2. Ανάλυση του βασικού κινηματικού μηχανισμού των εμβολοφόρων ΜΕΚ

2. Ανάλυση του βασικού κινηματικού μηχανισμού των εμβολοφόρων ΜΕΚ Προαπαιτούμενες γνώσεις: (α) Γνώσεις των τμημάτων κινηματικού μηχανισμού Μηχανής Εσωτερικής Καύσης (β) Αριθμητικός υπολογισμός παραγώγου συνάρτησης Σκοπός της Άσκησης: Η εξοικείωση του φοιτητή με: (α) Τη διαδικασία επιμέτρησης και υπολογισμού της απόστασης εμβόλου από το Άνω Νεκρό Σημείο, ταχύτητας εμβόλου και επιτάχυνσης εμβόλου. (β) Τη μεταβολή των τριών παραπάνω μεγεθών σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου. (γ) Την εξαγωγή συμπερασμάτων από τη σύγκριση μετρήσεων με υπολογισμούς που προέρχονται από εξιδανικευμένο μοντέλο κινηματικού μηχανισμού ΜΕΚ 2.1 Κινηματικός Μηχανισμός ΜΕΚ Σαν κινηματικός μηχανισμός ή κινηματική αλυσίδα ΜΕΚ ορίζεται ο συνδυασμός στροφάλου διωστήρα εμβόλου (Σχήμα 2.1). Ο στρόφαλος εκτελεί μία καθαρά περιστροφική κίνηση, το έμβολο εκτελεί μία καθαρά ευθύγραμμη (παλινδρομική) κίνηση ενώ ο διωστήρας που συνδέει το έμβολο και τον στρόφαλο εκτελεί μία σύνθετη κίνηση (που ονομάζεται και αιώρηση) διότι το ένα του άκρο που είναι συνδεδεμένο με το έμβολο εκτελεί παλινδρομική κίνηση ενώ το άλλο του άκρο, που είναι συνδεδεμένο με τον στρόφαλο, εκτελεί περιστροφική κίνηση. Σχήμα 2.1 (α) Κινηματικός μηχανισμός Μ.Ε.Κ. (β) Εξιδανίκευση του κινηματικού μηχανισμού. Για τη μελέτη και τον υπολογισμό της κίνησης και των δυνάμεων που προκαλούνται, υποθέτουμε ότι ο διωστήρας και ο στρόφαλος εξιδανικεύονται με δύο ράβδους που συνδέονται μεταξύ τους με άρθρωση, και ότι το έμβολο είναι σημειακό. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι και τα τρία δομικά συστατικά του κινηματικού μηχανισμού έχουν μάζα, αλλά: I. η μάζα του διωστήρα είναι συγκεντρωμένη στα δύο άκρα του και όχι κατανεμημένη κατά μήκος του, όπως είναι στη πραγματικότητα, II. η μάζα του εμβόλου που θεωρείται σημειακό (ενώ στη πραγματικότητα έχει πεπερασμένες διαστάσεις) είναι συγκεντρωμένη στον πείρο όπου αρθρώνεται με τον διωστήρα και III. η μάζα του στροφάλου (που θεωρείται σαν μία ράβδος) είναι συγκεντρωμένη στο άκρο του. Οι παραπάνω υποθέσεις εργασίας γίνονται για να απλοποιηθεί το πραγματικό πρόβλημα του υπολογισμού των δυνάμεων που ασκούνται στο διωστήρα από την εκτόνωση των αερίων στο θάλαμο καύσης και από την παλινδρομική κίνηση της μάζας του διωστήρα, αφού το ένα άκρο του διωστήρα (που είναι αρθρωτά 41

συνδεδεμένο το έμβολο) εκτελεί μόνο παλινδρομική (ευθύγραμμη) κίνηση και το άλλο άκρο του (που είναι αρθρωτά συνδεδεμένο με τον στρόφαλο) εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση. Όλα τα ενδιάμεσα σημεία του εμβόλου εκτελούν σύνθετη κίνηση δηλ. μετατόπιση και περιστροφή. Παρόμοια η μάζα του στροφάλου είναι συγκεντρωμένη στο άκρο του και εκτελεί περιστροφική κίνηση. Η μάζα του εμβόλου εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση (παλινδρόμηση). Για μία τυχαία θέση του στροφάλου, που καθορίζεται από τη γωνία περιστροφής του στροφάλου, η μετατόπιση του εμβόλου x από το ΑΝΣ, σύμφωνα με το Σχήμα 2.1(β), είναι: (2.1) (2.2α) Από την Τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι: Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.2α) και (2.2β), προκύπτει ότι: (2.2β) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2.2γ) προκύπτει ότι: (2.2γ) Αδιαστατοποιώντας με την ακτίνα του στροφάλου, αποκτάμε την αδιάστατη μετατόπιση του εμβόλου από το ΑΝΣ: (2.3) Μικρή τιμή της αδιάστατης ποσότητας λ σημαίνει ότι η διάμετρος του στροφάλου θα είναι μικρή και το μήκος του διωστήρα μεγάλο. Άρα ο κινητήρας θα έχει μεγάλο ύψος και μικρό πλάτος. Αν πρόκειται να χρησιμοποιηθεί σε όχημα, τότε το κέντρο βάρους του οχήματος θα επηρεαστεί από το σχετικά υψηλό κέντρο βάρους του κινητήρα. Μεγάλη τιμή της παραμέτρου λ σημαίνει ότι το μήκος του διωστήρα του κινητήρα θα είναι σχετικά μικρό και η διάμετρος του στροφάλου θα είναι μεγάλη. Άρα ο κινητήρας θα πρέπει να έχει σχετικά μεγάλο πλάτος και σχετικά μικρό ύψος. Από υπάρχουσες κατασκευές εμβολοφόρων κινητήρων προκύπτει ότι η ποσότητα λ κυμαίνεται μεταξύ 1/5 και 1/3. (2.4) 2.2 Υπολογισμός ταχύτητας του εμβόλου Η ταχύτητα του εμβόλου είναι η παράγωγος της μετατόπισης εμβόλου ως προς το χρόνο: Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στροφαλοφόρου άξονα εκφράζεται στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων με το rad / s. (2.5) 42

Επειδή σε πολλές πρακτικές εφαρμογές είναι γνωστή η ταχύτητα περιστροφής του στροφαλοφόρου άξονα σε στροφές ανά λεπτό, RPM, πρέπει να κάνουμε την ακόλουθη μετατροπή: ώστε να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την τιμή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής στους υπολογισμούς που κάνουμε χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις που παρατίθενται στο κεφάλαιο αυτό. Η συνάρτηση που εκφράζει τη μετατόπιση του εμβόλου σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής του στροφάλου είναι η εξίσωση (2.3). Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ταχύτητας από την εξίσωση (2.5) και βρίσκοντας τη χρονική παράγωγο της μετατόπισης, υπολογίζουμε την ταχύτητα του εμβόλου που δίνεται από την εξίσωση: (2.6) (2.7) Η εξίσωση (2.7) μας δείχνει ότι η ταχύτητα του εμβόλου είναι συνάρτηση της γωνίας περιστροφής του στροφάλου φ. Συνεπώς η ταχύτητα του εμβόλου διαρκώς μεταβάλλεται. Κατά συνέπεια για κάθε τιμή της γωνίας φ, προκύπτει από την εξίσωση (2.7) μία τιμή της στιγμιαίας ταχύτητας του εμβόλου. Αδιαστατοποιώντας την ταχύτητα του εμβόλου με τη ταχύτητα περιστροφής του στροφάλου που είναι ω r, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση για την αδιάστατη ακριβή τιμή της ταχύτητας του εμβόλου: (2.8) 2.3 Υπολογισμός επιτάχυνσης του εμβόλου Η επιτάχυνση του εμβόλου ορίζεται σαν τη χρονική μεταβολή της ταχύτητας του εμβόλου, δηλ: Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης του εμβόλου γίνεται διότι αποσκοπεί, με βάση τον νόμο του Νεύτωνα ότι Δύναμη = Μάζα * Επιτάχυνση, στον υπολογισμό δυνάμεων που ασκούνται από τη λειτουργία του κινηματικού μηχανισμού ΜΕΚ. Η επιτάχυνση του εμβόλου λαμβάνεται από την παράγωγο της ταχύτητας ως προς τη γωνία φ, ξεκινώντας από την εξίσωση (2.7). Τότε παίρνουμε: (2.9) (2.10) Αδιαστατοποιώντας διά την κεντρομόλο επιτάχυνση του στροφάλου, που είναι ω 2 r, η αδιάστατη επιτάχυνση του εμβόλου που προκύπτει είναι: (2.11) 43

2.4 Αριθμητικός υπολογισμός παραγώγου Αν είναι γνωστές οι τιμές μίας συνάρτησης f(x) στο σημείο x, και f(x+δx) στο σημείο x+δx, τότε η παράγωγος της συνάρτησης f(x) που συμβολίζεται με, υπολογίζεται ως: (2.12) όπου Ο(Δx) είναι το σφάλμα της προσέγγισης που είναι τάξης μεγέθους Δx. Γραφικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2, η προσέγγιση αυτή αναπαρίσταται ως η κλίση της f(x) στο σημείο B χρησιμοποιώντας τις τιμές της συνάρτησης στα B και C. Σχήμα 2.2 Προσέγγιση της παραγώγου χρησιμοποιώντας τα σημεία x, x + Δx Χρησιμοποιώντας τις τιμές της συνάρτησης f(x) στο σημείο x και f(x-δx) στο σημείο x-δx, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα 2.3, τότε η παράγωγος της συνάρτησης f(x) που συμβολίζεται με, υπολογίζεται ως: (2.13) Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3, γραφικά η παράγωγος είναι η κλίση της συνάρτησης f(x) στο Β χρησιμοποιώντας τις τιμές της συνάρτησης f στα σημεία Α και Β. Σχήμα 2.3 Προσέγγιση της παραγώγου χρησιμοποιώντας τα σημεία x, x-δx 44

2.5 Πειραματική διερεύνηση του κινηματικού μηχανισμού ΜΕΚ Σε μερικώς αποσυναρμολογημένο εμβολοφόρο κινητήρα αποτυπώνεται με μετρήσεις απόστασης από την κεφαλή η κίνηση του εμβόλου σαν συνάρτηση της γωνίας περιστροφής στροφάλου. Για τη μέτρηση της γωνίας περιστροφής στροφάλου χρησιμοποιείται ειδικός δείκτης και κλίμακα ενδείξεων, η οποία μπορεί να προστεθεί είτε στο σφόνδυλο (βολάν) και να περιστρέφεται με αυτόν, είτε στο κορμό του κινητήρα και να είναι ακίνητη (Σχήμα 2.4). Σχήμα 2.4 Μοιρογνωμόνιο τοποθετημένο στο κορμό του κινητήρα για τη μέτρηση της γωνίας περιστροφής. Για τη μέτρηση της απόστασης του εμβόλου από το ΑΝΣ, χρησιμοποιείται ωρολογιακό μικρόμετρο στηριγμένο σε κατάλληλη μαγνητική βάση που εδράζεται στον εργαστηριακό πάγκο (Σχήμα 2.5). Σχήμα 2.5 Ωρολογιακό μικρόμετρο για τη μέτρηση της απόστασης εμβόλου από το ΑΝΣ. 45

Η σειρά που εκτελούμε τις μετρήσεις είναι η ακόλουθη: Βήμα 1 Ξεκινάμε τις μετρήσεις όταν το έμβολο βρίσκεται στο ΑΝΣ. Εκεί μηδενίζουμε την ένδειξη του ωρολογιακού μικρόμετρου. Περιστρέφουμε τον στρόφαλο του κινητήρα για δεδομένη γωνία περιστροφής, που τη μετράμε με ειδικό δείκτη και κλίμακα ενδείξεων σε μοίρες. Βήμα 2 Με τη βοήθεια του ωρολογιακού μικρόμετρου μετράμε τη μετατόπιση του εμβόλου από το ΑΝΣ, που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής του στροφάλου που αρχικά προδιαγράψαμε. Συνεχίζουμε τις μετρήσεις μέχρι να φτάσουμε στο ΚΝΣ. Βήμα 3 Μετρώντας τη διαδρομή του εμβόλου (s) που αντιστοιχεί στην απόσταση μεταξύ ΑΝΣ και ΚΝΣ, υπολογίζουμε την ακτίνα του στροφάλου (r) από την εξίσωση: (2.14) Συνεχίζουμε να περιστρέφουμε τον στρόφαλο του κινητήρα μέχρι να επιστρέψουμε στο ΑΝΣ, έχοντας έτσι καλύψει μία ολόκληρη περιστροφή του στροφάλου. Βήμα 4 Έχοντας υπολογίσει την ακτίνα στροφάλου, μπορούμε να αδιαστατοποιήσουμε τη μετρημένη απόσταση εμβόλου από το ΑΝΣ (που συμβολίζουμε με x) και να κάνουμε το γράφημα x/r σαν συνάρτηση της γωνίας περιστροφής φ. Βήμα 5 Με βάση τον αριθμητικό υπολογισμό πρώτης παραγώγου που αντιστοιχεί στη ταχύτητα εμβόλου που περιγράφηκε στο εδάφιο 2.4, υπολογίζουμε αριθμητικά την παράγωγο της αδιάστατης απόστασης εμβόλου από το ΑΝΣ (x/r), που αντιστοιχεί στην αδιάστατη ταχύτητα εμβόλου. Έτσι μπορούμε να κάνουμε το γράφημα της αδιάστατης ταχύτητας εμβόλου σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου. Βήμα 6 Έχοντας υπολογίσει την παράγωγο της αδιάστατης απόστασης εμβόλου (που αντιστοιχεί στη ταχύτητα εμβόλου), υπολογίζουμε αριθμητικά την παράγωγο της αδιάστατης ταχύτητας εμβόλου, που αντιστοιχεί στην αδιάστατη επιτάχυνση εμβόλου. Έτσι μπορούμε να κάνουμε το γράφημα της αδιάστατης επιτάχυνσης εμβόλου σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου. Οι πειραματικές τιμές της αδιάστατης απόστασης εμβόλου από το ΑΝΣ, καθώς και οι αντίστοιχες αδιάστατες τιμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του εμβόλου, συγκρίνονται με αυτές που υπολογίζονται από τις εξισώσεις (2.3), (2.7) και (2.10) αντίστοιχα. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 2.1 46

2.6 Βιβλιογραφία 1. Stone R., Introduction to Internal Combustion Engines, MacMillan, 3 rd edition, 1999. 2. Taylor C.F., The internal Combustion Engine in Theory and Practice, Vol. 1, Vol. 2, 2 nd edition, MIT Press, 1985. 3. Φατσής, Α., Θερμικές Εμβολοφόρες Μηχανές, Εκδόσεις Πατάκη, 2011. 4. Hoffmann K., Chiang S.T., Computational Fluid Dynamics Volume I, Engineering Education System, 4 th edition, 2000. 47

Ασκήσεις Κριτήρια Αξιολόγησης 1. Οι πειραματικές τιμές της αδιάστατης απόστασης εμβόλου από το ΑΝΣ, καθώς και οι αντίστοιχες αδιάστατες τιμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του εμβόλου, συγκρίνονται με αυτές που υπολογίζονται από τις εξισώσεις (2.4), (2.8) και (2.11) αντίστοιχα. Κατασκευάστε τους πίνακες 2.2, 2.3 και 2.4 που συγκρίνουν την αδιάστατη απόσταση, ταχύτητα και επιτάχυνση, όπως προκύπτουν από μετρήσεις και όπως υπολογίζονται με βάση το εξιδανικευμένο μοντέλο του κινηματικού μηχανισμού που παρουσιάστηκε. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 ΠΙΝΑΚΑΣ 2.3 48

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.4 2. Να παραστήσετε γραφικά την πειραματική κατανομή της αδιάστασης απόστασης εμβόλου από το ΑΝΣ (x/r) σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου, φ. Στο ίδιο διάγραμμα να παραστήσετε την υπολογισμένη αδιάστατη απόσταση εμβόλου από το ΑΝΣ με βάση τον εξιδανικευμένο θεωρητικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.4). Εντοπίστε τις διαφορές μεταξύ πειραματικής και θεωρητικής κατανομής και σχολιάστε. 3. Να παραστήσετε γραφικά την πειραματική κατανομή της αδιάστασης ταχύτητας εμβόλου (c/ωr) υποθέτοντας γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω= 1 rad/s σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου, φ. Στο ίδιο διάγραμμα να παραστήσετε την υπολογισμένη αδιάστατη ταχύτητα εμβόλου με βάση τον εξιδανικευμένο θεωρητικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.8). Εντοπίστε τις διαφορές μεταξύ πειραματικής και θεωρητικής κατανομής και σχολιάστε. 4. Να παραστήσετε γραφικά την πειραματική κατανομή της αδιάστασης επιτάχυνσης εμβόλου (a/ω 2 r) υποθέτοντας γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω= 1 rad/s σε συνάρτηση με τη γωνία περιστροφής στροφάλου, φ. Στο ίδιο διάγραμμα να παραστήσετε την υπολογισμένη αδιάστατη επιτάχυνση εμβόλου με βάση τον εξιδανικευμένο θεωρητικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2.11). Εντοπίστε τις διαφορές μεταξύ πειραματικής και θεωρητικής κατανομής και σχολιάστε. 49