Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò 1.1 ÄåäïìÝíçò ìéáò óõíüñôçóçò áðü ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí, ïñßæïõìå ùò O() ôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí O() = { : õðüñ ïõí èåôéêýò óôáèåñýò c êáé n 0 Ýôóé þóôå 0 c ãéá êüèå n n 0 }: ÃñÜöïõìå = O() ãéá íá äçëþóïõìå üôé ç óõíüñôçóç áíþêåé óôï óýíïëï O(). Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç óõíüñôçóç áðïôåëåß Ýíá áóõìðôùôéêü Üíù öñüãìá, ü é áðáñáßôçôá áõóôçñü, ãéá ôçí. Ìå Üëëá ëüãéá, ï ñõèìüò áýîçóçò ôçò åßíáé ìéêñüôåñïò Þ ôï ðïëý ßäéïò ìå ôï ñõèìü áýîçóçò ôçò. Ãéá ðáñüäåéãìá, áò èåùñþóïõìå ïðïéáäþðïôå ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò n +n+; > 0; ; 0. ïõìå üôé n + n + n + n + n = ( + + )n = cn ; ãéá êüèå n n 0 = 1. Óõíåðþò n + n + = O(n ). Ùóôüóï, éó ýåé üôé n + n + = O(n 3 ) Þ áêüìá êáé n + n + = O(n k ); k. Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé áí = O(), ôüôå n c, ãéá êüðïéá èåôéêþ óôáèåñü c, êáé áíôßóôñïöá. ñá ìå ñþóç ïñßùí ìðïñïýìå íá Ý ïõìå Ýíáí åíáëëáêôéêü ïñéóìü ãéá ôï óýíïëï O() áëëü êáé ãéá ôçí åýñåóç åíüò áóõìðôùôéêïý Üíù öñüãìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò. Ïñéóìüò 1. ÄåäïìÝíçò ìéáò óõíüñôçóçò áðü ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí, ïñßæïõìå ùò Ù() ôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí Ù() = { : õðüñ ïõí èåôéêýò óôáèåñýò c êáé n 0 Ýôóé þóôå 0 c ãéá êüèå n n 0 }: ÃñÜöïõìå = Ù() ãéá íá äçëþóïõìå üôé ç óõíüñôçóç áíþêåé óôï óýíïëï Ù(). Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç óõíüñôçóç áðïôåëåß Ýíá áóõìðôùôéêü êüôù öñüãìá, ü é áðáñáßôçôá áõóôçñü, ãéá ôçí. Ìå Üëëá ëüãéá, ï ñõèìüò áýîçóçò ôçò åßíáé ßäéïò Þ ìåãáëýôåñïò áðü ôï ñõèìü áýîçóçò ôçò. 1

Ãéá ðáñüäåéãìá, ãéá ôç óõíüñôçóç n +n+; > 0; ; 0, éó ýåé üôé n +n+ n ; ãéá êüèå n n 0 = 1. Óõíåðþò n + n + = Ω(n ). Åðßóçò, n + n + = Ω(n) Þ áêüìá êáé n + n + = Ω(1). Áí = Ù(), ôüôå n c, ãéá êüðïéá èåôéêþ óôáèåñü c, êáé áíôßóôñïöá. ñá, üðùò êáé óôçí ðñïçãïýìåíç ðåñßðôùóç, ìå ñþóç ïñßùí ìðïñïýìå íá Ý ïõìå Ýíáí åíáëëáêôéêü ïñéóìü ãéá ôï óýíïëï Ù() áëëü êáé ãéá ôçí åýñåóç åíüò áóõìðôùôéêïý êüôù öñüãìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò. Ïñéóìüò 1.3 ÄåäïìÝíçò ìéáò óõíüñôçóçò áðü ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí, ïñßæïõìå ùò È() ôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí È() = { : õðüñ ïõí èåôéêýò óôáèåñýò c 1 ; c êáé n 0 Ýôóé þóôå 0 c 1 c ãéá êüèå n n 0 }: ÃñÜöïõìå = È() ãéá íá äçëþóïõìå üôé ç óõíüñôçóç áíþêåé óôï óýíïëï È(). Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç óõíüñôçóç áðïôåëåß Ýíá áóõìðôùôéêü Üíù êáé êüôù öñüãìá ãéá ôçí, äçëáäþ ï ñõèìüò áýîçóçò ôçò åßíáé ßäéïò ìå ôï ñõèìü áýîçóçò ôçò. Ìå ñþóç ôùí ðáñáðüíù ïñéóìþí ìðïñïýìå åýêïëá íá áðïäåßîïõìå ôçí áêüëïõèç ðñüôáóç: Èåþñçìá 1.1 Ãéá êüèå æåýãïò óõíáñôþóåùí êáé È() éó ýåé üôé = È() áí êáé ìüíï áí = O() êáé = Ù(). ôóé, ãéá ôç óõíüñôçóç n + n + ; > 0; ; 0, Ý ïõìå üôé n + n + = Θ(n ). Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ = È() Ý ïõìå üôé n c 1 êáé n c, ãéá êüðïéåò èåôéêýò óôáèåñýò c 1 êáé c, êáé áíôßóôñïöá. Áò äïýìå áêüìá Ýíá ðáñüäåéãìá: Èá áðïäåßîïõìå üôé 1 n 3n = Θ(n ). Áõôü ðñïêýðôåé 1 åýêïëá áðü ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ïñßïõ n 3n = 1 : ÅíáëëáêôéêÜ, ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôïí ïñéóìü: Èá ðñýðåé íá ðñïóäéïñßóïõìå èåôéêýò óôáèåñýò c 1 ; c êáé n 0 ôýôïéåò þóôå íá éó ýåé c 1 n 1 n 3n c n ãéá êüèå n n 0. Äéáéñþíôáò ôá ìýëç ôçò áíéóüôçôáò ìå n ðñïêýðôåé üôé c 1 1 3 n c : Ìðïñïýìå åýêïëá íá äïýìå üôé 1 3 n 1 ãéá êüèå n 1. ÈÝôïõìå ëïéðüí c = 1= êáé n 0 = 1 (ç ôéìþ ôïõ n 0 ßóùò áëëüîåé êáôü ôïí ðñïóäéïñéóìü ôïõ c 1 ). Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ c 1, õðïëïãßæïõìå ôï áñéóôåñü ìýñïò ôçò áíéóüôçôáò ãéá äéüöïñåò ôéìýò ôïõ n: ãéá n = 1, c 1 1 3 = 5 1 ãéá n =, c 1 1 3 = 1 ãéá n = 3, c 1 1 3 = 1 3

ãéá n = 4, c 1 1 3 4 = 1 4 ãéá n = 5, c 1 1 3 5 = 1 6 ãéá n = 6, c 1 1 3 6 = 0 ãéá n = 7, c 1 1 3 7 = 1 14 ãéá n = 8, c 1 1 3 8 = 1 8 ãéá n = 9, c 1 1 3 9 = 1 6 Åßíáé öáíåñü üôé ãéá n 7, 1=14 1 3 n, óõíåðþò èýôïõìå c 1 = 1=14 êáé n 0 = 7 (äçëáäþ ôåëéêü n 0 = max{1; 7}). Õðïëïãßóáìå, ëïéðüí, èåôéêýò óôáèåñýò c 1 = 1=14; c = 1= êáé n 0 = 7; Ýôóé þóôå c 1 n 1 n 3n c n ãéá êüèå n n 0. ñá 1 n 3n = Θ(n ). Ïñßæïõìå óôç óõíý åéá ôïõò ïñéóìïýò äõï áóèåíýóôåñùí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí (áóèåíýóôåñïé ìå ôçí Ýííïéá üôé äåí ðáñý ïõí áõóôçñü áóõìðôùôéêü öñüãìáôá): Ïñéóìüò 1.4 ÄåäïìÝíçò ìéáò óõíüñôçóçò áðü ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí, ïñßæïõìå ùò o() ôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí o() = { : ãéá êüèå èåôéêþ óôáèåñü c õðüñ åé èåôéêþ óôáèåñü n 0 Ýôóé þóôå 0 < c ãéá êüèå n n 0 }: Ïñéóìüò 1.5 ÄåäïìÝíçò ìéáò óõíüñôçóçò áðü ôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí óôï óýíïëï ôùí èåôéêþí áêåñáßùí, ïñßæïõìå ùò ù() ôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí ù() = { : ãéá êüèå èåôéêþ óôáèåñü c õðüñ åé èåôéêþ óôáèåñü n 0 Ýôóé þóôå 0 c < ãéá êüèå n n 0 }: Áí = ï() ôüôå ç óõíüñôçóç åßíáé Ýíá áóèåíýò (ìç áõóôçñü) áóõìðôùôéêü Üíù öñüãìá ôçò. Åíþ, áí = Ï() ôüôå ç óõíüñôçóç ìðïñåß íá åßíáé Ýíá áõóôçñü áóõìðôùôéêü Üíù öñüãìá ôçò. Ç äéáöïñü áõôþ ïöåßëåôáé óôïõò ïñéóìïýò ôùí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí Ï() êáé ï(). Óôïí ïñéóìü ôïõ Ï() áðáéôåßôáé ç ýðáñîç êüðïéáò èåôéêþò óôáèåñüò c ãéá íá éó ýåé ç áíéóüôçôá c åíþ óôïí ïñéóìü ôïõ ï() áðáéôåßôáé ç áíéóüôçôá c íá éó ýåé ãéá êüèå èåôéêþ óôáèåñü c. ÊáôÜ óõíýðåéá, áí = ï(), ôüôå n = 0, äçëáäþ, ï ñõèìüò áýîçóçò ôçò åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôï ñõèìü áýîçóçò ôçò. Ãéá ðáñüäåéãìá, n = Ï(n ), n ï(n ), êáé n = ï(n 3 ). Áíôßóôïé ïò åßíáé ï óõëëïãéóìüò óôçí ðåñßðôùóç ôùí áóõìðôùôéêü êüôù öñáãìüôùí Ù() êáé ù(). Áí = ù(), ôüôå n =, äçëáäþ ï ñõèìüò áýîçóçò ôçò åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü ôï ñõèìü áýîçóçò ôçò. Óôçí áíüëõóç áëãïñßèìùí óôü ïò ìáò åßíáé íá ðñïóäéïñßóïõìå áõóôçñü öñüãìáôá ãéá ôï ðëþèïò ôùí âçìüôùí ðïõ åêôåëåß Ýíáò áëãüñéèìïò. Áí, ãéá ðáñüäåéãìá, ôï ðëþèïò ôùí âçìüôùí åíüò áëãïñßèìïõ äßíåôå áðü ôç óõíüñôçóç T (n) = n 1, ôüôå ìðïñïýìå åýêïëá íá äéáðéóôþóïõìå üôé éó ýïõí ôá áêüëïõèá: 3

Ô(n) o(n), äçë. ç óõíüñôçóç = n äåí åßíáé Üíù öñüãìá ôçò T (n), T (n) = o(n ), äçë. ç óõíüñôçóç = n åßíáé Üíù öñüãìá ôçò T (n) áëëü ü é áõóôçñü, Ô(n) = O(n), äçë. ç óõíüñôçóç = n åßíáé Ýíá áõóôçñü Üíù öñüãìá ôçò T (n), Ô(n) = O(n ), äçë. áõóôçñü, êáé ç óõíüñôçóç = n åßíáé Üíù öñüãìá ôçò T (n) áëëü ü é Ô(n) = È(n), äçë. ç óõíüñôçóç = n åßíáé Ýíá áõóôçñü êüôù êáé Üíù öñüãìá ôçò T (n). Áò äïýìå áêüìá Ýíá ðáñüäåéãìá: Ýóôù üôé èýëïõìå íá óõãêñßíïõìå ôïõò ñõèìïýò áýîçóçò ôùí óõíáñôþóåùí n+k êáé n + k n k, üðïõ k 3 óôáèåñü. Õðïëïãßæïõìå ôï üñéï l n+k = n n + k n k = : : : = k 8: Ôá óõìðåñüóìáôá ðïõ ðñïêýðôïõí åßíáé ôá åîþò: n+k o( n + k n k ), áöïý l 0, n+k ù( n + k n k ), áöïý l, n+k = Ù( n + k n k ), áöïý n+k = k ( n + k n k ) ( k 1)( n + k n k ) ãéá ìåãüëåò ôéìýò ôïõ n, n+k = Ï( n + k n k ), áöïý n+k = k ( n + k n k ) ( k + 1)( n + k n k ) ãéá ìåãüëåò ôéìýò ôïõ n, n+k = È( n + k n k ), áöïý ( k 1)( n + k n k ) n+k ( k + 1)( n + k n k ) ãéá ìåãüëåò ôéìýò ôïõ n. Åßíáé öáíåñü ðùò ç ñþóç ïñßùí êüíåé ðéï åýêïëï ôïí õðïëïãéóìü ôçò áóõìðôùôéêþò óõìðåñéöïñüò ìéáò óõíüñôçóçò. Ôá ðñïçãïýìåíá óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêüôù ðßíáêá: Óõìâïëéóìüò Åñìçíßá n f=g f = O(g) ç f áõîüíåé ôï ðïëý üóï ç g f = Ω(g) ç f áõîüíåé ôïõëü éóôïí üóï ç g 0 f = Θ(g) ç f áõîüíåé ðåñßðïõ üóï ç g 0; f = o(g) ç f áõîüíåé ðéï áñãü áðü ôçí g = 0 f =!(g) ç f áõîüíåé ðéï ãñþãïñá áðü ôçí g = 4

Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò ðáñáðüíù áóõìðôùôéêïýò óõìâïëéóìïýò ìðïñïýìå íá óõãêñßíïõìå óõíáñôþóåéò ìåôáîý ôïõò êáé íá ôéò éåñáñ ßóïõìå óýìöùíá ìå ôçí áóõìðôùôéêþ ôïõò óõìðåñéöïñü. Ãéá ôç óýãêñéóç èá ñçóéìïðïéþóïõìå üñéá. ôóé, áí n áí n áí n = 1 ôüôå ; (1) < 1 ôüôå ; êáé () > 1 ôüôå : (3) Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ç åßíáé áóõìðôùôéêü ßóç ìå ôçí, óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç ç åßíáé áóõìðôùôéêü ìéêñüôåñç áðü ôçí êáé óôçí ôñßôç ðåñßðôùóç ç åßíáé áóõìðôùôéêü ìåãáëýôåñç áðü ôçí. Áò äïýìå Ýíá ðáñüäåéãìá: Ýóôù üôé èýëïõìå íá éåñáñ ßóïõìå ôéò óõíáñôþóåéò log n, n log n êáé n. ïõìå üôé log n log n = 0; ïðüôå log n n log n. Åðßóçò, log n = 0; Üñá êáé log n n. Ôé ó Ýóç Ý åé üìùò ç n log n ìå ôçí n; Ôçí áðüíôçóç äßíåé ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïñßïõ n log n = ; ïðüôå n n log n. ñá log n n n log n: Óçìåßùóç: Ôá ðáñáðüíù üñéá ìðïñïýí åýêïëá íá õðïëïãéóôïýí ìå ñþóç ôïõ êáíüíá L' Hospital: Áí ïé óõíáñôþóåéò f; g : (a; b) R åßíáé ðáñáãùãßóéìåò óôï x 0 (a; b) êáé f x x0 f(x) = x x0 g(x) = 0 (Þ ), ôüôå áí õðüñ åé ôï üñéï (x) x x0 g, õðüñ åé êáé ôï (x) f(x) üñéï x x0 êáé éó ýåé üôé g(x) f(x) x x 0 g(x) = x x f (x) 0 g (x) : 5