Απάντησε σε ερωτήσεις 0.9 Από ύψος h πάνω από το έδαφος αφήνουμε να πέσει ελεύθερα μία μπάλα. Να αναφέρεις όλες τις μετατροπές ενέργειας που συμβαίνουν μέχρι να φτάσει η μπάλα στο έδαφος. Ποιας δύναμης το έργο είναι υπαίτιο γι αυτές τις μετατροπές; 0.10 Τι ονομάζεται μηχανική ενέργεια ενός σώματος; 0.11 Να χαρακτηρίσεις καθεμία από τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστή (Σ) ή ως λανθασμένη (Λ). (α) Μηχανική ενέργεια είναι η ενέργεια που έχουν μόνο οι μηχανές. (β) Μηχανική ενέργεια ονομάζεται το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος. (γ) Στη μηχανική ενέργεια ενός σώματος συμπεριλαμβάνεται και η θερμότητα την οποία περικλείει. (δ) Τη μηχανική ενέργεια τη μετράμε σε J. 0.1 Το σώμα μάζας m έχει ταχύτητα υ και βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Κάθε σχέση από αυτές που υπάρχουν στη στήλη 1 και αφορούν το σώμα να την αντιστοιχίσεις με την κατάλληλη από τις ενέργειες που αναφέρονται στη στήλη. Στήλη 1 Στήλη 1. m g h α. Κινητική ενέργεια Ε Κ. m g h+ 1_ m υ β. Δυναμική ενέργεια U δυν 3. 1_ m υ γ. Μηχανική ενέργεια Ε μηχ δ. Θερμότητα Q Γράψε στα κουτάκια τους σωστούς συνδυασμούς. 0.13 Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας; 0.14 Να διατυπώσεις το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. 0.15 Πετάξαμε ένα σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω. Η μόνη δύναμη που δρα πάνω στο σώμα είναι το βάρος του. Αν κάποια στιγμή η κινητική ενέργεια του σώματος έχει ελαττωθεί κατά 50 J, πόση θα είναι η αντίστοιχη αύξηση της δυναμικής του ενέργειας μέχρι εκείνη τη στιγμή; Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ 67
0.16 Καθώς ένα σώμα πέφτει ελεύθερα από κάποιο ύψος προς το έδαφος: (α) Η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται. (β) Η κινητική του ενέργεια ελαττώνεται. (γ) Η μηχανική του ενέργεια παραμένει σταθερή. (δ) Η μηχανική του ενέργεια αυξάνεται. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι η σωστή; 0.18 Αφήσαμε ένα σώμα από κάποιο ύψος να πέσει ελεύθερα στο έδαφος. Η δυναμική ενέργεια του σώματος στο αρχικό ύψος ήταν U δυν = 100 J. Αν κατά τη διάρκεια της πτώσης του χάθηκαν 10 J ενέργεια εξαιτίας της αντίστασης του αέρα, να υπολογίσεις την κινητική ενέργεια με την οποία φτάνει το σώμα στο έδαφος. 0.17 Πετάξαμε ένα σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω. Καθώς το σώμα ανεβαίνει: (α) Η κινητική του ενέργεια αυξάνεται. (β) Η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται. (γ) Η μηχανική του ενέργεια παραμένει σταθερή. (δ) Η δυναμική του ενέργεια ελαττώνεται. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι οι σωστές; 0.19 Καθώς ένα σώμα κινείται, κάποια στιγμή έχει κινητική ενέργεια Ε Κ = 80 J και δυναμική ενέργεια U δυν = 80 J. Κάποια στιγμή, ύστερα από λίγο, η κινητική του ενέργεια διπλασιάζεται. Αν η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το βάρος του, να βρεις πόση είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος την ίδια στιγμή. 68 ΕΝΟΤΗΤΑ 0
Λύσε ασκήσεις Σε όλες τις ασκήσεις που ακολουθούν οι τριβές και οι δυνάμεις αντίστασης θεωρούνται αμελητέες. 0.0 Ένα σώμα με μάζα m = kg έχει κάποια στιγμή ταχύτητα υ = 10 m s και απόσταση από το έδαφος h = 0 m. Αν η g = 10 m s, να υπολογίσεις: (α) Την κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή αυτή. (β) Τη δυναμική ενέργεια του σώματος τη στιγμή αυτή. (γ) Τη μηχανική ενέργεια του σώματος την ίδια στιγμή. 0.3 Από το σημείο (Γ) του εδάφους ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα με (αρχική) ταχύτητα υ 0 = 0 m m s. Δίνεται ότι g = 10 s. Να υπολογίσεις: (α) Σε πόσο ύψος θα ανεβεί το σώμα μέχρι να μηδενιστεί στιγμιαία η ταχύτητά του (μέγιστο ύψος). (β) Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που, καθώς ανεβαίνει, βρίσκεται στο μισό του μέγιστου ύψους. Δίνεται ότι (14,1) 00. 0.1 Ένα αυτοκίνητο που έχει μάζα m = 1,5 tn περνάει από το ψηλότερο σημείο μιας γέφυρας με ταχύτητα υ = 7 km. Αν το ύψος της γέφυρας είναι h = 4 m, να υπολογίσεις τη μηχανι- h κή ενέργεια του αυτοκινήτου ως προς το έδαφος. Δίνεται ότι g = 10 m s. 0.4 Από κάποιο σημείο του εδάφους ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0 = 40 m m s. Αν g = 10 s, να υπολογίσεις: (α) Το μέγιστο ύψος από το έδαφος στο οποίο θα φτάσει το σώμα. (β) Την ταχύτητα με την οποία θα επιστρέψει το σώμα στο έδαφος. 0. Σώμα μάζας m αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h = 45 m από το έδαφος. Αν g = 10 m, να υπολογίσεις την ταχύτητα με την οποία s φτάνει το σώμα στο έδαφος. 0.5 Πετάμε ένα σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 = 15 m s. Να προσδιορίσεις την ταχύτητα με την οποία θα επιστρέψει το σώμα στο σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε χωρίς να κάνεις ούτε μία πράξη. Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ 69
0.6 Το παιδί ξεκινάει από την κορυφή (Α) της πίστας του σκέιντμπορντ ακτίνας R = 5 m χωρίς αρχική ταχύτητα. Αν g = 10 m s, να υπολογίσεις την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει το παιδί στη βάση (Γ) της πίστας. g = 10 m s, να υπολογίσεις το μέγιστο ύψος από το έδαφος στο οποίο θα ανεβεί το σώμα. 0.7 Ο σκιέρ μάζας m αφήνεται ελεύθερος από την κορυφή (Α) της χιονοδρομικής πίστας αρχαρίων να ολισθήσει προς τα κάτω χωρίς αρχική ταχύτητα. Το ύψος της πίστας είναι h = 80 m και g = 10 m s. Να υπολογίσεις την ταχύτητα υ με την οποία θα φτάσει ο σκιέρ στη βάση (Γ) της πίστας. (Δες και το σχήμα που ακολουθεί.) 0.9 Το σώμα μάζας m = kg του σχή ματος φτάνει με ταχύτητα υ = 0 m s στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ε λα τηρίου που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Να υπολογίσεις πόση θα είναι η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια που θα αποκτήσει το ελατήριο. 0.30 Στο στιγμιότυπο (Ι) του σχήματος το σώμα μάζας m = kg φτάνει μόλις στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, με ταχύτητα υ = 10 m s. Αν η μέγιστη συσπείρωση του ελα τηρίου (στιγ μιότυπο ΙΙ) είναι y = 1 m, να υπολογίσεις τη μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια που θα αποκτήσει το ελατήριο. Δίνεται ότι g = 10 m s. Επίσης, να θεωρήσεις ως επίπεδο με μηδενική δυναμική ενέργεια U δυν = 0 αυτό στο οποίο το ελατήριο έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του. 0.8 Το σώμα μάζας m εκτοξεύτηκε κατά μήκος του λείου κεκλιμένου επιπέδου, από τη βάση του (Γ), με αρχική ταχύτητα υ 0 = 30 m s. Αν 70 ΕΝΟΤΗΤΑ 0
0.31 Από το ύψος h εκτοξεύσαμε οριζόντια το σώμα με ταχύτητα υ 0 = 0 m s. Το σώμα διέγραψε καμπύλη τροχιά και έφτασε στο έδαφος με ταχύτητα υ Γ = 30 m m s. Αν g = 10 s, να υπολογίσεις το ύψος h από το οποίο εκτοξεύσαμε το σώμα. 0.3 Αφήνουμε το σώμα μάζας m = kg να πέσει από ύψος h = 50 m, όπως στο σχήμα. Αν κατά τη διάρκεια της καθόδου του σώματος χάνονται 100 J ενέργεια από την αντίσταση του αέρα και g = 10 m s, να υπολογίσεις την ταχύτητα με την οποία φτάνει το σώμα στο έδαφος. Η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ 71
Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: Ε Κ = m ολ υ = 1.00 kg ( 60 m s ) ή Ε Κ =.160.000 J. 19.38 Η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι Ε Κ = mυ. Η δυναμική ενέργεια του σώματος στο ύψος h είναι U δυν = m g h. Αφού όλη η βαρυτική δυναμική ενέργεια έχει μετατραπεί σε κινητική, ισχύει: U δυν = Ε Κ ή m g h = m υ ή h = υ g ή h = ( 10 m s ) 10 m ή h = 5 m. s Κριτήριο αξιολόγησης 1. (α) Η σχέση U δυν = m g h. (β) Η δυναμική ενέργεια του ελαστικά παραμορφωμένου σώματος είναι ίση με την ενέργεια που δαπανήθηκε για να παραμορφωθεί. Έτσι, U δυν = 8 J.. (α) Ε Κ = m υ. Αν διπλασιαστεί η μάζα του σώματος, θα έχουμε: Ε Κ = mυ = m υ = Ε Κ ή Ε Κ = 00 J. (β) Ε Κ = m υ. Αν διπλασιαστεί η ταχύτητα του σώματος, θα έχουμε: Ε Κ = m (υ) = 4 m υ ή Ε Κ = 4Ε Κ ή Ε Κ = 400 J. 3. Μετατροπές στο S.I.: m = 150 g = 150 : 1.000 = 0,15 kg. h = 10 cm = 10 : 100 = 1, m. Επομένως, U δυν = m g h ή U δυν = 0,15 kg 10 m s 1, m ή U δυν = 1,8 J. 4. (α) Ε κ 1 = m 1υ1 ή Ε κ1 = 4 kg ( 0 m s ) ή Ε κ1 = 800 J. (β) Η κινητική ενέργεια Ε κ = Ε ολ Ε κ1 ή Ε κ = 900 J 800 J ή Ε κ = 100 J. (γ) Από τη σχέση Ε κ = m υ έχουμε: Ε κ = m υ ή m = Εκ = 100 J υ m = 0,5 kg. ( 0 m s ) ή 0. Η μηχανική ενέργεια και η διατήρησή της 0.3 αντίστροφα, έργου, δυνάμεων. 0.4 δυναμικής, κινητικής, μηχανική, (Ε μηχ), U + Ε Κ. 0.5 ηλεκτρικές, ελαστικής, σταθερή. 0.9 Η μπάλα αρχικά έχει μόνο δυναμική ενέργεια. Σταδιακά η αρχική δυναμική ενέργεια της μπάλας μετατρέπεται σε κινητική (αυξάνεται η ταχύτητά της, ελαττώνεται το ύψος από το έδαφος). Όταν η μπάλα είναι έτοιμη να ακουμπήσει στο έδαφος, όλη η ενέργειά της έχει μετατραπεί σε κινητική. Υπαίτιο γι αυτές τις μετατροπές είναι το έργο του βάρους του σώματος. 0.10 Δες σελ. 59. 0.11 α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ. 0.1 1β, γ, 3α. 0.13 Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος ή ενός συστήματος διατηρείται σταθερή όταν στο σώμα ή στο σύστημα επιδρούν μόνο βαρυτικές, ηλεκτρικές ή δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης. 0.14 Δες σελ. 59. 0.15 Κάθε στιγμή, όσο ελαττώνεται η κινητική ενέργεια του σώματος, τόσο αυξάνεται η δυναμική του και αντίστροφα. Επομένως η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος μέχρι εκείνη τη στιγμή θα είναι 50 J. 0.16 Σωστή είναι η πρόταση γ. 0.17 Σωστές είναι οι προτάσεις β και γ. 0.18 Ε Κ = U δυν 10 J ή Ε Κ = 100 J 10 J = 90 J. 0.19 Τη στιγμή t 1 που Ε Κ = 80 J και U δυν = 80 J έχουμε Ε μηχ = 80 J + 80 J ή Ε μηχ = 160 J. Τη στιγμή t που Ε Κ = Ε Κ ή Ε Κ = 160 J θα ισχύει: Ε μηχ = Ε Κ + U δυν ή 160 J = 160 J + U δυν ή U δυν = 0 J. 0.0 (α) Ε Κ = m υ ή Ε Κ = 100 J. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 401
(β) U δυν = m g h ή U δυν = 400 J. (γ) Ε μηχ = Ε Κ + U δυν = 100 J + 400 J ή Ε μηχ = 500 J. 0.1 Μετατροπές στο S.Ι.: m = 1,5 tn = 1,5 1.000 = 1.500 kg. υ = 7 km h = 7 : 3,6 m s = 0 m s. Η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου είναι Ε Κ = m υ ή Ε Κ = 300.000 J. Η δυναμική ενέργεια του αυτοκινήτου ως προς το έδαφος είναι U δυν = m g h ή U δυν = 60.000 J. Επομένως Ε μηχ = Ε Κ + U δυν ή Ε μηχ = 360.000 J. 0. Η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα, καθώς πέφτει, είναι το βάρος του. Επομένως κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης η μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. E μηχαρχ = E μηχτελ ή E καρχ + U δυναρχ = E κτελ + U δυντελ (1) Αλλά E καρχ = 0, U δυναρχ = m g h, E κτελ = m υ και U δυντελ = 0. Έτσι, η σχέση (1) γίνεται: 0 + m g h = m υ + 0 ή υ = g h ή υ = 900 m ή υ = 30 m s. 0.3 (α) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. E μηχαρχ = E μηχτελ ή E καρχ + U δυναρχ = E κτελ + U δυντελ ή m υ + 0 = 0 + m 0 g h ή h = υ 0 ή h = 0 m. g (β) E καρχ + U δυναρχ = E κτελ + U δυντελ ή s m υ + 0 = 0 m υ +m 1 g h ή υ 1 = υ 0 g h ή υ 1 = 14,1 m s. 0.4 (α) E καρχ + U δυναρχ = E κτελ + U δυντελ ή m υ + 0 = 0 + m 0 g h ή h = υ 0 ή h = 80 m. g (β) Το σώμα σε αυτό το ανεβοκατέβασμα δεν υφίσταται απώλειες ενέρ γειας, οπότε φτάνει πάλι στο έδαφος με όση ταχύτητα ξεκίνησε. Δηλαδή υ = υ 0 = 40 m s. 0.5 Σε αυτή του την «περιπέτεια» το σώμα δεν υπέστη απώλειες ενέργειας. Επομένως θα επιστρέψει στο σημείο από το οποίο εκτοξεύτηκε με όση ταχύτητα ξεκίνησε. Δηλαδή υ = υ 0 = 15 m s. 0.6 E μηχαρχ = E μηχτελ ή E κα + U δυνα = E κγ + U δυνγ ή 0 + m g R = m υ + 0 ή υ = g R ή υ = 100 m s ή υ = 10 m s. 0.7 E κα + U δυνα = E κγ + U δυνγ ή 0 + m g h = m υ + 0 ή υ = g h ή υ = 1.600 m s ή υ = 40 m s. 0.8 E κγ + U δυνγ = E κτελ + U δυντελ ή m υ0 + 0 = 0 + m g h ή h = 45 m. 0.9 Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για το σύστημα σώμα ελατήριο: E μηχαρχ = E μηχτελ E καρχ + U ελαταρχ = E κτελ + U ελαττελ (1) Αλλά στην αρχή το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος (δεν είναι παραμορφωμένο), οπότε U ελαταρχ = 0. Τη μέγιστη ελαστική του δυναμική ενέργεια θα την έχει το ελατήριο τότε που το σώμα θα έχει στιγμιαία σταματήσει και αυτό θα έχει υποστεί τη μέγιστη συσπείρωσή του. Δηλαδή E κτελ = 0 και U ελαττελ = max. Αντικαθιστώντας στη σχέση (1), έχουμε: m υ + 0 = 0 + U ελαττελ ή U ελαττελ = 400 J. 0.30 Στο πρόβλημα αυτό εκτός από τη βαρυτική δυναμική ενέργεια υπεισέρχεται και η ελαστική δυναμική ενέργεια του παραμορφωμένου ελατηρίου. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για το σύστημα σώμα ελατήριο. E μηχαρχ = E μηχτελ ή E καρχ + U βαραρχ + U ελαταρχ = = E κτελ + U βαρτελ + U ελαττελ (1) Έχουμε: E καρχ = m υ, U βαραρχ = m g y, U ελαταρχ = 0, E κτελ = 0, U βαρτελ = 0. 40 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Αντικαθιστούμε στη σχέση (1) και έχουμε: m υ + m g y + 0 = = 0 + 0 + U ελαττελ ή U ελαττελ = 100 J + 0 J ή U ελαττελ = 10 J. 0.31 E κα + U δυνα = E κγ + U δυνγ ή m υ + m 0 g h = m υ Γ + 0 ή g h = ( υ Γ υ 0 ) ή g h = 50 ή h = 50 m ή h = 5 m. 10 0.3 Η αρχική μηχανική ενέργεια του σώματος είναι: E μηχα = E κα + U δυνα ή E μηχα = m g h = 1.000 J. Η τελική μηχανική ενέργεια του σώματος θα είναι ίση με την αρχική μείον τις απώλειες. Επομένως: E μηχτελ = E μηχα 100 J ή E μηχτελ = 900 J. Αλλά E μηχτελ = E κτελ + U δυντελ ή E μηχτελ = m υ +0 ή m υ = 900 ή υ = 30 m s. Κριτήριο αξιολόγησης 1. Δες σελ. 59.. Δες σελ. 59. 3. Στη θέση αυτή ισχύει: Ε Κ + U δυν = Ε μηχ (1) Αλλά για τη θέση αυτή έχουμε ότι U δυν = Ε Κ, οπότε η σχέση (1) γίνεται: Ε Κ + Ε Κ = Ε μηχ ή 3 Ε Κ = Ε μηχ ή 3 Ε Κ = 10 J ή Ε Κ = 40 J. Συνεπώς η U δυν = Ε Κ ή U δυν = 80 J. 4. (α) E καρχ + U δυναρχ = E κεδαφ + U δυνεδαφ ή 0 + m g h = m υ + 0 ή υ = 30 m s. (β) E καρχ + U δυναρχ = E κ1 + U δυν1 ή 0 + m g h = m υ 1 + m g h 1 ή υ 1 = g h g h 1 ή υ 1 = 0 m s. 1. Μορφές και μετατροπές ενέργειας Διατήρηση της ενέργειας Πηγές ενέργειας 1.3 ενέργεια, χημική. 1.4 δυναμικής, ανταλλάσσονται, ατόμων, μόρια. 1.5 κινητική, δυναμική. 1.6 θεμελιώδεις. 1.7 μετασχηματισμούς, μορφή, μετατραπεί. 1.8 μηδέν, εξαφανίζεται, μετατρέπεται, μεταφέρεται, διατηρείται. 1.9 ήλιος. 1.10 βιομάζα, κύκλος, άνεμος. 1.11 συμβατικές, εξαντλήσιμες. 1.1 αιολική, υδραυλική, γεωθερμική. 1.16 Δες σελ. 73. 1.17 Δες σελ. 73. 1.18 Δες σελ. 74. 1.19 Δες σελ. 75. 1.0 Σωστή είναι η πρόταση γ. 1.1 α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ. 1. (α) W w = U δυναρχ, οπότε, αφού W w = 60 J, και U δυναρχ = 60 J. (β) E κτελ = U δυναρχ W Α, δηλαδή E κτελ = 60 J 4 J ή E κτελ = 56 J. 1.3 Δες σελ. 75. 1.4 α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Λ. 1.5 Δες σελ. 75. 1.6 Σωστή είναι η πρόταση β. 1.7 Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας προκύπτει ότι: Ε χημ = W Fανύψωσης = U δυν ή Ε χημ = m g h ή Ε χημ = 6.000 J. 1.8 1α, β, 3α, 4β. 1.9 α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ. Σ. 1.30 (α) Ε Κ = m υ ή Ε Κ = 1.400 J. (β) Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας προκύπτει ότι: Ε χημ = W F = E κεκτόξευσης (1) Έτσι προκύπτει ότι και η Ε χημ = 1.400 J. (γ) Επίσης, από τη σχέση (1) έχουμε και ότι: W F =1.400 J. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 403