Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε με την ολική μάζα του σώματος. Για υπολογισμούς, θεωρητικούς ή πρακτικούς, τη σχέση αυτή βολεύει να τη γράφουμε r i r i Σε συνιστώσες, x x, y y, z z i i i i i i Τα σώματα τα φανταζόμαστε ως συνεχή στις αναλύσεις μας, οπότε τις σχέσεις αυτές τις γράφουμε x xd, y y d, z z d Θα δουλέψουμε με σώματα που έχουν ομοιόμορφη διατομή κατά μήκος της διεύθυνσης z, οπότε η τελευταία σχέση δε θα μας χρειαστεί. Επίσης τα σώματα θα είναι ομογενή οπότε όταν ένα σώμα μας βολεύει Άν ένα σώμα μπορούμε να το δούμε σαν σύνολο από άλλα στερεά σώματα μάζας 1,,,, με δεδομένα κέντρα μάζας r 1, r, r,... αντίστοιχα, τότε εύκολα προκύπτει από τον ορισμό ότι r r r r 1 1... Δηλαδή, x x x x, y 1 y1 y y... 1 1...
Παράδειγμα 1 Να βρεθεί το κέντρο μάζας ομογενούς σώματος σχήματος ορθογωνίου τριγώνου διαστάσεων a, b. Λύση: x x d Η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του σώματος, δηλαδή η μάζα του ανά μονάδα εμβαδού είναι, ab ab Η μάζα του σκιασμένου κομματιού είναι b d y dx x dx x dx ab ab a a όπου πήραμε ότι y = (κλίση) x δηλαδή y = (b/a) x. Επομένως a a a a x x d x x dx x dx a a a δηλαδή a x. Προφανώς,
b y. Λύση η (χωρίς ολοκλήρωση): Έστω το κέντρο μάζας του τριγώνου είναι ( x, y ), το οποίο φαίνεται ως σημείο C στο σχήμα. Φέρνουμε οριζόντιες γραμμές στα μέσα των κάθετων πλευρών έτσι ώστε χωρίζουμε το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα, όμοια με αρχικό τρίγωνο αλλά του μισού μεγέθους, και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τα κέντρα μάζας τα ονομάζουμε C 1, C, C. Λόγω της ομοιότητας το κέντρο μάζας των μικρών (μισών) τριγώνων θα βρίσκεται στις μισές αποστάσεις από το κάτω αριστερό άκρο τους σε σχέση με τις αποστάσεις x και y του αρχικού τριγώνου: C : 1 ( x, y ) C : ( a x, b y ) ενώ του παραλληλογράμμου θα είναι : ( a a, b C ) 4 4 Από τη σχέση x x x x 1 1 παίρνουμε x x a a x ( ) 4 4 4
όπου χρησιμοποιούμε το προφανές γεγονός ότι τα μικρά τρίγωνα θα έχουν μάζα /4 και το παραλληλόγραμμο μάζα / (όπου η μάζα του αρχικού τριγώνου). Η προηγούμενη σχέση δίνει αμέσως a x. Αντίστοιχα, θα προκύψει το αποτέλεσμα για το το y. Παράδειγμα Να βρεθεί το κέντρο μάζας του παρακάτω (ομογενούς) σώματος. Λύση: Το τριγωνο αποτελείται από δύο ορθογώνιο, όπως μπορουμε πάντα να αναλύσουμε ένα τρίγωνο. Θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση x 1 x1 x, y 1 y1 y Το σώμα είναι ομογενές, επομένως η αναλογία μαζών είναι αναλογία εμβαδών A A A 1 1 αφού όλα αυτά αντιστοιχούν στην ίδια ποσότητα μάζας ανά μονάδα εμβαδού. Άρα η πρώτη σχέση γράφεται στη μορφή Ax A1 x1 A x, A y A1 y1 A y που ισχύει πάντα σε ομογενή σώματα. Θα βάλουμε την αρχή των αξόνων στην τομή ύψους-βάσης. Για το x άξονα έχουμε ( b 1 b ) h 1 1 1 x b h ( b ) b h ( b )
( b b ) x 1 b b 1 x b b 1 Το y είναι το ίδιο και στα δύο ορθογώνια τρίγωνα άρα θα είναι το ίδιο και στο μεγάλο τρίγωνο y h Παράδειγμα Να βρεθεί το κέντρο μάζας ομογενούς ημικυκλικού σώματος ακτίνας R. Λύση: Προφανώς x. Υπολογίζουμε το y : y y d Η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του σώματος είναι R / R Η μάζα του σκιασμένου κομματιού είναι R R d x dy R y dy
όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση για το δεξί μέρος του ημικυκλίου: Επομένως x R y. R 4 R y y d y R y dy y R y dy R R Το ολοκλήρωμα που προέκυψε υπολογίζεται εύκολα: 1 1 1 R y y dy R y d( y ) ( R y ) ( R y ) / / επομένως 1 R R y y dy R δηλαδή 4 R y R 4 y R Παράδειγμα 4 Να βρεθεί το κέντρο μάζας του παρακάτω ομογενούς σώματος (ακτίνας R). Το σώμα έχει μία κυκλική τρύπα με κέντρο (a,b) με ακτίνα r.
Λύση: Δουλεύουμε ξανά με τις σχέσεις x 1 x1 x, y 1 y1 y που είναι ισοδύναμες με τις Ax A1 x1 A x, A y A1 y1 A y Η ύπαρξη της τρύπας σημαίνει ότι αφαιρούμε μάζα από τον (συμπαγή) δίσκο ακτίνας R, που μπορούμε να το ερμηνεύσουμε σα να προσθέτουμε αρνητική μάζα (ακτίνας r) με κέντρο μάζας στο σημείο (a,b). Το κέντρο μάζας του (συμπαγούς) δίσκου είναι φυσικά (,). Έχουμε ( ) ( ) R r x R r a, ( ) ( ) R r y R r b δηλαδή x r a R r, r b y R r Καθώς αφαιρούμε μάζα από πάνω και δεξιά, το κέντρο μάζας μετατοπίζεται κάτω και αριστερά. Ροπή αδράνειας Η ροπή αδράνειας σημειακής μάζας που απέχει απόσταση r από δεδομένο άξονα O είναι IO r Μία συνεχής κατανομή μάζας που έχει μάζα d σε αποστάση r από δεδομένο άξονα O έχει ροπή αδράνειας IO r d Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τον άξονα O. Θεώρημα των παράλληλων αξόνων (θεώρημα του Steiner): Εάν I είναι η ροπή αδράνειας γύρω από έναν άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας τότε η ροπή αδράνειας γύρω από έναν άξονα Ο που είναι παράλληλος στον πρώτο άξονα και βρίσκεται σε απόσταση D, είναι I I D O
Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η ροπή αδράνειας ομογενούς (λεπτής, δηλαδή αμελητέου εύρους) ράβδου μήκους l και μάζας γύρω από τον άξονα Ο του σχήματος και γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της ράβδου και είναι παράλληλο στον Ο. Λύση: IO r d Η ράβδος έχει γραμμική πυκνότητα μάζας (μάζα ανά μονάδα μήκους) ίση με l Το σκιασμένο κομμάτι έχει μια απειροστή μάζα d ίση με d dr l Επομένως η ροπή αδράνειας είναι l l I r d r dr r dr l l l l l O Το κέντρο μάζας βρίσκεται στη θέση r l, δηλαδή ο άξονας Ο βρίσκεται απόσταση D l από τον άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Steiner για να βρούμε τη ροπή αδράνειας γύρω από το κέντρο μάζας: I I D O l l l I I 1
Παράδειγμα Να βρεθεί η ροπή αδράνειας λεπτού δαχτυλιδιού (στεφάνης) ακτίνας r και μάζας γύρω από τον άξονα του. Λύση: Κάθε κομματάκι του δαχτυλιδιού μάζας Επομένως η ροπή αδράνειας είναι I r r r r i i ακριβώς όπως και στη σημειακή μάζα. i βρίσκεται στην ίδια απόσταση r από τον άξονα. Παράδειγμα Να βρεθεί η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ακτίνας R και μάζας γύρω από τον άξονα του. Λύση: Μπορούμε να φανταστούμε ένα δίσκο σαν πολλά ομόκεντρα δαχτυλίδια διαφορετικών ακτίνων το ένα μέσα στο άλλο. Άρα Iδίσκου I δαχτυλιδιού ακτίνας r
αθροίζοντας σε όλες τις ακτίνες. Πιο συγκεκριμένα I r d όπου d είναι η μάζα του (λεπτού) δαχτυλιδιού ακτίνας r. Η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του δίσκου είναι R Η μάζα του λεπτού δαχτυλιδιού είναι d r dr R Επομένως η ροπή αδράνειας είναι R R R R I r d r r dr r dr R R R 4 4 Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η ροπή αδράνειας της διάταξης του σχήματος. Η ορθογώνια πλάκα του σχήματος έχει μάζα. Λύση: Το σώμα μπορούμε να το φανταστούμε σαν μια συλλογή από παράλληλες λεπτές ράβδους μήκους a, όπως στο παρακάτω σχήμα. Άρα η ζητούμενη ροπή αδράνειας είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας αυτών των ράβδων. Η ροπή αδράνειας κάθε τέτοιας ράβδου γύρω από το δικό της κέντρο μάζας είναι
d a 1 Η ροπή αδράνειας της ράβδου (στη θέση x) γύρω από το κέντρο C είναι da 1 d x εφαρμόζοντας το θεώρημα των παράλληλων αξόνων (Steiner). Σημείωση: οι άξονες περνάνε κάθετα στο σχήμα. Πρέπει λοιπόν να αθροίσουμε όλες αυτές τις ροπές αδράνειας. Η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του ορθογώνιου κομματιού είναι ab Άρα η μάζα της λεπτής ράβδου d dx a dx ab b Επειδή για κάθε ράβδο δεξιά του C υπάρχει μία ράβδος αριστερά του C που συνεισφέρει την ίδια ροπή αδράνειας, θα αθροίσουμε τις ροπές αδράνειας μόνο των ράβδων δεξιά πολλαπλασιάζοντας την ολή ροπή αδράνειας επί : d a b/ / a b a I ( d x ) ( ) ( ) 1 x d 1 x dx 1 b b/ b/ a a x ( a b ) ( x ) dx x b 1 b 1 1 Ουσιαστικά η ορθογώνια πλάκα είναι μία φαρδιά ράβδος.
Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του παρακάτω ομογενούς σώματος (ακτίνας R και μάζας ) ως προς τον άξονα του. Η κυκλική τρύπα έχει κέντρο (a,b) και ακτίνα r. Λύση: Η ζητούμενη ροπή αδράνειας θα υπολογιστεί βρίσκοντας πρώτα τη ροπή αδράνειας του συμπαγούς σώματος (χωρίς την τρύπα) και αφαιρώντας τη ροπή αδράνειας ενός σώματος με το μέγεθος και τη θέση της τρύπας. Το εμβαδόν του σώματος είναι σώματος είναι R r. Άρα η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του R r Το συμπαγές σώμα έχει εμβαδό R επομένως η μάζα του είναι R R r R r R Η ροπή αδράνειας του συμπαγούς σώματος είναι φυσικά R R R συμπαγούς R r Η μάζα του σώματος στο μέγεθος της τρύπας είναι r R r R r r
Η ροπή αδράνειας αυτού του σώματος γύρω από το δικό του άξονα είναι R r r ρύπας R r Όμως ο άξονας που μας ενδιαφέρει βρίσκεται σε απόσταση D από τον άξονα της τρύπας. Από το σχήμα D a b Από το θεώρημα Steiner βρίσκουμε ότι η ροπή αδράνειας της τρύπας γύρω από τον άξονα του σώματος είναι τελικά τρύπας R ( ) τρύπας r r r D a b R r R r Επομένως η ζητούμενη ροπή αδράνειας είναι R R r r r I a b R r R r R r δηλαδή ( ) 4 4 ( R r ) r I ( a b ) ( R r ) R r ( R r ) r I a b R r ( ) Όταν η τρύπα βρίσκεται στο κέντρο a=, b= έχουμε ( r ) I R
Μερικές χρήσιμες ροπές αδράνειας