ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΠΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕ ΠΕΛΑΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΘΑΡΡΥΝΟΝΤΑΙ ιατιβή που υπεβλήθη για την µεική ικανοποίηση των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης υπό Άγγελου Α. Οικονοµόπουλου Χανιά, 5

2 Copyright υπό Άγγελου Α. Οικονοµόπουλου Έτος: 5

3 Η διατιβή του Άγγελου Οικονοµόπουλου, εγκίνεται από τους Βασίλη Κουϊκόγλου (επιβλέπων), Ιωάννη Νικολό και Ευάγγελο Γηγοούδη. ) Βασίλης Κουϊκόγλου (επιβλέπων) ) Ιωάννης Νικολός 3) Ευάγγελος Γηγοούδης

4 Πειεχόµενα Πειεχόµενα...3 Πείληψη...6 Εισαγωγή...7. Αντικείµενο της διατιβής...7. Βιβλιογαφική ανασκόπηση οµή της διατιβής... Συνεγαζόµενες Πολιτικές Ελέγχου Αποθεµάτων και Αποδοχής Πααγγελιών σε Συστήµατα Μίας Μηχανής µε Πελάτες που Αποθαύνονται. Πειγαφή του συστήµατος πααγωγής.... Πειγαφή της πολιτικής BSBB Το αναµονητικό σύστηµα Αναλυτικές εκφάσεις των µέτων απόδοσης του συστήµατος Βελτιστοποίηση Εισαγωγή Μεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάτησης ως πος το έλλειµµα βάσης Αλγόιθµος βελτιστοποίησης Αιθµητικά Αποτελέσµατα Σύγκιση της πολιτικής BSBB µε άλλες πολιτικές ελέγχου Μελέτη ιδιοτήτων δευτέας τάξης της συνάτησης αναµενόµενου κέδους ως πος το απόθεµα βάσης Συµπεάσµατα Κατευθύνσεις...3 Βιβλιογαφία...3 3

5 Με αφοµή την ολοκλήωση της εγασίας αυτής, θα ήθελα να ευχαιστήσω από καδιάς την οικογένειά µου, τη µητέα µου, στην οποία και αφιεώνω την εγασία αυτή, τους φίλους αλλά και τους συναδέλφους µου. Ιδιαίτεα θέλω να ευχαιστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή µου, κ. Βασίλη Κουϊκόγλου, για τις απααίτητες υποδείξεις που µου έκανε καθ όλη την διάκεια αυτής της διατιβής. Κυίως όµως θέλω να τον ευχαιστήσω για την υποστήιξη, συµπαάσταση, εµπιστοσύνη αλλά και την φιλία του όλα αυτά τα χόνια που συνεγαζόµαστε. 4

6 Ο Άγγελος Οικονοµόπουλος γεννήθηκε στην Αθήνα το 979. Έχει πτυχίο Μηχανικού Πααγωγής και ιοίκησης από το Πολυτεχνείο Κήτης και ολοκληώνει το µεταπτυχιακό πόγαµµα σπουδών «Συστήµατα Πααγωγής» του τµήµατος Μηχανικών Πααγωγής και ιοίκησης του Πολυτεχνείου Κήτης Ο τοµέας της έευνάς του είναι η ανάλυση και ο έλεγχος συστηµάτων πααγωγής. 5

7 Πείληψη Θεωούµε ένα σύστηµα πααγωγής που παάγει ένα ποϊόν. Η ζήτηση είναι τυχαία. Πελάτης που φθάνει σε πείοδο µε µηδενικό απόθεµα είναι πόθυµος να θέσει µια πααγγελία µε πιθανότητα η οποία είναι φθίνουσα συνάτηση του πλήθους των πααγγελιών που ήδη εκκεµούν. Το καθαό κέδος του συστήµατος ανά µονάδα χόνου είναι ο µέσος υθµός κέδους από πωλήσεις µείον το µέσο κόστος αποθέµατος και ανικανοποίητων πααγγελιών. Το πόβληµα είναι να αποφασίσουµε αν θα γίνει δεκτή ή όχι µια πααγγελία καθώς και να βούµε την πολιτική βέλτιστου επιπέδου αποθέµατος, ώστε να µεγιστοποιείται το κέδος. Στην βιβλιογαφία δεν υπάχει αναφοά για µελέτες σε παόµοια ποβλήµατα αφίξεων µε αποθάυνση. Επιπλέον, τα ποβλήµατα βελτιστοποίησης αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών µελετώνται συνήθως ξεχωιστά. Εξετάζονται συστήµατα πααγωγής µε µία µηχανή και τυχαίες διάκειες πααγωγής, που παάγουν έως ότου το απόθεµα φθάσει ένα οισµένο επίπεδο. Όταν δεν υπάχει έτοιµο ποϊόν, τότε το σύστηµα δέχεται πααγγελίες µόνον όταν εκείνες που εκκεµούν είναι κάτω από ένα οισµένο όιο. Ο µέσος υθµός κέδους υπολογίζεται µε κλασσική ανάλυση ουών αναµονής. Αποδεικνύονται ιδιότητες δεύτεης τάξης οι οποίες επιτέπουν την ανάπτυξη αποτελεσµατικών αλγοίθµων για τον καθοισµό από κοινού τόσο του βέλτιστου επιπέδου επιτεπτού αποθέµατος όσο και του µέγιστου πλήθους εκκεµών πααγγελιών που επιτέπονται ώστε να µεγιστοποιείται ο υθµός κέδους του συστήµατος. 6

8 Εισαγωγή. Αντικείµενο της διατιβής Στις αχές του στού αιώνα, η βιοµηχανία είχε υιοθετήσει τη µαζική πααγωγή ποϊόντων ιδίου τύπου χησιµοποιώντας όλη την δυναµικότητα του εγοστασίου. Σύµφωνα µε αυτό το πότυπο της πααγωγής, κάθε τµήµα του εγοστασίου παάγει συνεχώς, εφόσον έχει ικανή τοφοδοσία και επακή χώο αποθήκευσης. Μέχι τα µέσα του αιώνα, το είδος αυτό της πααγωγής ήταν βολικό, αφού απαιτούσε ελάχιστες ποσπάθειες συντονισµού µεταξύ των τµηµάτων του εγοστασίου. Το πότυπο αυτό, ενώ ταιιάζει σε βιοµηχανίες οι οποίες λειτουγούσαν ως µονοπώλια (π.χ. η αυτοκινητοβιοµηχανία Ford τότε), σήµεα εφαµόζεται λιγότεο συχνά. Αιτία γι' αυτό είναι η αύξηση του αιθµού βιοµηχανιών που παάγουν ανταγωνιστικά ποϊόντα, πάγµα που άλλαξε δαµατικά το σκηνικό της αγοάς κατά τις τελευταίες δεκαετίες. Σήµεα, για να επιβιώσει µία βιοµηχανία θα πέπει να µειώσει το κόστος λειτουγίας της στο ελάχιστο, ενώ παάλληλα να είναι σε θέση να ικανοποιήσει την αγοά ποσφέοντας ποικιλία παόµοιων ποϊόντων. Για την οικονοµικά αποτελεσµατική πααγωγή και διάθεση των ποϊόντων απαιτείται η λήψη αποφάσεων που, µεταξύ άλλων, σχετίζονται µε τον συντονισµένο έλεγχο της πααγωγής σε κάθε τµήµα ώστε να αποφεύγεται η διατήηση υψηλών αποθεµάτων και συγχόνως η έλλείψη ποϊόντων που οδηγεί σε ανικανοποίητη ζήτηση. Τέτοιες αποφάσεις πειλαµβάνουν το χονικό πογαµµατισµός της λειτουγίας κάθε µηχανής του συστήµατος (πότε ξεκινά η πααγωγή, µε τι υθµό και πότε διακόπτεται) και ο έλεγχος των πωλήσεων (αποδοχή-απόιψη µιας πααγγελίας ή ανάθεση σε υπεγολάβο). Ουσιαστικά ο έλεγχος της πααγωγής είναι ένα πόβληµα βελτιστοποίησης ενός ή και πεισσοτέων µέτων απόδοσης όπως το καθαό κέδος, το κόστος λειτουγίας, το µέσο απόθεµα, η ικανοποίηση των πελατών, ο αιθµός των πωλήσεων. Στην παούσα διατιβή εξετάζουµε το πόβληµα του ελέγχου του υθµού πααγωγής και της αποδοχής των πααγγελιών συνατήσει των αποθεµάτων σε κάθε στάδιο πααγωγής και συνατήσει του πλήθους των εκκεµών πααγγελιών. 7

9 Μελετάµε ένα απλό σύστηµα πααγωγής, που παάγει ένα µόνο ποϊόν για να ικανοποιήσει τυχαία ζήτηση. Για τον έλεγχο του υθµού πααγωγής εφαµόζεται η πολιτική αποθέµατος βάσης. Σύµφωνα µε αυτήν την πολιτική, το σύστηµα παάγει στον µέγιστο υθµό όταν το απόθεµα έτοιµων ποϊόντων είναι µικότεο από ένα κατώφλι που ονοµάζεται απόθεµα βάσης (bae tok) και διακόπτει την πααγωγή όσο το απόθεµα είναι ίσο µε αυτό το κατώφλι. Για τον έλεγχο των πωλήσεων ποτείνεται µια ανάλογη πολιτική. Οίζεται µια µέγιστη τιµή ανικανοποίητων πααγγελιών η οποία ονοµάζεται έλλειµµα βάσης (bae baklog), όσο των πλήθος των πααγγελιών που εκκεµούν είναι µικότεο του ελλείµµατος βάσης, τότε το σύστηµα αποδέχεται πελάτες, αλλιώς τους αποίπτει. Το σύστηµα που µελετάµε έχει την ιδιαιτεότητα ότι ο υθµός της ζήτησης είναι φθίνουσα συνάτηση σε σχέση µε τον αιθµό των πααγγελιών που εκκεµούν. Αυτή είναι µια πολύ λογική πααδοχή, καθώς πολλές φοές ένας πελάτης διστάζει να θέσει µια πααγγελία όταν υπάχει ήδη ένας αιθµός πελατών οι οποίοι έχουν ποτεαιότητα. Στόχος του ελέγχου είναι ο από κοινού καθοισµός του αποθέµατος βάσης και ελλείµµατος βάσης που µεγιστοποιούν το κέδος ανά µονάδα χόνου, το οποίο ποκύπτει από τα έσοδα των πωλήσεων µείον το κόστος αποθεµάτων και το κόστος εκκεµών πααγγελιών.. Βιβλιογαφική ανασκόπηση Τα ποβλήµατα ελέγχου πααγωγής συνήθως διατυπώνονται ως ποβλήµατα βελτιστοποίησης δυναµικών συστηµάτων και επιλύονται είτε µε δυναµικό πογαµµατισµό είτε µε βέλτιστο έλεγχο. Για συστήµατα πααγωγής που αποτελούνται από µία µηχανή και παάγουν ένα τύπο ποϊόντος, όπως το σύστηµα που εξετάζεται σε αυτή την εγασία αποδεικνύεται [] ότι οι βέλτιστες πολιτικές ελέγχου του υθµού πααγωγής είναι τύπου κατωφλιού (threhold-type). Οι πολιτικές αυτού του τύπου οίζουν πως ο βέλτιστος υθµός πααγωγής είναι ο µέγιστος δυνατός όσο η στάθµη του αποθέµατος έτοιµων ποϊόντων είναι χαµηλότεη από ένα ποκαθοισµένο απόθεµα βάσης. Όταν ο αιθµός του αποθέµατος γίνει ίσος µε το απόθεµα βάσης τότε η µηχανή παάγει συγχονισµένα µε την ζήτηση ώστε το απόθεµα να διατηείται σε αυτή τη στάθµη. 8

10 Σε συστήµατα µε δύο ή και πεισσότεες µηχανές, το πόβληµα γίνεται πιο σύνθετο και οι βέλτιστες πολιτικές εξαιετικά πολύπλοκες και αδύνατο να ποσδιοιστούν στις πεισσότεες πειπτώσεις. Ουσιαστικά σε τέτοιου είδους ποβλήµατα, ο δυναµικός πογαµµατισµός και ο βέλτιστος έλεγχος χησιµοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά για την αναγνώιση των δοµικών ιδιοτήτων της βέλτιστης πολιτικής ελέγχου. Τέτοιες ιδιότητες σε συστήµατα πααγωγής µε πολλές µηχανές εξετάζονται στις εγασίες []-[5]. Άλλος πακτικός τόπος µε τον οποίο αντιµετωπίζονται ποβλήµατα ελέγχου πααγωγής είναι η αναζήτηση της καλύτεης πολιτικής από κάποια οικογένεια απλών πολιτικών που είναι εύκολα υλοποιήσιµες και εξατώνται από µικό σχετικά αιθµό πααµέτων. Τέτοιες πολιτικές για µεγάλα συστήµατα πααγωγής µποούν να βεθούν µε την χήση των δοµικών ιδιοτήτων της βέλτιστης πολιτικής που έχει βεθεί για µικότεα συστήµατα. Υπάχουν ακετές κατηγοίες απλών πολιτικών ελέγχου για συστήµατα πααγωγής: οι πολιτικές αποθέµατος βάσης, οι πολιτικές ANBAN, CONWIP καθώς και συνδυασµοί αυτών. Μία βιβλιογαφική επισκόπηση των διαφόων οικογενειών πολιτικών ελέγχου παουσιάζεται στην [6]. Σε αυτή την εγασία εξετάζουµε ένα σύστηµα από τα λεγόµενα συστήµατα πααγωγής πος αποθήκευση (make-to-tok) που παάγουν ένα ποϊόν για να ικανοποιήσουν στοχαστική ζήτηση. Τα συστήµατα αυτά αποτελούνται από µία µονάδα πααγωγής µε µηχανές, ενδιάµεσες αποθήκες (εδώ έχουµε µία µόνο µηχανή) και µια αποθήκη έτοιµων ποϊόντων. Μια συνηθισµένη πακτική ελέγχου αποθεµάτων σε τέτοια συστήµατα συνίσταται στον καθοισµό ενός κατωφλιού για το πλήθος των έτοιµων ποϊόντων [7] που, όπως στην πείπτωση συστήµατος µίας µηχανής, ονοµάζεται απόθεµα βάσης (bae-tok). Οι πολιτικές αποθέµατος βάσης αναπτύχθηκαν στα τέλη της δεκαετίας του 95 και εφαµόζονται µέχι σήµεα µε µικές πααλλαγές στην πλειοψηφία των συστηµάτων πααγωγής. Σε κάθε στάδιο της πααγωγής οίζεται ένα απόθεµα βάσης και όταν το απόθεµα ποϊόντων αγγίξει το απόθεµα βάσης τότε η πααγωγή σταµατά και ξεκινάει πάλι όταν το απόθεµα πέσει κάτω από αυτό το κατώφλι. Μεγάλο πλεονέκτηµα αυτής της πολιτικής είναι ότι το κόστος αποθέµατος είναι φαγµένο. Αν το απόθεµα βάσης επιλεγεί µηδέν τότε η 9

11 πολιτική αυτή ονοµάζεται µηδενικού αποθέµατος βάσης ή πιο σωστά πολιτική πααγωγής κατά πααγγελία (MTO, make-to-order). Για την µαθηµατική πειγαφή συστηµάτων πααγωγής, χησιµοποιούνται συχνά αναµονητικά συστήµατα. Στη βιβλιογαφία του στοχαστικού ελέγχου, υπάχουν ακετές αναφοές για την εξέταση της δοµής βέλτιστων πολιτικών ελέγχου αποδοχής πελατών σε τέτοια συστήµατα (π.χ. βλ. [8], [9]). Παόλο που η βιβλιογαφία είναι ακετά εκτενής, δεν υπάχουν πολλές αναφοές σε αποτελέσµατα σχετικά µε τον συνδυασµένο έλεγχο αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών []. Οι πολιτικές αποδοχής πελατών σε ποβλήµατα συστηµάτων πααγωγής και αποθεµατικών συστηµάτων είναι συνήθως απλές, σύµφωνα µε τις οποίες, όταν δεν υπάχει έτοιµο ποϊόν, οι πααγγελίες είτε αποίπτονται είτε γίνονται όλες δεκτές. Σε πειόδους όπου δεν υπάχει απόθεµα στο σύστηµα, η απόιψη όλων των εισεχόµενων πααγγελιών ονοµάζεται πολιτική πλήους απόιψης (LS, lot ale), ενώ στην πείπτωση όπου γίνονται όλες αποδεκτές, η πολιτική ονοµάζεται πλήους αποδοχής (CB, omplete bakordering). Η κάθε µια από τις πααπάνω πολιτικές ποτιµάται ανάλογα µε την πείπτωση. Σε συστήµατα όπου ο υθµός πααγωγής είναι µικότεος της ζήτησης, η πολιτική πλήους αποδοχής καθίσταται ζηµιογόνος αφού είναι ποφανές ότι οι πελάτες στην αναµονή θα αυξάνονται συνεχώς [7]. Οι πολιτικές LS και CB είναι εκ διαµέτου αντίθετες, µια ενδιάµεση πολιτική ελέγχου πααγγελιών είναι η πολιτική µεικής αποδοχής της µη ικανοποιηµένης ζήτησης. Η πολιτική αυτή οίζει ένα κατώφλι που ονοµάζεται έλλειµµα βάσης. Όταν το πλήθος πααγγελιών που εκκεµούν είναι κάτω από το έλλειµµα βάσης, τότε όλες οι πααγγελίες γίνονται δεκτές ενώ όταν οι εκκεµείς πααγγελίες φθάσουν αυτό το κατώφλι τότε αποίπτονται. όλες η εισεχόµενες πααγγελίες αποίπτονται. Στην εγασία αυτή ποτείνεται ο συνδυασµός των πολιτικών αποθέµατος βάσης και ελλείµµατος βάσης σε µια πολιτική που συµβολίζεται BSBB (bae tok bae baklog). Η πολιτική µεικής BSBB είναι γενικότεη των MTO, LS και CB. Όταν η τιµή του ελλείµµατος βάσης τεθεί ίση µε τότε η πολιτική γίνεται πλήους απόιψης, ενώ αντίστοιχα όταν η τιµή γίνει η πολιτική είναι πλήους αποδοχής. Η εξέταση της BSBB γίνεται πώτη φοά στις εγασίες [], [] και στην []. Στην [] εξετάζεται το πόβληµα του συνδυασµένου ελέγχου αποθεµάτων πααγγελιών

12 και χαακτηιστικών ποιότητας σε συστήµατα πααγωγής µε µία µηχανή και εκθετικούς χόνους πααγωγής και αφίξεων πελατών. Το πόβληµα πειγάφεται µαθηµατικά µε τη χήση της θεωίας αναµονητικών συστηµάτων. Σε αυτήν τη διατιβή εξετάζουµε την πολιτική µεικής αποδοχής µη ικανοποιηµένης ζήτησης σε παόµοια συστήµατα, µε την διαφοά ότι η ζήτηση είναι µια φθίνουσα συνάτηση των πααγγελιών που εκκεµούν..3 οµή της διατιβής Η παούσα διατιβή αποτελείται από τία επιπλέον κεφάλαια: Στο Κεφάλαιο δίνεται µια πειγαφή του ποβλήµατος και παουσιάζεται η µαθηµατική µοντελοποίηση του συστήµατος σαν ένα αναµονητικό σύστηµα µε πεπεασµένη χωητικότητα ουάς, και αφίξεις και εξυπηετήσεις που πειγάφονται από διαδικασίες Poion. Από την επίλυση των εξισώσεων µόνιµης κατάστασης ποκύπτει µια αναλυτική έκφαση της συνάτησης κέδους του συστήµατος. Το κέδος του συστήµατος είναι το κέδος πωλήσεων ποϊόντων µειωµένο κατά το κόστος αποθέµατος έτοιµων ποϊόντων, πώτων υλών και το κόστος µη ικανοποιηµένης ζήτησης. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται µελέτη ιδιοτήτων δεύτεης τάξης της συνάτησης κέδους οι οποίες διευκολύνουν τη βελτιστοποίηση της συνάτησης κέδους. Ακολούθως παουσιάζεται ένας αλγόιθµος µε την βοήθεια του οποίου εντοπίζονται οι βέλτιστες τιµές του αποθέµατος βάσης και του ελλείµµατος βάσης. Στο Κεφάλαιο 4 παγµατοποιείται µια εφαµογή της πολιτικής BSBB και γίνεται σύγκιση αυτής µε άλλες ευέως χησιµοποιούµενες πολιτικές (MTO, CB, LS) για διάφοες τιµές των πααµέτων του συστήµατος. Τα αιθµητικά πααδείγµατα δείχνουν ότι η ποτεινόµενη πολιτική υπετεεί των άλλων. Επίσης γίνεται µια µελέτη ως πος κυτότητα της συνάτησης κέδους. Τέλος παουσιάζονται συµπεάσµατα και κατευθύνσεις για µελλοντική έευνα.

13 Συνεγαζόµενες Πολιτικές Ελέγχου Αποθεµάτων και Αποδοχής Πααγγελιών σε Συστήµατα Μίας Μηχανής µε Πελάτες που Αποθαύνονται. Πειγαφή του συστήµατος πααγωγής Θεωούµε το σύστηµα πααγωγής του Σχ.., το οποίο παάγει ένα µόνο ποϊόν. Οι πελάτες έχονται σε τυχαίους χόνους και ο καθένας ζητά µια µονάδα ποϊόντος κάθε φοά. Υποθέτουµε ότι οι χόνοι πααγωγής είναι ανεξάτητες τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε υθµό µ. Επίσης οι χόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθούν µία διαδικασία Poion µε υθµό λ. Τα πααγόµενα κοµµάτια αποθηκεύονται σε µία αποθήκη έτοιµων ποϊόντων. Μια αφικνούµενη πααγγελία η οποία βίσκει ποϊόν στην αποθήκη εξυπηετείται αµέσως. Αν η αποθήκη είναι άδεια, τότε ο πελάτης θα θέσει την πααγγελία µε πιθανότητα q m, όπου m είναι ο αιθµός των πααγγελιών που ήδη εκκεµούν, m,,. Υποθέτουµε ότι όσο πεισσότεες είναι οι ανικανοποίητες πααγγελίες, τόσο αποθαύνονται οι πελάτες οπότε µειώνεται και η πιθανότητα q m, άα, q q. Όταν το πλήθος των πααγγελιών που εκκεµούν είναι m, τότε ο υθµός µε τον οποίο ζητούνται πλέον ποϊόντα είναι λq m, άα οίζουµε λ m λq m για κάθε m,,. Για m υποθέτουµε ότι δεν υπάχουν ποϊόντα στο σύστηµα ούτε εκκεµείς πααγγελίες, τότε το λq δηλώνει το µέσο υθµό άφιξης πελάτη ο οποίος θα δεχθεί να µπει πώτος στη λίστα αναµονής. Όταν υπάχει έτοιµο απόθεµα, τότε η ζήτηση γίνεται µε µέσο υθµό λ. Ποφανώς θα έχουµε λ λ λ....

14 Πώτες Ύλες Μονάδα Πααγωγής, Έτοιµα Ποϊόντα Πωλήσεις Ζήτηση, λ Εκκεµείς Πααγγελίες Αποιφθείσες Πααγγελίες Σχήµα.: Σύστηµα Πααγωγής Η λειτουγία του συστήµατος συνδέεται µε τία οικονοµικά µεγέθη: p h b το κέδος από την πώληση µίας µονάδας ποϊόντος το µοναδιαίο κόστος αποθέµατος, που είναι το κόστος διατήησης αποθέµατος µιας µονάδας τελικού ποϊόντος ή πώτης ύλης για µια χονική µονάδα το µοναδιαίο κόστος µη ικανοποιηµένης ζήτησης, που είναι το κόστος καθυστέησης της ικανοποίησης µιας εκκεµούσας πααγγελίας στη µονάδα του χόνου. Το κόστος αποθέµατος h πειλαµβάνει δύο συνιστώσες κόστους. Η πώτη είναι το χηµατοοικονοµικό κόστος, που ποκύπτει από τη δέσµευση κεφαλαίου για την αγοά πώτων υλών. Η δεύτεη πειλαµβάνει όλα τα είδη κόστους που σχετίζονται µε την φυσική διαδικασία συντήησης αποθέµατος, όπως το κόστος των αποθηκευτικών χώων, το κόστος λειτουγίας ενός συστήµατος διαχείισης υλικών, το κόστος κατάψυξης για κάποια είδη ποϊόντων κλπ. Το κόστος µη ικανοποιηµένης ζήτησης b µποεί να πειλαµβάνει επίσης δύο είδη κόστους. Το ένα κόστος είναι χηµατοοικονοµικό και συνίσταται στην απώλεια της ευκαιίας επένδυσης του κέδους από την πώληση ενός ποϊόντος για όσο χονικό διάστηµα µία πααγγελία πααµένει ανικανοποίητη σε σχέση µε την επένδυση του κέδους αν η πώληση 3

15 γινόταν άµεσα. Η δεύτεη συνιστώσα απατίζεται από το τυχόν κόστος δυσφήµησης και τις ήτες καθυστέησης, για την πείπτωση που ο πελάτης δεν ικανοποιηθεί αµέσως αλλά υποχεωθεί να πειµένει.. Πειγαφή της πολιτικής BSBB Για τον έλεγχο του αποθέµατος και των εκκεµών πααγγελιών χησιµοποιείται µια πολιτική BSBB ώστε να αποφευχθούν υπεβολικά αποθέµατα αλλά και εκκεµείς πααγγελίες. Η πααγωγή διακόπτεται όταν η αποθήκη έτοιµων ποϊόντων έχει κοµµάτια, το οποίο είναι το απόθεµα βάσης, ενώ µια νέα πααγγελία αποίπτεται όταν εκκεµούν ήδη πααγγελίες, αυτό είναι το έλλειµµα βάσης. Η πολιτική BSBB συνοψίζεται στους παακάτω κανόνες: Κανόνας : Στο χόνο µηδέν, το σύστηµα έχει πώτες ύλες, κανένα έτοιµο ποϊόν και καµία εκκεµούσα πααγγελία. Άα η στάθµη της αποθήκης του συστήµατος, η οποία ποσµετά έτοιµα ποϊόντα και πώτες ύλες για την πααγωγή αυτών, είναι σταθεή και ίση µε, όπου το είναι ένας µη ανητικός ακέαιος αιθµός τον οποίο θα αναφέουµε ως απόθεµα βάσης. Το επίπεδο αποθέµατος του συστήµατος οίζεται ως ο συνολικός αιθµός κοµµατιών στο σύστηµα µείον το αιθµό των ανικανοποίητων πααγγελιών. Κανόνας : Όταν ένας πελάτης ζητά ένα ποϊόν, η αντίστοιχη πααγγελία γίνεται δεκτή και ικανοποιείται στιγµιαία αν υπάχουν έτοιµα ποϊόντα, αλλιώς η πααγγελία γίνεται αποδεκτή ή αποίπτεται ανάλογα µε τον αιθµό των πααγγελιών που ήδη εκκεµούν. Αν εκκεµούν πααγγελίες, τότε η νέα πααγγελία αποίπτεται, αλλιώς γίνεται δεκτή. Το είναι ένας µη ανητικός ακέαιος αιθµός τον οποίο θα αναφέουµε ως έλλειµµα βάσης. Όταν µια πααγγελία γίνεται αποδεκτή, τότε µια πώτη ύλη για ένα ποϊόν εισέχεται στο σύστηµα και αυξάνει τον αιθµό κοµµατιών στο σύστηµα κατά ένα, άα το επίπεδο αποθέµατος του συστήµατος πααµένει αναλλοίωτο και ισούται µε. Κανόνας 3: Μία πώληση παγµατοποιείται στιγµιαία όποτε υπάχει ένα έτοιµο ποϊόν στο σύστηµα και µία εκκεµούσα πααγγελία. Άα ο αιθµός των ποϊόντων 4

16 και των εκκεµών πααγγελιών δεν µποεί να είναι ταυτόχονα θετικός. Το επίπεδο αποθέµατος του συστήµατος δεν επηεάζεται ούτε από τις πωλήσεις και πααµένει. Το πόβληµα πος επίλυση είναι ο καθοισµός των βέλτιστων και που µεγιστοποιούν το µέσο υθµό κέδους του συστήµατος. Αυτή η ποσότητα ισούται µε το µέσο υθµό κέδους από τις πωλήσεις µείον το αναµενόµενο κόστος αποθέµατος και µη ικανοποιηµένης ζήτησης και δίνεται από την συνάτηση: J(, ) pth, hh, bb,, όπου TH, οίζεται ο µέσος υθµός πααγωγής του συστήµατος, H, το µέσο απόθεµα του συστήµατος (έτοιµα ποϊόντα και πώτες ύλες) και B, το µέσο πλήθος ανικανοποίητων πααγγελιών. Στη συνέχεια θα αναζητήσουµε αναλυτικές εκφάσεις αυτών των ποσοτήτων χησιµοποιώντας τη θεωία ουών αναµονής. Για τον λόγο αυτό αναλύεται ένα ισοδύναµο αναµονητικό σύστηµα µε αυτό του συστήµατος πααγωγής που εξετάζουµε..3 Το αναµονητικό σύστηµα Η κατάσταση του αναµονητικού συστήµατος πειγάφεται από έναν ακέαιο αιθµό n, τέτοιον ώστε n. Αν n, στο αναµονητικό σύστηµα, τότε στο σύστηµα πααγωγής δεν υπάχουν εκκεµείς πααγγελίες, ο αιθµός των έτοιµων ποϊόντων είναι n και υπάχουν πώτες ύλες για την πααγωγή n ποϊόντων. Όταν n <, στο σύστηµα πααγωγής δεν υπάχουν έτοιµα ποϊόντα, εκκεµούν n πααγγελίες και έχουν εισαχθεί πώτες ύλες για την κατασκευή n ποϊόντων. Συγκεκιµένα, όταν n, το αναµονητικό σύστηµα είναι άδειο και ο εξυπηετών αδανής. Αντίστοιχα στο αχικό σύστηµα, η αποθήκη έτοιµων ποϊόντων είναι πλήης και η πααγωγική µονάδα αδανής. Όταν n, το αναµονητικό σύστηµα είναι γεµάτο και όλες οι νέες αφίξεις αποίπτονται. Κατ αντιστοιχία στο σύστηµα πααγωγής δεν υπάχουν έτοιµα ποϊόντα, εκκεµούν ανικανοποίητες πααγγελίες και µποστά από τη µηχανή υπάχουν πώτες ύλες για την πααγωγή ποϊόντων. Στον Πίνακα. παουσιάζονται η στάθµη του αποθέµατος αλλά και των εκκεµών πααγγελιών σε αντιστοιχία µε τις καταστάσεις n του αναµονητικού συστήµατος. Οι χόνοι αφίξεων και εξυπηετήσεων στο αναµονητικό σύστηµα 5

17 ταυτίζονται αντίστοιχα µε τους χόνους αφίξεων πααγγελιών και πααγωγής στο σύστηµα πααγωγής. Πίνακας.: Αντιστοιχία καταστάσεων αναµονητικού συστήµατος και µεταβλητών του συστήµατος πααγωγής Καταστάσεις αναµονητικού συστήµατος, n Αιθµός πώτων υλών Αιθµός έτοιµων ποϊόντων Αιθµός εκκεµούντων πααγγελιών Εφόσον οι χόνοι αφίξεων και εξυπηετήσεων είναι εκθετικοί, το αναµονητικό σύστηµα είναι τύπου Μ/Μ//k, µε χωητικότητα k. H εξέλιξη του συστήµατος µποεί να πειγαφεί από µια αλυσίδα Markov, της οποίας οι καταστάσεις παουσιάζονται στο Σχ... Στη συνέχεια αναλύουµε το αναµονητικό σύστηµα στη µόνιµη κατάσταση λειτουγίας. λ λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ µ Σχήµα.: Αλυσίδα Markov του συστήµατος Έστω P n η πιθανότητα ώστε στη µόνιµη κατάσταση, το αναµονητικό σύστηµα να βίσκεται στην κατάσταση n, n,,,,. Στη θεωία ουών αναµονής, οι πιθανότητες αυτές υπολογίζονται µε την χήση των εξισώσεων Chapman-olmogorov οι οποίες έχουν την µοφή: P n (υθµός εξόδου από την κατάσταση n) Όλες οι P m καταστάσεις m n (µετάβαση από m σε n), 6

18 Για παάδειγµα για την κατάσταση, έχουµε την εξίσωση P (λ µ) P λ P - µ. Οι υπόλοιπες εξισώσεις ποκύπτουν παόµοια. Από αυτές, µε λίγη άλγεβα ευίσκουµε: P n λ µ λ µ n P λ λ λ µ n n P n n <. (.) Συµβολίζουµε το πηλίκο του µέσου υθµού αφίξεων πος το µέσο υθµό εξυπηέτησης, άα λ / µ και κατ επέκταση n λ n / µ. Χησιµοποιώντας την εξίσωση κανονικοποίησης, P P P και αντικαθιστώντας τις Εξ. (.) των πιθανοτήτων, ποκύπτει η πιθανότητα της κατάστασης : P / G, όπου G i, ( ) i (.).4 Αναλυτικές εκφάσεις των µέτων απόδοσης του συστήµατος Από τον Πίνακα. µποούµε να διακίνουµε ότι το µέσο απόθεµα του συστήµατος (έτοιµα ποϊόντα και πώτες ύλες) βίσκεται από την σχέση H, P P P ( )P ( )P, ενώ ο µέσος αιθµός εκκεµών πααγγελιών είναι B, P P P. Αντικαθιστώντας τις Εξ. (.) για τις πιθανότητες και µε λίγη άλγεβα καταλήγουµε στις παακάτω εξισώσεις για αυτές τις ποσότητες H D, (.3) G,, και D, B,, (.4) G, 7

19 όπου D, ( 3 ). (.5) Το σύστηµα πααγωγής παάγει µε µέσο υθµό µ συνεχώς και σταµατά την πααγωγή του όταν η κατάσταση γίνει. Άα ο µέσος υθµός πααγωγής του συστήµατος µποεί να βεθεί από την σχέση TH, G, µ ( P ) µ. (.6) G, Από τις Εξ. (.3), (.4), (.5) και (.6), ο υθµός καθαού κέδους του συστήµατος γάφεται ως εξής: J(, ) pth, hh, bb, D pµ ( P ) h ( h b) G,, G, D, pµ h ( h b). (.7) G G,, Η πααπάνω εξίσωση, εκφάζει το αναµενόµενο κέδος του συστήµατος συνατήσει του αποθέµατος βάσης και του ελλείµµατος βάσης. Η εξίσωση αυτή θα είναι και η αντικειµενική συνάτηση πος µεγιστοποίηση του συστήµατος. 8

20 3 Βελτιστοποίηση 3. Εισαγωγή Στην ποηγούµενη ενότητα, µε την χήση των πιθανοτήτων µόνιµης κατάστασης, εκφάσαµε µαθηµατικά το αναµενόµενο κέδος του συστήµατος ως συνάτηση του αποθέµατος βάσης και του ελλείµµατος βάσης. Έχοντας πλέον ακιβείς εκφάσεις των µέτων απόδοσης του συστήµατος και της συνάτησης του µέσου υθµού κέδους, θα ποχωήσουµε στην επίλυση του ποβλήµατος που δεν είναι άλλη από την µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάτησης J(, ). Το πόβληµα αυτό είναι δύο διαστάσεων και εποµένως θα το επιλύσουµε σειιακά. Πώτα θα µεγιστοποιήσουµε την J(, ) συνατήσει του κατώντας σταθεό το, και στην συνέχεια θα εφαµόσουµε µια εξαντλητική αναζήτηση για το βέλτιστο. Στη συνέχεια αποδεικνύουµε δύο θεωήµατα τα οποία εξασφαλίζουν την κοιλότητα της J(, ) ως πος και παέχουν σηµαντικές ιδιότητες που έχουν τα βέλτιστα για διαδοχικές τιµές του. Τέλος θα παουσιάσουµε έναν αλγόιθµο βασισµένο στα δύο αυτά θεωήµατα, ο οποίος εντοπίζει τα βέλτιστα και. 3. Μεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάτησης ως πος το έλλειµµα βάσης Αναφέαµε ποηγουµένως ότι το πόβληµα µεγιστοποίησης του κέδους είναι δύο διαστάσεων, εποµένως θα το επιλύσουµε σειιακά. Πώτα θα µεγιστοποιήσουµε την συνάτηση J(, ) ως πος το κατώντας το σταθεό. Για κάποια σταθεή τιµή του αναζητούµε την τιµή του για την οποία ικανοποιούνται ταυτόχονα οι ακόλουθες ανισότητες J(, ) > J(, ) (3.) J(, ) J(, ) (3.) Το παακάτω θεώηµα εξασφαλίζει ότι υπάχει αυτό το και ότι είναι µοναδικό 9

21 Θεώηµα 3.: (α) Για κάθε σταθεό, η συνάτηση J(, ) µεγιστοποιείται στο σηµείο <, το οποίο είναι η µοναδική λύση της ανισότητας,, < A b h pµ A, (3.3) όπου ( ) ( ) ( ) [ ] i i A, 3. (3.4) (β) Επίσης, η συνάτηση J(, ) είναι αύξουσα ως πος στο διάστηµα [, ) και φθίνουσα στο (, ). Απόδειξη (α) Το βέλτιστο σηµείο πέπει να ικανοποιεί ταυτόχονα τις ανισότητες J(, ) > J(, ) (3.5) J(, ) J(, ) (3.6) Από την ανισότητα (3.5) και χησιµοποιώντας την Εξ. (.6), καταλήγουµε στην παακάτω σχέση,,,,,, ) ( ) ( < G D b h G pµ G D b h G µ p Αντικαθιστώντας τις Εξ. (.), (.5) και διαγάφοντας τους κοινούς όους, η πααπάνω ανισότητα γίνεται ( ) ( ) [ ] < i i b h pµ ) ( η οποία µε την βοήθεια της Εξ. (3.4) µετατέπεται στην, < A b h pµ. (3.7) ουλεύοντας µε παόµοιο τόπο, η ανισότητα (3.6) δίνει A b h pµ,. (3.8)

22 Εποµένως, από τις (3.7), (3.8), το βέλτιστο σηµείο πέπει να ικανοποιεί την ανισότητα (3.3). Εφόσον η Εξ. (3.4) είναι αύξουσα ως πος, συνεπάγεται ότι η (3.3) έχει µοναδική ακέαια λύση, έστω την. Επίσης, από την Εξ. (3.4) βλέπουµε ότι lim A, > pµ/(h b) και εποµένως µια τιµή δεν ικανοποιεί την ανισότητα (3.3). Άα το θα είναι πεπεασµένο. (β) Έστω ότι για σταθεό απόθεµα βάσης, βήκαµε το βέλτιστο έλλειµµα βάσης το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες (3.) και (3.), που είναι ισοδύναµες µε τις (3.7) και (3.8) αντίστοιχα. Τότε ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] i i i i A 3, ) ( [ ] i i,, G A A, < Εποµένως από την (3.8) θα έχουµε,, ) /( > A A b h pµ (3.9) Έχουµε αποδείξει ότι η ανισότητα (3.8) ισοδυναµεί µε την (3.6). Συνεπώς η (3.9) συνεπάγεται ότι J(, ) J(, ). Παόµοια και µε επαγωγή αποδεικνύουµε ότι J(, k) J(, k ) για κάθε k. Με ανάλογο τόπο από την ισοδυναµία των (3.7) και (3.5) αποδεικνύεται ότι J(, k) J(, k ) για κάθε k. Άα η συνάτηση J(, ) είναι αύξουσα στο διάστηµα [, ) και φθίνουσα στο (, ). Το επόµενο θεώηµα, παέχει µια σηµαντική ιδιότητα που έχουν τα βέλτιστα για διαδοχικές τιµές του. Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χήσιµη στην ποσπάθεια εντοπισµού του βέλτιστου αποθέµατος βάσης * για το σύστηµα πααγωγής.

23 Θεώηµα 3.: Αν το είναι η τιµή του που µεγιστοποιεί την J(, ) για σταθεό, τότε η βέλτιστη λύση της συνάτησης J(, ) θα ικανοποιεί την ανισότητα. Απόδειξη Από το µέος (α) του Θεωήµατος 3., έχουµε ότι το βέλτιστο για σταθεό ικανοποιεί την ανισότητα J(, ) > J(, ), η οποία είναι ισοδύναµη µε την pµ/(h b) < A,. Έχουµε ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] i i i i A A,, ) ( ) ( ( ) ( ) [ ]( ) ) ( Όταν η πααπάνω ποσότητα είναι θετική. Επίσης στην πείπτωση < έχουµε ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, f d d d d A A

24 όπου f() ( ). Με πααγώγηση συνατήσει του, αποδεικνύεται ότι η f() είναι φθίνουσα συνάτηση του, για <. Εφόσον f(), συνεπάγεται ότι f() και άα Α, Α,. Εποµένως, A A (3.),, για κάθε. Από τις ανισότητες (3.) και (3.7) έχουµε ότι p µ ( h b) < A,, η οποία ισοδυναµεί µε την σχέση J(, ) > J(, ). (3.) Τέλος, το µέος (β) του Θεωήµατος 3. λεει ότι η J(, ) είναι φθίνουσα αν και µόνο αν >,άα από την (3.) θα πέπει > συνεπώς έχουµε. 3.3 Αλγόιθµος βελτιστοποίησης Τα Θεωήµατα 3. και 3. παέχουν σηµαντικές πληοφοίες για τις ιδιότητες της βέλτιστης λύσης στο σύστηµα πααγωγής υπό εξέταση. Ο παακάτω αλγόιθµος, κάνοντας χήση των ιδιοτήτων αυτών, εντοπίζει την βέλτιστη λύση ( *, * ) παγµατοποιώντας αχικά µια εξαντλητική αναζήτηση για το βέλτιστο απόθεµα βάσης και στη συνέχεια µια τοπική αναζήτηση για το βέλτιστο έλλειµµα βάσης. Βήµα. Καθόισε ένα άνω όιο - για την αναζήτηση του *. Θέσε J *, *, και *, ως τις τέχουσες βέλτιστές τιµές. Βήµα. Θέσε. Καθόισε το βέλτιστο έλλειµµα βάσης. Από το Θεώηµα 3., θα γίνει µια εξαντλητική αναζήτηση στο σύνολο {,,, }, οπότε Για,,,... Υπολόγισε το J(, ) Αν J(, ) < J(, ), τότε θέσε και πήγαινε στο Βήµα 3, αλλιώς αύξησε το κατά και συνέχισε. Βήµα 3. Ενηµέωσε τις βέλτιστες πααµέτους που έχουν βεθεί µέχι τώα. Αν J(, ) > J *, τότε θέσε J * J(, ), *, και *. 3

25 Βήµα 4. Αν < -, τότε θέσε, αλλιώς τέλος. Βήµα 5. Κάνοντας χήση του Θεωήµατος 3., εντόπισε το βέλτιστο έλλειµµα βάσης παγµατοποιώντας µια τοπική αναζήτηση στο σύνολο {,,, }, όπου είναι το βέλτιστο έλλειµµα βάσης του ποηγουµένου αποθέµατος βάσης. Οπότε, Για,,, Υπολόγισε το J(, ) Αν J(, ) < J(, ), τότε θέσε και πήγαινε στο Βήµα 3, αλλιώς µείωσε το κατά και συνέχισε Όπως θα δούµε στην Παάγαφο 4., σε πείπτωση που µποέσουµε να αποδείξουµε την κοιλότητα της συνάτησης J(, ), τότε ο πααπάνω αλγόιθµος θα µποούσε να τοποποιηθεί και, µε λιγότεο υπολογιστικό φότο, να εντοπίσει την βέλτιστη λύση ( *, * ) παγµατοποιώντας µια εξαντλητική αναζήτηση για το βέλτιστο απόθεµα βάσης η οποία δεν θα σταµατούσε στο άνω όιο - για την αναζήτηση του * αλλά σε εκείνη την τιµή για την οποία θα ισχύει η σχέση J(, ) > J(, ). Στην επόµενη ενότητα, επιβεβαιώνεται µε την βοήθεια αιθµητικών πααδειγµάτων ότι η ποτεινόµενη πολιτική BSBB επιτυγχάνει υψηλότεο κέδος από άλλες ευέως χησιµοποιούµενες πολιτικές. 4

26 4 Αιθµητικά Αποτελέσµατα Σε αυτήν την ενότητα συγκίνουµε µε αιθµητικά πααδείγµατα την ποτεινόµενη πολιτική BSBB για τον έλεγχο του αποθέµατος και των εκκεµών πααγγελιών σε ένα σύστηµα µε εκθετικά κατανεµηµένους χόνους µεταξύ διαδοχικών πααγγελιών και εκθετικές διάκειες πααγωγής. Η σύγκιση γίνεται µε άλλες συχνά εφαµοζόµενες πολιτικές σε αντίστοιχες πειπτώσεις και για διάφοες πααµέτους που οίζουν τέτοια συστήµατα. Τα αιθµητικά αποτελέσµατα επιβεβαιώνουν την ανωτεότητα και την ευελιξία της BSBB. Επιπόσθετα, µελετάτε η κοιλότητα του υθµού καθαού κέδους του συστήµατος συνατήσει του αποθέµατος βάσης. 4. Σύγκιση της πολιτικής BSBB µε άλλες πολιτικές ελέγχου Η ποτεινόµενη πολιτική BSBB συγκίνεται µε τις ακόλουθες πολιτικές: CB: ιατήηση αποθέµατος βάσης και πλήης αποδοχή πααγγελιών που γίνονται σε πειόδους µηδενικού αποθέµατος ποϊόντων LS: ιατήηση αποθέµατος βάσης και πλήης απόιψη πααγγελιών που γίνονται σε πειόδους µηδενικού αποθέµατος ποϊόντων ΜΤΟ: Λειτουγία χωίς απόθεµα, αποδοχή πααγγελιών µέχι κάποιο όιο (έλλειµµα βάσης) Αυτές οι πολιτικές αποδεικνύεται ότι είναι ειδικές πειπτώσεις της πολιτικής BSBB. Πάγµατι, έστω (, ) BSBB µια πολιτική µεικής αποδοχής πααγγελιών BSBB µε απόθεµα βάσης και έλλειµµα βάσης. Τότε η πολιτική CB είναι ισοδύναµη µε την πολιτική (, ) BSBB, η LS είναι (, ) BSBB, και η πολιτική MTO είναι (, ) BSBB. Θεωούµε ένα σύστηµα πααγωγής µε αποθαυνόµενες αφίξεις σε πειόδους µε µηδενικό απόθεµα έτοιµων ποϊόντων και πιθανότητες τοποθέτησης της πααγγελίας που ακολουθούν την αµονική πόοδο q m [.(m )], όπου m είναι ο αιθµός των εκκεµών πααγγελιών. Για παάδειγµα, σε πειόδους όπου δεν υπάχει 5

27 έτοιµο ποϊόν, ένας πελάτης θα θέσει την πααγγελία του µε πιθανότητα /..833, αν δεν εκκεµούν άλλες πααγγελίες, ή /.4.74, αν εκκεµεί µόνο µία, κ.ο.κ. Οι βασικές παάµετοι του συστήµατος είναι λ, µ, h, b 5, και p. Εξετάζεται η επίδαση της µεταβολής των εξής πααµέτων στο αναµενόµενο κέδος για όλες τις υπό εξέταση πολιτικές: του κόστους αποθέµατος h, του κέδους πώλησης p, του κόστους ανικανοποίητης ζήτησης b και του υθµού ζήτησης λ. Στα Σχ φαίνονται τα αποτελέσµατα για τις διάφοες τιµές του h, b και p αντίστοιχα. Αναµενόµενο Κέδος BSBB CB LS MTO h Σχήµα 4.. Αναµενόµενο κέδος συστήµατος ως πος h Αναµενόµενο Κέδος BSBB CB LS MTO b Σχήµα 4.. Αναµενόµενο κέδος συστήµατος ως πος b 6

28 Αναµενόµενο Κέδος BSBB CB LS MTO p Σχήµα 4.3. Αναµενόµενο κέδος συστήµατος ως πος p Στον Πίνακα 4. παουσιάζονται οι βέλτιστες παάµετοι ελέγχου του συστήµατος καθώς και το µέγιστο αναµενόµενο κέδος κάθε πολιτικής για διάφοες τιµές του υθµού ζήτησης λ. Πίνακας 4. : Βέλτιστες παάµετοι ελέγχου του συστήµατος και αναµενόµενο κέδος για διαφοετικούς υθµούς λ Ρυθµός ζήτησης λ 6 λ λ λ 5 Πολιτικές J J J J BSBB LS CB MTO

29 Από τα Σχ και τον Πίνακα 4., φαίνεται ότι η πολιτική BSBB επιτυγχάνει το υψηλότεο αναµενόµενο κέδος σε όλες τις πειπτώσεις και άα αποδεικνύεται και πιο ποσαµοστική στις πααµέτους του ποβλήµατος. Παατηούµε επίσης ότι για µικές τιµές του κόστους αποθέµατος, οι πολιτικές CB (πλήης αποδοχής) και LS (πλήης απόιψης) δίνουν αποτελέσµατα πολύ κοντά στην BSBB. Αυτή είναι µια λογική παατήηση καθώς το µέσο πλήθος εκκεµών πααγγελιών είναι πολύ µικό και οποιαδήποτε ποσπάθεια για µείωσή του δεν συµβάλει σηµαντικά στην αύξηση του κέδους. Σηµαντική παατήηση είναι ότι η πολιτική MTO (µεική αποδοχή χωίς διατήηση αποθέµατος) στις πειπτώσεις όπου η ζήτηση είναι χαµηλή (λ < µ) δίνει πολύ φτωχά αποτελέσµατα καθώς θα υπάχουν πάντα ανικανοποίητοι πελάτες. Για τιµές του λ πολύ µεγαλύτεες του µ, το κέδος που επιτυγχάνει η BSBB είναι ίδιο µε το κέδος της LS. Σε αυτή την πείπτωση οι αφίξεις των πελατών είναι πολύ συχνές µε αποτέλεσµα η απώλεια κέδους λόγω απόιψης πελατών να είναι αµελητέα σε σχέση µε το κόστος εκκεµών πααγγελιών και συνεπώς το βέλτιστο έλλειµµα βάσης για την BSBB γίνεται. Γενικά όσο αυξάνει το µέσο κόστος b εκκεµών πααγγελιών σε σχέση µε το συνολικό αναµενόµενο κέδος, το αναµενόµενο κέδος της LS και της CB συγκλίνει µε το αναµενόµενο κέδος της BSBB και όσο το b µειώνεται σε σχέση µε το συνολικό κέδος, η απόδοση της BSBB είναι καλύτεη. Άλλη µία παατήηση είναι ότι σε µικές τιµές του µοναδιαίου κέδους πωλήσεων, η ποτεινόµενη πολιτική παουσιάζει πολύ καλύτεη απόδοση από της υπόλοιπες. Αυτό οφείλεται στο ότι µε την BSBB, το κέδος που χάνεται από την µείωση της τιµής πώλησης συνυπολογίζεται στην απόφαση για την οιοθέτηση του αποθέµατος βάσης και του ελλείµµατος βάσης. Αντίθετα, στις άλλες πολιτικές δε συµβαίνει το ίδιο. Στην CB δεν διασφαλίζουµε την µικότεη δυνατή απώλεια κέδους καθώς πάντα θα δεχόµαστε πααγγελίες, στην LS δεν ποσπαθούµε να αυξήσουµε τις πωλήσεις και στην MTO αποίπτουµε πελάτες χωίς να εξασφαλίσουµε τα κέδη της από τις πωλήσεις του αποθέµατος. 8

30 4. Μελέτη ιδιοτήτων δευτέας τάξης της συνάτησης αναµενόµενου κέδους ως πος το απόθεµα βάσης Στην Παάγαφο 3.3 παουσιάσαµε έναν αλγόιθµο που εντοπίζει την βέλτιστη λύση ( *, * ) παγµατοποιώντας µια εξαντλητική αναζήτηση για το βέλτιστο απόθεµα βάσης και µια τοπική αναζήτηση για το βέλτιστο έλλειµµα βάσης. Η εξαντλητική αναζήτηση σταµατά σε ένα άνω όιο - για το απόθεµα βάσης. Αν γνωίζαµε ότι η συνάτηση J(, ) ήταν κοίλη ή σχεδόν κοίλη ως πος (, ) από κοινού τότε θα µποούσαµε να εφαµόσουµε µια τοπική έευνα και για το, η οποία θα σταµατούσε στο µικότεο που ικανοποιεί την ανισότητα J(, ) > J(, ). Το Σχ δείχνει την γαφική παάσταση της συνάτησης J(, ) για το σύστηµα µε τις βασικές τιµές πααµέτων που οίσθηκαν στην ποηγούµενη παάγαφο. 85 Αναµενόµενο Κέδος BSBB Σχήµα 4.4.Γαφική παάσταση της συνάτησης J(, ) Παατηούµε ότι η συνάτηση J(, ) είναι κοίλη στο σύνολο { : 5 } αλλά για να χησιµοποιήσουµε αυτή την ιδιότητα στον αλγόιθµο πέπει πώτα να αποδειχθεί το ίδιο και για κάθε > 5. Αυτό αποτελεί αντικείµενο µελλοντικής έευνας. 9

31 5 Συµπεάσµατα Κατευθύνσεις Στην εγασία αυτή, εξετάσαµε το πόβληµα του συνδυασµένου ελέγχου αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών σε συστήµατα πααγωγής µίας µηχανής, που παάγουν ένα τύπο ποϊόντος. Η πολιτική αυτή ονοµάστηκε πολιτική αποθέµατος βάσης ελλείµµατος βάσης (BSBB, bae tok bae baklog). Όταν δεν υπάχουν πααγγελίες το σύστηµα παάγει µέχι το απόθεµα να φτάσει ένα συγκεκιµένο κατώφλι, το απόθεµα βάσης. Κατ ένα δυαδικό τόπο, όταν δεν υπάχει απόθεµα ετοίµων ποϊόντων, οι νέες πααγγελίες αποθαύνονται και γίνονται δεκτές εφ όσον το πλήθος των εκκεµών πααγγελιών είναι µικότεο από ένα συγκεκιµένο κατώφλι, το έλλειµµα βάσης, διαφοετικά αποίπτονται. Το ζητούµενο σε αυτού του είδους τις πολιτικές είναι να εκτιµηθούν οι τιµές των δύο αυτών πααµέτων που µεγιστοποιούν το αναµενόµενο κέδος του συστήµατος, το οποίο ποκύπτει από τα κέδη των πωλήσεων µείον το κόστος αποθέµατος και το κόστος µη ικανοποιηµένης ζήτησης. Μοντελοποιήσαµε το σύστηµα ως ένα αναµονητικό σύστηµα τύπου Μ/Μ//k και βήκαµε τις ακιβείς µαθηµατικές εκφάσεις των µέτων απόδοσης του συστήµατος καθώς και του αναµενόµενου κέδους. Αποδείξαµε σηµαντικές ιδιότητες για τις βέλτιστες τιµές του αποθέµατος βάσης και του ελλείµµατος βάσης µε τη βοήθεια των οποίων υλοποιήσαµε έναν αλγόιθµο για τον εντοπισµό αυτών των βέλτιστων τιµών. Ο αλγόιθµός αυτός µποεί να γίνει αποδοτικότεος και πιο οικονοµικός εφόσον αποδειχθεί η κοιλότητα της συνάτησης κέδους ως πος το απόθεµα βάσης. Τα αιθµητικά αποτελέσµατα έδειξαν ότι ο συνδυασµένος έλεγχος αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών επιτυγχάνει υψηλότεα κέδη από τεις διαδεδοµένες πολιτικές ελέγχου συστηµάτων πααγωγής, µε τις οποίες συγκίθηκε. Η ιδέα του συνδυασµένου ελέγχου αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών θα µποούσε να εφαµοστεί σε συστήµατα πααγωγής µε πολλές κατηγοίες πελατών, αλλά και σε συστήµατα όπου υπάχει διαφοετικό κόστος αποθήκευσης για τα έτοιµα ποϊόντα και τις πώτες ύλες. Μια ακόµα επέκταση αποτελεί η εξέταση γενικότεων κατανοµών για τις αφίξεις πααγγελιών και τις διάκειες πααγωγής. 3

32 Βιβλιογαφία [] Akella, R. and umar, P.R. (986) Optimal ontrol of prodution rate in a failure prone manufaturing ytem. IEEE Tranation on Automati Control, 3, 6 6. [] Lou, S.X.C. and Van Ryzin G., (989) Optimal ontrol rule for heduling job hop. Annal of Operation Reearh, 7, [3] Van Ryzin, G. Lou, S.X.C. and Gerhwin, S.B. (993) Prodution ontrol for a tandem two-mahine ytem. IIE Tranation, 5, 5. [4] Veah, M.H. and Wein, L.M. (99) Monotone ontrol of queueing network. Queueing Sytem,, [5] Weber, R.R. and Stidham, S. Jr (987) Optimal ontrol of ervie rate in network of queue. Advane in Applied Probability, 9, 8. [6] Buzaott, J.A. and Shanthikumar, J.G. (99) A general approah for oordinating prodution in multiple-ell manufaturing ytem. Prodution and Operation Managent,, 34 5 [7] Zipkin, P.H. () Foundation of Inventory Management, MGraw-Hill, New York, NY. [8] Stidham, S. Jr (985) Optimal ontrol of admiion to a queueing ytem. IEEE Tranation on Automati Control, 3, [9] Stidham, S. Jr and Weber, R.R. (993) A urvey of Markov deiion model for ontrol of network of queue. Queueing Sytem, 3, [] Ιωαννίδης, Ε. (4) Συνεγαζόµενες πολιτικές ελέγχου αποθεµάτων και αποδοχής πααγγελιών σε συστήµατα πααγωγής. ιδακτοική διατιβή, Πολυτεχνείο Κήτης, Χανιά [] Caldentey, R.A. () Analyzing the make-to tok queue in the upply hain and e-buine etting. Ph.D. diertation, Sloan Shool of Management, MIT, Maahuett. 3

33 [] ouikoglou, V.S. and Philli, Y.A. () Deign of produt peifiation and ontrol poliie in a ingle-tage prodution ytem. IIE Tranation, 34, [3] Naor, P. (969), The regulation of queue ize by levying toll, Eonometria, 37, 5 4 3