ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΪOY 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f() = είναι f() = () = 1 για κάθε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μονάδες 10 Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν το ν είναι περιττός αριθμός. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ( ημ) = συν β) ( 3 ) = 1 3 (Μον. ) (Μον. ) γ) Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή στο διάστημα ( s,+ s ) βρίσκεται το 68% περίπου των παρατηρήσεων. (Μον. ) δ) Αν lm f() = και lm g() = όπου, 0 1 πραγματικοί αριθμοί τότε: lm f() g() =. 0 0 ( ) 1 1 (Μον. ) ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ε) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, 1 Δ με 1< ισχύει f( 1) < f( ). (Μον. ) Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Στον παρακάτω πίνακα δίνεται ο αριθμός των πιστωτικών καρτών που έχουν 0 υπάλληλοι μιας επιχείρησης. Αριθμός πιστωτικών καρτών Αριθμός υπαλλήλων ν 0 5 Αθροιστική N 1 9 Σχετική f% 10 3 4 ΣΥΝΟΛΑ ν Β1. Αν γνωρίζετε ότι η 5 η συχνότητα ( ν 5 ) ισούται με την 1 η συχνότητα ( ν 1), να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. Μονάδες 10 Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των πιστωτικών καρτών των υπαλλήλων. Β3. Να υπολογίσετε τον αριθμό των υπαλλήλων που έχουν το πολύ 3 πιστωτικές κάρτες. Β4. Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν τουλάχιστον πιστωτικές κάρτες. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: Γ1. Να αποδείξετε ότι 1 f() = + + 1 f() = 1 ( + 1) Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στα σημεία 1 = 1 και = 1. Μονάδες 4 Γ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά της ακρότατα. Μονάδες 1 Γ4. Να συγκρίνετε τις τιμές f(015) και f(016) της συνάρτησης f. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() = + α 3, α. 1. Να υπολογίσετε την τιμή του α αν 6+ 8 α =lm 4 4. Για α= να βρείτε την f(). Μονάδες 8 Μονάδες 3 3. Για α= να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(,f( ) ). Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Αν τα σημεία A 1( 1,y 1), A (,y ), A 3( 3,y 3), A 4( 4,y 4), A 5( 5,y 5) ανήκουν στην ευθεία ε: y= 7 και οι τετμημένες,,,, 1 3 4 5 των σημείων A 1, A,A 3,A 4,A 5 έχουν μέση τιμή =, να βρείτε τη μέση τιμή y των τεταγμένων y,y,y,y,y 1 3 4 5 των σημείων αυτών. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα, μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελ. 87 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. (Νέο Σύστηµα Εξετάσεων) 19 ΜΑΪΟΥ 016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Αριθµός πιστωτικών καρτών Αριθµός υπαλλήλων ν Αθροιστική N Σχετική f % ν 0 5 5 5 0 1 4 9 0 4 11 10 4 3 4 15 0 1 4 5 0 5 0 ΣΥΝΟΛΑ 0 100 40 Β. 40 Η µέση τιµή είναι = = 0 Β3. Το πολύ 3 πιστωτικές κάρτες έχουν 15 υπάλληλοι. Β4. Τουλάχιστον πιστωτικές κάρτες έχει ποσοστό (10 + 0 + 5)% = 55% των υπαλλήλων. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Είναι: ' ' 1 '( 1) ( 1)' + + f '( ) = + = = = + 1 + 1 ( + 1) + 1 + 1 1 = = = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ Γ. Στο σηµείο 1 = 1 ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης f είναι: 1
1 ( 1) 1 1 0 f '( 1) = = = = 0 4 4 (( 1) + 1) Στο σηµείο = 1 ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης f είναι: 1 1 1 1 0 f '(1) = = = = 0 1+ 1 4 4 ( ) Γ3. Λύνουµε την εξίσωση 1 f ( ) = 0 = 0 1 = 0 ( + 1) (1 )(1 + ) = 0 = 1 ή = 1 Από τον ακόλουθο πίνακα έχουµε την µονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης T.mn T.ma f ( 1)=0 f (1)=1 Γ4. Επειδή οι αριθµοί 015 και 016 ανήκουν στο διάσηµα [1, + ) στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα έχουµε: ΘΕΜΑ 015 < 016 f (015) > f (016) ( )( ) ( ) 6+ 8 4 1. Είναι: α= lm = lm = lm( ) = 4 =. 4 4 4 4 4. Για την τιµή α = έχουµε: µε ( ) f ( ) = + 3 = +. f ( ) = + 3 3. Για την τιµή α = ο τύπος της f γράφεται: f = + = = ( ) ( ) ( ) 3 4 4 3 3 f ( ) = + 3, οπότε εποµένως το σηµείο M(, f ( ) ) είναι M(, 3). Η εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο M(, 3) είναι: y f ( ) = f ( )( + ) ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ y ( 3) = ( + ) y+ 3= 4 y= 7
4. Είναι y= 7 όµως = εποµένως y = 7 = 4 7 = 11 ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ 3