Σύστημα σωμάτων vs Στερεό σώμα

Transcript

1 Σύστημα σωμάτων vs Στερεό σώμα Μια σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R είναι συνδεμένη με ράβδο μήκους l και μάζας m μέσω ενός κατακόρυφου άξονα περιστροφής, έτσι ώστε να υπάρχει η δυνατότητα περιστροφής της σφαίρας σε σχέση με τη ράβδο. (Η σφαίρα έχει τρυπηθεί και το άκρο της ράβδου φτάνει στο κέντρο της σφαίρας από το οποίο περνάει ο άξονας περιστροφής). Το σύστημα είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντια θέση και δίνεται μια ώθηση στη ράβδο έτσι ώστε το σύστημα να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το άλλο άκρο Ο της ράβδου με γωνιακή ταχύτητα ω. α) Να προσδιοριστεί η κίνηση που θα εκτελέσει κάθε σώμα του συστήματος και να υπολογιστεί: i) η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος καθώς και του συστήματος ii) η στροφορμή του κάθε σώματος καθώς και του συστήματος Καθώς το σύστημα περιστρέφεται, ξαφνικά μπλοκάρει ο άξονας που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, εμποδίζοντας έτσι την περιστροφή της σφαίρας σε σχέση με τη ράβδο. β) Να υπολογιστεί η καινούρια γωνιακή ταχύτητα του συστήματος Απάντηση: α) Ράβδος: Η ράβδος εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από το Ο με γωνιακή ταχύτητα ω. (Όπως θα δούμε παρακάτω, η ίδια αυτή κίνηση μπορεί να θεωρηθεί και σύνθεση δυο κινήσεων: Μίας μεταφορικής ομαλής κυκλικής κίνησης (του κέντρου μάζας) ακτίνας l/2 και γωνιακής ταχύτητας ω και μιας περιστροφικής κίνησης της ίδιας γωνιακής ταχύτητας γύρω από το κέντρο μάζας...) Σφαίρα: Το σίγουρο είναι πως η σφαίρα θα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από το Ο. Είναι όμως αυτή η κίνηση μεταφορική ή είναι καί περιστροφική (σύνθετη); Για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα, πρέπει να εξετάσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες μεταφέρθηκε η ώθηση που δώσαμε στη ράβδο πάνω στη σφαίρα. Η ράβδος ασκεί μια δύναμη στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας και αυτός με τη σειρά του μεταφέρει αυτή τη δύναμη στη σφαίρα... Μία τέτοια δύναμη όμως (που περνάει μέσα από τον άξονα) δεν δημιουργεί ροπή (ως προς αυτό τον άξονα) και έτσι η σφαίρα θα διατηρήσει την αρχική της περιστροφική κατάσταση (περιστροφική ηρεμία) εκτελώντας μόνο μεταφορική κίνηση.

2 i) Κινητικές ενέργειες Ράβδος: Α τρόπος: Η ράβδος είναι ένα στερεό σώμα από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής στο σημείο Ο. Έτσι, η κίνηση που κάνει είναι περιστροφική γύρω από το Ο. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Κ= 1 2 I ω2 στον οποίο το Ι θα πρέπει να είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το Ο. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Steiner έχουμε: Ι=Ιcm m l 2 2 = 1 12 ml2 1 4 ml2 = 4 12 ml2 = 1 3 ml2 Έτσι για την κινητική ενέργεια της ράβδου έχουμε: Κ= ml2 ω 2 = 1 6 ml2 ω 2 Β τρόπος Επίσης, όπως αναφέραμε παραπάνω, η κίνηση της ράβδου μπορεί να προκύψει σαν επαλληλία δυο κινήσεων: Μίας μεταφορικής ομαλής κυκλικής κίνησης (του κέντρου μάζας) ακτίνας l/2 και γωνιακής ταχύτητας ω και μιας περιστροφικής κίνησης της ίδιας γωνιακής ταχύτητας γύρω από το κέντρο μάζας. Αυτό προκύπτει αν φανταστούμε τη ράβδο να κάνει μεταφορική κίνηση γύρω από το Ο... Σε μία περίοδο όμως της ομαλής αυτής κυκλικής κίνησης θα πρέπει να έχει κάνει ταυτόχρονα μια περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας της. Άρα θε πρέπει να περιστρέφεται και γύρω από το κέντρο μάζας της με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. αυτή κίνηση: Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο της κινητικής ενέργειας για τη σύνθετη Κ= 1 2 m u 2 cm 1 2 I cmω 2 Το u cm u=ω r με r= l 2 : μπορούμε να το υπολογίσουμε από τον τύπο της γραμμικής ταχύτητας Άρα: K= 1 2 m ω l ml2 ω 2 = 1 8 mω2 l mω2 l 2 = 4 24 mω2 l 2 = 1 6 ml2 ω 2 Παρατήρηση: Καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα χωρίς να χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Steiner.

3 Σφαίρα: Α τρόπος: Για τη σφαίρα τα πράγματα είναι απλά... Μεταφορική κίνηση: Κ= 1 2 Μ u 2 cm Το u cm u=ω r με r=l μπορούμε να το υπολογίσουμε από τον τύπο της γραμμικής ταχύτητας Άρα: Κ= 1 2 Μ u 2 cm= 1 2 M ω2 l 2 Β τρόπος Τί θα γινόταν όμως αν εφαρμόζαμε την ίδια λογική που εφαρμόσαμε στη ράβδο; (Αν δηλαδή δούμε την κίνηση της σφαίρας ως σύνθεση μιας περιστροφικής κίνησης γύρω από το Ο και μιας περιστροφικής αντίθετης γωνιακής ταχύτητας ως προς το κέντρο μάζας της) Steiner: Για την περιστροφική κίνηση ως προς το Ο, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα I=Icm Ml 2 = 2 5 M R2 M l 2 =M 2 5 R2 l 2 Άρα η κινητική ενέργεια λόγω αυτής της περιστροφής είναι: K 1 = 1 2 I ω2 = 1 2 M 2 5 R2 l 2 ω 2 Για την περιστροφική γύρω από το κέντρο μάζας της: K 2 = 1 2 Icm ω2 = M R2 ω 2 = M R2 ω 2 Ερχόμαστε λοιπόν σε ένα σημείο, στο οποίο συνειδητοποιούμε οτι για να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα που βρήκαμε με τον Α τρόπο, πρέπει να αφαιρέσουμε την K 2 από την K 1 και όχι να τις προσθέσουμε!!! Έτσι: K=Κ 1 Κ 2 = 1 2 Μ 2 5 R2 l 2 ω MR2 ω 2 = 1 2 M l2 ω 2 (Σε αυτό το σημείο θα ήθελα τα σχόλια των συναδέλφων ως προς την αιτιολόγηση της αρνητικής K 2.)

4 Σύστημα: Για την κινητική ενέργεια του συστήματος, αρκεί να προσθέσουμε τις κινητικές ενέργειες των δυο στερεών. Έτσι: Κ= 1 6 ml2 ω M l2 ω 2 = 1 6 m 1 2 M l2 ω 2 ii) Στροφορμές Ράβδος: Α τρόπος Η ράβδος είναι ένα στερεό που εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από το Ο. Έτσι, η στροφορμή της μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο L=Iω οπού η ροπή αδράνειας θα είναι αυτή που υπολογίσαμε στο προηγούμενο ερώτημα (ως προς το Ο). Έχουμε λοιπόν: L=Iω= 1 3 m l2 ω Β τρόπος Στο προηγούμενο ερώτημα είδαμε πως μπορούμε να θεωρήσουμε την κίνηση της ράβδου ως επαλληλία μιας μεταφορικής και μιας περιστροφικής κίνησης. Και οι δύο αυτές κινήσεις έχουν από μια στροφορμή ως προς τον άξονα Ο. Για την μεταφορική κίνηση, η στροφορμή της ράβδου ως προς το Ο, δίνεται από τη σχέση L 1 =mur (που στο σχολικό βιβλίο χαρακτηρίζεται ως στροφορμή υλικού σημείου αλλά στην πραγματικότητα είναι η στροφορμή κάθε στερεού που εκτελεί μεταφορική κίνηση ως προς ένα σημείο) Για u θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το u cm =ω l και το r είναι πάντοτε η 2 κάθετη απόσταση από τον άξονα (που δεν είναι απαραίτητο να είναι άξονας περιστροφής). Δηλαδή r= l 2. Έτσι: L 1 =mur=mω l 2 l 2 = ml2 ω 4 Για την περιστροφική κίνηση που γίνεται γύρω από το κέντρο μάζας της ράβδου, η στροφορμή δίνεται από τον τύπο L 2 =Icm ω οπότε: L 2 =Icm ω= 1 12 ml2 ω Επειδή η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και οι δύο παραπάνω στροφορμές

5 είναι ομόροπες, η ολική στροφορμή της ράβδου ως προς το Ο θα είναι το άθροισμά τους: L=L 1 L 2 = 1 4 ml2 ω 1 12 ml2 ω= 4 12 ml2 ω= 1 3 ml2 ω (Σε αυτό το σημείο θα ήθελα και πάλι τα σχόλια των συναδέλφων ως προς το δικαίωμα να προσθέτουμε στροφορμές που αναφέρονται σε διαφορετικά σημεία) Παρατήρηση: Καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα χωρίς να χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Steiner. Άρα το Steiner μπορεί να θεωρηθεί συνέπεια της αρχής της επαλληλίας των κινήσεων και όχι της ενέργειας ή της στροφορμής. Σφαίρα: Α τρόπος Η σφαίρα κάνει μεταφορική κίνηση γύρω από το Ο. Έτσι, σύμφωνα με αυτά που είπαμε προηγουμένως για τη στροφορμή στερεού που εκτελεί μεταφορική κίνηση, η στροφορμή της θα δίνεται από τον τύπο L=Μur όπου το u=ωl και r=l. Έτσι: L=Μur=Μωl 2 B τροπος Αν πάλι αναλύσουμε την κίνηση της σφαίρας σε μία περιστροφική ως γύρω από το Ο και σε μια περιστροφική αντίθετης γωνιακής ταχύτητας ως προς το κέντρο μάζας της θα έχουμε: Για την πρώτη κίνηση (ως προς το Ο): L 1 =Iω οπου Ι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς το Ο: Steiner: Ι=Ιcm Ml 2 = 2 5 M R2 M L 2 =M 2 5 R2 l 2 Άρα: L 1 =I ω=m 2 5 R2 l 2 ω Για τη δεύτερη κίνηση (ως προς το κέντρο μάζας της): L 2 =Icm ω= 2 5 M R 2 ω Η ολική στροφορμή της σφαίρας (επειδή η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και η L 1 είναι αντίρροπη της L 2 ) είναι: L=L 1 L 2 =M 2 5 R 2 l 2 ω 2 5 M R2 ω=μl 2 ω που είναι το ίδιο αποτέλεσμα με του Α τρόπου.

6 Σύστημα: Για την στροφορμή του συστήματος, αρκεί να προσθέσουμε τις στροφορμές των δυο στερεών. Έτσι: L= 1 3 ml2 ω Ml 2 ω= 1 3 m M l2 ω Μήπως όμως θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα υπολογίζοντας την ολική στροφορμή του συστήματας βρίσκοντας πρώτα τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς το Ο; Ας δοκιμάσουμε: Ι συστήματος =Ι ραβδου Ι σφαίρας = 1 3 ml2 M 2 5 R2 l 2 (*) Παρατηρώντας την παραπάνω ροπή αδράνειας και συγκρίνοντας με τη ροπή αδράνειας που προέκυψε από τον τελικό τύπο της στροφορμής του συστήματος ( Ι= 1 3 m M l2 ) βλέπουμε ότι η ροπή αδράνειας του συστήματος που υπολογίσαμε με τον τελευταίο τρόπο είναι μεγαλύτερη κατά έναν όρο που ισούτε με τη στροφορμή της σφαίρας ως προς το κέντρο μάζας της. Αυτή η διαφορά προκύπτει επειδή το σύστημά μας δεν μπορεί να χαρακτηριστεί στερεό σώμα... Δεν περιστρέφεται όλο μαζί γύρω από το Ο. Αν λοιπόν προσπαθήσουμε να το περιστρέψουμε ασκώντας μια ροπή στη ράβδο, η σφαίρα δεν θα εκτελέσει απλή περιστροφή ως προς το Ο και έτσι η σύνθετη περιστροφή του συστήματος θα είναι πιο εύκολη (μικρότερη αδράνεια) από την απλή περιστροφή του αντίστοιχου στερεού γύρω από το Ο. β) Το μπλοκάρισμα του άξονα μετατρέπει το προηγούμενο σύστημα σε στερεό σώμα, αφού χάνεται πλέον η δυνατότητα της σφαίρας να κινείται σε σχέση με τη ράβδο. Έτσι, η σφαίρα θα αναγκαστεί να μετατρέψει την προηγούμενη καθαρά μεταφορική της κίνηση σε καθαρά περιστροφική γύρω από το Ο. Αυτό όμως σημαίνει πως θα αποκτήσει και μια γωνιακή ταχύτητα λόγω της περιστροφής που θα κάνει γύρω από το κέντρο μάζας της. Μπορεί λοιπόν να διατηρηθεί το ίδιο ω για το σύστημα; Η απάντηση (μέσα από την αρχή διατήρησης της ενέργειας) είναι όχι! Για να εκτελεί η σφαίρα παράλληλα με την προηγουμένως καθαρά μεταφορική της κίνηση μία επιπλέον περιστροφική κίνηση, θα έπρεπε να της προσφέρουμε ενέργεια... Δεν κάναμε όμως κάτι τέτοιο και έτσι θα πρέπει να ελαττωθεί η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος.

7 Ποιός όμως θα τη μεταβάλλει? Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι πως θα πρέπει να ασκηθεί μια δύναμη (έτσι μόνο -λέει ο Newton- έχουμε μεταβολή στην ταχύτητα) Η δύναμη αυτή προφανώς ασκείται από τον άξονα στη σφαίρα αλλά και στη ράβδο. Το καλό λοιπόν της υπόθεσης είναι πως είναι μια εσωτερική δύναμη για το σύστημά μας. Οι εσωτερικές δυνάμεις όμως δεν ασκούν εξωτερικές ροπές. Κάτι τέτοιο σημαίνει πως η στροφορμή του συστήματος ως προς το Ο θα πρέπει να διατηρηθεί. Ναι αλλά γιατί να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αφού δεν ασκούνται ροπές; Εδώ θέλει λίγη προσοχή: Κατ' αρχήν όπως βλέπετε παραπάνω, οι εσωτερικές δυνάμεις δεν ασκούν εξωτερικές ροπές... Αυτό δε σημαίνει ότι δεν ασκούν ροπές γενικά. Ο άξονας που μπλόκαρε, θα ασκήσει ροπή στη σφαίρα ώστε να την περιστρέψει γύρω από το κέντρο μάζας του (Το λεπτό σημείο εδώ είναι πως ο άξονας περνάει από το κέντρο μάζας της σφαίρας και έτσι δημιουργεί την αίσθηση πως δε μπορεί να της ασκήσει ροπή ως προς το κέντρο μάζας της. Μπορούμε όμως να ξεπεράσουμε την παραπάνω δυσκολία αν σκεφτούμε πως στην πραγματικότητα ένας πραγματικός άξονας έχει διαστάσεις και έτσι η δύναμη θα ασκηθεί σε κάποια μη μηδενική απόσταση από την μαθηματική ευθεία που λέγεται άξονας περιστροφής) Επίσης, ο άξονας θα ασκήσει ροπή και στη ράβδο μειώνοντας έτσι την γωνιακή της ταχύτητα. Καταλήξαμε λοιπόν πως για να λύσουμε την άσκηση πρέπει να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα Ο. Την αρχική στροφορμή του συστήματος την έχουμε ήδη υπολογίσει ενώ για την τελική μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο * αφού μιλάμε πλέον για στερεό σώμα. Έχουμε λοιπόν: L αρχικό =L τελικό 1 3 m M l2 ω=[ 1 3 ml2 M 2 5 R 2 l 2 ]ω' ω'= 1 m M l ml2 M 2 ω 5 R 2 l 2 Παρατήρηση: Το αρχικό ω αφορούσε την περιστροφή της ράβδου γύρω από το Ο και τη μεταφορά της σφαίρας γύρω από το Ο. Δεν μπορούμε όμως να το ονομάσουμε γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος γιατί δεν είναι κοινό για την σύνθετη κίνηση όλου του συστήματος. Αντίθετα το ω' αφορά όλο το σύστημα (που πλέον μπορεί να μελετηθεί ως στερεο σώμα)