Ρευστομηχανική. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΚινηματικήκαιΔυναμικήτων Ρευστών 5 ο Μάθημα van Gogh starry night ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 2

Πρόβλημα Ροή ρευστών Μελέτη ροής ρευστών Γενική αντιμετώπιση Κίνηση σωματιδίων ρευστών Μακροσκοπική ανάλυση Διαφορική Ανάλυση Διαστατική Ανάλυση Νόμοι Μηχανικής Πως Με τι Δηλαδή Μελέτη όγκων ελέγχου ρευστού (πεπερασμένων διαστάσεων) Όγκοι ελέγχου απειροστών διαστάσεων Θεωρητική η/και μαθηματική επίλυση (όχι ευχερής) Διατμητικές Δύναμη τάσεις, πιέσεις ταχύτητα, επιτάχυνση Εξισώσεις συνέχειας-μάζας Μέσες τιμές Εξισώσεις ορμής παραμέτρων Εξισώσεις ενέργειας Αρχή Διατήρησης Διαφορικές μάζας εξισώσεις Αρχή Μάζας, Διατήρησης Ορμής, ορμής Ενέργειας Αρχή (κατανομή και Διατήρησης μέσες τιμές) ενέργειας Πειραματική μελέτη (φυσικά και γεωμετρικά μεγέθη) σε αριθμό αδιάστατων ομάδων για συσχέτιση Δυναμική ρευστών Κινηματική ρευστών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 3

Analysis Approaches Lagrangian (system approach) Describes a defined (position, velocity, acceleration, pressure, temperature, etc.) as functions of time Track the location of a migrating bird Eulerian mass field Describes the flow (velocity, acceleration, pressure, temperature, etc.) as functions of position and time Count the birds passing a particular location If you were going to study water flowing in a pipeline, which approach would you use? ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 4

ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 5

Εξισώσεις Bernoulli & Euler ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 6

Εξισώσεις Bernoulli & Euler 1 2 u g 2 p + + h = σταθ. γ p (Ενέργεια πίεσης ή Ενέργεια ροής) : γ Οφείλεται στην κίνηση του ρευστού μεταξύ 2 σημείων με διαφορά πίεσης. Δεν είναι ενέργεια που κατέχει το ρευστό. Είναι απλά ενέργεια που το ρευστό μπορεί να μεταφέρει. p + h (Πιεζομετρικό ύψος) γ Προϋποθέσεις : 1) Ιδανικό ρευστό 2) Μόνιμη ροή 3) Σταθερή Πυκνότητα κατά μήκος ροικής γραμμής Η Εξίσωση δεν ισχύει όταν μη εξωτερική συσκευή ( π.χ.αντλία ) παράγει έργο στο ρευστό (προσθέτει /αφαιρεί ενέργεια ) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 8

Εξισώσεις Bernoulli & Euler Επειδή η S είναι η μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή η εξίσωση 2 ϑ u p + + gh 2 ϑs ρ μπορεί να γραφεί : = 0 1 2 d( u 2 dp ) + + gdh ρ = 0 Εξίσωση Euler για: 1) για μόνιμη ροή 2) κατά μήκος μιας γραμμής ροής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 9

Εφαρμογή - Ανυψωτική δύναμη αεροπλάνου Μεγάλη ταχύτητα (μικρή πίεση) (μέγιστη πυκνότητα ρευματικών γραμμών) Μικρή ταχύτητα (μεγάλη πίεση) (μικρή πυκνότητα ρευματικών γραμμών) 1 2 u g 2 p + + h = σταθ. γ Για h : σταθερό (κίνηση αεροπλάνου ) Η ταχύτητα ελαττώνεται όταν αυξάνει η πίεση κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 10

Αρχή διατήρησης της μάζας Εξίσωση συνέχειας ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 15

Ειδικές μορφές της ολοκληρωμένης εξίσωσης συνέχειας Μόνιμη ροή Η πυκνότητα και οι υπόλοιπες δραστηριότητες του ρευστού δεν μεταβάλλονται μετοχρόνοκαιηεξίσωση συνέχειας απλοποιείται στη μορφή: ρ( u n) da = EE αν ροή ρευστού σε αγωγό μεταβλητής διατομής τότε: ρ u n) da = 0 ρ1u1da + ρ2u2da = 0 ρ1u1 A1 = EE A A 0 ( ρ u A 1 2 2 2 2 Μόνιμη και Ασυμπίεστη ροή ρ 1u 1A1 = ρ2u2 A2 u1a1 = u2 A2 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 16

Χωρικές χρονικές ταξινομήσεις Σταθερό μη σταθερό Ομοιόμορφη μη ομοιόμορφη ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 17

O.E. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 19

O.E. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 20

Αρχή διατήρησης της ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 25

Αρχή διατήρησης της ορμής 0 (για μόνιμη ροή) d mυ θ = u n dv n dt t ρ + ρυ υ θ ΣF= ( ) da OE EE Η ανυσματική αυτή σχέση μπορεί να εφαρμοστεί για οποιαδήποτε συνιστώσα Η συνισταμένη δύναμη σε έναν όγκο ελέγχου = Με τον ρυθμό αύξησης της γραμμικής ορμής στον όγκο + ελέγχου Την συνολική εκροή της γραμμικής ορμής από την επιφάνεια ελέγχου Σ x θ θ t 0 F = ρ υ dv + ρυ υ n da F = ρ υ ( υ ) A + ρ υ ( υ ) F x x x OE EE 2 υx 2 A ( υ 2 ) A 2 ρ 1 υx 1 ( υ 1 ) 1 = ρ x 1 x1 1 1 2 x2 2 A2 Όμως επειδή m = = προκύ πτει ότι : F x = ρq Όμοια ( υ υ ) x2 x1 F 1 m2 ρ1q1 = ρ2q2 = ρ Q ρ1q1 A1 ρ2q2 A2 ρq ( υ υ ) F = ρq( υ υ ) : y = y2 y1 & z z2 z1 Τελικά προκύπτει ότι ΣF = ρq 2 1 2 υ1 ( υ υ ) ή ΣF = m( υ ) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 26

Αρχή διατήρησης της ορμής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 27

Οι δυνάμεις που τείνουν να ανεβάσουν τον πύραυλο είναι: 1. Η αντίδραση της δύναμης πίεσης των καυσαερίων με μέτρο F p 2. Η αντίδραση της ορμής των καυσαερίων με μέτρο F ορμής Να τον κατεβάσουν είναι το βάρος του Β=Μg και η αντίσταση του αέρα R ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 31

Μεταβολή κινητικής ενέργειας ανά μονάδα χρόμου ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 35