα αδιαβατικές µεταβοές Στις πααπάνω εισώσεις τα µεγέη που εµφανίζονται έχουν διαστάσεις Έχουµε και για την εδώ πείπτωση τα ακόουα : Η διαταακτική πίεση και η άνωση οίζονται ως εής : δ φ δ και b a δs όπου δ s µε cs Ειδικότεα για τις πααπάνω συνατήσεις γάφουµε : φ φ φ και b b b a a a Η κα ύος συντεταγµένη δηαδή το δεν υπόκειται στο ίδιο scal µε τις οιζόντιες και Με τις πααπάνω γαφές διαχωίζουµε τις συνατήσεις αυτές σε δύο όους δηαδή στο κυίαχο κατακόυφο ποφί και στις αποκίσεις από αυτό µε βάση το διαφοετικό scal πάνω στις χωικές συντεταγµένες Οι πααπάνω γαφές δεν εισάγονται για να γίνει γαµµικοποίηση Απώς έουµε να διαχωίσουµε ητά τις δύο διευύνσεις οιζόντια και κατακόυφη ώστε να ποκύουν διαφοετικοί παάγοντες κίµακας scal acs για τις δύο αυτές διευύνσεις Τα scal acs τα οποία εισάγονται απ ευείας και που εωούνται γνωστά από την αχή δεδοµένα εισόδου γνωστά από κατασκευής είναι τα L U H T και Τα scal acs αναπαιστούν : L : Η τυπική χωική κίµακα της οιζόντιας διεύυνσης της κίνησης H : Η τυπική χωική κίµακα της κατακόυφης διεύυνσης της κίνησης U : Η τυπική τάη µεγέους για τις οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας Τ : Η τυπική κίµακα του χόνου

68 6 Μποεί να έχουµε κίνηση ευστού όπου η χονική κίµακα µεέτης πάνω σε οιζόντιες µετατοπίσεις να είναι χ µεικές ηµέες Για παάδειγµα στη µετεωοογία µια τυπική χονική κίµακα µεέτης της κίνησης των αείων µαζών είναι έως µεικές ηµέες Επί της κατακούφου διευύνσεως όµως το αναµενόµενο είναι η αντίστοιχη χονική κίµακα να είναι ακετά µικότεη µεικές ώες : Για το scal πάνω στην πειστοφή a χησιµοποιούµε ως scal ac την ίδια την παάµετο Cls Ω s Θα έχουµε από κατασκευής τις εής σχέσεις : L L H για τις χωικές συντεταγµένες ενώ για το χόνο α είναι : L L U T T T U όπου εωούµε ότι η κίµακα του χόνου σχετίζεται µε την οιζόντια κίνηση Για τις οιζόντιες συνιστώσες της ταχύτητα είναι επίσης : U U ενώ για την κατακόυφη µποούµε να πάουµε τη σχέση του W ως συνάτηση των άων ως εής εωούµε µια σχέση ως : και α είναι : W H H H W U T L L U Θα είναι ε οισµού : και µε βάση αυτό ποκύπτει : W H H U α asc a L L Η παάµετος του asc a εωείται τυπικά µική χ µποεί να είναι α O και αυτό έχεται σε συµφωνία µε τη γενικότεη απαίτηση που έχουµε να είναι W << U Για το διάνυσµα β έχουµε επίσης : Το scal αφοά το µήκος του Εισάγουµε

69 6 και εδώ τις εής σχέσεις : c m µε και β β για την παάµετο β Το ως scal ac εωείται γνωστό ζητάµε µια σχέση για το B Είναι B : β β B L B L β Στην πααπάνω σχέση είναι παό αυτά µένει ως έχει Ως τάη µεγέους όοι οι ανηγµένοι όοι Υπάχει όµως και ο συντεεστής β και ŷ είναι της ίδιας τάης µεγέους O δηαδή µονάδες B L του οποίου την τάη µεγέους έουµε να ποσδιοίσουµε Από κατασκευής η συνεισφοά του όου β στο µέγεος της πααµέτου Cls παουσία και του φαινοµένου β β δεν είναι µεγάη Ζητάµε να είναι U U L U απώς B ώστε ο πααπάνω συντεεστής να γίνει δηαδή ο L L L αιµός του ssb για τον οποίο ζητάµε να είναι σχετικά µικός όπως ποκύπτει αυτό και από τα ποηγούµενα Θα είναι για την αδιάστατη παάσταση του : β Στη συνέχεια γίνεται scal πάνω στις τέσσεις εισώσεις του µοντέου της ανεαστικής ποσέγγισης Για την οιζόντια είσωση της οµής : Αχικά είναι φ Έχουµε εισάγει τη γαφή φ φ φ άα είναι χωίς κάποια ποσέγγιση φ Έχουµε : φ φ Για το scal πάνω στον όο του φ έτουµε και εδώ τη γαφή φ Είναι για την πααπάνω σχέση Φ : όπου είναι : U T L φ Φ U U U U µε

70 6 Επίσης : L L L µε Έχουµε : U L U Φ U φ L U L Φ LU φ Φ φ U L Σε κινήσεις ευστών τουάχιστον µεσοκίµακας η κυίαχη ισοοπία οιζοντίως είναι η γεωστοφική δηαδή ότι η βαοβαµίδα και η επιτάχυνση Cls α βίσκονται πείπου σε ισοοπία Στην πααπάνω είσωση τυπικά είναι O εν ποκειµένω για την ατµόσφαια για την οποία κάνει όγο και η ανεαστική ποσέγγιση εάου όπως αυτό ποκύπτει από πουπηείς παατηήσεις Όοι οι αδιάστατοι όοι από κατασκευής είναι τάεως O Ο συντεεστής της σχετικής επιτάχυνσης είναι το ενώ στο δεύτεο µέος έχουµε την επιτάχυνση Cls να δίνει όο τάεως O Με βάση αυτό που µόις ειπώηκε πααπάνω πέπει να είναι και : Φ U L O Φ U L Τεικά α είναι για το al la mmm qa : Για την κατακόυφη είσωση της οµής : Αχικά είναι για την είσωση µε διαστάσεις : φ φ b a

71 6 Ποσεγγίζουµε εκ νέου αχικά ως : φ φ b a ba Ζητάµε από κατασκευής να είναι υδοστατική ισοοπία : φ b δηαδή τα κατακόυφα ποφί της διαταακτικής πίεσης και της ανεαστικής άνωσης να ισούνται Είναι : φ b a W φφ b a B a T H ba όπου τίεται και : b a Είναι : B a U H L Φ φ B a b a H Από την πααπάνω σχέση πέπει να είναι ως τάη µεγέους : B a Φ H ώστε οι όοι στο δεύτεο µέος να είναι αιµητικά πααπήσιοι και να µποούµε να έµε ότι επί της κατακούφου διευύνσεως α υπάχει πάγµατι πείπου υδοστατική ισοοπία Ως τυπικές τάεις µεγέους για την ατµόσφαια έχουµε : 6 L m U m sc 5 a sc ενώ κατακούφως εωώντας ότι η κίνηση πειοίζεται εντός της τοπόσφαιας το Η δεν α µποεί να είναι πιο µεγάο από το ύος της τοπόπαυσης εποµένως είναι και : H 4 m Έχουµε : U 6 H L Φ U L Φ H εποµένως στην κατακόυφη διεύυνση της κίνησης οι όοι στο δεύτεο µέος είναι τέσσεις 5 τάεις µεγέους πιο πάνω σε σχέση µε τον όο του πώτου µέους Αν παεί L α είναι δύο τάεις µεγέους πιο πάνω πάντα για sabl sa ls αέια Με βάση αυτήν την αιµητική παατήηση για την πααπάνω είσωση αδιάστατα α γάουµε απώς : φ b a

72 64 Για την είσωση συνέχειας : Αχικά είναι : Έχουµε : U W L H Είναι και W H U εποµένως παίνουµε απώς : L Το ποφί εωείται γνωστό Αυτό δεν υπόκειται σε scal Για αυτό είναι και : H H H H H H H H H H H H H H H H Για τη εµοδυναµική είσωση : b Εδώ αχικά είναι : a για αδιαβατικές µεταβοές στο ευστό έτσι ώστε να µην υπάχει αντααγή ενέγειας µικοσκοπικά Είναι και : Για τον πώτο ποσετέο είναι και : b a ba υ b a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba

73 65 b Θέτουµε : a N και η εµοδυναµική είσωση γίνεται : b a b a N b a Ba W N T UL H ba UH L L U N U ba UH N H L U ba H L b a L U H L H L U b a L L L όπου χησιµοποιήηκε και η εής σχέση : b a L L Ακτίνα πααµόφωσης Dma as L : N H L εν γένει α είναι συνάτηση µε ητή εάτηση µόνο από τη συντεταγµένη µέσω της συνάτησης N Καταήγουµε τεικά στις εής αδιάστατες εισώσεις : φ οιζόντια είσωση οµής φ b a κατακόυφη είσωση οµής είσωση συνέχειας ba L εµοδυναµική είσωση L Το σύστηµα εακοουεί να είναι 5 5 µε άγνωστες συνατήσεις τις : και φ φ b b a a

74 66

75 67 5 Qas / Sm s QG Εισαγωγικά : Η εωεία του qas s QG εντάσσεται σε µια εώηση πεεταίω αποποίησης των συστηµάτων Bsssq και της ανεαστικής ποσέγγισης Πόκειται για τη εωεία όπως αναπτύχηκε από τον Ca τεικό αποτέεσµα αυτής είναι η εαγωγή διαφόων al c qas σε όους δυναµικού στοβιισµού ή ισοδύναµα και συνατήσεων οής σχετική αναφοά για την εδώ αναπτυσσόµενη εωεία είναι η [] Στο εδάφιο πεί scal " 4 Scal και ο αιµός ssb " παατίεται η διαδικασία η οποία δίνει το 5 5 σύστηµα της ανεαστικής ποσέγγισης σε αδιάστατη µοφή Οι βασικές υποέσεις που απαιτούνται είναι οι : Επί του οιζοντίου επιπέδου η βαοβαµίδα και η επιτάχυνση Cls να είναι της ίδιας τάης µεγέους δηαδή να υπάχει πείπου γεωστοφική ισοοπία Επί της κατακούφου διεύυνσης η βαοβαµίδα και η άνωση να είναι επίσης της ίδιας τάης µεγέους ώστε να υπάχει πείπου υδόσταση Με τις πααδοχές αυτές οι οποίες δίνουν και συγκεκιµένες τιµές πάνω στα scal acs παάγοντες κίµακας καταήγουµε τεικά στο ακόουο σύστηµα : φ # φ b a # # ba L #4 L εν ποκειµένω για το µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης δηαδή για sabl sa l Το επόµενο βήµα µέσω του οποίου οι πααπάνω εισώσεις αποποιούνται πεεταίω έχει να κάνει µε την τεχνική του ml scal aalss µε µια τεχνική η οποία εισάγει για τις ύσεις α- συµπτωτικά αναπτύγµατα ως πουώνυµα κάποιας χαακτηιστικής πααµέτου η οποία δίνει τάη µεγέους για τον κάε όο του εκάστοτε αναπτύγµατος Η εδώ παάµετος είναι ο αιµός του ssb Στην είσωση #4 παατηούµε ότι υπάχει ένας ακόµη συντεεστής ο L του οποίου η τάη µεγέους α πέπει να δοεί σε όους τάεως µεγέους του L Πάνω σε αυτό υπάχουν δύο εωήσεις όπου η µια δίνει το σύστηµα : " Plaa sc qas PG ssm "

76 68 η άη οδηγεί στο : Η διαφοά έγκειται στο εής : Στο πώτο εωούµε " Qas sc qas QG ssm " L L >> L ή ισοδύναµα O ή ισοδύναµα ο όγος L L O Αυτό σηµαίνει ότι η κίµακα της κίνησης α εωείται πού µεγαύτεη σε L σχέση µε την παάµετο L Όπως ποκύπτει στην πάη για την ατµόσφαια είναι πείπου L m και αυτό σηµαίνει ότι η κίνηση α αµβάνει χώα σε µια πού µεγάη γεωγαφική πειοχή εού και η ονοµασία " laa " Για τη δεύτεη εώηση µε την ο- ποία α ασχοηούµε στα παακάτω εωείται το εής : L L το οποίο τίεται και ως : L O L O L L Εδώ η γεωγαφική πειοχή της κίνησης α είναι κοντά στα m Τα πααπάνω έχουν σηµασία για τη εµοδυναµική είσωση εποµένως και για την τεική γαφή των εισώσεων που ποκύπτουν Το QG σύστηµα σε όους ml scal aalss : Ποσεγγίζουµε τις συνατήσεις µας µε τα εής πουωνυµικά ασυµπτωτικά αναπτύγµατα : για {û ŵ φ b a } Η διαδικασία έγκειται στο ότι αντικαίστανται οι πααπάνω εκφάσεις στις εισώσεις # # # και #4 µέχι και κάποιο ma όπου η τάη του αναπτύγµατος και στη συνέχεια εισώνονται οι οµοιοβάµιοι όοι µιας και οι µαηµατική δοµή εδώ αφοά πουώνυµα Παίνεται ma εποµένως α έχουµε αναπτύγµατα πώτης τάης Για την οιζόντια είσωση της οµής : Είναι από τη σχέση # : φ φ

77 69 φ Για ma : φ φ O Είναι και β β όπου και β β Το πώτο µέος είναι : Το δεύτεο µέος είναι : β β φ φ ίσο µε : β β φ φ ίσο µε : β β φ φ Εισώνουµε τους οµοιοβάµιους όους και παίνουµε τις ακόουες δύο σχέσεις : φ #5 και β φ #6 Για την κατακόυφη είσωση της οµής : Από τη σχέση # είναι : b a φ a b φ a b φ Για πώτης τάης ανάπτυγµα α είναι : a a O b b φ φ

78 7 Έχουµε άες δύο σχέσεις : b a φ #7 και b a φ #8 Για την είσωση συνέχειας : Από τη σχέση # είναι : O O Έχουµε : #9 και # Τα πααπάνω είναι ταυτόσηµα και στο PG µοντέο και στο QG Η διαφοοποίηση αχίζει από αυτό το σηµείο Για την εµοδυναµική είσωση : Από τη σχέση #4 είναι : L L b a a L L b a L L b

79 7 Εδώ είναι qas s : O L L εποµένως έχουµε για ma : a a O L L b b O b L L L L Έχουµε τεικά άες δύο σχέσεις : L L # και b L L a # Καταήγουµε σε ένα σύστηµα οκτώ σχέσεων από την #5 µέχι και την # 8 8 και αυτό µόνο για ανάπτυγµα µέχι πώτης τάεως όους Πεεταίω ανάυση : Από τη σχέση #5 είναι : φ φ Για το δεύτεο µέος χησιµοποιούµε τη διανυσµατική ταυτότητα : G F F G F G G F G F και α έχουµε : Για τους πααπάνω όους είναι και :

80 7 Το πώτο µέος είναι ταυτοτικά µηδέν η στοφή της κίσης βαµωτής συνάτησης άα καταήγουµε στη σχέση : # Με βάση αυτό η σχέση #9 γίνεται : εδοµένου ότι είναι α έχουµε και : Η πααπάνω µαηµατική δοµή είναι ποιοτικά : a b από το οποίο ποκύπτει ότι µαηµατικές ύσεις µποεί να είναι οι εής δύο : Η τετιµµένη al δηαδή αµφότεα µηδέν a και b ή να είναι αντίετα δηαδή a b Αν ζητήσουµε να είναι αντίετα ποκύπτει η σχέση : κάτι το οποίο δεν µποεί να ισχύει γενικά Ζητείται να είναι και τα δύο εκ ταυτότητας µηδέν και επειδή ισχύει καταήγουµε στη σχέση : #4 Από τη σχέση #6 : φ β Το maal a του πώτου µέους είναι γενικά για κάε τάη : υ Εισάγουµε τη γαφή : ṋ για να δηώσουµε και τάη Στην πααπάνω είσωση είναι για υ

81 7 Από τη σχέση #4 είναι : Η σχέση #6 γίνεται : β φ Εδώ χησιµοποιούµε µια άη διανυσµατική ταυτότητα την : υ υ υ υ υ η οποία για τις εδώ µοφές γίνεται : Σε αυτό το σηµείο εισάγεται και ο στοβιισµός c στις εισώσεις Για την κατακόυφη συνιστώσα του ω είναι από κατασκευή ζ ζ Oµοίως και για κάε άη τάη Το πααπάνω ποκύπτει πιο συγκεκιµένα ως ακοούως : Για το στοβιισµό : Εν γένει είναι υ ω Τίεται ειδικότεα υ ω * όπου η πααγώγιση αφοά σταεή στάµη χωίς αυτό να σηµαίνει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας δεν α έχουν ητή εάτηση και από το Είναι για οογώνια συµµετία : ω και : * ω Ειδικότεα για την κατακόυφη συνιστώσα του στοβιισµού είναι : ζ Η πααπάνω γαφή αφοά είσου και το ω αά και το * ω Σε διανυσµατική µοφή γενικά είναι και : ζ Εποµένως έχουµε τία διανύσµατα τία σύµβοα τα ω * ω και ζ

82 74 Έχουµε : U U L L ζ L U Θέτουµε : ζ και α είναι : ζ ζ L U L U ζ ζ ζ ζ Το scal ac για το cal c cm είναι το έστω Z Πέαν τούτου µε εφαµογή των ασυµπτωτικών αναπτυγµάτων τα οποία αφοούν µόνο αδιάστατες µεταβητές α είναι για εδώ : ζ ζ ζ Θέτουµε και εδώ : ζ απ όπου παίνουµε απώς ζ ζ Έτσι α- σχέτως τάης είναι ζ όπου για είναι ακιβώς ζ ζ η πααπάνω σχέση Επιστέφουµε τώα στην ποηγούµενη σχέση Από την #6 α είναι τεικά : β φ β φ ζ β φ ζ β ζ β ζ

83 75 Ο πώτος όος είναι : ζ Ο δεύτεος όος : ζ ζ ζ ζ ζ ζ Ο τίτος όος : β β β β β β Ο τέτατος όος : Συνοικά : β ζ ζ Με χήση της # και συνδυαστικά µε την πααπάνω α είναι : β ζ ζ όπου έγινε η αντικατάσταση : Είναι : β β Για τον όο αυτό είναι ποφανώς β εποµένως µε χήση της ταυτότητας α πάουµε και β ζ Το πααπάνω ισχύει ως εής : β ζ #5

84 76 όπου είναι απώς Η πααπάνω σχέση πέον δίνεται ως βαµωτή Στη συνέχεια εωούµε τη σχέση # στην οποία αντικαιστούµε ως : F L L εωείται σταεή παάµετος και α είναι : a b F a b F b a F Η σχέση #5 γίνεται : a b F β ζ Για αυτή τη µεική πααγώγιση στο δεύτεο µέος είναι : Το maal a είναι : a a a b b b Έχουµε : b a a a a b b b a a a b b b b b b b a a a a a a a b b b a a a b b b Ποκύπτει από το εδάφιο του παατήµατος : " Γεωστοφική ισοοπία και εµικός ά- νεµος " ότι είναι και : b a όπως αυτό αποδεικνύεται εκεί Το πααπάνω είναι µηδέν εκ ταυτότητας και ποκύπτει µέσω του οισµού του εµικού ανέµου ως η κατακόυφη παάγωγος του γεωστοφικού ανέµου Η

85 77 πααπάνω σχέση δεν ισχύει για κάε τάη παά µόνο εάν η ταχύτητα εκεί αντιστοιχεί σε αµιγώς γεωστοφική οή όπου κάτι τέτοιο για την û ισχύει εφόσον είναι και : φ από τη σχέση #5 Τεικά είναι : b a b b a a b b a a b b a a b a Το maal a τάης δεν έχει πααγώγιση ως πος Για το όγο αυτό για κάε συνάτηση µόνο του είναι : F F F F F F F F F F F Το πααπάνω ισχύει όγω του b a Θεωήσαµε το F να είναι σταεή παάµετος Μποεί να είναι όµως και συνάτηση αµιγώς του εφόσον ε οισµού είναι : H N L L L F Και σε αυτήν την πείπτωση δεν αάζει κάτι όπου στα πααπάνω αντί να γάφουµε α παίνουµε το γινόµενο F το οποίο α είναι µια συνάτηση µόνο ως πος ή και H Γάφουµε : a b F β ζ a b F β ζ a b F β ζ

86 78 φ Σε αυτό το σηµείο χησιµοποιούµε και τη σχέση #7 b a και α πάουµε : φ ζ β F #6 Η συνάτηση οής sam c : Όπως και στο εδάφιο του γεωστοφικού ανέµου έτσι και εδώ µποούµε να εισάγουµε και µια συνάτηση οής Η συνάτηση εισάγεται µόνο σε πείπτωση όπου υπάχει επ ακιβώς γεωστοφική ισοοπία και όχι γενικά ηαδή εδώ µόνο για τάη µποούµε να εισάγουµε και να χησιµοποιήσουµε τη συνάτηση οής και όχι γενικά Εισάγουµε το σύµβοο αά παόο που έχουµε δείκτη εδώ δεν σηµαίνει ότι ποέχεται από κάποιο ασυµπτωτικό ανάπτυγµα όπως όες οι άες άγνωστες συνατήσεις Από τη σχέση #5 φ και µόνο για τάη α είναι : φ σχέση οισµού Έχουµε δηαδή ότι το sam c αναπαιστά τις αποκίσεις της διαταακτικής πίεσης Ποκύπτουν οι σχέσεις : ή και ως µε ενώ από τη σχέση ζ ποκύπτει απ ευείας και η : ζ Λαπασιανή σταεής στάµης Με βάση την εδώ αναγωγή η σχέση #6 α γίνει : β F Στην πααπάνω σχέση είναι οπότε γάφουµε και : β F Η πααπάνω είσωση καείται : " T qas sc al c qa "

87 79 Είναι ανηγµένα : q F β Για να πάουµε την είσωση µε διαστάσεις έχουµε ότι χησιµοποιούµε τις σχέσεις : L L L U Φ φ φ µε L U Φ B β β µε L U B H N L L L F φ φ Φ Φ Είναι : Φ Φ H H N L H L B L U L β UL N L L L U UL L U L β N U L U L U L U L β N β Εποµένως µε διαστάσεις το al c είναι : q N β όπου οι συνατήσεις και b N είναι γνωστές Η διαφοική είσωση πος επίυση α είναι η q Η αντιστοφή δηαδή το πώς α πάουµε τις µεταβητές γνωίζοντας το πειαµβάνει :

88 8 Ταχύτητα : Κατακόυφη συνιστώσα του στοβιισµού : ζ ιαταακτική πίεση : φ ιαταακτική άνωση : b από την υδοστατική ισοοπία από σχέση #7 δηαδή Θεωούµε υδόσταση άα είναι και Η πααπάνω σχέση είναι αυτή µε όους της οποίας γίνεται ο όγος για το έµα της βαοκινικής αστάειας µε το οποίο έουµε να ασχοηούµε τεικά και όη η πααπάνω µεοδοογία γίνεται για αυτόν ακιβώς το σκοπό

89 8 6 Βαοκινική αστάεια Εισαγωγικά : Σχετική βιβιογαφική αναφοά είναι και για το εδώ εδάφιο η [] Εν γένει και ακετά ποιοτικά έγοντας αστάεια εννοείται µια " συµπειφοά " η οποία τείνει να µεταβάει µια κατάσταση η οποία υφίσταται αχικά σε ένα φυσικό σύστηµα Αν υποτεεί ότι αχικά υπάχει µια σταεή χονοανεάτητη κατάσταση σε ένα σύστηµα έτσι ώστε αυτό να µην χονο εείσσεται ποκειµένου αυτή η κατάσταση να συνεχίσει να υφίσταται ως έχει α πέπει τουάχιστον να µην υπάχει κάποιο αίτιο το οποίο να τείνει να µεταβάει αυτήν την κατάσταση Στη φύση όµως τα συστήµατα δεν είναι απούτως κειστά υπάχουν αηεπιδάσεις και εµφανίζονται συνεχώς αίτια " διατααχών " τα οποία δύνανται να µεταβάουν τις καταστάσεις αυτών Παότι υπάχουν αυτά τα αίτια αν αυτή η αχική κατάσταση είναι σε έση να διατηηεί ή όχι αυτό εατάται από το αν είναι σε έση να διατηήσει τις ιδιότητές της ενάντια στις διατααχές οι οποίες εµφανίζονται Το µοντέο µε το οποίο έχουµε εδώ δείχνει ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει ικανά Οι διατααχές που εµφανίζονται έχουν αυητική τάση και από κάποιο χονικό σηµείο και µετά η τάη µεγέους αυτών των διατααχών α είναι πααπήσια µε αυτή των ιδιοτήτων της αχικής κατάστασης στο σύστηµα εποµένως η συνεισφοά τους κάε άο παά αµεητέα α καταήει να είναι µεταβάοντας τεικά την ποϋπάχουσα κατάσταση Πεισσότεα πάνω σε αυτό παατίενται στο εδάφιο των αποτεεσµάτων και η εδώ εισαγωγή α πέπει να ηφεί υπ όιν συνδυαστικά µε αυτά που σηµειώνονται εκεί Εν ποκειµένω για το σύστηµα της γήινης ατµόσφαιας ποκειµένου να πειγαφεί από µηχανικής και ενεγειακής άποης εισάγονται κάποιες γενικές εισώσεις οι οποίες είναι οι : οι τεις εισώσεις της οµής εισώσεις κίνησης το πώτο εµοδυναµικό αίωµα η αχή διατήησης της ενέγειας η είσωση συνέχειας η αχή διατήησης της µάζας καταστατικές εισώσεις αγεβικοί δεσµοί Από µαηµατικής άποης έχουµε ένα 5 5 σύστηµα ΕΜΠ παουσία ενός αγεβικού δεσµού το οποίο είναι το γενικότεο δυνατό εποµένως αυτό α πέπει να είναι σε έση να πειγάει όα τα φαινόµενα που αµβάνουν χώα σε αυτό το φυσικό σύστηµα από κινηµατικής δυναµικής και ενεγειακής σκοπιάς Από κααά φυσική / παατηησιακή σκοπιά γνωίζουµε ότι η ατµόσφαια βίσκεται σε συνεχή κίνηση Επίσης ακόµη και αν σε µια γεωγαφική πειοχή επικατεί για κάποιο χονικό διάστηµα µια σχετική ηεµία αυτό δεν α εακοουήσει να υφίσταται συνεχώς υνάµεις όπως η Cls η βαύτητα και οι βαµίδες της πίεσης επιδούν συνεχώς πάνω στο ατµοσφαιικό ευστό µε αποτέεσµα να του αάζουν διακώς την κατάσταση Επίσης πού ση- µαντική η σηµαντικότεη ίσως είναι και η παουσία της ακτινοβοίας που δέχεται η Γη από τον Ήιο αν και στην εδώ εώηση έχουµε εωήσει αδιαβατικές µεταβοές αγνοώντας αυτή τη συνεισφοά Σε µαηµατικό επίπεδο τώα βέπουµε ότι το σύστηµα των εισώσεων Na Ss δεν είναι οµογενές το οποίο σηµαίνει ότι τουάχιστον η ταχύτητα δεν διατηείται µε αναφοά ως

90 8 πος το στοιχείο του όγκου καώς εείσσεται το σύστηµα η µη οµογένεια πειγάφει όους πηγών Αυτό το µέος του µοντέου είναι σε συµφωνία µε τη µη διατήηση της κατάστασης στο ατµοσφαιικό ευστό Από την άη παατηείται επίσης όπως ειπώηκε έντονη µεταβοή στις φυσικές ιδιότητας του ευστού το οποίο σηµαίνει ότι ακόµη και αν υποτεεί ότι αχικά υπάχει σχετική ηεµία αυτή δύναται να µεταβηεί πού Με βάση τα πααπάνω α πέπει να είναι δυνατό να µποούµε να ποσοµοιώσουµε τέτοιες συµπειφοές δηαδή ακόµη και αν παεί ως αχική συνήκη µια κατάσταση σχετικής ηεµίας να δύναται το µοντέο να δίνει ως ύση µια συµπειφοά η οποία αάζει δαστικά µε την πάοδο του χόνου Η µεέτη και η εν γένει έννοια της αστάειας εντάσσεται σε αυτά τα παίσια όπου από το γενικό σύστηµα των Na Ss ποκύπτουν µε διαδοχικές αποποιήσεις σχέσεις οι οποίες µας κατευύνουν πος αυτήν την έννοια Εδώ παατίεται εν συντοµία η συογιστική που έχει ακοουηεί µέχι στιγµής : Αχικά γάφονται οι εισώσεις της κίνησης οµής για στοφόµενο πανήτη δηαδή για τη Γη όπου από την ανάυση αυτή εµφανίζονται επιπέον δύο δυνάµεις οι της αδάνειας µε κυίαχη αυτήν της Cls Η φυγόκεντος δεν αµβάνεται τεικά υπ όιν Θεωώντας ότι εν γένει είναι U >> W είναι αυτή ακιβώς η ποσέγγιση η οποία µας επιτέπει να διαχωίσουµε τις διευύνσεις της κίνησης και να γάουµε τις εισώσεις διαχωίσιµα σε " οιζόντιο " επίπεδο κίνηση παάηα ως πος τη στάµη της άασσας και σε κατακόυφη διεύυνση Αυτή η ποσέγγιση αφοά τη σχετική τάη µεγέους των όων που εµφανίζονται στις γενικές εισώσεις της οµής Η υφιστάµενη γεωµετία είναι σφαιική και οι τεις εισώσεις της οµής δίνονται ακιβώς σε γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες Η δεύτεη ποσέγγιση αφοά τη γεωµετία την κίµακα της κίνησης Θεωώντας εν τέει µεσοκίµακα αναγόµαστε από σφαιική σε µια οογώνια γεωµετία και οι εισώσεις γάφονται πέον ως πος µια τοπική CS κατεσιανή βάση µη αµβάνοντας υπ όιν την καµπυότητα του πανήτη 4 Η επόµενη ποσέγγιση αφοά τη διαστωµάτωση Εδώ γίνεται γαµµικοποίηση πάνω στην πυκνότητα και την πίεση διαχωίζοντάς τις σε χονο-ανεάτητα κατακόυφα ποφί και σε διατααχές από αυτά Παίνεται εν τέει το σύστηµα του Bsssq και της ανεαστικής ποσέγγισης όπου εδώ φιτάονται τα ακουστικά κύµατα δεν α εµφανίζεται πέον η ταχύτητα του ήχου στα µοντέα Αυτό γίνεται αχικά διότι η συνεισφοά των ακουστικών κυ- µάτων στη δυναµική εέιη του συστήµατος της ατµόσφαιας εν γένει είναι αµεητέα 5 Η επόµενη ποσέγγιση είναι η της " qas / sm s " Στα παίσια αυτής της ποσέγγισης γίνεται γαµµικοποίηση πάνω στην πυκνότητα και την πίεση για δεύτεη φοά η τεική είσωση στην οποία καταήγουµε καείται " qas sc al c qa " Στο παόν εδάφιο έχουµε τη συνέχεια του συογισµού Αυτή πειαµβάνει το εής : Η πααπάνω είσωση γαµµικοποιείται ακόµη µια φοά ως εής : Κάε µια άγνωστη συνάτηση γάφεται ως η επαηία άοιση µιας χονοανεάτητης µε µια χονοεατηµένη ύση Θα ποκύει τεικά µια είσωση γαµµικοποιηµένη η οποία α δίνει ως ύσεις τον τόπο µε τον οποίο εείσσονται αυτές οι χονοεατηµένες ύσεις οι οποίες αναπαιστούν εδώ διατααχές Η αστάεια ποκύπτει από το ότι η εέιη των διατααχών δεν δίνει φαγµένη συ- µπειφοά για αυτές εποµένως αυτό το οποίο πειγάφεται τεικά είναι το εής : Θεωώντας τις χονοανεάτητες ύσεις ως γνωστές αχικές συνήκες αυτές πειγάφουν µια κατάσταση η οποία υφίσταται στο ατµοσφαιικό ευστό αχικά Οι διατααχές που

91 8 εισάγονται α αναπαιστούν τα αίτια που µεταβάουν αυτήν την κατάσταση όπως ειπώηκε ποηγουµένως και µέσω αυτού είναι δυνατόν να ποσοµοιωεί µε αυτό το µοντέο έναν τόπος ο οποίος ακιβώς µεταβάει ιζικά την ατµοσφαιική κατάσταση που υπάχει σε ένα γεωγαφικό τόπο αχικά Η χονο-ανεάτητη ύση sa sl : q Από το εδάφιο " Qas / Sm Gs QG " ποκύπτει η είσωση το al c δίνεται ως : # όπου β q N Έχει υποτεεί µια τοπική µεσοκίµακας οογώνια συµµετία για πειοχή πάνω στη Γη Επί του οιζοντίου επιπέδου εωείται µια τυπική κίµακα για το µήκος τάεως L ενώ κατακούφως η τάη είναι Η Όπως ποκύπτει α είναι H m και αυτό το υόµετο α αναφέεται στην τοπόπαυση Έχουµε κίνηση ευστού η οποία πεατώνεται εντός οογωνίου πααηεπιπέδου όπου η κάτω επιφάνεια αναπαιστά το ανάγυφο ή έστω και τη µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ σε ύος ενώ η πάνω επιφάνεια αναπαιστά την τοπόπαυση σε ύος H Η πααπάνω Ε # ισχύει εντός του τόπου για H Οι συνοιακές συνήκες οι οποίες υοποιούνται για { H} δίνονται ως εής : b µε b δ όπου b η διατααχή η απόκιση της διαταακτικής άνωσης b δ s όπως αυτή παουσιάζεται στο µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης όπου είναι : Μια σύµβαση που γίνεται εδώ : b b b Το εδάφιο της ανεαστικής ποσέγγισης συνδυαστικά µε το εδάφιο του qas s δίνει : δ φ φ φ µε φ b b b µε δ b cs

92 84 φ και b Από αυτό το σηµείο και κάτω οι πααπάνω συνατήσεις που συνδέονται µε τη συνάτηση οής sam c δεν ανατονίζονται Αυτό αφοά τις αποκίσεις της διαταακτικής πίεσης και άνωσης του µοντέου της ανεαστικής ποσέγγισης Αυτό γίνεται διότι δ δ στη συνέχεια εισάγονται εκ νέου άες διαταακτικές ύσεις οι οποίες και εκείνες τονίζονται εποµένως για τις ανάγκες του εδώ εδαφίου κάνουµε το πααπάνω ποκειµένου να αποφευχεί κάε σύγχυση b Όσον αφοά τις συνοιακές συνήκες αυτές τίενται ως : Αυτό σηµαίνει ότι για πάνω στα σύνοα εωούµε ότι δεν υπάχει πεεταίω κατακόυφη κί- νηση δηαδή ότι η οή της οµής δια των συνόων αυτών α είναι µηδέν Γι αυτό το όγο έχουµε ως πάνω κάτω επιφάνειες το ανάγυφο και την τοπόπαυση διότι αυτά είναι σύνοα στα οποία ισχύουν οι πααπάνω συνήκες Για το ανάγυφο επ ακιβώς για την τοπόπαυση ως µια πού καή ποσέγγιση Η Ε που οδηγεί σε ένα sa sl είναι : Εν γένει είναι µε : και µε q q q για H b b b για { H} q β F και b όπου τίεται εδώ : F Αποποιούµε πεεταίω ως εής : Έστω ότι είναι cs N όπως στο µοντέο Bsssq Ζητώντας µια χονοανεάτητη ύση sa sl : Ζητείται από κατασκευής Ψ Ψ ως µια sa sl για την πααπάνω είσωση Με βάση αυτό έτουµε : Ψ q β F Q Ψ β F

93 85 αά και : b B Ψ Επίσης : U D D U Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Με κεφααία α συµβοίζουµε αυτήν την χονοανεάτητη / σταεή κατάσταση αναφοάς sa sl Ποφανώς αντιστοιχεί σε µια κατασκευασµένη ύση επειδή εµείς το ζητά- µε κυίως δε να είναι Ψ Εν γένει η οιζόντια ταχύτητα α είναι : V U U όπου : Ψ V για εδώ Η πααπάνω στατική ύση α αντιστοιχεί σε µια κααά ζωνική οή Σε αυτό το ση- µείο εισάγουµε διατααχές µε χήση του εής σχήµατος : q Q q δυναµικός στοβιισµός b B b άνωση U ζωνική ταχύτητα µεσηµβινή ταχύτητα Ψ συνάτηση οής Αυτό το οποίο ζητείται είναι µια είσωση χονικής εέιης για τις πααπάνω διατααχές ε- ποµένως χησιµοποιούµε εκ νέου το qas sc al c qa µε σταεό Θα είναι : q q q q q q q Q V q Q U q Q

94 86 q Q q U q Εδώ ποσεγγίζουµε ως : U >> και q Q >> γαµµικοποίηση Παίνουµε τεικά : Q q U q # για H Για τα σύνοα : b b b b b b b B b B U b B b B b U b B b U b # για } { H Είναι και : U Ψ και B Ψ µε cs Ω s εποµένως εφόσον πωτογενώς εωούµε τη συνάτηση Ψ γνωστή οµοίως και για U και Β Στη συνέχεια έχουµε για τις διατααχές : F q β Ψ Ψ β F q Q Ψ Ψ F F q Q β Από σύγκιση ποκύπτει : q F

95 87 Με την ίδια ογική α είναι και : b b B Ψ Ψ b Είναι και για την ταχύτητα : Επιστέφουµε τώα στη σχέση # για την οποία α είναι : Θέτουµε για απότητα : Q Α και B Β όπου είναι και U B γνωστές συνατήσεις Είναι : Q q U q Α F U F F U F F Α F Είναι το πού F F άα F N Έχουµε : F U U U F F Α F U Η πααπάνω ΕΜΠ είναι γαµµική και οµογενής ως πος τη ύση µε συντεεστές συνατήσεις µόνο του και του Μποεί να γαφεί και στην εής µοφή : L #4 όπου ο διαφοικός αυτός τεεστής επιδά στη συνάτηση

96 88 Είναι : L UF F U U U F F Α Οµοίως α έχουµε και για πάνω στα σύνοα : B b U b Β U Β U #5 Κάποιες µαηµατικές νύεις : Όπως ποκύπτει όταν έχουµε µια διαφοική είσωση γενικά ως : L που να είναι γαµµική και οµογενής µποεί να ζητηεί µια γενική ύση σε σειά F ισοδύναµα για χώο Hlb ως ανάυση σε οοκανονική βάση κυκικών συνατήσεων δηαδή ηµιτόνων και συνηµιτόνων ως εής : N όπου για τις µεικές ύσεις έχουµε : φ όπου : : συνάτηση µιγαδικού πάτους φ : συνάτηση φάσης αµιγώς παγµατική Απά πααδείγµατα µποεί να είναι η κυµατική είσωση για µέσο χωίς απώειες σε οογώνια ή και σε σφαιική συµµετία οι ύσεις της οποίας είναι επαηία είτε επίπεδων κυµάτων είτε και σφαιικών Για τα επίπεδα κύµατα είναι για παάδειγµα : ω όπου για εδώ αυτό το σύµβοο " " αναπαιστά το εκάστοτε µεταβαόµενο µέγεος Για το πόβηµα που έχουµε εδώ το µεταβαόµενο µέγεος είναι το το οποίο συνδέεται τεικά µετά από όες αυτές τις αναγωγές µε τη διαταακτική πίεση δ το οποίο είναι ένα αµιγώς

97 89 παγµατικό µέγεος Για το όγο αυτό ζητάµε µόνο το αµιγώς παγµατικό µέος της πααπάνω γενικής µαηµατικής ύσης Η ύση η οποία ζητείται εδώ ειδικότεα είναι η : c #6 όπου c η φασική ταχύτητα του οστού µεικού " κύµατος " της ύσης και ο αντίστοιχος κυµατάιµος Οι ίδιοι φοµαισµοί ζητούνται και για τις : c c c b b c q q και οι γενικές ύσεις α είναι η επαηία αυτών των µεικών ύσεων Η Ε είναι γαµµική εποµένως η γενική ύση είναι η επαηία των επιµέους οι οποίες συνιστούν διανυσµατικό χώο Στη συνέχεια η µεέτη αφοά µια µόνο µεική ύση και για το όγο αυτό απαείφεται ο δείκτης " " από τις γαφές Αντικαιστούµε το φοµαισµό #6 στην # ή ισοδύναµα και στην #4 και α είναι : Υποογίζουµε τους όους : φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ c φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ c φ φ

98 9 φ φ φ φ φ φ φ Επίσης : F F F φ φ F c F F F φ φ φ F F F φ φ και : φ φ Εποµένως α είναι για τη σχέση : Q q U q Α F U F Α F U U F το οποίο δίνει : U F c c φ φ φ Α φ φ F U

99 9 ή Α F U U F c c ή Α F U U U F c c c ή Α F c U c U c U ή Q F c U #7 για H Για τις δύο συνοιακές α είναι : Σχέση #5 : Β U µε B Β όπου είναι και U B Είναι για τους επιµέους όους : φ φ c φ φ φ φ φ φ

100 9 Είναι : φ φ φ U U c U U c U c U #8 για } { H Έχουµε τεικά τις σχέσεις #7 και #8 όπου αυτό που ζητείται πέον είναι η εισαγωγή ενός φοµαισµού για τη συνάτηση Ψ Ψ και όα τα υπόοιπα έπονται αυτής της εκογής

101 9 7 Tο πόβηµα του Ea Εισαγωγικά : Εδώ υοποιείται η εωεία του εδαφίου της βαοκινικής αστάειας " 6 Βαοκινική αστάεια " πάνω σε ένα συγκεκιµένο έµα Για τη βαοκινική αστάεια καταήγουµε στις σχέσεις : Q U c F # για H U U c # για { H} όπου η πώτη Ε είναι για εντός του εωούµενου τόπου στον οποίο έουµε να µεετήσου- µε την κίνηση του ευστού ενώ η δεύτεη είναι για πάνω σε δύο καταήως επιεγµένα επίπεδα τα οποία έχουν την ιδιότητα του να απαγοεύουν κατακόυφες µετατοπίσεις για το ευστό τυπικά η µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ το ανάγυφο δηαδή µηδενικού υοµέτου και η τοπόπαυση εν ποκειµένω για την ατµόσφαια Οι πααπάνω δύο σχέσεις ποέκυαν από τη γαµµικοποίηση πάνω στο qas sc al c qa και τις αντίστοιχες συνοιακές συνήκες ζητώντας γενική ύση : µε c όπου όγο της γαµµικότητας της Ε και του ότι οι µεικές ύσεις γάφονται διαχωίσιµα τεικά η µεέτη α αφοά απώς µια µεική ύση ένα µόνο κύµα εδοµένου ότι ήδη έχουµε την εάτηση από και το µόνο που µένει είναι να ποσδιοιστεί η εάτηση από τα και µέσω του ποσδιοισµού του πααπάνω πάτους το οποίο µποεί να γίνει εισάγοντας µια σχέση για τη συνάτηση Ψ Ψ που αναπαιστά τη συνάτηση οής αυτής της εν όγο στατικής ύσης αναφοάς Ανάυση : Η συνάτηση αυτή τίεται ως εής : Ψ Λ Είναι και : U Ψ U Λ

102 94 όπου η σταεά Λ αναπαιστά τη διάτµηση για εδώ σταεή ίση µε Λ U H και H U H U H η ζωνική ταχύτητα στο ύος του άνω συνόου ύο επιπέον αποποιήσεις είναι και οι ακόουες : Θεωούµε β δηαδή για την εδώ τοπική οογώνια συµµετία δεν εωούµε µεταβοές όγω πειστοφής Αυτό το σηµείο έχει αναυεί στο εδάφιο " Ποσεγγίσεις " πάνω στο ba c φαινόµενο βήτα και αυτό έχει ως συνέπεια για την εδώ εώηση την α- κόουη : Είναι γενικά µε σταεή πυκνότητα : Παίνουµε τεικά : Ψ Q Ψ β F Ψ Ψ F Q Η δεύτεη αποποίηση άπτεται του ότι εωείται οµοιόµοφη διαστωµάτωση δηαδή N cs Γενικά είναι : N b δ όπου b το κατακόυφο ποφί της διαταακτικής άνωσης b µε b b b Είναι για εδώ : Με βάση αυτό ποκύπτει : Είναι : F F F cs ή N Ψ Ψ Ψ F Q Ψ F Q L N H N L H εποµένως : Ψ H Ψ Q L

103 95 Είναι και : Λ Ψ Ψ Ψ άα : Q Η σχέση # γίνεται : Q F c U Q L H c U Λ c # ας είναι και σταεή παάµετος : L H ενώ οι συνοιακές συνήκες σχέση # α είναι : U c U Λ Λ c #4 µε άγνωστη συνάτηση το πάτος Για τη σχέση # : Θέτουµε ποιοτικά : c Α Λ και Β Έχουµε την εής µαηµατική δοµή : Β Α Η πααπάνω δοµή από τη µαηµατική σκοπιά του έµατος επιδέχεται τεις ύσεις τις : α Α Β ή αποκειστικά β Α Β

104 96 ή γ Α Β Είναι ποφανές ότι η συνάτηση Α δεν µποεί να είναι ταυτοτικά µηδέν άα πέπει να είναι : Β Αυτή η Ε είναι γαµµική και οµογενής ως πος τη ύση της µε συντεεστές σταεούς παγµατικούς αιµούς Η µέοδος που εφαµόζεται είναι ο χωισµός των µεταβητών αά ποκειµένου να γίνουµε πιο συγκεκιµένοι πάνω στο τι ύση ζητάµε α πέπει να δώσουµε και τις συνοιακές συνήκες για το Η απούστεη πείπτωση είναι να πάουµε πειοδικές συνήκες L L Για την χωική διάσταση έτουµε : [ ] όπου L το scal ac όπως αυτό έχει εισαχεί στη εώηση Ζητάµε αυαίετα να είναι και : L και L Για το χωισµό των µεταβητών έτουµε : s Έχουµε : s s s s s s εν εωούµε τετιµµένες al ύσεις εποµένως καµία εκ των s και δεν α είναι µηδέν Μποούµε να διαιέσουµε : Ας είναι και : s s s s s s s s s Γ και s Έχουµε τη δοµή : Γ η οποία επιδέχεται ως ύσεις τις : α Γ

105 97 ή β Γ Γ cs cs Ή α είναι και τα δύο εκ ταυτότητα µηδέν ή αποκειστικά α είναι αντίετα Η πώτη πείπτωση δεν µποεί να ισχύει για τον εής όγο : όµως και άα και Γ s s C C L L s C C C C L L L s C C C C C δηαδή παίνουµε την τετιµµένη ύση s αά αυτό δεν ζητείται Εποµένως µένει να ισχύει η δεύτεη πείπτωση Εδώ τίεται : cs l Θα είναι οιπόν : Γ cs Γ l s s l l s s Έχουµε τη Ε του αµονικού τααντωτή µε γενική ύση την : s C cs l C s l Από τις δύο συνοιακές συνήκες πάνω στο είναι : L L L s C cs l Cs l L L L s C cs l Cs l Θέτουµε : L l a Οι πααπάνω δύο σχέσεις σε γαφή συστήµατος δίνουν : csa csa s a s a C C

106 98 Το πααπάνω σύστηµα ως οµογενές δέχεται µη τετιµµένη ύση για µηδενική οίζουσα άα είναι : δηαδή Η ύση γίνεται : π π cs as a a { π π } N π π a l l l l L s C cs l C s l Για την άη διαφοική είσωση του είναι : cs l l Τίεται : H L l L l H H και l L µ και ποκύπτει : µ Η γενική ύση της πααπάνω είναι : C µ C µ 4 µε χήση της µεοδοογίας του χαακτηιστικού πουωνύµου Είναι και : cs και s Με βάση τις σχέσεις αυτές είναι : cs s και cs s

107 99 Θα είναι : Ας είναι : C µ C4 µ C cs µ s µ C4 cs µ s µ C C cs µ C C s µ 4 4 C cs µ C s µ 4 Αχικά ζητείται να είναι : s από τις συνοιακές συνήκες πάνω στο Ποκύπτει : s εποµένως εκ νέου η γενική ύση α είναι η : Από τον φυσικό εατώνται µόνο οι όοι µ και l όπου το µ είναι συνάτηση του l Όπως αναφέηκε οι Ε είναι γαµµικές η γενική ύση είναι η των µεικών και µε βάση αυτό µεετάται απώς η συµπειφοά µιας µεικής ύσης Για τη σχέση #4 Συνοιακές συνήκες : Έχουµε : Λ Λ c Α Λ Α s Λ s sα Λ Α Λ Απαείφουµε τη συνάτηση s εν εατάται από το και δεν είναι µηδέν Έχουµε : Α Λ Λ c Λ H ΛH c Λ H ΛH c Λ H H ΛH c ΛH για και H ή ισοδύναµα για και Για την ανηγµένη πείπτωση είναι οιπόν µε : C cs µ C s µ 4

108 έχουµε : Ccs µ C4s µ C cs µ C4 s µ µ Cs µ µ C4cs µ και : ΛH c ΛH Λ H c µ C s µ µ C cs µ 4 ΛH C cs µ C s µ 4 µ ΛH c s µ ΛHcs µ C Για είναι : Για είναι : µ ΛH c cs µ ΛHs µ C4 cs s ΛH C µ c C ΛH C cµ C 4 4 µ ΛH cs µ ΛH cs µ C µ ΛH ccs µ ΛH s µ C4 Και εδώ έχουµε ένα γαµµικό αγεβικό και οµογενές του οποίου η οίζουσα α πέπει να είναι µηδέν για µη τετιµµένες ύσεις Είναι : a a a a C C 4 µε : Λ H a cµ a µ ΛH c s µ ΛHcs µ a µ ΛH c cs µ ΛHs µ a

109 Είναι : a D a a a a a a a Λ H µ ΛH ccs µ ΛH s µ µ ΛH cs µ Λ cs cµ H µ µ ΛH cs µ µ cλhcs µ ΛH s µ µ cλhs µ c µ c s µ cµ ΛHcs µ µ s µ c µ ΛHcs µ µ ΛHs µ µ ΛHcs µ Είναι και : Έχουµε : µ ΛH cs µ ΛH s µ Λ U H Λ H U H H c µ s µ c µ U H cs µ µ U H s µ µ U H cs µ ιαιούµε διά του µ s µ : µ H H U cs µ U s µ c U H c c µ U µ H U H U H U H c µ c µ µ µ µ U H U H c cu H c µ c cu c µ µ H U H µ µ µ σχέση #5 Έχουµε ένα τιώνυµο ως πος c Η διακίνουσά του είναι : Ds β 4aγ U H 4U H c µ µ µ U H 4 c µ µ µ

110 Οι δύο ίζες δίνονται ως : β± α U H ± U H 4 c µ µ µ Αναφοικά µε το πόσηµο του U H ± abs U H 4 c µ µ µ U H : Μποεί να είναι είτε ετικό είτε και ανητικό αφού αυτό εκφάζει συντεταγµένη Από το εδάφιο της βαοκινικής αστάειας ύνοντας το qas sc al c qa ζητώντας sa sls παίνουµε γενικά Ψ Ψ για τη συνάτηση οής της " στάµης αναφοάς " Για εδώ που είναι ειδικότεα Ψ Λ έχουµε ότι από κατασκευής η σταεή παάµετος Λ εκφάζει τη διάτµηση αυτός ο όος σχετίζεται πωτογενώς µε το ποφί της ζωνικής ταχύτητας U και είναι και : U Ψ U Λ Αν είναι αγεβικά Λ > αυτό σηµαίνει ότι εωούµε τέτοιο ποφί για το U ώστε η ταχύτητα του ευστού να αυάνει κα ύος πάγµα σύννοµο µε την παατήηση αφού η ταχύτητα του ανέµου πάγµατι για πιο µεγάο υόµετο ας υποτεεί ότι δεν υπάχει τοπογαφικό ανάγυφο α είναι και πιο µεγάη Είναι πού ογικό να πούµε ότι είναι Λ > άα και : Με βάση αυτό είναι και : U H Λ H > U > H U H ± 4 c µ µ µ Από κααά τιγωνοµετικούς συογισµούς είναι : µ µ µ µ c a µ µ µ µ µ µ µ a c c a µ µ µ µ µ c a c a µ

111 και µ µ c a µ µ c a c µ Είναι : Άα : µ µ µ µ µ µ c a c a µ c µ µ U H ± 4 c µ µ µ U H 4 µ ± µ c µ µ U H µ ± µ c µ µ U H µ µ µ µ ± c a µ Ζητάµε τις πειοχές όπου το c φασική ταχύτητα γίνεται µιγαδικός Εκεί υπάχει αστάεια το οποίο αναπαίσταται από το ότι οι ύσεις s c χωικά δεν α είναι φαγµένες Θα ποκύπτει s Εποµένως αυτό ανάγεται στο να βούµε τις πειοχές όπου το πααπάνω υπόιζο α γίνεται ανητικό Είναι : µ µ µ µ > a µ πέπει να είναι < c Για το κατώφι έστω µ c είναι µ c c µ c Αιµητικά ποκύπτει µ 99 c άα για µ< α υπάχει αστάεια Σε αυτήν την πειοχή α είναι για τις ίζες : µ c U ± U H µ H U U ± µ H H µ µ µ µ c a µ µ µ µ c a

112 4 Εν συντοµία γάφουµε σε κατεσιανή µοφή και ± m Για την ίδια τη µιγαδική φασική ταχύτητα γάφουµε οµοίως και c c m c c c όπου οι δείκτες " " και " " δίνουν παγµατικό al a και φανταστικό maa a αντίστοιχα Το πααπάνω τιώνυµο #5 γάφεται και : α c β c γ α c c Ως υµός αύησης της αστάειας οίζεται το µέγεος σ : m σ Γάφουµε και : σ όπου c m η πααπάνω γνωστή τιµή Είναι δηαδή : c σ U µ µ µ µ c a N µ µ µ H Για αστάεια έχουµε τη ίζα : m µε > και m > ικανά Αν παεί η ίζα είναι m m < το οποίο οδηγεί τεικά σε εκετική πτώση πεατωµένη άνω ύση άα παόο που α είναι m c δεν α έχουµε αστάεια Με αυτή τη ογική οίζουµε το σ sabl a όπως ανωτέω Για τις ύσεις : Έχουµε τις εής σχέσεις πάνω στη ύση που δίνει διατααχές αποκίσεις πάνω στο sa sl όπως αυτό αναπτύχηκε στο εδάφιο της βαοκινικής αστάειας : N µε s s c C cs l C s l 4 l π L µ µ Ccs C s µ L l H H Ως µια αποποίηση µποεί να είναι και η ακόουη : Θεωούµε κοινό κυµατάιµο ώστε να είναι απώς Ας είναι ότι όα τα µεικά κύµατα διαδίδονται πος την ίδια διεύυνση δηαδή πος την Ανατοή

113 5 Για τις πααπάνω τέσσεις σταεές έχουµε : Αναφοικά µε τις C και C αυτές δεν ποκύπτουν µονοσήµαντα Είναι οι άγνωστοι ενός γαµµικού αγεβικού οµογενούς συστήµατος Μια πείπτωση η οποία οδηγεί µονοσήµαντα σε συγκεκιµένες τιµές για τις σταεές αυτές είναι η ακόουη : Παίνουµε πειοδικότητα : Τότε είναι : L L s και s L για [ L] και όχι για [ ] s C cs l C s l C cs Cs και C cs l L Cs l L Από την πώτη είναι C µονοσήµαντα Με βάση αυτό είναι και C s l L εν µποεί να είναι και C διότι τότε αναγόµαστε στην τετιµµένη ύση Μένει να είναι : s l L l L { π π π 4π π } µε N π δηαδή l Με την εκογή αυτή µας µένει µια αποσδιόιστη σταεά η C δεν L αάζει ο φοµαισµός του l όπου και εδώ α είναι N Η ύση αυτή α είναι : s C s l αά µε άα σύνοα τα m και ma L Όσον αφοά τις σταεές C και C 4 : Και εδώ οι σταεές αυτές είναι οι άγνωστοι σε οµογενές σύστηµα το οποίο σηµαίνει ότι µονοσήµαντη ύση δεν υπάχει Στην καύτεη των πειπτώσεων και όταν δεν έχουµε την τετιµµένη ύση δηαδή όταν δεν είναι C C4 τότε µποούµε από τη συνοιακή συνήκη για να γάουµε απώς : U U H C cµ C4 C4 H C cµ Μια επαήευση αυτού πεικείει τον ακόουο συογισµό : Θα πέπει από τη δεύτεη συνοιακή συνήκη να καταήουµε σε κάποια σχέση όπου ικανά α έουµε ότι είναι αηής έστω και ως δική µας απαίτηση Έχουµε οιπόν για C : µ U H c s µ U H cs µ C µ U H c cs µ U H s µ C4 U H µ U H c s µ U H cs µ µ U H c cs µ U H s µ cµ c µ U c s µ U cs µ U µ U c cs µ U s µ µ H H H H H

114 6 H µ U H c c U U c s µ cu H cs µ U H U H c cs µ s µ µ U U H c s µ ccs µ U H c cs µ s µ µ µ H H µ U H c µ c s µ U H cs µ s µ U µ H U H U H cu H c c µ µ µ c cu H U H c µ µ µ Έχουµε το πααπάνω τιώνυµο το οποίο µας δίνει και τη ίζα εκείνη ως συνάτηση του µ για την οποία παίνουµε τεικά αστάεια Εποµένως από τις διαφοικές εισώσεις των s και παίνουµε αχικά τέσσεις σταεές οοκήωσης οι οποίες γίνονται τεικά δύο αµφότεες αυαίετες Για τη ύση που σχετίζεται µε την αστάεια α είναι και : όπου : U H Ccs µ s µ για µ < µ c 99 cµ c m όπως ανωτέω Φοµαισµοί από κατεσιανή µοφή γενικά δηαδή α β σε ποική µε α β και aca µποούν να ποκύουν α- β α ντιστοίχως Η πααπάνω είναι και η µοναδική µιγαδική συνάτηση της της οποίας τεικά α κατήσουµε µόνο το παγµατικό µέος Οι υπόοιπες τέσσεις άγνωστες συνατήσεις βίσκονται κατά τα γνωστά ως : U U Ψ Ψ b Β b Β b φ Φ φ Ψ φ και Ω s Φ

115 7 όπου οι συνατήσεις φ και b είναι οι διατααχές των αποκίσεων των αντίστοιχων συνατήσεων του µοντέου της ανεαστικής ποσέγγισης δηαδή διατααχές των διατααχών όπως αυτό ποκύπτει από την αποδεικτική διαδικασία

116 8

117 9 8 Η τεική µοφή του συστήµατος Εισαγωγικά : Η όη ανάυση που έχει ποηγηεί γίνεται µε βάση την εής συογιστική : Έχουµε αχικά το σύστηµα Na Ss ή ακόµη και τις m qas ως µια σηµαντική αποποίηση αυτού του συστήµατος αά για τις εισώσεις αυτές δεν υπάχουν ποφανείς αναυτικές ύσεις ούτε βέβαια και αχικές / συνοιακές συνήκες οι οποίες να οδηγούν σε κάποια γνωστή εκ των ποτέων συµπειφοά για το ατµοσφαιικό ευστό Η κύια πακτική η οποία υοποιείται στην πάη είναι να γίνονται διαδοχικές γαµµικοποιήσεις αποποιώντας παάηα και τις εισώσεις έως ότου οι µοφές που α ποκύουν να επιδέχονται αναυτικής αντι- µετώπισης Βέβαια αποποιώντας πενάµε από κάτι γενικότεο σε κάτι ειδικότεο εποµένως το εύος των φαινοµένων για το οποίο α µποεί να γίνεται ο όγος κάε φοά πειοίζεται µε κάε νέα ποσέγγιση Παό αυτά η αία των γαµµικοποιήσεων έγκειται στο ότι µέσω αυτών ποκύπτουν αχικές / συνοιακές συνήκες οι οποίες µποούν να χησιµοποιηούν και σε γενικότεες εισώσεις / συστήµατα και µέσω αυτών έστω και µε χήση αιµητικής ανάυσης να µποούν να µεετηούν γενικότεες συµπειφοές που δεν υπόκεινται κατ ανάγκην σε ποσεγγίσεις που α έχουν γίνει ποηγουµένως Από τις ποσεγγίσεις που έχουν γίνει µέχις εδώ καταήγουµε τεικά στην " qas sc al c qa " η οποία γαµµικοποιείται εκ νέου ώστε τεικά να φτάσουµε στο πόβηµα του Ea το οποίο δίνει τέτοιες αχικές / συνοιακές συνήκες οι οποίες οδηγούν σε αστάεια Οι ποσοµοιώσεις δεν γίνονται µε χήση της είσωσης αυτής αά µε χήση των αχικών σχηµάτων εδώ το σύστηµα Bsssq Στη συνέχεια παατίεται εν συντοµία ο τόπος µε τον οποίο καταήγουµε τεικά στη µοφή που α πάει το σύστηµα αυτό και που α χησιµοποιηεί στην µετέπειτα αιµητική του οοκήωση Ανάυση : Από το εδάφιο " Ποσεγγίσεις " παατίεται ο συογισµός µέσω του οποίου διαχωίζουµε τις m qas σε εισώσεις επί του οιζοντίου επιπέδου και της κατακούφου διευύνσεως αφού πώτα έχουµε πεάσει από σφαιική σε οογώνια συµµετία Η είσωση της οµής επί του οιζοντίου επιπέδου είναι η : # όπου εδώ οι άγνωστοι είναι οι και δηαδή οι πήεις άγνωστοι Λέγοντας " πήεις " αυτό σηµαίνει ότι δεν έχει γίνει γαµµικοποίηση cms σε κάποιο χονο-ανεάτητο ποφί συν την παουσία διατααχών ως επαηία Στη συνέχεια στο εδάφιο " ιαστωµάτωση Saca " γίνεται η πώτη γαµµικοποίηση πάνω στην πίεση και την πυκνότητα και ποκύπτουν δύο αποποιηµένα συστήµατα του Bsssq και της ανεαστικής ποσέγγισης όπου εδώ χησιµοποιείται το πώτο Στα µοντέα αυτά φιτάονται τα ακουστικά κύµατα και µηδενίζεται η συνεισφοά της ταχύ-

118 τητας του ήχου Αυτή η παατήηση βίσκει εφαµογή στα κιτήια ευστάειας των αιµητικών σχηµάτων που χησιµοποιούνται Η πώτη γαµµικοποίηση γίνεται οιπόν πάνω τις αχικές πίεση και εµοκασία ως : και όπου εωείται >> και >> Οι διατααχές και µποούν να έχουν και ανητικές τιµές σε αντίεση µε τις πήεις συνατήσεις και και εωείται από κατασκευής ότι τα σταεά ποφί βίσκονται επ ακιβώς σε υδόσταση ώστε να είναι : Για το µοντέο του Bsssq για την είσωση της οµής επί του οιζοντίου επιπέδου καταήγουµε στην εής αποποιηµένη έκφαση : # Η σταεά παίνεται ως µια µέση τιµή πάνω στο ποφί Το αν α παεί σταεά ή όχι είναι και η µοναδική διαφοοποίηση µεταύ του µοντέου Bsssq και της ανεαστικής ποσέγγισης Αν στο µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης η εκεί συνάτηση τεεί ως οι εισώσεις ταυτίζονται Για το µοντέο Bsssq τίεται και : φ όπου και αυτός ο όος καείται επίσης διαταακτική πίεση ανηγµένα µε αναγωγή ως πος την πυκνότητα Στη συνέχεια έπεται η ποσέγγιση του qas / sm s κατά οποία γαµµικοποιούµε εκ νέου τις συνατήσεις των διατααχών του µοντέου Bsssq δηαδή τεικά παίνουµε τις διατααχές των διατααχών των αχικών πήων και Εδώ είναι : φ φ φ # από qas s όπου η συνάτηση φ η διατααχή της διατααχής της αχικής πίεσης γάφεται ως ασυµπτωτικό ανάπτυγµα ως πουώνυµο του αιµού ssb : φ φ #4 οµοίως και οι άες µεταβητές όπου σε αυτό το σηµείο έχουµε ασυµπτωτικά αναπτύγµατα πάνω στις πήεις εισώσεις των τιών συνιστωσών της ταχύτητας και στη διατααχή της διατααχής της πυκνότητας άνωσης του µοντέου Bsssq Από τις # και #4 είναι και :

119 φ φ #5 όπου η πώτη διατααχή της πήους πίεσης και το ασυµπτωτικό ανάπτυγµα δίνει τη δεύτεη διατααχή αυτής Για αυτά τα συµπτωτικά αναπτύγµατα έχουµε το εής : Έχουµε όους µηδενικής τάης για σταεοί όοι των πουωνύµων αυτών και όους τους υπόοιπους για > µε N Για εωείται το εής : Υδοστατική ισοοπία Γεωστοφική ισοοπία Θα είναι για : φ και φ όπου και για την οιζόντια ταχύτητα τίεται µε Αυτή η ταχύτητα είναι η πήης ταχύτητα χωίς γαµµικοποίηση ή άες ποσεγγίσεις Από το εδάφιο του γεωστοφικού ανέµου εισάγεται αποκειστικά για πειπτώσεις γεωστοφικής οής και η συνάτηση οής sam c η οποία για εδώ µποεί να υφίσταται µόνο για Είναι φ όπου στη συνάτηση δεν εισάγεται κάποιος δείκτης µε βάση το πααπάνω Για τους όους µηδενικής τάης της οιζόντιας ταχύτητας εωείται και το εής : U και V δηαδή για εµφανίζονται τότε τα πααπάνω σταεά ποφί Για την πώτη διατααχή της πίεσης είναι από την #5 και : φ φ φ φ φ Για τη συνιστώσα της βαοβαµίδας : Με πααγώγιση ως πος είναι : φ φ φ φ V φ φ

120 όπου το πααπάνω ισούται και µε : φ δηαδή είτε πάουµε το ανάπτυγµα εδώ από είτε και από το αποτέεσµα δεν µεταβάεται Για τη συνιστώσα της βαοβαµίδας : Με πααγώγιση ως πος είναι : φ φ φ φ U φ Για τη συνιστώσα της βαοβαµίδας : Με πααγώγιση ως πος είναι : φ φ φ Για την πυκνότητα στην ποσέγγιση Bsssq είναι : όπου για εδώ είναι η πώτη διατααχή της πήους πυκνότητας Είναι και : b ανηγµένη διαταακτική πυκνότητα που τίεται και ως διαταακτική άνωση ενώ στο µοντέο του qas s γαµµικοποιώντας την εκ νέου ποκύπτει : b b b Σε όους της συνάτησης οής είναι : b όπου παίνεται από κατασκευής και : b φ Για τους όους είναι και: b φ Από τα ασυµπτωτικά αναπτύγµατα για στο ανάπτυγµα της

121 κατακούφου ταχύτητας είναι εωώντας υδοστατική ισοοπία Με βάση αυτό είναι από τα πααπάνω : φ φ φ b b φ Για το ανάπτυγµα της δεύτεης διατααχής της πήους πυκνότητας είναι : b b το οποίο γάφεται διαχωίσιµα για συν όους > και ως : b b b Από τις σχέσεις : b πώτη διατααχή µοντέο Bsssq / διαστωµάτωση b b b δεύτεη διατααχή / qas s ποκύπτει : b b Το δεύτεο µέος της κατακόυφης είσωσης της οµής του µοντέου Bsssq γίνεται : b b φ φ b b φ φ φ φ b b b b b φ φ φ

122 4 όπου είναι και : b φ και b φ εποµένως ποκύπτει : b φ Για να καταήουµε στα τεικά αποτεέσµατα κάνουµε και την εής συµβοογαφική αντικατάσταση : φ και b Για τη συνιστώσα της βαοβαµίδας α είναι : φ Για την συνιστώσα της βαοβαµίδας είναι : U φ U Για το δεύτεο µέος της κατακόυφης είσωσης της οµής συνοικά α είναι : b φ όπου όα τα πααπάνω αναπτύγµατα είναι για > Οι όοι για αποποιούνται ως ανωτέω Εποµένως για τα δεύτεα µέη των εισώσεων της οµής α είναι τεικά αµβάνοντας υπ όιν µας την πώτη γαµµικοποίηση από τα µοντέα της διαστωµάτωσης τη δεύτεη γαµµικοποίηση από την ποσέγγιση του qas s συν το ότι για τα ασυµπτωτικά αναπτύγµατα των δεύτεων διατααχών για όους µηδενικής τάης µε α είναι : φ και φ

123 5 b φ U και V εποµένως παίνουµε : Για τη ζωνική είσωση οµής : Για τη µεσηµβινή είσωση οµής : U U Για την κατακόυφη είσωση της οµής : Τα πααπάνω δεν ποκύπτουν ως απές αγεβικές αντικαταστάσεις παά µόνο αφού πααγωγίσουµε ως πος και Τότε µόνο έχουµε τις πααπάνω αποποιήσεις των µοντέων διαστωµάτωσης και qas s συνδυαστικά Στη συνέχεια έχουµε και για τη εµοδυναµική είσωση τα εής : Είναι : b b b b b

124 6 b Έχοντας τη σχέση : b για την πώτη παένεση είναι : b Για τις δύο πώτες παενέσεις συνοικά : b b b b όπου είναι και : b b b b b b όπου έχουµε και : b b υ b Παίνοντας αυτόν τον όο µηδέν τεικά ποκύπτει : b όπου το σταεό ποφί της αχικής πυκνότητας Εποµένως τα σύµβοα και που εµφανίζονται στην τεική έκφαση της ποσέγγισης Bsssq που δίνεται στη συνέχεια είναι οι όοι : και δηαδή τα ασυµπτωτικά αναπτύγµατα για > των διατααχών των διατααχών δεύτεες διατααχές των πήων συνατήσεων και που παίνονται την πώτη φοά Ο όος U δεν ποκύπτει από κάποια γαµµικοποίηση στη ζωνική συνιστώσα της ταχύτητας αά εµφανίζεται µέσα από τη συνιστώσα της βαοβαµίδας εωώντας για γεωστοφική οή / ισοοπία

125 7 Το τεικό σύστηµα είναι : U όπου οι και είναι οι πήεις συνιστώσες της ταχύτητας χωίς καµία ποσέγγιση Από τη εώηση του Ea αχικές συνήκες µποεί να είναι οι : U και όες οι υπόοιπες µηδέν κάτι το οποίο είναι βέβαια ύση του πααπάνω συστήµατος διότι οι αχικές συνήκες πέπει να ικανοποιούν το σύστηµα όχι τετιµµένα δηαδή να µην είναι όες οι ποσότητες µηδέν διότι τότε αυτό δεν χονο εείσσεται

126 8

127 Αποτεέσµατα

128

129 Αποτεέσµατα Συµπεάσµατα Πέπει κατ αχήν να έχουµε υπ όιν µας το γεγονός ότι το εδώ µοντέο σύστηµα Bsssq ποσφέει µια αποποιηµένη πειγαφή των παγµάτων Στην πάη εκτός από την παουσία των δυνάµεων της βαοβαµίδας PGF της Cls και της βαύτητας οι οποίες αµβάνονται υπ όιν υπάχουν και φαινόµενα εσωτεικής τιβής ιώδες το ευστό επανακτινοβοεί ssa ms και ως εκ τούτου οι µεταβοές δεν µποούν να εωούνται αδιαβατικές Επίσης ο πώτος νόµος της εµοδυναµικής α πέπει να αµβάνει υπ όιν του και την ακτινοβοία που δέχεται η ατµόσφαια από τον Ήιο δεδοµένου ότι αυτή η συνεισφοά αποτεεί το σηµαντικότεο αίτιο µε βάση το οποίο βίσκεται η ατµόσφαια σε διακή κίνηση Το εδώ υπόδειγµα παό αυτά χησιµοποιείται ποκειµένου να πειγαφεί η έννοια της αστάειας σε πιο απούς όους και να ποσοµοιωεί µια εέιη που να οδηγεί εκεί ηαδή το ότι µια κατάσταση που υφίσταται αχικά σε µια πειοχή του ατµοσφαιικού ευστού δεν µποεί να συνεχίζει να υφίσταται ως έχει για πάντα και αυτό ισχύει καοικά ανεατήτως τόπου γεωγαφικού πάτους / µήκους Από το εδάφιο της βαοκινικής αστάειας ήδη αναφέεται το ότι διατααχές εµφανίζονται αγά ή γήγοα στο ευστό οι οποίες µάιστα µποεί αχικά ως τάη µεγέους να είναι εαιετικά αµεητέες όµως αυτές αυάνουν και γίνονται τεικά συγκίσιµες αιµητικά µε τις ιδιότητες ταχύτητα πίεση πυκνότητα εµοκασία οι οποίες υφίστανται στην ποϋπάχουσα κατάσταση του ευστού Για παάδειγµα εδώ έγεται παάτηµα " 5 Σταεά ποφί " ότι η πίεση στη µέση 5 στάµη της άασσας είναι στο S ως τάη µεγέους Pascal N m Αν οι διατα- αχές στην πίεση όπως φαίνεται και από τα αποτεέσµατα αχικά είναι χ Pa η σχετική τάη µεγέους των µεγεών αυτών δείχνει ότι ούτε όγος δεν µποεί να γίνει για επίδαση των διατααχών και συνεπακόουη µεταβοή του σταεού ποφί της πίεσης Αν σε κάποια χονική στιγµή οι διατααχές γίνουν χ Pa εδώ η σχετική τάη µεγέους α είναι Θα µποούσαµε να ισχυιστούµε οιπόν ότι µποεί να υπάει κάποια µετήσιµη µεταβοή Παόµοιες σκέεις µποούν να γίνουν και για τις συνιστώσες της ταχύτητας αά και για την πυκνότητα όπου αυτό που ενδιαφέει είναι σε κάε πείπτωση ακιβώς η σχετική τάη µεγέους των µεγεών της ποϋπάχουσας στάµης αναφοάς πος τις εµφανιζόµενες διακυµάνσεις Ο αχικός υµός αύησης των διατααχών : Τα πώτα αποτεέσµατα τα οποία δίνονται παουσιάζονται στα γαφήµατα # # # και #4 Αυτά δίνουν τον αχικό υµό αύησης των διατααχών Το # είναι για τη διαταακτική πίεση το # για τη διαταακτική πυκνότητα το # για την κατακόυφη ταχύτητα και το #4 για τη µεσηµβινή ταχύτητα όπου οι ταχύτητες δεν υπόκεινται σε γαµµικοποίηση cms όπως η πίεση και η πυκνότητα είναι οι πήεις συνιστώσες ll cms Στα πααπάνω γαφήµατα παατηούµε τέσσεις καµπύες κατά πείπτωση Η διακεκοµµένη δίνει το υµό αύησης της εκάστοτε διατααχής έτσι όπως αυτή µετιέται για το α- πούτως µέγιστο εκάστης µεταβητής Τοπικά αυτό το µέγιστο δεν αντιστοιχεί σε κάποιο συγκεκιµένο σηµείο Οι υπόοιπες τεις καµπύες οι οποίες φαίνεται ότι αιµητικά είναι πείπου δύο τάεις µεγέους µικότεες σε σχέση µε τις πααπάνω αντιστοιχούν σε απόυτες

130 τιµές µεγεών σε συγκεκιµένες πεγµατικές έσεις µέσα στο διακιτό πέγµα και πιο συγκεκιµένα για σταεή υοµετική στάµη που παίνεται στα µισά του διακιτού τόπου Η διακιτοποίηση είναι για ζωνικά ma 5 και κατακόυφα ma 4 Οι έσεις για τις καµπύες αυτές είναι για τις έσεις 5 5 και 75 όπου φαίνεται ότι σε κάε πείπτωση η κίση των εκεί καµπύων είναι ποιοτικά η ίδια Επανααµβάνεται το εής : Ποκειµένου να καταήουµε υποογιστικά σε µια τέτοια εεικτική συµπειφοά κατά την οποία οι διατααχές α αυάνουν πάγµατι εκετικά α πέπει να χησιµοποιηούν κατάηες αχικές συνήκες εν υπάχουν ικανά κιτήια ή εωήµατα τα οποία να οίζουν τέτοια αχικά ποφί ύσης Εν γένει είναι ποϊόν πειαµατισµού αν και υπάχουν και αναυτικές πειπτώσεις που δίνουν εκ των παγµάτων τέτοιες συµπειφοές Καταήγοντας στη εώηση του Ea αυτό γίνεται διότι αυτή δίνει ακιβώς ένα τέτοιο αχικό ποφί ύσης που οδηγεί σε αστάεια και αυτό υοποιείται εδώ δηαδή αχικά εωείται µια κααά ζωνική οή όπου οι διατααχές στην πίεση και την πυκνότητα είναι ακιβώς µηδέν και η µεσηµβινή και κατακόυφη ταχύτητα επίσης είναι µηδέν δίνοντας παάηα και επ ακιβώς υδοστατική ισοοπία στο σύστηµα κάτι το οποίο µεταβάεται ακετά όπως φαίνεται και από τα ακόουα διαγάµµατα Τα αχικά ποφί στο σύνοο ποτύπων D : Στη συνέχεια παουσιάζονται τα αχικά ποφί χονο ανεάτητα της πίεσης γάφηµα #5 της πυκνότητας γάφηµα #6 και του διανυσµατικού πεδίου της ταχύτητας στο επίπεδο O γάφηµα #7 όπου αχικά και µε βάση και τις υοποιούµενες αχικές συνήκες οι διατααχές είναι ακιβώς µηδέν για Τα γαφήµατα της πίεσης και της πυκνότητας δίνονται ως διαγάµµατα ισοσταµικών καµπύων Για τα διαγάµµατα ισοσταµικών καµπύων της πίεσης τα εκεί αιµητικά µεγέη ποαπασιάζονται επί για να πάουµε την πίεση σε Pa στο S ή επί για να πάουµε την πίεση σε mba Από το εδάφιο του παατήµατος " 5 Σταεά ποφί " οι συνατήσεις για τα και στο αχικό σύνοο ποτύπων µε τις εκεί εωήσεις είναι οι : Για την πυκνότητα : C C m µε C 57 και Για την πίεση : C 98 5 m C C C C Pa όπου από την είσωση των ιδανικών αείων για τη µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ είναι και : µε και T T για T

131 Αιµητικά είναι και : 5 Pa m sc T 875Κ m Τα µεγέη και δίνουν και µια αίσηση για την τάη µεγέους των σταεών ποφί της πίεσης και της πυκνότητας έστω και ποιοτικά Για την ταχύτητα : Για την ταχύτητα αχικά υφίσταται µια αµιγώς ζωνική οή µε κατεύυνση από ύση πος Ανατοή κάτι που φαίνεται και από το αντίστοιχο διανυσµατικό πεδίο του γαφήµατος #7 Παατηούµε ότι αχικά όντας για την κατακόυφη ταχύτητα αυτό δίνει και µια επ ακιβώς υδοστατική ισοοπία για Επιπέον γαφήµατα : ίνονται ακόµη τέσσεα γαφήµατα τα #8 #9 για την πίεση και # # για την πυκνότητα από τα οποία έχουµε τα εής : Στα #8 και #9 παουσιάζεται η ανωτέω καµπύη για την στα σύνοα ποτύπων D και D αντίστοιχα Εδώ φαίνεται και η αντιστοιχία πάνω στα χωικά εκτατά που εωούνται κατά πείπτωση Με βάση φυσικές παατηήσεις η τοπόπαυση εωείται σε ύος πείπου 74 m αναόγως το γεωγαφικό πάτος όπου το ύος της τοπόπαυσης µειώνεται πος τους πόους όγω του ότι εκεί η ατµόσφαια όντας δεχόµενη ιγότεη ενέγεια από τον Ήιο είναι και πιο συµπυκνωµένη Εδώ εωείται 6 και το ύος της τοπόπαυσης παίνεται στα 8 m Παό αυτά το ύος του υποογιστικού χώου στο σύνοο D δεν παίνεται 8 m αά 5 m Οµοίως και για το ζωνικό πάτος Θεωητικά πέπει να είναι m ώστε ο όγος να είναι πείπου κάτι το οποίο ζητείται από την ποσέγγιση του qas s Ε αιτίας υποογιστικών πειοισµών παίνουµε το ζωνικό µήκος L 5 m Ο εδώ όγος ποκύπτει έχουµε ένα " στενό " ζωνικό κανάι όπως ζητείται και από τη εωεία και εγαζόµαστε µε αυτά τα χωικά µεγέη Ο διαφοετικός χωµατισµός στις εκεί καµπύες αναπαιστά τον ανωτέω πειοισµό όπου για τα σταεά ποφί της πίεσης και της πυκνότητας τεικά έχουµε µεταβοές µέχι και υόµετο 5 m Στα γαφήµατα # και # δίνονται οι αντίστοιχες καµπύες για την όπου όα τα µεγέη είναι πάντα στο S Αναφέεται επίσης ότι στα διαγάµµατα των ισοσταµικών καµπύων c ls των διαγαµµάτων πυκνότητας s ls του διανυσµατικού πεδίου της ταχύτητας αά και στα διαγάµµατα των ποφί των διατααχών lca sbs η χωική κίµακα

132 4 αµβάνεται ανηγµένη Για φυσικές διαστάσεις πάνω στην απόσταση και ποαπασιάζουµε τις τιµές των αντίστοιχων αόνων επί 5 m ή 5 m ώστε να ποκύει η χωική κίµακα του αχικού τόπου D Ποφί χονικής εέιης για την πίεση : Καώς το σύστηµα χονο εείσσεται οι διατααχές όπως ειπώηκε αυάνουν έως ότου ως τάη µεγέους φτάσουν να µην είναι αµεητέες πέον Εδώ δίνονται κάποια γαφήµατα για την πίεση την πυκνότητα και το διανυσµατικό πεδίο της ταχύτητας στο επίπεδο O για χονικές στιγµές { } σε m Μια ηµέα έχει 44 m εποµένως µε βάση αυτό ποιοτικά µποούµε να πούµε ότι οι µεταβοές ποκειµένου να εµφανιστούν πήως α πέπει να παέει ένα χονικό διάστηµα ποών ωών Για την πίεση συγκεκιµένα έχουµε στα γαφήµατα # # και #4 τα πεδία πυκνότητας s ls των διατααχών της πίεσης δηαδή της συνάτησης Η ίδια πηοφοία µε αιµητικά δεδοµένα δίνεται και στα γαφήµατα #5 #6 και #7 όπου παουσιάζονται οι κατανοµές του βαµωτού πεδίου στον διακιτοποιηµένο υποογιστικό χώο που εωούµε Εδώ παατηούµε ότι σε κάε πείπτωση και για κάε στιγµιότυπο ύσης οι διατααχές έχουν αγεβικά ανητικές τιµές το οποίο σηµαίνει ότι α- φαιούν από το σταεό ποφί µιας και για την πήη πίεση εωείται εν τέει το σχήµα : Μάιστα καώς κυάει ο χόνος οι διατααχές αυάνουν απούτως µε αποτέεσµα η πήης πίεση οοένα και να µειώνεται Οι κατανοµές της πήους πίεσης χωικά δίνονται στα γαφήµατα #8 #9 και # σε γαφήµατα ισοσταµικών καµπύων όπου οι εκεί στάµες σταεής πίεσης είναι ακιβώς οι ισοβαικές καµπύες ή και επιφάνειες σε µια D εώηση Μια παατήηση η οποία είναι κοινή σε όα τα γαφήµατα των ισοσταµικών καµπύων αά και για τα παουσιαζόµενα διανυσµατικά πεδία είναι ότι δεν παατηείται σύγκιση ή απόκιση µιας και έχει παεί από κατασκευής το πεδίο να είναι µη αποκίνων Η είσωση συνέχειας της µάζας στο µοντέο Bsssq είναι υ σχέση η οποία χησιµοποιείται και στην επίυση της είσωσης Pss κάτι το οποίο φαίνεται τεικά ότι ισχύει µε βάση το πααπάνω Ποφί χονικής εέιης για την πυκνότητα : Από τα γαφήµατα της πίεσης φαίνεται ότι η πήης πίεση φίνει Αναµένεται και α αναφεεί στη συνέχεια το γιατί η πήης πυκνότητα να αυάνει όπως επίσης και στο πεδίο ταχυτήτων να υπάχει µια συνιστάµενη άνοδος ευστού του " αέα " όπου αχικά υπήχε επ ακιβώς υδοστατική ισοοπία Από τα γαφήµατα # # και # έχουµε τα γαφήµατα πυκνότητας s ls της διαταακτικής πυκνότητας Στα γαφήµατα #4 #5 και #6 έχουµε την ίδια πηοφοία δοσµένη ως κατανοµή αυτή τη φοά µε αιµητικές τιµές Από τα γαφήµατα αυτά αά και από τα γαφήµατα #7 #8 και #9 όπου παουσιάζεται η πήης πυκνότητα σε όους ισοσταµικών καµπύων φαίνεται ακιβώς το ότι αυτή αυάνει µιας και οι διακυµάνσεις διατααχές εδώ ποκύπτουν αγεβικά ετικές και µάιστα αύουσες όπου στην πίεση ήταν φίνουσες αγεβικά

133 5 Το διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων : Το διανυσµατικό άοισµα της ζωνικής και της µη µηδενικής πέον κατακόυφης ταχύτητας δίνεται στα γαφήµατα # # και # Εδώ φαίνεται ότι πάγµατι υπάχει άνοδος ευστού εκεί όπου και στην πήη πίεση παατηούνται οι µικότεες τιµές δηαδή κοντά στο αιστεό σύνοο Η έννοια του βαοµετικού χαµηού σε συνδυασµό µε την έννοια της αστάειας : Η κατανοµή του βαµωτού πεδίου της πίεσης στην ατµόσφαια παίζει σηµαντικό όο στην κινηµατική του ατµοσφαιικού ευστού διότι µέσω της κίσης της πίεσης ποκύπτει µια από τις δυνάµεις που επιδούν στο ευστό αυτή της βαοβαµίδας ss a c PGF όπου είναι για τη δύναµη αυτή σε κειστή µοφή και χωίς πο- σεγγίσεις Αν το βαµωτό πεδίο πιέσεων δεν παουσιάζει έντονη κίση η δύναµη της βαοβαµίδας α είναι αιµητικά µική Υπάχουν και καταστάσεις στο ατµοσφαιικό ευστό όπου εκεί το πεδίο µποεί να παουσιάζει έντονη κίση εποµένως σε αυτήν την πείπτωση η συνεισφοά της PGF στις εισώσεις της οµής α είναι και πιο σηµαντική κατά πειπτώσεις πού µεγαύτεη από κάε άη δύναµη Cls ή ιώδες Εποµένως υπό ποϋποέσεις είναι η δύναµη PGF αυτή που α έχει και τον πιο σηµαντικό όο στην κινητική κατάσταση του ευστού Πού ποιοτικά το πεδίο σε πειπτώσεις " µικής κίσης " α είναι ευσταώς διαστωµατωµένο και εποπτικά οι ισοβαικές επιφάνειες ή οι ισοβαικές καµπύες σε µια D εώηση α έχουν µια οµαή συµπειφοά α είναι πείπου επίπεδες επιφάνειες και α είναι παάηες ως πος τη µέση στάµη της άασσας αγνοώντας πειπτώσεις έντονου αναγύφου Τι σηµαίνει όµως µια τέτοια κατάσταση στην πάη; Αυτή η κατάσταση συνήως χαακτηίζεται από µια σχετική ευστάεια το διανυσµατικό πεδίο της ταχύτητας α έχει µια οµαή συµπειφοά και χησιµοποιώντας ένα µετεωοογικό όο έµε ότι εκεί στην ατµόσφαια υπάχει πειοχή " υηών πιέσεων " το οποίο σηµαίνει ότι ο αέας είναι εν γένει σε διαστοή σε µεγαύτεη εµοκασία εποµένως σε χαµηά υόµετα µέχι και τη µέση στάµη της άασσας α υπάχει συνοικά πεισσότεη µάζα αέα άνωεν εού και οι µεγαύτεες πιέσεις επιφανειακά Ο " καός καιός " η ατµοσφαιική ευστάεια η πειοχή υηών πιέσεων και η εν γένει οµαή συµπειφοά του ατµοσφαιικού ευστού είναι έννοιες αηένδετες οι οποίες πειγάφουν πακτικά κάτι κοινό Από την καηµεινή εµπειία µας όµως έουµε ότι δεν πααµένει επί µονίµου βάσεως η ατµόσφαια και δει η στατόσφαια σε ευσταή κατάσταση Υπάχουν αίτια κινηµατικά και ενεγειακά τα οποία µεταβάουν συνεχώς την κατάσταση του ατµοσφαιικού ευστού Κατά κύιο όγο ο Ήιος δεν ακτινοβοεί ε ίσου τη Γη Πειοχές µικότεου γεωγαφικού πάτους κοντά στον ισηµεινό δέχονται πεισσότεη ενέγεια άα εµαίνονται και πεισσότεο ενώ άες πειοχές µε µεγαύτεο γεωγαφικό πάτος ακτινοβοούνται ιγότεο και είναι πιο υχές πος τους γεωγαφικούς πόους Με βάση αυτήν την ενεγειακή ανοµοιογένεια δηµιουγούνται και υφίστανται αέιες µάζες πειοχές ατµοσφαιικού ευστού µε τοπική κατανοµή πεδίων και T οι οποίες µετατοπίζονται και είναι δυνατόν υχές αέιες µάζες να κινηούν πος τον ισηµεινό σε µικότεα απούτως γεωγαφικά πάτη Κατά την κίνηση αυτή οι υχότεες αέιες µάζες συναντούν πειοχές όπου το ατµοσφαιικό ευστό είναι πιο εµό και µε µικότεη πυκνότητα Οι υχές αέιες µάζες

134 6 όντας πιο υχές και πιο πυκνές τείνουν να µετατοπίσουν τις ποϋπάχουσες εµότεες από µικότεο υόµετο Η γεωγαφική πειοχή στην οποία συναντιόνται δύο τέτοιες αέιες µάζες όπου η µια είναι υχή και η άη τυπικά α είναι δίνει µια πειοχή υηών πιέσεων αχικά ευσταής δίνει την έννοια του " υχού µετώπου " Η πιο σηµαντική παατήηση είναι η εής : Στην ποϋπάχουσα αέια µάζα παατηείται συνιστάµενη άνοδος αέα Τυπικά εκεί δεν α υφίσταται πέον υδόσταση η πυκνότητα α αυάνεται και η πίεση α µειώνεται Ποιοτικά µποούµε να πούµε ότι η πίεση µειώνεται για τον εής όγο : Αν αχικά στην πειοχή των υηών πιέσεων υπάχει συνοικά πεισσότεη µάζα αέα άνωεν µε την υ- φιστάµενη άνοδο αέα κατά τη διάκεια του υχού µετώπου και ε αιτίας αυτού του κινηµατικού αιτίου η µάζα του ατµοσφαιικού ευστού εκεί όντας µη ευισκόµενη σε υ- δόσταση α δίνει µικότεες πιέσεις για τη µέση στάµη της άασσας Επίσης µε χήση των πιο απών ατµοσφαιικών υποδειγµάτων εωούµε ότι η βαµίδα της εµοκασίας στην στατόσφαια είναι ανητική δηαδή ότι η εµοκασία µειώνεται αυστηά µονότονα µε το υόµετο Κατά την άνοδο αέα αδιαβατικά ή και όχι η εµοκασία του α µειώνεται και η πυκνότητά του α αυάνεται Στα πααπάνω πειγάφεται πού ποιοτικά το πώς µποεί να συνδέεται η πτώση της πίεσης µε την εαναγκασµένη άνοδο του ατµοσφαιικού ευστού στα παίσια της δηµιουγίας ενός υχού µετώπου Υπάχουν και άα αίτια τα οποία οδηγούν σε άνοδο αέα τα οποία συνοίζονται στις εής τεις επιπέον κατηγοίες : κυκογέννεση κυκωνικά συστήµατα όπου παατηείται σύγκιση αέα επιφανειακά και απόκιση κα ύος σε µια στάµη 5 m τοπικά συστήµατα κυκοφοίας χ αύα άασσας όπου τοπικές βαµίδες εµοκασίας και πίεσης µποούν να ποκαέσουν άνοδο αέα κααά τοπικά όµως σε µια γεωγαφική πειοχή έκτασης m το ανάγυφο όπου καώς το ευστό κινείται πος ανατοάς συνήως αν συναντήσει µια οοσειά που εκτείνεται κατά µήκος µεσηµβινού χ η Πίνδος τα Ουάια όη τα Βαχώδη όη κα τότε το ευστό δύναται να ανέβει ακετά m κα ύος Το ποιοτικό συµπέασµα όων των πααπάνω είναι το εής : Το πιο σηµαντικό αίτιο πτώσης της πίεσης είναι η " συνιστάµενη άνοδος αέα " και αυτή η πτώση της πίεσης οδηγεί α- κιβώς στην έννοια του " βαοµετικού χαµηού " όπου το οποίο µε τη σειά του είναι συνειφασµένο µε την έννοια της αστάειας ότι δηαδή µεταβάεται µια πότεη κατάσταση χωίς το ευστό να επανέχεται απ ευείας εκεί Από τα γαφήµατα µποούµε να δούµε ακιβώς αυτό ότι ενώ αχικά υφίσταται µια αµιγώς ζωνική οή µε την πάοδο του χόνο το σύστηµα εεισσόµενο δύναται να δώσει µια τέτοια συµπειφοά όπου δεν υφίσταται πέον υδόσταση µε την πίεση να πέφτει και την πυκνότητα να αυάνει Ποιοτικά σχήµατα ατµοσφαιικών καταστάσεων : Ποκειµένου να γίνουν τα ανωτέω καύτεα κατανοητά παατίενται στη συνέχεια κάποια ποιοτικά σχήµατα από το σύγγαµµα [7] τα οποία άπτονται των ατµοσφαιικών καταστάσεων της έννοια του βαοµετικού χαµηού και της συνειφασµένης µε αυτήν την κατάσταση συνιστάµενη άνοδο αέα άση υδόστασης

135 7 Σχήµα # : Οµοιόµοφη ατµοσφαιική κατάσταση σε δύο τόπους εν υπάχει αίτιο κίνησης του ατµοσφαιικού ευστού αχικά από [7] Σχήµα # : Θέµανση και διαστοή του ατµοσφαιικού ευστού σε κάποιον τόπο Επακόουη εµφάνιση βαµίδας πίεσης άα και µη µηδενικής βαοβαµίδας ως δύναµη αιτίου κίνησης του ευστού από [7]

136 8 Σχήµα # : Η εµφάνιση βαµίδας πίεσης έχει ως αποτέεσµα την κίνηση της ατµόσφαιας και τη δηµιουγία της κοινής έννοιας " άνεµος " από [7] Στα πααπάνω τία σχήµατα # # παουσιάζεται ποιοτικά το κυιότεο αίτιο που έτει το ατµοσφαιικό ευστό σε κίνηση και αυτό σχετίζεται µε την κατανοµή της πήους πίεσης Το ατµοσφαιικό ευστό έει από πειοχές υηότεης πίεσης σε άες όπου η πίεση είναι µικότεη Αυτό γίνεται ώστε τεικά να µην υπάχει βαµίδα πίεσης να είναι Αναφέεται ότι η ηιακή ακτινοβοία είναι το κυίαχο αίτιο που έτει την ατµόσφαια σε διακή κίνηση αυτό όµως σηµαίνει και το εής : Μέσω της ανισοκατανοµής µε την οποία ακτινοβοείται η Γη από τον Ήιο κάποιες γεωγαφικές πειοχές δέχονται πεισσότεη ενέγεια εµαίνονται πεισσότεο και εκεί ο αέας διαστέεται πιο πού σε σχέση µε άες µεγαύτεων γεωγαφικών πατών οι οποίες δέχονται ιγότεη ηιακή ακτινοβοία Αυτό έχει ως αποτέεσµα τα πεδία εµοκασίας T πυκνότητας και εν τέει και πίεσης να µην είναι οµογενή άα και η δύναµη της βαοβαµίδας να µην είναι µηδέν Στο φοµαισµό της δύναµης PGF εµφανίζεται η κίση της πίεσης φοµαισµός ο οποίος ως διάνυσµα δίνει και τη διεύυνση της δύναµης αυτής Η πυκνότητα όντας ετική > εµφανίζεται ως ένας ποαπασιαστικός παάγοντας στο φοµαισµό αυτό Από το φοµαισµό της PGF συνάγεται ότι η διεύυνση αυτής είναι σηµειακά αά και για κάε έση στο χώο Ε επί του διανύσµατος κατά µήκος του οποίου η κατά διεύυνση παάγωγος της πίεσης παίνει την εάχιστη τιµή της όγω του ποσήµου " " στον εκεί φοµαισµό από τον οισµό της κίσης βαµωτού πεδίου Στα πααπάνω τία σχήµατα παουσιάζεται µια " στατική " εικόνα αυτού του αιτίου Μποεί να ειπωεί ότι µεταύ δύο τόπων οι οποίοι έχουν απώς διαφοετική εµοκασία α υπάει κίνηση όπως ανωτέω Ο αέας του τόπου που βίσκεται σε υηότεη εµοκασία είναι πιο διεσταµένος σε σχέση µε τον άο που βίσκεται σε χαµηότεη Το ότι µια πειοχή έχει υπεκείµενο αέα σε µεγαύτεη εµοκασία αυτό σηµαίνει ότι στατιστικά α

137 9 υπάχει και πεισσότεη µάζα ατµοσφαιικού ευστού άνωεν εποµένως εκεί ποιοτικά έµε ότι επικατεί πειοχή υηών πιέσεων διότι η πίεση µετά ακιβώς τη δύναµη ανά µονάδα επιφανείας αυτού του ευστού Στην άη πειοχή όπου ο αέας είναι πιο υχός άα και πιο συµπυκνωµένος εκεί στατιστικά υπάχει ιγότεη µάζα αέα άνωεν οι πιέσεις επιφανειακά α είναι στατιστικά µικότεες και έµε τότε ότι εκεί α υπάχει µια πειοχή χαµηότεων πιέσεων µε " τάση " για κίνηση του ευστού από την πώτη στη δεύτεη µε βάση τα όσα έγονται εδώ Στο σχήµα που ακοουεί δείχνεται µε έναν ποιοτικό αά πααστατικό τόπο το εής : Ότι πειοχές σε µεγαύτεο γεωγαφικό πάτος στατιστικά α βίσκονται και σε πειοχές χα- µηότεων πιέσεων µε τον υπεκείµενο αέα σε µικότεη εµοκασία και ιγότεο διεσταµένο σε σχέση µε τον αέα πειοχών µικότεων γεωγαφικών πατών εγγύτεα στον ισηµεινό Αυτό µποεί να συνδυαστεί και µε το πειεχόµενο του εδαφίου του παατήµατος " 5 Σταεά ποφί " αά και µε τα όσα έγονται εδώ στη σε πεί του ύους της τοπόπαυσης Σχήµα #4 : Η ανισοκατανοµή έµανσης του πανήτη έχει ως αποτέεσµα τη δηµιουγία ισοβαικών επιφανειών µη παάηων ως πος τη µέση στάµη της άασσας από [7] Πέαν τώα της πααπάνω " στατικής " εικόνας που δίνει ποιοτικά τα στατιστικά αίτια µη ο- µογένειας των πεδίων και T υπάχουν πιο δυναµικά αίτια µέσω των οποίων µποεί να τεεί το ατµοσφαιικό ευστό σε κίνηση Σχετίζονται κυίως µε τη δηµιου-

138 γία και κίνηση ατµοσφαιικών αείων µαζών κυίαχα µέσα στην τοπόσφαια στην πειοχή όπου παουσιάζονται και οι πιο έντονες ατµοσφαιικές αστάειες Τα παακάτω σχήµατα δίνουν µια ποιοτική αά πααστατική εικόνα των κυιότεων τεσσάων αιτών µε βάση τα οποία µποεί να αάει δαστικά το ποφί της πίεσης η βαοβαµίδα και κατ επέκταση και η κίνηση δηαδή το πεδίο ταχυτήτων του ίδιου του ευστού : Τοπικά συστήµατα κυκοφοίας : Μποούµε να δούµε τα εής δύο πααδείγµατα : Σχήµα #5 : Ατµοσφαιική ευστάεια σε τόπο όπου το ευστό εωείται ως ευσταώς διαστωµατωµένο από [7] Σχήµα #6 : Η µεταβοή της εµοκασίας εµφανίζεται ως το σηµαντικότεο αίτιο εµφάνισης βαµίδας πίεσης από [7]

139 Σχήµα #7 : Εµφάνιση τοπικού συστήµατος κυκοφοίας από [7] Στα πααπάνω τία σχήµατα έχουµε ότι αχικά µποεί το ευστό να είναι ευσταώς διαστωµατοµένο sabl sa l ενώ κατά την µετέπειτα εέιη µποεί να δηµιουγηούν βαµίδες στη εµοκασία την πυκνότητα και την πίεση οι οποίες α µεταβάουν την αχική κατάσταση Αυτό που πέπει να ποσεχεί είναι στο σχήµα #7 η συνιστάµενη άνοδος αέα εκεί όπου επιφανειακά εµφανίζεται και πειοχή χαµηών πιέσεων Αυτήν την κατάσταση υφίσταται πάντα δηαδή η συνιστάµενη άνοδος ευστού και η άση της υδοστατικής ισοοπίας συνοδεύεται πάντα µε επιφανειακή πειοχή χαµηών πιέσεων Τα πααπάνω σχήµατα πειγάφουν ένα τοπικό σύστηµα κυκοφοίας Ένα άο παάδειγµα που αµβάνει χώα σε µια µεγαύτεη γεωγαφική πειοχή είναι και το ακόουο : Σχήµα #8 : Τοπικό σύστηµα κυκοφοίας : Αύα άασσας από [7]

140 Σχήµα #9 : Τοπικό σύστηµα κυκοφοίας : Αύα ηάς από [7] Στα σχήµατα #8 και #9 έχουµε τις πειπτώσεις της αύας αάσσης και της αύας ηάς Είναι δύο πειπτώσεις τοπικών συστηµάτων κυκοφοίας όπου µε βάση τοπικές βαµίδες εµοκασίας πίεσης και πυκνότητας είναι δυνατόν να αεί η αχική κατάσταση της ευσταούς διαστωµάτωσης οι ισοβαικές καµπύες επιφάνειες να µην είναι πέον παάηες ως πος την επιφάνεια της µέσης στάµης της άασσας και ως εκ τούτου να ποκύει α- τµοσφαιική οή να αεί και η υδοστατική ισοοπία και πάι εκεί όπου υπάχει συνιστάµενη άνοδος αέα να έχουµε επιφανειακά πειοχή χαµηών πιέσεων Ο όος του γήινου αναγύφου : Η γήινη επιφάνεια δεν είναι τέεια σφαία αά υπάχει φυσικά και ανάγυφο κυίαχα µε την παουσία βουνών και οοσειών Καώς κινείται το ατµοσφαιικό ευστό για τα µέσα γεωγαφικά πάτη η οή είναι στατιστικά ζωνική µε φοά από τη δύση πος την ανατοή αν συναντήσει µια οοσειά που να εκτείνεται κατά µήκος µεσηµβινού έτσι ώστε η οή να τη συναντά καέτως τότε το ευστό ανέχεται Με βάση αυτό έχουµε το εής σχήµα :

141 Σχήµα # : Το γήινο ανάγυφο ως αίτιο ανόδου του ατµοσφαιικού ευστού από [7] Από την πευά του βουνού από την οποία ο αέας ανέχεται παατηείται επίσης πτώση της πίεσης εκεί δεν υφίσταται υδόσταση και παουσιάζονται και άα φαινόµενα µε τα ο- ποία δεν ασχοούµαστε στο παόν όµως παουσία υγασίας παατηείται συµπύκνωση και πααγωγή νεφών εδώ όµως έχουµε εωήσει ηό αέα µε µηδενική υγασία ως µια πιο απή πείπτωση Κυκογέννεση Cclss : Λέγοντας " κυκογέννεση " εννοούµε την πααγωγή κυκωνικών συστηµάτων κυκώνες και αντίκυκώνες Η κυκογέννεση είναι ένας εχωιστός κάδος µεέτης ο οποίος δεν µποεί να πειγαφεί στα παίσια µιας QG ποσέγγισης κυίως όγω υφιστάµενης χωικής κίµακας Εδώ αναφέεται απώς ότι είναι δυνατόν στην ατµόσφαια να πααχούν τέτοια συστήµατα τα οποία και αυτά µε τη σειά τους πειγάφουν πού πιο έντονες µετεωοογικές αστάειες σε σχέση µε τα µέτωπα αείων µαζών µε τα οποία ασχοούµαστε εδώ Έχοντας ένα κυκωνικό σύστηµα παατηείται σύγκιση αέα επιφανειακά και απόκιση κα ύος σε µια στάµη πείπου 5 m όπου εντός του συστήµατος αυτού παατηείται πού έντονη άνοδος ανέµου και µεγάη πτώση της πίεσης καιστώντας έτσι το κυκωνικό σύστηµα ως την πιο χαακτηιστική πείπτωση πτώσης της πίεσης ή ισοδύναµα συστήµατος βαοµετικού χαµηού

142 4 Σχήµα # : Κυκονικό αιστεά και αντί κυκωνικό δειά σύστηµα από [7] 4 ιέευση υχών αείων µαζών Cl s / Fss : Η πααγωγή ενός υχού µετώπου αέιας µάζας εντάσσεται στη εωεία πεί " ss " Η εωεία αυτή µποεί να πειγαφεί στα παίσια µιας QG ποσέγγισης και στο παόν ακοουείται αυτή η διαδικασία από τη εωητική εισαγωγή Στο παακάτω σχήµα φαίνεται η πιο χαακτηιστική και η πιο συνήης πείπτωση πααγωγής ατµοσφαιικής α- στάειας κατά τη διέευση ενός υχού µετώπου Τα πααγόµενα αποτεέσµατα του κώδικα συµφωνούν µε αυτήν ακιβώς την πείπτωση όπου από µια ζωνική οή που υφίσταται αχικά εµφανίζεται συνιστάµενη άνοδος αέα και πτώση της πίεσης Σχήµα # : Η διέευση υχού µετώπου παάγει ατµοσφαιική αστάεια από [7]

143 5 Τα αποτεέσµατα της αιµητικής ανάυσης πάνω στο σύστηµα Bsssq που παατίενται στην αχή του εδώ εδαφίου πειγάφουν µια τέτοια εικόνα Ιστοικά η εωεία Ca και οι ποσεγγίσεις πεί qas s πειγάφουν και το πααπάνω ss

144 6

145 7

146 8

147 9

148 4

149 4

150 4

151 4

152 44

153 45

154 46

155 47

156 48

157 49

158 5

159 5

160 5

161 5

162 54

163 55

164 56

165 57

166 58

167 59

168 6

169 6

170 6

171 6

172 64

173 65

174 66

175 67

176 68

177 Μέος Β Στοιχεία αιµητικής ανάυσης Υοποιούµενα αιµητικά σχήµατα

178

179 7 Το υπεβοικό σύστηµα Εισαγωγικά : Αναφοικά µε την εν γένει εωεία των υπεβοικών συστηµάτων υπάχει µια πηώα συγγαµµάτων στη βιβιογαφία Εδώ χησιµοποιείται κυίως η αναφοά [] η οποία δίνει µια εκτενή εωητική εισαγωγή αά και τόπους αιµητικής αντιµετώπισης συστηµάτων ΕΜΠ όπως αυτό που εωείται εδώ δηαδή µη γαµµικό µη οµογενές πήες εν γένει και σε µη κανονική µοφή σε πεισσότεες της µιας διάστασης χωικά Επίσης αναφέεται ως πωύστεο εδώ ότι ο αχικός τόπος που νοείται αχικά και ποκύπτει από τη φυσική εώηση µετασχηµατίζεται σε έναν νέο ανηγµένο τόπο όπου η αιµητική οοκήωση εκεί δεν µεταβάει τη ύση µετασχηµατισµός ο οποίος πέπει να γίνει µε βάση συογισµούς που ποκύπτουν για την ακίβεια κάτι που παατίεται εδώ στο παάτηµα " 6 Μετασχηµατισµός συνόων ποτύπων " Η τεική µοφή του υπεβοικού µέους του εδώ έµατος όπως ποκύπτει τεικά από το εδάφιο " 8 Η τεική µοφή του συστήµατος " της εωητικής εισαγωγής είναι η εής για το αχικό σύνοο ποτύπων D : Από την D διανυσµατικά είσωση της οµής είναι : υ υ U Με χήση της ταυτότητας υ αά και των εδώ σχέσεων παάµετος Cls διανυσµατικά και επιτάχυνση βαύτητας ποκύπτει µε ανάυση σε άονες για την εδώ D χωικά εώηση όπου είναι : Ζωνική είσωση της οµής : # Μεσηµβινή είσωση της οµής : Κατακόυφη είσωση της οµής : U # #

180 7 όπου οι πααπάνω συνατήσεις είναι : ζωνική συνιστώσα της ταχύτητας µεσηµβινή συνιστώσα της ταχύτητας κατακόυφη συνιστώσα της ταχύτητας διαταακτική πυκνότητα διαταακτική πίεση U U σταεό ποφί της ζωνικής τχύτητας είναι µια σταεά για την πυκνότητα σε στάµη αναφοάς χ παίνεται είτε ως ο µέσος όος του σταεού ποφί στον τόπο H H ] είτε και ως η τιµή της [ για H H Οι αιµητικές τιµές είναι σχεδόν οι ίδιες Η τέτατη υπεβοική σχέση είναι η εµοδυναµική είσωση η οποία για εδώ όπου εωούνται αδιαβατικές µεταβοές παίνεται ως εής : όπου είναι για τη γαµµικοποίηση επί του µοντέου Bsssq και ποκύπτει : υ υ #4 Οι εισώσεις # #4 είναι αυτές που χησιµοποιούνται ποκειµένου να εειχεί η ταχύτητα υ και η διαταακτική πυκνότητα Για την ανανέωση της πίεσης ύνεται µια είσωση Pss όπως αυτό ποκύπτει το οποίο αναύεται στα αντίστοιχα εδάφια Συντηητική µοφή του συστήµατος : Τα πεισσότεα αιµητικά σχήµατα που χησιµοποιούνται στην πάη καούνται και " συντηητικά " διότι αυτά υοποιούνται πάνω στις συντηητικές µοφές τέτοιων υπεβοικών

181 7 συστηµάτων κάνοντας δηαδή ητή χήση των αιµητικών οών που εµφανίζονται στις µοφές αυτές Ένα υπεβοικό σύστηµα εν γένει γάφεται αχικά στην εής µοφή : { U} [ A] { U} [ C] { U} { S} εν ποκειµένω για χώο δύο διατάσεων χωίς εάτηση από τη µεταβητή Για το εδώ έ- µα το διατεταγµένο σύνοο των αγνώστων είναι το : { U } έχουµε δηαδή ένα " διάνυσµα στήη " και το σύνοο των " πηγών " του δευτέου µέους είναι οµοίως το : { 4 S } s s s s όπου s s για {4 } δηαδή εκάστη συνάτηση " πηγής " sc m ποκύπτει να είναι αγεβική συνάτηση του συνόου {U } κάτι το οποίο ποσιδιάζει στη συντηητική µοφή του συστήµατος όµως και οι πίνακες [A] και [C] είναι οι ιακωβιανοί πίνακες µε στοιχεία τα : A και C m όπου και m οι συνατήσεις των οών που µένει να υποογισούν για {4 } όπου και εδώ είναι για κάε τέτοια συνάτηση m m δηαδή και οι συνατήσεις αυτές ποκύπτουν ως αγεβικές συνατήσεις των αγνώστων συνατήσεων οι οποίες για εδώ συµβοίζονται και ως και 4 για {4 } αντιστοίχως Το υπεβοικό σύστηµα στη συντηητική του µοφή γάφεται ως : όπου είναι { 4 F } και { U} { F} { M} { S} { 4 M } m m m m Στο εδάφιο του µετασχηµατισµού του υπεβοικού συστήµατος στο νέο σύνοο ποτύπων D παατίεται η α- πόδειη εύεσης αυτών των οών Για εδώ ποκύπτει να είναι : Για τη ζωνική είσωση οµής : Για τη µεσηµβινή είσωση οµής : U

182 74 Για την κατακόυφη είσωση της οµής : 4 Για τη εµοδυναµική είσωση : όπου τα πααπάνω ποκύπτουν και µε χήση της είσωσης συνέχειας η οποία στη ποσέγγιση Bsssq είναι η υ Εποµένως οι οές ανά διεύυνση είναι οι εής : Κατά µήκος της ζωνικής διευύνσεως έχουµε : και 4 Κατά µήκος της κατακούφου διευύνσεως έχουµε : m m m και m 4 Από τη συντηητική γαφή του συστήµατος ποκύπτουν και οι όοι των πηγών όπου για εδώ είναι : s s U s και s 4 οι δείκτες { 4 } αντιστοιχούν στη ζωνική τη µεσηµβινή την κατακόυφη είσωση της οµής και στη εµοδυναµική είσωση Κανονική µοφή του υπεβοικού συστήµατος : Το υπεβοικό σύστηµα που γάφεται αχικά ως : { U} [ A] { U} [ C] { U} { S} δέχεται ακόµη µια γαφή την κανονική Κατά τη γενική εωεία των υπεβοικών συστηµάτων αχικά µποεί να υπάχει σύζευη δηαδή εν γένει όα τα στοιχεία των πινάκων [A] και [C] µποεί να είναι µη µηδενικά Ποκειµένου να έει το σύστηµα στην κανονική του µοφή α πέπει να βεούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα των ιακωβιανών πινάκων και αναφέεται εδώ απώς ότι το πααπάνω σύστηµα το οµογενές µέος αυτού µποεί να έει στην παακάτω µοφή :

183 75 { W} [ ΛΑ ] {W} [ Λ ] {W} {} όπου οι εδώ ιακωβιανοί πίνακες είναι αναυτικά οι : C [ Λ Α ] και 4 [ Λ 5 ] 8 6 C 7 Τα στοιχεία των ανωτέω πινάκων Λ ] Λ ] είναι οι ιδιοτιµές των [A] [C] οι άγνωστοι [ Α [ C { 4 W} ποκύπτουν και αυτοί ως αγεβικές συνατήσεις των αχικών αγνώστων U } Σε αυτήν την µοφή το σύστηµα δεν υπόκειται σε { 4 σύζευη το οποίο σηµαίνει ότι µόνο τα στοιχεία της κυίας διαγωνίου των εδώ ιακωβιανών πινάκων α είναι µη µηδενικά Αυτές οι ιδιοτιµές αναπαιστούν ταχύτητες διάδοσης aa ss οι οποίες µε τη σειά τους α είναι και αυτές αγεβικές συνατήσεις των αχικών {U } Κατά την αιµητική ποσοµοίωση υπεβοικών συστηµάτων εµφανίζεται και η έννοια της ευστάειας του σχήµατος Υπάχουν σχήµατα που είναι ασταή και δεν χησιµοποιούνται άα που είναι ευσταή υπό συνήκη και άα που είναι πάντοτε ευσταή Για εδώ υοποιείται το σχήµα του La το οποίο είναι ευσταές υπό συνήκη Στο κιτήιο ευστάειας του σχήµατος αυτού εισάγονται και οι ταχύτητες διάδοσης και από εκεί ποκύπτει ή ανάγκη να γνωίζουµε για κάε στιγµιότυπο αιµητικής ύσης τη µέγιστη απούτως ταχύτητα από τις πααπάνω οχτώ που εµφανίζονται στο εδώ σύστηµα Η εύεση των ιδιοτιµών είναι αναγκαία οιπόν όµως εδώ στο σύστηµα El που έχουµε από κατασκευής δεν υπάχει σύζευη Εδώ έχουµε ότι ο πίνακας [A] έχει µόνο µια ιδιοτιµή ποαπότητας 4 την δηαδή τη ζωνική ταχύτητα και ο πίνακας [C] έχει οµοίως µια ιδιοτιµή ποαπότητας 4 την δηαδή την κατακόυφη συνιστώσα της ταχύτητας υ Τόσο το σχήµα La όσο και η όη ανάυση πάνω στην αιµητική αντιµετώπιση του εδώ έµατος παατίενται στο αντίστοιχο εδάφιο Τα πααπάνω αποτεούν απώς µια εωητική νύη πάνω σε αυτά που πέπει να έχουµε υπ όιν µας κατά την υοποίηση κάποιου αιµητικού κώδικα Επανααµβάνεται ότι εκτενής αναυτική αντιµετώπιση αυτών των εννοιών παατίεται στο σύγγαµµα []

184 76

185 77 Μετασχηµατισµός του συνόου ποτύπων για το υπεβοικό σύστηµα Εισαγωγικά : Το υπεβοικό µέος του συστήµατος αά και η είσωση Pss αχικά εωείται ότι νοούνται σε έναν οογώνιο τόπο χ ως : L L ] H H ] [ [ όπου όες οι φυσικές διαστάσεις εωούνται στο S Αυτό που ενδιαφέει εδώ είναι ότι οι αποστάσεις α µετούνται σε µέτα m Εκ των παγµάτων το υόµετο H πέπει να παεί ως H το οποίο αναπαιστά τη µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ Το υόµετο H µποεί να έχει κάποια τιµή στο διάστηµα [8 ] m το οποίο δε αναπα- ιστά την τοπόπαυση της οποίας το ύος µεταβάεται συνατήσει του γεωγαφικού πάτους µειούµενο πος τους πόους Οι σταεές L και L κατά τη ζωνική διεύυνση α 6 6 πέπει να είναι τέτοιες ώστε η διαφοά L L L να είναι της τάης [ 4 ] m δηαδή πείπου m Κατά την υοποίηση ενός αιµητικού σχήµατος όµως υοποιείται διακιτοποίηση η ο- ποία εισάγει αιµητικό σφάµα του οποίου η τάη α είναι κάποια δύναµη του χωικού βή- µατος ή των χωικών βηµάτων συνδυαστικά Για παάδειγµα το αιµητικό σχήµα που ε- φαµόζεται εδώ για το υπεβοικό µέος είναι το σχήµα του La το οποίο εισάγει σφάµα O κατά τη ζωνική διεύυνση και O κατά την κατακόυφη Επίσης κατά την επίυση της είσωσης Pss για την ανανέωση της διαταακτικής πίεσης ' το υοποιούµενο σχήµα είναι κεντικές διαφοές δεύτεης τάεως ακίβειας συνοικού σφάµατος O συνδυαστικά και για τις δύο διευύνσεις Συνάγεται οιπόν η αναγκαιότητα ο τόπος αιµητικής οοκήωσης να είναι τέτοιος ώστε τα αιµητικά βήµατα να είναι όα τουάχιστον µικότεα της µονάδας Ταυτόχονα αν εωηεί ότι παίνεται χ L και L m δεν µποεί να είναι τέτοια η διακιτοποίηση 6 σε αυτόν τον τόπο ώστε εδώ να είναι < ε αιτίας πειοισµών στη µνήµη του υποογιστικού συστήµατος Αυτό σηµαίνει ότι πέπει να γίνει αναγωγή στον αχικό τόπο D :[ L L ] [ H H ] και να πεάσουµε σε έναν νέο τόπο οοκήωσης έστω τον D [ L L ] [ H ] όπου : H να µποεί να είναι < και < εν είναι ανάγκη να γίνει αναγωγή και στις διαστάσεις οι αποστάσεις µποούν να εακοουούν να µετούνται σε µέτα αά εκ των παγµάτων οι αιµητικές τιµές των L και H α είναι κοντά στη µονάδα Η διαδικασία του µετασχηµατισµού του αχικού συνόου ποτύπων D στο νέο ανηγµένο D ' παατίεται στο παάτηµα " 6 Μετασχηµατισµός συνόων ποτύπων " όπου η ίδια διαδικασία ακοουείται και στο εδάφιο " 4 Μετασχηµατισµός - Είσωση Pss " που παουσιάζεται στη συνέχεια

186 78 Συµβάσεις συµβοογαφίας : Συνδυαστικά µε αυτά τα οποία έγονται στις σηµειώσεις πεί µετασχηµατισµού των συνόων ποτύπων αυτά ακιβώς µποούν να εφαµοστούν εδώ ως εής : Αχικά για τις µεταβητές του συστήµατος γάφεται το εής : και και για τα σταεά ποφί : U U Οι υπόοιπες ποσότητες εωούνται αναοίωτες ασχέτως του ποιο είναι το σύνοο ποτύπων για τις συνατήσεις αυτές Στο παών εδάφιο πέπει να µποούµε να διαχωίσουµε πότε το σύνοο ποτύπων είναι το D και πότε είναι το D ανηγµένος τόπος Για το σκοπό αυτό γάφουµε εκ νέου τα εής : Για το αχικό σύνοο ποτύπων D : αά και για τα σταεά ποφί είναι : Ζωνική ταχύτητα : Μεσηµβινή ταχύτητα : Κατακόυφη ταχύτητα : ιαταακτική πυκνότητα : ιαταακτική πίεση : U U και Τα σύµβοα και είναι τα σύνοα αφίεως δηαδή οι αναοίωτες τιµές των αντίστοιχων φυσικών ποσοτήτων οι οποίες εδάζονται στο όποιο χωικό σηµείο την όποια χονική στιγµή Τα σύµβοα û ŵ και είναι οι τεεστές οι οποίοι επιδούν στο αχικό σύνοο ποτύπων D και επιστέφουν τις πααπάνω φυσικές ποσότητες αντίστοιχα Κάνοντας µια αναγωγή και πενώντας στο νέο σύνοο ποτύπων D αυτοί οι τεεστές αάζουν όπως επίσης αάζουν και τα οίσµατα τα οποία πέον είναι τα και όπου είναι : [ L L ] [ H H ] Τα σύνοα αφίεως και όµως παα- µένουν αναοίωτα το οποίο πακτικά σηµαίνει ότι αιµητικά δεν έχει σηµασία σε ποιόν τόπο α γίνει η ποσοµοίωση οι υποογιζόµενες τιµές α είναι οι ίδιες ανεατήτως τόπου Είναι όµως η τάη µεγέους των οίων του τόπου D που τον καιστά ιγότεο εύχηστο σε σχέση µε έναν άο ανηγµένο τόπο D

187 79 Στο σύνοο ποτύπων D οι συνατήσεις οίζονται πέον ως εής : και για τα σταεά ποφί : Ζωνική ταχύτητα : Μεσηµβινή ταχύτητα : Κατακόυφη ταχύτητα : ιαταακτική πυκνότητα : ιαταακτική πίεση : U U και Για το χόνο δεν εωείται κανένας µετασχηµατισµός α είναι και το σύµβοο δεν αάζει ούτε και α υπάει κάποιος µετασχηµατισµός στις µεικές πααγωγίσεις ως πος το χόνο Μετασχηµατίζοντας το αχικό σύνοο ποτύπων D : Για οογώνια συµµετία είναι : L L ] H H ] όπου παίνεται και [ [ H και ας είναι συµβατικά και L σε m Τα σύµβοα L H ας αφεούν πος 5 6 το παόν ως παάµετοι εευέας εκογής τάεως µεγέους για το L από έως σε m και για το H επίσης σε m Ο νέος τόπος D µε [ L L ] [ H H ] µποεί να παεί µε H και L όπου και εδώ οι αποστάσεις α εακοουούν να µετούνται επίσης σε m Εν γένει οι ευείς σχέσεις µετασχηµατισµού των συντεταγµένων δίνονται ως : ' F ' L L L L L L L L L L και ' G ' H H H H H H H H H H L H Με τις εδώ εκογές έχουµε απώς ' και ' Τυπικά έουµε να είναι L H [ L L ] [] εποµένως το L παίνεται απώς ως µονάδα Επίσης απαιτείται να διατηούνται οι αναογίες στους δύο τόπους από κατασκευής δηαδή πέπει να είναι :

188 8 L H L H L L H H L L H H H L L H L H H Η δεύτεη σχέση µετασχηµατισµού γίνεται ' H H ' L Εποµένως η τιµή του L ειτουγεί ως παάγοντας κίµακας Θέτουµε εδώ το εής : L scal ac αδιάστατο έτσι ώστε οι συντεταγµένες να συνδέονται ως ' και ' µε τις ίδιες µονάδες σε m Αν επιεγεί χ το 6 L m αιµητικά είναι 6 και 6 Οι µεικές παάγωγοι µετασχηµατίζονται ακοούως ως : Από το εδάφιο του µετασχηµατισµού των συντεταγµένων είναι εν γένει : Για τις πώτες µεικές πααγώγους : ' α β κ και ' γ δ µ ν Για τις δεύτεες µεικές πααγώγους : ' α β κ και ' γ δ µ ν Έστω ότι έχουµε τη ζωνική ταχύτητα αναοίωτα ως Στο σύνοο ποτύπων D έχουµε την απεικόνιση ενώ στο σύνοο ποτύπων D είναι Για αυτήν την απεικόνιση είναι για τις πώτες πααγώγους : ' ' και οµοίως και για τις δεύτεες : ' ' Μεικτές παάγωγοι δεν εµφανίζονται στο εδώ σύστηµα

189 8 Μετασχηµατισµός του υπεβοικού συστήµατος : Στις εισώσεις της οµής και στη εµοδυναµική είσωση που αποτεούν τις τέσσεις υπεβοικές σχέσεις του συστήµατος εµφανίζεται πααγώγιση συνατήσεων αά και κάποιες συνατήσεις αγεβικά Για τις πααγώγους µποούµε να χησιµοποιήσουµε τους πααπάνω τύπους Για τον αγεβικό µετασχηµατισµό συνατήσεων έχουµε την εής απή διαδικασία : Λχ για τη µεσηµβινή συνιστώσα της ταχύτητας στη ζωνική είσωση οµής είναι : Στον τόπο D είναι : το οποίο γάφεται και ως : F G οµοίως και για κάε άη αγεβική παάσταση που έχει χωική εάτηση Για τη ζωνική είσωση της οµής : Χησιµοποιώντας τη νέα συµβοογαφία που ποαναφέηκε είναι για το σύνοο ποτύπων D : Στο νέο σύνοο ποτύπων D ο χόνος η παάµετος Cls η σταεά αά και άες φυσικές παάµετοι όπως χ η επιτάχυνση της βαύτητας ή η γωνιακή ταχύτητα της Γης εωούµε ότι πααµένουν αναοίωτες Ο µετασχηµατισµός α αφοά µόνο τις συνατήσεις µε χωική εάτηση και τις µεικές πααγώγους τους Είναι στον τόπο D : Η χωική πααγώγιση αφοά πέον τις συντεταγµένες [] και [ H ] ό- H που H H µε την ταυτόχονη εµφάνιση του παάγοντα κίµακας L Για τη µεσηµβινή είσωση της οµής : Πέον είναι : όπου πέον είναι : U U U

190 8 Για την κατακόυφη είσωση της οµής : Είναι : Για τη εµοδυναµική είσωση : Γίνεται : όπου το σταεό ποφί της πυκνότητας στο σύνοο ποτύπων D Τα ποφί και U είναι γνωστές εκφάσεις και δίνονται στο αντίστοιχο εδάφιο για τα σταεά ποφί Η συντηητική µοφή του υπεβοικού συστήµατος : Τα πεισσότεα αιµητικά σχήµατα που χησιµοποιούνται στην πάη όπως και το σχήµα La εδώ χαακτηίζονται και ως συντηητικά διότι υοποιούν διακιτοποίηση στις συντηητικές µοφές των υπεβοικών συστηµάτων µε ταυτόχονη ητή εµφάνιση των αντίστοιχων οών σε αυτά Εποµένως απαιτείται η γνώση των οών και αυτές ποκύπτουν από τη γαφή του συστήµατος στη συντηητική του µοφή Ποκειµένου τώα να γαφούν οι εισώσεις El στη συντηητική τους µοφή πέπει να χησιµοποιηεί και η εκάστοτε είσωση συνέχειας της µάζας η οποία για εδώ για τις εισώσεις Bsssq είναι απώς η : Σε κειστή µοφή : υ Για το σύνοο ποτύπων D φαίνεται εύκοα µε βάση τα πααπάνω ότι η είσωση αυτή γάφεται ως : σε χώο δύο διαστάσεων Για εδώ ο τεεστής της κίσης µποεί ακιβώς να γαφεί ως : Για τη ζωνική είσωση της οµής :

191 8 Από την είσωση συνέχειας είναι : Επίσης ισχύει : Για το πώτο µέος της ζωνικής είσωσης της οµής είναι : Συνοικά α είναι : Για τη µεσηµβινή είσωση της οµής : Εδώ χησιµοποιούµε την είσωση συνέχειας ως εής : Επίσης :

192 84 και Ποσέτοντας κατά µέη α πάουµε : Συνδυαστικά είναι : Έτσι η µεσηµβινή είσωση γίνεται : U Για την κατακόυφη είσωση της οµής : Η κατακόυφη είσωση σε συντηητική µοφή ποκύπτει όπως και η ζωνική είσωση Ποκύπτει το εής : Για τη εµοδυναµική είσωση : Και η εµοδυναµική είσωση οµοίως ποκύπτει όπως και η µεσηµβινή είσωση Και εδώ είναι : Η συντηητική µοφή του υπεβοικού συστήµατος εκτός του ότι δίνει την έκφαση για τις οές δίνει και την έκφαση για τους όους των πηγών για τις συνατήσεις του δευτέου µέους δηαδή Στην αχική µοφή στα δεύτεα µέη υπάχει και η πίεση µέσω πααγώγισης όµως Οι όοι ων πηγών πέπει να είναι αµιγώς αγεβικές συνατήσεις των αγνώστων του συστήµατος κάτι το οποίο ισχύει εδώ µόνο για τη συντηητική µοφή Αυτό αφοά την ποσοµοίωση του µη οµογενούς µέους του συστήµατος και την τεχνική του m sl που εφαµόζεται ακοούως εδώ πααποµπή σε []

193 85 Το σχήµα La Γενικά : Το σχήµα La αού ως La Fcs είναι ένα συντηητικό υοποιείται δηαδή για τη συντηητική µοφή του µη γαµµικού συστήµατος αιµητικό σχήµα το οποίο χησιµοποιείται στα παίσια αιµητικών ποσοµοιώσεων υπεβοικών εισώσεων Αναφέεται σε µια πηώα συγγαµµάτων εδώ η εωεία έχει παεί από τα [] και [4] Η απούστεη δυνατή υπεβοική είσωση σε συντηητική µοφή και για µια διάσταση είναι έστω η εής σχέση : όπου είναι για την αντίστοιχη συνάτηση της οής l c Ταυτόχονα σε µη συντηητική µοφή η πααπάνω σχέση γάφεται ως : a µε a όπου είναι εν γένει a a η ταχύτητα διάδοσης του µεγέους κατά τη διεύυνση συνάτηση µε ητή εάτηση µόνο από την άγνωστη µεταβητή Αν τυχόν είναι a cs τότε η ταχύτητα είναι σταεή και έχουµε µια γαµµική υπεβοική είσωση αά εν γένει η είσωση α είναι µη γαµµική Από τα ποά σχήµατα που υπάχουν για την αιµητική ποσοµοίωση της εέιης του µεγέους εδώ χησιµοποιείται το σχήµα La όπου για τη µη γαµµική του έκδοση αναφέει : µε αντίστοιχο κιτήιο ευστάειας το : ma a ma a δηαδή πέπει να γνωίσουµε την απούτως µέγιστη τιµή της συνάτησης a a ώστε από την πααπάνω σχέση να επιεγεί µια τιµή για το αχικά αυαίετο χονικό βήµα για να είναι το σχήµα αυτό ευσταές Βέπουµε ότι ακόµη και για αυτήν την απή πείπτωση χειαζόµαστε και τη οή για την υοποίηση του σχήµατος αά και την ταχύτητα διάδοσης για την υοποίηση του κιτηίου ευστάειας

194 86 Υοποίηση στο εδώ έµα : Το υπεβοικό µέος του εδώ ποβήµατος πειαµβάνει τέσσεις υπεβοικές εισώσεις οι οποίες για το σύνοο ποτύπων D είναι : Ζωνική είσωση οµής : Μεσηµβινή είσωση οµής : U Κατακόυφη είσωση οµής : 4 Θεµοδυναµική είσωση : όπου L ο παάγοντας κίµακας και οι άγνωστοι του υπεβοικού µέους είναι οι : µε την παουσία των σταεών ποφί U U και της διαταακτικής πίεσης Το σύστηµα είναι µη γαµµικό και µη οµογενές εν υπόκειται σε σύζευη οι ταχύτητες διάδοσης των διατααχών για τις πααπάνω τέσσεις µεταβητές είναι οι και ποαπότητας 4 εκάστη Υπάχουν διάφοες τεχνικές µε τις οποίες µποεί να ποσοµοιωεί εδώ επιέγουµε την τεχνική του " msal sl " για το οµογενές µέος και του " m sl " για την ποσοµοίωση του µη οµογενούς µέους [] Η τεχνική του msal sl : Θεωούµε αχικά µόνο το οµογενές µέος του συστήµατος ώστε αυτό να είναι σε συντηητική µοφή το εής : {} } { } { } { M F U

195 87 Η πααγώγιση αφοά τις µεταβητές και του τόπου D και όπως έχει αποδειχεί οι οές είναι οι : Για τη ζωνική διεύυνση : Για την κατακόυφη διεύυνση : m m 4 m m 4 Κατά την τεχνική του msal sl αχικά εωείται µεταβοή µόνο κατά τη µια διεύυνση χ αχικά ας είναι για τη ζωνική εποµένως είναι πέον για εδώ και για κάε συνάτηση Το οµογενές µέος του υπεβοικού συστήµατος γίνεται : 4 Για τις εδώ εισώσεις η ταχύτητα διάδοσης είναι απώς η µεταβητή Σε αυτό το σηµείο εισάγεται και µια διακιτοποίηση όπως και για την είσωση Pss Είναι για το σύνοο ποτύπων D πέον : Για τους δύο χωικούς δείκτες έχουµε : { } και { } µε ma και ma οι µέγιστες τιµές αντίστοιχα Η εέιη του συστήµατος εκινά από τη γνωστή αχική συνήκη al c Ασχέτως αν α παεί αχικά το ή το s πέπει να υποογισεί ένα κοινό χονικό βήµα το οποίο και α χησιµοποιηεί ό- που εµφανίζεται όος χονικού βήµατος για τον εκάστοτε κύκο υποογισµού αιµητικής ύσης Για εδώ όπου έχουµε µόνο δύο ταχύτητες διάδοσης α πέπει να χησιµοποιήσουµε τα αχικά ποφί οµοίως και για κάε µετέπειτα κύκο ποκειµένου να υποογίσουµε αυτό το κοινό Με χήση της ταχύτητας διάδοσης είναι : Συνεχώς είναι : ιακιτά παίνεται το εής : οµοίως και για τις άες µεταβητές Υποέτοντας ότι για έχουµε την αχική συνήκη το πώτο χονικό βήµα κατά το s α πέπει να αναζητηεί από την εής σχέση :

196 88 # ma όπου ο όος ποκύπτει από το όγο των χωικών βηµάτων του αχικού συνόου ποτύπων D και του νέου D Πάνω σε αυτό αναφέουµε : Αχικά είναι : [ L ] και H ] Μετασχηµατίζοντας παίνεται τεικά [] και H ] όπου [ Το χωικό βήµα για τη διεύυνση είναι αχικά : L Στο νέο τόπο D είναι : ma m L ma m [ ma m L ma m οµοίως και για τη διεύυνση Η εωεία πάνω στους µετασχηµατισµούς συνόων ποτύπων δίνεται στο αντίστοιχο εδάφιο του παατήµατος Ο όος του παονοµαστή στην πααπάνω σχέση # δείχνει ότι από όες τις τιµές του διακιτού χώου για α πέπει να επιέουµε την απούτως µεγαύτεη µέσα από µια σειιακή αναζήτηση Στο πααπάνω κιτήιο εισάγεται συνήως και η σταεά του Ca CFL ως εής : Ως µέγιστη τιµή για το είναι ποφανώς η : ma ma Στην πάη επιέγεται µια τιµή κατά τι µικότεη εποµένως γάφουµε για το χονικό βήµα γενικά : CFL ma όπου η σταεά αυτή α είναι εωητικά εντός του διαστήµατος CFL ] Μια τυπική τιµή είναι η CFL 9 Με όµοιο συογισµό και για τη διεύυνση ποκύπτει το εής για το εκεί χονικό βήµα : Εδώ το χωικό βήµα είναι το # ma µέγιστης ταχύτητας διάδοσης αφοά στο διακιτό ποφί Από τη σχέση # έχουµε ότι η αναζήτηση της απούτου της αχικής συνήκης και

197 89 όχι της εόδου του s αν αυτό υοποιηεί πώτα Με την εισαγωγή της σταεής CFL παίνεται και εδώ : ma CFL Η αναζήτηση των τιµών ma και ma γίνεται στην αχή του κάε κύκου υοποίησης του αιµητικού σχήµατος Για το εδώ πόβηµα εποµένως α ποκύουν αχικά δύο τέτοια µέγιστα και εν συνεχεία και δύο χονικά βήµατα και Το βήµα που παίνεται τεικά είναι κοινό σε κάε σχήµα ανά κύκο και είναι το εάχιστο εκ των ανωτέω δύο ώστε αυτή η εκογή να διασφαίζει ευστάεια και για το s αά και για το s Είναι δηαδή : } m{ # Με βάση το σχήµα La είναι για το s : Για τη ζωνική είσωση οµής έχουµε : ή Από το σχήµα La ποκύπτει : ή Για τη µεσηµβινή είσωση της οµής είναι : ή Είναι :

198 9 [ ] Για την κατακόυφη είσωση της οµής είναι : ή Είναι : [ ] 4 Για τη εµοδυναµική είσωση είναι : 4 ή Είναι : 4 4 [ ] Αχικά έχουµε ως δεδοµένα εισόδου τα ποφί ύσης για δηαδή την αχική συνήκη και από τις πααπάνω σχέσεις για κάε ένα πεγµατικό σηµείο µε έγκυες µεταβοές µόνο κατά τη διεύυνση ανανεώνουµε αυτά τα ποφί Η ύση αυτή δεν είναι η τεική όµως παά µια ενδιάµεση Στη συνέχεια έπεται το s κατά το οποίο οι έγκυες µεταβοές εωούνται µόνο κατά τη διεύυνση Τα δεδοµένα εισόδου του s είναι η ενδιάµεση ύση δηαδή η έοδος του s Εδώ είναι εποµένως από τις γενικές σχέσεις για την οµογενή πείπτωση ποκύπτει : m m m 4 m Εδώ ποκύπτουν τα σχήµατα : Για τη ζωνική είσωση οµής έχουµε : m ή

199 9 Είναι : m m [ ] Για τη µεσηµβινή είσωση της οµής είναι : m ή Είναι : m m [ ] Για την κατακόυφη είσωση της οµής είναι : m ή Είναι : m m ή 4 Για τη εµοδυναµική είσωση είναι : 4 m ή

200 9 Είναι : m 4 m 4 [ ] Οι πααπάνω σχέσεις και στα δύο ss τέχουν σειιακά Το s υοποιείται για κάε πεγµατική έση µε µεταβοές µόνο κατά και οµοίως και το s υοποιείται για κάε πεγµατική έση για µεταβοές µόνο κατά Όποιο και αν υοποιηεί πώτο δέχεται ως είσοδο την τεευταία έγκυη έοδο καταήγοντας εν τέει στην αχική συνήκη και η πώτη έοδος ως η ενδιάµεση ύση είναι η είσοδος στο s που έπεται Αν το σύστηµα ήταν οµογενές το αιµητικό σχήµα α τεείωνε εδώ Υπάχουν όµως και οι όοι των πηγών και για την ποσοµοίωση του µη οµογενούς µέους υοποιείται η τεχνική του m sl Η τεχνική του m sl : Με την πααπάνω τεχνική του msal sl εωούµε εέιη στο οµογενές µέος του υπεβοικού συστήµατος όπου όοι οι όοι των πηγών τίενται απώς ως µηδέν Εδώ αµβάνουµε υπ όιν µας αυτούς τους όους στα δεύτεα µέη αά δεν εωούµε χωικές µεταβοές Εδώ είναι ταυτοχόνως και για κάε µεταβητή στο σύστηµα Το πήες µη οµογενές υπεβοικό σύστηµα µε ητή εάτηση µόνο από το χόνο γίνεται ουσιαστικά ένα σύστηµα συνήων Ε το οποίο γάφεται ως : { U} { S} Η ζωνική είσωση της οµής γίνεται : Η µεσηµβινή είσωση οµής : U Η κατακόυφη είσωση οµής : Η εµοδυναµική είσωση : Για παάδειγµα Η ζωνική ταχύτητα εδώ νοούµενη ως συνάτηση µε ητή εάτηση µόνο από το χόνο γάφεται ητά ως : ;

201 9 όπου τα σύµβοα δειότεα του " ; " είναι δεσµευµένες παάµετοι κάε φοά Οµοίως και για τις υπόοιπες Σε διακιτή µοφή α είναι : ; όπου κάε φοά οι δείκτες " " και " " α είναι δεσµευµένοι ως παάµετοι Οι πααπάνω τέσσεις εισώσεις δίνουν ένα σύστηµα συνήων Ε το οποίο µποεί να υεί µε κάποια τεχνική επίυσης συνήων και όχι µεικών πααγώγων πέον Η απούστεη εκογή ενός τέτοιου αιµητικού σχήµατος είναι το σχήµα του El El a το οποίο είναι τάεως ακίβειας O Αυτό αποτεεί µια καή εκογή διότι το σχήµα La ως πος τη χονική ακίβεια είναι πώτης τάεως O µε αποτέεσµα µε χήση του El a να µην τίεται έµα απώειας της γενικότεης τάεως ακίβειας της αιµητικής ύσης Για το σχήµα El a έχουµε τα εής γενικά : Έστω µια συνήης Ε ως : µε άγνωστη συνάτηση την Αναπτύσσουµε πουωνυµικά κατά Tal τη συνάτηση αυτή και α έχουµε : O Αγνοώντας το υπόοιπο του τύπου παίνουµε την ποσεγγιστική παάσταση : µε σφάµα O Αντικαιστούµε την πώτη παάγωγο από την είσωση της συνήους Ε και α είναι : O Σε διακιτή µοφή αν είναι για το σηµείο υποογισµού της πααγώγου τότε για το εκ δειών a σηµείο α είναι σε πέγµα σταεού βήµατος Γάφουµε και και η πααπάνω σχέση γίνεται : Αν τυχόν η συνάτηση έµα α είναι απώς : δεν έχει ητή εάτηση από το όπως συµβαίνει στο εδώ Αυτό είναι και το αιµητικό σχήµα το οποίο υοποιείται εδώ Αν πάουµε τη γενική εωητική πείπτωση µε U } και S } s s s s όπου κάε συνά- { 4 { 4

202 94 τηση πηγής έχει ητή εάτηση από τις τέσσεις µεταβητές δηαδή 4 s s α είχαµε τις εής τέσσεις συνήεις Ε πος επίυση : } { } { S U 4 s s 4 s s 4 s s s s Οι πααπάνω σχέσεις για το εδώ σύστηµα µε 4 γίνονται : Για την ανανέωση της ζωνικής ταχύτητας : Για την ανανέωση της µεσηµβινής ταχύτητας : U Για την ανανέωση της κατακόυφης ταχύτητας : Για την ανανέωση της διαταακτικής πυκνότητας : Η είσοδος της οποία δέχεται το m sl είναι η τεευταία έοδος του msal sl εδώ του s Η υοποίηση των πααπάνω τύπων γίνεται για κάε πεγµατική έση και οι χονικοί δείκτες " " και " " δεν σηµαίνουν χονική εέιη για κάποιο επόµενο στιγ- µιότυπο αά ότι κάνουµε µια " διαµόφωση " για κάε πεγµατική έση εκάστης µεταβητής για το εκεί στιγµιότυπο µεταβάοντας τις τιµές οι οποίες ποϋπήχαν είτε αυάνοντας είτε και µειώνοντάς τις συνατήσει του αν οι όοι των πηγών για εκείνη τη χονική στιγµή στο εκεί σηµείο α είναι αγεβικά ετικοί ή ανητικοί Το χονικό βήµα που παίνεται εδώ είναι ακιβώς το του κιτηίου ευστάειας του σχήµατος La και αυτό σηµαίνει ότι τεικά α πεάσουµε από το χόνο στον επόµενο σε τία στάδια s s και m

203 95 sl και όχι ότι εείσσουµε τη ύση τεις φοές Πακτικά αυτό το οποίο γίνεται είναι µια διαδικασία δηαδή συνεχούς επανεγγαφής δεδοµένων στις ίδιες πεγµατικές έσεις και η τεική αποήκευση για το επόµενο έγκυο στιγµιότυπο γίνεται µόνο µε το πέας και του m sl Με τον υποογισµού του επόµενου έγκυου στιγµιοτύπου για τις πενάµε και στην επίυση της είσωσης Pss µε βάση αυτά τα δεδοµένα και έτσι ανανεώνουµε και τη διαταακτική πίεση από χόνο στον επόµενο κείνοντας έτσι πήως ένα κύκο και για τις πέντε µεταβητές Μια πιο καή ποσέγγιση βέβαια είναι να ύνεται η είσωση Pss µετά το s και µετά το m sl και στην πάη αυτό είναι που γίνεται Συνοιακές συνήκες : Για τη ζωνική διεύυνση εωούνται πειοδικές συνήκες ως εής : Για τις τιµές των µεταβητών είναι : µε { } όπου η όποια µεταβητή εκ των πέντε του εδώ έµατος Στα αιµητικά σχήµατα που υοποιούνται κάποια σηµεία κείνται επί των ζωνικών συνόων µε δείκτες { } Από τις σχέσεις διαφοών φαίνεται ότι αν υπάχει δείκτης για το ε αιστεών ζωνικό σύνοο ή για το εκ δειών ζωνικό σύνοο τότε εκεί α εµφανιστούν σηµεία εκτός του διακιτού τόπου τα εγόµενα και " s s " Με βάση την πειοδικότητα για αυτά παίνεται : και Για τα κα ύος σύνοα µε { } µε εαίεση την κατακόυφη ταχύτητα για την οποία είναι για εκεί ώστε να µην υπάχει οή οµής δια αυτών των επιφανειών για τις υπόοιπες τέσσεις µεταβητές δεν υπάχουν συνοιακές συνήκες Αχικά γίνεται ala για την ανανέωση των τιµών των µεταβητών στα σύνοα αυτά αά εν συνεχεία παύουν να ανανεώνονται

204 96

205 97 4 Είσωση Pss Σχήµα 5 σηµείων Εισαγωγικά : Στο παών εδάφιο δεν παουσιάζεται ε οοκήου η τεχνική αιµητικής επίυσης της είσωσης Pss µε αναγωγή σε επίυση γαµµικού και αγεβικού συστήµατος Κάτι τέτοιο παουσιάζεται σε κάποιο σύγγαµµα αιµητικής ανάυσης χ το [4] ή και σε όποιο άο αναφέει τεχνικές επίυσης εειπτικών ΕΜΠ όπως η Lalac η Pss ή η Hlml Παουσιάζονται όµως οι πάεις και τα σύνοα που α χησιµοποιηούν στην τεχνική αυτή έτσι όπως διαµοφώνονται στο εδώ έµα Κάποιες από τις εδώ χησιµοποιούµενες έννοιες και πααστάσεις εισάγονται αχικά στο επόµενο εδάφιο " 5 Μετασχηµατισµός Είσωση Pss " Για το ανηγµένο σύνοο ποτύπων D από το µετασχηµατισµό των συνόων ποτύπων που εφαµόζουµε εδώ έχουµε την είσωση q µε συνοιακές συνήκες τις : και Οι σχέσεις αυτές είναι ουσιαστικά η ζωνική και η κατακόυφη είσωση της οµής υµένες ως πος τη βαοβαµίδα από " Μετασχηµατισµός Υπεβοικό σύστηµα " Η αναγκαιότητα επίυσης της είσωσης Pss πος ανανέωση της διαταακτικής πίεσης ποκύπτει από το ότι δεν υπάχει στο υπεβοικό µέος του συστήµατος κάποια σχέση µε όο µεικής πααγώγισης της ως πος το χόνο δηαδή δεν υπάχει απ ευείας υ- πεβοική σχέση ανανέωσης της διαταακτικής πίεσης Για το όγο αυτό υοποιείται η µέοδος της ποβοής c m από [5] κατά την οποία ύνεται η είσωση της οµής ως πος την κίση της πίεσης στη συνέχεια επιδούµε εκ νέου µε τον τεεστή της κίσης abla παίνοντας την απόκιση και στα δύο µέη του mmm qa και έτσι ποκύπτει µια σχέση ανανέωσης και για τη διαταακτική πίεση Συνοιακές συνήκες ποκύπτουν από τις αχικές εισώσεις της οµής εποµένως αµβάνονται συνοιακές κατά Nma κάετες παάγωγοι στα σύνοα Η εδώ µοφή της είσωσης Pss συνδέεται άηκτα µε το ότι έουµε το πεδίο των ταχυτήτων να πααµένει µη αποκίνων δηαδή να είναι για κάε χονική στιγµή στα παίσια της ακίβειας των σχηµάτων υ Τόσο η συνάτηση του δευτέου µέους όσο και οι συνοιακές συνήκες αιµητικά εωείται ότι είναι γνωστές ως εής : Η αιµητική οοκήωση εκινά από τις αχικές συνήκες για χόνο έστω για Αυτό που γίνε- ται είναι αχικά να ανανεωούν οι µεταβητές και χησιµοποιώντας αµιγώς τις υπεβοικές σχέσεις µε αποτέεσµα έτσι να υποογισεί το επόµενο στιγµιότυπο ύσης για Με δεδοµένα εισόδου αυτά τα αιµητικά ποφί µποούµε να υποογίσουµε αι-

206 98 µητικά τόσο τη συνάτηση q για κάε πεγµατική έση όσο και τις συνοιακές συνήκες Λύνοντας τότε την Pss µε αυτά τα δεδοµένα εισόδου η ύση που ποκύπτει εωείται ότι ποσιδιάζει στο στιγµιότυπο όπως και οι άες τέσσεις µεταβητές του συστήµατος Με αυτόν τον τόπο κείνει ένας κύκος και για τον επόµενο η ανανεωµένη πίεση α χησιµοποιηεί στο υπεβοικό µέος του συστήµατος στις οές της ζωνικής και της κατακόυφης είσωσης ποκειµένου να υποογισεί εκ νέου το επόµενο στιγµιότυπο για κοκ Αναφοικά µε τη διακιτοποίηση : Επιέγουµε µια διακιτοποίηση ως : όπου : { } και { } ma και ma Έστω ότι η αίµηση των δεικτών άχεται από τη µονάδα Στο σύνοο ποτύπων D ο τόπος πεατώνεται ως : δηαδή µε : [] και H ] [ H H και L H L L όπου οι αποστάσεις και εδώ µετούνται σε µέτα m µε την παάµετο να είναι κααός αιµός Ως H αναπαιστούµε την µέγιστη κα ύος απόσταση στο αχικό σύνοο ποτύπων D όπου µια τυπική τιµή µποεί να είναι χ H 8 m Το L παίνει τιµές 5 6 από έως m Τα χωικά βήµατα που ποκύπτουν δίνονται ως : ma m και ma m ma m H ma m Τα χωικά βήµατα είναι δεδοµένα εισόδου και σε κάε πείπτωση γνωστά και µικότεα της µονάδας κάτι το οποίο επιζητείται και για το σκοπό αυτό κάνουµε και το µετασχηµατισµό στο αχικό σύνοο ποτύπων D

207 99 Αιµητικά σχήµατα αιµητικής επίυσης της Pss : Εδώ υοποιούνται δύο σχήµατα συνδυαστικά Το πώτο είναι µε χήση κεντικών διαφοών δεύτεης τάεως ακίβειας που οδηγεί σε επίυση ενός γαµµικού και αγεβικού συστήµατος πήους εισώσεων και αγνώστων όσες και οι πεγµατικές έσεις και το δεύτεο για βετίωση της ακίβειας είναι η επαναηπτική τεχνική του Lbma Κεντικές διαφοές : Ας δοεί αχικά η σύµβαση επί της χησιµοποιούµενης συµβοογαφίας : Αν είναι αναυτικά για µια συνάτηση κατά τη διακιτοποίηση α είναι αντίστοιχα : Οι διακιτοποιηµένες τιµές και είναι γνωστές ενώ η γαφή κάνει όγο για το σε ποιο στιγµιότυπο αναφεόµαστε Με χήση κεντικών διαφοών Tal για αιµητικό υποογισµό πααγώγου συνάτησης σε σηµείο µε χήση σχήµατος τάεως δύο είναι εν γένει : Έστω η : Είναι : O ή O Για τις µεικές πααγώγους της διαταακτικής πίεσης ποκύπτει : O και O

208 Έτσι το πώτο µέος της είσωσης Pss q ποσεγγίζεται ως : Η συνάτηση του δευτέου µέους δεν έχει διακιτοποιηεί ακόµη αά πος στιγµήν ας γαφεί συνοικά το εής : q q συνοικού σφάµατος O Τίεται αχικά έστω : και Είναι : q q Στη συνέχεια έστω : δηαδή Ποκύπτει : q Θέτουµε επίσης : δ

209 και παίνουµε τεικά για το αιµητικό σχήµα : δ q Η υοποίηση αυτής της είσωσης γίνεται για κάε πεγµατική έση του διακιτού τόπου συ- µπειαµβανοµένων και των συνοιακών σηµείων Για πάνω στα σύνοα φαίνεται απ ευείας ότι κάποιοι δείκτες ποκύπτουν εκτός οίων τα εκεί σηµεία καούνται " s s " ε- πειδή βίσκονται εκτός του τόπου αναζήτησης αιµητικής ύσης Εκεί υοποιούνται οι συνοιακές συνήκες Στα ζωνικά σύνοα α εµφανιστούν οι ζωνικές συνοιακές συνήκες ενώ στα κα ύος σύνοα οι κατακόυφες συνοιακές Παόο που για τα ζωνικά σύνοα εωείται πειοδικότητα εντούτοις δεν είναι απααίτητο να πάουµε τέτοιες συνήκες για τα σύνοα αυτά Για τις τέσσεις γωνίες του διακιτού τόπου εµφανίζονται από δύο συνοιακές συνήκες Κατά την υοποίηση του σχήµατος και των εκάστοτε συνοιακών συνηκών καταήγουµε σε γαµµικό και αγεβικό σύστηµα έστω ως [ A ] { X} { B} όπου ο [A] είναι ο πίνακας των συντεεστών {X} το σύνοο των αγνώστων και {B} το σύνοο των σταεών όων Η µοφή του [A] είναι τέτοια που τον καιστά ba aal πίνακα ένα είδος ααιού πίνακα sas ma Εµφανίζονται πέντε διαγώνιοι µε στοιχεία και δ Αυτός ο πίνακας δεν χονο εείσσεται διότι τα στοιχεία του δεν πειαµβάνουν τιµές συνατήσεων οι οποίες έχουν ητή εάτηση από το χόνο Σε αντίεση µε τον [A] το σύνοο {B} µεταβάεται για κάε στιγµιότυπο και η ανάυση που ακοουεί αποσκοπεί στο να εµφανίσει τις τιµές αυτού του συνόου για κάε χονική στιγµή Το σύνοο {Β} : Οι συνοιακές συνήκες είναι οι : Για το αιστεό ζωνικό σύνοο µε : όπου : Εδώ εωείται ποσεγγιστικά γεωστοφική ισοοπία ώστε να είναι πείπου :

210 το οποίο σηµαίνει ότι η βαοβαµίδα και η επιτάχυνση Cls α είναι πείπου αντίετες Για αυτή τη συνοιακή συνήκη γάφεται ποσεγγιστικά : για και Η µεική παάγωγος πώτης τάης υποογίζεται ποσεγγιστικά µε σχήµα κεντικών διαφοών δεύτεης τάεως ακίβειας Γενικά αν είναι : το σχήµα αυτό δίνει : O Από την ε αιστεών ζωνική συνοιακή συνήκη µε είναι : Για το δεί ζωνικό σύνοο είναι : για Για τα σύνοα αυτά έχουµε εισάγει τις συνατήσεις και Για την εκ δειών ζωνική συνοιακή συνήκη µε α είναι : Οι πααπάνω εισώσεις αντικαιστούν τα " s s " και όταν αυτά εµφανίζονται κατά την υοποίηση του σχήµατος της Pss Το ότι εωούµε πειοδικές συνήκες στα ζωνικά σύνοα αυτό σηµαίνει ότι για κάε συνάτηση είναι : Αν και για τα " s s " αυτό σηµαίνει και : και εντούτοις αν υοποιηεί αυτή η κατασκευή στο σχήµα το σύστηµα δεν α ποκύει ως ba aal και αυτό έχει επιπτώσεις και στον υποογιστικό χόνο αά και στη χήση της µνή-

211 µης AM Ισοδύναµα µποεί να υοποιηεί η ποηγούµενη κατασκευή και πάι ποκύπτει κοινή ύση για την είσωση Pss Για το κάτω κα ύος σύνοο : Αυτό το σύνοο αναπαιστά τυπικά τη µέση στάµη της άασσας Εδώ δεν εωούνται πειοδικές συνοιακές συνήκες αά υπάχει η εής αποποίηση : Εν γένει είναι : µε : Η συνάτηση αυτή αποποιείται στην : εωώντας ότι δεν υπάχει οή οµής δια των κα ύος συνόων ή ισοδύναµα ότι για πάνω στα κα ύος σύνοα είναι συνεχώς Εφαπτοµενική συνιστώσα µποεί να έχει η ταχύτητα υ αά όχι κάετη Έχουµε : Για το πάνω κα ύος σύνοο : Αυτό το σύνοο αναπαιστά την τοπόπαυση Εδώ είναι : 4 Για το σύνοο της συνάτησης του δειού µέους : Από το αιµητικό σχήµα της Pss έχουµε ότι σε κάε πεγµατική έση το δεύτεο µέος δεν είναι µηδέν Ισούται µε τη συνάτηση : q

212 4 της οποίας η µοφή α κατάει το πεδίο των ταχυτήτων µη αποκίνων Αυτή η συνάτηση q αναυτικά ισούται µε : q εν µποεί να δοεί απ ευείας ως αναυτική έκφαση διότι δεν υπάχει αά α πέπει να διακιτοποιηεί αναόγως για να δώσει µια σχέση διαφοών γνωστών τιµών του εκάστοτε στιγµιοτύπου Οι µεικές παάγωγοι που εµφανίζονται εδώ α πέπει να γαφούν ως σχέσεις διαφοών µε τάη ακίβειας το πού δύο διότι αυτή είναι και η ακίβεια µε την οποία υποογίζεται και η πίεση Για τη διακιτοποίηση της q εµφανίζονται εννέα πειπτώσεις οι οποίες είναι για διακιτοποίηση σε : εσωτεικά σηµεία αιστεό ζωνικό σύνοο δεί ζωνικό σύνοο 4 κάτω κα ύος σύνοο 5 πάνω κα ύος σύνοο 6 κάτω αιστεή γωνία 7 κάτω δειά γωνία 8 πάνω αιστεή γωνία 9 πάνω δειά γωνία Για αυτές τις πειπτώσεις η συνάτηση q διακιτοποιείται ως q : Για τα εσωτεικά σηµεία : Εδώ κάε µεική παάγωγος µποεί να διακιτοποιηεί µε χήση σχήµατος κεντικών διαφοών τάεως ακίβειας Είναι :

213 5 Ποκύπτει το σχήµα : q 4 4 Αυτή η παάσταση ποαπασιάζεται επί και ποκύπτει : q 4 4 Η παάσταση αυτή α εµφανιστεί στις τις εισώσεις του συστήµατος } { } { ] [ B X A που α αφοούν εσωτεικά σηµεία δηαδή για δείκτες : } { και } { Για το αιστεό ζωνικό σύνοο : Εδώ οι δείκτες είναι : και } { χωίς να συµπειαµβάνονται και οι γωνίες δηαδή Εδώ µποούµε να ποσεγγίσουµε τη συνάτηση q όπως ακιβώς και ποηγουµένως υοποιώντας πειοδικές συνοιακές συνήκες για τη ζωνική διεύυνση Είναι : q 4 4

214 6 ενώ για το σύνοο } {B είναι : q 4 4 Για το δεί ζωνικό σύνοο : Εδώ οι δείκτες είναι : και } { Οι τιµές της συνάτησης του δευτέου µέους και κατ επέκταση και για το σύνοο } {B είναι κοινές µε το αιστεό ζωνικό σύνοο Είναι δηαδή : q 4 4 όπου είναι q q 4 Για το κάτω κα ύος σύνοο : Εδώ οι δείκτες α είναι : } { και Εδώ δεν είναι δυνατόν να ποσεγγισεί η µεική παάγωγος µε κεντικές διαφοές εποµένως α πέπει να χησιµοποιηεί ένα a σχήµα τάεως O Είναι : O

215 7 Στο σχήµα της q υπάχουν τεις µεικές πααγωγίσεις ως πος Όµως για τα κα ύος σύνοα είναι και το οποίο σηµαίνει ότι α είναι και : Η κάετη παάγωγος δεν ποκύπτει µηδέν αά µε βάση αυτά για την q α είναι : q ιακιτά είναι : q 4 και για το σύνοο } {B : q 4 5 Για το πάνω κα ύος σύνοο : Οι δείκτες είναι οι : } { και Εδώ ποσεγγίζουµε κα ύος µεικές πααγώγους µε baca σχήµατα Το baca τάεως O είναι το : Και εδώ είναι εποµένως η συνάτηση q έχει την ίδια ακιβώς µοφή όπως ανωτέω στην πείπτωση 4 Είναι :

216 8 q 4 και για το σύνοο } {B : q 4 6 Για την κάτω αιστεή γωνία : Για δείκτες : και Οι γωνίες ως πεγµατικά σηµεία ανήκουν και στα δύο σύνοα Για τις µεικές πααγωγίσεις ως πος µποούµε να εφαµόσουµε κεντικές διαφοές µε πειοδικότητα ενώ για τις µεικές πααγωγίσεις ως πος συµπτωτικά πουώνυµα όπως ποηγουµένως όπου όοι οι όοι που πεικείουν είναι µηδέν εκτός από την κα ύος παάγωγό του Είναι δηαδή αναυτικά και εδώ : q Απ ευείας για το σύνοο } {B είναι : q 4 7 Για την κάτω δειά γωνία : Για δείκτες : και q 4

217 9 8 Για την πάνω αιστεή γωνία : Για δείκτες και : q 4 9 Για την πάνω δειά γωνία : Για δείκτες : και q 4 Οι πααπάνω εννέα πειπτώσεις τιµών δεικτών είναι όες όσες χειάζονται ποκειµένου να ποσπεαστούν όες οι πεγµατικές έσεις του διακιτού τόπου Έχοντας την είσωση αι- µητικό σχήµα Pss : q δ συνδυαστικά µε τις συνοιακές συνήκες µποούµε να δούµε µε τι α ισούνται τεικά οι τιµές του συνόου } {B Από το αιµητικό σχήµα της είσωσης Pss : Για τις εισώσεις των εσωτεικών σηµείων : Στο αιστεό µέος της είσωσης αυτής δεν παουσιάζονται δείκτες εκτός του διακιτού τόπου εποµένως εδώ για το } {B οι τιµές του είναι αµιγώς η συνάτηση του δευτέου µέους χωίς την παουσία συνοιακών συνηκών Αν υποτεεί έστω ότι ο δείκτης " m " αιµεί εισώσεις τις είσωσης Pss από το αγεβικό σύστηµα } { } { ] [ B X A δηαδή τότε για τις τιµές του m των εσωτεικών σηµείων α είναι : m B 4 4

218 Για τις εισώσεις του αιστεού ζωνικού συνόου : Εδώ είναι Από το σχήµα της Pss παίνεται : q δ q δ ή δ q εποµένως για τις εισώσεις που γάφονται για το αιστεό σύνοο α είναι για το } {B : m B 4 4 Για τις εισώσεις του δειού ζωνικού συνόου : Από το σχήµα της Pss για είναι : q δ q δ ή q δ

219 Για το σύνοο } {B είναι : m B Για τις εισώσεις του κάτω κα ύος συνόου : Εδώ είναι εποµένως από το σχήµα της Pss είναι : q δ q δ ή δ q Για το } {B είναι : m B 4 5 Για τις εισώσεις του πάνω κα ύος συνόου : Εδώ είναι και παίνεται αντίστοιχα : q δ q δ

220 ή δ q Για το } {B : m B 4 6 Για την κάτω αιστεή γωνία : Εδώ και οι δύο δείκτες έχουν δεσµευµένες τιµές Είναι και από το οποίο ποκύπτει ότι για όες τις γωνίες α έχουµε την εµφάνιση δύο συνοιακών συνηκών στην είσωση Pss Εδώ είναι : q δ δ q δ q Για το } {B είναι : m B 4

221 7 Για την κάτω δειά γωνία : Εδώ είναι και q δ δ q δ q Για το } {B : m B 4 8 Για την πάνω αιστεή γωνία : Εδώ είναι και q δ δ q δ q Για το } {B : m B 4

222 4 9 Για την πάνω δειά γωνία : Εδώ είναι και q δ δ q δ q Για το } {B : m B 4 Εισαγωγή πααµέτων για τους συντεεστές : Στην πάη οι πααπάνω εκφάσεις για τις τιµές του συνόου } {B έχουν κάποιους συντεεστές οι οποίοι δεν χονο εείσσονται αά εατώνται µόνο από τη διακιτοποίηση ουσιαστικά Αυτοί οι συντεεστές υποογίζονται µια φοά στην αχή και για το σκοπό αυτό µποούν να τεούν ως εής : 4 C 4 C ή C C

223 5 C ή C C 4 C 5 C 6 C ή C C 7 C ή 7 4 C C 8 C ή 5 8 C C 9 C όπου είναι και : Για τις εισώσεις των εσωτεικών σηµείων : m B C C 5 4 C C C Για τις εισώσεις του αιστεού ζωνικού συνόου : m B C C 5 4 C C C C 6 Για τις εισώσεις του δειού ζωνικού συνόου : m B C C 5 4 C C C C 6

224 6 4 Για τις εισώσεις του κάτω κα ύος συνόου : m B 7 C C C C C Για τις εισώσεις του πάνω κα ύος συνόου : m B 7 C C C C C Για την κάτω αιστεή γωνία : m B 7 C C C C C C Για την κάτω δειά γωνία : m B 7 C C C C C C Για την πάνω αιστεή γωνία : m B 7 C C C C C C Για την πάνω δειά γωνία : m B 7 C C C C C C

225 7 5 Μετασχηµατισµός του συνόου ποτύπων για την είσωση Pss Εισαγωγικά : Η είσωση Pss αναοίωτα σε κειστή µοφή γάφεται εν γένει για κάε φυσικό σύστηµα συντεταγµένων έστω ως Αν υποτεεί ότι η συνάτηση έχει ητή εάτηση από και για ένα σύστηµα CS κατεσιανό οογώνιας συµµετίας τότε α είναι στο σύστηµα αυτό : q όπου είναι η άγνωστη συνάτηση και q η γνωστή συνάτηση του δευτέου µέους Εφαµόζοντας και εδώ ένα µετασχηµατισµό πάνω στα σύνοα ποτύπων των συνατήσεων αυτών όπως έγινε και σε ποηγούµενα εδάφια η είσωση Pss α πάει την εής µοφή : Στο αχικό σύνοο ποτύπων D είναι : q Στο νέο σύνοο ποτύπων D α είναι : και F G q q F G q Οι δεύτεες µεικές παάγωγοι όπως αυτό ήδη έχει δειχεί συνδέονται ως : κ β α ' και ν µ δ γ ' όπου εωείται : D :[ α β ] [ γ δ ] µε [ α β ] [ γ δ ] στο σύστηµα O και D ':[ κ ] [ µ ν ] µε ' [ κ ] ' [ µ ν ] στο σύστηµα O Για τη εώηση που εετάζουµε εδώ παίνεται να είναι : L ] H ] και [ [ H ' [] ' [ ] όπου L L ο παάγοντας κίµακας και οι σχέσεις µετασχηµατισµού των συντεταγµένων είναι οι : ' και ' Ποκύπτει: ' και ' όπου ο τεεστής της κίσης αν στο σύνοο ποτύπων D γάφεται ως :

226 8 στο νέο σύνοο D παίνει τη µοφή : Με όµοιο τόπος ο τεεστής του Lalac στο σύνοο D για οογώνιο σύστηµα είναι ο : και στο νέο σύνοο D : Εποµένως και η είσωση Pss στο σύνοο D γάφεται ως : q και στο D µετασχηµατίζεται ως : q Στα παίσια του συστήµατος Bsssq : Θέουµε να πάουµε µια τέτοια είσωση Pss για τη διαταακτική πίεση χησιµοποιώντας απώς τις εισώσεις της οµής στο σύνοο ποτύπων D της µη συντηητικής µοφής Θα µποούσαµε να επιδάσουµε µε τον τεεστή στη διανυσµατική είσωση της οµής αά µια ισοδύναµη διαδικασία είναι να επιδάσουµε µε τον τεεστή στη ζωνική είσωση οµής µε τον στην κατακόυφη και να ποσέσουµε κατά µέη Είναι για τη ζωνική είσωση της οµής :

227 9 Για το πώτο µέος είναι : Σε κάε πείπτωση για συνατήσεις οι οποίες αναπαιστούν φυσικές ποσότητες εωούµε ότι αυτές είναι κάσεως τουάχιστον δύο ύπαη και συνέχεια δεύτεης πααγώγου από το οποίο συνάγεται ότι δεν έχει σηµασία µε ποια σειά πααγωγίζουµε µικτή παάγωγο Για το δεύτεο µέος είναι : Από την κατακόυφη είσωση της οµής είναι αντίστοιχα : Για το πώτο µέος : και για το δεύτεο µέος :

228 Ποσέτοντας κατά µέη για το πώτο µέος της είσωσης που ποκύπτει είναι : Για τους ποσετέους που έχουν µεική πααγώγιση ως πος το χόνο είναι : εφόσον ισχύει υ από είσωση συνέχειας Επίσης : αά και : Εποµένως το πώτο µέος δίνει : Ποσέτοντας και το δεύτεο µέος είναι : Λύνοντας ως πος τον όο : α ποκύει : q

229 όπου : q Σε κάε πείπτωση η είσωση Pss πέπει να υεί αιµητικά στον οογώνιο τόπο D µε χήση κάποιου αιµητικού σχήµατος Για τη ύση της χειάζονται επίσης και τέσσεις συνοιακές συνήκες µια για κάε σύνοο δύο για τα ζωνικά σύνοα και άες δύο για τα κατακόυφα Οι εδώ συνοιακές είναι κατά Nma γνώση των κάετων πααγώγων πάνω στα σύνοα οι οποίες ποκύπτουν από τις εισώσεις της οµής Εν γένει είναι από τη ζωνική είσωση της οµής : όπου ύνοντας ως πος την παάγωγο της πίεσης ποκύπτει : ή και : όπου : υ για το σύνοο ποτύπων D και για συνατήσεις που δεν εατώνται από την Για τις κα ύος συνοιακές συνήκες από την κατακόυφη είσωση της οµής είναι : ή και ως :

230

231 6 Το σχήµα Lbma Εισαγωγικά : Η επαναηπτική τεχνική του Lbma είναι µια µέοδος µε την οποία µποούν να υούν εειπτικές ΕΜΠ όπως του Lalac ή του Pss χωίς να καταφύγουµε στην επίυση γαµµικού και αγεβικού συστήµατος ή µποεί να χησιµοποιηεί συνδυαστικά για τη βετίωση της ακίβειας της αιµητικής ύσης Η ακίβεια της ύσης που ποκύπτει µε χήση του σχήµατος Lbma είναι της ίδιας τάεως µεγέους µε τη ύση που ποκύπτει από την επίυση του συστήµατος ακεί να εφαµοστεί το ίδιο αιµητικό σχήµα διακιτοποίησης χ κεντικές διαφοές Tal δεύτεης τάεως ακίβειας σχήµα που υοποιείται εδώ Η τεχνική αυτή ως επαναηπτική χειάζεται κάποιες " αχικές συνήκες " ένα αχικό ποφί ύσης ποκειµένου να µποέσει να εφαµοστεί Αυτό είναι ένα ζήτηµα το οποίο ενδέχεται να την καταστήσει ποβηµατική διότι αυτό το αχικό ποφί ύσης στην πάη α είναι άγνωστο Στην εδώ εφαµογή αυτό το ζήτηµα ύνεται ως εής : Η είσωση Pss που ποκύπτει για την ανανέωση της διαταακτικής πίεσης ύνεται για κάε κύκο όπως ακιβώς και οι υπόοιπες τέσσεις µεταβητές του αµιγώς υπεβοικού µέους Ξεκινώντας από το αχικό ποφί για µε χονο εείσσουµε το σύστηµα για το επόµενο στιγµιότυπο χησιµοποιώντας τις γνωστές αχικές συνήκες στη συνέχεια ύνουµε την είσωση Pss όπου αχικά υοποιούµε µια παααγή της τεχνικής επίυσης του αγεβικού συστήµατος που όµως δίνει ακίβεια από O έως και O Η εφαµογή της επίυσης του αγεβικού συστήµατος στο παόν έµα είναι ιδιάζουσα ύνεται αά η ακίβεια δεν είναι ικανά O Ποκειµένου ακιβώς να βετιωεί η ακίβεια της ύσης της είσωσης Pss υοποιείται επαναηπτικά η τεχνική Lbma για κάε στιγµιότυπο ύσης Η τεχνική Lbma : Η είσωση Pss είναι η : q Για το εδώ CS σύστηµα του συνόου ποτύπων D έχουµε : q Ποκειµένου να έχουµε αποτεέσµατα τάεως ακίβειας O µε τη µέοδο αυτή υοποιούµε και εδώ κεντικές διαφοές Tal δεύτεης τάεως ακίβειας ποσεγγίζοντας τις δεύτεες µεικές πααγώγους της αναυτικής είσωσης Αυτή η ανάυση έχει γίνει στο εδάφιο του αγεβικού συστήµατος " 4 Είσωση Pss Σχήµα 5 σηµείων " και ποκύπτει τεικά το εής : q

232 4 ή q δ µε και δ Στη συνέχεια ύνουµε ως πος τον όο και είναι : q δ Αν υποτεεί ότι ο δείκτης " s " αιµεί επαναήεις δεν συνδέεται µε το στιγµιότυπο η τεική γαφή για το επαναηπτικό σχήµα είναι η : s s s s s q δ Το σύνοο q δεν πειέχει τη διαταακτική πίεση εποµένως δεν µεταβάεται µέσα στην επανάηη αυτή Αυτό το σύνοο είναι γνωστό και ποκύπτει από την έοδο της υοποίησης του υπεβοικού µέους το συστήµατος Η τεχνική αυτή δεν µποεί να υοποιηεί για τα συνοιακά σηµεία του διακιτού τόπου παά µόνο για τα εσωτεικά Εδώ δεν χειάζονται συνοιακές συνήκες για την υοποίηση αυτών των επαναήεων Το σύνοο q έχει υποογισεί για τα εσωτεικά σηµεία από το εδάφιο " 4 Είσωση Pss Σχήµα 5 σηµείων " Είναι : q C C 5 4 C C C Το επαναηπτικό σχήµα για τα εσωτεικά σηµεία α είναι τεικά το : s [ C C δ 5 4 C C C s s s s Ποκειµένου για κάε επανάηη να ανανεώνονται και τα συνοιακά σηµεία χωίς να εωείται απααιτήτως πειοδικότητα εδώ α πέπει να χησιµοποιηούν οι συνοιακές συνήκες ζωνικές και κα ύος οι οποίες όντας συνοιακές κατά Nma πεικείουν µεική πααγώγιση πώτης τάης Αυτές οι παάγωγοι α πέπει να ποσεγγισούν αιµητικά µε κάποιο σχήµα και εν ποκειµένω υοποιούνται σχήµατα συµπτωτικών πουωνύµων τάεως

233 5 6 Παίνεται πιο µεγάη τάη από αυτήν µε την οποία ποσεγγίζονται οι δεύτεες µεικές παάγωγοι ποσπαώντας να ποσεγγίσουµε πιο καά κυίως τις τέσσεις γωνίες του τόπου Εν γένει αν εωηεί µια συνάτηση ως τα σχήµατα που υοποιούνται εδώ είναι τα εής : Για ποσέγγιση πααγώγου µε a σχήµα χησιµοποιώντας σηµεία µόνο από την εκ δειών γειτονία του σηµείου στο οποίο υποογίζεται η παάγωγος : Για ποσέγγιση πααγώγου µε χήση baca σχήµατος είναι : όπου η τάη ακίβειας είναι O 6 Οι συνοιακές συνήκες που εωούνται εδώ είναι οι εής τέσσεις : Για το αιστεό ζωνικό σύνοο : Θεωώντας ποσεγγιστικά γεωστοφική ισοοπία είναι : για { } Για το δεί ζωνικό σύνοο : για { } Για το πάνω κα ύος σύνοο : για { } Για το κάτω κα ύος σύνοο : Για τα κατακόυφα σύνοα εωείται ότι δεν υπάχει οή οµής δια αυτά και είναι : για { } Η διακιτοποίηση αυτών των αναυτικών σχέσεων α δώσει τους ποσεγγιστικούς τύπους µε τους οποίους α µποούµε να ανανεώνουµε τις συνοιακές τιµές της τέσσεα σύνοα του τόπου για πάνω στα

234 6 Για το αιστεό ζωνικό σύνοο : Εδώ είναι a ποσέγγιση : Από τη σχέση : και ύνοντας ως πος α πάουµε τον εής τύπο : s 4 s 5 s C όπου : 4 s 75 s 4 s s C 4 Για το δεί ζωνικό σύνοο : Εδώ είναι baca ποσέγγιση : Έχοντας τη σχέση : ύνοντας ως πος α είναι :

235 7 s s s C s s s s Για το πάνω κα ύος σύνοο : Η ποσέγγιση εδώ είναι baca εφόσον τα σηµεία που εισάγονται στον ποσεγγιστικό τύπο υποογισµού πααγώγου είναι όα από την ε αιστεών γειτονία Είναι : Από τη σχέση : ύνοντας ως πος α είναι : s s s C s s s s όπου τίεται : C Για το κάτω κα ύος σύνοο : Εδώ έχουµε a ποσέγγιση :

236 8 Από τον τύπο : ύνοντας και εδώ ως πος α πάουµε : s s 5 s C s 75 s 4 s s Τέος µένει να υποογισούν και οι τέσσεις γωνίες του τόπου Εδώ υποογίζουµε κάε φοά µε χήση των πααπάνω τύπων τιµές για µεταβοή κατά τη διεύυνση και για και τεικά παίνεται ο µέσος όων αυτών των τιµών Για την κάτω αιστεά γωνία είναι : Αχικά υποογίσουµε µια τιµή µε χήση του a σχήµατος στη διεύυνση : s 4 s 5 s C s 75 s 4 s s Στη συνέχεια έχουµε επίσης τον a τύπο για µεταβοή κατά τη διεύυνση : s s 5 s C και η τιµή για τη γωνία 4 s 75 s 4 s s s παίνεται αυτός ο µέσος όος των πααπάνω δύο τιµών Με όµοιο τόπο υποογίζονται και οι υπόοιπες τεις γωνίες Η τεχνική Lbma συγκίνει αά υπάχουν κιτήια σύγκισης τα οποία πεικείουν και διαίεση υποογισµός ανηγµένων διαφοών Στην εδώ υοποίηση όµως δεν µποεί να υοποιηεί κάτι τέτοιο διότι είναι δυνατόν σε κάποια πεγµατική έση η τιµή της διαταακτικής πίεσης να ποκύπτει µηδέν Αντί για την εφαµογή της τεχνικής µε ένα κιτήιο σύγκισης µε βόχο l για παάδειγµα την υοποιούµε µε ένα ποεπιεγµένο πήος κύκων το οποίο παίνεται πεί του

237 Μέος Γ Παάτηµα

238

239 Καµπυόγαµµες συντεταγµένες στο χώο Ε Σε αυτό το εδάφιο παουσιάζονται κάποιες βασικές σχέσεις µετασχηµατισµού µεταύ φυσικών συστηµάτων συντεταγµένων στο χώο E Χειαζόµαστε τις σχέσεις αυτές δεδοµένου ότι παουσιάζεται η ανάγκη κάποιες εισώσεις να µετασχηµατιστούν σε σφαιικές συντεταγ- µένες γήινες γεωγαφικές από κατεσιανές οογώνιες και το αντίστοφο Επίσης παουσιάζονται και οι γενικές σχέσεις που δίνουν τον τεεστή abla γενικότεα για καµπυόγαµµη γεωµετία Η απόδειη του µετασχηµατισµού : Για το τυχαίο κανονικό και αιστεόστοφο σύστηµα συντεταγµένων εωούµε µια συναοίωτη βάση την ε ε ε µε συντεταγµένες τις Το σύστηµα αυτό δεν εω- είται κανονικοποιηµένο αχικά Είναι όµως αιστεόστοφο και οογώνιο Επίσης εωούµε και το σύστηµα CS Casa cala Ssm το γνωστό κατεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ως µια πείπτωση συστήµατος σταεής βάσης Για το σύστηµα αυτό είναι για την ανταοίωτη βάση σταεή βάση µε συντεταγµένες τις Ένα τυχαίο στοιχείο του χώου E ένα διάνυσµα δηαδή σε κειστή µοφή αναοίωτα aa αναπαίσταται έστω ως Το ότι είναι αναοίωτο σηµαίνει ότι υπό το βάος του οποιουδήποτε µετασχηµατισµού βάσης το πααπάνω σύµβοο δεν µεταβάεται δεν αάζει Αναυόµενο ως πος τη βάση CS α είναι : Αναυόµενο ως πος την οποιαδήποτε άη συναοίωτη βάση α είναι επίσης : ε ε ε Το ότι έουµε να πεάσουµε από ένα σύστηµα συντεταγµένων σε κάποιο άο για να γίνει αυτό α πέπει να υπάχει και µια συναφής γεωµετία τέτοια ώστε να µποούµε να συνδέσουµε τις συντεταγµένες στα δύο συστήµατα µε κατάηες αγεβικές σχέσεις Εν γένει α είναι : Τα στοιχεία της βάσης στο νέο σύστηµα γάφονται ως ο γαµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης του CS συστήµατος εποµένως αυτό σε µια συµπαγή µοφή µποεί να α- ναπαασταεί και ως εής :

240 ε ε ε όπου α είναι δηαδή : ε ε ε µε τη CS βάση γνωστή τα στοιχεία της οποίας ως διατεταγµένα σύνοα αναπαίστανται ως : δ δ δ Τα στοιχεία του πααπάνω πίνακα εν γένει είναι συνατήσεις των συντεταγµένων του συναοίωτου συστήµατος δηαδή είναι : Αυτά τα στοιχεία είναι που πέπει να ποσδιοισούν συνατήσεις άων γνωστών όων Πάνω σε αυτό έχουµε ότι οι πααπάνω σχέσεις µποούν να γαφούν και ως εής : ε ή και ως ε όπου εδώ χησιµοποιείται η συνήκη άοισης του Es Για το διάνυσµα έχουµε : q q q q q q ε εποµένως για τις συντεταγµένες είναι και : q q Επίσης είναι και : άα το οικό διαφοικό αυτών των ανταοίωτων συντεταγµένων γάφεται ως : q q

241 Παίνοντας τώα το οικό διαφοικό του διανύσµατος ως πος τη συναοίωτη µη σταεή βάση α είναι : ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Για τη δεύτεη παένεση έχουµε : ε ε η πααγώγιση δεν αφοά τη CS βάση αυτή εωείται σταεή Είναι : ε ε ε q q q q q q ε Είναι και : εποµένως : q q q q Η πααπάνω γαφή είναι µια τιπή άοιση που δίνει συνοικά 7 όους 9 για κάε συνιστώσα εκάστου ê Μποούµε να δούµε αναυτικά έστω το συντεεστή του ê και µε την ίδια ογική α ποκύπτουν και τα υπόοιπα Είναι οιπόν : q q q q q Ποκύπτει τεικά το εής : ως ο συντεεστής του ê οµοίως και για τα υπόοιπά

242 4 Το πααπάνω γάφεται και ως : Επίσης : q q q q q q q q q q q q q q για } { q εποµένως α έχουµε και : ως το συντεεστή του ê Επίσης : Είναι όµως και : εποµένως τεικά α πάουµε :

243 5 Με την ίδια ογική α πάουµε για την παάσταση : ε ε ε το εής : ê ê ê Ο πώτος όος της πααπάνω παάστασης ε ε ε δηαδή ο ε ε ε γίνεται : ε ε ε ε Αναυτικά : ή Αν ποσέσουµε τους πααπάνω όους α πάουµε την παάσταση : ή ê

244 6 Αν το κάνουµε αυτό δεν α καταήουµε σε κάποια έκφαση για τους συντεεστές διότι τεικά αυτό είναι που ζητείται Παό αυτά αν έσουµε εκ ταυτότητας δηαδή πακτικά αν απώς οίσουµε αυτούς τους συντεεστές ως : τότε αυτή είναι και η µοναδική πείπτωση κατά την οποία το πααπάνω εακοουεί να ισχύει Είναι δηαδή : q q Παίνουµε : ε ε ε όπου ο πίνακας αυτός δίνει το σύνοο ε ε ε ως τη γαµµική επαηία του CS συνόου Η βάση αυτή αχικά δεν είναι κανονικοποιηµένη Η κανονικοποίηση γίνεται ως εής : ε ε ε µήκος m Είναι : ε ή ισοδύναµα και ως : ε

245 7 ή και ως : ε µε εποµένως : ε Οι όοι καούνται και συντεεστές κίµακας οπότε βέπουµε τεικά ότι η συναοίωτη βάση ε ε ε όντας και κανονικοποιηµένη τίεται ως και είναι τεικά : ε ε ε ε και Μετικοί τανυστές σε καµπυόγαµµες συντεταγµένες : Πααέτουµε στη συνέχεια τους φοµαισµούς στο τυχαίο οοκανονικοποιηµένο και αιστεόστοφο σύστηµα συντεταγµένων του χώου Ε Έχουµε στα παακάτω για το συντεεστή κίµακας : ε µε µε ανάυση δηαδή ως πος τη CS βάση και συντεεστές τις πααπάνω συνατήσεις Γαµµικό στοιχείο καµπύης : Επειδή είναι πού σύνηες το σύµβοο να αναπαιστά διάνυσµα έσης ως πος την αχή Ο και ως να αναπαίσταται το γαµµικό στοιχείο της επιβατικής ακτίνας ακτινικά

246 8 ποκειµένου να αποφευχεί κάε σύγχυση πάνω σε αυτό το γαµµικό στοιχείο καµπύης δεσµευµένα α το συµβοίζουµε εδώ ως l Είναι : l Στοιχείο επιφανείας : Έστω ότι κάποια εκ των τιών να είναι σταεή Η διανυσµατική παάσταση επιφανείας δίνεται τότε ως : Έστω cs Το στοιχείο της επιφανείας συµβοίζεται ως S Είναι : S έχουµε να υποογίσουµε το µήκος m του πααπάνω εωτεικού γινοµένου δηαδή Στοιχείο όγκου : Το στοιχείο του όγκου συµβοίζεται ως V Είναι : J D Abs V Ο όος J D Abs είναι η απόυτη τιµή της οίζουσας του Ιακωβιανού πίνακα : J ιανυσµατικοί τεεστές µε χήση του τεεστή abla : Σε συναοίωτο σύστηµα σαν και αυτά που εετάζουµε εδώ ο τεεστής abla δίνεται ως :

247 9 ή Ο τεεστέος πάνω στον οποίο επιδά ο τεεστής γάφεται ως πος τη συναοίωτη βάση και σύστηµα οπότε αν έχουµε µια βαµωτή συνάτηση ας είναι : ενώ αν έχουµε διανυσµατική ας είναι : F ή F Κίση βαµωτής συνάτησης Ga : Απόκιση διανυσµατικής συνάτησης D : F Στοφή διανυσµατικής συνάτησης ή Cl : D F έχουµε δηαδή τον υποογισµό της οίζουσας του πααπάνω πίνακα Λαπασιανή βαµωτής συνάτησης Lalaca :

248 4 Λαπασιανή διανυσµατικής συνάτησης : Εδώ έχουµε την εής διανυσµατική ταυτότητα : F F F εποµένως η απασιανή διανυσµατικής συνάτησης α δοεί σε όους στοφής και κίσης εν τέει Πααγώγιση µη σταεής βάσης : Σε ποές πειπτώσεις πέπει να υποογίζουµε πααγώγους διανυσµάτων τα οποία όµως δεν δίνονται ως πος τη CS βάση εποµένως εφόσον αυτά α δίνονται κατά πείπτωση ως επαηία µη σταεής βάσης η πααγώγιση δεν α αφοά µόνο τις συνιστώσες συντεεστές αά και τα ίδια τα διανύσµατα βάσης Πάνω σε αυτό υπάχει πακτικά µια τεχνική Πώτα γάφουµε τα στοιχεία της βάσης ως πος τη CS πααγωγίζουµε τις εκφάσεις και στη συνέχεια επιστέφουµε πίσω στην αχική βάση Έχουµε ήδη δώσει τον πίνακα µε τον οποίο πενάµε από τη CS σε συναοίωτη βάση Αν συµβοίσουµε τη CS βάση ως A πίνακας στήη και Σ τη συναοίωτη µε την ίδια αναπαάσταση η πααπάνω έκφαση που δόηκε γάφεται και ως : ΑΣ Τ όπου Τ ο πίνακας του µετασχηµατισµού µε στοιχεία τα Όπως αποδεικνύεται ο αντίστοφος πίνακας είναι απώς ο ανάστοφος ώστε να είναι : Α Σ Τ ή Με τον πααπάνω πίνακα επιστέφουµε από τη CS πίσω στην αχική συναοίωτη βάση Είναι : ε

249 4 και : εποµένως εν γένει είναι : όπου έχουµε έσει : µια άη συνάτηση µε ητή εάτηση και από τις τεις συναοίωτες συντεταγµένες και Επίσης εν γένει είναι και : q q q q q q q q q q q q q q q

250 4 Εποµένως : Αν γάουµε την πααπάνω έκφαση σε µια πιο συµπαγή µοφή α πέπει να έχουµε υπ όιν µας το ότι δεν αοίζουµε ως πος τον επανααµβανόµενο δείκτη Εισάγουµε δύο βωβούς δείκτες έστω και q και α έχουµε µια διπή άοιση άα εννέα όους συνοικά : q q q q q το πααπάνω διαχωίσιµα για } { δηαδή για τεις εχωιστές πειπτώσεις Χειάζονται επίσης και οι όοι Είναι : q q Χησιµοποιούµε το γενικό τύπο : και α είναι : ε ε ε ε ε Για τον πώτο όο : Και εδώ χωίς άοιση ως πος το δείκτη είναι : q q

251 4 Ο δεύτεος όος είναι : q q q q ε Συνοικά είναι µε συµβοογαφία ητής άοισης : q q q q q q ή και : q q q q Η πααπάνω είναι µια πού γενική έκφαση Μποούµε τεικά να γάουµε το πααπάνω διάνυσµα ως επαηία της συναοίωτης βάσης χησιµοποιώντας τους τύπους των αντίστοφων µετασχηµατισµών : m m m m

252 44

253 45 Γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες Οισµοί : Οι γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες είναι ουσιαστικά µια παααγή των σφαιικών συντεταγµένων που χησιµοποιούνται συνήως στην ανάυση Οι σφαιικές συντεταγµένες είναι οι φ δηαδή ακτινική απόσταση αζιµουιακή και ποική γωνία αντίστοιχα Οι συντεταγµένες αυτές εφαµόζονται σε συστήµατα σφαιικής συµµετίας και οίζονται µε πααπήσιο τόπο όπως και οι σφαιικές Το σύστηµα εισώσεων των Na Ss αχικά δίνεται σε αναοίωτη µοφή ώστε να ισχύει για το τυχαίο σύστηµα φυσικών συντεταγµένων Όµως ποκειµένου να εφαµοστεί στο σύστηµα του στεφόµενου πανήτη εν ποκειµένω για τη Γη α πέπει να ηφεί υπ όιν η σφαιική συµµετία και οι εδώ χησι- µοποιούµενες συντεταγµένες έχει επικατήσει να είναι οι γήινες γεωγαφικές Η συναφής γεωµετία που µας δίνει τη σχέση µεταύ των κατεσιανών συντεταγµένων του CS συστήµατος και αυτού των γήινων γεωγαφικών δίνεται στο ακόουο σχήµα : Σχήµα # : Οι γήινες γεωγαφικές συντεταγµένες

254 46 Ε οισµού τίεται : Το γεωγαφικό πάτος : Ως γεωγαφικό πάτος la οίζεται να είναι η γωνιώδης απόκιση του τυχαίου ση- µείου M E από το επίπεδο του γήινου ισηµεινού Τίεται να είναι ποσηµασµένα η εής καδική συνάτηση : [ 9 ] πος βοά µε > [ 9 ] πος νότο µε < δηαδή εκινώντας την αίµηση από το επίπεδο του ισηµεινού πος το βόειο γεωγαφικό πόο το γεωγαφικό µήκος αγεβικά αυάνει ενώ αντιέτως πος το νότιο γεωγαφικό πόο αυτό µειώνεται Το γεωγαφικό µήκος : Ως γεωγαφικό µήκος l οίζεται η γωνιώδης απόκιση ενός σηµείου από το µεσηµβινό του Gc Και αυτό οίζεται µέσω της εής καδικής συνάτησης : [ 8 ] πος ανατοάς µε > [ 8 ] πος δυσµάς µε < Και εδώ τα διαφοικά µας δίνουν τη διεύυνση ως πος την οποία είτε αυάνεται είτε και µειώνεται αυτή η γωνία Το υόµετο : Το υόµετο είναι η απόσταση ενός σηµείου από το κέντο της Γης Σε ποές πειπτώσεις κάτι που σχετίζεται ισχυά µε την εκάστοτε κίµακα αν η µέτηση για το αχίσει από τη µέση στάµη της άασσας ΜΣΘ εακοουούµε και κατάµε το ίδιο σύµβοο αά ό- που αχικά ήταν απώς α τίεται a όπου a ας είναι η ακτίνα της Γης Μετασχηµατισµός στο σύστηµα των γήινων γεωγαφικών συντεταγµένων : Εδώ εφαµόζεται η εωεία η οποία διατυπώηκε στο εδάφιο του παατήµατος " Κα- µπυόγαµµες συντεταγµένες στο χώο E " Ασχοούµαστε µε συστήµατα τα οποία από κατασκευής τίενται να είναι οοκανονικά και αιστεόστοφα Το ότι είναι αιστεόστοφα σηµαίνει ε Χησιµοποιούµε το ε της αντιµετάεσης και αυ- τό σηµαίνει ότι έχει σηµασία µε ποια σειά γάφονται οι δείκτες και Αυτή η σειά είναι απούτως καοισµένη και α πέπει να διατηείται αυστηά Μποεί στις σφαιικές το σύστηµα να είναι να υπάχει ένα πος ένα αντιστοιχία φ φ για το εδώ σύστηµα είναι και η εδώ βάση γάφεται ως

255 47 Από το πααπάνω σχήµα τώα έχουµε τις εής σχέσεις : Εποµένως είναι : µε νέες συντεταγµένες τις : και συναοίωτη βάση : s s cs cs cs cs cs cs s s cs s cs cs s cs s Εδώ ακοουείται η διαδικασία εύεσης της νέας βάσης αχικά όχι κανονικής την οποία όµως και κανονικοποιούµε µε χήσω των συντεεστών κίµακας Είναι : cs cs s cs s Είναι : ε για { } Για : ε s cs cs cs

256 48 Για : ε cs s s s cs Για : ε cs cs s cs s Για τους συντεεστές κίµακας είναι : s cs cs cs s cs cs cs s cs cs cs s cs cs cs cs cs cs cs Από κατασκευής είναι εποµένως γωνίες από 9 µέχι και ετικοί Επίσης : Επίσης είναι και cs για 9 εποµένως και οι δύο αυτοί όοι είναι αγεβικά παντού cs s s s cs cs s s s cs cs s s s cs cs s s s cs cs s s cs και : cs cs s cs s cs cs s css cs cs s cs s

257 49 cs cs s cs s cs s cs s Είναι : cs Τα κανονικοποιηµένα διανύσµατα ποκύπτουν ως : ε Συνοικά : ê s cs cs cs s cs cs ê cs s s s cs ê cs s s s cs cs cs s cs s s cs cs s s s cs cs cs s cs s Σε µοφή πινάκων είναι : Από την ανταοίωτη CS στη συναοίωτη ευύς µετασχηµατισµός : s cs s cs cs cs s s s cs cs s Από τη συναοίωτη πίσω στην ανταοίωτη αντίστοφος µετασχηµατισµός : s cs cs s s s cs cs cs s cs s

258 5 Οι πίνακες αυτοί βίσκουν εφαµογή κατά την πααγώγιση διανυσµάτων των γήινων γεωγαφικών συντεταγµένων Μετικοί τανυστές : Εδώ εφαµόζουµε τους τύπους από το ποηγούµενο εδάφιο Είναι : Γαµµικό στοιχείο καµπύης : l l cs Στοιχείο επιφανείας : Είναι : S S για σταεό υόµετο D s cs cs cs cs s s s cs cs cs s cs s cs s cs s cs cs cs s cs cs s Το µήκος του πααπάνω διανύσµατος είναι το : cs cs s cs cs s cs s cs cs s cs cs 4 Είναι : S cs

259 5 Στοιχείο όγκου : J D Abs V Η οίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα είναι : D s cs cs s s s cs cs cs cs s cs cs s D cs s s s cs s cs cs s cs cs cs cs cs cs s cs άα είναι : V cs Οι τεεστές σε όους abla : Για τις συνατήσεις οίσµατα εωούµε : και : F Κίση βαµωτής συνάτησης : Είναι : cs Απόκιση διανυσµατικής συνάτησης : F

260 5 F cs cs cs cs cs s cs a cs εποµένως : F a cs Στοφή διανυσµατικής συνάτησης : D F F D cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs Λαπασιανή βαµωτής συνάτησης :

261 5 cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs s cs cs a cs a cs Πααγώγιση της βάσης των γήινων γεωγαφικών συντεταγµένων : Εδώ χησιµοποιούνται οι πααπάνω πίνακες µετασχηµατισµών Οι σχέσεις είναι οι : cs s cs s s s cs s cs s cs cs και οι αντίστοφες οι : cs cs s cs s cs s s s cs s cs Για το πώτο διάνυσµα βάσης : cs s cs s cs s s cs

262 54 Εδώ επιστέφουµε στην αχική βάση τη συναοίωτη : cs cs s cs s cs cs s s s cs s s cs cs s s cs cs s cs cs s s cs s Για το δεύτεο διάνυσµα βάσης : cs s s s cs cs s s s cs s cs cs cs s s s cs s s cs s cs cs s s cs cs s s cs cs cs s cs s cs s s s s cs cs s cs s s s cs cs s s cs cs s cs s cs s cs s s s cs s cs s cs cs cs s cs s cs s cs s s Για το τίτο διάνυσµα βάσης : s cs s cs cs s cs s cs cs s cs s cs cs cs cs s cs cs s

263 55 s s cs s cs cs s s cs s cs cs cs cs s s cs s s s cs cs cs s s cs cs s s cs cs cs s s cs s cs s cs s cs s cs s s s cs cs s cs cs cs s cs s cs s cs s cs s cs Συνοικά είναι : s cs s cs Για το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας : Ισχύει σε κειστή µοφή για κάε συναοίωτο η εής σχέση : Ω Η πααπάνω σχέση για { } δίνει τη γαφή για το διάνυσµα αυτό Έστω : Για : ΩΩ Ω Ω Ω DΩ Ω Ω Ω Ω s & cs &

264 56 Για : Ω DΩ Ω Ω Ω Ω s & & Για : Ω DΩ Ω Ω Ω Ω cs & & Από τις πααπάνω σχέσεις πέπει να είναι : όπου : Ω & Ω cs & Ω s & & και & Στους πααπάνω φοµαισµούς εωούµε ότι οι µεταβητές έχουν ητή εάτηση από µια ανεάτητη µεταβητή τυπικά το χόνο ώστε να είναι : και δηαδή ότι η έση του σηµείου M E α εείσσεται Ποκύπτει για τη γωνιακή ταχύτητα στις γήινες γεωγαφικές το εής : ΩΩ & cs & s & Σε εώηση κατά την οποία εωείται ότι η έση του σηµείου αάζει ως συνάτηση κάποιας ανεάτητης µεταβητής αυτό που καείται ταχύτητα είναι η εής παάσταση : l υ όπου l το γαµµικό στοιχείο καµπύης έκφαση η οποία έχει υποογισεί Είναι οιπόν : υ cs & & &

265 57 Ισχύει δε και το εής : Ω D & cs & s & cs & & όπου το διάνυσµα έσης του σηµείου Μ δίνεται απά ως : Συγκίνοντας τις πααπάνω δύο σχέσεις α είναι : υ Ω & Η πααπάνω σχέση δείχνει ποιοτικά ότι το al a ca πάνω στη έση του σηµείου M ποκύπτει από δύο όους Ο πώτος έχει να κάνει µε το al a ca του al aal al δηαδή αυτό που µετάει η γωνιακή ταχύτητα ο δεύτεος όος δίνει µεταβοή του µήκος του διανύσµατος Έχει αναφεεί ότι το διάνυσµα µε τη γεωµετική του έννοια και σηµασία συνίσταται σε µήκος και σε ποσανατοισµό διεύυνση Όταν το διάνυσµα έσης που αναπαιστά τη έση εάου µεταβάεται τότε ισχύει ότι µεταβάεται επίσης το µήκος ή / και ο ποσανατοισµός Η ταχύτητα τα µετάει αµφότεα η γωνιακή ταχύτητα µεταβοές µόνο πάνω στον ποσανατοισµό ασχέτως του αν µεταβάεται το µήκος ή όχι Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας µποεί να τεεί και ως : γ Ω Ω Ω Ω Abs όπου ως γ τίεται ο όος εκείνος ο οποίος µετάει µεταβοές µόνο του ποσανατοισµού της διεύυνσης δηαδή του διανύσµατος και όχι µεταβοή πάνω στο µήκος m αυτού Είναι : Ω Ω Ω & cs & s & & & Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας είναι πού σηµαντικό και για την τεική γαφή του συστήµατος των Na Ss Εκεί υπάχουν δύο γωνιακές ταχύτητες η µία του µη αδανειακού συστήµατος η άη του σώµατος το οποίο κινείται στο χώο σχετικά ως πος το αδανειακό και οι πααπάνω σχέσεις βίσκουν εφαµογή εκεί

266 58

267 59 Γεωστοφική οή εµικός άνεµος και η συνάτηση οής Scal στις εισώσεις της κίνησης & γεωστοφική οή : Η έννοια του scal και η συναφής µε αυτήν την έννοια µαηµατική µέοδος αποποίησης των εισώσεων παουσιάζονται στο εδάφιο της εωητικής εισαγωγής " 4 Scal και ο α- ιµός ssb " Εδώ αναφέονται κάποια βασικά στοιχεία όπου µέσω αυτών καταήγουµε σε γεωστοφική ισοοπία και εν συνεχεία και στο εµικό άνεµο Έστω ότι έχουµε τις εισώσεις της οµής διαχωίσιµα σε οιζόντιο επίπεδο και σε κατακόυφη διεύυνση Είναι γενικά : # # Για τη σχέση # γάφουµε ποιοτικά οιζόντιο επίπεδο : F PGF Cls Υπάχουν πειπτώσεις κατά τις οποίες παατηείται για το οιζόντιο επίπεδο µια ισοοπία τέτοια ώστε η βαοβαµίδα να αντισταµίζεται έστω και ποσεγγιστικά από την επιτάχυνση Cls έτσι ώστε να είναι : F ή ισοδύναµα : PGF Cls # Σε αυτήν τη πείπτωση έχουµε τη εγόµενη " γεωστοφική ισοοπία " sc balac όπου για την οιζόντια ταχύτητα γάφουµε : µε τον δείκτη " " να υποδηώνει το πααπάνω Στην πααπάνω κατάσταση µποούµε να καταήουµε και µε ένα διαφοετικό συογισµό µέσω της τεχνικής του scal ως εής : Εισάγουµε κάποιες αντιποσωπευτικές τάεις µεγέους για την κίµακα του µήκους του χόνου και της ταχύτητας τα εγόµενα scal acs L T και U και συγκίνουµε την τάη µεγέους της σχετικής επιτάχυνσης µε την αντίστοιχη της επιτάχυνσης Cls Αυτό γί- νεται γάφοντας τους όους αυτούς ως ανηγµένες αδιάστατες ποσότητες οι οποίες α είναι όες τους της αυτής τάης µεγέους O δηαδή µονάδες Πάνω σε αυτό αναφέεται : L L U U όπου T L T U

268 6 όπου τα σύµβοα και αντιστοιχούν σε αδιάστατες µεταβητές όες τους τάεως µεγέους O Για την παάµετο Cls ισχύει και ασχέτως αν υπάχει ή όχι το φαινόµενο βήτα Ο όος της σχετικής επιτάχυνσης γάφεται : ενώ για την επιτάχυνση Cls α είναι : U U U T T L U U Οι ανηγµένοι όοι και είναι της ίδια τάης µεγέους οι συντεεστές όµως όχι Η σύγκιση αυτών αφοά τους συντεεστές Πάνω σε αυτό παίνεται ο όγος του συντεεστή της σχετικής επιτάχυνσης πος το συντεεστή της επιτάχυνσης Cls ο οποίος οίζει τον αιµό του ssb ως : U L Αν είναι << χ O τότε αναγόµαστε στη γεωστοφική ισοοπία εωώντας ότι όος της σχετικής επιτάχυνσης οιζοντίως α είναι πού µικός Από τη σχέση # παίνουµε τις ακόουες δύο σχέσεις για τις συνιστώσες της ταχύτητας του γεωστοφικού ανέµου / οής : και Η συνάτηση οής sam c : Αποκειστικά και µόνο για εώηση γεωστοφικής οής µποεί να γίνει και η ακόουη αναγωγή Είναι : Ας υποτεεί ότι είναι επιπέον : ή cs σε κάε πείπτωση δε να είναι :

269 6 Τότε έχουµε : Ο δεύτεος και ο τέτατος όος είναι ικανά µηδέν ηαδή είναι : Ο τίτος όος δεν είναι µηδέν ικανά Εν γένει είναι : β όπου και β σταεές Έχουµε : β Αυτός ο όος α είναι µηδέν εάν και εφόσον εωήσουµε σταεή παάµετο Cls χωίς την παουσία του φαινόµενου βήτα ώστε να είναι από κατασκευής εώησης β Επο- µένως για και β τότε και µόνο τότε α ισχύει : Η γεωστοφική συνάτηση οής εισάγεται µε ποούς τόπους Ε οισµού µποούµε να έσουµε : ή η σχέση της µε την οιζόντια γεωστοφική ταχύτητα είναι η : δηαδή και : και

270 6 Η φυσική σηµασία της συνάτησης οής α σχετίζεται µε το εκάστοτε υοποιούµενο µοντέο Ειδικότεα για µοντέα διαστωµάτωσης α είναι : Ας πάουµε για παάδειγµα την ανεαστική ποσέγγιση Με τις εκεί αναγωγές και αποποιήσεις τεικά καταήγουµε να έχουµε τον όο : δ δ φ φ ο οποίος εκφάζει τη διαταακτική πίεση Η διαταακτική αυτή πίεση αποποιείται πεεταίω µέσω της εής γαφής φ φ φ Η συνάτηση οής εκεί συνδέεται µε φ τον όο φ ως δηαδή για το µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης επί πααδείγµατι η φυσική σηµασία της εκεί συνάτησης οής είναι ότι δίνει αποκίσεις από τη διαταακτική πίεση δηαδή αποκίσεις των διατααχών δηαδή τη διατααχή της διατααχής Το σηµαντικό µε τη συνάτηση οής είναι ότι ενώ αχικά µποεί να έχουµε ένα σύστηµα 4 4 εωώντας υδόσταση µε άγνωστες συνατήσεις τις δύο συνιστώσες της οιζόντιας ταχύτητας τη διαταακτική πίεση και µια ανηγµένη διαταακτική άνωση µε κατάηες αναγωγές παίνουµε µια µόνο είσωση η οποία για εδώ α είναι η qas sc al c qa όπως α δούµε παακάτω µε άγνωστη συνάτηση την όπου βίσκοντας αυτήν ως ύση µε αντιστοφή µποούµε να βούµε και τις άες τέσσεις απ ευείας Ο εµικός άνεµος mal balac : Ο εµικός άνεµος ποκύπτει από το συνδυασµό της γεωστοφικής ισοοπίας και της υ- δοστατικής ποσέγγισης πάνω σε κάποιο µοντέο διαστωµάτωσης Εν ποκειµένω για την ανεαστική ποσέγγιση είναι : Οι εισώσεις της οµής είναι γενικά οι : φ φ και ba Θεωώντας γεωστοφική ισοοπία και υδοστατική ποσέγγιση α είναι : φ φ και ba b a φ Από τη γεωστοφική ισοοπία είναι : φ και φ Πααγωγίζοντας κα ύος τις πααπάνω σχέσεις α είναι : φ φ φ ba #4

271 6 οµοίως και : b a #5 όπου δ b a η διαταακτική άνωση Οι σχέσεις #4 και #5 οίζουν τις συνιστώσες του εµικού ανέµου ως τις κα ύος µεικές πααγώγους του γεωστοφικού ανέ- µου Μια σχέση η οποία εµφανίζεται και στο εδάφιο του " 5 Qas Gs QG " είναι και η ακόουη : Έχουµε την παάσταση : a b b b a a b b a a b b b b a a a a Η σχέση αυτή αναφέεται απώς ως πααποµπή για το εκεί εδάφιο Σχηµατικές αναπααστάσεις γεωστοφικής ισοοπίας : Παακάτω δίνονται εποπτικά από [7] εκείνες οι πειπτώσεις κατά τις οποίες η ατµοσφαιική οή δίνει σταεή διανυσµατικά ταχύτητα ή και κατά καή ποσέγγιση όπου µε βάση το δεύτεο αίωµα της κίνησης για στεφόµενο πανήτη και αγνοώντας όους τιβών α έχου- µε ίσες και αντίετες τις δώσες δυνάµεις όπου για εδώ είναι απώς η Cls και η βαοβαµίδα PGF : Σχήµα # : Ακιβής γεωστοφική οή Παάδειγµα από [7]

272 64 Σχήµα # : Ακιβής γεωστοφική οή Παάδειγµα από [7] Σχήµα # : Κυκωνικό σύστηµα Η µη ακιβής γεωστοφική ισοοπία οδηγεί στην εµφάνιση κεντοµόου επιταχύνσεως PGF > Cls από [7]

273 65 Σχήµα #4 : Αντί κυκωνικό σύστηµα Εδώ είναι PGF < Cls από [7] Τα πααπάνω σχήµατα παίνονται από το [7] Από το εδάφιο των αποτεεσµάτων ήδη αναφέεται ότι η βαοβαµίδα ως διάνυσµα έχει φοά πος την εκάστοτε πειοχή των χαµηότεων πιέσεων Η επιτάχυνση Cls από την άη είναι ένα διάνυσµα από κατασκευής πάντα κάετο στο διάνυσµα της ταχύτητας υ για το οιζόντιο επίπεδο µε φοά που δίνεται από το σχήµα : α Ω υ C όπου υ η σχετική ταχύτητα που εµφανίζεται στις εδώ εισώσεις και Ω το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας της Γης Η φοά της δύναµης αυτής εατάται από την ταχύτητα και δεν είναι κάτι το σταεό Τα πααπάνω σχήµατα # #4 δίνουν χαακτηιστικές πειπτώσεις οών όπου στο # έχουµε στωτή οή στο # συγκίνουσα οή στο # ένα κυκωνικό και στο #4 ένα αντί κυκωνικό σύστηµα Σε όες αυτές τις πειπτώσεις φαίνεται από τα πααπάνω ποιοτικά σχήµατα ότι είναι δυνατόν να είναι σχηµατικά PGF Cls ή και πείπου µηδέν εποµένως από τις εισώσεις της οµής α πάουµε σταεή διανυσµατικά ταχύτητα για τις πειπτώσεις της στωτής οής # και # ενώ για τα κυκωνικά συστήµατα # και #4 υπάχει µια συνιστάµενη δύναµη κεντοµόος που συντηεί την εκεί κυκική οµαή κίνηση η οποία δίνει σχεδόν γεωστοφική ισοοπία

274 66

275 67 4 Βασικά στοιχεία εµοδυναµικής Εισαγωγικά : Η εµοδυναµική όπως και η µηχανική των ευστών εωούν την ύη ως κάτι το συνεχές Από τη µια η µηχανική των ευστών ως εωεία ποσφέει πηοφοία για την κινητική κατάσταση του µέσου ενώ η εµοδυναµική κάνει όγο για την ενεγειακή κατάσταση αυτού Στο σύστηµα Na Ss εµφανίζονται πέντε άγνωστες συνατήσεις οι τεις συνιστώσες της ταχύτητας η πυκνότητα και η πίεση Το σύστηµα αυτό εποµένως δεν µποεί να εωηεί ως κειστό διότι αχικά υπάχουν τεις εισώσεις και πέντε άγνωστοι Μια τέτατη είσωση είναι η είσωση συνέχειας της µάζας µε άγνωστες συνατήσεις τις τεις συνιστώσες της ταχύτητας και την πίεση εποµένως χειαζόµαστε άη µια σχέση στην οποία α πέπει να εµφανίζεται η πίεση Μια τέτοια σχέση δεν ποέχεται από τη µηχανική όµως αά από άες εωήσεις οι οποίες σχετίζονται µε ενεγειακές ιδιότητες της ύης και µε βάση αυτό ποκύπτει η αναγκαιότητα να εισαχούν και ενεγειακές εισώσεις στο σύστηµα οι οποίες ποέχονται από τη εµοδυναµική Σε όα τα συστήµατα µποεί να υπάει µια καταστατική είσωση ως αγεβική σχέση η οποία συνδέει καταστατικές µεταβητές δίνοντας έτσι έναν επιπέον δεσµό Στην πάη είτε έχουµε σύστηµα αείου όπως στην ανεαστική ποσέγγιση είτε και υγού όπως στην ποσέγγιση Bsssq στις εκάστοτε καταστατικές εισώσεις υπεισέχεται ακόµη µια ά- γνωστη συνάτηση η εµοκασία και ποκειµένου να εωηεί το σύστηµα τεικά ως κειστό εισάγεται και το πώτο εµοδυναµικό αίωµα το οποίο εάου εκφάζει την αχή διατήησης της ενέγειας γενικότεα Έτσι στη γενική πείπτωση καταήγουµε σε ένα σύστηµα έι εισώσεων µε έι αγνώστους Καταστατικές µεταβητές και σύνδεση µε τη µηχανική εώηση : Είτε έχουµε µια ενεγειακή εώηση είτε και µια αµιγώς µηχανική ποκειµένου να µποούµε να γάουµε φοµαισµούς οι οποίοι α δύνανται να πειγάφουν κάποιο φαινόµενο α πέπει τα σύµβοα τα οποία αναπαιστούν φυσικές ποσότητες να είναι σε έση να απεικονίζουν αυτές τις ποσότητες µε µονοσήµαντο τόπο ένα πος ένα Έχουµε για παάδειγµα έννοιες όπως η " έση " η " ταχύτητα " η " πυκνότητα " η " εµοκασία " η " εντοπία " κπ µεγέη τα οποία εκφάζουν φυσικές ποσότητες Η " έση " για παάδειγµα αναπαίσταται ως " " όπου για κάποιο σύστηµα αυτό αναύεται και ως : Αυτές οι " συντεταγµένες " και είναι πωτογενώς απ ευείας παατηήσιµα µεγέη έτσι ώστε µε χήση µιας απεικόνισης ένα πος ένα να µποούµε να οίζουµε αυτή τη " έση " αυτή τη φυσική ποσότητα µε µονοσήµαντο τόπο όπως αυτό νοείται µακοσκοπικά Σε κάε ένα στοιχείο του συνόου ποτύπων χωικά α αντιστοιχεί µοναδικό στοιχείο του εκάστοτε συνόου αφίεως σώµα αιµών ή και διανυσµατικός χώος από το οποίο α παίνει τιµές µια φυσική ποσότητα µέσω της εκάστοτε απεικόνισης Το πααπάνω δεν αφοά µόνο έννοιες όπως έση ταχύτητα επιτάχυνση στοφοµή γωνιακή ταχύτητα και οιπές µηχανικές " καταστατικές " µεταβητές αά και αµιγώς εµοδυναµικές Με βάση αυτό εµοδυναµικές έννοιες µποούν να αναπαασταούν ως βαµωτά " πεδία " Οι κυίαχες εµοδυναµικές µεταβητές είναι οι εής :

276 68 Πυκνότητα : Πίεση : Όγκος : V ισοδύναµα η πυκνότητα Θεµοκασία : Τ Εντοπία : Η Χηµικό δυναµικό : µ Χηµική σύσταση : S ή αµυότητα για υγά υγασία για αέια Όες τους α πέπει να νοούνται ως συνατήσεις µε ητή εάτηση από τη έση και το χόνο Για να οισεί καώς µονοσήµαντα µια συνάτηση α πέπει να δοούν τα εής τία στοιχεία που την ταυτοποιούν και τη διαχωίζουν από οποιαδήποτε άη : Ποια είναι η διαδικασία δηαδή ποιος είναι ο τεεστής έστω Ποιο είναι το σύνοο ποτύπων έστω Α Ποιο είναι το σύνοο αφίεως έστω Β Συνήως συµβοίζουµε µια συνάτηση ή απεικόνιση ως : : Α Β ή ως Β Α Και για µηχανικές µεταβητές αά και για εµοδυναµικές το σύνοο ποτύπων χωικά δεν µποεί παά να είναι το σώµα όπου για κάε χονική στιγµή α παίνουµε και µια τιµή για το εκάστοτε µέγεος Για παάδειγµα έχουµε τη εµοκασία T µια έννοια ένη ως πος τη µηχανική Θα πέπει να τη νοήσουµε ως συνάτηση έσης χόνου : T T T T οµοίως και για κάε άη εµοδυναµική καταστατική µεταβητή ηαδή αν µποούµε να έχουµε µια ένα πος ένα απεικόνιση µηχανικώς και εµοδυναµικώς εννοούµενο όπου σε κάε ένα στοιχείο του σώµατος για κάε χονική στιγµή να αντιστοιχεί µια και µόνο µια τιµή για την όποια φυσική ποσότητα τότε αυτή η ποσότητα α αναπαιστά " καταστατική " µεταβητή Σε αντιδιαστοή µε όα τα πααπάνω υπάχουν δύο πού σηµαντικά φυσικά µεγέη τα οποία δεν αντιστοιχούν σε καταστατικές µεταβητές Είναι η εµότητα Q και το µηχανικό έγο W εν υπάχουν απεικονίσεις τέτοιες ώστε να µποούµε να αντιστοιχίζουµε σε κάποιο σύνοο αφίεως για τα µεγέη Q και W τιµές εκινώντας από το σύνοο αφίεως

277 69 Εκτατικές και εντατικές καταστατικές µεταβητές : Από τις πααπάνω εµοδυναµικές καταστατικές µεταβητές υπάχουν κάποιες των οποίων οι τιµές εατάται και από το εκτατό του συστήµατος ή µε άα όγια από το πόση ποσότητα ύης ή µάζας αυτό πεικείει Αυτές καούνται ειδικότεα και εκτατικές µεταβητές και είναι οι V H και S ενώ όες οι άες δεν εατώνται από το εκτατό και καούνται εντατικές Όταν γίνεται αναγωγή ως πος τη µάζα για να παούν ειδικά scc µεγέη αυτή η αναγωγή αφοά µόνο τις εκτατικές µεταβητές Για τις πααπάνω µε αναγωγή ως πος τη µάζα γάφουµε : V a scc lm m H η scc m S s scc cmcal cms m Η πααπάνω αναγωγή αφοά και όες τις εεύεες ενέγειες τη εµότητα και το έγο Η έννοια της καταστατικής είσωσης Eqa sa : Οι καταστατικές εισώσεις είναι αγεβικές σχέσεις οι οποίες συνδέουν εµοδυναµικές καταστατικές µεταβητές µεταύ τους δίνοντας έτσι έναν επιπέον δεσµό για το εκάστοτε σύστηµα Στην πειοηφία τους ποκύπτουν εµπειικά Ένας τέτοιος δεσµός µποεί να εισαχεί αναυτικά ως εής : T η S µ Για τα ιδανικά αέια υπάχει µια σχέση η οποία ποέκυε ιστοικά από τους νόµους των Bl Ma και Cals Ga Lssac για την οποία είναι : T Για µη ιδανικά αέια υπάχουν άες σχέσεις που σχετίζονται µε το εκάστοτε µοντέο Για τα υγά µποούν να ποκύουν ποές καταστατικές εισώσεις Πακτικά ποκύπτουν ως α- ναπτύγµατα Tal κάποιας τάης Για το µοντέο του ιδανικού αείου : Ποκύπτει : V mt όπου η σταεά του πααπάνω τύπου είναι η σταεά του εκάστοτε ιδανικού αείου σε αντιδιαστοή µε την παγκόσµια σταεά των αείων έστω αναγωγή ως πος τη µάζα είναι : a T όπου είναι και : * Με

278 7 m V V m a Θα είναι τεικά : T Η σχέση αυτή δίνει την πίεση ως συνάτηση των και Τ Αν γαφεί πήως η πααπάνω σχέση α είναι έστω για οογώνια συµµετία από αυτό το σηµείο και κάτω : T T Το ότι γάφεται αχικά : T αυτό δεν σηµαίνει ότι η πίεση είναι συνάτηση της πυκνότητας και της εµοκασίας µέσω µιας σχέσης οισµού ως : T Η πίεση ε- ατάται ητά από έση και χόνο και οίζεται ως η δύναµη ανά µονάδα επιφανείας Εποµένως ακόµη και αν χησιµοποιήσουµε την πααπάνω γαφή T αυτό α πέπει να νοείται ως εής : ότι οι συνατήσεις και Τ είναι απώς συνατησιακά εατη- µένες στο κοινό σύνοο ποτύπων τους κάποιο υποσύνοο του σώµατος το ο- ποίο ε οισµού σηµαίνει ότι υπάχει µια σχέση της µοφής T για τον πααπάνω κοινό τόπο οισµού έτσι ώστε η όποια εκ των τιών να µποεί να υεί ως πος τις άες δύο Αυτή η συνατησιακή εάτηση είναι που δίνει και το ζητούµενο αγεβικό δεσµό Μια σύνδεση µε την έννοια του στοιχείου του όγκου lm lm : Αν εωήσουµε µια εµοδυναµική κατάσταση µε αναφοά ως πος κάποιο στοιχείο όγκου ή και σηµειακά έστω ως : M T ένα διατεταγµένο σύνοο η γαφή αυτή αναπαιστά το εής : Στο σηµείο του χώου τη χονική στιγµή οίζονται µονοσήµαντα τεις καταστατικές µεταβητές οι και T για τις οποίες ισχύει και ο δεσµός T Ο όγος γίνεται ως πος το στοιχείο του όγκου εποµένως µεταβοή της πααπάνω εµοδυναµικής κατάστασης κατά M α σηµαίνει ότι εν γένει αάζουν και οι τεις µεταβητές κατά και T ε αιτίας του ότι ο στοιχείο του όγκου αάζει µετατοπίζεται Γάφουµε χ για την πίεση παίνουµε το οικό διαφοικό της Αυτό σηµαίνει : υ δηαδή ε αιτίας της µετατόπισης του lm lm αάζουν τα κατά ενώ και για το χόνο είναι Οµοίως και για και Τ Εποµένως ε αιτίας του γεγονότος ότι το lm lm µετατοπίζεται είναι αυτό το αίτιο το οποίο µεταβάει τις και Τ άα και την κατάσταση Μ κατά M Η καταστατική είσωση ισχύει παντού και για κάε χονική στιγµή µέσα στο ευστό εποµένως και για το lm lm Με βάση αυτό οι πααπάνω µεταβοές συνδέονται και µε την εής διαφοική σχέση : T

279 7 Είναι : T T T T T T T T T T T T T T T T T Εισώνοντας τους συντεεστές των διαφοικών α είναι : T T για } { Αν υποτεεί ότι η εµοκασία πααµένει σταεή δηαδή για ισόεµη µεταβοή α είναι : T T T T T T T T Οµοίως να πάουµε µεταβοή για σταεή πυκνότητα α είναι επίσης : T T T Παίνουµε τις εής δύο σχέσεις : T T και T σχέσεις οι οποίες ισχύουν τεικά και για µια αµιγώς εµοδυναµική εώηση ε αιτίας του ότι ισχύει και µια σχέση της µοφής T Εποµένως είναι και : T T T T T

280 7 Γάφεται χ T οι παγµατικά ανεάτητες µεταβητές είναι οι και Ας υποτεεί ότι δεν έουµε την ακιβή µοφή της πααπάνω συνατησιακής σχέσης T Θεωούµε ότι είναι δυνατόν να υεί ως πος την όποια µεταβητή δηαδή να ισχύει το εώηµα των πεπεγµένων συνατήσεων και έστω µια άγνωστη σχέση ως : T Εδώ δεν παίνεται το οικό διαφοικό αά ένα πουωνυµικό ανάπτυγµα κατά Tal Εν γένει είναι :! T T T T T Για πώτης τάης ανάπτυγµα είναι : T O T T T T T T T Θέτουµε αποποιώντας τη γαφή : T T και T T T όπου η µεική πααγώγιση υπονοεί σε κάε πείπτωση ότι οι όποιες άες µεταβητές α πααµένουν σταεές Είναι ως ποσέγγιση πέον : T T T Αν υποτεεί ότι είναι δυνατόν να ποσδιοισούν πειαµατικά έστω πεί µιας γνωστής κατάστασης αναφοάς T M οι συντεεστές και T και να γάουµε αντί αυτών γνωστά αιµητικά δεδοµένα για κάποιο µικό εύος ισχύος και δυνατότητας ε- φαµογής τότε α είναι χ : T T T b b εποµένως η πααπάνω σχέση α µποούσε να χησιµοποιηεί ως µια καταστατική είσωση ως T Στην πάη τα αναπτύγµατα παίνονται για µεγαύτεη τάη και οι συνατήσεις που αναπτύσσονται είναι τέτοιες πυκνότητα / εντοπία ώστε οι παουσιαζόµενοι συντεεστές να είναι πάγµατι απ ευείας παατηήσιµα µεγέη Η πααπάνω τεχνική παουσιάζεται εδώ στην απούστεη µοφή της αά είναι αυτό ακιβώς που συµβαίνει στην πάη και ιδίως σε συστήµατα υγών Στα αέια το κυίαχο µοντέο αµβάνει υπ όιν του απώς την καταστατική του ιδανικού αείου και αυτό ακιβώς

281 7 υοποιείται και στο αντίστοιχο εδάφιο της " ιαστωµάτωση Saca " στην οποία γίνεται όγος για την ανεαστική ποσέγγιση και για το πως ποκύπτει τεικά η εκεί εµοδυνα- µική είσωση Συνατησιακή εάτηση µε χήση της πυκνότητας : Ας υποτεεί ότι εωούµε µια σχέση συνατησιακής εάτησης ως : T S την οποία αποφασίζουµε να ύσουµε ως πος την πυκνότητα : T S εν είναι γνωστή ποια είναι η ακιβής αγεβική σχέση που συνδέει τα πααπάνω µεγέη και για το όγο αυτό ποσεγγίζουµε πωυονυµικά κατά Tal Είναι για πώτης τάης πουωνυµικό ανάπτυγµα : όπου : T S T S T S µια κατάσταση αναφοάς η οποία τυπικά α εωείται γνωστή έστω και από πειαµατικές µετήσεις Η πααπάνω σχέση επιδέχεται και την ακόουη γαφή : β T β S β T S β TT β S S β T S όπου εωώντας αποκειστικά τη συνατησιακή εάτηση T S τότε είναι : T S β T : Θεµικός συντεεστής S T β S : Συντεεστής µεταβοής σύστασης T S β : Συντεεστής συµπιεστότητας Οι πααπάνω συντεεστές είναι όοι τους πώτης τάης εν γένει είναι συνατήσεις των ίδιων των καταστατικών µεταβητών T S και αά για µικές αποκίσεις από την κατάσταση αναφοάς εωούνται σταεές Αν πάουµε πουωνυµικά αναπτύγµατα ανώτεης τάης εµφανίζονται και συντεεστές ανώτεης τάης αά και γινόµενα συντεεστών τάεων κατώτεων της µέγιστης Παόµοιες εκφάσεις µποούν να ποκύουν και από άες συνατησιακές εατήσεις

282 74 Το πώτο εµοδυναµικό αίωµα και οι εεύεες ενέγειες : Ο πώτος νόµος τίεται ως : E Q W αν υποτεεί ότι δεν υπάχει χηµικό έγο πείπτωση την οποία εωούµε εδώ Ο όος Q δίνει το ποσό της ενέγειας ο οποίος ανταάσσεται µεταύ συστήµατος lm lm και του πειβάοντος µέσω των µικοσκοπικών βαµών εευείας δηαδή τη εµότητα ενώ ο δεύτεος το µηχανικό έγο W όος ο οποίος αναπαιστά αντααγή ενέγειας µέσω µεγαοσκοπικών βαµών εευείας Τυπικά είναι Q T H και W V όπου εωείται σε κάε πείπτωση αντιστεπτότητα στις µεταβοές Με αναγωγή ως πος τη µάζα είναι : q T η και a όπου : Q q W E και Όµοια και για την ειδική εσωτεική ενέγεια : ε Αν αγνοήσουµε m m m ενεγειακούς όους οι οποίοι σχετίζονται µε την ίδια τη χηµική σύσταση σε ένα σύστηµα τότε για την εσωτεική ενέγεια ισχύει : Είναι µια καταστατική συνάτηση η οποία εκφάζει την οική ενέγεια η οποία εδάζεται στο σύστηµα για εδώ σε ευστό Με το πααπάνω έχουµε ότι η εσωτεική ενέγεια του συστήµατος πεικείει όους εκείνους τους όους ή ισοδύναµα τους βαµούς εευείας οι οποίοι φέουν ενέγεια και αοιστικά µας δίνουν το συνοικό ποσό ε Αυτοί οι όοι µποεί να είναι : Κινητική ενέγεια την οποία µποεί να φέουν τα σωµατίδια όγω µεταφοικής κίνησης εν ποκειµένω για αέια και υγά υναµική ενέγεια όγω ενδοµοιακών αηεπιδάσεων Ενέγεια σύνδεσης των ηεκτονίων σε ατοµικά / µοιακά τοχιακά Ενέγεια η οποία υφίσταται όγω ταάντωσης και πειστοφής των µοίων του συστήµατος και άοι όοι αναόγως το σύστηµα Η εσωτεική ενέγεια είναι µια από τις τέσσεις εεύεες ενέγειες τις οποίες συνήως συναντάµε στα µοντέα Με χήση ποικίων εµοδυνα- µικών σχέσεων µποούµε να καταήουµε και στις ακόουες σχέσεις οισµού για τις υπόοιπες τεις : Με αναγωγή ως πος τη µάζα έχουµε : α ειδική Εναπία : ε a β ειδική Εεύεη ενέγεια Gbbs : ε Tη a γ ειδική Εεύεη ενέγεια Hlml : ε Tη Οι πααπάνω σχέσεις είναι εισώσεις ώστε να έχουµε για την εναπία ε a για την εεύεη ενέγεια Gbbs ε T η a και για την εεύεη ενέγεια Hlml ε T η Οι σχέσεις αυτές δεν σχετίζονται εννοιοογικά µε τις καταστατικές εισώσεις δηαδή οι σχέσεις εδώ δεν ποκύπτουν από µια κάποια αγεβική εάτηση καταστατική είσωση από την οποία παίνουµε και µια συνατησιακή εάτηση αά είναι εισώσεις από κατασκευής

283 75 Οι εµοχωητικότητες : Ε οισµού η εµοχωητικότητα a caac είναι µια συνάτηση η οποία µας δίνει την εής πηοφοία : Ποιο είναι το ποσό της ενέγειας το οποίο πέπει να ποσφεεί στο σύστηµα µε χήση αµιγώς µικοσκοπικών βαµών εευείας ποκειµένου η εµοκασία του να αυηεί κατά ένα βαµό Το πααπάνω αν και ποιοτικό µας δίνει τη φυσική σηµασία αυτής της συνάτησης Σε διαφοική µοφή και µε βάση τον πααπάνω οισµό έχουµε την εής σχέση : Q T C όπου " C " η συνάτηση της εµοχωητικότητας Με αναγωγή ως πος τη µάζα είναι : m Q T C m q c T όπου ως " c " συµβοίζεται η ειδική εµότητα scc a Για το µοντέο του ιδανικού αείου : Στη συνέχεια ασχοούµαστε µε ένα µοντέο το οποίο και α χησιµοποιήσουµε στην ανεαστική ποσέγγιση Από όες τις ιδιότητες τις οποίες έχει το µοντέο αυτό από κατασκευής η πιο σηµαντική είναι η εής : ε ε T ότι η εσωτεική του ενέγεια είναι συνάτηση µόνο της εµοκασίας του Στη συνέχεια χησιµοποιούµε τον πααπάνω οισµό το πώτο ε- µοδυναµικό αίωµα και την καταστατική είσωση ως τους τεις δεσµούς της εδώ εώησης για να καταήουµε σε χήσιµα συµπεάσµατα τα οποία και α χησιµοποιήσουµε στη συνέχεια Από τη σχέση οισµού της εναπίας είναι ε a Για ιδανικό αέιο α ισχύει ε T a όπου η εάτηση από την καταστατική µεταβητή Τ είναι µέσω σύνετης συνάτησης Έχουµε από το οικό διαφοικό της εναπίας : ε T a ε a ε a a ε a ε Ταυτόχονα από το οικό διαφοικό της εσωτεικής ενέγειας : ε ε ε T ε T T T όπου ως " " συµβοίζεται η όποια καταστατική µεταβητή εκτός από τη εµοκασία ηαδή ας είναι { a η S} Για τον πώτο ποσετέο του είναι : ε a ε ε a ε T T T a T

284 76 Η πααπάνω σχέση ισχύει επειδή είναι και : a T T ε ε Παίνουµε : a a T T T a T a # Από τη σχέση a T ε για σταεή εµοκασία / όγκο είναι a # Από # # είναι για cs T και cs a : a a T Οµοίως για cs T και cs : a T ε a # Από # # είναι : a T Η # γίνεται : a a T T a #4 Από τον πώτο νόµο είναι και : a q ε Επειδή ακιβώς είναι ε T ε ισχύει : a a T T T ε ε ε Οι πααπάνω σχέσεις είναι ταυτόσηµες Έχουµε για cs a : a q ε q ε V a a c T q T ε Είναι όµως και : a a a T T T ε ε ε V a c T ε

285 77 Για cs και a cs είναι : ε ε a ε T a T ε T a T c V T T a T a c V #5 Από τις #4 #5 είναι : cv T a a #6 Η σχέση #6 ισχύει γενικά σε συστήµατα όπου είναι ε ε T Από τον πώτο νόµο εκ νέου είναι και : ε q a ή ε a a συνδυαστικά : q a a a q a #7 Από τους δεσµούς #6 και #7 είναι : q a cv T a a q cv T a #8 Από την καταστατική είσωση των ιδανικών αείων είναι : a T a a T a T a #9 Από #8 #9 είναι : q cv T T a q cv T a Για σταεή πίεση α είναι και : q q cv T cv c T c # V Η εµοδυναµική είσωση για το ιδανικό αέιο : Από τον πώτο νόµο είναι : ε q c V T q a Αυτό το οποίο ζητείται είναι µια σχέση χονικής εέιης µε αναφοά ως πος το στοιχείο του όγκου Σχηµατίζουµε το maal a και α είναι : c V T q a #

286 78 q Ο όος πειγάφει αντααγή ενέγειας a / ca ως εµότητα a µεταύ του lm lm και του πειβάοντός του Ο άος όος σχετίζεται µε το µηχανικό έγο το οποίο παάγεται όγω του ma του lm lm κατά τη µετατόπισή του µέσα στο ευστό Για το maal a της εµότητας γάφουµε απώς : q q& ως συντοµογαφία Αυτό το οποίο παγµατικά εκφάζει το q& είναι όοι εκείνοι οι µηχανισµοί οι οποίοι άγουν εµότητα αγωγή / cc τα εύµατα µεταφοάς cc cs και η ακτινοβοία aa Το q µποεί να µην εκφάζει καταστατική µεταβητή εποµένως δεν µποεί να αναπαασταεί ως q αά ο όος q& επιδέχεται αναυτικής γαφής η οποία α ποκύπτει από τα µοντέα των τιών ανωτέω µηχανισµών Α- ποδεικνύεται και η εής σχέση : a εποµένως η πααπάνω σχέση # δίνει : Επίσης : a υ T q& cv a υ # a T a a T a a T T a a υ Η # γίνεται : T c q& cv a υ q& V a a υ a υ q& υ υ q& υ a cv c V cv cv q& γ υ # c V c όπου εισάγουµε και τη σταεά του Pss γ Το πεδίο των εµοκασιών T cv σε συστήµατα ιδανικών αείων εν γένει δεν εµφανίζεται χάη στην χησιµοποίηση της καταστατικής είσωσης Η σχέση # ισχύει αποκειστικά για ιδανικά αέια ενώ για συστή- µατα υγών µε κατάηες αναγωγές και χήση της εκάστοτε καταστατικής είσωσης τα συ-

287 79 στήµατα τεικά α είναι 6 6 όπου α πέπει να χησιµοποιείται και η καταστατική αυτή είσωση Για ιδανικά αέια όµως έχουµε απώς ένα 5 5 σύστηµα Η δυναµική εµοκασία al ma : Η δυναµική εµοκασία είναι µια συνάτηση εµφανίζεται στο µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης και χησιµοποιείται σε συστήµατα αείων Επειδή κατά την αποδεικτική διαδικασία του πώς καταήγουµε στον οισµό της χησιµοποιείται η καταστατική είσωση των ιδανικών αείων αυτό σηµαίνει ότι δεσµευόµαστε να τη χησιµοποιούµε αποκειστικά και µόνο σε τέτοια συστήµατα ιδανικών αείων Στην ποσέγγιση του Bsssq εποµένως ό- που ο όγος γίνεται για υγά δεν εµφανίζεται Στα παίσια της εµοδυναµικής η δυναµική εµοκασία είναι µια σχέση ως T µέσω µιας αγεβικής σχέσης οισµού ενώ για τη µηχανική όπου είναι T T και α έχουµε ακόµη ένα ανηγµένο βαµωτό πεδίο ως Από τον πώτο νόµο για ιδανικά αέια είναι : ε q T T η a c V όπου " η " : scc Είναι : καταστατική είσωση ως : Tη cv T a Εδώ χησιµοποιείται και η T T a a TT T Είναι : T T η cv T a T η cv T T T T T η cv η cv T T T η c lt l Εν γένει οι ειδικές εµότητες είναι συνατήσεις που α έχουν ητή εάτηση από τη εµοκασία εποµένως δεν α είναι σταεές παάµετοι Επειδή όµως όπως ποκύπτει και από τις αποποιήσεις οι οποίες γίνονται αναφεόµαστε σε µικές αποκίσεις γύω από µια κάποια κατάσταση αναφοάς σε αυτό το µικό εύος αποκίσεων οι ειδικές εµότητες µποούν να εωηούν σταεές Γάφουµε : η c lt l η c lt l η η c lt l lt l c c Εισάγουµε το εής σύµβοο " s " το οποίο οίζεται να είναι το scc πος την ειδική εµότητα υπό σταεή πίεση δηαδή από κατασκευής :

288 8 η c Είναι : s lt l Επίσης από κατασκευής είναι και l s όπου : c s lt c l l Η πααπάνω σχέση οίζει τη συνάτηση του al ma και µποούµε να καταήουµε και στην ακόουη ισοδύναµη γαφή : άα και : c T lt l lt l l c c T T κ κ #4 όπου έχουµε και τη σταεά της πουτοπικής µεταβοής : c κ κ c c c V c c V γ γ γ µε γ τη σταεά του Pss Η σχέση #4 µας δίνει µια απ ευείας σύνδεση µεταύ των πεδίων T και και του όπου όπως αναφέηκε στα παίσια της µηχανικής α έχουµε βαµωτά πεδία στο χώο και στο χόνο Τα πααπάνω είναι που εφαµόζονται στο µοντέο της ανεαστικής ποσέγγισης όπως αυτό παουσιάζεται και στο εδάφιο της διαστωµάτωσης / saca εωητική εισαγωγή εδάφιο " ιαστωµάτωση Saca "

289 8 5 Τα σταεά ποφί Sa ls Στο σύστηµα του Bsssq εµφανίζονται στις εισώσεις χονο ανεάτητες sa συνατήσεις οι οποίες σε κάε πείπτωση είναι γνωστά δεδοµένα εισόδου µεγέη τα οποία παίνονται από ατµοσφαιικά υποδείγµατα ιγότεο ή πεισσότεο εαιστικά Στη µεσηµβινή είσωση της οµής εµφανίζεται η συνάτηση U ενώ στη εµοδυνα- µική είσωση η συνάτηση Από το εδάφιο της εωητικής εισαγωγής " 8 Η τεική γαφή του συστήµατος " φαίνεται και η διαδικασία µέσω της οποίας εµφανίζονται τεικά οι πααπάνω συνατήσεις στο σύστηµα Στη συνέχεια παατίεται η διαδικασία εύεσης των πααπάνω συνατήσεων από σχετικά εαιστικά ατµοσφαιικά µοντέα Τα παακάτω ποφί συνάγονται από γνώσεις που παουσιάζονται σε εισαγωγικά συγγάµµατα µετεωοογίας ή και φυσικής ατµόσφαιας Εδώ χησιµοποιείται το [6] Βασικά ατµοσφαιικά µεγέη : Αναφέεται αχικά ότι όες οι µονάδες ανεατήτως συνόου ποτύπων είναι στο S Οι αποστάσεις µετούνται σε µέτα m η εµοκασία σε l η µάζα σε κιά και ο χόνος σε δευτεόεπτα sc Για απότητα δεν εωούµε µεταβοές στη χηµική σύσταση του ατµοσφαιικού ευστού εποµένως η υγασία παίνεται µηδέν Επίσης εωούµε αδιαβατικές και σε κάε πείπτωση και αντιστεπτές µεταβοές εποµένως το ατµοσφαιικό ευστό α καείται απούστεα και " ηός αέας " Η σταεά του ηού αέα είναι : 87 J m sc Η ηή αδιαβατική εµοβαµίδα Γ η οποία πειγάφει το υµό πτώσης της εµοκασίας µε το υόµετο αποκειστικά για την τοπόσφαια εντός του εδώ εωούµενου τόπου ποκύπτει ως : T αδιαβ c Γ # Η επιτάχυνση της βαύτητας παίνεται ως 9 8 m και η ειδική εµότητα υπό στα- sc m Ποκύπτει αιµητικά ότι sc εή πίεση παίνεται επίσης ως c 5 είναι : J Γ 976 m

290 8 Για το σταεό ποφί της πυκνότητας : Θεωούµε αχικά το αχικό σύνοο ποτύπων D Από κατασκευής ήδη από την αποδεικτική διαδικασία εύεσης των εισώσεων Bsssq εωείται ακιβής υδόσταση µεταύ του σταεού ποφί της πίεσης και της πυκνότητας ώστε να είναι επ ακιβώς : # Θεωώντας ιδανική συµπειφοά για τον ηό αέα παίνουµε και την αντίστοιχη καταστατική είσωση ως : T # για τα σταεά ποφί πάντα Με χήση των # και # αντικαιστούµε την πίεση από τη # στη σχέση # και α είναι : T T T T T Γ T Γ T Γ l Γ #4 T όπου χησιµοποιήηκε και η σχέση # εωώντας αδιαβατικότητα στις µεταβοές Στα πααπάνω εωείται σε κάε πείπτωση T T και όχι T cs διότι το να εωηεί η ατµόσφαια εντός της τοπόσφαιας ως ισόεµη είναι µια πού κακή ποσέγγιση Η σχέση #4 τώα είναι µια Ε πώτης τάης και ως πόβηµα συνοιακών συνηκών χειάζεται να έουµε µια συνοιακή συνήκη ποκειµένου να καταήουµε σε µονοσήµαντη ύση Η συνήκη είναι κατά Dcl τιµή συνάτησης σε σύνοο και το σύνοο αυτό παίνεται η µέση στάµη της άασσας µε Ταυτόχονα έουµε και τη συνάτηση T T η οποία ποκύπτει ως εής : Από τη σχέση # είναι : T T Γ T Γ T Γ T T T Γ T Γ T Για την εδώ συνοιακή συνήκη παίνεται T 87 5 Κ ή 4 C Για τη συνοιακή συνήκη της Ε #4 έχουµε : Θεωώντας ότι η καταστατική είσωση # ισχύει επ ακιβώς παντού µέσα στην τοπόσφαια για α είναι :

291 8 T T #5 T Η τιµή δηαδή η τιµή του σταεού ποφί της πίεσης για τη ΜΣΘ παίνεται τυπικά ως η µια ατµόσφαια Αιµητικά είναι : 5 mba Για τις µονάδες είναι : ba 5 Pa όπου Pa η µονάδα πίεσης στο S Εποµένως είναι τεικά : N m m sc Το Pascal είναι 5 msc Από τη σχέση #5 έχουµε : Τίεται και Για τη σχέση #4 τώα ας τεεί το εής : Γ C Είναι : m C l T C l C T T Για το οοκήωµα του δευτέου µέους µε βάση τη σχέση µατικά το εής : T Γ T τίεται σχη- T α β l α β α α Εν ποκειµένω είναι : εποµένως ποκύπτει : α β β l α α β l α β l α Γ T l T Γ T C Γ T l C l l T Γ T

292 84 Ο συντεεστής στο δεύτεο µέος τίεται εκ νέου ως : Έχουµε και : C Γ Γ Γ Γ C Γ l Cl T T l l Γ T T C T C Γ T C C Γ όπου τίεται και C T Αιµητικά είναι C 57 και C 98 5 m Σχήµα # : Σταεό ποφί της πυκνότητας έως το ύος 8 m Στις εισώσεις του συστήµατος Bsssq εµφανίζεται και η παάµετος που δεν σχετίζεται µε την ανωτέω συνοιακή τιµή του σταεού ποφί Η παά- µετος αυτή αντιστοιχεί σε µια µέση κατάσταση στον τόπο [ H ] και παίνεται ως η µέση τιµή της ποφί

293 85 Είναι : H H H H όπου H το ύος της τοπόπαυσης ή το άνω σύνοο εν γένει του εωούµενου τόπου Τυπικές τιµές για την παάµετο είναι από 7 έως Η σχέση για το ποφί δεν εµφανίζεται στο σύστηµα Bsssq αά η πώτη παάγωγος αυτής δηα- m δή η συνάτηση στη εµοδυναµική είσωση Με πααγώγιση της ποκύπτει για την παάγωγο : C 4 5 C C όπου είναι : C4 CC σε και C 5 C αδιάστατο ιακιτοποιηµένα είναι : m C4 C C5 για { } µε ma Σχήµα # : Κα ύος παάγωγος του σταεού ποφί της πυκνότητας έως το εωούµενο ύος τοπόπαυσης 8 m

294 86 Μια σχέση και για την πίεση µποεί να δοεί είτε από τη σχέση # υδοστατική είσωση είτε και από την # καταστατική είσωση Ποκύπτει σε κάε πείπτωση το εής για την αναυτική παάσταση του σταεού ποφί της πίεσης : C C C C όπου και εδώ έχουµε Σχήµα # : Σταεό ποφί της πίεσης έως το ύος 8 m Για το σταεό ποφί της ταχύτητας : Η ταχύτητα U αναπαιστά από κατασκευής κατακόυφη διάτµηση στο πεδίο των ταχυτήτων και ταυτόχονα δίνει και την αχική συνήκη για τη ζωνική ταχύτητα όπου οι υπόοιπες τέσσεις παίνονται µηδέν Υπάχουν ποά ποφί που µποούν να παούν για την ταχύτητα U εδώ παίνεται µια απή πείπτωση κατά την οποία έχουµε γαµµική αύηση αυτής µε το ύος U H Από το πόβηµα του Ea παίνεται µια µοφή ως U Λ µε Λ H όπου U H η τιµή του U στο άνω σύνοο του τόπου Μια γενικότεη έκφαση είναι η U α β µε β U > και α U H U για την H κίση της ευείας αυτής Για τη σταεά U H τυπικές τιµές είναι 5 έως m ενώ για το κάτω σύνοο στη ΜΣΘ α είναι U ετική όµως sc

295 87 Κάποια επιπέον αιµητικά δεδοµένα : Στις εισώσεις εµφανίζονται επίσης η παάµετος Cls και η γωνιακή ταχύτητα της Γης Ω Για τη γωνιακή ταχύτητα της Γης εωείται ότι αυτή εκτεεί µια πήη πειστοφή σε φ 56m εποµένως από τον από τύπο Ω παίνουµε 5 a Ω 79 Για sc την παάµετο Cls είναι Ω s όπου είναι το γεωγαφικό πάτος του τό- που Για 6 που εωείται εδώ ποκύπτει απώς Ω Τα σταεά ποφί στο σύνοο ποτύπων D : Η σύµβαση επί της συµβοογαφίας που χησιµοποιείται εδώ αναφέεται στο εδάφιο του µετασχηµατισµού του υπεβοικού συστήµατος και η όη ογική επί του µετασχηµατισµού των συνόων ποτύπων και γιατί γίνεται κάτι τέτοιο αναφέεται οµοίως εκεί Εδώ αναφέονται εν συντοµία τα εής : Αχικά εωείται για τον τόπο D L ] και H ] όπου τυπικές τιµές σε m [ [ 5 6 µποεί να είναι για το L έως και για το H όντας ευισκόµενοι σε µεσοκίµακα Για αιµητικούς όγους παουσιάζεται η ανάγκη να πεάσουµε σε έναν ανηγµένο τόπο D ο οποίος διατηεί την αχική αναογία και που τεικά ποκύπτει [ ] και [ H ] όπου ο παάγοντας κίµακας Θεωώντας το αδιάστατο οι L µονάδες απόστασης δεν µεταβάονται Όπως αποδεικνύεται για τη παάγωγο είναι και : ενώ οι µετασχηµατι- σµοί των συντεταγµένων είναι απώς οι : και Για τις συνατήσεις γά- φουµε : για το σταεό ποφί της πυκνότητας στο σύνοο D και για την απεικόνιση στο σύνοο D όπου είναι : Για το ποφί της πααγώγου της πυκνότητας στο σύνοο ποτύπων D έτουµε έστω όπου είναι : C H ] 4 C5 C [

296 88 Είναι και εδώ για την απεικόνιση στο σύνοο D που δίνει το ίδιο σύνοο αφίεως την παάγωγο του σταεού ποφί της πυκνότητας Είναι για τον τεεστή : C4 [ H ] #6 C C5 Μποούµε να δούµε και το εής : Αγεβικά είναι : C C C #7 C Για την παάγωγο της έχουµε : C C4 5 C C C Για την παάγωγο της είναι : C C C C C C C Από τις σχέσεις αυτές είναι : ή Εποµένως από τη σχέση #6 έχουµε την απεικόνιση για την παάγωγο του σταεού ποφί της πυκνότητας στο σύνοο D που χησιµοποιείται τεικά C

297 89 Σχήµα #4 : Κα ύος παάγωγος του σταεού ποφί της πυκνότητας στο σύνοο ποτύπων D Το σύνοο αφίεως δεν αάζει Για την πυκνότητα είναι : Σχήµα #5 : Το σταεό ποφί της πυκνότητας στο σύνοο ποτύπων D

298 9 Για την πίεση έχουµε την αγεβική αντικατάσταση : C C C C όπου είναι : C C C C H ] #8 [ Σχήµα #6 : Το σταεό ποφί της πίεσης στο σύνοο ποτύπων D και για την ταχύτητα είναι : µε : U α β U U U α U β [ H ] #9 Οι πααπάνω σχέσεις #6 #9 είναι και αυτές που χησιµοποιούνται τεικά στο σύστηµα κατά την αιµητική επίυσή του Στα πααπάνω σχήµατα των ανηγµένων τόπων όπως και στα αντίστοιχα των αποτεεσµάτων οι ανηγµένες διαστάσεις χωικά µετασχηµατίζονται σε

299 9 φυσικές αποστάσεις απώς ποαπασιάζοντας τις ανηγµένες επί 5 για αποστάσεις σε µέτα m Σχήµατα από υφιστάµενα ατµοσφαιικά µοντέα : Στη συνέχεια δίνονται κάποια διαγάµµατα από [7] µε βάση τα οποία αµβάνονται τεικά και τα ανωτέω σχήµατα Στην πειονότητά τους τα δεδοµένα ποέχονται από ατµοσφαιικές παατηήσεις χ αδιοβοίσεις αά και από απές εωήσεις όπως το να εωήσουµε το ατµοσφαιικό ευστό ως ιδανικό και µε µηδενική υγασία Καύτεα µοντέα όπως το να εωήσουµε υγασία δίνουν βετιώσεις της τάεως και για την εδώ εφαµογή δεν ζητείται τέτοια ακίβεια Σχήµα #7 : Η πίεση και η πυκνότητα σταεά ποφί µειώνονται αγδαία µε την αύηση του υοµέτου Η πίεση µειώνεται πιο γήγοα από [7]

300 9 Το πααπάνω διάγαµµα δείχνει ποιοτικά και όχι αιµητικά ότι η πίεση και η πυκνότητα φίνουν αγδαία µε το υόµετο µε την πίεση να φίνει ταχύτεα Η ακιβής µαηµατική σχέση α ποκύει από την εκάστοτε εώηση που α γίνει Έχουµε αναφεεί στο τι εωείται για την εδώ εώηση Σχήµα #8 : Σχηµατικό διάγαµµα πτώσης της ατµοσφαιικής πίεσης µειωµένου του υοµέτου από [7] Το πααπάνω γάφηµα δίνει δύο πηοφοίες Η πώτη είναι ποια α είναι η τιµή της ατµοσφαιικής πίεσης στο αντίστοιχο υόµετο και η δεύτεη είναι η εής : Τα ποσοστά που εµφανίζονται δίνουν τα ποσοστά του πήους των ατµοσφαιικών σωµατιδίων σε µια στατιστική εώηση τα οποία βίσκονται κάτω από την αντίστοιχη υοµετική στάµη Για παάδειγµα σε ένα ύος µόις 9 m το 9 % σωµατιδιακά της ατµόσφαιας βίσκεται κάτω από αυτή τη στάµη Στη συνέχεια έχουµε και ένα γάφηµα για τη συµπειφοά της εµοκασίας T κα ύ- ος

301 9 Σχήµα #9 : Βαµίδες εµοκασίας κα ύος και διαχωισµός των ατµοσφαιικών ζωνών µε βάση αυτό το κιτήιο από [7] Το γάφηµα αυτό δίνει την κα ύος συµπειφοά της εµοκασίας νοούµενη ως σταεό ποφί εδώ δηαδή ως T παά ως δυναµικό πεδίο T που µποεί να νοείται γενικότεα συνατήσει του υοµέτου Η πααπάνω συµπειφοά δηαδή το πότε η κίση είναι ετική και το πότε ανητική δίνει και το συνηέστεο κιτήιο κατηγοιοποίησης της γήινης ατµόσφαιας σε ζώνες σε κεύφη Αυτό που ενδιαφέει εδώ είναι ότι παίνοντας εντός της τοπόσφαιας τη εµοκασία ως γαµµική συνάτηση του υοµέτου µε ανητική κίση αυτό αποτεεί µια πού καή ποσέγγιση

302 94

303 95 6 Μετασχηµατισµός συνόων ποτύπων Ας υποτεεί ότι έχουµε έναν τόπο έστω D ο οποίος οίζεται ως : D :[ α β ] [ γ δ ] Επί του κατεσιανού επιπέδου O ας είναι [ α β ] [ γ δ ] Ας υποτεεί επίσης και ο τόπος D ' στο O ως : D :[ κ ] [ µ ν ] µε συντεταγµένες αντίστοιχα τις ' [ κ ] και ' [ µ ν ] Σχήµα # : Οισµός δύο οογώνιων τόπων ως γνήσια υποσύνοα του Θεωώντας ότι είναι ' και ' ζητάµε σχέσεις µετασχηµατισµού ευείς και αντίστοφες µεταύ των συντεταγµένων των δύο αυτών τόπων Οι σχέσεις αναογίας των διαφοικών των συντεταγµένων σηµαίνουν ότι οι ζητούµενοι µετασχηµατισµοί α είναι από κατασκευής γαµµικές απεικονίσεις Έστω αυτές οι απεικονίσεις να είναι οι : Από το O στο O ' ' ευείς : ' F και ' G Από το O ' ' στο O αντίστοφες : F ' και G ' Από τις σχέσεις αναογίας των διαφοικών των συντεταγµένων έχουµε στις εής γενικές εκφάσεις που πέπει να ισχύουν : Αχικά για τους ευείς µετασχηµατισµούς : ' c c και ' c c4